MA14 - Aritmética eserved@d = *@let@token Unidade 23

MA14 - Aritmética
Unidade 23
Resumo
Introdução à Criptografia
Abramo Hefez
PROFMAT - SBM
Aviso
Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da
disciplina e o seu estudo não garante o domı́nio do assunto.
O material completo a ser estudado encontra-se no
Capı́tulo 13 - Seção 13.1
do livro texto da disciplina:
Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT.
Colaborou na elaboração desses resumos Maria Lúcia T. Villela.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 2/15
Introdução
Introduziremos nesta Unidade e na próxima as noções básicas da
criptografia moderna, teoria que se estabelece em meados dos anos
70 do Século 20, envolvendo de modo efetivo alguns resultados
estudados neste livro. Até então, a Teoria dos Números, da qual a
Aritmética é a parte mais elementar, era considerada uma das
áreas mais puras e abstratas da Matemática, desprovida de
aplicações práticas. Esse panorama muda completamente a partir
do desenvolvimento da Teoria da Informação, que compreende a
Criptografia entre outros assuntos, motivado pela evolução e
popularização dos computadores e a facilidade de conexão com as
grandes redes mundiais.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 3/15
Noções de Criptografia
A palavra criptografia origina-se do grego, onde Kriptos significa
oculto e, portanto, a palavra criptografia significa “escrita oculta”.
Tem-se notı́cia de que persas, gregos e chineses utilizavam vários
métodos para ocultar mensagens, dentre os quais o recurso a tinta
invisı́vel. A evolução da criptografia foi no sentido de não mais
ocultar fisicamente as mensagens, mas usar estratagemas para
ocultar o seu significado às pessoas que não fossem as legı́timas
destinatárias das mesmas, de modo que pudessem ser veiculadas
através de um canal público de comunicação.
Um dos métodos mais famosos de sistemas criptográficos da
antiguidade foi um sistema utilizado na Roma antiga por Júlio
César, denominado cifra de César. O sistema consiste em substituir
cada letra do alfabeto na mensagem original por uma outra letra
do alfabeto, seguindo um padrão bem determinado.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 4/15
Cifra de Cesar
Por exemplo, consta que César, para cifrar as suas mensagens,
teria utilizado a substituição de cada letra da primeira linha pela
letra correspondente da segunda linha das tabelas a seguir:
alfabeto
cifra
alfabeto
cifra
a b c d e f g h i j k l m
D E F G H I J K LM N O P
n o p q r s t u v w x y z
Q R S T U V W X Y Z A B C
Exemplo
Vejamos como uma hipotética mensagem de César aos seus
generais, na primeira linha abaixo, seria cifrada na segunda linha:
aut
DXW
PROFMAT - SBM
vincere
YLQFHUH
aut
DXW
mori
PRUL
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 5/15
Este tipo de sistema criptográfico é chamado de cifra por
substituição simples, onde as letras de um alfabeto são substituı́das
por outras. O código de César possui pelo menos vinte e cinco
variantes, que correspondem a iniciar a segunda linha por qualquer
outra letra do alfabeto ao invés de D, excluindo a letra A.
A principal fraqueza dos sistemas criptográficos por substituição
simples é que em um texto de uma determinada lı́ngua as letras do
alfabeto ocorrem com frequências distintas, além de haver certas
regras rı́gidas de contato entre letras, como por exemplo, em
português, a letra q vem sempre seguida pela letra u, o que dá
pistas valiosas para os criptoanalistas, nome dado aos que se
dedicam à tarefa de quebrar as cifras alheias.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 6/15
A fragilidade desse método custou literalmente o pescoço à rainha
da Escócia Maria Stuart (1542-1587) que tramava o assassinato de
sua prima a rainha Elizabeth I da Inglaterra, através de mensagens
cifradas, onde as letras e algumas palavras muito recorrentes eram
substituı́das por outros sı́mbolos. A interceptação das mensagens e
a análise de frequência permitiu a quebra do seu sigilo e forneceu
provas contra Maria que foi condenada à morte por decapitação.
Para evitar a quebra de um código por análise de frequência, há
uma outra vertente de sistemas criptográficos que se baseia na
transposição, ou seja, na formação de anagramas da mensagem
original.
Por exemplo, uma mensagem com 100 letras dá origem a 100!
permutações distintas das letras, o que a torna praticamente
impossı́vel de ser decifrada se não possuirmos a chave para tal.
O problema dessa modalidade de cifragem é que a troca de chaves
entre os usuários do sistema torna-se difı́cil se há muitos deles.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 7/15
A combinação dos dois métodos: substituição de letras e
transposição, pode dar origem a sistemas criptográficos mais
robustos.
Em 1466, em pleno renascimento, o arquiteto italiano Leone
Battista Alberti, uma das mentes luminosas do perı́odo e
considerado o pai da criptologia ocidental, propôs uma variante
bem mais robusta da cifra de César com o uso de um sistema de
substituição polialfabética. Tratava-se do uso de um artefato,
chamado de disco de Alberti consistindo de dois discos
concêntricos de diâmetros distintos, presos por um pino central, o
menor sobre o maior, podendo o disco menor girar. Esses discos
eram divididos em 24 setores iguais, onde na borda do disco maior
estavam inscritos, no sentido horário, as 20 letras A, B, C, D, E, F,
G, I, L, M, N, O, P, Q, R, S, T, V, X, Z e os numerais 1, 2, 3, 4,
um em cada setor. Na borda do disco menor, estavam inscritos,
em ordem aleatória, as letras minúsculas do alfabeto, exceto as
letras j, u e w, além da palavra do latim et.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 8/15
Descrição do sistema
Cada correspondente possuı́a uma cópia do disco idêntica à do
outro. A mensagem a ser enviada era cifrada da seguinte forma:
Iniciava-se, mediante combinação prévia, com o disco rotatório em
uma determinada posição, por exemplo o k alinhado com o A em
seguida, cada letra da mensagem a ser cifrada era localizada no
disco maior e substituı́da pela letra correspondente no disco menor.
Os numerais serviam para formar os números de 11 a 4444, com os
quatro algarismos, os quais codificavam 336 palavras ou frases
constantes em um pequeno livro de códigos previamente produzido
em duas cópias.
A grande inovação do Alberti foi o uso de cifras polialfabéticas,
como segue: a cada grupo de algumas palavras (quatro ou cinco),
o pegueno disco é girado aleatoriamente e a nova letra do disco
menor correspondente à letra A no disco maior é inserida na
mensagem original, indicando que a partir daquele momento é essa
a nova posição do disco rotativo (o menor) com relação ao disco
fixo (o maior).
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 9/15
Tabula Recta
O importante passo seguinte foi dado pelo grande intelectual de
sua época, o alemão Johannes Trithemius, no livro intitulado
Poligrafia, publicado postumamente em 1518. Nesse livro,
Trithemius propõe o sistema criptográfico a seguir. Forma-se uma
tabela, chamada por ele de tabula recta com o mesmo número de
linhas e de colunas, com na primeira linha, o alfabeto na ordem
normal e, em cada uma das linhas seguintes, uma permutação
circular da linha anterior (veja uma versão com o alfabeto
completo na Tabela 1).
A cifragem procedia da seguinte forma: a primeira letra da
mensagem a ser cifrada é transformada na letra correspondente da
segunda linha, a segunda letra é transformada na letra
correspondente da terceira linha e assim sucessivamente até esgotar
todas as linhas quando se volta para a segunda linha novamente.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 10/15
a
B
C
D
..
.
b
C
D
E
c
D
E
F
d
E
F
G
e
F
G
H
f
G
H
I
···
···
···
···
..
.
v
W
X
Y
w
X
Y
Z
x
Y
Z
A
y
Z
A
B
z
A
B
C
Y
Z
A
Z
A
B
A
B
C
B
C
D
C
D
E
D
E
F
···
···
···
T
U
V
U
V
W
V
W
X
W
X
Y
X
Y
Z
Tabela 1
Exemplo
A frase
mensagem para o rei
é transformada em
NGQWFMLU YKCM B FTY.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 11/15
Mais um passo é dado em 1553, quando da publicação de um
pequeno livro da autoria do italiano Giovanni Battista Bellaso,
intitulado La cifra del Sig Giovan Batista Belaso, onde é
introduzida a ideia de chave para cifrar e decifrar uma mensagem.
O sistema utiliza a tabula recta e o compartilhamento de uma
chave que pode ser uma palavra, uma sequência de letras, ou uma
frase. De posse da chave, escrevem-se numa linha o texto a ser
cifrado e na linha acima as letras da chave sobre as letras do texto
repetidas o quanto for necessário. A cifragem ocorre do seguinte
modo:
Se sobre uma dada letra do texto se encontra uma determinada
letra da palavra chave, então se substitui essa por aquela que lhe
corresponde na sua coluna e na linha que começa com a letra da
palavra chave.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 12/15
Exemplo
Suponhamos que a palavra chave seja “segredo” e que Maria
Stuart tenha usado esse código para enviar a seguinte mensagem
para seus aliados:
matem elizabeth ao meio dia.
A cifragem ocorreria do seguinte modo:
s
m
E
e
a
E
g
t
Z
s
a
S
r
e
V
e
o
S
e
m
Q
g
m
S
d
e
H
o
l
Z
r
e
V
e
i
M
s
i
A
d
o
R
e
z
D
g
a
G
r
b
S
e
e
I
o
d
R
s
i
A
e
a
E
d
t
W
o
h
V
A mesma chave utilizada para cifrar uma mensagem é utilizada
para decifrá-la, realizando o procedimento inverso. Essa cifragem
era tida difı́cil de ser quebrada, pois é imune à análise de
frequência. Muito provavelmente, Maria Stuart não teria “perdido
a cabeça” se tivesse utilizado este método criptográfico.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 13/15
O método de Bellaso foi amplamente divulgado através do livro
Traicté des Chiffres de autoria do diplomata francês Blaise de
Vigenère, publicado em 1586. Nesse livro, Vigenère descreve o
método de Bellaso, impropriamente chamado posteriormente de
sistema de Vigenère, e acrescenta mais um método de cifragem.
Esses métodos de cifragem eram pouco utilizados, pois, como a
cifragem é feita letra por letra, eles são muito trabalhosos.
Finalmente, após ter sido considerada inquebrável por mais de 300
anos, a cifra de Bellaso foi quebrada em meados do Século 19.
Em todo método criptográfico é necessário haver uma troca de
chaves para que cada parte possa decifrar a mensagem que lhe é
destinada e o maior desafio consiste em que apenas o legı́timo
destinatário da mensagem possa fazê-lo. Fica o problema de além
da cifragem ter que ser robusta, ainda ser necessário fazer chegar
ao destinatário, de modo seguro, a chave da cifra.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 14/15
As cifras polialfabéticas voltaram a ser utilizadas quando do
advento das máquinas cifradoras, duas das quais se tornaram
célebres pelo seu protagonismo durante a Segunda Guerra
Mundial, a japonesa Purple e a alemã Enigma.
A Enigma era uma máquina eletromecânica inventada pelo
engenheiro alemão Arthur Scherbius no inı́cio do Século 20 e
inspirada no disco de Alberti e a Purple era uma adaptação dessa.
O sistema de cifragem dos alemães custou a ser quebrado pelos
britânicos que contaram para isso com uma das grandes mentes do
século 20, Alan Turing, considerado um dos pais da computação.
Todos esses sistemas criptográficos se caracterizam pelo uso de
chaves simétricas, ou seja, a mesma chave é usada para cifrar e
decifrar uma dada mensagem.
PROFMAT - SBM
Aritmética - Unidade 23 - Resumo - Introdução à Criptografia
slide 15/15