universidade tecnológica federal do paraná

Transcrição

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CAMPUS DE CURITIBA
CURSO DE ENGENHARIA INDUSTRIAL ELÉTRICA - ELETROTÉCNICA
GABRIEL FOGAGNOLI DE FREITAS
JOSÉ EDUARDO PAULUK
ESTUDO DE MÉTODOS DE DESPACHO ECONÔMICO DE UNIDADES
GERADORAS TERMELÉTRICAS
TRABALHO DE CONCLUSÃO DE CURSO
CURITIBA
2014
GABRIEL FOGAGNOLI DE FREITAS
JOSÉ EDUARDO PAULUK
ESTUDO DE MÉTODOS DE DESPACHO ECONÔMICO DE UNIDADES
GERADORAS TERMELÉTRICAS
Trabalho
de
Graduação,
Conclusão
apresentado
de
à
Curso
de
disciplina
de
TCC 2, do curso de Engenharia Industrial
Elétrica com Ênfase em Eletrotécnica do
Departamento acadêmico de Eletrotécnica
(DAELT)
da
Universidade
Tecnológica
Federal do Paraná (UTFPR), como requisito
parcial para obtenção do titulo de Engenheiro
Eletricista.
Orientadora: Profa. Dra. Andrea Lucia Costa
CURITIBA
2014
Aos pais dos autores, que com muito carinho e apoio, não mediram
esforços para que os mesmos conquistarem o título de Engenheiros
Eletricistas.
A professora orientadora, Dra. Andrea Lucia Costa, pelo auxílio,
disponibilidade de tempo e material e sempre com muita vontade de
ajudar. e pelo fornecimento de material para pesquisa do tema.
E a todas as outras pessoas que de alguma forma contribuíram para o
término desse trabalho.
RESUMO
FREITAS, Gabriel F. de; PAULUK, José E. Estudo de métodos de despacho
econômico de unidades geradoras termelétricas. 2014. 107p. Trabalho de
Conclusão de Curso. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba,
2014.
Este trabalho apresenta um estudo geral sobre o sistema elétrico
brasileiro. A reestruturação do setor elétrico também é abordada, bem como a
atual configuração do Sistema Interligado Nacional (SIN) e como ele é
caracterizado. O estudo mostra a importância das unidades termelétricas para
manter o equilíbrio do sistema em épocas de secas. A partir disso, são
apresentados métodos de despacho econômico que visam minimizar os custos
com geração de energia. Os métodos estudados no decorrer deste trabalho
foram: despacho econômico considerando perdas de transmissão, despacho
econômico considerando Fatores de Penalidades, Método de Iteração Lambda
e Método de Pontos Interiores Primal-Dual. Vários algoritmos computacionais
foram desenvolvidos para o estudo de cada método de despacho econômico,
para possibilitar simulações considerando diferentes casos.
Palavras-Chave — Reestruturação, SIN, Termelétricas, Despacho Econômico,
Métodos, Primal-Dual, Pontos Interiores, Iteração Lambda, Fatores de
Penalidades.
ABSTRACT
FREITAS, Gabriel F. de; PAULUK, José E. Study of economical dispatch
methods in thermoelectrical generator unities. 2014. 107p. Trabalho de
Conclusão de Curso. Universidade Tecnológica Federal do Paraná. Curitiba,
2014.
This article presents a general analysis about the brazilian electrical
system. The electrical section restructuring is also studied, as well as the
nowadays Sistema Interligado Nacional (SIN) configuration. This thesis shows
the importance of the thermoelectrical unities in maintaining the balance of the
system during droughts. After this, methods of economical dispatch are
presented, intending to reduce the costs with energy production. The methods
used in this study were: economic dispatch considering network losses,
economic dispatch considering Penalty Factors, Lambda Integration Method
and Primal Dual Interior Point Methods. Several computational algorithms were
developed for each economical dispatch study, allowing simulations in each
different case.
Keywords - Restructuring, SIN, Thermoelectric, Economic Dispatch, Methods,
Primal-Dual, Interior Point, Lambda-Iteration, Factors Penalties.
LISTA DE SIGLAS
ANEEL
AGÊNCIA NACIONAL DE ENERGIA ELÉTRICA
ASMAE
ADMINISTRADORA
DE
SERVIÇOS
DO
MERCADO
ATACADISTA DE ENERGIA ELÉTRICA
BNDES
BANCO NACIONAL DO DESENVOLVIMENTO
CCEE
CÂMARA
DE
COMERCIALIZAÇÃO
DE
ENERGIA
ELÉTRICA
CMSE
COMITÊ DE MONITORAMENTO DO SETOR ELÉTRICO
EPE
EMPRESA DE PESQUISA ENERGÉTICA
KKT
KARUSCH-KUN-TUCKER
MAE
MERCADO ATACADISTA DE ENERGIA ELÉTRICA
MME
MINISTÉRIO DE MINAS E ENERGIA
ONS
OPERADOR NACIONAL DO SISTEMA ELÉTRICO
PIB
PRODUTO INTERNO BRUTO
SIN
SISTEMA INTERLIGADO NACIONAL
LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Sistema Interligado Nacional (SIN) ................................................... 25
Figura 2: Esquema de uma Unidade Térmica .................................................. 31
Figura 3: N unidades geradoras alimentando diretamente a carga .................. 33
Figura 4: N unidades geradoras alimentando a carga pela linha de transmissão
......................................................................................................................... 38
Figura 5: Despacho Econômico pelo método de iteração Lambda .................. 43
Figura 6: Solução gráfica para despacho econômico ....................................... 44
Figura 7: Projeção Lambda .............................................................................. 45
Figura 8: Fluxograma do Método Pontos Interiores Primal Dual ...................... 83
LISTA DE TABELAS
Tabela 1: Brasil: projeções da demanda total de energia elétrica e do PIB ..... 11
Tabela 2: Brasil: Projeções de consumo total de eletricidade por classe (TWh)
......................................................................................................................... 12
Tabela 3: Usinas Termelétricas: Tipos de Combustível x Quantidade x
Percentual ........................................................................................................ 27
Tabela 4: As Dez Maiores Usinas em Capacidade de Geração....................... 27
Tabela 5: Processo Iterativo para resolver o exemplo 3.2 ............................... 42
Tabela 6: Dados do Exemplo 3.3 ..................................................................... 46
Tabela 7: Iterações do método para
............................. 47
.............................. 48
Tabela 9: Coeficientes de cada unidade geradora ........................................... 66
Tabela 10: Valores de
,
e
para mudanças no valor da potência da
carga ................................................................................................................ 69
Tabela 11: Primeiro teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base ........... 71
Tabela 12: Segundo teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base .......... 71
Tabela 13: Terceiro teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base ........... 72
Tabela 14: Quarto teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base ............. 72
Tabela 15: Caso Base do Algoritmo FATPEN para uma carga de 850MW ..... 75
Tabela 16: Caso base do Algoritmo FATPEN para uma carga de 1000MW .... 76
Tabela 17: Caso 1 do Algoritmo FATPEN para uma carga de 850MW ............ 77
Tabela 18: Caso 1 do Algoritmo FATPEN para uma carga de 1000MW .......... 77
Tabela 23: Resultados da implementação do Exemplo 3.1 ............................. 85
Tabela 24: Resultados da implementação do Exemplo 3.1B ........................... 86
Tabela 25: Resultados da implementação para
....................... 88
........................ 89
Tabela 27: Nomes dos algoritmos implementados........................................... 91
SUMÁRIO
1. PROPOSTA DO TRABALHO .................................................................... 11
1.1
INTRODUÇÃO .................................................................................... 11
1.2
DELIMITAÇÃO DO TEMA ................................................................... 13
1.3
PROBLEMAS E PREMISSAS ............................................................. 14
1.4
OBJETIVOS ........................................................................................ 14
1.4.1
OBJETIVO GERAL ....................................................................... 14
1.4.2
OBJETIVOS ESPECÍFICOS ........................................................ 14
1.5
JUSTIFICATIVA .................................................................................. 15
1.6
PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS............................................ 16
1.7
ESTRUTURA DO TRABALHO ............................................................ 16
2. SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO ............................................................. 18
2.1
INTRODUÇÃO .................................................................................... 18
2.2
REESTRUTURAÇÃO DO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO ............. 18
2.2.1
ÓRGÃOS RESPONSÁVEIS PELO SETOR ELÉTRICO
BRASILEIRO ............................................................................................. 19
2.3
CONFIGURAÇÃO ATUAL DO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO ..... 22
2.4
CARACTERIZAÇÃO DO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO .............. 23
2.5
UNIDADES TERMELÉTRICAS ........................................................... 26
2.6
A DISTRIBUIÇÃO DAS UNIDADES TERMELÉTRICAS ..................... 28
2.7
CONSIDERAÇÕES DO CAPÍTULO.................................................... 29
3. DESPACHO ECONÔMICO PARA SISTEMAS TERMELÉTRICOS .......... 30
3.1
INTRODUÇÃO .................................................................................... 30
3.2
CUSTOS DE PRODUÇÃO DE UNIDADES TÉRMICAS ..................... 30
3.3
PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO ...................................... 32
3.4
DESPACHO ECONÔMICO COM PERDAS DE TRANSMISSÃO ....... 38
3.5
MÉTODO DE ITERAÇÃO LAMBDA.................................................... 42
3.6
CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO ....................................... 48
4. MÉTODO DE PONTOS INTERIORES PRIMAL DUAL APLICADO AO
PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO ................................................... 50
4.1
INTRODUÇÃO .................................................................................... 50
4.2
MÉTODO DE NEWTON...................................................................... 50
4.3
FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE DESPACHO ............................. 52
4.3.1
PROBLEMA MODIFICADO .......................................................... 53
4.3.2
FORMULAÇÃO DE LAGRANGE PARA O PROBLEMA .............. 54
4.4
5. IMPLEMENTAÇÃO DOS MÉTODOS DE DESPACHO ECONÔMICO...... 60
5.1
INTRODUÇÃO .................................................................................... 60
5.2
MÉTODO DE ITERAÇÃO LAMBDA.................................................... 60
5.2.1
IMPLEMENTAÇÃO DO EXEMPLO TESTE – PROGRAMA
LAMBDA_EX3.3 ........................................................................................ 61
5.2.2
PROGRAMA LAMBDA_IMP ......................................................... 65
5.2.3
MAIS SIMULAÇÕES .................................................................... 68
5.3
MÉTODO DE DESPACHO ECONÔMICO COM PERDAS ................. 69
5.4
DESPACHO ECONÔMICO CONSIDERANDO FATORES DE
PENALIDADES ............................................................................................. 72
5.4.1
IMPLEMENTAÇÃO DO CASO 1 .................................................. 76
5.4.2
5.4.3
5.5
DESPACHO ECONÔMICO VIA MÉTODO DOS PONTOS
INTERIORES PRIMAL DUAL ....................................................................... 81
5.5.1
PD_EX3.1 .................................................................................................. 81
5.5.2
PD_EX3.1B................................................................................................ 86
5.5.3
5.6
MAIS SIMULAÇÕES .................................................................... 87
6. CONCLUSÕES FINAIS ............................................................................. 91
REFERÊNCIAS ................................................................................................ 93
APÊNDICE ....................................................................................................... 97
1. PROPOSTA DO TRABALHO
1.1 INTRODUÇÃO
O mundo, tal como se conhece hoje, não pode viver sem a existência da
eletricidade. É muito difícil imaginar a vida do homem moderno em sociedade sem o
consumo de eletricidade. A evolução tecnológica depende da eletricidade.
A cada instante a demanda por energia elétrica torna-se maior devido ao
aumento populacional e a melhoria das condições de vida das pessoas em várias
partes do mundo. No Brasil, a demanda por energia elétrica ainda é pequena, se
comparada com o restante do mundo, e principalmente com países desenvolvidos
(GÓMEZ-EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES, 2011). Mesmo assim são números da
ordem de terawatts-hora.
Para demonstrar a necessidade da energia elétrica no Brasil mostra-se na
Tabela 1 a previsão do consumo do país nos anos 2016 e 2021, juntamente com o
preço da energia e a previsão para o Produto Interno Bruto (PIB) brasileiro. Os
valores de 2011 não fazem parte da previsão, são os valores medidos do ano (EPE,
2012). Na coluna intensidade, que mostra a relação da divisão da energia
consumida pelo PIB, pode-se ver que essa relação é praticamente constante, ou
seja, a estimativa feita pela Empresa de Pesquisa Energética (EPE) mostra que o
consumo de energia deve crescer na mesma proporção que o PIB.
Tabela 1: Brasil: projeções da demanda total de energia elétrica e do PIB
Fonte: EPE, 2012.
Na Tabela 2 é apresentado o consumo das diferentes classes que necessitam
da energia. Pelas projeções percebe-se que o aumento em percentual no consumo
de energia está presente em todas as classes com valores próximos. Assim como na
tabela 1, os valores de 2011 são os reais daquele ano.
11
Tabela 2: Brasil: Projeções de consumo total de eletricidade por classe (TWh)
Fonte: EPE, 2012.
As previsões baseiam-se no uso de energia elétrica pela população no dia-adia, na melhoria da infraestrutura do país e também as exigências para a realização
de eventos como Olimpíadas e Copa do Mundo. Dessa forma, números tão
elevados de previsão de consumo trazem a preocupação com questões econômicas
e a busca pela eficiência, desde que isso não prejudique a segurança do sistema
elétrico (EPE, 2012).
Assim, levando em consideração o elevado e crescente consumo de energia
elétrica, as empresas de geração estão sempre buscando aumentar a eficiência de
suas unidades geradoras e reduzir o consumo de combustível. Essa busca por uma
redução no uso dos combustíveis cresceu tanto em importância porque a maioria
dos
combustíveis
utilizados
atualmente
representam
recursos
naturais
insubstituíveis.
Quando os sistemas elétricos foram se tornando cada vez mais interligados,
surgiu a questão de como despachar as usinas para atender à demanda de forma
mais econômica e eficaz. Esse problema ficou conhecido como despacho
econômico (STEVENSON JR, 1986; GÓMEZ-EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES,
2011).
O despacho econômico caracteriza-se por minimizar os custos de operação
do sistema elétrico. Há várias fontes de energia primárias para as unidades
geradoras, dentre as quais se destacam o carvão, o óleo, o gás natural, o urânio e a
água armazenada em reservatórios (GÓMEZ-EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES,
2011). Como cada unidade geradora tem um custo diferente de acordo com sua
fonte primária, o despacho econômico destaca-se por distribuir a demanda total de
um determinado instante entre as várias unidades, de modo que o custo seja o
12
menor possível. Além disso, o despacho econômico fornece o custo marginal do
sistema em $/MWh, ou seja, quanto custa o aumento de mais 1MW na demanda do
sistema. O custo marginal do sistema pode ser usado como um sinalizador para os
preços cobrados pela energia elétrica consumida (STEVENSON JR, 1986;
RODRIGUES, 2007).
Em sua formulação mais simples o despacho econômico visa a geração mais
eficiente do ponto de vista financeiro de usinas termelétricas. As usinas hidrelétricas
não são consideradas neste contexto porque o custo da água envolve variáveis
probabilísticas que refletem a probabilidade de haver precipitação suficiente para
encher os reservatórios. Do mesmo modo a energia eólica não pode ser
considerada (STEVENSON JR, 1986; RODRIGUES, 2007). Para os cálculos de
despacho econômico utilizam-se funções de custo de geração para cada unidade
geradora. Essa função é obtida multiplicando a curva de eficiência de calor que
expressa o combustível consumido para gerar 1MW durante uma hora, pelo custo
do combustível consumido durante essa hora (GÓMEZ-EXPÓSITO; CONEJO;
CAÑIZARES, 2011).
Este trabalho aborda o estudo do problema do despacho econômico de
unidades geradoras térmicas. O objetivo foi desenvolver algoritmos que otimizam os
custos de produção de um sistema com vários geradores, considerando diferentes
situações, tais como restrições de operação dos geradores e despacho sem e com
perdas elétricas do sistema. Esses algoritmos têm como entrada as seguintes
variáveis: o número de unidades geradoras, potência da carga a ser atendida, os
limites de cada unidade geradora e seus custos.
A partir dos resultados obtidos de cada algoritmo, em diferentes simulações, é
traçado uma comparação entre esses, suas vantagens e desvantagens, analisando
as particularidades de cada método.
1.2 DELIMITAÇÃO DO TEMA
Sabe-se
(ANEEL, 2008).
que
Na
o
Sistema
realidade,
Eletro-energético
tem
Brasileiro
predominância
é
hidrotérmico
hidroelétrica
com
complementação termelétrica, sendo que o despacho das termelétricas ocorre com
maior frequência em períodos de escassez de chuvas. Esse trabalho, entretanto
13
foca-se no despacho de unidades termelétricas, desconsiderando a contribuição de
outros tipos de usinas nos algoritmos a serem desenvolvidos.
Além disso, os custos de parada e partida das unidades geradoras não serão
considerados. Os modelos de despacho econômico estudados neste trabalho
incluem somente variáveis contínuas, ou seja, o custo do gerador já ligado e
fornecendo potência ativa para o sistema elétrico.
1.3 PROBLEMAS E PREMISSAS
O setor elétrico sofreu várias mudanças nas últimas duas décadas. O aspecto
econômico da operação do sistema elétrico passou a ter cada vez mais importância.
Porém, as questões de segurança e confiabilidade na operação não podem ser
menosprezadas, ao contrário, à medida que cresce a demanda e a complexidade do
sistema elétrico, os estudos e análise a respeito da operação e do planejamento do
setor tornam-se cada vez mais necessários.
Dentre estes estudos, destaca-se o despacho econômico das unidades
geradoras. Despachar geradores significa, de forma bem resumida, definir quanto
cada gerador deve gerar de modo a atender a carga do sistema ao qual estão
conectados. O despacho econômico é mais complexo, pois envolve os custos de
geração de cada unidade e seu objetivo é obter o menor custo total para o sistema.
Uma vez que a operação do sistema elétrico envolve restrições que podem
ser consideradas ou não, existem vários métodos de despacho econômico,
considerando diferentes situações.
1.4 OBJETIVOS
1.4.1 OBJETIVO GERAL

Desenvolver algoritmos para cálculo do despacho econômico de unidades
geradoras termelétricas, usando diferentes métodos, e comparar seus
resultados.
1.4.2 OBJETIVOS ESPECÍFICOS

Estudar a estrutura do setor elétrico brasileiro para contextualizar o
despacho de unidades termelétricas no Brasil;
14

Estudar a formulação do problema do despacho econômico;

Estudar diferentes métodos de despacho econômico, com ou sem perdas
elétricas de transmissão;

Desenvolver algoritmos para cada método de despacho econômico
estudado que otimizam o custo de operação do sistema elétrico;

Fazer simulações computacionais;

Comparar e analisar os resultados obtidos com cada algoritmo.
1.5 JUSTIFICATIVA
As mudanças na gestão do setor elétrico propiciaram novas oportunidades de
emprego aos engenheiros eletricistas. A partir da década de 90, além das
concessionárias de energia elétrica, foram criadas organizações responsáveis pelo
monitoramento do sistema elétrico, regulamentação e planejamento energético, tais
como o ONS (Operador Nacional do Sistema Elétrico), a ANEEL (Agência Nacional
de Energia Elétrica) e a EPE (Empresa de Pesquisa Energética).
Compreender esse novo setor elétrico juntamente com o assunto de
despacho econômico é de fundamental importância para trabalhar na área de
sistemas de potência.
Além disso, o problema do despacho econômico é tema de várias
dissertações
e
teses,
demonstrando
a
importância
de
tal
estudo.
No
desenvolvimento desse trabalho foi necessário aprender técnicas de otimização que
não são estudadas no curso de Engenharia Elétrica, ampliando o conhecimento dos
alunos envolvidos neste TCC.
A partir de pesquisas teóricas e da formulação matemática implementada
computacionalmente, é possível encontrar o ponto ótimo de geração para os
sistemas simulados, sob o ponto de vista econômico, e utilizar os diferentes
algoritmos para estudos de geradores.
15
1.6 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS
Para a realização desse trabalho foram feitas pesquisas em livros, teses,
dissertações e artigos na área de sistemas de potência. Foi pesquisada a mudança
que vem acontecendo no setor elétrico de muitos países, principalmente no Brasil.
Após estudar e compreender as principais mudanças e o significado econômico que
estas representam, iniciou-se o estudo do problema de despacho econômico. Este
assunto foi pesquisado em livros e dissertações, de modo a compreender melhor
sobre sua teoria e formulações.
Junto com o estudo sobre o despacho econômico, foram estudados três
métodos para a solução do problema de despacho econômico. Esses métodos
foram: Método de Iteração Lambda, Método de Despacho considerando Perdas e
Método de Pontos Interiores Primal Dual. Os métodos foram implementados
computacionalmente, sendo os algoritmos desenvolvidos em ambiente
.
Diferentes simulações foram realizadas, considerando exemplos de casos vistos na
literatura.
Por fim, com a pesquisa concluída e obtidos os resultados das simulações, foi
possível analisar e consequentemente chegar às conclusões apresentadas ao final
desse trabalho.
1.7 ESTRUTURA DO TRABALHO
Este TCC está dividido em 6 capítulos:

No Capítulo 1 é descrita a proposta do trabalho, o objetivo geral, o
problema e a metodologia de pesquisa.

No Capítulo 2 é apresentada uma pesquisa sobre o setor elétrico
brasileiro, destacando a geração termelétrica.

O Capítulo 3 apresenta os fundamentos do despacho econômico, a
formulação do problema e os métodos de Iteração Lambda e o Despacho
com Perdas.

O Método de Pontos Interiores Primal Dual foi descrito no Capítulo 4,
juntamente com formulação do problema de despacho econômico
resolvido por esse método.
16

No Capítulo 5 são descritas as implementações computacionais de cada
método e também os resultados das simulações.

No Capítulo 6 são apresentadas as conclusões finais do TCC.

No Apêndice são mostrados os algoritmos.
17
2. SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO
2.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo é apresentado um breve estudo sobre o setor elétrico
brasileiro, a partir das principais mudanças ocorridas na década de 90 até os dias
atuais. O estudo das principais empresas do setor e de suas funções tornou-se
importante no desenvolvimento desse trabalho para auxiliar o entendimento do papel
das termelétricas no cenário nacional e também por ser considerado um assunto
obrigatório para os futuros engenheiros de sistemas de potência.
2.2 REESTRUTURAÇÃO DO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO
Com o aumento do consumo de energia elétrica, a responsabilidade do
Estado em garantir a qualidade do fornecimento dessa energia tornou-se cada vez
maior. Porém, para manter a confiabilidade do fornecimento, era necessário um
maior investimento, que com o passar dos anos foi tornando insuficiente e dificultou
a exclusividade do Estado na geração de energia. Motivado por esses fatores, o
governo da época (segunda metade da década de 90), deu início a reestruturação
do setor elétrico.
Nessa reestruturação foi adotada a comercialização livre de energia, o livre
acesso aos sistemas de transmissão e distribuição e a liberdade de escolha da
concessionária que irá fornecer Energia (NEOENERGIA, 2013). As Leis 8.987 e
9.074, ambas de 1995, iniciaram profundas alterações no setor, por exemplo, a
necessidade de licitação dos novos empreendimentos de geração, a criação da
figura do Produtor Independente de Energia, a determinação do livre acesso aos
sistemas de transmissão e distribuição e a liberdade para os grandes consumidores
escolherem seus supridores de energia. Dentre alguns benefícios da mudança podese citar a liberdade para negociar diretamente com o fornecedor, gerenciamento da
energia elétrica como matéria prima, preços mais competitivos entre outros
(GASTALDO, 2009).
Como em outros países que também reestruturaram o setor elétrico, a
energia elétrica no Brasil começou a ser tratada como mercadoria. Dessa forma a
equalização tarifária, criada em 1974, para estabelecer tarifas iguais em todo o
18
território brasileiro, regulando a remuneração de todas as concessionárias, foi extinta
(GASTALDO, 2009).
Com a redução da participação do Estado, o governo decidiu pela criação de
um programa de desestatização. Como consequência desse programa, iniciou-se a
desverticalização das empresas de energia elétrica, isto é, as empresas, que antes
tinham o controle de todo o processo de produção até a entrega da energia aos
consumidores foram separadas em empresas de geração, transmissão, distribuição
e comercialização. Foram criados órgãos responsáveis para garantir o bom
funcionamento do setor elétrico, dentre os quais pode-se citar: Agência Nacional de
Energia Elétrica (ANEEL), Operador Nacional do Sistema (ONS) e Mercado
Atacadista de Energia Elétrica (MAE) (LORA; NASCIMENTO, 2004).
Entre os anos de 1999 a 2000, pode-se salientar o estabelecimento dos
valores normativos, que são os custos de referência, delimitado, entre o preço de
compra e o preço a ser repassado às tarifas, trazendo (GASTALDO, 2009):

As condições necessárias a distribuidores e geradores para celebrar
contratos de longo prazo, assegurando a expansão do parque gerador e a
modicidade das tarifas;

A conclusão do processo definidor dos montantes de energia e demanda de
potência e das respectivas tarifas para viabilizar a assinatura dos contratos
iniciais pelas empresas de geração e distribuição;

A nova regulamentação do livre acesso aos sistemas de transmissão e
distribuição para os agentes de geração e os consumidores livres;

A estabilidade de novos padrões de qualidade de serviços para as
distribuidoras;

A implementação de limites à concentração econômica;

A homologação das regras de funcionamento do MAE.
2.2.1 ÓRGÃOS RESPONSÁVEIS PELO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO
2.2.1.1
Ministério de Minas e Energia - MME
É um Órgão do Poder Executivo, cria em 1960 pela lei nº 3.782. Atua nos
assuntos ligados à:

Geologia e recursos minerais;
19

Combustíveis;

Energia Elétrica.
Com relação ao setor elétrico, o MME tem sob sua responsabilidade o
planejamento da expansão dos sistemas, abrangendo a geração de energia e as
instalações de transmissão para a execução dos processos de licitação de
concessão
ou
outorga
de
autorização,
coordenado
pela
ANEEL
(LORA;
NASCIMENTO, 2004).
2.2.1.2
Agência Nacional De Energia Elétrica – ANEEL
Criada em 1996 pela Lei 9.427 e vinculada a MME (Ministério de Minas e
Energia), regula e fiscaliza os processos de geração, transmissão, distribuição e
comercialização. Para realização de suas atividades deve ter um equilíbrio entre os
agentes e ser benéfico para sociedade. As principais competências atribuídas são:

Garantir a modicidade tarifária;

Zelar pela qualidade de serviço prestado;

Arbitrar conflitos de interesses;

Vistoriar de forma ampla;

Apoiar o interesse público.
A ANEEL também tem o direito de Poder Concedente, o qual tem
responsabilidade pela concessão, autorização e permissão do uso dos serviços de
energia elétrica (LORA; NASCIMENTO, 2004).
2.2.1.3
Operador Nacional do Sistema Elétrico – ONS
É uma entidade privada, sem fins lucrativos, criada em 1998. No Sistema
Interligado Brasileiro, coordena e controla a operação das instalações de geração e
transmissão de energia elétrica. São atribuições (LORA; NASCIMENTO, 2004):

Controle e programação da operação e despacho centralizado da geração,
com vistas à otimização dos sistemas eletroenergéticos interligados;

Supervisão e coordenação dos centros de operação dos sistemas elétricos;

Supervisão e controle da operação dos sistemas eletroenergéticos nacionais
e das interligações internacionais; contratação e administração dos serviços
20
de transmissão de energia elétrica e respectivas condições de acesso, bem
como dos serviços ancilares;

Elaboração, e envio à ANEEL, da proposta anual de ampliações e reforços
das instalações da rede básica de transmissão, após compatibilizada e
validada pelo MME;

Definição de regras para a operação da rede básica de transmissão, a serem
aprovadas pela ANEEL.
2.2.1.4
Mercado Atacadista de Energia Elétrica (MAE)
Ambiente responsável pela contabilização de toda a energia elétrica
produzida e consumida no Brasil, portanto, no MAE, realiza-se a compra, a venda e
a liquidação das necessidades de energia à curto prazo (LORA; NASCIMENTO,
2004).
São membros obrigatórios do MAE:

Gerador que possua instalação com capacidade igual ou maior a 50MW;

Comercializador
de
energia
com
mercado
igual
ou
superior
a
300GWh/ano;

Importador ou exportador com capacidade igual ou maior a 50 MW.
Porém, outros agentes de geração, comercialização e importação/exportação
que não sejam compatíveis nos casos citados, e também consumidores livre, podem
participar da MAE.
O MAE teve suas ações suspensas em 2001
e retomadas após o
racionamento, no final de 2002 para em 2004 ser criada a CCEE (Câmara de
Comercialização de Energia Elétrica) (MAGALHÃES; PARENTE, 2009).
2.2.1.5
Administradora de Serviços do MAE (ASMAE)
A ASMAE era a Administradora de Serviços do Mercado Atacadista de
Energia Elétrica, uma sociedade civil de direito privado, braço operacional do
MAE, empresa autorizada da ANEEL. Era uma sociedade civil de direito
privado, concebida e nutrida pelo MAE, com o objetivo atuar no mercado de
forma a suprir todo o suporte administrativo, jurídico e técnico, para que o
MAE pudesse funcionar corretamente (LORA; NASCIMENTO, 2004).
21
As atribuições da ASMAE eram:

Registrar os agentes e os contratos bilaterais;

Introduzir e vistoriar as Regras de Mercado, a serem homologadas pela
ANEEL;

Estipular o preço da energia do MAE;

Operar e administrar o mercado de energia elétrica de curto prazo;

Conceder informações e atendimento aos agentes: Central de
Atendimento, site da ASMAE e Sistema de contabilização.
2.2.1.6
Câmara de Comercialização de Energia Elétrica (CCEE)
Em novembro de 2004, a Câmara de Comercialização de Energia Elétrica
começou a atuar como fruto do novo marco regulatório estabelecido pelo governo
para o setor elétrico (MME, 2013).
A CCEE desempenha papel estratégico para liberar as operações de compra
e venda de energia elétrica, registrando e controlando contratos firmados entre
geradores, comercializadores, distribuidores e consumidores livres. E, tem por
finalidade:

Viabilizar a comercialização de energia elétrica no Sistema Interligado
Nacional (SIN) nos Ambientes de Contratação Regulada e Contratação
Livre;

Exercer a contabilização e a liquidação financeira das operações
realizadas no mercado a curto prazo.
2.3 CONFIGURAÇÃO ATUAL DO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO
Entre os anos de 2003 e 2004 o governo brasileiro viabilizou as novas bases
para o novo modelo do Setor Elétrico Brasileiro (modelo atual). Com estas bases o
governo voltou a ter papel relevante no planejamento de longo prazo do setor
elétrico (ONS, 2013).
O modelo atual possui três metas principais:

Promover a modicidade tarifária;

Promover a adição social no Setor Elétrico Brasileiro, em particular pelos
programas de universalização de atendimento;
22

Garantir a segurança do fornecimento de energia elétrica.
Em termos de modicidade tarifária, o modelo atual prevê a compra de energia
elétrica pelas distribuidoras em um ambiente regulado por meio de leilões,
observando o critério de menor tarifa, reduzindo o custo de aquisição da energia
elétrica a ser repassada para a tarifa dos consumidores cativos (ONS, 2013).
Nesse novo modelo, foram criadas três entidades importantes:

Empresa de Pesquisa Energética (EPE): responsável pelo planejamento
do setor elétrico à longo prazo;

Comitê de Monitoramento do Setor Elétrico (CMSE): instituição com a
função de avaliar, permanentemente, a segurança do suprimento de
energia elétrica;

Câmara de Comercialização de Energia Elétrica (CCEE): instituição para
dar continuidade às atividades do Mercado Atacadista de Energia (MAE),
relativas à comercialização de energia elétrica no Sistema Interligado.
Sobre a comercialização de energia, foram instituídos dois ambientes para
efetuar contratos de compra e venda:

Ambiente de Contratação Regulada (ACR): participam agentes de geração
e de distribuição de energia;

Ambiente de Contratação Livre (ACL): participam agentes de geração,
comercializadores,
importadores
e
exportadores
de
energia
e
consumidores livres.
2.4 CARACTERIZAÇÃO DO SETOR ELÉTRICO BRASILEIRO
Em 2008, aproximadamente 95% da população brasileira tinha acesso à rede
elétrica. Segundo a ANEEL, o Brasil possui mais de 61,5 milhões de unidades
consumidoras em 99% das cidades brasileiras, cerca de 85% dessas unidades são
residenciais (ANEEL, 2013).
Para geração e transmissão de energia elétrica o país possui um sistema
(usinas, linhas de transmissão e ativos de distribuição) principal: o Sistema
Interligado Nacional (SIN).
Como o Brasil possui grande quantidade de recursos hídricos distribuídas por
todo o território nacional, grande parte da matriz de energia elétrica é composta de
hidroeletricidade, cerca de 70% é a principal fonte (ALMEIDA, 2011). Para aproveitar
23
a diversidade hidrológica e minimizar os riscos de falhas no abastecimento, o
sistema elétrico nacional é interligado, com linhas de transmissão que permitem
trocas energéticas entre as diversas regiões do país. Assim, existe um intercâmbio
permanente de energia elétrica entre as regiões, garantindo que as usinas que
estiverem com melhores níveis de armazenamento de água nos reservatórios gerem
e encaminhem energia para as que estiverem atravessando períodos mais secos
(CEMIG, 2013).
A Figura 1 mostra os principais troncos e conexões do SIN, é possível
perceber regiões não conectadas a ele, esses locais são chamados de Sistemas
Isolados, que se concentram principalmente na região Norte, perto da floresta
Amazônica. Isto ocorre porque as características geográficas da região, composta
por floresta densa e heterogênea, além de rios extensos, dificultaram a construção
de linhas de transmissão de grande extensão que permitissem a conexão ao SIN
(CEMIG, 2013).
Os Sistemas isolados são caracterizados pelo uso principalmente de
unidades termelétricas. Há ainda uso de parques eólicos, pequenas centrais
hidrelétricas (PCHs), unidades hidrelétricas e de energia solar nessas regiões.
Segundos dados da ANEEL (2008) os sistemas isolados incorporavam cerca de
45% do território brasileiro, porém, isso afetava apenas cerca de 3% da população.
24
Figura 1: Sistema Interligado Nacional (SIN)
Fonte: CEMIG, 2013.
Entretanto, essa região isolada será conectada ao SIN por intermédio de duas
grandes linhas de transmissão, que já foram licitadas. A primeira está em fase de
implantação, e ligará, em 230 kV, a Subestação Jauru, localizada em Cuiabá (MT), à
Subestação Samuel, em Porto Velho (RO). A segunda ligará a Subestação Tucuruí
(PA) à Subestação Cariri, situada em Manaus (AM), passando por Macapá (BNDES,
2009).
No país também há outras fontes de energia. Quando ocorre o problema de
seca e surge a necessidade de fazer racionamentos, a geração térmica passa a
desempenhar, limitadamente, o papel dos grandes reservatórios, em relação à
segurança do sistema, isto é, o despacho das usinas térmicas reduz a necessidade
de acionamento das hidrelétricas e assim sendo, contribui para o não esvaziamento
dos reservatórios, reduzindo o risco da falta do abastecimento (BNDES, 2009).
Segundo o Banco Nacional do Desenvolvimento (BNDES), as termelétricas,
mesmo sendo mais caras, continuam sendo competitivas mesmo em um país com
farta oferta de recursos hídricos. As usinas hidrelétricas caracterizam-se pelo seu
elevado custo de investimento e baixo custo variável de operação. De maneira
25
oposta, o custo de implantação das termelétricas é mais baixo, mas a sua operação
é muito cara, pois decorre do custo dos combustíveis. Dessa forma, a usina hídrica é
mais adequada para ser despachada na base do sistema, e a térmica, na ponta.
Como os custos ﬁxos de uma hidrelétrica são altos, ela deve ser despachada
constantemente, enquanto a termelétrica, que tem custos ﬁxos baixos e custos
variáveis elevados, é mais adequada para atender os aumentos descontinuados de
carga (BNDES, 2009).
2.5 UNIDADES TERMELÉTRICAS
A energia termelétrica é gerada a partir da queima de combustíveis fósseis,
como carvão mineral, gás natural, diesel entre outros ou a partir da biomassa, por
exemplo, bagaço da cana (GÓMEZ-EXPÓSITO; CONEJO; CAÑIZARES, 2011).
A usina termelétrica à vapor funciona primeiramente com o aquecimento da
água em uma caldeira que a vaporiza. Esse vapor passa por um tubo que vai até a
turbina, sendo utilizado para movimentar as pás de uma turbina acoplada a um
gerador. Depois de utilizado, o vapor passa por um condensador onde é resfriado,
volta para o estado líquido e pode ser reutilizado novamente na caldeira.
Pode-se citar como vantagens a rápida construção do sistema de produção
de energia e a sua construção pode ser feita próxima do lugar onde será utilizada a
energia, assim, economizando com a transmissão. Porém, o alto custo final da
produção de energia e a liberação de poluentes devido à queima de combustíveis
fósseis são consideradas suas desvantagens. Por exemplo, a liberação dos
poluentes pode causar efeito estufa ou chuvas ácidas.
Dados
de
dezembro
de
2010
publicados
na
revista
Grandes
Construções (2010) indicam que há 1384 usinas termelétricas em operação no
Brasil. Os detalhes são mostrados na Tabela 3. Essa tabela classifica as usinas pelo
tipo de combustível, as quantidades de cada tipo instaladas no país e o percentual
em relação ao total. Nota-se que a usina termelétrica movida a óleo diesel se
destaca com 59,9% do segmento. Energia produzida através do bagaço da cana
também é bastante utilizado para gerar energia elétrica e conta com 22,8% do total.
26
Tabela 3: Usinas Termelétricas: Tipos de Combustível x Quantidade x Percentual
Fonte: Revista Grandes Construções, 2010 (Adaptado).
O Gás Natural apesar de ser o terceiro em quantidade de usinas, tem as
maiores usinas em questão de capacidade. As oito maiores em capacidade de
geração são a gás natural, como mostra a Tabela 4 a seguir.
Tabela 4: As Dez Maiores Usinas em Capacidade de Geração
Fonte: Revista Grandes Construções, 2010.
27
Apesar da geração de energia no país ainda ser predominantemente de
origem hídrica, a geração termelétrica vem aumentando. Os níveis de água nos
reservatórios do país estão ficando abaixo do normal com uma frequência maior do
que anteriormente. Portanto, a necessidade do despacho de unidades térmicas está
cada vez maior. Em 2010 a participação térmica na geração chegou próxima de 15%
entre junho e dezembro (ALMEIDA, 2011). Neste ano, de acordo com a Agência
Nacional, em janeiro a produção de energia a partir de termelétricas chegou a quase
25% (VEJA, 2013).
2.6 A DISTRIBUIÇÃO DAS UNIDADES TERMELÉTRICAS
A distribuição das usinas ocorre de forma diferenciada ao longo do país. No
norte há grande quantidade de usinas térmicas, que na sua maioria são abastecidas
por óleo diesel, devido ao sistema ainda não ser interligado com o SIN. Outro fator
que favorece é o fato de as usinas situarem-se próximas do local de consumo
(REVISTA..., 2010).
Porém em dimensão, as maiores usinas movidas a óleo combustível estão
situadas na região sudeste. Grande parte destas usinas tem mais de 25 anos de
operação.
Em indústrias, edificações comerciais e residenciais e de serviços são
utilizados geradores a diesel de menor potência como energia de backup ou para
substituir a energia vinda da rede no horário de ponta, pois as tarifas são mais altas
em horários de ponta do que fora de ponta.
O crescimento da energia térmica fica um pouco restrito por causa da
legislação brasileira. A legislação brasileira segue a americana, que estabelece
padrões rigorosos para qualidade do ar e constante monitoramento do mesmo.
No estado de São Paulo está situada a maioria das usinas de bagaço de
cana, 171 no total. De um total de 315 usinas de bagaço de cana no Brasil, 203
ficam no Sudeste. As usinas a partir da casca do arroz e do licor negro (fluído
residual produzido através do cavaco – pequenos pedaços de madeira resultantes
de uma trituração tem predominância no Rio Grande do Sul. Esse tipo de produção
de energia é utilizado na própria indústria, as beneficiadoras de arroz e as
produtoras de celulose, respectivamente (REVISTA..., 2010).
28
2.7 CONSIDERAÇÕES DO CAPÍTULO
Mostrou-se nesse capítulo que o setor elétrico brasileiro sofreu mudanças
estruturais nos últimos 20 anos. As empresas de energia elétrica tiveram que ser
segmentadas em empresas de geração, transmissão e distribuição. Foram criadas
novas entidades com atribuições específicas para uma melhor organização e
regulamentação de todas as atividades relacionadas à produção e entrega de
energia. Pode-se concluir que essas mudanças ajudaram o Brasil a evoluir, não
somente na quantidade de produção, mas também em eficiência e qualidade.
O Sistema Interligado Nacional mostra-se importante para a produção
conjunta de energia elétrica no país. No SIN às usinas hidrelétricas predominam,
mas também há presença de termelétricas, que auxiliam em algumas situações. Já
nos sistemas isolados, as termelétricas são predominantes.
De acordo com BNDES (2009), as usinas térmicas são consideradas
competitivas mesmo em um país predominantemente hídrico. Porém os autores
deste TCC entendem que uma empresa é competitiva quando o seu custo é o mais
baixo de todos, por isso ela consegue vender seu produto em qualquer situação.
Ainda que o custo das termelétricas venha reduzindo pelo aumento da oferta de
geração de usinas termelétricas, o custo da energia das hidrelétricas ainda é mais
baixo. No Brasil, as termelétricas são usadas em substituição e complementação em
alguns casos às hidrelétricas, tornando às térmicas indispensáveis. As usinas
térmicas seriam competitivas a partir do momento em que ocorre a substituição as
usinas hidrelétricas, é mais vantagem ligar a termelétrica do que esvaziar os
reservatórios e ter como resultado o déficit. Realizando-se uma simulação para toda
a vida útil de uma determinada termelétrica, é possível avaliar a competitividade da
mesma frente às hidrelétricas.
29
3. DESPACHO ECONÔMICO PARA SISTEMAS TERMELÉTRICOS
3.1 INTRODUÇÃO
Os custos relativos à produção de energia de unidades térmicas podem ser
classificados em custos de: investimento, combustível, operação e manutenção. No
panorama da operação de um sistema de energia elétrica os custos mais
expressivos são os relacionados ao combustível utilizado na produção de energia.
A otimização dos recursos energéticos e o planejamento dos sistemas de
geração e transmissão são questões indispensáveis na indústria de energia elétrica.
Um uso mais eficiente dos combustíveis disponíveis que são utilizados para gerar
energia elétrica se torna cada vez mais determinante porque a maioria desses
combustíveis provém de recursos naturais não renováveis. Portanto, otimizar a
operação de um sistema de geração, além de reduzir os custos das empresas, pode
reduzir significativamente a quantidade de combustível consumido. As mudanças
ocasionais nos preços dos combustíveis, como o petróleo e o gás natural, acentuam
o problema do despacho de unidades geradoras termelétricas e aumentam a sua
importância econômica.
Este capítulo apresenta a formulação matemática do problema de despacho
econômico de geradores termelétricos. O despacho econômico é o estudo do uso
ótimo das unidades geradoras de um sistema elétrico para redução do custo total da
geração. O problema do despacho econômico tem por objetivo atingir um custo
mínimo de operação podendo levar em consideração não apenas restrições
operacionais dos geradores e do sistema elétrico, como também aspectos
relacionados à segurança operacional.
3.2 CUSTOS DE PRODUÇÃO DE UNIDADES TÉRMICAS
O despacho econômico tem como objetivo minimizar os custos de produção
de energia elétrica considerando centrais térmicas para um dado consumo. Sabendo
que cada unidade geradora tem um custo diferente pode-se minimizar o custo total
da produção.
30
Uma unidade térmica de produção pode ser representada de forma
simplificada pelo esquema apresentado na Figura 2, onde se representa uma
caldeira que gera vapor para acionar um sistema acoplado de turbina-alternador.
Figura 2: Esquema de uma Unidade Térmica
Fonte: SOUSA, 2005. (Adaptado)
Uma característica importante para a operação econômica da unidade térmica
fundamenta-se na relação entre a potência térmica de entrada ( ), resultada da
queima de combustível, e a potência elétrica à saída da unidade i ( ). O conjunto
dos pontos que associam a potência elétrica de saída com a potência térmica de
entrada para os diferentes valores de potência podem ser representados na maioria
dos casos por uma função quadrática, como mostrado na equação a seguir
(SOUSA, 2005):
( )
(3.1)
Sendo:
H: Potência térmica de entrada da unidade i [GJ/h]
P: Potência elétrica de saída da unidade i [MW]
a, b, c: Parâmetros característicos de cada unidade
Para obter a função de custo de produção relacionada a cada unidade
térmica, basta multiplicar
( ), pelo custo do combustível utilizado na unidade:
( )
(
)
(3.2)
31
Sendo:
: Custo de produção da unidade i [$]
: Custo do combustível da unidade i [$/GJ]
Para uma situação na qual há N unidades ligadas à uma barra a função custo
fica:
( )
( )
( )
( )
(
Ou,
)
(3.3)
∑
( )
Sendo:
: Custo total
: Custo de produção de uma determinada unidade
: Potência gerada por determinada unidade
O custo de produção indica o custo total de produção de uma certa
quantidade de energia. Outra medida de operação de um sistema térmico é o custo
marginal, que representa o custo associado à ultima unidade produzida e é
representado pela derivação da função custo total (
).
3.3 PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO
A meta do estudo do despacho econômico é reduzir o
funcionamento do sistema de forma eficiente. Então a função
de forma a manter o
é a função objetivo
deste problema de otimização.
Para sistemas termelétricos considera-se uma situação: uma barra infinita
com N unidades geradoras térmicas ligadas a ela, como representado na Figura 3.
32
Figura 3: N unidades geradoras alimentando diretamente a carga
Fonte: WOOD; WOLLENBERG, 1996 (Adaptado).
Sendo
a demanda do sistema e desconsiderando as perdas de
transmissão do sistema, tem-se que o despacho viável deve ser igual a seguinte
equação:
∑
(3.4)
Sendo:
Potência da carga (MW)
Quando
os
limites
operacionais
das
unidades
geradoras
não
são
considerados, as equações (3.3) e (3.4) representam o problema do despacho
econômico. Esse problema consiste em minimizar a função
sujeita à restrição de
atendimento da demanda descrita matematicamente por (3.4). Por se tratar de um
problema de otimização com restrições a solução do problema de despacho
econômico utiliza a função de Lagrange.
Para estabelecer as condições necessárias para obtenção do ponto mínimo
da função objetivo, multiplicam-se as equações que representam as restrições do
problema por multiplicadores de valores desconhecidos e depois somam-se essas
equações à função objetivo. Essa nova função é conhecida como Função de
Lagrange (WOOD; WOLLENBERG, 1996).
33
No caso estudado há apenas uma restrição de igualdade e, portanto apenas
um multiplicador de Lagrange
será considerado. O número de variáveis é N+1,
sendo N a quantidade de unidades geradoras mais o multiplicador de Lagrange. A
função Lagrangeana é dada por:
(
)
( )
[
∑ ]
(3.5)
Sendo:
: função Lagrangeana
: multiplicador de Lagrange
As condições de otimalidade são obtidas a partir da derivada parcial da
Função Lagrangeana com relação a cada variável do sistema igualada a zero. As
equações obtidas são:
( )
(3.6a)
∑
A derivada da função custo
própria geração
(3.6b)
de cada unidade geradora em relação à sua
fornece o custo incremental da unidade i.
Então a condição necessária para um custo mínimo de operação de um
sistema termelétrico é que o custo incremental de cada unidade deve ser igual a um
valor . Além disso, a soma das potências de saída dos geradores deve ser igual à
potência demandada pela carga (WOOD; WOLLENBERG, 1996).
Como cada unidade geradora tem um limite de máximo e mínimo de
produção de potência, tem-se:
,
(3.7)
Sendo:
: valor mínimo de geração da unidade i
: valor máximo de geração da unidade i
34
Considerando-se os limites de operação dos geradores, as condições de
otimalidade do problema e inequações podem ser resumidas como:
( )
N equações
(3.8a)
2N inequações
(3.8b)
∑
(3.8c)
Logo as condições de otimalidade são expandidas e mostradas a seguir:
para
(3.9a)
para
(3.9b)
para
(3.9c)
O exemplo a seguir mostra o cálculo do despacho econômico de um sistema
termelétrico com três unidades geradoras (WOOD; WOLLENBERG, 1996). É
importante enfatizar que, em problemas deste tipo, as três unidades geradoras
devem estar ligadas ao sistema elétrico e gerando uma potência elétrica que não
pode ser inferior ao seu limite minimo de geração.
35
Exemplo 3.1:
Para a resolução do exemplo considere as seguintes unidades geradoras:
Unidade 1 – Carvão:
• Potência de saída máxima:
= 600 MW
• Potência de saída mínima:
= 150 MW
• Curva entrada-saída:
(
)
• Custo do combustível: 1,1 $/MBtu
Unidade 2 – Oléo:
= 400 MW
= 100 MW
(
)
Unidade 3 – Óleo:
= 200 MW
= 50 MW
(
)
Determina-se o ponto ótimo de operação para essas 3 unidades geradoras
quando atendem uma carga de 850 MW.
Primeiramente é preciso achar as funções custo para cada unidade geradora.
Essa funções custo são obtidas multiplicando a curva H de entrada-saída pelo custo
do combustível.
( )
( )
( )
36
Utilizando as condições mostradas em (3.6a) e (3.6b) para despacho econômico
ótimo:
Colocando o sistema em forma matricial para chegar ao resultado fica:
[
][ ]
[
]
Ignorando-se por enquanto, os limites de geração, pode-se resolver o sistema de
quatro equações e quatro incógnitas. O resultado do valor de
é:
As potências geradas por cada unidade são:
Logo, para este caso a solução encontrada é viável, pois os valores encontrados
não desrespeitam os limites do respectivo gerador. Por fim:
( )
O valor
( )
( )
( )
é o custo total de operação condizente ao despacho ótimo.
37
3.4 DESPACHO ECONÔMICO COM PERDAS DE TRANSMISSÃO
A Figura 4 mostra um sistema com N turbinas que alimenta uma carga
através de uma linha de transmissão. Nesse caso não podem ser desprezadas as
perdas. Será mostrada a seguir como ficará a nova formulação considerando as
perdas de transmissão.
Figura 4: N unidades geradoras alimentando a carga pela linha de transmissão
Fonte: WOOD; WOLLENBERG, 1996 (Adaptado).
Como as perdas
não são desprezadas a nova restrição para se obter
um despacho viável é mostrada a seguir:
∑
(3.10)
O procedimento adotado é igual ao do sistema sem perdas. Inicialmente
escreve-se a função de Lagrange, na qual é inserida a restrição de atendimento da
carga e das perdas. Então calcula-se as condições de otimalidade, que são as
derivadas da função Lagrange, como mostrado a seguir (WOOD; WOLLENBERG,
1996):
38
(
)
( )
( )
[
(
∑ ]
(3.11a)
)
(3.11b)
(3.11c)
∑
Como a resolução desse tipo de sistema é mais complicada que o sistema
sem perdas, há duas abordagens para a solução desse problema. O primeiro
método é o desenvolvimento de expressões matemáticas para as perdas em função
da
potência
de
saída
de
cada
uma
das
unidades
geradoras
(WOOD;
WOLLENBERG, 1996).
O segundo método é conhecido por fluxo de potência ótimo. Nesse, as
equações do fluxo de potência são restrições essenciais no problema de otimização
(porém nesse trabalho não será abordado o método de fluxo de potência ótimo).
Exemplo 3.2:
Para esse exemplo são utilizados os mesmos dados do exemplo 1 (WOOD;
WOLLENBERG, 1996). Como as perdas são consideradas é adicionada uma
função.
Essa é uma forma simplificada para as perdas. Na verdade as fórmulas de perdas
são muito mais complexas que essa. Aplicando as equações 3.11:
( )
(
)
[
(
) ]
[
(
) ]
[
(
) ]
39
Como não há mais um conjunto de equações lineares, este problema requer uma
solução mais complexa que está descrita em 5 passos, mostrados a seguir.
Passo 1: Escolha um conjunto de valores iniciais para
,
e
, para o qual a
soma seja igual ao fornecido à carga.
Passo 2: Calcule as perdas incrementais
, bem como as perdas totais.
As perdas incrementais e perdas totais serão considerados constantes para cada
iteração.
Passo 3: Calcule o valor de
,
,
e , através de um sistema com 4 equações,
utilizando as equações 3.11, o qual é mostrado no passo a passo da resolução do
exemplo. Como as perdas são constantes nesse passo, as fórmulas voltam a ser
lineares, o que simplificada a resolução.
Passo 4: Compare os valores
,
e
do Passo 3 com os estipulados no início do
exemplo. Se não há diferenças significantes entre os valores anteriores e os valores
calculados no passo 3, vá para o Passo 5, caso contrário volte para o Passo 2.
Passo 5: Concluído.
Utilizando o método citado:
Passo 1: Valores iniciais para
,
e
Passo 2: Perdas incrementais:
(
)
(
)
(
)
Total de Perdas é 15.6MW
40
Passo 3:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
Como essas equações são lineares agora, pode-se resolver diretamente o sistema e
obter o valor de , juntamente com os valores de
Os valores para
,
e
,
e
.
são:
Passo 4: Como os valores são muito diferentes dos iniciais é necessário voltar para
o Passo 2.
Passo 2: Os valores para
,
e
encontrados no Passo 3 são utilizados para
calcular as perdas incrementais:
(
)
(
)
(
)
Total de Perdas é 15,78MW
Passo 3:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
41
Resolvendo o sistema, resulta:
E os novos valores de
,
e
são:
Como os valores ainda não são próximos aos anteriores o processo iterativo deve
continuar até que os valores da iteração atual sejam muito próximos dos valores
encontrados na iteração anterior. Na Tabela 5 são mostrados os resultados.
Tabela 5: Processo Iterativo para resolver o exemplo 3.2
Fonte: WOOD; WOLLENBERG, 1996.
3.5 MÉTODO DE ITERAÇÃO LAMBDA
Para encontrar o despacho econômico de unidades termelétricas pode ser
usado um método baseado em técnicas gráficas, conhecido como Método de
Iteração Lambda. Esse método não considera as perdas elétricas do sistema,
portanto os valores das potências geradas devem atender apenas a carga do
sistema. Pode-se estender a técnica gráfica para um algoritmo computacional. A
Figura 5 mostra o fluxograma do Método de Iteração Lambda.
42
Figura 5: Despacho Econômico pelo método de iteração Lambda
No fluxograma acima não é comentado sobre os limites de geração pois o
Método de Iteração Lambda não tem essa propriedade. Impor os limites de geração
seria um incremento do método.
Supondo que há um sistema com três máquinas e deseja-se encontrar o
ponto de operação econômica ótimo. Em outra abordagem, poderia traçar a
característica do custo incremental para cada umas das unidades no mesmo gráfico,
como é mostrado na Figura 6.
43
Figura 6: Solução gráfica para despacho econômico
A fim de estabelecer o funcionamento de cada uma dessas três unidades, que
têm um custo mínimo, e ao mesmo tempo satisfazer a demanda solicitada, pode-se
utilizar um esboço e uma régua para encontrar a solução, isto é, pode-se assumir
uma taxa de custo marginal do sistema ( ) e encontrar as potências de saídas de
cada
uma
das
três
unidades
para
este
valor
de
custo
marginal
(WOOD; WOLLENBERG, 1996).
Para exemplificar o que foi citado no parágrafo anterior, para calcular a
potência de saída de cada unidade deve-se utilizar a equação (3.8a).
Remodelando esta equação tem-se:
( )
(3.12)
Como Lambda é um valor numérico e a derivada da função custo irá resultar
em uma equação de segundo grau, basta aplicar a Fórmula de Bhaskara. Com isso
são encontrados 2 valores de
(são encontrados 2 valores para cada unidade
geradora pois as equações das funções custo do exemplo 3.3 e 3.4, apresentados a
seguir, são cúbicas). Para que o problema tenha solução o delta deve ser um
44
número maior que zero, isto é, com raízes reais. Caso aconteça o inverso, as raízes
serão
imaginárias,
consequentemente,
o
programa
não
irá
convergir,
impossibilitando encontrar a resposta correta.
É praticamente certo que o primeiro valor estimado será incorreto. Deve-se
aumentar o valor de
se o resultado da potência de saída for menor do que o
desejado e tentar uma nova solução. Com duas soluções, podem-se interpolar as
duas soluções para chegar mais próximo do valor desejado da potência, como
mostrado na figura 7 (WOOD; WOLLENBERG, 1996).
Figura 7: Projeção Lambda
Fonte: WOOD; WOLLENBERG, 1996. (Adaptado)
Traçando um gráfico da demanda total versus o custo marginal, encontra-se
rapidamente o ponto de operação desejado, o ponto ótimo. Se desejar, existe a
possibilidade de fazer uma série de tabelas mostrando o total de energia fornecida
para diferentes valores de custos marginais e combinações de unidades.
Este
mesmo
procedimento
pode
ser
adotado
para
um
algoritmo
computacional como mostrado na Figura 5, ou seja, é estabelecido um conjunto de
regras lógicas que permite atingir o mesmo objetivo, como foi feito com régua e
papel milimetrado. Para tal, é necessário estabelecer um modo de calcular as
potências geradas de cada unidade a partir do lambda determinado na iteração
(WOOD; WOLLENBERG,
1996).
Pode-se,
por exemplo,
criar tabelas
de
armazenamento de dados no computador e interpolar entre o valor da energia
45
armazenado para encontrar a potência exata com um valor especificado da taxa de
custo marginal. Outra abordagem seria desenvolver uma função analítica para a
produção de energia como uma função da taxa de custo marginal, armazenar esta
função (ou os seus coeficientes) no computador, e utilizar isto para estabelecer a
potência de saída de cada uma das unidades individuais.
Este procedimento é um tipo de cálculo iterativo, e necessita estabelecer
critérios de parada. O critério mais indicado é mostrado na Figura 5. Inicialmente é
definida uma tolerância máxima (ou erro máximo). A diferença entre a soma das
potências geradas e a carga é então comparada com esse valor de tolerância.
Quando a diferença é menor do que a tolerância, o algoritmo cessa as iterações. A
seguir é apresentado um exemplo no qual é utilizado o Método de Iteração Lambda.
Exemplo 3.3:
Supondo um sistema de geração no qual funções cúbicas são usadas para
representar as características das potências de entrada e saída do sistema, como
mostra a equação a seguir (WOOD; WOLLENBERG, 1996):
(
)
(P em MW)
(3.13)
Os valores dos coeficientes A, B, C e D são mostrados na Tabela 6.
Para três unidades, encontrar o ponto ótimo utilizando o método de iteração
lambda.
Tabela 6: Dados do Exemplo 3.3
46
Suponha que o custo do combustível é 1.0 $/MBtu para cada unidade e os
limites da unidade são:
Dois exemplos de solução são mostrados, ambas utilizando o diagrama de
blocos na Figura 5. Neste cálculo, o valor de
na segunda iteração é sempre fixada
em 10% acima ou abaixo do valor de partida, dependendo do sinal do erro, para a
iteração anterior,
é projetada como na Figura 7.
O primeiro exemplo mostra a vantagem de iniciar
um valor de carga do sistema de 2500 W, iniciando com
perto do valor ótimo. Para
:
Os resultados de Método de Iteração Lambda, neste caso, são mostrados na
Tabela 7 (WOOD; WOLLENBERG, 1996).
Observa-se que em apenas 5 iterações, o valor da soma das potências
geradas se iguala ao valor da carga. O
ótimo encontrado é próximo do valor inicial.
47
Exemplo 3.4:
O Exemplo 3.4 mostra os problemas de oscilação que podem ser encontrados
com uma abordagem iteração lambda, quando o valor inicial está distante do valor
ótimo. Para um
inicial igual à 10 $/MWh e mesma carga, os resultados obtidos são
mostrados na Tabela 8.
Segundo os exemplos de solução apresentados, observa-se que o Método de
Iteração Lambda é sensível ao valor inicial para o
e pode oscilar até chegar ao
ponto ótimo.
3.6 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO
Como visto neste capítulo, o problema de despacho econômico pode ser
analisado em duas abordagens distintas: com ou sem perdas de transmissão. O
Método de Iteração Lambda se baseia em uma técnica gráfica aplicada as curvas de
48
custo dos geradores. Essa técnica não leva em conta os limites de potência gerada
das unidades e também despreza as perdas do sistema. O mesmo princípio do
Método
de
Iteração
Lambda
pode
ser
implementado
em
um
algoritmo
computacional, permitindo o cálculo do ponto ótimo com uma melhor precisão,
considerando vários geradores. Sabendo qual a situação a ser considerada, pode-se
seguir os passos dos métodos diferentes apresentados nesse capítulo.
Quando a abordagem do problema considera a parcela de potência que é
utilizada para suprir as perdas elétricas do sistema, pode-se utilizar o Método do
Despacho Econômico com Perdas, apresentado neste capítulo. Nesse método as
perdas são calculadas como uma função da potência gerada por cada gerador.
A implementação computacional, usando os exemplos numéricos mostrados,
possibilitou obter várias conclusões a respeito do despacho econômico que envolve
somente unidades termelétricas, como será mostrado no Capítulo 5.
Minimizar custos de produção de energia elétrica é necessário para evitar
maiores gastos e consequentemente deixar o sistema em operação mais barato.
Somando-se com o barateamento do sistema pode citar, também, a diminuição do
desperdício de combustíveis, o que é excelente para a redução da poluição sendo
esse atualmente, um assunto muito debatido.
Portanto, o despacho econômico busca uma melhor eficiência na produção de
energia enfatizando os aspectos econômicos, mas também contribuindo em outros
aspectos.
49
4. MÉTODO DE PONTOS INTERIORES PRIMAL DUAL APLICADO
AO PROBLEMA DE DESPACHO ECONÔMICO
4.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo é realizado o estudo do Método de Pontos Interiores Primal
Dual. Este método baseia-se em minimizar a função custo e também transformá-la
em desigualdade através das variáveis de folga. A explicação do método é feita a
partir das formulações mostradas nesse capítulo.
O método pode ser utilizado em várias situações, desde função custo cúbica
a função custo com ou sem perdas. Neste trabalho o algoritmo apresentado
despreza as perdas.
Esse é um método relativamente recente, porém cada vez mais utilizado. O
primeiro algoritmo foi apresentado em 1984 por Karmarkar, entrato este não foi
utilizado como cálculo de despacho econômico (DUTRA, 2004).
4.2 MÉTODO DE NEWTON
O Método de Newton é utilizado para encontrar a solução de uma equação ou
conjunto de equações diferenciáveis g(x).
O método faz com que o gradiente da função se aproxime de zero, ou seja,
um vetor cujos os elementos são zeros. O método de Newton para uma função de
mais
de
uma
variável
é
desenvolvido
como
descrito
a
seguir
(WOOD; WOLLENBERG, 1996).
Supoem-se que a função g(x) seja levada para zero. A função g(x) e as
incógnitas, x, são vetores. Utilizando o método de Newton pode-se observar:
(
)
( )
[ ( )]
(4.1)
Se a função g(x) foi definida como um conjunto de funções:
( )
[
(
(
(
)
)]
)
(4.2)
50
Então a derivada de cada função é uma matriz do tipo:
( )
(4.3)
[
]
A qual é familiar à matriz Jacobiana (J(x)) presente na solução do problema,
cujo (i, j)-ésimo elementos é dado por:
( )
( )
[
]
(4.4)
O ajuste em cada iteração de Fluxo de Potência é dado por:
[ ( )]
( )
(4.5)
A função g(x) pode ser o conjunto das equações (3.6), descritas no Capítulo
3, que descrevem as condições de otimalidade do problema de despacho
econômico. Dessa forma, o ajuste de cada iteração é dado por:
[
(4.6a)
]
[
]
(4.6b)
Com isso, a matriz Jacobiana torna-se uma matriz composta de segundas
derivadas e é chamada de matriz Hessiana:
51
[
]
(4.7)
[
]
O método de Newton que foi mostrado acima será utilizado no decorrer
método primal-dual para encontrar os resultados.
4.3 FORMULAÇÃO DO PROBLEMA DE DESPACHO
Para dar início às formulações, apresenta-se em (4.8) o problema de
despacho econômico original com função custo quadrática, desconsiderando as
perdas de transmissão:
( )
(4.8)
sendo:
: valor escalar constante (termo independente).
: vetor (
) dos coeficientes que multiplicam .
: vetor (
) das potências geradas.
matriz diagonal (
: vetor (
) dos coeficientes que multiplicam
.
) de elementos iguais a 1 (vetor soma)
valor (escalar) da potência total da carga (demanda).
vetor (
) dos limites mínimos de geração.
vetor (
) dos limites máximos de geração.
número de unidades geradoras do sistema
52
4.3.1 PROBLEMA MODIFICADO
As restrições de desigualdade dificultam a solução do problema de
otimização. Por isso, é necessário transformar essas restrições em restrições de
igualdade, inserindo as variáveis de folga da seguinte forma:
(4.9a)
=
(4.9b)
Onde:
vetor (
) das variáveis de folga para a restrição da potência mínima.
vetor (
) das variáveis de folga para a restrição da potência máxima.
Além das variáveis de folga, o problema necessita da imposição da barreira
logarítmica. O método da barreira transforma o problema restrito em um problema
irrestrito (BALBO et al, 2010). Este introduz as restrições de não-negatividade das
variáveis de folga na função objetivo através de um fator de barreira, que penaliza a
aproximação de um ponto possível à fronteira da região factível. O método da
barreira logarítmica pode ser exemplificado no seguinte problema de otimização:
( )
∑
(4.10)
53
Sendo
o parâmetro da barreira, um valor escalar e maior que zero, sendo
calculado em cada iteração da seguinte forma:
(4.11)
sendo:
número da iteração;
vetor das variáveis de folga, na iteração k;
vetor dos multiplicadores de Lagrange, das restrições de desigualdade, na
iteração k;
fator de aceleração de ,
Caso
.
( ) seja uma solução ótima para o problema descrito em (4.10), e se
( ) tender para um ponto
quando
tende a zero, consequentemente,
é uma
solução ótima do problema original (BALBO et al, 2010).
A partir disso, o problema (4.7) é modificado e dado por:
( )
∑
(
)
∑
(
)
(4.12)
-
;
;
4.3.2 FORMULAÇÃO DE LAGRANGE PARA O PROBLEMA
Aplica-se Lagrange em (4.12) para tornar possível a obtenção de resultados.
Logo:
54
(
)
(
(
)
)
∑
(
(
)
)
∑
(
)
(4.13)
sendo:
multiplicador de Lagrange da restrição de atendimento à carga (escalar);
vetor (
) dos multiplicadores de Lagrange das restrições de potência
mínima;
vetor (
) dos multiplicadores de Lagrange das restrições de potência
máxima
Baseando-se em (4.13) é possível escrever as condições de otimalidade de
Karusch-Kun-Tucker :
(4.14a)
(4.14b)
(4.14c)
(4.14d)
(4.14e)
(4.14f)
55
A equação (4.14e) pode ser remodelada para:
(4.14g)
Remodelando também a equação (4.14f):
(4.14h)
Agrupando as variáveis de folga
(2.
e
) e fazendo o mesmo com o multiplicador
em um único vetor de dimensão
e
, obtém-se:
[
]
(4.15)
[
]
(4.16)
Associando os limites máximos e mínimos de geração em um único vetor:
[
]
(4.17)
56
Pode-se então reescrever o Lagrangeano do problema modificado de forma
mais simplificada:
(
)
(
)
{[
]
}
(4.18)
∑
onde:
matriz identidade de dimensão (
Pode-se criar uma matriz
)
que é composta pela associação das matrizes
identidade:
[
Como exemplo, se
]
(4.19)
então:
(4.20a)
[
[
]
]
(4.20b)
57
Consequentemente, as condições de otimalidade de Karusch-Kun-Tucker são
expressas por:
(4.21a)
(4.21b)
(4.21c)
(4.21d)
Sendo que S é a matriz diagonal do vetor s, isto é:
(4.22)
[
Da mesma forma
]
é a matriz diagonal do vetor
logo:
(4.23)
[
]
58
Aplicando o Método de Newton, como descrito na Equação (4.6a):
(
)
(4.24a)
(
(
(
(4.24b)
)
(4.24c)
)
(4.24d)
)
Portanto, para a iteração k, o sistema a ser resolvido é:
[
]
[
]
[
(
)
(
)
(
)
(
)]
(4.25)
4.4 CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO
Neste capítulo foi mostrado outro método para cálculo de despacho
econômico, o Método de Pontos Interiores Primal Dual. Esse método vem
complementar os estudos sobre o despacho econômico, com o estudo do Método de
Despacho Econômico com Perdas e do Método de Iteração Lambda, ambos
explicados no Capítulo 3.
Como dito anteriormente, minimizar os custos de produção é necessário para
muitos aspectos, por isso, é importante compreender vários métodos de cálculo de
despacho econômico. O Método dos Pontos Interiores Primal Dual tem a
matemática mais complexa em relação aos outros métodos, por isso, espera-se que
apresente menos limitações. As simulações no capítulo seguinte devem comprovar
ou desmentir esta situação.
59
5. IMPLEMENTAÇÃO DOS MÉTODOS DE DESPACHO ECONÔMICO
5.1 INTRODUÇÃO
Neste capítulo são apresentadas as implementações dos métodos para
cálculo do despacho econômico citados nos Capítulos 3 e 4, os quais são:

Método de iteração Lambda

Despacho econômico com perdas

Método com perdas considerando os Fatores de Penalidade

Método dos Pontos Interiores Primal Dual
Cada método tem suas respectivas peculiaridades e propriedades que são
demonstradas e comentadas nas diferentes simulações.
Ao final do capítulo é feito uma comparação entre os métodos implementados
computacionalmente.
5.2 MÉTODO DE ITERAÇÃO LAMBDA
No Método de Iteração Lambda as perdas não são consideradas, assim como
os limites de geração são desprezados. Primeiramente, é arbitrado um valor para o
lambda. A partir desse lambda inicial é possível calcular as potências das unidades
geradoras, representada pelo vetor
:
(5.1)
Como o primeiro valor para lambda não deve estar correto, as potências
geradas também não serão a solução do problema, logo a soma das
não é igual
a potência da carga.
O segundo valor de lambda, por definição, deve ser 10% maior ou menor que
o primeiro valor. Neste trabalho foi adotado 10% a mais. Com os dois primeiros
valores conhecidos é possível encontrar os próximos valores. Para encontrá-los
existem vários métodos, dentre eles pode-se citar a interpolação e Método da
Secante.
60
Neste caso, o método escolhido foi o Método da Secante. Este tem a seguinte
formulação para descobrir qual será o próximo valor do lambda, utilizando os dois
primeiros:
(
)
( )
(
( )
( )
)
( )
(
)
(
(5.2)
)
Sendo:
: Potência da carga
( )
( )
(
(
)
)
Potência Total somada das N unidades nas iterações n e n-1
(
)
Valores consecutivos de lambda nas iterações (n-1), (n) e (n+1).
A partir dos próximos valores é possível encontrar valores das potências
geradas cuja soma está mais próxima da potência da carga. A cada nova iteração a
soma das potências das unidades deve-se aproximar do valor da potência
necessária para alimentar a carga.
É necessário estipular um critério de parada para o algoritmo. Portanto deve
ser imposto um erro máximo entre a soma das potências geradas e a carga, isto é, o
módulo da diferença entre o valor da potência da carga e da potência total das
unidades geradoras calculadas na iteração deve ser menor que o valor de uma
tolerância pré-definida.
Como dito anteriormente, os limites de geração das máquinas não são
considerados na programação, isto é, o método de iteração lambda acha um ponto
ótimo entre as unidades, mas não quer dizer que este ponto esteja dentro dos limites
de geração das unidades.
.
5.2.1 IMPLEMENTAÇÃO DO EXEMPLO TESTE – PROGRAMA LAMBDA_EX3.3
Para estudar e aplicar o método da Iteração Lambda no problema de
despacho econômico, foi implementado um algoritmo para a solução de um sistema
apresentado no Capítulo 3.
O sistema mostrado no Exemplo 3.3 possui três unidades geradoras térmicas
alimentando uma carga com potência de 2500W. Os limites de geração das
unidades são os seguintes:
61
(5.3)
Além dos limites foram definidos: a potência da carga (PL) e o valor inicial
para lambda (lambda(1,1)).
No Exemplo 3.3 as características de entrada e saída de cada unidade são
descritas por funções cúbicas de P (potência), como mostrado na equação (3.12).
Foram considerados os valores dos coeficientes mostrados na Tabela 6 do
Capítulo 3.
Pode-se escrever as funções custo de cada unidade. Sabendo que o
combustível para todas as unidades tem o preço de 1.0 $/MBtu, então:
(5.4a)
(5.4b)
(5.4c)
Aplicando-se as condições de otimalidade que definem os valores ótimos para
e para as potências geradas:
<=>
(5.5)
Então:
(5.6a)
(5.6b)
(5.6c)
Como o valor de lambda é arbitrado na primeira iteração, a Equação (5.6)
torna-se um polinômio de segundo grau apresentando duas respostas para os
62
valores de
, sendo que uma das raízes será positiva. Esta é a resposta a ser
utilizada.
No programa LAMBDA_EX3.3,
,
e
são as definições em forma de
matriz para os
polinômios mostrados em (5.6). Neste caso,
equação
de
e
e
de
é a solução da
, foi utilizado o comando “roots” para
. No
calcular as raízes de cada polinômio. Com isso obtém-se os valores de
As potências
,
e
,
,
.
estão definidas de forma para que apenas a raiz
positiva do comando “roots” seja utilizada. A partir da soma das três potências é
possível achar a potência total gerada (
) para suprir a carga.
Porém, possivelmente, não será o primeiro valor de lambda que resultará em
uma potencia total igual ao da carga. A partir disso, torna-se necessário a utilização
do método da secante. Entretanto, para a aplicação do método, deve-se ter um
segundo valor para lambda. Este valor será 10% maior ou menor que o primeiro
valor de lambda, dependerá do algoritmo. Neste caso foi aplicado 10% a mais no
primeiro valor.
Este novo valor de lambda é usado para calcular os novos de
valor de
,
e
eo
, que também não será suficiente ainda para atender à carga. A partir
dessa etapa o programa LAMBDA_EX3.3 executa um loop para calcular os novos
valores de lambda,
,
e
e
. Como o Método da Secante começa a partir da
iteração i+1, deve-se começar o cálculo dentro do loop na iteração 2 (i=2)
Depois do cálculo de
, é aplicado dentro do loop a fórmula do erro:
|
|
(5.7)
Enquanto o erro for maior que uma tolerância pré-definida as iterações
continuam. Quando acontecer o contrário, as iterações cessam e chegou-se à
solução final.
Como pode ser observado, a solução do problema de despacho econômico
no Método de Iteração Lambda é definida pela diferença entre tolerância e o erro.
Isto significa que é possível que em algumas soluções os valores das potências
e
não estarão dentro dos respectivos limites de geração das unidades.
No programa LAMBDA_EX3.3 implementado, os valores encontrados de
e
,
,
respeitam os limites de geração do problema apresentado no Exemplo 3.3:
63
= 724,9915 MW
MW
= 910,1533 MW
MW
= 864,8551 MW
MW
E, o lambda correto para este exemplo é:
Para facilitar a implementação do Exemplo 3.4 necessita-se, apenas, realizar
uma mudança, trocar o lambda inicial para 10.
Com a troca feita, o programa LAMBDA_EX3.4 está pronto. E as seguintes
potências são encontradas:
= 724,9914MW
MW
= 910,1532MW
MW
= 864,8550MW
MW
E, o lambda encontrado é:
Assim como nos exemplos 3.3 e 3.4 demonstrados no capítulo 3, o exemplo
3.4 tem um maior número de iterações em relação ao exemplo 3.3.
É necessário ressaltar a diferença do número de iterações entre o Exemplo
3.4 e a implementação computacional deste. O algoritmo apresentado em Wood e
Wollenberg (1996) mostra que são necessárias 10 iterações para obter a solução
ótima, já no programa LAMBDA_EX3.4 são realizadas apenas 6 iterações. Esta
diferença reflete-se devido às diferenças de métodos de atualização do lambda. No
algoritmo em Wood e Wollenberg (1996) é realizada interpolação, enquanto que no
programa LAMBDA_EX3.4 foi o Método da Secante.
Com o programa LAMBDA_EX3.3 é possível realizar várias simulações com
diferentes valores.
64
5.2.2 PROGRAMA LAMBDA_IMP
Foram realizadas várias simulações com diferentes valores iniciais para
lambda. Quando o valor inicial de lambda foi igual a 2, o algoritmo implementado
não obteve a convergência, executando o loop sem parar. Para evitar esse tipo de
situação, o programa LAMBDA_EX3.3 teve uma alteração no critério de parada.
Agora, além da diferença entre o erro e a tolerância, o número de iterações também
foi estipulado como critério de parada.
Com a mudança realizada o programa LAMBDA_IMP não fica mais em loop
infinito. Porém é necessário corrigir também os valores encontrados das potências a
cada iteração, as quais não podem ser número complexos. Observou-se durante as
simulações que um valor inicial pequeno para lambda acarretava em valores
complexos de
,
e
. Esses valores podem aparecer no Método de Iteração
Lambda pois inviabilizam a solução, já que esta solução depende da soma de
e
,
. Para isso foi pensado em encontrar o limite mínimo para o valor inicial de
lambda para que a resposta final seja viável.
Primeiramente é fundamental deixar a função custo em função do custo dos
respectivos combustíveis:
(5.8a)
(5.8b)
(5.8c)
Sendo:
: Custo do Combustível para a unidade geradora n, para n=1, n=2 e n=3.
Derivando a função custo de cada unidade e aplicando as condições de otimalidade
(5.5) chega-se em:
(5.9a)
(5.9b)
(5.9c)
65
No Método de Iteração Lambda busca encontrar os valores das potências
e
,
, com isso é possível encontrar um lambda mínimo em função do custo do
combustível utilizado. Para tornar isso viável é importante entender o motivo das
potências não terem apresentadas valores reais.
Como as equações (5.9) são de segunda ordem, é necessário aplicar a
Fórmula de Bhaskara. Para que as potências tenham valores reais é essencial que a
raiz seja maior que zero, isto é:
(5.10)
√
Logo, para cada unidade geradora é necessária aplicar a equação 5.10. Os
coeficientes a, b e c apresentados em (5.8) são mostrados na Tabela 9:
Tabela 9: Coeficientes de cada unidade geradora
Coeficiente a
Coeficiente b
Coeficiente c
Unidade Geradora 1
Unidade Geradora 2
Unidade Geradora 3
Fonte: Autoria Própria, 2013.
Substituindo os valores em (5.10), as seguintes condições são encontradas:
(5.11a)
(5.11b)
(5.11c)
Com as condições (5.11) é possível saber quais os valores mínimos de
lambda. Sabendo que para o Exemplo 3.3 o custo de cada combustível é de
1,0$/MBtu, a unidade 1 deve ter um lambda maior que
lambda tem que ser maior que
igual à
, já a unidade 2 o
e para a unidade 3 o lambda mínimo deve ser
. Aplicando as três condições simultaneamente é necessário que o
66
lambda mínimo seja maior que o maior lambda encontrado, isto é, deve ser maior
que
.
Assim, a partir das deduções demonstradas, o programa LAMBDA_IMP foi
implementado. A primeira alteração a ser citada é o acréscimo da definição dos
valores dos custos dos combustíveis.
A seguir, os custos também foram adicionados nas equações
,
tornando as potências dependentes dos custos.
Após realizadas as devidas alterações foram realizadas as experiências com
os valores de lambda anteriormente citados, primeiramente para lambda igual a
(maior que o lambda encontrado) os valores encontrados foram
compatíveis:
= 724,9794MW
MW
= 910,1368MW
MW
= 864,8435 MW
MW
e:
Entretanto, ao aplicar o valor encontrado (
) as potências encontradas
apresentaram número imaginário, confirmando que este valor não é possível utilizar.
Além do limite mínimo do valor inicial de lambda, seria importante achar um
valor máximo. Entretanto, a complexidade desses cálculos é muito grande. Após
vários testes realizados, verificou-se que o programa converge enquanto lambda for
menor que 20,3. A partir deste valor o programa não converge mais, pois verificouse que o lambda começou a ter valor negativo no Método da Secante. Porém não é
possível encontrar o valor exato do lambda máximo, pois o Método da Secante
utiliza-se de algumas variáveis, onde apenas PL é um valor conhecido. Todavia, o
valor de lambda em situações reais não será tão grande, portanto essa imposição do
valor máximo é apenas para efeito de simulações.
67
5.2.3 MAIS SIMULAÇÕES
Várias simulações foram feitas durante o estudo do Método de Iteração
Lambda.
Uma alteração feita foi a mudança do valor da carga total. Com o valor de
3000 MW, os valores encontrados para a potência foram:
= 875,2461MW
MW
= 1115,0224MW
MW
= 1009,6743MW
MW
e:
Uma carga de 3000MW é quase o valor máximo do sistema de geração
(soma de todos os limites máximos). Portanto, nessa solução, a unidade 1 extrapola
o seu limite de geração máximo (lembrando que no Método de Iteração Lambda os
limites de geração não são considerados).
Outra alteração em relação ao Exemplo 3.3 foi mudar um dos coeficientes da
Tabela 6 (Capítulo 3), por exemplo, o coeficiente B da unidade 3, de 6,531 para
7,531. Com a alteração realizada, e considerando lambda inicial igual a 8, os valores
das potências sofrem grandes alterações, como mostrado abaixo:
= 842,9798MW
MW
= 1070,9855MW
MW
= 586,0249MW
MW
e:
68
As alterações mostradas acima resultam em valores muito diferentes de
potência em relação aos apresentados no Exemplo 3.3.
Importante notar que a potência da unidade 1 está fora dos limites de geração
em ambos os casos descritos acima, mostrando que o Método de Iteração Lambda
apresenta como resposta um valor ótimo entre as 3 unidades geradoras e esta nem
sempre é a solução correta (dentro dos limites de geração).
Além da simulação com PL=3000MW para verificar o comportamento do
programa, pode-se realizar mais simulações para verificar qual das três unidades é a
mais econômica. A tabela a seguir mostra as potências
e
com variações na
potência da carga (PL):
Tabela 10: Valores de
,
e
para mudanças no valor da potência da carga
(MW)
(MW)
(MW)
2300
664,6744
828,0614
807,2296
2400
694,8417
869,1081
836,0128
2600
755,0881
951,1480
893,7207
2700
785,1684
992,1418
922,6433
PL (MW)
Analisando os resultados apresentados na tabela, é possível concluir que
para grandes potências a unidade geradora 1 é a mais barata, pois a cada
simulação o valor da potência gerada
mais perto do limite em relação à
e
cresce sua produção de modo que fica
.
5.3 MÉTODO DE DESPACHO ECONÔMICO COM PERDAS
O Método do Despacho Econômico com Perdas apresentado no Capítulo 3 foi
implementado em um algoritmo chamado DE_PERDAS. Nesse método as perdas
são consideradas, como foi mostrado no Capítulo 3. Os valores iniciais das variáveis
do problema são as potências de cada unidade geradora. Os valores para as N
unidades geradoras são escolhidos entre os limites de geração de cada uma e a
soma deles deve atender a carga que será atendida. O algoritmo executa um
número de iterações não definido até que a diferença entre a soma das potências
geradas e a carga mais as perdas seja menor do que tolerância definida
inicialmente. Para chegar aos valores finais, o programa utilizar as curvas de cada
69
unidade e os custos. As perdas também são consideradas em função das potências
das unidades geradoras.
O cálculo das potências é feito pela formula de Lagrange.
(
)
( )
[
∑ ]
(5.12)
Os cálculos das novas potências e o novo valor de lambda são realizados
considerando as potências anteriores de cada unidade geradora. Os novos valores
das potências e de lambda são comparados aos valores antigos e um erro, o qual já
foi citado, é utilizado para saber se o programa convergiu ou não. Esse cálculo é
feito a cada iteração. A seguir é mostrado o passo a passo do algoritmo
DE_PERDAS.

Passo 1: Escolha um conjunto de valores iniciais para
,
e
, o qual a
soma seja igual ao fornecido à carga.

Passo 2: Calcule as perdas incrementais
, bem como as perdas
totais. As perdas incrementais e perdas totais serão considerados constante
até voltar para a etapa 2.

Passo 3: Calcule o valor de
que faz com que a soma de
,
e
seja
igual a soma da carga mais perdas. Como as perdas são contante nesse
passo, as fórmulas voltam a ser lineares, o que simplificada a resolução.

Passo 4: Compare os valores
,
e
do passo 3 com os estipulados no
início do exemplo. Se não há diferenças significantes entre os valores anterior
e os valores calculado no passo 3, vá para o passo 5, caso contrário volte
para o passo 2.

Passo 5: Concluído.
Os testes foram realizados 3 unidades geradoras, porém pode ser feito para
mais unidades também com pequenos ajustes. Como caso base para avaliar o
funcionamento, foi utilizado um exemplo do livro do Wood e Wollemberg (1996).
Para esse teste foi definido um erro de 0,01. Com os valores iniciais citados no livro,
o algoritmo fez 10 iterações para convergir e chegar aos valores esperados.
70
Alterando os valores iniciais, o algoritmo convergir para valores muito próximos e fez
10 iterações também. As Tabela 11 e Tabela 12 mostram os dois testes que foram
feitos com o algoritmo DE_PERDAS.
Tabela 11: Primeiro teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base
Unidade
Potência Inicial
Geradora
1º Teste (MW)
1
250
2
400
3
200
PERDAS
Potência Final
1º Teste (MW)
435,1968
299,9722
130,6598
15,8288
Número de
Iterações
10
Tabela 12: Segundo teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base
Unidade
Potência Inicial
Geradora
2º Teste (MW)
1
350
2
350
3
150
PERDAS
Potência Final
2º Teste (MW)
435,1975
299,9712
130,6602
15,8289
Número de
Iterações
10
A partir desse exemplo pode-se notar que o programa não depende dos
valores iniciais para convergir. Foi feito até um teste no qual os valores iniciais não
respeitavam a seguinte condição, e mesmo assim o programa convergiu e encontrou
os mesmo valores, porém para que o programa funcione corretamente, deve
respeitar essa condição:
∑
(5.13)
Após realizar esse teste, e constatar que o programa funcionou corretamente,
outro teste foi realizado. Foi feito apenas uma alteração na carga que será atendida
pela unidade geradora. A nova carga foi 1000MW. O programa convergiu da mesma
forma que com a carga anterior. As Tabela 13 e Tabela 14 mostram os resultados:
71
Tabela 13: Terceiro teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base
Unidade
Potência Inicial
Geradora
3º Teste (MW)
1
400
2
400
3
200
PERDAS
Potência Final
3º Teste (MW)
515,4179
351,1936
155,3545
21,966
Número de
Iterações
10
Tabela 14: Quarto teste do Algoritmo DE_PERDAS para Caso Base
Unidade
Potência Inicial
Geradora
4º Teste (MW)
1
600
2
300
3
100
PERDAS
Potência Final
4º Teste (MW)
515,42
351,1908
155,3554
21,9662
Número de
Iterações
10
Para o segundo teste do algoritmo foi realizado uma alteração na curva do
gerador 1. Os custos desse gerador foram aumentados em 10% em cada coeficiente
da curva. Com esse acréscimo, a potência da segunda unidade geradora
ultrapassou seu limite de geração, já que se tornou mais econômica em relação aos
demais geradores. Isso foi um bom teste para o programa, pois constatou-se que
com a lógica utilizada não é possível impor os limites de geração das unidades.
Por isso, será implementado um novo algoritmo no qual as perdas são
consideradas, porém o cálculo dos valores das potências e do lambda é feito de
outra forma. São considerados fatores de penalidade para obter os resultados das
potências. Esse algoritmo mostrou-se mais eficiente e os resultados serão
mostrados na sequência.
5.4 DESPACHO ECONÔMICO CONSIDERANDO FATORES DE PENALIDADES
O algoritmo implementado será chamado FATPEN. Nesse é feito inicialmente
um cálculo das potências dos geradores sem considerar as perdas utilizando a
fórmula de Lagrange, vista anteriormente no Capítulo 3 (Equação 3.5). Após esse
cálculo inicial têm-se os valores iniciais das potências. O programa inicia uma nova
72
rotina, na qual ao lambda é adicionado um pequeno valor a cada iteração para que a
seguinte condição seja atingida.
|∑
Sendo
|
(5.14)
um valor muito próximo de zero.
Esse algoritmo pode limitar os valores das potências de acordo com a
condição específica de cada unidade geradora e, por isso, pode ser considerado
melhor que o algoritmo DE_PERDAS que não limitava os valores. Porém o problema
dele é que não respeita exatamente a seguinte condição de otimalidade, dada por:
∑
(5.15)
A restrição descrita na Equação (5.15) não é totalmente atendida porque as
somatórias das potências sempre vão ser maiores que a soma da potencia da carga
mais as perdas.
O algoritmo implementado para esse método segue os seguintes passos:
1. Fornecer valores iniciais para
, =1,...,
Sem considerar as perdas é feito o cálculo das potências iniciais através da fórmula
de Lagrange. Esses cálculos são realizados com matrizes.
2. Calcular as
usando a FGP (Formula Geral das Perdas).
3. Calcular os Fatores de Penalidade:
( ∑
4. Fornecer valor inicial para
)
(Calculado junto com o item 1).
5. Resolver as equações de coordenação e obter
:
( )
Inicia a rotina que faz o cálculo das potências. Enquanto os valores não chegam ao
valores esperado (ponto ótimo), a rotina continua realizando os cálculos.
6. Se |∑
|
o passo 7. Se não, ajuste
para um
e suficientemente pequeno, vá para
e retorne ao passo 5.
73
7. Compare
da iteração corrente, |
da iteração anterior com
(
)
( )
|
e armazene o máximo valor obtido:
‖
8. Se ‖
‖
, para um
‖
|
(
)
( )
|
e suficientemente pequeno, FIM.
Se não, retornar ao passo 2.
Para analisar desempenho do algoritmo FATPEN foi estudado o mesmo
Exemplo 3.2 utilizado para o despacho econômico com perdas. O sistema do
Exemplo 3.2 foi simulado (chamado Caso Base) e mais outros três casos. No Caso 1
foi feito um acréscimo no custo do gerador 1 aumentando 10% em cada coeficiente
da curva desse gerador. No Caso 2 foi feito um acréscimo de 20% na curva do
gerador 3. E no Caso 3 foi feito um acréscimo de 15% nos parâmetros da fórmula
das perdas para ver a influência das perdas no resultado ótimo. Todos os casos
citados foram simulados para atender uma carga com potência de 850MW e para
outra carga com potência de 1000MW.
No Exemplo 3.2 as características de entrada e saída de cada unidade são
descritas por funções quadráticas de P (potência), como mostrado na equação.
Podem-se escrever as funções custo de cada unidade. Sabendo que o combustível
para a unidade 1 tem preço 1,1$/MBtu e para as unidades 2 e 3 tem o preço de
1,0$/MBtu, então as equações de custos do Caso base são:
(5.16a)
(5.16b)
(5.16c)
A fórmula utilizada para calcular as perdas é a seguinte:
(5.17)
Cada unidade geradora tem um limite mínimo e máximo predefinido. Os
limites de geração são:
74
Simulando o Caso Base e com um erro previamente definido para 0,01, o
algoritmo precisou de 11 iterações para convergir e chegar ao resultado final que
atende as condições de KKT (Karush-Kuhn-Tucker). A Tabela 15 mostra o resultado
da simulação. Comparando os resultados com o método anterior, pode-se notar que
a diferença em todas as potências, inclusive nas perdas. Porém como nesse método
há um erro, podem ser considerados os dois resultados como resultados viáveis.
Tabela 15: Caso Base do Algoritmo FATPEN para uma carga de 850MW
Fonte: Autoria própria, 2014.
Para o segundo teste com o Caso base foi realizada apenas uma alteração
nos dados, o potência a ser atendida pelos geradores. A nova potência é 1000MW.
Para esse novo teste o algoritmo precisou também de 11 iterações. Pode-se
observar que o programa precisou da mesma quantidade de iteração para calcular o
ponto ótimo para as duas cargas definidas. Outro detalhe que se pode notar é que
as unidades geradoras têm contribuições constantes independentes da potência a
75
ser atendida. A primeira unidade gera cerca de 50% da carga total, enquanto as
unidades 2 e 3 geram 30% e 15%, respectivamente.
Tabela 16: Caso base do Algoritmo FATPEN para uma carga de 1000MW
5.4.1 IMPLEMENTAÇÃO DO CASO 1
No Caso 1 foi realizada uma alteração na curva do gerador 1. Foram
acrescentados 10% em cada um dos parâmetros e a nova curva é:
(5.18)
Os outros parâmetros das outras curvas, o erro, e as potências mínimas e
máximas de cada unidade geradora não foram alteradas para que uma melhor
análise possa ser feita. Os resultados obtidos são mostrados na Tabela 17 e Tabela
18. Para o primeiro teste, com
=850MW o algoritmo precisou também de 11
iterações para convergir.
Porém, quando a potência a ser atendido foi alterada para 1000MW, um
resultado muito interessante pode ser visto. O programa anterior tinha um problema,
pois não conseguia limitar os valores das potências. Analisando a Tabela 18, podese observar que duas unidades geradoras chegaram ao seu limite e por esse motivo
76
a unidade geradora 1, que tem um custo mais alto, precisou gerar mais energia
aumentando os custos de geração.
Tabela 17: Caso 1 do Algoritmo FATPEN para uma carga de 850MW
No Caso 2 foi realizada uma alteração na curva do gerador 3. Foram
acrescentados 20% em cada um dos parâmetros e a nova curva é:
(5.19)
77
Assim como foi realizado no caso os outros parâmetros das outras curvas, o
erro, e as potências mínimas e máximas de cada unidade geradora não foram
alteradas. Na primeira simulação foram necessárias 12 iterações e na segunda
foram necessárias 11 iterações para chegar ao resultado que atende ao erro
definido anteriormente.
Para os dois casos a terceira unidade geradora chegou ao valor mínimo de
geração. Isso significa que é a unidade com um custo maior em relação as demais e
continua em funcionamento caso haja necessidade de atender uma carga maior.
A seguir são mostradas as tabelas Tabela 19 e Tabela 20 com a sequência de
iterações até chegar ao resultado esperado.
78
No caso 3 foi alterada a fórmula geral das perdas. Nessa simulação o
programa mostrou-se um pouco frágil e demorou a convergir. Na primeira situação,
com potência igual a 850MW, o algoritmo precisou de 21 iterações para convergir.
Na segunda situação, com 1000MW, precisou de 24 iterações.
A fórmula geral das perdas utilizada nesse caso foi:
(5.20)
Nas duas situações nenhuma das potências chegaram ao limite. A seguir são
mostradas as tabelas com os resultados até o algoritmo convergir. Pode-se notar
que nas duas situações a potência do gerador 2 que demora mais para convergir.
79
80
5.5 DESPACHO ECONÔMICO VIA MÉTODO DOS PONTOS INTERIORES
PRIMAL DUAL
O cálculo do despacho econômico pelo Método de Pontos Interiores Primal
Dual foi implementado em um algoritmo em
. O algoritmo foi nomeado de
PD, sendo que vários casos diferentes foram simulados.
Assim como o Método de Iteração Lambda, no algoritmo PD as perdas foram
desconsideradas no cálculo do ponto ótimo.
Para o Método de Pontos Interiores Primal Dual, os valores iniciais de
algumas variáveis do programa podem ser estabelecidos com valor um para
qualquer simulação, já que todas as incógnitas irão convergir para um determinado
valor. Essas variáveis são:

Lambda;

Vetor s;

Matriz S;

Vetor ;

Matriz π;

µ;

Valores iniciais das potências geradas para cada unidade.
5.5.1 IMPLEMENTAÇÃO DO EXEMPLO TESTE – PROGRAMA PD_EX3.1
Para estudar e aplicar o Método dos Pontos Interiores Primal Dual no
problema de despacho econômico, foi implementado um algoritmo que também
pode ser usado para a solução do sistema apresentado no Capítulo 3.
O Exemplo 3.1 apresenta três unidades alimentando uma carga de 850 MW.
As funções custo destas unidades são dadas por:
( )
(5.21a)
( )
(5.21b)
( )
(5.21c)
81
Com as funções custo mostradas em (5.21) é possível definir algumas
variáveis do problema apresentado no Capítulo 4.
A matriz Q:
[
]
(5.23)
e o vetor C:
[
]
(5.24)
Além disso, como os limites de geração de cada unidade foram especificados,
é possível também a criação Do vetor
, logo:
(5.25)
[
]
O fluxograma abaixo representa a lógica do algoritmo com o Método de
Iteração dos Pontos Interiores Primal Dual.
82
Figura 8: Fluxograma do Método Pontos Interiores Primal Dual
83
Para dar início ao programa PD_ex3.1, é feito uma subrotina para calcular os
valores iniciais do vetor , das potências inicias e do vetor s. São definidos, também,
o número máximo de iterações juntamente com o valor da tolerância.
Com isso, o programa dará início ao loop. Ao entrar nesse laço, o primeiro
passo é o cálculo do primeiro valor de µ, sendo estipulado um valor de β igual a 1,3.
A partir disso já é possível calcular os valores de
e de
, como definidas no
Capítulo 4, Equações (4.22) e (4.23).
O próximo passo é calcular as condições de KKT como definidas no conjunto
de Equações (4.24). Então é resolvido o sistema mostrado na Equação (4.25). Com
o cálculo realizado, torna-se necessário atualizar os valores de P,
e s. Esta
atualização é feita da seguinte forma:
(
)
( )
(5.26a)
(
)
( )
(5.26b)
(
)
( )
(5.26c)
(
)
( )
(5.26d)
onde:
tem a função de evitar que o novo ponto deixe de ser estritamente interior.
Normalmente arbitrado como 0,995.
passo para as variáveis primais: P e s.
passo para as variáveis primais:
Os cálculos de
e
e .
são feitos da seguinte forma:
{
}
{
}
(5.27a)
(5.27b)
84
Logo após, é calculada a folga complementar multiplicando s e
. E,
finalizando o programa calcula a factibilidade primal e factibilidade dual para
confirmar as condições de KKT. Caso os valores das factibilidades primal e dual,
bem como a folga complementar, forem menores do que a tolerância previamente
definida, então o programa obteve a convergência e achou o ponto ótimo.
Com os passos feitos é possível encontrar as respostas. Por exemplo, para o
Exemplo 3.1, do Capítulo 3. A Tabela 23 mostra os valores encontrados:
Tabela 23: Resultados da implementação do Exemplo 3.1
(
(
)
393,1698
(
)
334,6038
(
)
122,2264
)
9,1483
206,8302
65,3962
77,7736
543,1698
434,6038
172,2264
0,0479*
0,1514*
0,1273*
0,0182*
0,0228*
0,0575*
Analisando os resultados é possível notar a similaridade nas respostas
encontradas em Wood e Wollenberg (1996).
Como nenhum limite de geração foi atingido, nenhum limite mínimo ou
máximo das unidades geradoras, então todos os multiplicadores de Lagrange
iguais a zero. Os multiplicadores
são
das restrições de limites de geração são
85
diferentes de zero quando uma unidade geradora atinge o limite na solução ótima,
como mostrado a seguir.
5.5.2 IMPLEMENTAÇÃO DO EXEMPLO TESTE – PROGRAMA PD_EX3.1B
Outro exemplo que Wood e Wollenberg (1996) apresentam é variando o custo
do combustível da usina 1 para 0,9 $/MW, portanto a nova função custo da unidade
1 é dada por:
( )
(5.28)
Os novos resultados encontrados são os mostrados na Tabela 24:
Tabela 24: Resultados da implementação do Exemplo 3.1B
(
(
)
600,0000
(
)
187,1302
(
)
62,8698
)
8,5761
0
212,8698
137,1302
750,0000
287,1302
112,8698
0,5601
0
0
0
0
0
86
Wood e Wollenberg (1996) apresentam este exemplo em 2 passos. No
primeiro o valor de
ultrapassa a potência limite máxima, consequentemente a
unidade 1 é a mais econômica em relação às outras duas para esta situação, com
isso para o passo 2 é subtraído 600 MW da carga a ser alimentada, sobrando
250 MW entre as demais unidades.
No entanto, o algoritmo EX_3.1B usando o Método dos Pontos Interiores
Primal Dual, calcula o ponto ótimo já incluindo
com seu valor máximo. As
restrições de limite mínimo e máximo de geração já estão incluídos no método de
otimização, por isso o algoritmo PD mostrou ser mais eficiente.
O multiplicador
é relativo à restrição de limite máximo de geração do
gerador 1. Como o gerador 1 atingiu esse limite, pois o valor ótimo de
então
é diferente de zero. Por outro lado a variável
não existe folga entre o valor de
e seu valor
foi 600 MW,
é igual a zero, já que
.
5.5.3 MAIS SIMULAÇÕES
Além de variar o custo de uma das usinas, pode-se, por exemplo, variar o
valor da carga. Levando em conta o limite máximo de cada unidade sabe-se que
para esta situação a carga máxima possível a ser alimentada é de 1200 MW. Assim
sendo, se fixar uma carga no valor de 1100 MW pode-se concluir qual das unidades
é a mais cara, levando-se em conta o valor de carga citado e as funções custo do
Exemplo 3.1.
A Tabela 25 apresenta os resultados encontrados:
87
(
(
)
532,5917
(
)
400
(
)
167,4083
)
9,5838
67,4083
0
32,5917
682,5917
500
217,4083
0
0,1818
0
0
0
0
Com os resultados mostrados na Tabela 25 conclui-se, que para esta
situação, a unidade 2 é a mais econômica para produção de energia.
É possível também variar o valor de β para saber qual sua influência no
programa. Mudando β de 1,3 para 2,6 é percebido uma grande diferença no número
de iterações. Para o Exemplo 3.1, os valores descritos na Tabela 23 não variam,
apenas o número de iterações realizadas, com β=1,3 foram realizadas sessenta e
nove iterações, já para β=2,6 o número reduz para vinte e duas. Portanto,
aumentando o valor de β mais rapidamente o programa irá convergir.
Por último, foram realizados testes com cargas pequenas. A tabela 26
apresenta os resultados para
.
88
(
(
)
205,3077
(
)
183,3457
(
)
61,3466
)
8,5614
394,6923
216,6543
138,6534
355,3077
283,3457
111,3466
0,2163*
0,3940*
0,6156*
0,2402*
0,3012*
0,7666*
Com a Tabela 26, percebe-se que para pequenas cargas a usina 2 também é
a mais econômica.
5.6
CONSIDERAÇÕES FINAIS DO CAPÍTULO
Neste capítulo foram implementados os quatro métodos estudados nos
Capítulos 3 e 4.
O Método de Iteração Lambda, que foi exemplificado com uma função cúbica
e é um método que despreza as perdas, apresenta como solução um ponto ótimo
para determinada situação, entretanto foi visto que esta solução nem sempre será
dentro do limite de geração. Também foi mostrado que o valor inicial de lambda
apresenta uma limitação.
89
O algoritmo do despacho econômico considerando perdas não obteve bons
resultados pois apenas calcula um ponto de operação do sistema sem considerar os
valores mínimos e máximos de geração de cada unidade geradora.
De maneira geral, o algoritmo de Despacho Econômico considerando Fatores
de Penalidades (FATPEN) pode ser considerado mais eficiente, como foi dito
anteriormente, e encontra valores aceitáveis para despacho econômico, porém os
resultados não podem ser considerados como sendo o ponto ótimo porque não
atendem a condição de otimalidade, na qual a soma das potências geradas pelas
unidades geradoras deve ser igual a soma da potência da carga mais a potência de
perdas. Outro ponto positivo do algoritmo é que ele tem a capacidade de limitar os
valores de geração que são definidos para cada unidade geradora.
O Método dos Pontos Interiores Primal Dual mostrou ser um método de
despacho econômico eficiente e prático, sua programação é relativamente rápida de
ser feita e o algoritmo não apresenta nenhuma limitação agravante. O programa
PD_EX3.1B mostrou a eficiência do método, como uma das usinas iria produzir mais
que o limite máximo, o programa fixou diretamente o valor da potência da unidade 1
no seu valor limite.
90
6. CONCLUSÕES FINAIS
Este trabalho apresentou uma explicação do setor elétrico brasileiro para
poder expor ao leitor a situação do Brasil com relação à geração de energia elétrica,
a importância das termelétricas junto ao SIN e para mostrar como cada vez mais é
necessário evitar gastos excessivos. Para isso o estudo de métodos de despacho
econômico.
Foram estudados quatro métodos, sendo que cada um tem sua respectiva
particularidade, como considerar ou não as perdas por transmissão. A Tabela 27
mostra os nomes que foram atribuídos a cada um dos algoritmos implementados no
decorrer deste trabalho.
Tabela 27: Nomes dos algoritmos implementados
MÉTODO DE DESPACHO
ECONÔMICO
NOME ATRIBUÍDO
Método de Iteração Lambda
LAMBDA
Despacho Econômico com Perdas
DE_PERDAS
Fatores de Penalidades
FATPEN
Método Primal-Dual (Pontos Interiores)
PD
Analisando os resultados de cada método conclui-se que o Método de
Pontos Interiores Primal Dual é o mais eficiente, método no qual pode considerar ou
não as perdas de transmissão e também procura um ponto ótimo considerado o
limite de geração.
Outro método que se mostrou eficiente foi o método considerando fatores de
penalidades, nesse método porém a soma das potências geradas é um pouco maior
do que a carga, por isso não pode-se dizer que o resultado encontrado no programa
para cada situação seja o ponto ótimo.
91
Se os métodos fossem desenvolvidos a mão, o método de despacho
econômico considerando perdas seria o método mais fácil de implementar pois
utilizada uma matemática mais simples, já o método primal-dual seria o método
mais complicado pois utiliza uma matemática mais complexa. Utilizando a ideia
anterior e os algoritmos criados durante o trabalho, pode-se perceber que o
programa do método PD utilizaria muito mais memória para rodar o programa do que
o método DE_PERDAS.
Através deste trabalho novos conhecimentos puderam ser adquiridos como o
aprendizado sobre otimização, fórmula de Lagrange, Método de Newton, Método da
Secante, etc. Alguns conteúdos abordados no trabalho nem sempre são abordados
no curso de graduação.
Para futuros trabalhos podem ser realizados estudos mais aprofundados no
Método de Pontos Interiores Primal-Dual. Uma alteração interessante para o método
é inserção de perdas por transmissão.
92
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dez.
2010.
Disponível
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<http://www.grandesconstrucoes.com.br/br/index.
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2011.
Disponível
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<http://alvaroaugusto.blogspot.com.br/2011/07/
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ANEEL – Agência Nacional de Energia Elétrica. Atlas de energia elétrica do
Brasil. 3ª edição – Brasília, 2008.
As Termelétricas na geração de energia no Brasil. Revista Grandes Construções.
Edição 10, dez. 2010. Disponível em: <http://www.grandesconstrucoes.com.br/br/
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Julho de 2013.
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Acesso em 15 de Julho de 2013.
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Seqüenciamento Job-Shop. Dissertação de Mestrado. 98f. Universidade Federal
da Bahia. Bahia, 2004.
93
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WOOD, Allen J.; WOLLENBERG, Bruce F. Power Generation Operation And
Control. 2ª ed. New York: John Wiley & Sons, Inc., 1996.
96
APÊNDICE
LAMBDA_EX3.3
clear all
clc
P1min=320;
P1max=800;
P2min=300;
P2max=1200;
P3min=275;
P3max=1100;
format long
lambda(1,1)=8;
%dC1=6.95+0.001936*(P1)+0.000000381*((P1)^2);
%dC2=7.051+0.001475*(P2)+0.00000019359*((P2)^2);
%dC3=6.531+0.00208*(P3)+0.0000002994*((P3)^2);
r1=[0.000000381 0.001936 6.95-lambda(1,1)]';
r2=[0.00000019359 0.001475 7.051-lambda(1,1)]';
r3=[0.0000002994 0.00208 6.531-lambda(1,1)]';
P1=roots(r1)
P2=roots(r2)
P3=roots(r3)
PL=2500;
PT(1,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(1,1) lambda(1,1)]
lambda(2,1)= 1.1*lambda(1,1);
r1=[0.000000381 0.001936 6.95-lambda(2,1)]';
r2=[0.00000019359 0.001475 7.051-lambda(2,1)]';
r3=[0.0000002994 0.00208 6.531-lambda(2,1)]';
P1=roots(r1);
P2=roots(r2);
P3=roots(r3);
PT(2,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(2,1) lambda(2,1)]
tol=0.1;
erro=1;
i=2;
while (erro>tol)
f=i+1;
g=i-1;
lambda(f,1)=lambda(i,1)+(PL-PT(i,1))*((lambda(i,1)lambda(g,1))/(PT(i,1)-PT(g,1))) %metodo secante
r1=[0.000000381 0.001936 6.95-lambda(f,1)]';
r2=[0.00000019359 0.001475 7.051-lambda(f,1)]';
r3=[0.0000002994 0.00208 6.531-lambda(f,1)]';
P1=roots(r1);
P2=roots(r2);
P3=roots(r3);
PT(f,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
97
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(f,1) lambda(f,1)]
erro=abs(PL-PT(f,1))
disp('contador de i');
i=i+1
end
LAMBDA_EX3.4
clear all
clc
P1min=320;
P1max=800;
P2min=300;
P2max=1200;
P3min=275;
P3max=1100;
format long
lambda(1,1)=10;
%dC1=6.95+0.001936*(P1)+0.000000381*((P1)^2);
%dC2=7.051+0.001475*(P2)+0.00000019359*((P2)^2);
%dC3=6.531+0.00208*(P3)+0.0000002994*((P3)^2);
r1=[0.000000381 0.001936 6.95-lambda(1,1)]';
r2=[0.00000019359 0.001475 7.051-lambda(1,1)]';
r3=[0.0000002994 0.00208 6.531-lambda(1,1)]';
P1=roots(r1)
P2=roots(r2)
P3=roots(r3)
PL=2500;
PT(1,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(1,1) lambda(1,1)]
r1=[0.000000381 0.001936 6.95-lambda(2,1)]';
r2=[0.00000019359 0.001475 7.051-lambda(2,1)]';
r3=[0.0000002994 0.00208 6.531-lambda(2,1)]';
P1=roots(r1);
P2=roots(r2);
P3=roots(r3);
PT(2,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(2,1) lambda(2,1)]
tol=0.1;
erro=1;
i=2;
while (erro>tol)
f=i+1;
g=i-1;
98
r1=[0.000000381 0.001936 6.95-lambda(f,1)]';
r2=[0.00000019359 0.001475 7.051-lambda(f,1)]';
r3=[0.0000002994 0.00208 6.531-lambda(f,1)]';
P1=roots(r1);
P2=roots(r2);
P3=roots(r3);
PT(f,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(f,1) lambda(f,1)]
i=i+1
end
LAMBDA_IMP
clear all
clc
P1min=320;
P1max=800;
P2min=300;
P2max=1200;
P3min=275;
P3max=1100;
format long
lambda(1,1)=4.49061942258;
CB1=1;
CB2=1;
CB3=1;
r1=[0.000000381*CB1 0.001936*CB1 6.95*CB1-lambda(1,1)]';
r2=[0.00000019359*CB2 0.001475*CB2 7.051*CB2-lambda(1,1)]';
r3=[0.0000002994*CB3 0.00208*CB3 6.531*CB3-lambda(1,1)]';
P1=roots(r1)
P2=roots(r2)
P3=roots(r3)
PL=2500;
PT(1,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(1,1) lambda(1,1)]
r1=[0.000000381*CB1 0.001936*CB1 6.95*CB1-lambda(2,1)]';
r2=[0.00000019359*CB2 0.001475*CB2 7.051*CB2-lambda(2,1)]';
r3=[0.0000002994*CB3 0.00208*CB3 6.531*CB3-lambda(2,1)]';
P1=roots(r1);
P2=roots(r2);
P3=roots(r3);
PT(2,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(2,1) lambda(2,1)]
tol=0.1;
erro=1;
i=2;
while (erro>tol) && (i<50)
99
f=i+1;
g=i-1;
r1=[0.000000381*CB1 0.001936*CB1 6.95*CB1-lambda(f,1)]';
r2=[0.00000019359*CB2 0.001475*CB2 7.051*CB2-lambda(f,1)]';
r3=[0.0000002994*CB3 0.00208*CB3 6.531*CB3-lambda(f,1)]';
P1=roots(r1);
P2=roots(r2);
P3=roots(r3);
PT(f,1)=P1(2,1)+P2(2,1)+P3(2,1);
disp('P1
P2
P3
PT
LAMBDA ' );
disp(' ');
x=[P1(2,1) P2(2,1) P3(2,1) PT(f,1) lambda(f,1)]
i=i+1
if (erro<tol)
disp('atingiu');
end
end
DE_PERDAS
tol=0.01;
tol1=1;
Ng=3;
N=Ng+1;
P=[300,350,200]';
Pmax=[600,400,200]';
Pmin=[150,100,50]';
Pant=[0,0,0]';
A1=0.0017182;
A2=0.00194;
A3=0.00482;
A=[0.0017182,0.00194,0.00482];
B1=8.712;
B2=7.85;
B3=7.97;
B=[8.712,7.85,7,97];
C1=617.1;
C2=310;
C3=78;
C=[617.1,310,78];
cont=0;
PL=850;
CustoT=0;
while (cont<30) && (tol1>tol)
dP1=0.00006*P(1,1);
dP2=0.00018*P(2,1);
dP3=0.00024*P(3,1);
PerdasT=(0.00003*P(1,1)^2)+(0.00009*P(2,1)^2)+(0.00012*P(3,1)^2)
M=[(2*A1) 0 0 (-1+dP1);0 (2*A2) 0 (-1+dP2);0 0 (2*A3) (-1+dP3);1 1
1 0];
b=[-B1;-B2;-B3;(PL+PerdasT)];
x=M\b
for i=1:Ng
Pant(i,1)=P(i,1);
P(i,1)=x(i,1);
100
if P(i,1)>Pmax(i,1)
P(i,1)=Pmax(i,1);
elseif P(i,1)<Pmin(i,1)
P(i,1)=Pmin(i,1);
end
end
lambda=x(N,1);
for i=1:Ng
deltaP(i,1)=P(i,1)-Pant(i,1);
end
tol1=max(abs(deltaP));
cont=cont+1;
cont
end
for i=1:Ng
x=x';
CustoT=CustoT+A(i).*x(i).^2+B(i).*x(i)+C(i)
end
FATPEN
clear all
ng=3;
F(1,3)=0.001562;
F(1,2)=7.92;
F(1,1)=561;
F(2,3)=0.00194;
F(2,2)=7.85;
F(2,1)=310;
F(3,3)=0.00482;
F(3,2)=7.97;
F(3,1)=78;
Pmin(1)=150;
Pmax(1)=600;
Pmin(2)=100;
Pmax(2)=400;
Pmin(3)=50;
Pmax(3)=200;
B=zeros(ng,ng);
B(1,1)=.00003;
B(2,2)=.00009;
B(3,3)=.00012;
Bo=zeros(1,ng);
Bo=Bo';
boo=0;
PL=850;
delta=0.01;
erro=0.01;
ITERmax=100;
ITERmax1=10000;
Perdas=0;
n=ng+1;
A=zeros(n,n);
for i=1:ng
A(i,i)=2.*F(i,3)
A(n,i)=1
A(i,n)=-1
c(i)=-F(i,2)
end
101
A(n,n)=0
c(n)=PL
c=c'
P0=((A)^-1)*c;
%P0=A\c
for i=1:ng
P(i)=P0(i)
if P(i)>Pmax(i)
P(i)=Pmax(i)
elseif P(i)<Pmin(i)
P(i)=Pmin(i)
end;
end;
P=P';
CustoT=0;
for i=1:ng
CustoT=CustoT+F(i,3).*P(i).^2+ F(i,2).*P(i)+F(i,1)
end
lamb0=P0(n);
for i=1:ng
for j=1:3
Funcao(j)=0;
Funcao(j)=F(i,j);
end;
end
for i=1:ng
for j=1:3
Mperdas(j)=0;
Mperdas(j)=B(i,j);
end;
end;
for i=1:ng
Vperdas(i)=Bo(i);
end;
k=1;
while k<ITERmax
dPerdas=Bo + 2.*(B*P)
Perdas=(P')*B*P + (Bo')*P + boo
PD=PL + Perdas
for i=1:ng
FP(i)=1/(1-dPerdas(i))
end
lamb=lamb0
k1=1;
while k1<ITERmax1 %passo5 (calculo de P(i) usando as equações de
coordenação)
somaP=0;
for i=1:ng
P(i)=(lamb-FP(i)*F(i,2))/(2*FP(i)*F(i,3))
if P(i)>Pmax(i)
P(i)=Pmax(i)
elseif P(i)<Pmin(i)
P(i)=Pmin(i)
end
somaP=somaP + P(i)
end
if (somaP>PD)
lambotimo=lamb
break;
end;
teste=abs(somaP-PD)
102
if (teste<delta)
lambotimo=lamb
break;
end;
lamb=lamb+0.01
k1=k1 + 1;
end %while (passo5)
lambotimo=lamb
Perdas=(P')*B*P + (Bo')*P + boo
erro1=0
CustoT=0
for i=1:ng
CustoT=CustoT+F(i,3).*P(i).^2+ F(i,2).*P(i)+F(i,1)
dif=abs(P(i)-P0(i));
P0(i)=P(i);
if dif>erro1
erro1=dif
end
end
if erro1<erro
break;
end
k = k+1;
end %while
dPerdas=Bo + 2.*(B*P);
PD_EX3.1
clear all
clc
ng=3;
Plim=[600; 400; 200; 150; 100; 50];
q1=0.001562;
q2=0.00194;
q3=0.00482;
C1=7.92;
C2=7.85;
C3=7.97;
C=[C1; C2; C3];
Q=[q1 0 0;0 q2 0;0 0 q3];
e=[1;1;1];
eT=[1;1;1]';
FP=[1 0 0; 0 1 0;0 0 1;-1 0 0;0 -1 0; 0 0 -1];
FPT=[1 0 0; 0 1 0;0 0 1;-1 0 0;0 -1 0; 0 0 -1]';
PL=850;
tol=0.000001;
beta=1.3;
sigma=0.995;
lambda=1.0;
for i = 1:ng
P(i,1) = (Plim(i,1)+Plim(i+ng,1))*0.5;
mpi(i,1) = 1.0;
mpi(i+ng,1) = 1.0;
s(i,1) = 1.0;
s(i+ng,1) = 1.0;
end
103
k = 0; kmax = 100;
norma = 1e7;
while (norma>tol) && (k<kmax )
k = k+1;
%==============Calculo de Mi - Parametro da barreira
logaritmica==============
n_folga = 2*ng;
aux =(s(:))'*(mpi(:));
mi = aux/(beta*n_folga) ;
%=======================================================================
I =diag(ones(2*ng,1));
S = diag(s);
PI = diag(mpi);
h1=[2*Q -e FPT zeros(ng,2*ng)];
h2=[-eT zeros(1,1) zeros(1,2*ng) zeros(1,2*ng)];
h3=[FP zeros(2*ng,1) zeros(2*ng,2*ng) I];
h4=[zeros(2*ng,ng) zeros(2*ng,1) S PI];
%H=[2*Q -e FPT zeros(ng,2*ng);-eT zeros(1,1) zeros(1,2*ng)
zeros(1,2*ng);FP zeros(2*ng,1) zeros(2*ng,2*ng) I;zeros(2*ng,ng)
zeros(2*ng,1) S PI];
H=[h1;h2;h3;h4];
LD1=C+2*Q*P-lambda*e+FPT*mpi;
LD2=PL-eT*P;
LD3=FP*P+s-Plim;
LD4=S*PI*ones(2*ng,1)-mi*ones(2*ng,1);
LD=[-LD1;-LD2;-LD3;-LD4];
delta = H\LD;
delta_P= delta(1:ng);
delta_lambda = delta(ng+1);
delta_mpi = delta(ng+2:3*ng+1);
delta_s = delta(3*ng+2:5*ng+1);
%Calculo de ad e ap - Tamanho de passos
p1 = [delta_s(:).\s(:)];
r1 = [delta_mpi(:).\mpi(:)];
pneg = -p1(p1<0);
pneg = [pneg;1];
ap = min(pneg);
rneg = -r1(r1<0);
rneg = [rneg;1];
ad = min(rneg);
%=============================================================
P =P + sigma*ap*delta_P;
s =s + sigma*ap*delta_s;
lambda = lambda + sigma*ad*delta_lambda;
mpi = mpi + sigma*ad*delta_mpi;
% Calculo das factibiidades primal e dual e da folga complementar
LD2=PL-eT*P;
LD3=FP*P+s-Plim;
folgacomp = [s.*mpi];
F_primal = [LD2;LD3];
F_dual = [LD1];
fact_primal = norm(F_primal,inf);
fact_dual = norm(F_dual,inf);
folga_complementar = norm(folgacomp,inf);
disp ' '
disp(' Fact_primal
Fact_dual
Folga Comp')
disp ([fact_primal,fact_dual,folga_complementar])
104
kkT =-LD;
kkT = [kkT; folgacomp];
norma =norm(kkT,inf);
end
PD_EX3.1B
clear all
clc
ng=3;
Plim=[600; 400; 200; 150; 100; 50];
q1=0.00128;
q2=0.00194;
q3=0.00482;
C1=6.48;
C2=7.85;
C3=7.97;
C=[C1; C2; C3];
Q=[q1 0 0;0 q2 0;0 0 q3];
e=[1;1;1];
eT=[1;1;1]';
FP=[1 0 0; 0 1 0;0 0 1;-1 0 0;0 -1 0; 0 0 -1];
FPT=[1 0 0; 0 1 0;0 0 1;-1 0 0;0 -1 0; 0 0 -1]';
PL=850;
tol=0.000001;
beta=1.3;
sigma=0.995;
lambda=1.0;
for i = 1:ng
P(i,1) = (Plim(i,1)+Plim(i+ng,1))*0.5;
mpi(i,1) = 1.0;
mpi(i+ng,1) = 1.0;
s(i,1) = 1.0;
s(i+ng,1) = 1.0;
end
k = 0; kmax = 100;
norma = 1e7;
while (norma>tol) && (k<kmax )
k = k+1;
%==============Calculo de Mi - Parametro da barreira
logaritmica==============
n_folga = 2*ng;
aux =(s(:))'*(mpi(:));
mi = aux/(beta*n_folga) ;
%=======================================================================
I =diag(ones(2*ng,1));
S = diag(s);
PI = diag(mpi);
h1=[2*Q -e FPT zeros(ng,2*ng)];
h2=[-eT zeros(1,1) zeros(1,2*ng) zeros(1,2*ng)];
h3=[FP zeros(2*ng,1) zeros(2*ng,2*ng) I];
h4=[zeros(2*ng,ng) zeros(2*ng,1) S PI];
H=[h1;h2;h3;h4];
LD2=PL-eT*P;
LD3=FP*P+s-Plim;
105
delta = H\LD;
delta_P= delta(1:ng);
delta_lambda = delta(ng+1);
delta_mpi = delta(ng+2:3*ng+1);
delta_s = delta(3*ng+2:5*ng+1);
%Calculo de ad e ap - Tamanho de passos
p1 = [delta_s(:).\s(:)];
r1 = [delta_mpi(:).\mpi(:)];
pneg = -p1(p1<0);
pneg = [pneg;1];
ap = min(pneg);
rneg = -r1(r1<0);
rneg = [rneg;1];
ad = min(rneg);
%=============================================================
P =P + sigma*ap*delta_P;
s =s + sigma*ap*delta_s;
lambda = lambda + sigma*ad*delta_lambda;
mpi = mpi + sigma*ad*delta_mpi;
% Calculo das factibiidades primal e dual e da folga complementar
LD2=PL-eT*P;
LD3=FP*P+s-Plim;
folgacomp = [s.*mpi];
F_primal = [LD2;LD3];
F_dual = [LD1];
fact_primal = norm(F_primal,inf);
fact_dual = norm(F_dual,inf);
folga_complementar = norm(folgacomp,inf);
disp ' '
disp(' Fact_primal
Fact_dual
Folga Comp')
disp ([fact_primal,fact_dual,folga_complementar])
kkT =-LD;
kkT = [kkT; folgacomp];
norma =norm(kkT,inf);
end
106

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