III Lista de Exerc´ıcios - Mecânica dos Fluidos II

III Lista de Exercı́cios - Mecânica dos Fluidos II
1. Considere as seguintes equações paramétricas da trajetória de uma partı́cula material
X = (X1 , X2 , X3 ):
x1 = (k + X1 )t + X1 ,
x2 = X2 ,
x3 = X3 ,
em que k é uma constante.
(a) determinte a velocidade e a aceleração de uma partı́cula que encontra-se inicialmente na origem;
(b) determine o campo de velocidade local u(x, t).
(c) determine as equações paramétricas da linha de corrente que passa pelo ponto
a = (a1 , a2 , a3 );
(d) determine as equações paramétricas da linha de emissão formada pelas partı́culas
que passam pelo ponto y = (y1 , y2 , y3 ) no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ τ .
2. Considere um escoamento bidimensional caracterizado pelo seguinte campo de velocidade:
u = (kx1 , −kx2 , 0),
em que k é uma constante. Considere que, no instante t = 0, a partı́cula X tenha
coordenadas materiais X = (X1 , X2 , X3 ):
(a) determine a equação da trajetória da partı́cula X e a equação da linha de corrente
passando pelo ponto a = (a1 , a2 , a3 ). Existe alguma particularidade quando estas
equações são comparadas? Justifique a sua resposta.
(b) Considere quatro pontos materiais com coordenadas (1, 1), (1, 2), (2, 2) e (2, 1) no
instante t = 0. Encontre a posição destes pontos para t = 1, 3, 5 e 10 unidades
de tempo (considere k = 1). Associe a caracterı́stica de compressibilidade ou
incompressibilidade deste escoamento com a evolução da área do quadrilátero cujos
vértices são definidos pelos quatro pontos materiais.
(c) Seja c(x) a concentração local de algum poluente neste campo de escoamento, a
qual é dada explicitamente por:
c(x1 , x2 ; t) = βx21 x2 exp(−kt),
com x2 > 0 e β constante. Determine a taxa de variação da concentração seguindo
o movimento de uma partı́cula material.
3. Seja u o campo de velocidade de um escoamento bidimensional incompressı́vel. Então
podemos escrever u = ∇ × B, com B = (0, 0, ψ) (componentes do vetor dadas em um
sistema cartesiano) e ψ uma função escalar. Mostre que, se u é um campo irrotacional,
então a função ψ satisfaz a equação de Laplace, ∇2 ψ = 0.
4. Em sala de aula foi mostrada a relação entre a função de corrente ψ e as linhas de corrente de um escoamento. Utilizando a definição de ψ para escoamentos bidimensionais
incompressı́veis, mostre que a função ψ é constante ao longo de uma linha de corrente,
ou seja,
(u · ∇)ψ = 0.
5. Considere um escoamento incompressı́vel tridimensional com simetria axial. Em coordenadas cilı́ndricas polares (r, φ, z) o vetor velocidade possui a forma
u(r, z) = vr (r, z)er + vz (r, z)ez ,
sendo que u é independente do ângulo polar φ. Mais ainda, a velocidade na direção
eφ é nula. A configuração do escoamento é idêntica em todo plano que passa pelo eixo
de simetria, definido pela direção ez . Note que, como no caso bidimensional, existem
apenas duas componentes da velocidade diferentes de zero e apenas duas coordenadas
efetivas. Portanto, se o escoamento é incompressı́vel, podemos definir uma função de
corrente Ψ, a qual é chamada função de corrente de Stokes.
Em coordenadas esféricas (r, θ, φ), o vetor velocidade u para um escoamento com simetria axial possui a forma
u(r, θ) = vr (r, θ)er + vθ (r, θ)eθ ,
em que θ é o ângulo entre er e a direção ez do eixo de simetria.
As relações entre Ψ e as componentes vr e vθ da velocidade são dadas por:
vr =
1
r 2 sin θ
∂Ψ
,
∂θ
vθ = −
1 ∂Ψ
.
r sin θ ∂r
Mostre que o campo de velocidade definido acima em termos da função Ψ(r, θ, φ) satisfaz
a equação da continuidade para escoamento incompressı́vel.