Logaritmos

Capítulo 6
Logaritmos
6.1 Denição de Logaritmo
Denimos aqui o logaritmo como o inverso da exponencial, no seguinte sentido:
ax = b ⇐⇒ loga (b) = x.
(6.1)
Na equação loga (b) = x temos a seguinte nomenclatura
• a é a base do logaritmo;
• b é o logaritmando;
• x é o logaritmo.
Condição de Existência de loga (b)
Como na exponencial ax = b a base satisfaz a > 0 e a 6= 1, temos que b > 0 ∀ x ∈ R. Assim, para loga (b)
também devemos ter
• a > 0 e a 6= 1;
• b > 0, isto é, só existe logaritmo de números positivos.
Conseqüências da Denição
Como conseqüência da Denição (6.1) temos os seguintes resultados (a, b, c ∈ R∗ , a 6= 1 e n ∈ R):
(i) loga (1) = 0, pois a0 = 1;
(iv) loga (b) = loga (c) ⇒ b = c
(ii) loga (a) = 1, pois a1 = a;
(v) se a > 1, loga (b) > loga (c) ⇒ b > c
(iii) loga (an ) = n, pois an = an ;
(vi) se 0 < a < 1, loga (b) > loga (c) ⇒ b < c
Propriedades dos Logaritmos
Também como conseqüência da Denição (6.1) temos as seguintes propriedades para os logaritmos (a, b, c ∈ R∗ ,
a 6= 1 e n ∈ R):
(i) logaritmo do produto (é a soma dos logaritmos):
loga (bc) = loga (b) + loga (c);
(ii) logaritmo do quociente (é a diferença dos logaritmos):
µ ¶
b
= loga (b) − loga (c);
loga
c
20
(6.2)
(6.3)
(iii) logaritmo da potência (é a potência vezes o logaritmo):
loga (bn ) = n loga (b);
(6.4)
aloga (b) = b;
(6.5)
(iv) exponencial do logaritmo de mesma base:
(v) Mudança de base
loga (b) =
logc (b)
logc (a)
(6.6)
6.2 Problemas Propostos
Problema 6.1 Calcule os logaritmos
(a) log2 (32)
(d) log5 (0, 0016)
(g) log√8 (0.125)
(b) log5 (625)
(e) log10 (0, 00001)
(h) log2√2 (256)
(c) log9 (243)
(f ) log1/3 (81)
(i) log2/√3 (9/16)
Problema 6.2 Avalie as expressões.
(a) log5 (1) + 4log4 (5) + log3 (log5 (125))
(b) 49log 7 (2) − 25log 5 (3)
Problema 6.3 Sabendo-se que log(a) = 2, log(b) = 3 e log(c) = −6, calcule
µ
(a) log(ab)
(c) log
(b) log(abc)
(d) log
¶
ab
c
µ
(e) log
√
a3 c
b2
¶
(f ) log
µ√ ¶
5
√ab
c
µ√
¶
a2 b2
c3
Problema 6.4 Sabendo-se que log2 (3) = a, calcule (em função de a)
(a) log6 (9)
(b) log36 (64)
Problema 6.5 Sabendo-se que loga (x) = 2, logb (x) = 3 e logc (x) = 5, calcule
(a) logab (x)
(b) logabc (x)
(c) log ab (x)
c
Problema 6.6 Resolva as equações logarítmicas
(a) log5 (x2 + 3) = log5 (x + 3)
(d) [log8 (x)]2 − 3[log8 (x)] + 2 = 0
(b) log2 (14 − 5x) = 2
(e) log(3x2 + 7) − log(3x − 2) = 1
(c) log 31 (x2 + 3x − 1) = −2
(f ) log(x + 1) + 2 = log(4x2 − 500)
Problema 6.7 Resolva as inequações logarítmicas
(a) [log(x)]2 − log(x) > 0
(b) 2[log(x)]2 − log(x) > 6
¸
·
(c) log2 log 14 (x2 − 2x + 1) < 0
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Problema 6.8 A intensidade M de um terremoto medido na escala Richter é um número que varia de M = 0
(nenhum tremor) até M = 8, 9 (maior terremoto conhecido). O valor de M é dado pela fórmula empírica
µ ¶
2
E
M = log
,
3
E0
onde E é a energia liberada no terremoto (em KWh - kilowatt-hora) e E0 é uma constante que vale 7 × 10−3
KWh.
(a) Qual a energia liberada em um terremoto de grandeza M = 6?
(b) Uma cidade de cerca de 300.000 habitantes consome cerca de 3.5 × 106 KWh de energia elétrica por dia.
Se a energia de um terremoto pudesse ser convertida em energia elétrica, quantos dias de fornecimento
de energia para esta cidade seriam produzidos por um terremoto de grandeza M = 8?
Problema 6.9 O pH de uma solução salina é denido pela fórmula
pH = −log[H + ]
onde [H + ] é a concentração, em moles por litro, do íon Hidrogênio.
(a) Qual o pH da água pura, sabendo-se que sua concentração de [H + ] vale 1, 00 × 10−7 ?
(b) Uma solução é dita ácida se sua concentração de [H + ] é maior que a da água, e dita básica (ou alcalina)
se sua concentração de [H + ] é menor que a da água. Quais os valores de pH caracterizam soluções ácidas
e básicas?
6.3 Problemas Teóricos
Problema Teórico 6.1 Use a Denição (6.1) para provar as propriedades (6.2), (6.3), (6.4), (6.5) e (6.6).
√
Problema Teórico 6.2 Se loga (x + x2 − 1) = b, mostre que x = 12 (ab + a−b ).
√
√
Problema Teórico 6.3 Mostre que loga (x + x2 − 1) = −loga (x − x2 − 1).
6.4 Respostas dos Problemas Propostos - Capítulo 6
• Problema 6.1 (página 21)
(a) 5
(d) −4
(g) −1)
(b) 4
(e) −5)
(h) 16/3
(c) 5/2
(f) −4
(i) −4
• Problema 6.2 (página 21)
(a) 6
(b) −5
• Problema 6.3 (página 21)
(a) 5
(c) 11
(e) 4
(b) −1
(d) −3
(f) 23
22
• Problema 6.4 (página 21)
(a)
2a
1+a
(a)
(b)
3
1+a
(b)
• Problema 6.5 (página 21)
(a) 6/5
(c)
(b) 30/31
(c) 30/19
x > 10
x ∈ R|0 < x <
1
√
10 10
ou
x ∈ R|
3
2
1
2
<x<
(a) 7 × 106 KWh
(d) x = 8 e x = 64
(b) x = 2
(e) x = 1 e x = 9
(c) x = −5 e x = 2
(f) x = −5 e x = 30
x > 100
e
x 6= 1
• Problema 6.8 (página 22)
• Problema 6.6 (página 21)
(a) x = 0 e x = 1
x ∈ R | 0 < x < 1 ou
(b) 2000 dias! (5 anos,
5 meses e 22 dias)
• Problema 6.9 (página 22)
(a) 7
(b) ácidas 0 < pH < 7;
• Problema 6.7 (página 21)
23
básicas 7 < pH <
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