Vigas Contínuas

FACENS
FACULDADE DE ENGENHARIA DE SOROCABA
TEORIA DAS ESTRUTURAS
VIGAS CONTÍNUAS
Prof. JOSÉ LUIZ F. de ARRUDA SERRA
SUMÁRIO
01. Hipóteses e conceitos preliminares .........................................................................01
1.1 – Introdução .......................................................................................................01
02. Coeficientes fundamentais relativos à barra e a carga .............................................02
2.1 – Fatores de forma G`,G e F .............................................................................02
2.2 – Reações fictícias A e B .................................................................................. 03
03. Exercícios propostos ................................................................................................ 03
04. Fatores ou termos de carga E e D ............................................................................04
05. A equação dos três momentos ................................................................................. 05
5.1 – Introdução .......................................................................................................05
5.2 – Dedução da equação dos três momentos ........................................................ 05
5.3 – Equação dos três momentos caso barras prismáticas .....................................07
5.4 – Engastamento .................................................................................................08
5.5 – Extremidades articuladas ou com balanço ..................................................... 09
5.6 – Roteiro ............................................................................................................09
5.7 – Exemplo número 5.1 – Viga com barras prismáticas .....................................10
5.8 – Exemplo número 5.2 – Barras com mísulas ................................................... 12
5.9 – Exemplo número 5.3 – Viga simétrica ........................................................... 14
06. Outros coeficientes relativos à barra, à carga e às condições de extremidade ........16
6.1 – Coeficiente de transmissão ou propagação  ................................................. 16
6.2 – Coeficiente de rigidez ao giro  .....................................................................17
6.2.1 – Caso “outra extremidade engastada” ................................................. 17
6.2.2 – Caso “outra extremidade articulada” ................................................. 18
6.3 – Convenção de Grinter para momentos fletores nas vizinhanças do nós ........18
6.4 – Momentos de engastamento perfeito .............................................................. 18
6.4.1 – Barra bi-engastada .............................................................................. 18
6.4.2 – Barra engastada-articulada .................................................................19
6.4.3 – Barra articulada-engastada .................................................................19
6.5 – Observações sobre os coeficientes .................................................................22
07. O Processo de Cross ................................................................................................ 23
7.1 – Introdução .......................................................................................................23
7.2 – Coeficiente de distribuição  ..........................................................................23
7.3 – Roteiro para determinação dos momentos fletores sobre os apoios ............... 24
7.4 – Exemplo número 7.1 ...................................................................................... 25
7.5 – Vigas contínuas com balanço .........................................................................28
7.6 – Exemplo 7.3.....................................................................................................29
08. Engastamento elástico ............................................................................................. 31
8.1 - Exemplo número 8.1 ....................................................................................... 31
09. Recalques de apoio e variação de temperatura ......................................................... 33
10. Simplificações de simetria ....................................................................................... 34
10.1 – Eixo de simetria sobre um apoio ..................................................................34
10.2 – Eixo de simetria divide ao meio o vão central .............................................35
10.3 – Engastamento móvel .................................................................................... 36
10.4 – Exemplo ........................................................................................................37
11. Exercícios propostos ................................................................................................ 38
ANEXO 01 – Linhas de Influência de vigas contínuas .................................................. 39
A1.1 – Teorema de Müller-Breslau ........................................................ 39
A1.2 – Exemplo de aplicação .................................................................40
1 - HIPÓTESES E CONCEITOS PRELIMINARES
1.1 - INTRODUÇÃO
Vamos nos limitar ao estudo de estruturas reticulares, isto é, formada por barras. Todo
o estudo será feito segundo o Método Clássico, que se baseia nas seguintes hipóteses:
1) validade das equações de equilíbrio da Mecânica Geral;
2) continuidade da estrutura, isto é, as linhas elásticas das barras retas não possuem
pontos angulosos e os ângulos entre as tangentes às linhas elásticas de várias barras
concorrentes em um nó rígido, se conservam constantes;
3) aplicabilidade das hipóteses da Resistência dos Materiais para materiais elásticos
(conservação das seções planas, proporcionalidade entre tensões e deformações;
4) superposição de efeitos, isto é, o efeito produzido por vários esforços atuando
simultaneamente é igual a soma dos efeitos de cada esforço atuando isoladamente.
Dentro do método clássico, diversas marchas de cálculo podem ser estabelecidas para
a solução de um problema. A cada uma destas marchas de cálculo dá-se o nome de Processo
de Cálculo. Assim, dentro do Método Clássico para solução de estruturas hiperestáticas,
podemos usar por exemplo:
1) O Processo dos Esforços
2) O Processo dos Deslocamentos
3) O Processo de Cross
etc..
Neste trabalho vamos estudar os dois processos manuais mais usados para solução de
vigas contínuas; a equação dos três momentos e o processo de Cross, ambos baseados no
Método Clássico.
Inicialmente serão apresentados os fatores de forma e reações fictícias que são os
coeficientes fundamentais relativos à barra e a carga. Todos os outros coeficientes: termos de
carga, coeficientes de propagação ou transmissão, coeficientes de rigidez e distribuição, assim
como os momentos de engastamento perfeito são deduzidos em função dos fatores de forma e
reações fictícias.
Após definidos os coeficientes fundamentais – fatores de forma e reações fictícias – e
dos termos de carga, deduz-se a equação dos três momentos para solução de vigas contínuas,
apresentando-se exemplos. Segue a dedução dos outros coeficientes necessários para o
Processo de Cross, em cuja fase será apresentado uma solução simples para os engastamentos
elásticos
1
2 - COEFICIENTES FUNDAMENTAIS RELATIVOS À BARRA E À CARGA
Dada uma barra AB de eixo retilíneo tem-se os coeficientes fundamentais:
2.1 - FATORES DE FORMA G ‟ , G e F
São os giros que aparecem nas extremidades de uma barra simplesmente apoiada,
quando submetida a um momento adimensional unitário em uma das extremidades. Positivos
quando no sentido indicado nas figuras 2.1.
Figura 2.1 – Fatores de Forma
Aplicando-se a técnica da carga unitária, o PTV fornece as expressões dos fatores de
forma:
G‟=
ò
0
( - x) 2
dx .................................................................................... (2.1)
EI 2
G =
ò
x2
dx ......................................................................................... (2.2)
EI 2
F=
ò
x ( - x)
dx ..................................................................................... (2.3)
EI 2
0
0
Dimensão: [G ‟] = [G ] = [F ] = (FL)-1
Caso a barra seja prismática, EI = constante, obtém-se resolvendo as integrais:
G‟=G =2F =
3 EI
............................................................................... (2.4)
2
Notar que o nome fatores de forma é conveniente pois estes fatores dependem apenas
da forma da barra – além naturalmente do material que define o módulo de elasticidade E –
pois o carregamento é sempre um momento unitário aplicado em uma das extremidades da
barra.
2.2 – REAÇÕES FICTÍCIAS A E B
São os giros que aparecem nas extremidades de uma barra bi-apoiada, submetida a um
carregamento qualquer. Positivos no sentido indicado.
Aplicando
o
P.T.V.,
com
os
carregamentos unitários dados na figura
2.1, obtém-se:
A=
ò
M ( - x)
dx ................. 2.5
EI
B=
ò
M x
dx ......................... 2.6
EI
0
0
Figura 2.2 – Reações Fictícias
O nome reações fictícias se justifica devido a analogia de MOHR. Caso se carregue a
viga com a carga p = M/EI as reações de apoio serão A e B.
As reações fictícias são adimensionais (radianos).
3 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS – Calcular as Reações Fictícias
P ab
A=
( + b)
6 EI
P ab
B=
( + a)
6 EI
q 3
A = B=
12 EI
3
P 2
A=
24 EI
B=
5P 2
96 EI
Figura 3.1 - Exercícios
4 – FATORES OU TERMOS DE CARGA E E D
Estes coeficientes são derivados dos coeficientes fundamentais anteriormente
deduzidos e são utilizados pela equação dos três momentos no caso de barras prismáticas.
Por definição:
E = A /F ................................................................................................... (4.1)
D = B /F .................................................................................................. (4.2)
Os fatores de carga E e D têm dimensão de momento, [FL].
Notar que para o caso de barras prismáticas, EI = constante, os fatores de carga não
dependem de EI, resultando valores simples. A Tabela 01 apresenta os valores de E e D
para barras prismáticas submetidas a diversos carregamentos, que compostos cobrem
praticamente todas as combinações de carga, deslocamentos impostos (recalques) e variações
de temperatura que podem atuar nas barras em geral.
4
5 – A EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS
5.1 – INTRODUÇÃO
A solução de um viga contínua pelo processo dos esforços pode ser bastante
simplificada quando se adota para incógnitas hiperestáticas os momentos nas seções sobre os
apoios. A solução com este esquema estático torna-se bastante simples resultando em um
sistema linear de equações onde todas as equações são formalmente iguais e o sistema é
tridiagonal. Qualquer equação do sistema é conhecida como equação dos três momentos
5.2 – DEDUÇÃO DA EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS
A figura 5.1 a), representa uma viga contínua, carregada por um sistema arbitrário de
cargas verticais. Os apoios estão numerados da esquerda para a direita, 0, 1, 2,..., i-1, i, i+1,...
5
e os tramos da viga por 1, 2,..., i-1, i, i+1, etc., coincidindo desta maneira o índice de cada
tramo com o índice do apoio à direita.
Na figura b) está representado o esquema isostático fundamental para a solução da
viga, onde as incógnitas hiperestáticas são os momentos sobre os apoios, considerados
positivos quando tracionam as fibras inferiores, em concordância com a convenção usual.
As figuras c), d), e), f), g) e h), ilustram os diagramas de M0, Mi-2, Mi-1, Mi, Mi+1 e
Mi+2, isto é, os diagramas dos momentos fletores da estrutura isostática fundamental
submetida ao carregamento (M0) e esforços unitários na direção das incógnitas hiperestáticas
(Mi-2,..., Mi+2).
O sistema de equações de compatibilidade de deslocamentos que resolve este
problema pelo processo dos esforços é:
11 M1 + 12 M2 + . . . + 1i M i + . . . + 1n M n =  10
21 M1 + 22 M2 + . . . + 2i M i + . . . + 2n M n =  20

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i1 M1 + i2 M2 + . . . + ii M i + . . . + in M n =  i0 ............................. (5.1)
n1 M1 + n2 M2 + . . . + ni M i + . . . + nn M n =  n0
onde, dij =
ò
e, D i 0 =
Mi M j
ò
EI
ds ......................................................................................... (5.2)
Mi M0
ds ....................................................................................... (5.3)
EI
As integrais são estendidas a toda estrutura e estão desprezados os efeitos da força
cortante e força normal na deformação dos elementos da viga.
Devido as características particulares dos diagramas de Mi, i  0, é fácil observar que:
 i j = 0, sempre que i – j  2 ........................................................................ (5.4)
6
Figura 5.1 – Equação dos três momentos
7
Assim, tem-se a i-ésima equação do sistema reduzida apenas aos três termos:
 i, i-1 M i-1 +  i, i M i +  i, i+1 M i+1 =   i 0 ............................................... (5.5)
Calculando os deslocamentos e lembrando a definição dos fatores de forma G’ ,G e F
e das reações fictícias A e B , tem-se:
 i, i-1 = F i .................................................................................................... (5.6)
 i, i = G i + G’ i+1 ....................................................................................... (5.7)
 i, i+1 = F i+1 ................................................................................................. (5.8)
i0 = Bi + A
i+1
....................................................................................... (5.9)
Os índices dos fatores de forma e das reações fictícias indicam a barra respectiva.
Substituindo esses valores na i-ésima equação do sistema, obtém-se:
F i Mi-1 + (G i + G’ i+1) Mi + F i+1 Mi+1 =  (B i + A i+1) ........................... (5.10)
Esta equação (5.10) é conhecida como equação dos três momentos.
Cada vez que se aplica a equação dos três momentos para um apoio i, é estabelecida
uma relação entre o momento fletor que atua sobre o apoio i, com os momentos fletores que
atuam nos nós anterior, i-1, e posterior, i+1,ou seja, três apoios consecutivos da viga contínua.
Daí o nome equação dos três momentos.
5.3 - EQUAÇÃO DOS TRÊS MOMENTOS CASO BARRAS PRISMÁTICAS
No caso de viga formada por barras prismáticas, Ei Ii = constante para cada barra
genérica i, introduzindo os fatores de carga E e D , tem-se:
G’ = G = 2F = /3EI ............................................................................. (5.11)
A = E F ou A =E /6EI ......................................................................... (5.12)
B = D F ou B =D /6EI ...................................................................... (5.13)
Substituindo na equação (5.6) e multiplicando por 6, obtém-se:
æ
ö
æ
ö
i+ 1
çç i D + i+ 1 E ÷
÷
÷
M i- 1 + 2 ççç i + i+ 1 ÷
M
+
M
=
i
i+ 1 ÷ .......... (5.14)
÷
÷ i EI i+ 1 i+ 1
÷
EIi
EI i+ 1
èç EI i EI i+ 1 ø
èçç EI i
ø
i
Esta equação é denominada equação dos três momentos caso barras prismáticas.
O número de equações do sistema para uma determinada viga, é exatamente igual ao
número de apoios intermediários onde ocorrem os momentos incógnitas (mais os eventuais
engastes nos apoios extremos). Ter-se-á então que resolver um sistema linear de n equações a
n incógnitas, onde n é o grau de hiperestaticidade da viga contínua, que coincide com o
número de apoios intermediários mais os eventuais engastes.
O sistema formado constitui uma forma particular de um sistema de equações, uma
vez que é tridiagonal, isto é, tem coeficientes não nulos apenas na diagonal principal e nas
duas diagonais adjacentes.
8
A grande vantagem sobre o processo dos esforços usual, reside no fato de não haver
necessidade de construir os diagramas de momentos fletores M0, M1, M2, ... Mn para a
estrutura. isostática fundamental, e calcular os coeficientes do sistema de equações através do
produto de duas funções. Com o emprego da equação dos três momentos, no caso usual de
vigas com barras prismáticas, há necessidade de se determinar apenas os termos de carga E e
D para os diversos tramos da viga contínua, o que é realizado através da tabela 01.
Após a solução do sistema de equações que determina os momentos fletores nos
apoios, o próximo passo é a determinação do diagrama de momentos fletores para toda a viga
e também do diagrama de força cortante e reações nos apoios. Os valores das forças cortantes
nas vizinhanças dos apoios, podem ser obtidos através da análise da viga isostática
fundamental, que nada mais é que uma seqüência de vigas simplesmente apoiadas
(eventualmente com balanço), submetidas ao carregamento dado mais os momentos - já
determinados - aplicados nas seções sobre os apoios.
5.4 - ENGASTAMENTO
No caso de um dos apoios extremos da viga contínua ser um engastamento, o
procedimento a ser seguido é baseado no raciocínio ilustrado na figura 5.2.
Figura 5.2 - Engastamento
Considere-se a viga contínua da figura 5.2 com 1 tendendo a zero. Neste caso a
tangente à elástica tende a coincidir com o eixo da viga, ou seja, o apoio 1 se comporta como
um engastamento quando 1  zero.
Assim, a análise de vigas contínuas com engastamento pode ser feita usando-se a
mesma equação dos três momentos, apenas substituindo-se o engastamento por um apoio fixo
9
mais um apoio móvel - imaginários - tornando nulo o comprimento do tramo fictício entre
esses dois apoios.
5.5 - EXTREMIDADES ARTICULADAS OU COM BALANÇO
Na extremidade articulada, obviamente M igual a zero ou M igual ao valor do
momento puro aplicado caso exista (positivo quando traciona as fibras inferiores).
Caso ocorra balanço ele deve ser substituído pelos seus efeitos, e neste caso a
extremidade resulta articulada e submetida a uma carga concentrada e um momento
resultantes do carregamento oriundo do balanço. A força concentrada só afetará a reação neste
apoio e o momento, com o sinal respectivo na convenção usual – tração “em baixo” positivo é computado na primeira ou última equação do sistema, como M0 ou Mn conforme o balanço
ocorra na extremidade esquerda ou direita, respectivamente.
5.6 - ROTEIRO
Em síntese, pode-se seguir a seguinte seqüência para análise de vigas contínuas pela
equação dos três momentos:
1) Desenha-se a viga indicando todas as cargas aplicadas. Caso exista engastamento
substitui-se por dois apoios, um fixo e o outro móvel, tomando-se o comprimento
do tramo entre eles igual a zero. Caso exista um balanço, substitui-se o balanço
pelos seus efeitos;
2) Numera-se da esquerda para a direita todos os apoios, a partir do zero, bem como
os tramos a partir do número 1;
3) Determina-se para cada tramo os termos de carga E e D conforme tabela anexa;
4) Aplica-se a equação dos três momentos para cada apoio intermediário, montando
um sistema tridiagonal de n equações (n = número de apoios intermediários);
5) Resolve-se o sistema de equações obtido, encontrando os momentos fletores que
atuam sobre os apoios da viga contínua;
6) Através de equações de equilíbrio determinam-se os valores das forças cortantes e
momentos fletores nos pontos de descontinuidade do carregamento necessários para
o traçado completo destes diagramas.
10
5.7 - EXEMPLO NÚMERO 5.1 – VIGA COM BARRAS PRISMÁTICAS
Figura 5.3 – Exemplo número 1
11
Solução:
a) Cálculo dos fatores de carga
Utilizando a TABELA 01 temos:
Tramo 0-1
Tramo fictício: , E e D nulos.
Tramo 1-2 (simétrico)
E=D=
ö
p 2 Pab æ
bö
1´ 82 2´ 4´ 4 æ
÷
ç
çç1 + 4 ÷
+
=
+
÷
÷
ççè1 + ø
÷
÷= 16 + 6 = 22, 00 tm
4
4
8 èç 8 ø
Tramo 2-3
E=
Pab æ
çç1 +
çè
bö
Pab æ
÷
ç1 +
+
÷
÷
ø
èçç
bö
4´ 2 ´ 4 æ
÷
çç1 +
=
÷
÷
ø
6 èç
4ö
5´ 4 ´ 2 æ
÷
çç1 +
+
÷
÷
6ø
6 èç
2ö
÷
÷
÷= 8,89 + 8,89 = 17,78 tm
6ø
D=
ö Pab æ a ö
ö 5´ 4 ´ 2 æ 4 ö
Pab æ
4´ 2 ´ 4 æ
çç1 + a ÷
çç1 + ÷
çç1 + 2 ÷
çç1 + ÷
+
=
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷+
÷= 7,11 + 11,11 = 18, 22 tm
èç
ø
èç
ø
6 èç 6 ø
6 èç 6 ø
Tramo 3-4 (simétrico)
E=D=
p 2 2´ 82
=
= 32, 00 tm
4
4
Balanço à direita
M4 = 
p 2 2´ 2 2
=
= - 4, 00 tm (tração nas fibras superiores)
2
2
b) Montagem e solução do sistema de equações
Este item, nos cálculos manuais, é facilitado adotando-se o produto de inércia EI de
uma barra típica da estrutura igual a unidade, ajustando-se todos os EI envolvidos em função
deste. No caso presente, como não foram fornecidos no enunciado os valores absolutos dos
produtos de inércia, há necessidade de adotar um valor para eles, preservando-se as relações
indicadas na figura 5.3 a).
Convém lembrar nesta oportunidade que a distribuição dos esforços em uma estrutura
hiperestática trabalhando no regime elástico-linear e em teoria de primeira ordem depende
apenas da relação entre as “rigidezes” das barras, não influindo seus valores absolutos. Os
valores absolutos influem apenas nas deformações e deslocamentos.
Como a extremidade 0 é um engastamento deve ser substituído por um apoio fixo mais
um apoio móvel supondo nulo o comprimento do tramo entre eles. Como a extremidade 4 é
um balanço, substitui-se o balanço pelos seus efeitos, obtendo-se M3 = - 4,00 tm (o sinal
negativo é devido a convenção usual: tração “em baixo” positivo).
A figura 6.3 b) contém os valores relevantes para a montagem do sistema de equações
e para facilitar o acompanhamento repete-se aqui a equação dos três momentos para o caso de
barras prismáticas.
12
æ
ö
æ
ö
i+ 1
çç i D + i+ 1 E ÷
÷
÷
M i- 1 + 2 ççç i + i+ 1 ÷
M
+
M
=
i
i+ 1 ÷
÷
÷ i EI i+ 1 i+ 1
÷
EIi
EI i+ 1
èç EI i EI i+ 1 ø
èçç EI i
ø
i
0 + 2 (0 + 6,4) M1 + 6,4 M2
=  (0 + 22,00 x 6,4)
6,4 M1 + 2 (6,4 + 6,0) M2 + 6,0 M3
=  (22,00 x 6,4 + 17,78 x 6,0)
6,0 M2 + 2 (6,0 + 4,0) M3 + 4,0 (-4,0) =  (18,22 x 6,0 + 32,00 x 4,0)
Agrupando os termos semelhantes, obtém-se:
=  140,80
12,80 M1 + 6,40 M2
6,40 M1 + 24,80 M2 + 6,00 M3 =  247,48
6,00 M2 + 20,0 M3 =  221,32
Resolvendo:
M1 =  8,21tm
M2 =  5,59tm
M3 =  9,39tm
c) Cálculo das forças cortantes e reações
Este cálculo pode ser feito em um esquema na própria estrutura, conforme fig. 5.3 c),
através das ações dos nós sobre as barras. Como os momentos sobre os apoios e no
engastamento são conhecidos, o problema se resume à solução de uma seqüência de vigas
simplesmente apoiadas. Calculando-se para cada viga o momento de todos os esforços em
torno de uma extremidade, como  M = 0, determina-se a força vertical na outra extremidade.
Esta força, a menos do sinal, é a cortante na seção. A soma vetorial das forças verticais à
esquerda e direita de um apoio, resulta a reação neste apoio.
d) Diagramas de M e Q
Conforme mostra a figura 5.3 d).
5.8 - EXEMPLO NÚMERO 5.2 – BARRAS COM MÍSULAS
Neste exemplo vamos resolver a viga contínua da figura 5.4 a). As barras são de seção
retangular, com largura constante e altura variando segundo uma parábola (mísulas
parabólicas).
a) Cálculo dos fatores de forma G’ , G e F e das reações fictícias A e B
Os valores indicados na figura 5.4 b) foram obtidos através do programa
<FATORES.EXE>, de autoria do autor e que faz parte de um pacote de programas que está
disponível para os alunos e também podendo ser copiado por qualquer pessoa interessada.
13
b) Montagem e solução do sistema de equações
F i Mi-1 + (G i + G’ i+1) Mi + F i+1 Mi+1 =  (B i + A i+1)
0 + (0,177 + 0,819) M1 + 0,642 M2
=  (0,499 + 8,326)
0,642 M1 + (0,819 + 0,177) M2 + 0
=  (8,326 + 0)
ou, 0,996 M1 + 0,642 M2
=  8,825
0,642 M1 + 0,996 M2
=  8,326
Resolvendo, obtém-se: M1 =  5,94 tm e M2 =  4,53 tm
c) Ações dos nós sobre as barras e diagramas finas na figura 5.4 c) e d).
Figura 5.4 – Exemplo número 2
14
5.9 – EXEMPLO NÚMERO 5.3 – VIGA SIMÉTRICA
A viga da figura 5.5, simétrica, tem momentos puros aplicados nos nós 2 e 3. A
solução aplicando-se a equação dos três momentos considera as seções sobre os apoios
articuladas, não podendo portanto absorver eventuais momentos puros aplicados sobre os
apoios. Nestes casos deve-se considerar os momentos aplicados imediatamente à esquerda ou
direita da seção do apoio, influindo nos fatores de carga do tramo correspondente.
Como a viga é simétrica, M0 = M5 = zero, M1 = M4, e M2 = M3. Assim, basta
estabelecer a equação dos três momentos para os apoios 1 e 2, fazendo M 3 = M2. Os
momentos de 2 tm aplicados em 2 e 3, para não afetar a simetria, podem ser considerados
aplicados imediatamente à esquerda de 2 e à direita de 3, influindo nos fatores de carga dos
trechos 1-2 e 3-4 respectivamente, ou aplicados à direta de 2 e esquerda de 3 afetando os
fatores de carga do tramo 2-3. Na solução a seguir, considerou-se os momentos atuando no
trecho 2-3.
a) Cálculo dos fatores de carga (tabela 01)
Tramo 01:
E =
1´ 36 3´ 4´ 2
2
+
(1 + ) = 14,333 tm
4
6
6
D=
1´ 36 3´ 4´ 3
4
+
(1 + ) = 15,667 tm
4
6
6
Tramo 12
E=D=
1´ 16
= 4 tm
4
Tramo 23
E=D=
1´ 36
62
0
+ 2(3 2 - 1) - 2(3 2 - 1) = 9 + 4 + 2 = 15 tm
4
6
6
b) Montagem do sistema de equações (valores na figura 5.5 b)
æ
ö
æ
ö
÷
÷
M i- 1 + 2 ççç i + i+ 1 ÷
M i + i+ 1 M i+ 1 = - ççç i Di + i+ 1 Ei+ 1 ÷
÷
÷
÷
÷
çè EI i EI i+ 1 ø
EI i
EI i+ 1
EI i+ 1
èç EI i
ø
i
0 + 2 (3 + 4) M1 + 4 M2
=  (15,667  3 + 4  4)
4 M1 + 2 (4 + 4) M2 + 4 M2 =  (4  4 + 15 4)
ou, 14 M1 + 4 M2
=  63
4 M1 + 20 M2 =  76
Resolvendo, obtém-se: M1 =  3,62 tm e M2 =  3,08 tm
c) Ações dos nós sobre as barras e diagramas finas na figura 5.5 c) e d).
15
Figura 5.5 – Exemplo número 3
16
6 – OUTROS COEFICIENTES RELATIVOS À CARGA, À BARRA E ÀS
CONDIÇÕES DE EXTREMIDADE
6.1 – COEFICIENTE DE TRANSMISSÃO OU PROPAGAÇÃO 
Seja uma barra articulada-engastada (ou engastada-articulada). Caso se aplique um
momento na extremidade articulada, ocorre uma transmissão ou propagação para a
extremidade oposta engastada. Pelo princípio da superposição de efeitos, o valor do momento
transmitido é sempre proporcional ao valor do momento aplicado, ou seja, MBA = AB MAB,
onde AB é definido como coeficiente de propagação ou transmissão.
O valor de AB pode ser facilmente determinado em função dos fatores de forma,
aplicando-se a superposição de efeitos conforme ilustra a figura 6.1.



Figura 6.1 – Coeficiente de propagação AB
O giro real do nó B vale zero. Assim, a equação de compatibilidade de giro do nó B,
fica:
0 = F MAB – G ABMAB
daí,
AB = F / G ................................................................................................ (6.1)
Caso a barra AB seja engastada articulada, procedimento análogo ao anterior conduz
ao coeficiente de propagação BA:
Figura 6.2 – Coeficiente BA
BA = F / G „ ............................................................. (6.2)
17
Caso a barra seja prismática, EI = constante, substituindo os valores dos fatores de
forma dados em (2.4), obtém-se:
AB = BA =  = 0,5 .................................................................................... (6.3)
6.2 – COEFICIENTE DE RIGIDEZ AO GIRO 
O coeficiente de rigidez ao giro de uma extremidade é numericamente igual ao
momento que deve ser aplicado nesta extremidade, para provocar um giro unitário.
6.2.1 – CASO “OUTRA EXTREMIDADE” ENGASTADA.
A figura 3.3 ilustra a superposição para determinar-se o coeficiente AB.
Figura 6.3 – Coeficiente de Rigidez AB caso barra bi-engastada
A equação de compatibilidade de giros para o nó A vale:
1 =  G’ - AB AB F
daí,
AB = 1/(G’ - AB F ) ................................................................................... (6.4)
Procedimento análogo determina o valor do coeficiente BA.
Figura 6.4 – Coeficiente BA
BA = 1/(G - BA F ) ..................................................... (6.5)
Caso a barra seja prismática, substituindo-se os valores obtidos em (2.4) obtém-se:
AB = BA =  = 4 / EI  .............................................................................. (6.6)
18
6.2.2 –CASO “OUTRA EXTREMIDADE” ARTICULADA
No caso da extremidade oposta ser articulada o momento transmitido será nulo, ou
seja,  = zero. Assim, basta substituir  = 0 na expressão respectiva de  (AB ou BA) para
obter-se o coeficiente de rigidez ao giro das barras com a outra extremidade articulada.
Caso a barra com a extremidade oposta articulada seja prismática, obtém-se:
AB = BA =  = 3 / EI  .............................................................................. (6.7)
6.3 – CONVENÇÃO DE GRINTER PARA MOMENTOS FLETORES NAS
VIZINHANÇAS DOS NÓS
Como no Processo de Cross, assim como no Processo dos Deslocamentos é necessário
analisar o equilíbrio dos nós e a convenção usual para momentos fletores é incômoda para a
análise do equilíbrio. Neste caso é usada a convenção normalmente adotada na Mecânica
Geral, e que na Teoria das Estruturas é conhecida como Convenção de Grinter para momentos
fletores nas vizinhanças dos nós, e estabelece:
Os momentos fletores serão positivos quando a ação da barra sobre o
nó for no sentido horário, ou pelo princípio da ação e reação, quando a ação
do nó sobre a barra for no sentido anti-horário.
6.4 –. MOMENTOS DE ENGASTAMENTO PERFEITO
6.4.1 – BARRA BI-ENGASTADA
Seja uma barra bi-engastada submetida a um carregamento qualquer. Os momentos
fletores trocados entre as extremidades da barra e os respectivos nós, são denominados
Momentos de Engastamento Perfeito (MEP). Estes momentos nas vizinhanças dos nós são
determinados usando-se a convenção de Grinter, conforme ilustra a figura 6.5, que inclui a
superposição para o estabelecimento das equações de compatibilidade de giros nas
extremidades necessárias para a determinação dos MEP. Os momentos indicados nas figuras
representam as ações dos nós sobre as barras, isto é, são os momentos fletores - positivos na
convenção de Grinter - que atuam nas extremidades das barras.
Figura 6.5 – Momentos de Engastamento Perfeito em barra bi-engastada
19
Como os giros nas extremidades da barra bi-engastada são nulos, tem-se:
0 = A - M ABG ' + M BAF ............................................................................. (6.8)
0 = B - M ABF + M BAG .............................................................................. (6.9)
Resolvendo para MAB e MBA resulta:
M AB =
A G - BF
G G '- F 2
e M BA =
-B G ' + A F
.......................... (6.10)
G G '- F 2
6.4.2 – BARRA ENGASTADA-ARTICULADA
Neste caso, como B é uma articulação, MBA = zero e o giro em B não é
necessariamente nulo, não valendo portanto a expressão (6.9). Assim, fazendo em (6.8) MBA
igual a zero, tem-se:
M AB =
A
e M BA = 0 ............... (6.11)
G'
Figura 6.6 – Barra engastada-articulada
6.4.3 – BARRA ARTICULADA-ENGASTADA
Para as condições de contorno desta barra, MAB = zero e não vale a expressão (6.8),
pois o giro em A não é necessariamente nulo. Aplicando MAB = 0 em (6.9), obtém-se
M AB = 0 e M BA =
-B
.............. (6.12)
G
Figura 6.7 – Barra articulada-engastada
Os momentos de engastamento perfeito de barras prismáticas, analogamente ao caso
dos fatores de carga são tabelados para os casos usuais de carregamento, deslocamentos
impostos (recalques) e variação de temperatura.
20
As TABELAS 02 fornecem os MEP para os barras bi-engastadas, engastadasarticuladas e articuladas-engastadas.
21
22
6.5 – OBSERVAÇÕES SOBRE OS COEFICIENTES
Os coeficientes fundamentais são os fatores de forma G’ , G e F e as reações fictícias
A e B . Todos os outros coeficientes: propagação , rigidez ao giro , fatores de carga E e
D e os momentos de engastamento perfeito MAB e MBA podem ser expressos em função dos
cinco coeficientes fundamentais. No caso das barras prismáticas, EI = constante, as
expressões são simplificadas e é usual tabelar-se diretamente os fatores de carga (TABELA
01) e os momentos de engastamento perfeito (MEP – TABELAS 02), para os casos usuais de
carregamento, incluindo deslocamentos impostos nos apoios e variação de temperatura.
Para as barras retas não prismáticas, isto é, com seção variável ao longo do seu
comprimento, pode-se determinar os coeficientes fundamentais calculando-se as integrais
numericamente, usando a regra do trapézio ou preferencialmente a regra de Simpson. Barras
com variação aleatória da seção não são encontradas na prática. As barras retas não
prismáticas eventualmente usadas, são as que apresentam as seguintes variações:
1. Mísulas ou Voutes – a base da seção transversal se mantém constante e a altura varia
segundo uma reta ou uma parábola.
Figura 6.8 – Variação de seção transversal em mísula ou voute
2. Variação linear de inércia – neste caso a base da seção transversal é variável linearmente
e a altura se mantém constante.
Figura 6.9 – Variação linear de inércia (plantas)
Para estes casos existem programas simples que fornecem os coeficientes, em geral
calculados através de integrais numéricas usando a fórmula de Simpson, dividindo a barra em
um número suficiente de intervalos de modo a privilegiar a precisão. Assim, o número de
intervalos deve dividir o trecho variável em pelo menos 10 ou 12 partes, implicando em geral
mais ou menos 60 divisões para a barra toda. O autor adotou em seus programas 100 divisões.
23
7 – O PROCESSO DE CROSS
7.1 – INTRODUÇÃO
O processo de Cross, muito difundido e usado nos cálculos manuais, se baseia
fundamentalmente nos coeficientes relativos à barra, à carga e às condições de extremidade.
Como a análise é feita verificando o equilíbrio dos nós, todo o procedimento usa a convenção
de Grinter para momentos fletores nas vizinhanças dos nós, conforme foi estabelecida no item
6.4. A título de reforço convém recordar que nas extremidades das barras os momentos são
positivos se têm o sentido anti-horário. Obtidos os momentos nas vizinhanças dos nós na
convenção de Grinter, deve-se passá-los para a convenção usual para traçar os diagramas de
momentos fletores.
7.2 – COEFICIENTE DE DISTRIBUIÇÃO 
Sejam n barras concorrentes em um nó B, submetido a um momento externo Mext e
cujos deslocamentos translação são impedidos – despreza-se as deformações axiais das barras
– conforme figura 7.1.
Figura 7.1 – Coeficiente de distribuição
No cálculo em teoria de primeira ordem, os ângulos i são iguais:
1 = 2 = ... = i = ... = n
Como M i = j i ´ b i , tem - se j i =
e daí ,
Mi
bi
M
M
S Mi
M1 M 2
=
= ...= i = ...= n =
( propriedade das proporções)
b1
b2
bi
bn
S bi
24
Isto é,
Chamando
Mi S Mi
b
=
ou M i = i ´ S M i
bi
S bi
S bi
bi
= mi
S bi
de coeficiente de distribuição, e lembrando que
S M i = - M ext :
M i = - mi ´ M ext ........................................................................................... (7.1)
Esta última expressão mostra que um momento externo aplicado em um nó no qual
concorrem mais de uma barra é distribuído entre as barras i concorrentes,
proporcionalmente aos respectivos coeficientes de distribuição i.
7.3 - ROTEIRO PARA DETERMINAÇÃO DOS MOMENTOS FLETORES SOBRE
OS APOIOS PELO PROCESSO DE CROSS
Neste roteiro, válido também para pórticos indeslocáveis, isto é, cujas translações dos
nós são impedidas, os momentos são considerados sempre na convenção de Grinter.
1- Todo nó intermediário é suposto bloqueado por uma ação externa qualquer; isto é, são
impedidas, de início, quaisquer rotações dos nós intermediários, que passam a se
comportar como engastamentos perfeitos. Os nós externos são deixados na situação em
que se encontram (articulados ou engastados).
2- Carrega-se a estrutura com a carga dada e determinam-se os momentos de engastamento
perfeito que as barras aplicam aos nós assim bloqueados.
3- Para cada nó intermediário J, calculam-se os coeficientes de propagação () e de rigidez
() das barras que nele concorrem. Neste cálculo o nó J é suposto articulado e o nó oposto,
de cada barra que concorre em J, é mantido na situação deixada quando do bloqueio
proposto acima.
4- Para cada nó intermediário J calculam-se os coeficientes de distribuição i = i i das
várias barras i que nele concorrem.
5- Solta-se um nó intermediário qualquer, supondo retirada a ação externa que impede a sua
rotação. Os restantes continuam bloqueados. Caso os momentos aplicados no nó
intermediário que foi solto se equilibrarem, não haverá rotação desse nó; caso contrário,
haverá um momento não equilibrado M, tudo se passando como se o conjunto de barras
concorrentes em J fossem solicitadas externamente por um momento M. Nessa situação,
cada barra i , concorrente no nó, aplicará um momento Mi = i  M.
Calculados os Mi, é necessário transmiti-los aos nós opostos. Isto é feito através dos
coeficientes de propagação ou transmissão .
O procedimento descrito neste item recebe o nome de compensação e propagação do nó
liberado.
6- Terminada a compensação de um nó, ele é novamente bloqueado na posição girada em que
se encontra. Passa-se então a liberar outro nó intermediário, repetindo para ele as
operações descritas no item anterior (compensação e propagação). Para esse nó
intermediário considerado, ao liberarmos a sua rotação no cálculo do momento não
equilibrado M, além dos momentos de engastamento perfeito das barras nele
25
concorrentes, devem ser computados os eventuais momentos transmitidos pela
compensação dos nós vizinhos.
O processo estará terminado quando todos os nós intermediários, que não eram
perfeitamente engastados na estrutura real, possam ser simultaneamente liberados sem que
apareçam momentos não equilibrados.
7- A soma dos momentos parciais que cada extremidade de barra aplica ao mesmo nó,
fornece o momento que, na estrutura real, essa barra aplica ao nó.
As várias operações do processo podem ser feitas sobre um esquema da própria estrutura,
semelhante à montagem de uma planilha de cálculo.
Três regras adicionais facilitam (e padronizam) o trabalho numérico:
a) Terminada a compensação de um nó, é conveniente passar um traço sobre os valores de
Mi. Caso seja necessário liberar o mesmo nó em outras etapas, o traço indicará que todos
os momentos escritos acima dele já estão equilibrados, sendo desnecessário computá-los
no cálculo dos novos M.
b) A ordem de liberação não altera os resultados. Nos casos de estruturas com muitos nós
intermediários, é aconselhável iniciar pelo nó de maior momento não equilibrado e
proceder a liberação salteada.
c) É conveniente evitar o cálculo com decimais. Para isso, multiplica-se, de início, os
momentos de engastamento perfeito por uma potência inteira de 10, desprezando-se nos
cálculos a parte decimal. Naturalmente após completado o processo, para evitar confusão,
multiplicam-se os resultados finais das somas dos momentos parciais pela mesma potência
inteira de 10 usada para iniciar as compensações e transmissões.
7.4 – EXEMPLO NÚMERO 7.1
Determinar os diagramas de M e Q da viga da figura 7.2, de EI = constante.
Solução:
a) Momentos de engastamento perfeito (conforme TABELAS 02)
M12 = - M 21 = +
p 2
= + 2, 67 tm = + 267 tcm
8
p 2 Pab2
M 23 = +
+ 2 = + 6, 09 tm = + 609 tcm
12
M 32 = -
p 2 Pa 2b
= - 7, 05 tm = - 705 tcm
2
12
M 34 = +
p 2
= + 4, 00 tm = + 400 tcm
8
26
Figura 7.2 – Exemplo número 1
27
b) Cálculo dos coeficientes ,  e  para os nós intermediários
Nó 2: 21 = 0,5 e 23 = 0,5
b 21 =
4
1
=
EI 21 EI
m21 =
b
b 21
1
0,8
=
= 0,556 m23 = 23 =
= 0, 444
S b 1,8
S b 1,8
e b 23 =
4
0,8
1,8
=
e daí , S b =
EI 23
EI
EI
Nó 3: 32 = 0,5 e 34 = 0,0
b 32 =
4
0,8
3
0, 75
1,55
=
e b 34 =
=
e daí , S b =
EI 32
EI
EI 34
EI
EI
m23 =
b 23
b
0,8
0, 75
=
= 0,516 m34 = 34 =
= 0, 484
S b 1,55
S b 1,55
Observar que i = 1,00 para qualquer nó intermediário, pois deve ser distribuído
100% do momento não equilibrado.
c) Compensação dos momentos
No esquema mostrado na figura 7.2 b), foram colocados os valores obtidos em
a) e b). As setas mostram os momentos propagados Mi após a liberação do nó. A
compensação foi efetuada em tcm desprezando-se as frações.
Primeiramente foi liberado o nó 2, no qual surge o momento não equilibrado M = 267 + 609 = + 342. Este momento não equilibrado provoca um giro no nó 2 (no caso de M
positivo, no sentido horário). Com esse giro as barras 21 e 23 (supostas engastadas em 1 e 3)
reagem, aplicando em 2, os momentos - 0,556 x 342 = - 190 e - 0,445 x 342 = - 152,
respectivamente à esquerda e direita do nó 2, ambos com sinal contrário à M para equilibrálo. Esses momentos "distribuídos", são propagados para as extremidades opostas das barras
21 e 23, através dos coeficientes , ou seja, a liberação do nó 2 transmite os momentos 0,5 x
(-190) = - 95 para o nó 1 e 0,5 x (-152) = - 76 para o nó 3.
Completada esta compensação coloca-se um traço em 2, sendo o nó novamente
bloqueado na posição girada em que se encontra. Libera-se então o no 3, cujo momento não
equilibrado vale - 705 + 400 - 76 = - 381. Repetindo as operações de distribuição no nó e
propagação para os nós vizinhos, encontramos os valores + 197 e + 184 (distribuição); + 98 e
zero (propagação).
Novamente bloqueado o nó 3, retorna-se a liberação do nó 2, onde o novo momento
não equilibrado é apenas + 98, uma vez que acima do traço os momentos já estão em
equilíbrio. O processo continua até não mais haver momentos inteiros a transmitir.
No esquema da figura 7.2.b), os traços duplos indicam que o processo terminou. A
soma de todos os momentos parciais, fornece os momentos finais na convenção de Grinter,
que passados para a convenção usual permitem determinar as ações dos nós sobre as barras,
conforme figura 7.2.c).
28
Em todo o processo os momentos foram calculados em inteiros aproximados,
desprezando-se as frações. No diagrama de momento fletor também estão indicados os
momentos extremos e as seções onde ocorrem, calculados rapidamente através do diagrama
de forças cortantes.
7.5 - VIGAS CONTÍNUAS COM BALANÇO
Como no caso da solução pela Equação dos Três Momentos, os balanços devem ser
substituídos pelos seus efeitos que serão considerados como cargas nas extremidades das
respectivas barras adjacentes.
Para exemplificar, consideremos a viga da figura 7.3.a) de El = constante. Na figura b)
os balanços já foram substituídos pelos seus efeitos, os quais estão indicados com seus
sentidos corretos. As forças verticais 3,2 t e 1,6 t são absorvidas diretamente nos apoios 1 e 3,
não introduzindo esforços na viga, apenas afetando as reações em 1 e 3. Os momentos + 1,8
tm e - 0,8 tm (convenção de Grinter) vão influir no cálculo dos momentos M12 e M23
respectivamente, pois foram considerados como parcela do carregamento. Tais influências
podem ser determinadas sem consultas a quaisquer tabelas, através dos coeficientes 12 e 32
ambos iguais a 0,5 no caso presente. Assim, obtém-se:
Figura 7.3 – Exemplo número 2 – Viga com balanços
29
- 1, 6´ 42
+ 0,5´ (+ 1,8) = - 2,3 tm = - 230 tcm
8
M 21 =
+ 1, 6´ 52
M 23 =
+ 0,5´ (- 0,8) = + 4, 6 tm = - 460 tcm
8
Adotando EI=1:
b 21 =
3
3
= 0, 75 e b 23 = = 0, 60 ®
4
5
dai, m21 =
S b = 1,35
0, 75
0, 60
= 0,556 e m23 =
= 0, 444 (S m = 1, 000, ok !)
1,35
1,35
A compensação está apresentada na fig. c). Apenas o nó 2 é considerado intermediário
e portanto o único a ser liberado. Também foram indicados os momentos nos balanços, a fim
de não serem esquecidos nos cálculos seguintes.
7.6 - EXEMPLO 7.3
A figura 7.4 a) mostra a viga e seu carregamento. Como os valores dos coeficientes de
transmissão ou propagação  são muito simples, zero ou meio, foram omitidos na planilha.
Os coeficientes de rigidez estão calculados e indicados em um esquema na própria viga,
conforme figura 7.4 b). Como o procedimento já foi descrito, apresentaremos apenas a
planilha de cálculo.
O momento externo de 2,0 tm aplicado em 4, não deve ser considerado no calculo dos
momentos de engastamento perfeito, pois estando o nó 4 inicialmente bloqueado, ele é
absorvido no "engastamento", não causando efeitos sobre as barras adjacentes. Entretanto, ao
liberar o nó 4, esse momento externo deve ser computado no cálculo do momento não
equilibrado em 4.
Notar que no cálculo dos momento de engastamento perfeito, o balanço foi tratado
separadamente do resto do carregamento (superposição de efeitos), raciocínio que
naturalmente conduz ao mesmo resultado do procedimento descrito no item anterior.
30
Figura 7.4 – Exemplo número 3
31
8 – ENGASTAMENTO ELÁSTICO
A figura 8.1 a) mostra um engastamento elástico com constante de mola k (dimensão
FL). Este engastamento pode ser substituído por uma barra prismática BA que transmita ao nó
B uma rigidez ao giro igual a rigidez ao giro do engastamento elástico conforme ilustra a
figura 8.1 b). Como o coeficiente de rigidez ao giro é numericamente igual ao momento que
deve ser aplicado para produzir um giro unitário, temos igualando-se as “rigidezes” da “mola”
e da barra prismática substitutiva:
k=
3 EI
ou
=
3 EI
.................................................................. (8.1)
k
Isto é, basta substituir o engastamento elástico por uma barra fictícia com a
extremidade “oposta” articulada, com o comprimento calculado pela expressão (8.1).
Figura 8.1 – Engastamento elástico
8.1 – EXEMPLO NÚMERO 8.1
Resolver a viga da figura 8.2, sabendo-se que EI = 6000 tm2 e k = 10000 tm/rad
A solução está apresentada na própria figura.
32
Figura 8.2 – Exemplo com engastamento elástico
33
9 – RECALQUES DE APOIO E VARIAÇÃO DE TEMPERATURA
Os eventuais recalques translações em qualquer apoio e rotações nos engastamentos
assim como variações de temperatura não uniforme produzem momentos de engastamentos
perfeitos cujos valores estão contemplados nas tabelas, tornando portanto a solução
absolutamente normal. Os recalques e variações de temperatura não uniforme são ações que
atuam na estrutura como as cargas e portanto devem ser tratados igualmente.
Convém notar que no caso de vigas, a variação uniforme de temperatura apenas
produz dilatação térmica ao longo do eixo, não produzindo “elástica”, motivo pelo qual não
gera momentos, apenas forças normais caso exista mais de um apoio fixo (ou engastamento);
caso contrário, ou seja, se apenas um apoio impede a translação ao longo do eixo, a viga
submetida a uma variação uniforme de temperatura apresentará mudança em seu
comprimento sem geração de tensões normais, pois os apoios móveis se acomodam a nova
posição.
A figura 9.1 mostra um exercício proposto que apresenta os casos de variação de
temperatura não uniforme e recalques translação de um apoio e rotação no engastamento. Por
ser bastante simples, a solução foi omitida, deixando-a para o leitor e apresentando apenas os
resultados obtidos para os momentos fletores nos três casos.
Figura 9.1 – Exemplo proposto – Variação de temperatura e recalques
34
10 – SIMPLIFICAÇÕES DE SIMETRIA
Caso a viga apresente simetria, é possível tirar vantagem deste fato, resolvendo apenas
metade da viga, desde que se introduza no eixo de simetria vínculos convenientes.
Qualquer carregamento genérico atuando em uma estrutura simétrica pode ser
decomposto na soma de um carregamento simétrico mais um carregamento antimétrico, como
ilustra a figura 10.1.
Figura 10.1 – Decomposição de carga
A seguir serão tratados os casos possíveis de simetria em vigas contínuas.
10.1 – EIXO DE SIMETRIA SOBRE UM APOIO
a) Carregamento simétrico:
Como pode ser notado na figura 10.2 a), o apoio 3 devido a simetria do carregamento
tem deslocamento rotação nulo. Como sua translação está impedida pela presença do apoio,
ele se comporta como um engastamento. Assim, a viga deve ser substituída pela “viga
metade” apresentada à direita, de solução evidentemente mais simples.
b) Carregamento antimétrico:
Neste caso, conforme figura 10.2 b), 0 apoio 3 tem deslocamento rotação diferente de
zero e o momento fletor no eixo de simetria deve ser nulo, pois trata-se de esforço simétrico,
ou seja, o apoio 3 deve ser articulado como mostra a figura à direita.
Convém observar que o momento fletor e a força normal, assim como as forças
concentradas e uniformemente distribuídas têm características de esforços simétricos,
35
enquanto a força cortante e os momentos puros aplicados têm características de esforço
antimétrico. Assim, caso uma estrutura simétrica esteja submetida a um carregamento
simétrico, os diagramas de momento fletor e força normal serão simétricos e o digrama de
força cortante será antimétrico. Mutatis mutandis, caso o carregamento seja antimétrico, os
diagramas de momento fletor e força normal serão antimétricos e o diagrama de força cortante
será antimétrico.
Figura 10.2 – Eixo de simetria sobre um apoio
10.2 – EIXO DE SIMETRIA DIVIDE AO MEIO O VÃO CENTRAL
Figura 10.3 – Eixo de simetria no meio do vão central
36
a) Carregamento simétrico:
Neste caso, conforme ilustra a figura 10.3 a), a seção que contém o eixo de simetria
apresenta deslocamento vertical mas sua rotação é nula, ou seja, o vínculo que deve ser
introduzido no eixo de simetria é um engastamento móvel com indica a figura à direita.
b) Carregamento antimétrico:
A seção central não pode ter deslocamento vertical pois este tem características de
deslocamento simétrico mas apresenta giro que tem característica de deslocamento
antimétrico. Assim a viga deve ser reduzida conforme mostra a figura 10.3 b) à direita.
10.3 – ENGASTAMENTO MÓVEL
Como no caso de vigas com eixo de simetria no meio do vão central com
carregamento simétrico apareceu o engastamento móvel, há necessidade de determinar o
momento de engastamento perfeito e o coeficiente de rigidez ao giro de uma barra com esta
vinculação, pois são valores necessários para a solução pelo Processo de Cross.
A figura 10.4 a) mostra que o momento de engastamento perfeito da “barra metade”
com engastamento móvel é idêntico ao da “barra dupla” primitiva.
Figura 10.4 – MEP e rigidez ao giro de barra com engastamento móvelç
37
A dedução do coeficiente de rigidez ao giro da “barra metade” pode ser deduzido a a
partir de uma superposição de efeitos na “barra dupla”, conforme ilustra a figura 10.4 b),
resultando:
Barra com EI variável:
b=
Barra com EI constante: b =
1
......................................................... (10.1)
G+ F
2 EI
..................................................... (10.2)
barradupla
10.4 – EXEMPLO
A figura 10.5 resolve pelo Processo de Cross a mesma viga simétrica resolvida pela
equação dos três momentos em 5.9, exemplo 5.3. Como os diagramas finais estão mostrados
na figura 5.5, foram aqui omitidos.
Figura 10.5 – Solução pelo Processo de Cross de viga simétrica
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11 – EXERCÍCIOS PROPOSTOS
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ANEXO 01 – LINHAS DE INFLUÊNCIA DE VIGAS CONTÍNUAS
Não obstante o procedimento desenvolvido neste anexo esteja baseado no estudo de
vigas contínuas, ele é válido para qualquer estrutura hiperestática.
Será mostrada uma técnica cinemática baseada no Teorema de Müller-Breslau para a
determinação da aparência ou forma das linhas de influência. O cálculo dos valores das
ordenadas obtidas com a aplicação do teorema não serão determinadas neste trabalho.
Um programa de autoria do autor determina as L.I. de vigas contínuas, dividindo os
tramos da viga em trechos cuja quantidade é definida pelo usuário em função da precisão
desejada. Apresenta além das ordenadas nos pontos de divisão as elásticas. Este programa,
como todos os de autoria do autor são fornecidos aos alunos podendo ser livremente copiados
pelos interessados.
A1.1 – TEOREMA DE MÜLLER-BRESLAU
“As ordenadas da linha de influência para qualquer esforço solicitante ou
reação de apoio em qualquer estrutura são idênticas às ordenadas da
elástica obtida pela remoção do vínculo correspondente ao esforço
procurado e aplicação de um deslocamento unitário contrário à incógnita
convencionada positiva”.
Demonstração:
Seja a viga da figura A.1 a) para a qual deseja-se determinar a L.I. de RB. Suponha-se
a estrutura sem o apoio B submetida aos carregamentos (0) e (1), conforme figura A.1 b).
Carregamento (0): viga com o carregamento real (P = 1 móvel) e R B suposta positiva
como carga. Neste caso os deslocamentos são idênticos ao do
problema real.
Carregamento (1): viga submetida a uma força contrária à RB, variando até que o
deslocamento correspondente a RB mas no sentido contrário seja
unitário.
Figura A1.1 – Demonstração do Teorema de Müller-Breslau
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A esta estrutura submetida aos dois carregamentos aplica-se o teorema de BETTI:
“Os esforços externos do carregamento (0) multiplicados pelos
deslocamentos correspondentes do carregamento (1) realizam o
mesmo trabalho que os esforços externos do carregamento (1)
multiplicados
pelos
deslocamentos
correspondentes
do
carregamento (0)”
Ou seja:
P  v  RB  1 = F  zero
Como P = 1  RB = v
Isto é, as ordenadas da L.I. são idênticas às ordenadas da elástica v.
É conveniente notar que a elástica é sempre compatível com as ligações remanescentes
do sistema e a L.I. será positiva quando a forma deslocada for no sentido do carregamento
(carga unitária móvel), pois neste caso o trabalho P  v é positivo.
A1.2 - EXEMPLO
A aplicação deste teorema torna bastante simples a determinação da aparência e do
sinal das L.I. de estruturas hiperestáticas. A figura A.2 ilustra a aplicação deste teorema em
uma viga contínua. Os esforços para os quais a forma da L.I foi determinada está indicado à
direita da respectiva L.I.
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Figura A1.2 – Aplicação do Teorema de Müller-Breslau
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