Regularizaç˜ao de ´Orbitas Periódicas em Sistemas Suaves Por

IX EMED - Nono Encontro Mineiro de Equações Diferenciais
De 17 a 19 de Setembro de 2015, UFSJ, São João del-Rei, MG
Regularização de Órbitas Periódicas em Sistemas
Suaves Por Partes Com Duas Zonas no Plano
L. F. Gonçalvesa , L. F. Mellob .
a
b
Instituto de Matemática e Computação, UNIFEI.
Instituto de Matemática e Computação, UNIFEI.
e-mail: [email protected]
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Resumo
Um campo vetorial de classe C r , r ≥ 1, definido em um aberto U ∈ R2 é uma aplicação F : U −→ R2 a
qual podemos associar uma equação diferencial X 0 = F (X). As soluções desta equação diferencial são funções
diferenciáveis ϕ : I ∈ R −→ U que satisfazem
d
ϕ(t) = F (ϕ(t)),
dt
∀t ∈ I.
Essas soluções, dada uma condição inicial, são chamadas de trajetórias, curvas integrais ou órbitas do campo F , ou
equivalentemente da equação diferencial. A partir do campo F podemos estudar importantes aspectos qualitativos
sobre o retrato de fase deste sistema, sem necessariamente encontrar a solução explı́cita da equação diferencial.
Essa abordagem é chamada teoria qualitativa das Equações diferenciais Ordinárias, fundada por Poincaré no século
XIX. Esta teoria nos dá importantes e significativos resultados e ferramentas para o estudo do comportamento das
órbitas da equação diferencial e a análise de seu retrato de fase.
Uma famı́lia de sistemas que tem chamado a atenção atualmente são os sistemas diferenciais suaves por partes, em
particular os sistemas suaves por partes com duas zonas no plano (SSP2ZP). Considere X e Y campos vetoriais
suaves, isto é, de classe C r , r ≥ 1, definidos em um aberto conexo M ⊂ R2 contendo a origem e seja f : M ⊂ R2 −→ R
uma função suave tal que 0 é valor regular. Suponha que o conjunto Σ = f −1 (0) ∩ M é conexo e divide M em duas
componentes conexas dadas por Σ+ = {(x, y) ∈ M : f (x, y) > 0}, Σ− = {(x, y) ∈ M : f (x, y) < 0}.
Dados X e Y campos vetorias suaves definidos em M ⊂ R2 e dada f : M ⊂ R2 −→ R como acima, define-se um
campo vetorial suave por partes Z como
X(x, y), f (x, y) ≥ 0;
Z(x, y) =
(1)
Y (x, y), f (x, y) ≤ 0.
Denotaremos Z = (X, Y ) a fim de esclarecer as componentes do campo vetorial e por Ωr (M, f ) o conjunto dos
campos vetoriais suaves por partes com duas zonas no plano definidos em M com o auxı́lio da função f . Note
que não há problemas em considerar as regiões Σ+ e Σ− com fronteira comum Σ, no qual Z pode ser considerado
bi-valuado. O conjunto Σ = {(x, y) ∈ M : f (x, y) = 0} é chamado curva de separação ou curva de descontinuidade.
Neste trabalho trataremos primeiramente das propriedades gerais dos SSP2ZP, inclusive os critérios definidos por
Filippov sobre a transição de órbitas entre as regiões Σ+ e Σ− através da curva de separação Σ. Posteriormente
iremos apresentar o método da regularização de campos vetoriais suaves por partes, o qual foi introduzido por
Sotomayor e Teixeira. Este método consiste na aproximação de um campo vetorial suave por partes por uma
famı́lia de campos vetoriais suaves, o qual pode-se aplicar a teoria clássica. Finalmente, partiremos a apresentação
e demonstração dos teoremas sobre a regularização de órbitas periódicas que foram estabelecidos por Sotomayor e
Teixeira.
Palavras-chave: Sistema Regular Por Partes, Regularização, Campo Descontı́nuo.
Referências
[1] A. L. F. Machado, Estabilidade Estrutural e Bifurcações de Campos Vetoriais Descontı́nuos, Tese de Doutorado
em Matemática Aplicada, Instituto de Matemática e Estatı́stica, USP, São Paulo, 2000.
[2] A. F. Filippov, Differential Equations with Discontinuous Right Hand Sides, Kluwer, 1988.
[3] J. Sotomayor, M. A. Teixeira, Regularization of Discontinuous Vector Fields, International Conference on
Differencial Equations, Lisboa, 1995.
[4] J. Sotomayor, Equações Diferenciais Ordinárias, Textos Universitários do IME–USP, Livraria da Fı́sica, São
Paulo, 2011.
Agradecimento:
Agradecemos o apoio financeiro da PAEP/CAPES e da FAPEMIG.