Equaçoes Diferenciais Parciais

Equaçoes Diferenciais Parciais
Objectivos:
É um primeiro contacto do aluno com as equações em derivadas parciais. Queremos conhecer os
principais tipos de equações: parabólicas, elı́pticas e hiperbólicas. Comenzamos por os principais
modelos de equações de primeira ordem e as leyes de conservação. A continuação, estudaremos
algumas técnicas de resolução: método de separação de variaveis e analise de Fourier e a sua
aplicação as equações de seconda ordem: equação do calor, ondas e Laplace. Tambên analisaremos
o comportamento qualitativo das soluções destas equações.
Conteúdo programático:
1. Introduçao às equações em derivadas parciais.
1.1 Geralidades
1.2 Clasificação em equações do tipo elı́ptico, parabólico e hiperbólico.
2. Equações de Primeira ordem.
2.1 Modelos de de transporte. Equação de Burgers.
2.2 Introducção as leyes de conservação:
• Ondas de choque;
• Condição de entropı́a.
3. Series de Fourier. Espaço de Hilbert. Sistemas ortoganais.
4. Método de separação de variaveis.
4.1 Aplicação à Equação do calor.
4.2 Aplicação à Equação de Laplace.
4.3 Aplicação à Equação de ondas.
5. Comportamento qualitativo das soluções das principais equações clásicas
3.1 Equação de Laplace. Fórmulas do valor meio. Propiedades das funções armónicas.
Função de Green. Lema de Hopf.
2
3.2 Equação do Calor. Fórmulas do valor meio. Principio do máximo. Propagação com
velocidade infinita. Solução fundamental.
3.3 Equação de ondas. Propagação com velocidade finita. Consevação da energı́a.
BIBLIOGRAFÍA:
• SALSA, S., Partial differential equations in action from modelling to theory, Springer, 2008.
• PERAL, I., Primer curso de Ecuaciones en Derivadas Parciales.
Pode-se descargar en http://www.uam.es/personal pdi/ciencias/ireneo/libro.pdf.
• EVANS, L.C. Partial differential equations, AMS.