Função Afim

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Função Afim

Função Afim
1. (Ufsm 2014) De acordo com dados da UNEP - Programa
das Nações Unidas para o Meio Ambiente, a emissão de
gases do efeito estufa foi de 45 bilhões de toneladas de
CO2 em 2005 e de 49 bilhões de toneladas em 2010. Se as
emissões continuarem crescendo no mesmo ritmo atual, a
emissão projetada para 2020 é de 58 bilhões de toneladas.
Porém, para garantir que a temperatura do planeta não
suba mais que 2°C até 2020, a meta é reduzir as emissões
para 44 bilhões de toneladas.
Suponha que a meta estabelecida para 2020 seja atingida e
considere que Q e t representam, respectivamente, a
quantidade de gases do efeito estufa (em bilhões de
toneladas) e o tempo (em anos), com t = 0
correspondendo a 2010, com t = 1 correspondendo a 2011
e assim por diante, sendo Q uma função afim de t.
A expressão algébrica que relaciona essas quantidades é
9
a) Q = − t + 45.
10
1
b) Q = − t + 49.
2
c) Q = −5t + 49.
b) 4
c) −2
d) 0
e) −1
4. (Fgv 2014) Uma fábrica de panelas opera com um custo
fixo mensal de R$ 9 800,00 e um custo variável por panela
de R$ 45,00. Cada panela é vendida por R$ 65,00. Seja x a
quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente
para que o lucro mensal seja igual a 20% da receita.
A soma dos algarismos de x é:
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
5. (Acafe 2014) O soro antirrábico é indicado para a
profilaxia da raiva humana após exposição ao vírus rábico.
Ele é apresentado sob a forma líquida, em frasco ampola de
5mL equivalente a 1000UI (unidades internacionais). O
gráfico abaixo indica a quantidade de soro (em mL) que um
indivíduo deve tomar em função de sua massa (em kg) em
um tratamento de imunização antirrábica.
1
t + 45.
2
9
e) Q =
t + 49.
10
d) Q =
2. (Uerj 2014) O reservatório A perde água a uma taxa
constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório B
ganha água a uma taxa constante de 12 litros por hora. No
gráfico, estão representados, no eixo y, os volumes, em
litros, da água contida em cada um dos reservatórios, em
função do tempo, em horas, representado no eixo x.
Determine o tempo x0 , em horas, indicado no gráfico.
3. (Espm 2014) A função f(x) = ax + b é estritamente decrescente. Sabe-se que f(a) = 2b e f(b) = 2a. O valor de
f(3) é:
Analise as afirmações a seguir:
l. A lei da função representada no gráfico é dada por q = 0,2
. m, onde q é a quantidade de soro e m é a massa.
II. O gráfico indica que as grandezas relacionadas são
inversamente proporcionais, cuja constante de
1
proporcionalidade é igual a .
5
III. A dose do soro antirrábico é 40UI/Kg.
lV. Sendo 3000UI de soro a dose máxima recomendada,
então, um indivíduo de 80 kg só poderá receber a dose
máxima.
V. Se um indivíduo necessita de 2880UI de soro, então, a
massa desse indivíduo é de 72,2 kg.
Todas as afirmações corretas estão em:
a) I - III - IV
b) I - III - IV - V
c) II - III - IV - V
d) I - II - V
a) 2
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6. (Upf 2014) João resolveu fazer um grande passeio de
bicicleta. Saiu de casa e andou calmamente, a uma
velocidade (constante) de 20 quilômetros por hora. Meia
hora depois de ele partir, a mãe percebeu que ele havia
esquecido o lanche. Como sabia por qual estrada o filho
tinha ido, pegou o carro e foi à procura dele a uma
velocidade (constante) de 60 quilômetros por hora. A
distância que a mãe percorreu até encontrar João e o
tempo que ela levou para encontrá-lo foram de:
a) 10 km e 30 min
b) 15 km e 15 min
c) 20 km e 15 min
d) 20 km e 30 min
e) 20 km e 1 h
10. (Uece 2014) Em uma corrida de táxi,
é cobrado um valor inicial fixo, chamado
de bandeirada, mais uma quantia
proporcional aos quilômetros percorridos.
Se por uma corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma
corrida de 5 km paga-se R$ 19,50, então o valor da
bandeirada é
a) R$ 7,50.
b) R$ 6,50.
c) R$ 5,50.
d) R$ 4,50.
11. (G1 - cftmg 2014) O gráfico representa a função real
definida por f(x) = a x + b.
7. (Uepa 2014) O caos no trânsito começa alastrar-se por
todo país. Um estudo do Observatório das Metrópoles,
órgão ligado ao Instituto Nacional de Ciência e Tecnologia,
aponta que, em dez anos (de 2001 a 2011), a frota das 12
principais regiões metropolitanas do país cresceu, em
média, 77,8%. São Paulo, por exemplo, que tem hoje cerca
de 11,4 milhões de habitantes e uma frota de 4,8 milhões
de automóveis, acrescenta, mensalmente, 22000 veículos
em sua frota ativa nas ruas.
Texto Adaptado: National Geographic Scientific – Brasil,
“Cidades Inteligentes”. Edição Especial.
Considerando que a população de São Paulo permaneça
constante, assim como a quantidade de automóveis
acrescentada mensalmente, o número de veículos da frota
paulista atingirá 50% do número de habitantes,
aproximadamente, em:
a) 2,0 anos.
b) 2,5 anos.
c) 3,0 anos.
d) 3,5 anos.
e) 4,0 anos.
8. (Uema 2014) A fim de realizar o pagamento de uma
festa de formatura, estabeleceu-se um valor de R$ 800,00
para cada aluno formando e mais um valor adicional por
cada convidado.
Considerando que um formando convidou 8 pessoas, tendo
despendido o total de R$1.200,00, determine o valor
pago por esse formando por cada convidado.
9. (Ucs 2014) O salário mensal de um vendedor é de
R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor total, em reais,
das vendas que ele efetuar durante o mês.
Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o
salário do vendedor será dado pela expressão
a) 750 + 2,5x.
b) 750 + 0,25x.
c) 750,25x.
d) 750 ⋅ ( 0,25x ) .
e) 750 + 0,025x.
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O valor de a + b é igual a
a) 0,5.
b) 1,0.
c) 1,5.
d) 2,0.
12. (Fgv 2014) A quantidade de cópias vendidas de cada
edição de uma revista jurídica é função linear do número de
matérias que abordam julgamentos de casos com ampla
repercussão pública. Uma edição com quatro matérias
desse tipo vendeu 33 mil exemplares, enquanto que outra
contendo sete matérias que abordavam aqueles
julgamentos vendeu 57 mil exemplares.
a) Quantos exemplares da revista seriam vendidos, caso
fosse publicada uma edição sem matéria alguma que
abordasse julgamento de casos com ampla repercussão
pública?
b) Represente graficamente, no plano cartesiano, a função
da quantidade (Y) de exemplares vendidos por edição,
pelo número (X) de matérias que abordem julgamentos
de casos com ampla repercussão pública.
c) Suponha que cada exemplar da revista seja vendido a R$
20,00. Determine qual será o faturamento, por edição,
em função do número de matérias que abordem
julgamentos de casos com ampla repercussão pública.
13. (Ufrgs 2014) Considere as funções f e g, definidas por
f(x) = 4 − 2x e g(x) = 2f(x) + 2. Representadas no
mesmo sistema de coordenadas cartesianas, a função f
intercepta o eixo das ordenadas no ponto A e o eixo das
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abscissas no ponto B, enquanto a função g intercepta o
eixo das ordenadas no ponto D e o eixo das abscissas no
ponto C.
A área do polígono ABCD é
a) 4,5.
b) 5,5.
c) 6,5.
d) 7,5.
e) 8,5.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
As atividades de comunicação humana são plurais e estão
intimamente ligadas às suas necessidades de sobrevivência.
O problema de contagem, por exemplo, se confunde com a
própria história humana no decorrer dos tempos. Assim
como para os índios mundurucus, do sul do Pará, os
waimiri-atroari, contam somente de um até cinco,
adotando os seguintes vocábulos: awynimi é o número 1,
typytyna é o 2, takynima é o 3, takyninapa é o 4, e,
finalmente, warenipa é o 5.
Texto Adaptado: Scientific American – Brasil,
“Etnomatática”. Edição Especial, Nº 11, ISSN 1679-5229
b) 2026.
c) 2028.
d) 2025.
Função Quadrática
1. (Uerj 2015) Um triângulo equilátero possui perímetro
P, em metros, e área A, em metros quadrados. Os
valores de P e A variam de acordo com a medida do lado
do triângulo.
Desconsiderando as unidades de medida, a expressão
Y = P − A indica o valor da diferença entre os números P
e A.
O maior valor de Y é igual a:
a) 2 3
b) 3 3
c) 4 3
d) 6 3
2. (Unicamp 2014) Sejam a e b reais. Considere as funções
14. (Uepa 2014) Considere as funções polinomiais do
primeiro grau f e g definidas de A em A, conjunto
formado pelos números utilizados no sistema de contagem
dos waimiri-atroari, ou seja, A = {1,2,3,4,5} . Se os pares
ordenados (1,1) e ( 5,5 ) pertencem a f e os pares
ordenados (1,5 ) e ( 5,1) pertencem a g, então é correto
afirmar que:
a) não existe nenhum par ordenado de A × A que satisfaça
f e g simultaneamente.
b) existe um único par ordenado de A × A que satisfaz f e
g simultaneamente.
c) existem dois pares ordenados de A × A que satisfazem
quadráticas da forma f(x) = x 2 + a x + b, definidas para
todo x real.
a) Sabendo que o gráfico de y = f(x) intercepta o eixo y no
ponto (0,1) e é tangente ao eixo x, determine os
possíveis valores de a e b.
b) Quando a + b = 1, os gráficos dessas funções quadráticas
têm um ponto em comum. Determine as coordenadas
desse ponto.
3. (Upe 2014) Num terreno, na forma de triângulo
retângulo, com catetos de medidas 60 metros e 80 metros,
Sr. Pedro construiu uma casa retangular com a maior área
possível, como na figura a seguir:
d) existem três pares ordenados de A × A que satisfazem
e) existem quatro pares ordenados de A × A que
satisfazem f e g simultaneamente.
15. (Ufrn 2013) Uma empresa de tecnologia desenvolveu
um produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no
Brasil, e o restante é importado de outros países. Para
aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu
em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos, produzir, no
Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do
produto.
Com base nesses dados e admitindo-se que essa
porcentagem varie linearmente com o tempo contado em
anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação desse
produto será superior a 95% a partir de
a) 2027.
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Qual é a medida da área do terreno destinado à construção
da casa em metros quadrados?
a) 600
b) 800
c) 1 000
d) 1 200
e) 1 400
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4. (G1 - cftmg 2014) Sobre a função real
c) c < 0.
f(x) = ( k − 2 ) x + 4x − 5 assinale (V) para as afirmativas
d) b2 < 4ac.
verdadeiras ou (F) para as falsas.
e) f(a2 + bc) < 0.
2
(
) O gráfico de f(x) é uma parábola para todo k ∈ ;
(
) Se k = 1, então f(x) é negativa para todo x ∈ ;
( ) Se k > 2, então f(x) é uma parábola com
concavidade voltada para cima;
( ) Se k = 3, então f( −5) = 1.
8. (Uepb 2014) O gráfico da função f : R → R dada por
f(x) = mx 2 + nx + p com m ≠ 0 é a parábola esboçada
abaixo, com vértice no ponto V. Então podemos concluir
corretamente que:
A sequência correta encontrada é
a) V – F – F – F.
b) F – V – F – V.
c) V – F – V – V.
d) F – V – V – F.
5. (Unifesp 2014) Chamando de y’ e y” as equações das
2
parábolas geradas quando a curva y = 2x –12x + 16 é
refletida pelos eixos x e y, respectivamente, determine:
a) a distância entre os vértices das parábolas definidas por
y’ e y”.
b) y’ e y”.
6. (Espcex (Aman) 2014) Uma indústria produz
mensalmente x lotes de um produto. O valor mensal
resultante da venda deste produto é V(x) = 3x 2 − 12x e o
custo mensal da produção é dado por
C(x) = 5x2 − 40x − 40. Sabendo que o lucro é obtido pela
diferença entre o valor resultante das vendas e o custo da
produção, então o número de lotes mensais que essa
indústria deve vender para obter lucro máximo é igual a
a) 4 lotes.
b) 5 lotes.
c) 6 lotes.
d) 7 lotes.
e) 8 lotes.
7. (G1 - ifce 2014) Seja f :
→
a) m < 0, n < 0 e p < 0
b) m < 0, n > 0 e p > 0
c) m < 0, n < 0 e p > 0
d) m > 0, n < 0 e p > 0
e) m > 0, n > 0 e p > 0
9. (Uea 2014) A figura mostra um quadrado de lado igual a
10 m. A região assinalada é constituída de dois quadrados
que não se intersecionam e cujos lados medem x metros.
A área da região não assinalada pode ser obtida pela lei
A = 100 − 2x 2 .
uma função quadrática
2
dada por f(x) = ax + bx + c, onde a, b, c ∈ são
constantes e cujo gráfico (parábola) está esboçado na
figura.
Desse modo, quando x assumir o maior valor inteiro
permitido, a área da região não assinalada será igual, em
metros quadrados, a
a) 84.
b) 36.
c) 48.
d) 68.
e) 64.
É correto afirmar-se que
a) a < 0.
b) b > 0.
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10. (Ufsm 2014) Ao descartar detritos orgânicos nos lagos,
o homem está contribuindo para a redução da quantidade
de oxigênio destes. Porém, com o passar do tempo, a
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natureza vai restaurar a quantidade de oxigênio até o seu
nível natural.
Suponha que a quantidade de oxigênio, t dias após os
detritos orgânicos serem despejados no lago, é expressa
 t 2 − 20t + 198 
por f(t) = 100 
 por cento (%) de seu nível


t2 + 1


normal.
Se t1 e t 2 , com t1 < t 2 , representam o número de dias
para que a quantidade de oxigênio seja 50% de seu nível
normal, então t 2 − t1 é igual a
b) −2 5 .
O produto das distâncias do ponto C aos eixos coordenados
é variável e tem valor máximo igual a 4,5.
O comprimento do segmento AB corresponde a:
a) 5
b) 6
c) 2 5 .
c) 3 5
d) 4 5 .
d) 6 2
a) −4 5 .
e) 40.
11. (Ucs 2014) O lucro obtido por um distribuidor com a
venda de caixas de determinada mercadoria é dado pela
0,01 2 
6
x  − 0,6x, em que x
expressão L(x) =  x −
5
5

denota o número de caixas vendidas.
Quantas caixas o distribuidor deverá vender para que o
lucro seja máximo?
a) 60
b) 120
c) 150
d) 600
e) 1500
2
1

12. (G1 - cftrj 2014) Seja f(x) = 3 ⋅  x −  − 4, onde x é
2

um número real qualquer. O menor valor que f(x) pode
assumir é:
a) –3
b) –4
c) –5
d) –6
13. (Uerj 2014) O gráfico abaixo mostra o segmento de reta
AB, sobre o qual um ponto C (p, q) se desloca de A até B (3,
0).
14. (Fgv 2014) Um restaurante francês oferece um prato
sofisticado ao preço de p reais por unidade. A quantidade
mensal x de pratos que é vendida relaciona-se com o
preço cobrado através da função p = −0,4x + 200.
Sejam k1 e k 2 os números de pratos vendidos
mensalmente, para os quais a receita é igual a
R$21.000,00. O valor de k1 + k 2 é:
a) 450
b) 500
c) 550
d) 600
e) 650
15. (Ufg 2014) A auxina é um hormônio vegetal
relacionado ao crescimento das plantas, sendo a raiz mais
sensível a este hormônio do que o caule. A figura a seguir
representa o efeito de diferentes concentrações desse
hormônio sobre o crescimento da raiz e do caule de uma
determinada planta.
Assumindo-se que as curvas dadas na figura são parábolas,
conclui-se que
a) a concentração para o estímulo máximo de crescimento
da raiz é maior do que do caule.
b) a concentração ótima de auxina, para o desenvolvimento
do caule, varia de 10 −8 μg / L a 10 −7 μg / L.
c) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento
da raiz é de 10 −5 μg / L.
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d) a concentração de auxina variando de 10−11 μg / L a
10 −7 μg / L estimula o crescimento do caule.
e) a concentração ótima de auxina para o desenvolvimento
da raiz é de 10 −9 μg / L.
Função Exponencial
1. (Espcex (Aman) 2015) Seja β =
log103
1
⋅
.O
2 log103 − log107
β
3
conjunto solução da desigualdade 3cos(x) ≤   no
7
intervalo [0,2π ) , é igual a
2012. Nessas condições, o número
previsto de vítimas em moto para 2015
será de:
a) 41.472.
b) 51.840.
c) 62.208.
d) 82.944.
e) 103.680.
4. (Ufsm 2014) As matas ciliares desempenham importante
papel na manutenção das nascentes e estabilidade dos
solos nas áreas marginais. Com o desenvolvimento do
agronegócio e o crescimento das cidades, as matas ciliares
vêm sendo destruídas. Um dos métodos usados para a sua
recuperação é o plantio de mudas.
O gráfico mostra o número de mudas
 π
a) 0,  .
 3
 π 5π 
b)  ,  .
3 3 
π

c)  ,2π  .
3

π


d)  ,2π  .
3

 3π

e)  ,2π  .
2


N(t) = ba t (o < a ≠ 1 e b > 0) a serem plantadas no
tempo t (em anos), numa determinada região.
2. (Uepb 2014) Biólogos e Matemáticos acompanharam em
laboratório o crescimento de uma cultura de bactérias e
concluíram que esta população crescia com o tempo t ≥ 0,
ao dia, conforme a lei P(t) = P0 5 λt , onde P0, é a população
inicial da cultura (t = 0) e λ é uma constante real positiva.
Se, após dois dias, o número inicial de bactérias duplica,
então, após seis dias, esse número é:
a) 10P0
b) 6P0
c) 3P0
d) 8P0
e) 4P0
3. (Uepa 2014) Os dados estatísticos sobre violência no
trânsito nos mostram que é a segunda maior causa de
mortes no Brasil, sendo que 98% dos acidentes de trânsito
são causados por erro ou negligência humana e a principal
falha cometida pelos brasileiros nas ruas e estradas é usar o
celular ao volante. Considere que em 2012 foram
registrados 60.000 mortes decorrentes de acidentes de
trânsito e destes, 40% das vítimas estavam em motos.
Texto Adaptado: Revista Veja, 19/08/2013.
A função N(t) = N0 (1,2)t fornece o número de vítimas que
estavam de moto a partir de 2012, sendo t o número de
anos e N0 o número de vítimas que estavam em moto em
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De acordo com os dados, o número de mudas a serem
plantadas, quando t = 2 anos, é igual a
a) 2.137.
b) 2.150.
c) 2.250.
d) 2.437.
e) 2.500.
5. (Ufpr 2014) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno
quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir
65°C será possível segurar um de seus pedaços com as
mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura T
da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em função do
tempo t, em minutos, pela expressão
T = 160 × 2−0,8×t + 25. Qual o tempo necessário para que
se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos nuas,
sem se queimar?
a) 0,25 minutos.
b) 0,68 minutos.
c) 2,5 minutos.
d) 6,63 minutos.
e) 10,0 minutos.
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6. (Mackenzie 2014) Seja f :
+
→
+
uma função tal
que f ( x + y ) = f ( x ) ⋅ f ( y ) para quaisquer x ∈ + e
4
y ∈ + . Se f (1) = 8, o valor de f   é
3
a) 16
1
b)
3
1
c)
4
d) 3
e) 4
7. (Acafe 2014) O crescimento exponencial é característico
de certos fenômenos naturais. Uma função exponencial
pode ser enunciada pela lei N(t) = N0 ⋅ akt , onde N0 é o
número inicial, N é o número no instante t, e k é a taxa
de crescimento ou decrescimento do fenômeno em estudo.
Analise as proposições abaixo e classifique-as em V verdadeiras ou F - falsas.
(
) Para que a função N(t) represente um “decaimento” é
(
necessário que k seja um número negativo.
) A lei que representa o crescimento do número de
pessoas infectadas pelo vírus da gripe em uma
(
grande cidade é dada por N(t) = 600 ⋅ 20,8t , com t
em horas. Então, após 6h25min a cidade está com
19200 pessoas infectadas.
) A população de certa região do país é dada pela
função P(t) = P0 ⋅ 2−0,25t , onde t é o tempo em
anos. Então, após 4 anos, a população dessa região
está reduzida à metade da população inicial.
A sequência correta, de cima para baixo, é:
a) F - V - F
b) V - V - V
c) V - F - V
d) V - F - F
b) a = 0
c) 0 < a < 1
d) a > 1
e) a ∈
10. (Insper 2014) A partir do momento em que é ativado,
um vírus de computador atua da seguinte forma:
- ao longo do primeiro minuto, ele destrói 40% da memória
do computador infectado;
- ao longo do segundo minuto, ele destrói 40% do que havia
restado da memória após o primeiro minuto;
- e assim sucessivamente: a cada minuto, ele destrói 40%
do que havia restado da memória no minuto anterior.
Dessa forma, um dia após sua ativação, esse vírus terá
destruído aproximadamente
a) 50% da memória do computador infectado.
b) 60% da memória do computador infectado.
c) 80% da memória do computador infectado.
d) 90% da memória do computador infectado.
e) 100% da memória do computador infectado.
11. (Enem PPL 2013) Em um experimento, uma cultura de
bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada
hora, devido à ação de um agente bactericida.
Neste experimento, o número de bactérias em função do
tempo pode ser modelado por uma função do tipo
a) afim.
b) seno.
c) cosseno.
d) logarítmica crescente.
e) exponencial.
12. (Ufrn 2013) A pedido do seu orientador, um bolsista de
um laboratório de biologia construiu o gráfico a seguir a
partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento
de uma cultura de micro-organismos.
8. (Ufrgs 2014) A função f , definida por f(x) = 4 − x − 2,
intercepta o eixo das abscissas em
a) −2.
b) −1.
1
c) − .
2
d) 0.
e)
1
.
2
9. (Pucrs 2014) O decrescimento da quantidade de massa
de uma substância radioativa pode ser apresentado pela
função exponencial real dada por f(t) = at . Então, pode-se
afirmar que
a) a < 0
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Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que
a cultura crescia segundo o modelo matemático,
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N = k ⋅ 2at , com t em horas e N em milhares de microorganismos.
Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo
bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados
com t = 4 horas e t = 8 horas.
Para que o modelo construído pelo bolsista esteja correto,
nesse período, o orientador deve ter obtido um aumento
na quantidade de micro-organismos de
a) 80.000.
b) 160.000.
c) 40.000.
d) 120.000.
13. (Pucrs 2013) A desintegração de uma substância
radioativa é um fenômeno químico modelado pela fórmula
q = 10 ⋅ 2k⋅t , onde q representa a quantidade de substância
radioativa (em gramas) existente no instante t (em horas).
Quando o tempo t é igual a 3,3 horas, a quantidade
existente q vale 5. Então, o valor da constante k é
a) − 35 5
b) − 33 10
c) − 5 33
d) − 10 33
e) − 100 33
14. (Acafe 2012) Um dos perigos da alimentação humana
são os microrganismos, que podem causar diversas doenças
e até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a
Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos,
armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a
prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que certo
microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando sua
população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o
tempo que a população de 100 microrganismos passará a
ser composta de 3.200 indivíduos é:
a) 1 h e 35 min.
b) 1 h e 40 min.
c) 1 h e 50 min.
d) 1 h e 55 min.
15. (Ufmg 2011) Um grupo de animais de certa espécie
está sendo estudado por veterinários. A cada seis meses,
esses animais são submetidos a procedimentos de
morfometria e, para tanto, são sedados com certa droga.
A quantidade mínima da droga que deve permanecer na
corrente sanguínea de cada um desses animais, para
mantê-los sedados, é de 20 mg por quilograma de peso
corporal. Além disso, a meia-vida da droga usada é de 1
hora — isto é, a cada 60 minutos, a quantidade da droga
presente na corrente sanguínea de um animal reduz-se à
metade.
Sabe-se que a quantidade q(t) da droga presente na
corrente sanguínea de cada animal, t minutos após um
dado instante inicial, é dada por
q(t) = q0 2−kt ,
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em que:
• q0 é a quantidade de droga presente
na corrente sanguínea de cada animal no
instante inicial; e
• k é uma constante característica da droga e da espécie.
Considere que um dos animais em estudo, que pesa 10
quilogramas, recebe uma dose inicial de 300 mg da droga
e que, após 30 minutos, deve receber uma segunda dose.
Suponha que, antes dessa dose inicial, não havia qualquer
quantidade da droga no organismo do mesmo animal.
Com base nessas informações,
a) calcule a quantidade da droga presente no organismo
desse animal imediatamente antes de se aplicar a
segunda dose;
b) calcule a quantidade mínima da droga que esse animal
deve receber, como segunda dose, a fim de ele
permanecer sedado por, pelo menos, mais 30 minutos.
Função Logarítmica
1. (Unicamp 2014) A altura (em metros) de um arbusto em
uma dada fase de seu desenvolvimento pode ser expressa
pela função h(t) = 0,5 + log3 (t + 1), onde o tempo t ≥ 0 é
dado em anos.
a) Qual é o tempo necessário para que a altura aumente de
0,5 m para 1,5 m?
b) Suponha que outro arbusto, nessa mesma fase de
desenvolvimento, tem sua altura expressa pela função
composta g(t) = h(3t + 2). Verifique que a diferença
g(t) − h(t) é uma constante, isto é, não depende de t.
2. (Pucrs 2014) O modelo da cobertura que está sendo
colocada no Estádio Beira-Rio está representado na figura
abaixo.
Colocada devidamente em um plano cartesiano, é possível
afirmar que, na forma em que está, a linha em destaque
pode ser considerada uma restrição da representação da
função dada por
a) y = log(x)
Página 8
b) y = x 2
O conjunto que pode ser o domínio D é
a) {x ∈ ; 0 < x < 1}
c) y = x
d) y = − x
b) {x ∈ ; x ≤ 0 ou x ≥ 1}
e) y = 10 x
{
{
{
}
1
< x < 10
3
1
d) x ∈ ; x ≤ ou x ≥ 10
3
1
10
e) x ∈ ; < x <
9
3
c) x ∈ ;
3. (Ueg 2013) O gráfico da função y = log(x + 1) é
representado por:
}
}
6. (Insper 2012) Uma função f, cujo domínio é o conjunto
{x ∈
a)
/ x > 0}, é tal que, para todo a, b ∈
∗
+,
verifica-se
a igualdade:
f ( ab ) = f ( a ) + f ( b ) .
 1
Nessas condições, f ( 2 ) + f   é igual a
2
a) 0.
1
b) .
2
c) 1.
5
d) .
4
3
e) .
2
b)
7. (Udesc 2012) Seja f : D →
a função definida por
f ( x ) = log ( x − x ) , onde D é dado por
c)
2
D = {x ∈
| x > 1}.
Analise as proposições abaixo.
I. A função f não admite nenhuma raiz pertencente a D.
II. Existe um único valor de x ∈ D para o qual
f ( x ) = 2log 2 + log 3.
d)
4. (Ita 2013) Determine o maior domínio D ⊂
f : D → , f ( x ) = log
(4 sen x
π
x( − x)
4
da função
cos x − 1).
5. (Fuvest 2013) Seja f uma função a valores reais, com
domínio D ⊂
, tal que f(x) = log10 (log1 3 (x 2 − x + 1)),
para todo x ∈ D.
III. Existe um único valor de x ∈ D para o qual
2
3
f (x) =
+
.
log3 10 log2 10
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa II é verdadeira.
b) Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
c) Somente a afirmativa III é verdadeira.
d) Somente a afirmativa I é verdadeira.
e) Somente as afirmativas I e II são verdadeiras.
8. (Uern 2012) O produto entre o maior número inteiro
negativo e o menor número inteiro positivo que pertence
ao domínio da função f(x) = log3 (x 2 − 2x − 15) é
a) – 24.
b) – 15.
c) – 10.
d) – 8.
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Página 9
Escalas logarítmicas são usadas para facilitar a
representação e a compreensão de grandezas que
apresentam intervalos de variação excessivamente
grandes. O pH, por exemplo, mede a acidez de uma solução
numa escala que vai de 0 a 14; caso fosse utilizada
diretamente a concentração do íon H+ para fazer essa
medida, teríamos uma escala bem pouco prática, variando
de 0,00000000000001 a 1.
Suponha que um economista, pensando nisso, tenha criado
uma medida da renda dos habitantes de um país chamada
Renda Comparativa (RC), definida por
e)
O gráfico a seguir representa as funções f(x) = 2x e
g(x) = log2 x.
R 
RC = log 
,
 R0 
em que R é a renda, em dólares, de um habitante desse
país e R0 é o salário mínimo, em dólares, praticado no
país. (Considere que a notação log indica logaritmo na base
10.)
9. (Insper 2011) Dentre os gráficos abaixo, aquele que
melhor representa a Renda Comparativa de um habitante
desse país em função de sua renda, em dólares, é
a)
10. (Insper 2011) Seja A um número inteiro tal que:
 f(A) + g(A) < 10

g(f(A) + g(A)) > 3
b)
Então, g(g(A)) é aproximadamente igual a
a) 0,6.
b) 1,2.
c) 1,8.
d) 2,4.
e) 3,0
c)
11. (Fatec 2009) Seja a função f:IR → IR+* definida por
3
4
f(x) = log10 x - log10(x /10 ).
d)
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A abscissa do ponto de intersecção do gráfico de f com a
reta de equação y - 2 = 0 é:
-7
a) 10 .
-3
b) 10 .
c) 10.
2
d) 10 .
4
e) 10 .
Página 10
12. (Udesc 2009) Sabendo que os gráficos das funções f(x)


= ax - n e g(x) = logn x se intersectam no ponto P  3,
1
,
2
então produto ab é igual a:
a)
(7 3 )
2
onde d é a distância da estrela em
parsecs. A estrela Rigel tem
aproximadamente magnitude aparente
0,2 e magnitude absoluta - 6,8. Determine
a distância, em quilômetros, de Rigel ao planeta Terra.
Função Composta
1. (Unicamp 2014) Considere as funções f e g, cujos
gráficos estão representados na figura abaixo.
( 3)
b)
2
c)
( −5 3 )
2
d) -
e)
( 3)
2
3
2
13. (Insper 2009) Considere a função real f, dada pela lei
f(x) = logx x x .
a) Desenhe o gráfico de f(x).
b) Calcule k, k ∈ , de modo que se tenha 16f(k) = 40. Se
necessário, utilize a aproximação log2 = 0,30.
14. (Ufla 2008) A solução da equação log (x) – 10
1
= log ( ) satisfaz:
x
a) log(log2(x)) = 1
(log(0,5)+log(8))
O valor de f(g(1)) − g(f(1)) é igual a
a) 0.
b) – 1.
c) 2.
d) 1.
2. (Ufpr 2014) Considere as funções f e g, definidas por
f(x) = x + 1 e g(x) = 2x sen(x), com x real.
a) Esboce os gráficos de f e g.
b) x = 10
c) log2(log(x)) = 1
log(4)
d) x = 10
15. (Unesp 2008) O brilho de uma estrela percebido pelo
olho humano, na Terra, é chamado de magnitude aparente
da estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a
magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada
a uma distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é
13
aproximadamente 3 × 10 km). As magnitudes aparente e
absoluta de uma estrela são muito úteis para se determinar
sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude
aparente e M a magnitude absoluta de uma estrela, a
relação entre m e M é dada aproximadamente pela fórmula
b) Obtenha as expressões de f o g e g o f em função de x, e
esboce o gráfico dessas duas funções compostas.
-0 48
M = m + 5 . log3 (3 .d ' )
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Página 11
3. (G1 - ifce 2014) Seja f : ]1,+∞[ ⊂
→
uma função
x
. A expressão da função composta
x −1
g ( x ) = f ( f ( x + 1) ) é
dada por f(x) =
1
.
x −1
x
b) g(x) =
.
x −1
c) g(x) = x + 1.
a) g(x) =
d) g(x) = x − 1.
e) g(x) =
x +1
.
x −1
4. (Cefet MG 2014) Sabe-se que o gráfico de y = f ( g ( x ) )
abaixo está fora de escala, e que esta função, com raízes 0,
1 e 3, foi obtida compondo-se as funções f ( x ) =| x | −5 e
g ( x ) = ax 2 + bx + c.

e)  x ∈

1
1 
|x≠− ,x≠−

4
2 2
6. (Espcex (Aman) 2013) Sejam as funções reais
f ( x ) = x2 + 4x e g ( x ) = x − 1. O domínio da função
f(g(x)) é
a) D = {x ∈ | x ≤ −3 ou x ≥ 1}
b) D = {x ∈
| −3 ≤ x ≤ 1}
c) D = {x ∈
| x ≤ 1}
d) D = {x ∈
| 0 ≤ x ≤ 4}
e) D = {x ∈
| x ≤ 0 ou x ≥ 4}
7. (Uepb 2013) Dada f(x) = x 2 + 2x + 5, o valor de
f(f( −1)) é:
a) – 56
b) 85
c) – 29
d) 29
e) – 85
8. (Uern 2013) Sejam as funções f(x) = x − 3 e
g(x) = x 2 − 2x + 4. Para qual valor de x tem
f(g(x)) = g(f(x))?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
9. (Ufu 2012) Fixado um sistema de coordenadas
cartesianas xOy, considere as funções reais de variável real
O valor de a ⋅ b ⋅ c é igual a
a) 23 ⋅ 5.
b) 2 ⋅ 33.
c) 2 ⋅ 53.
d) 3 ⋅ 53.
e) 33 ⋅ 5.
5. (Esc. Naval 2013) Considere f e g funções reais de
1
e g(x) = 2x2 .
4x − 1
Qual é o domínio da função composta (fog)(x)?
a)

1
1 
b)  x ∈ | x ≠ −
,x≠

2 2
2 2

1

c)  x ∈ | x ≠ 
4


variável real definidas por, f(x) =

d)  x ∈

|x≠
1
1 
,x≠

4
2 2
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y = f ( x ) = x 2 + b ⋅ x + c e y = g ( x ) = k ⋅ x + 4, em que as
constantes b, c, k são números reais.
Sabendo que o gráfico de f é dado pela parábola de vértice
V = (1,1), determine todos os possíveis valores reais que k
poderá assumir de maneira que a equação definida pela
composição (g o f )(x) = 0 tenha raiz real.
10. (Uem 2012) Considere as funções f e g, ambas com
domínio e contradomínio real, dadas por f(x) = 5x − 2 e
g(x) = x 2 − 6x + 1 , para qualquer x real. A respeito dessas
funções, assinale o que for correto.
01) A imagem de qualquer número racional, pela função f, é
um número irracional.
02) A função g possui uma única raiz real.
04) Ambas as funções são crescentes no intervalo [0,+∞[
do domínio.
08) O gráfico da função f o g é uma parábola.
16) Ambas as funções possuem inversas.
11. (Ufsm 2012) Os praticantes de exercícios físicos se
preocupam com o conforto dos calçados utilizados em cada
Página 12
modalidade. O mais comum é o tênis, que é utilizado em
corridas, caminhadas, etc. A numeração para esses calçados
é diferente em vários países, porém existe uma forma para
converter essa numeração de acordo com os tamanhos.
x
Assim, a função g(x) = converte a numeração dos tênis
6
fabricados no Brasil para a dos tênis fabricados nos Estados
Unidos, e a função f(x) = 40x + 1 converte a numeração dos
tênis fabricados nos Estados Unidos para a dos tênis
fabricados na Coreia. A função h que converte a numeração
dos tênis brasileiros para a dos tênis coreanos é
20
1
a) h(x) =
x+ .
3
6
2
b) h(x) = x + 1.
3
20
c) h(x) =
x + 1.
3
20 x + 1
d) h(x) =
.
3
2 x +1
e) h(x) =
.
3
12. (G1 - ifsc 2012) Em uma fábrica de bijuterias o custo de
produção de um lote de brincos é calculado a partir de um
valor fixo de R$ 125,00, mais R$ 1,50 por unidade
produzida. Nessa fábrica, são produzidos lotes de, no
máximo, 10000 brincos, sendo vendido cada lote com 25%
de lucro sobre o valor de custo. Sobre essa situação, leia e
analise as afirmações abaixo:
I. A função C que relaciona o custo de produção a uma
quantidade x de brincos produzidos é C(x) = 126,50x.
II. A função V que relaciona o valor de venda de um lote de
brincos e o custo C de produção é V(C) = 1,25C.
III. O custo para produção de um lote com 400 brincos é R$
725,00.
IV. Considerando C a função que relaciona o custo de
produção de uma quantidade x de brincos e V a função
que relaciona o valor de venda de um lote de brincos
com o custo C de produção, então a função composta
V(C(x)) é a função que relaciona o valor de venda de um
lote de brincos e a quantidade x de brincos produzidos.
V. O preço de venda de um lote com 100 brincos é R$
343,75.
Assinale a alternativa CORRETA.
a) Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS.
b) Apenas as afirmações I, III, IV e V são VERDADEIRAS.
c) Apenas as afirmações III, IV e V são VERDADEIRAS.
d) Apenas as afirmações I e II são VERDADEIRAS.
e) Todas as afirmações são VERDADEIRAS.
b) −1
c) 0
d) 1
e) 2
14. (Ufsj 2012) Sendo a função f ( x ) = ax + b, tal que
f ( f ( x ) ) = 9x + 8, é CORRETO afirmar que
x
a) f −1 ( x ) = + 2
3
b) f ( 0 ) = 8
c) f ( x ) = 3x + 4
( x − 2)
d) f −1 ( x ) =
3
15. (G1 - cftmg 2012) Sendo f(x) = x 2 + 2x + 1 definida
em A = {x ∈ / x ≥ −1} e g(x) = x 2 definida em
gráfico que representa a função (gof)(x) é
+,
o
a)
b)
c)
13. (Pucrj 2012) Sejam f(x) = x 2 + 1 e g(x) = x 2 − 1.
Então a equação f(g(x)) − g(f(x)) = −2 tem duas soluções
reais. O produto das duas soluções é igual a:
a) −2
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d)
Página 13
Função Modular
1. (Uepb 2014) Uma função inversível f, definida em
x+5
R − {−3} por f ( x ) =
, tem contradomínio R − {y0 } ,
x+3
onde R é o conjunto dos números reais. O valor de y0 é:
3. (Pucrj 2014) Considere a função real
f(x) = x + 1 + x − 1. O gráfico que
representa a função é:
a) −1
b) 3
c) 2
d) 1
e) zero
1
1
2. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) = x3 − x2
3
2
cujo gráfico está exibido abaixo:
a)
b)
c)
a) Determine as raízes de f(x) = 0.
b) Determine todos os valores reais de c para que o gráfico
1
1
de h(x) = x3 − x 2 + c intercepte o eixo x em um
3
2
único ponto.
1
1
c) Esboce o gráfico de g(x) = x3 − x 2 .
3
2
d)
e)
4. (Pucrj 2014) Considere a função real f(x) = | − x + 1|. O
gráfico que representa a função é:
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Página 14
intercepta o gráfico da função
x2 − 1
nos pontos P e Q. Qual
x
a distância entre P e Q?
f(x) = x
a) 2 15
b) 2 13
c) 2 7
a)
d)
7
e)
5
2
7. (Esc. Naval 2013) O gráfico que melhor representa a
função real f , definida por
− x +1 x
+x

se x > −1
 x +1
f(x) = 
é

xx
se x ≤ −1

b)
c)
a)
d)
b)
e)
c)
5. (Ufrgs 2013) A interseção dos gráficos das funções f e
g, definidas por f ( x ) = x e g ( x ) = 1 − x , os quais são
desenhados no mesmo sistema de coordenadas
cartesianas, determina um polígono.
A área desse polígono é
a) 0,125.
b) 0,25.
c) 0,5.
d) 1.
e) 2.
6. (Esc. Naval 2013) A reta no
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d)
2
de equação 2y − 3x = 0
Página 15
e)
8. (Epcar (Afa) 2012) Considere a figura abaixo que
representa um esboço do gráfico da função real f
Sabe-se que g ( x ) = f ( x ) − 3u, h ( x ) = g ( x + u ) e
j( x ) = h ( x ) .
Um esboço do gráfico que melhor representa a função j é
a)
a) A figura acima mostra o gráfico de f(x) para um valor
específico de p. Determine esse valor.
b) Supondo, agora, que p = –3, determine os valores de x
que satisfazem a equação f(x) = 12.
10. (Fgv 2012) O polígono do plano cartesiano
determinado pela relação 3x + 4y = 12 tem área igual a
a) 6.
b) 12.
c) 16.
d) 24.
e) 25.
11. (Ufpe 2012) Considere a função f ( x ) = x + 1 − x − 1,
b)
c)
d)
definida para x real. Analise as afirmações seguintes sobre
f.
( ) f é par.
( ) f é positiva.
( ) f é injetora.
( ) A imagem de f é o intervalo fechado [–2,2].
( ) f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) , para quaisquer x e y reais.
12. (Insper 2012) A figura a seguir mostra o gráfico da
função f(x).
9. (Unicamp 2012) Considere a função f(x) = 2x + x + p ,
definida para x real.
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O número de elementos do conjunto solução da equação
f(x) = 1 , resolvida em
é igual a
a) 6.
b) 5.
c) 4.
d) 3.
e) 2.
13. (Fgv 2012) No plano cartesiano, os pontos (x, y) que
satisfazem a equação x + y = 2 determinam um polígono
cujo perímetro é:
a) 2 2
b) 4 + 2 2
c) 4 2
d) 8 + 4 2
e) 8 2
14. (Upe 2011) Dos gráficos abaixo, o que mais se
assemelha ao gráfico da função f(x) =|| x + 2 | −2 | no
intervalo -5 > x > 5 é
a)
b)
c)
d)
e)
15. (Mackenzie 2011) Dadas as funções reais definidas por
f ( x ) = x − 4 x e g(x) = x 2 − 4x
2
considere I, II, III e IV abaixo.
I. Ambas as funções possuem gráficos simétricos em
relação ao eixo das ordenadas.
II. O número de soluções reais da equação f(x) = g(x) é 3.
III. A soma de todas as raízes das funções dadas é 4.
IV. Não existe x real tal que f(x) < g(x).
O número de afirmações corretas é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
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Página 17
Resolução Função Afim
Resposta da questão 1:
[B]
0,2 ⋅ 65x = 65x − (45x + 9800) ⇔ 13x = 20x − 9800
⇔ x = 1400.
Por conseguinte, a soma dos algarismos
de x é igual a 1 + 4 + 0 + 0 = 5.
Admitindo que Q = mt + p, temos:
Em 2010, t = 0 e Q = 49.
Em 2020, t = 10 e Q = 44
[A]
[I] Correta. Seja q :
→
a função definida por
44 − 49
1
P = Q(0) = 49 e m =
=−
10 − 0
2
q(m) = am + b, com a ∈
1
Logo, Q = − t + 49.
2
a=
De acordo com as informações do problema, temos:
y A = 720 – 10x
yB = 60 + 12x
O valor x0 indicado no gráfico é o valor de x quando yA =
yB, ou seja:
720 − 10x = 60 + 12x
−22x = −660
x = 30
Logo, x0 = 30 horas.
∗
e b ∈ . Temos
8−3
= 0,2.
40 − 15
Daí, como o ponto (15, 3) pertence ao gráfico de q,
vem
3 = 0,2 ⋅ 15 + b ⇔ b = 0.
[II] Incorreta. De [I], é imediato que as grandezas
relacionadas são diretamente proporcionais.
[III] Correta. Se m = 1kg, tem-se q = 0,2mL. Logo, a dose
do soro antirrábico é
0,2 ⋅ 1000
= 40 UI kg.
5
[IV] Correta. De [III], vem 80 ⋅ 40 = 3200 UI. Assim, um
[C]
Se f :
→
é estritamente decrescente, então a < 0.
Além disso, f(a) = 2b implica em a ⋅ a + b = 2b ⇔ b = a2
2a
e f(b) = 2a implica em a ⋅ b + b = 2a ⇔ b =
. Logo,
a +1
a2 =
2a
⇔ a ⋅ (a2 + a − 2) = 0
a +1
⇔ a ⋅ (a − 1) ⋅ (a + 2) = 0
⇔ a = 0 ou a = 1 ou a = −2.
Portanto, sendo f estritamente decrescente, só pode ser
a = −2. Em consequência,
f(3) = −2 ⋅ (3) + ( −2)2 = −2.
[D]
O custo total é dado por 45x + 9800, enquanto que a
receita é igual a 65x. Desse modo, temos
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indivíduo de 80kg só poderá receber a dose máxima.
[V] Incorreta. De [III], sabemos que se um indivíduo
necessita de 2.880 UI de soro, então, a massa desse
indivíduo é de
2880
= 72kg.
40
[B]
Sabe-se que o tempo da mãe de João é 30 minutos menor
que o tempo de João.
Considerando t o tempo da mãe de João e t + 0,5 o tempo
de João, temos a seguinte igualdade:
60t = 20(t + 0,5) ⇒ 60t = 20t + 10 ⇒ t = 0,25h = 15min.
E a distância percorrida por ambos é
d = 60 ⋅ 0,25h = 15km.
[D]
Tem-se que 50% do número de habitantes corresponde a
Página 18
0,5 ⋅ 11,4 ⋅ 106 = 5,7 ⋅ 106.
Se n é o número de meses necessário para que o número
de veículos da frota paulista se torne igual a 5,7 ⋅ 106 ,
então
0,9
0,022
⇒ n ≅ 41.
5,7 ⋅ 106 = 0,022 ⋅ 106 ⋅ n + 4,8 ⋅ 106 ⇔ n =
Portanto, concluímos que
41
≅ 3,4 anos é o resultado
12
procurado.
O valor pago por cada convidado é igual a
1200 − 800
= R$ 50,00.
8
Seja f : → a função afim definida
por f(x) = ax + b, em que f(x) é o
número de cópias vendidas e x é o número de matérias
que abordam julgamentos de casos com ampla repercussão
pública.
Sabendo que o gráfico de f passa pelos pontos (4, 33000)
e (7, 57000), tem-se que
a=
57000 − 33000
= 8000.
7−4
Logo,
33000 = 8000 ⋅ 4 + b ⇔ b = 1000.
a) O valor inicial da função f, definida acima, é igual a
1000.
b) O gráfico pedido é
[E]
Desde que 2,5% = 0,025, segue-se que o resultado é
750 + 0,025x.
[D]
Considerando x o total de quilômetros rodados e y o valor
da corrida, que poderá ser expresso através da função do
afim y = ax + b, onde é o preço da corrida e b o valor fixo da
bandeirada.
De acordo com as informações do problema, temos o
seguinte sistema linear:
8 ⋅ a + b = 28,50

 5 ⋅ a + b = 19,50
c) Seja g :
→
a função definida por g(x) = 20 ⋅ f(x),
em que g(x) é o faturamento por adição e f(x) é o
número de cópias vendidas, conforme definido em (a).
Portanto, segue-se que
g(x) = 20 ⋅ (8000x + 1000) = 160000x + 20000.
Onde, a = 3 e b = 4,50
Portanto, o valor da bandeirada será de R$4,50.
[E]
[C]
f(x) = 4 − 2x
g(x) = 2f(x) + 2 = 2(4 − 2x) + 2 = −4x + 10
Como o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em
(0, 3), segue-se que b = 3. Além disso, o gráfico de f
intersecta o eixo das abscissas em (2, 0.) Logo,
0 = a⋅2+ 3 ⇔ a = −
3
2
e, portanto, a + b = −
3
+ 3 = 1,5.
2
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Construindo os gráficos destas funções e encontrando o
quadrado ABCD, temos:
Página 19
Portanto, o percentual de peças
produzidas no Brasil superará 95% a
partir do ano de 2012 + 15 = 2027.
Resolução Função Quadrática
[B]
Seja l a medida do lado do triângulo. Logo, tem-se que
Y =P−A
A = A1 + A 2
A=
(10 − 4) ⋅ 2 ( 2,5 − 2 ) ⋅ 10
+
= 6 + 2,5 = 8,5
2
2
[B]
Sabendo que f e g são funções afins, f(1) < f(5) e
g(1) > g(5), segue-se que f é crescente e g é
decrescente. Logo, deve existir um único par ordenado de
A × A que satisfaz f e g simultaneamente. De fato, como
f(x) = x e g(x) = − x + 6, temos
x = − x + 6 ⇔ x = 3.
Portanto, o par ordenado (3, 3) de A × A satisfaz f e g
simultaneamente.
[A]
Sendo hoje um dia do mês de novembro de 2012 (t = 0),
e sabendo que a variação do percentual com o tempo é
linear, considere a função p : → , definida por
p(t) = at + b, com p(t) sendo o percentual de peças
fabricadas no Brasil daqui a t anos.
A taxa de variação da função p é dada por
a=
85 − 60 5
= .
10 − 0
2
Logo, p(t) =
5
t + 60.
2
l2 3
4
3
=3 3−
⋅ (l − 2 3)2 .
4
= 3l −
Portanto, para l = 2 3, Y atinge o seu maior valor, ou
seja, 3 3.
a) Se o gráfico de f intersecta o eixo das ordenadas em
(0, 1), então b = 1. Além disso, como o gráfico é
tangente ao eixo das abscissas, vem
Δ = 0 ⇔ a2 − 4 ⋅ 1 ⋅ 1 = 0
⇔ a = ± 2.
Portanto, a = ± 2 e b = 1.
b) Se a + b = 1 ⇔ b = 1 − a, então f(x) = x 2 + ax + 1 − a.
Agora, sem perda de generalidade, tomando a = 0 e
a = 1, obtemos f1(x) = x2 + 1 e f2 (x) = x 2 + x,
respectivamente. Ora, como os gráficos de f1 e de f2
possuem um ponto em comum, tem-se
x 2 + 1 = x 2 + x ⇒ x = 1. Em consequência, o resultado
pedido é (1, 2).
[D]
Considere a figura, em que AC = 80 m e AB = 60 m.
Os valores de t, para os quais o percentual de peças
brasileiras na fabricação do produto é superior a 95%, são
tais que
5
t + 60 > 95 ⇔ t > 14.
2
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Página 20
Tomando AD = y e AF = x, da semelhança dos triângulos
ABC e DEC, obtemos
CD
CA
=
80 − y
x
=
80
60
AB
4x
⇔ y = 80 −
.
3
DE
⇔
Logo, a medida da área do terreno destinado à construção
da casa é dada por
(ADEF) = AF ⋅ AD
4x 

= x ⋅  80 −

3 

4
= − ⋅ (x 2 − 60x)
3
4
= − [(x − 30)2 − 900]
3
4
= 1200 − (x − 30)2 .
3
Portanto, a área máxima é igual a 1200 m2 , quando
Considerando V o vértice da parábola de equação y =
f(x), V’ o vértice de y’ = –f(x) e V” o vértice de y” = f(–x)
temos:
V(3, –2) , V’(3, –2) e V” (–3, –2)
Portanto, a distância entre os pontos V e V” será dada
por:
d = ( −3 − 3)2 + ( −2 − 2)2 = 52 = 2 13
2
b) Sendo y = f(x) = 2x – 12x + 16, temos:
2
2
y’ = – f(x) = – (2x – 12x + 16) = –2x + 12x – 16
x = 30 m.
y” = f(–x) = 2(–x) –12(–x) + 16 = 2x + 12x + 16
[D]
[D]
O gráfico de f não é uma parábola para k = 2. De fato,
para k = 2 tem-se f(x) = 4x − 5, cujo gráfico é uma reta.
Seja L(x) o lucro obtido, então:
2
2
2
L(x) = V(x) – C(x) = – 2x + 28x + 40
Se k = 1, então f(x) = − x 2 + 4x − 5 = −(x − 2)2 − 1.
Portanto, f(x) < 0 para todo x real.
Se k > 2, então o coeficiente dominante de f é positivo e,
por conseguinte, o gráfico de f é uma parábola com a
concavidade voltada para cima.
Se k = 3, então f( −5) = ( −5)2 + 4 ⋅ ( −5) − 5 = 0.
a) Observe o gráfico a seguir:
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O valor de x para que L(x) seja máximo será dado por:
xV = −
b
28
=−
=7
2⋅a
2 ⋅ ( −2)
[D]
A concavidade da parábola voltada para cima implica em
a > 0.
Página 21
Desde que x v = −
b
> 0 e a > 0, tem-se b < 0.
2a
L(x) = −
1 2 3
x + x.
500
5
Note, no gráfico, que f(0) = c > 0.
Portanto, o resultado pedido é igual a
Como f(x) > 0 para todo x ∈
e (a2 + bc) ∈ , segue-
se que f(a2 + bc) > 0.
−
Do gráfico sabemos que a parábola não intersecta o eixo
das abscissas. Logo,
b2 − 4ac < 0 ⇔ b2 < 4ac.
 1 
2⋅−

 500 
[B]
2
A parábola possui concavidade para baixo, logo m < 0.
n
O valor da abscissa do vértice é −
e negativo, como m
2m
< 0, concluímos que n < 0.
A parábola intercepta o eixo, em sua parte positiva, no
ponto (0, p), logo p > 0.
[D]
1

 x −  = 0 (valor mínimo). Daí concluímos que o valor
2

mínimo de f(x) é f(x) = 3 ⋅ 0 − 4 = −4.
[C]
A reta que passa por A e por B(3,0) tem equação
y = ax + b, logo, 0 = 3a + b ⇒ b = −3a.
Então, y = ax − 3a, como a reta passa pelo ponto (p,q)
temos que :
O maior valor inteiro para o lado do quadrado, de acordo
com as condições acima, é 4m.
Portanto, a área da região não assinalada é:
2
A = 100 − 2 ⋅ 4 = 68m .
p ⋅ q = p ⋅ (ap − 3a)
p ⋅ q = ap2 − 3ap
4,5 = −
[C]
 t 2 − 20t + 198 
f(t) = 100 



t2 + 1


50 =
100 ⋅ (t 2 − 20t + 198)
t2 + 1
2.(t 2 − 20 ⋅ t + 198) = t 2 + 1
2 ⋅ t 2 − 40 ⋅ t + 396 − t 2 − 1 = 0
t 2 − 40t + 395 = 0
2
Δ = ( −40) − 4 ⋅ 395 = 20
t=
= 150.
f(x) assumirá um valor mínimo quando
[C]
2
3
5
−( −40) ± 20 40 ± 2 5
=
= 20 ± 5
2 ⋅1
2
∆
9a2
⇒ 4,5 = −
⇒ a = 0 (não convém) ou a = −2
4a
4.a
Portanto, y = −2x + 6 e A(0,6)
Portanto, AB = (3 − 0)2 + (0 − 6)2 = 45 = 3 5.
[B]
Desde que p = −0,4x + 200, temos
p ⋅ x = 21000 ⇔ ( −0,4x + 200) ⋅ x = 21000
⇔ x 2 − 500x + 52500 = 0.
Portanto, pelas Relações de Girard, segue-se que
k1 + k 2 = 500.
Portanto, t 2 − t1 = 20 + 5 − (20 − 5 ) = 2 5
[C]
Reescrevendo a lei de L, obtemos
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[E]
Com a raiz é a mais sensível conclui-se que a primeira
parábola refere-se ao crescimento das raízes. Portanto, a
Página 22
concentração ótima de auxina para o desenvolvimento da
raiz é de 10 −9 μg / L.
Quando ocorreu o maior estímulo.
Resolução Função Exponencial
[C]
1
log3
⋅
2 log3 − log7
β
β=
O número previsto de vítimas, nos
acidentes com motos, para 2015 é dado por
N(3) = 24000 ⋅ (1,2)3 = 41.472.
[B]
β=
Tem-se que N0 = 0,4 ⋅ 60000 = 24000.
1
3
⋅ log3 3 ⇒   =
2
7
Considerando os pontos (1, 1500) e (3, 3375) do gráfico
temos o seguinte sistema:
1500 = b ⋅ a1 ( I )

 3375 = b ⋅ a3 ( II )
1
2
3
7
Portanto:
1
β
1
3
3cos x =   ⇔ 3cos x ≤ 3 2 ⇒ cos x ≤
7
2
 
Fazendo (II) dividido por (I), temos:
a2 = 2,25 ⇒ a = 1,5 e b = 1000
t
Logo, N(t) = 1000 ⋅ (1,5 ) ⇒ N(2) = 1000 ⋅ (1,5)2 = 2250.
[C]
T = 160 ⋅ 2−0,8⋅t + 25
65 = 160 ⋅ 2−0,8⋅t + 25
40 = 160 ⋅ 2−0,8⋅t
2−0,8t = 1 4
 π 5π 
Portanto, a solução da inequação é: S =  ,  .
3 3 
2−0,8t = 2−2
−0,8 ⋅ t = −2
t = 2,5 minutos
[D]
[A]
P(t) = P0 ⋅ 5λ ⋅t
Se f(x + y) = f(x) ⋅ f(y) para quaisquer x ∈ + e y ∈ + ,
P(2) = 2 ⋅ P0
então f(x) = a x (a > 0). Assim, f(1) = 8 implica em
P0 ⋅ 5λ ⋅2 = 2 ⋅ P0
5
λ ⋅2
4
4
a = 8 e, portanto, f   = 8 3 = 24 = 16.
3
=2
Logo,
P(6) = P0 ⋅ 5
ANULADA
λ ⋅6
( )
P(6) = P0 ⋅ 5λ ⋅2
3
3
P(6) = P0 ⋅ ( 2 )
P(6) = 8 ⋅ P0
[A]
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Questão anulada no gabarito oficial.
[I] Incorreta. Se 0 < a < 1 e k > 0 a função N será
decrescente.
[II] Incorreta. Para t = 6 h 25min =
77
h, temos
12
Página 23
77
0,8 ⋅
 77 
12 ≅ 21059.
N   = 600 ⋅ 2
 12 
N(t) = N0 ⋅ 2−t , com N0 sendo a
população inicial. A função N é
exponencial.
[III] Correta. De fato, sendo P0 a população inicial, vem que
P(4) = P0 ⋅ 2−0,25 ⋅ 4 =
P0
.
2
[D]
Do gráfico, temos
[C]
(0, 10) ⇔ 10 = k ⋅ 2a⋅0 ⇔ k = 10
Fazendo f(x) = 0, temos:
e
4− x − 2 = 0
4− x = 2
2−2x = 21
−2x = 1
1
x=−
2
Portanto, a função f intercepta o eixo x no ponto de
1
abscissa x = − .
2
(2, 20) ⇔ 20 = 10 ⋅ 2a⋅2
⇔ 2 = 22a
1
⇔a= .
2
t
2
= 10 ⋅ 2
Logo, N(t)
e, portanto, se o modelo estiver
correto, o aumento na quantidade de micro-organismos
entre t = 4 e t = 8 horas deve ter sido de
N(8) − N(4) = 160 − 40 = 120.000.
[C]
A função f(t) = at é definida para valores positivos de a,
sendo a diferente de 1. Temos dois casos a considerar:
(primeiro caso) A função é decrescente para 0 < a < 1 .
(segundo caso) A função é crescente para a > 1.
Portanto, a alternativa correta é a [C].
[E]
→ a função cuja lei é M(t) = M0 ⋅ (0,6)t , em
que M(t) é a memória que resta no computador t minutos
após o início da infecção.
Seja M :
Após um dia, ou seja, 1440 minutos, da ativação do vírus,
a memória íntegra será igual a
M(1440) = M0 ⋅ 0,61440 ≅ 0.
Portanto, após um dia, aproximadamente 100% da
memória do computador terá sido destruída.
[E]
[D]
Para t = 3,3 h sabe-se que q = 5 g. Logo,
5 = 10 ⋅ 2k⋅3,3 ⇔ 23,3k = 2−1
⇔ 3,3k = −1
⇔k=−
10
.
33
[B]
Seja N a função definida por N(t) = 100 ⋅ 23t , em que N(t)
é o número de microrganismos t horas após o início do
experimento.
Portanto, o tempo necessário para que a população de
100 microrganismos passe a ser de 3.200 indivíduos é tal
5
que 3200 = 100 ⋅ 23t ⇔ 23t = 25 ⇔ t = h, ou seja, 1h
3
e 40min.
a) Sabendo que a meia-vida da droga é de 1h = 60min,
temos que:
O número de bactérias N(t), em função do tempo t, em
horas, pode ser modelado por uma função do tipo
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Página 24
para todo t ≥ 0.
300
1
q(60) =
⇔ 150 = 300 ⋅ 2−k⋅60 ⇔ 2−60k = 2−1 ⇔ k =
.
2
60
[A]
Desse modo, a quantidade da droga presente no
organismo desse animal imediatamente antes de se
aplicar a segunda dose é:
q(30) = 300 ⋅ 2
−
1
⋅30
60
= 300 ⋅ 2
−
1
2
= 150 2 mg.
b) De acordo com o enunciado, o animal fica sedado se
10 ⋅ 20mg = 200mg da droga estiverem presentes em
seu organismo. A fim de manter o animal sedado por
mais 30 minutos, temos que a quantidade de droga
presente no organismo desse animal, adicionada à
quantidade da segunda dose, deve ser tal que
q(30) ≥ 200mg ⇔ q0 ⋅ 2
−
1
⋅30
60
≥ 200 ⇔ q0 ≥ 200 2 mg.
O gráfico da função y = log(x) é o que mais se aproxima da
curva considerada.
[D]
Portanto, sabendo que após 30 minutos da aplicação da
primeira dose havia 150 2 mg da droga no organismo
do animal (item (a)), segue que a quantidade de droga
na segunda dose deve ser de:
200 2 − 150 2 = 50 2 mg.
Resolução Função Logarítmica
a) O valor de t para o qual se tem h(t) = 0,5 é
0,5 = 0,5 + log3 (t + 1) ⇔ t = 0.
A raiz da função y = log(x + 1) é tal que
log(x + 1) = 0 ⇔ x + 1 = 100 ⇔ x = 0.
Daí, o gráfico intersecta o eixo das abscissas no ponto
(0, 0).
Portanto, a alternativa correta é a [D], cujo gráfico passa
pela origem.
Pelas condições de existência dos logaritmos, vem
Para h(t) = 1,5, obtemos
sen 2x >
1,5 = 0,5 + log3 (t + 1) ⇔ t + 1 = 3 ⇔ t = 2.
Portanto, serão necessários 2 anos para que a altura
aumente de 0,5 m para 1,5 m.
b) A lei da função g pode ser escrita sob a forma
g(t) = h(3t + 2)
= 0,5 + log3 (3t + 2 + 1)
= 0,5 + log3 3 ⋅ (t + 1)
= 0,5 + log3 3 + log3 (t + 1)
4 sen x cos x − 1 > 0
π

1≠ x − x > 0
4


1
2

π
⇔ xx −  < 0
4


π
x 2 − x + 1 ≠ 0 ( ∆ < 0)
4
π
5π
+ kπ < x <
+ kπ
12
⇔ 12
π
0<x<
4
π
π
⇔
<x< .
12
4
= 1 + h(t).
Por conseguinte,
g(t) − h(t) = 1 + h(t) − h(t) = 1,
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 π π
Portanto, D =  ,  .
 12 4 
[A]
Página 25
Como x 2 − x + 1 > 0 para todo x real, segue que os valores
de x para os quais f está definida são tais que
log1 3 (x 2 − x + 1) > 0 ⇔ log1 3 (x 2 − x + 1) > log1 3 1
⇔ x2 − x + 1 < 1
⇔ x ⋅ (x − 1) < 0
⇔ 0 < x < 1.
Portanto, como −4 é o maior número
inteiro negativo e 6 é o menor número
inteiro positivo que pertencem ao
domínio de f, segue que o produto
pedido é igual a −4 ⋅ 6 = −24.
[D]
Seja a função y = log x, definida de
é
[A]
∗
+
em
, cujo gráfico
De acordo com a definição de f, obtemos
f(1) = f(1⋅ 1) = f(1) + f(1) ⇔ f(1) = 0.
Portanto,
 1
 1
f(2) + f   = f  2 ⋅  = f(1) = 0.
2
 2
Fazendo y = RC e x =
[B]
R 
R
, obtemos RC = log 
.
R0
 R0 
Assim,
I. Falsa. Pondo f(x) = 0, obtemos
2
2
log(x − x) = 0 ⇔ x − x − 1 = 0
⇒x=
1+ 5
> 1.
2
II. Verdadeira. Como 2log2 + log3 = log(22 ⋅ 3) = log12,
vem
x2 − x = 12 ⇔ x 2 − x − 12 = 0
⇒ x = 4.
III. Verdadeira. Temos que
2
3
+
= 2log3 + 3log2
log3 10 log2 10
= log32 + log23
= log72.
Portanto,
2
x − x = 72 ⇔ x2 − x − 72 = 0
⇒ x = 9.
[A]
A função f está definida para os valores reais de x, tais
que
x2 − 2x − 15 > 0 ⇔ (x − 1)2 > 16
⇔ | x − 1| > 4
⇔ x < −3 ou x > 5.
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R 
R = R0 ⇒ RC = log  0  = log1 = 0 ⇒ (R0 , 0).
 R0 
Portanto, o gráfico que melhor representa a Renda
Comparativa de um habitante desse país em função de sua
renda é o da alternativa (D).
[A]
Do enunciado, temos
f(A) + g(A) < 10 ⇔ 2A + log2 A < 10
e
g(f(A) + g(A)) > 3 ⇔ log2 (2A + log2 A) > 3.
Como A é inteiro, segue que
A = 2 ⇒ log2 (22 + log2 2) = log2 5 < 3
A = 4 ⇒ 24 + log2 4 = 18 > 10
⇒ A = 3.
Assim,
g(g(A)) = g(g(3)) = log2 (log2 3)
e, portanto,
log2 (log2 2) < log2 (log2 3) < log2 (log2 4) ⇔ 0 < g(g(A)) < 1.
[C]
Página 26
Do gráfico, sabemos que g(1) = 0 e
[A]
1 = log 3 ⇔
b
2
1
b2
=
1
32
⇒b=3
1 = a 3−3⇒ a = 7 3
2
6
7 3
7 3
ab =
⋅3 =
6
2
a) O domínio de f é tal que 1 ≠ x > 0.
f(1) = −1. Logo, como f(0) = 1 e
g( −1) = 0, obtemos
f(g(1)) − g(f(1)) = f(0) − g( −1)
= 1− 0
= 1.
a) O zero e o valor inicial de f são, respectivamente,
−1 e 1. Logo, o gráfico de f é
f(x) = logx x x = x ⋅ logx x = x.
123
1
Portanto, o gráfico da função f, sujeito à restrição
1 ≠ x > 0, é
→ , tal que h(x) = sen(x).
Logo, g(x) = 2 ⋅ h(x) e, portanto, o gráfico da função g
corresponde ao gráfico de h esticado verticalmente por
um fator igual a 2.
Considere a função h :
b) Do item (a) sabemos que f(k) = k. Logo,
16f(k) = 40 ⇒ 24k = 22 ⋅ 10 ⇒ 24k −2 = 10 ⇔ log24k −2 = log10
⇒ (4k − 2) ⋅ log2 = 1
10
⇒ 4k − 2 =
3
4
⇒k = .
3
[C]
15
7,29 × 10 km
→ , tal que
(f o g)(x) = 2sen(x) + 1, é obtido do gráfico de g por
b) O gráfico da função f o g :
meio de uma translação vertical de 1 unidade no sentido
positivo do eixo das ordenadas.
Resolução Função Composta
[D]
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Página 27
a + b + 5 = −5
a + b = −10
⇔
4a + 2b + 5 = −5
4a + 2b = −10
⇔
a=5
.
b = −15
Por conseguinte,
| a ⋅ b ⋅ c | = | 5 ⋅ ( −15) ⋅ 5 | = 3 ⋅ 53.
O gráfico da função g o f :
→ , tal que
[B]
(g o f )(x) = 2sen(x + 1), é obtido do gráfico de g por
meio de uma translação horizontal de 1 unidade no
sentido negativo do eixo das abscissas.
fog(x) =
1
2
4 ⋅ 2x − 1
=
1
2
8x − 1
Logo,
1
1
1
8x2 − 1 ≠ 0 ⇒ x2 ≠ ⇒ x ≠
ex≠−
8
2 2
2 2
Portanto, o domínio será dado por:

1
1 
D = x ∈ | x ≠
ex≠−
.
2 2
2 2

[A]
[C]
Temos que
f(g(x)) = (x − 1)2 + 4(x − 1)
Desde que
f(x + 1) =
= x 2 − 2x + 1 + 4x − 4
x +1
x +1
⇔ f(x + 1) =
,
x + 1− 1
x
= x 2 + 2x − 3
= (x + 3)(x − 1).
temos
g(x) = f(f(x + 1))
x +1
x
=
x +1
−1
x
x +1
x
=
x + 1− x
x
= x + 1.
Assim, a função f o g está definida para os valores de x
tais que
(x + 3)(x − 1) ≥ 0 ⇔ x ≤ −3 ou x ≥ 1,
ou seja,
D = {x ∈
| x ≤ −3 ou x ≥ 1}.
[D]
[D]
Como f( −1) = ( −1)2 + 2 ⋅ ( −1) + 5 = 4, segue que
Desde que f(g(0)) = 0, é fácil ver que c = 5. Além disso,
sabemos que g(1) = g(2) = −5. Logo,
f(f( −1)) = f(4) = 42 + 2 ⋅ 4 + 5 = 29.
[B]
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Página 28
Lembrando que uma função só está bem definida quando
conhecemos o seu domínio, contradomínio e a lei de
associação, vamos supor que f : → e g : → .
Além disso, por exemplo, a função g o f está definida
apenas quando o contradomínio de f é igual ao domínio
de g.
Desse modo, o valor de x para o qual se tem
f(g(x)) = g(f(x)) é
x 2 − 2x + 4 − 3 = (x − 3)2 − 2(x − 3) + 4 ⇔ x 2 − 2x − 3 = x 2 − 6x + 9 − 2x + 6
⇔ 6x = 15 + 3
⇔ x = 3.
A função g(x) = x 2 − 6x + 1 é
crescente para todo x ∈ [3, ∞ )
(08) Verdadeiro.
(f o g)(x) = f(g(x)) = 5(x2 − 6x + 1) − 2) = 5x 2 − 30x + 5 − 2
é uma parábola.
(16) Falso. Considerando as funções f e g, ambas com
domínio e contradomínio real, temos:
f(x) = 5x − 2
I.
f −1(x) =
com D = ℜ e CD = ℜ
x+ 2
com D = ℜ e CD = ℜ
5
II.
Sabendo que o vértice do gráfico de f é o ponto
V = (1, 1), segue que
2
2
f(x) = 1⋅ (x − 1) + 1 = x − 2x + 2.
g(x) = x 2 − 6x + 1 com D = ℜ e CD = ℜ
g−1(x) = 3 + x + 8 com D = [ −8, +∞ ) e CD = [0, +∞ )
Portanto, a inversa de g possui restrição quanto ao
domínio. Logo, não admite inversa.
[C]
Dessa forma,
(g o f )(x) = 0 ⇔ k ⋅ (x2 − 2x + 2) + 4 = 0
⇔ kx2 − 2kx + (2k + 4) = 0.
Para que a equação (g o f )(x) = 0 possua soluções reais,
devemos ter k ≠ 0 e Δ ≥ 0, ou seja,
( −2k)2 − 4 ⋅ k ⋅ (2k + 4) ≥ 0

 e
⇔

k ≠ 0
k 2 + 4k ≤ 0

 e

k ≠ 0
 −4 ≤ k ≤ 0

⇔ e
k ≠ 0

⇔ −4 ≤ k < 0.
h(x) = f[g(x)]
h(x) = 40.
h(x) =
x
+1
6
20
⋅ x +1
3
01 + 08 = 09.
[A]
(01) Verdadeiro. Para qualquer
x ∈ Q → Im(f ) ∈ I (I → Conjunto dosIrracionais)
I. Falsa, pois C(x) = 125 + 1,5x.
(02) Falso.
 x1 = 3 + 2 2
g(x) = 0 ⇒ x2 − 6x + 1 = 0 ⇒ 
 x 2 = 3 − 2 2
(04) Falso.
A função f(x) = 5x − 2 é crescente para todo x ∈
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II. Verdadeira. Como o lucro da produção é de 25% temos
V(C) = 1,25 ⋅ C.
III. Verdadeira, pois C(400) = 125 + 1,5 ⋅ 400 = R$ 725,00.
IV. Verdadeira, pois V(C(x)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5x).
V. Verdadeira, pois V(C(100)) = 1,25 ⋅ (125 + 1,5 ⋅ 100) = 1,25
⋅ 275 = 343,75.
Página 29
Apenas as afirmações II, III, IV e V são VERDADEIRAS.
[B]
f(g(x)) − g(f(x)) = −2
( x − 1)
2
2
(
2
)
+ 1− x + 1
2
+ 1 = −2
x 4 − 2x 2 + 2 − x 4 − 2x 2 = −2
f −1(x) + 5
(
)
⇒ x ⋅ f −1(x) + 3 = f −1(x) + 5 ⇒ x ⋅ f −1(x) + 3x = f −1(x) + 5 ⇒ f −1(x) ⋅ ( x − 1) = 5 − 3x ⇒
f −1(x) + 3
5 − 3x
f −1(x) =
com domínio {x ∈ R/x ≠ 1}
x −1
x=
x2 − 1 = 0
Calculando o produto P das raízes temos: P = −1: 1 = −1.
O contradomínio de uma função inversível é o domínio de
sua inversa, portanto, y0 = 1.
[D]
a) As raízes de f são tais que
f ( f ( x ) ) = 9x + 8
a ( ax + b ) + b = 9x + 8
a2 x + b ( a + 1) = 9x + 8
a2 = 9, logo a = 3 ou a = −3.
1 3 1 2
1 
3
x − x = 0 ⇔ x2  x −  = 0
3
2
3 
2
3
⇔ x = 0 ou x = .
2
b) Note que h(x) = f(x) + c. Além disso, do gráfico de f,
Considerando a = 3, temos:
b ( 3 + 1) = 8
b=2
( x − 2)
Logo f ( x ) = 3x + 2 e f −1 ( x ) =
3
OBS: Poderíamos também ter considerado a = −3.
sabemos que (0, 0) é um ponto de máximo local e
1

 1, −  é um ponto de mínimo local. Portanto, para
6

que o gráfico de h intersecte o eixo x em um único
1
ponto, deve-se ter c < 0 ou c > .
6
c) Como g(x) = | f(x) |, basta refletirmos a parte negativa
do gráfico de f em relação ao eixo das abscissas.
[A]
A função composta g(f(x)) será dada por:
g ( f(x) ) =  x 2 + 2x + 1 


2
g ( f(x) ) = x 2 + 2x + 1 para x ≥ −1
Portanto, o seu gráfico é o da alternativa [A] (apenas o
ramo direito da parábola).
[A]
Resolução Função Modular
[D]
Determinando a função inversa de f, temos:
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 n, se n ≥ 0
Lembrando que | n | = 
, vem
−n, se n < 0
 x + 1, se x ≥ −1
| x + 1| = 
− x − 1, se x < −1
e
 x − 1, se x ≥ 1
| x − 1| = 
.
− x + 1, se x < 1
Página 30
[B]
Logo, tem-se
−2x, se x < −1

f(x) =  2, se − 1 ≤ x < 1
 2x, se x ≥ 1

e, portanto, o gráfico de f é o da alternativa [A].
[A]
− x + 1, se x ≤ 1
Tem-se que f(x) = 
. Portanto, o gráfico da
 x − 1, se x > 1
alternativa [A] é o que representa f.
[C]
Considere a figura.
3x

2y = 3x ⇒ y = 2

2
y = x ⋅ x − 1

x
3x
x2 − 1
= x⋅
2
x
As abscissas dos pontos de interseção dos gráficos de f e
g são tais que
se x > 0 ⇒
3x x 2 − 1
=
⇒ x = 2 ⇒ P(2,3)
2
1
se x < 0 ⇒
3x
x2 − 1
=−
⇒ x = −2 ⇒ Q( −2, −3)
2
1
logo, PQ =
( − 2 − 2)2 + ( −3 − 3)2 = 52 = 2 13
[E]
Analisando a função em cada intervalo, temos:
f(x) = g(x) ⇔ | x | = 1 − | x |
1
2
1
⇔x=± .
2
⇔|x|=
Logo, como o gráfico da função g corresponde ao gráfico
Portanto, o gráfico da função é:
da função h(x) = − | x |, deslocado de uma unidade no
sentido positivo do eixo das ordenadas, obtemos a figura
acima.
É fácil ver que o polígono determinado pelos gráficos de f
e g é um quadrado cuja diagonal mede 1. Portanto, a área
desse quadrado é igual a
12
= 0,5.
2
[A]
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f(x) sofre uma translação vertical
Página 31
g(x) sofre uma translação horizontal
Portanto, a área pedida é dada por
6⋅8
= 24 u.a.
2
F – F – F – V – F.
 x + 1, se x ≥ −1
e
Como | x + 1| = 
− x − 1, se x < −1
 x − 1, se x ≥ 1
| x − 1| = 
, segue que
− x + 1, se x < 1
A parte negativa de h(x) é multiplicada por –1.
 −2, se x < −1

f(x) = | x + 1| − | x − 1| = 2x, se − 1 ≤ x < 1.
 2, se x ≥ 1

Assim, o gráfico de f é:
a) Tomando como referência o ponto (1,2) destacado no
gráfico, temos:
2 = 2.1 + 1 + p ⇔ 1 + p = 0 ⇔ p = −1.
b)
Portanto, como o gráfico de f é simétrico em relação à
origem do sistema de eixos cartesianos, segue que f é
ímpar. Além disso, f não é positiva, pois f(x) < 0 para
< 0.− 12Ûx
Do gráfico,
concluímos
2x + x − 3 = 12 ⇔ x − 3 = 12 − 2x ⇔ x − 3 = 12 − 2x ou x − 3 =x 2x
= 5 ou
x = 9. que f não é injetora, pois
existem infinitos pontos de interseção entre as retas
y = −2 e y = 2 com o gráfico de f.
x = 9 não convém, pois 12 – 2.9 < 0.
Ainda do gráfico, temos que a imagem de f é o intervalo
Portanto, o valor de x que satisfaz a equação é 5.
fechado [ −2, 2].
1
1
 1
Se x = e y = 2, vem f   = 2 ⋅ = 1, f(2) = 2 e
[D]
2
2
2
 1
f   + f(2) = 1 + 2 = 3. Por outro lado,
φ, se φ ≥ 0

2
, para todo φ real,
Sabendo que | φ | = 
−
φ
,
se
φ
<
0

1

5
 1
f  + 2  = f   = 2 ≠ 3 = f   + f(2).
segue que a relação | 3x | + | 4y | = 12 determina o losango
2

2
2
de diagonais 6 e 8, conforme a figura abaixo.
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Página 32
[B]
Observando os gráficos desenhados ao lado e considerando
o intervalo - 5 < x < 5 a resposta C está adequada.
De acordo com o gráfico, temos 5 pontos de Intersecção
entre as funções f(x) e y = 1.
Portanto, a equação dada possui 5 raízes.
[B]
I. (falsa) O gráfico de g(x) não é simétrico em relação ao
eixo das ordenadas.
II. (falsa) A equação apresenta infinitas raízes para x > 4
III. (verdadeira) −4 + 0 + 4 + 0 + 4 = 4
IV. (falsa), pois f(2) < g(2)
[E]
Se x ≥ 0 e y ≥ 0 ⇒ x + y = 2.
Se x ≥ 0 e y < 0 ⇒ x − y = 2.
Se x < 0 e y < 0 ⇒ − x − y = 2.
Se x < 0 e y ≥ 0 ⇒ − x + y = 2.
2
2
Calculando o lado d do quadrado, temos: d = 2 + 2
⇒ d = 2 ⋅ 2.
2
Logo, o perímetro P será dado por P = 4 ⋅ d = 8 2.
[C]
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Página 33

Função Afim

Transcrição

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