PRODUTOS NOTÁVEIS

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Quadrado da soma de dois termos
O quadrado da soma de dois termos a e b é indicado por ( a + b )²
Para calculá-lo, basta multiplicar a + b por a + b:
( a + b )² = ( a + b ) ( a + b )
( a + b )² = a.a + a.b + b.a + b.b
( a + b )² = a² + a.b + b.a + b²
Como a.b = b.a vem que
( a + b )² =
a²
Quadrado
do
1º termo
+
2ab
duas vezes
o produto
dos termos
+
b²
Quadrado
do
2º termo
O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas
vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
( x + 3 )² = x² + 2.x.3 + 3² = x² + 6x + 9
( 2x + 1)² = (2x)² + 2.2x.1 + 1² = 4x² + 4x + 1
(5x + 3y)² = (5x)² + 2.5x.3y + (3y)² = 25x² + 30xy + 9y²
Calcule:
c) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² = [x² + 2x + 1] + [x² + 4x + 4] – [4x² + 4x + 1] =
= x² + 2x +1 + x² + 4x + 4 – 4x² - 4x – 1 =
= -2x² + 2x + 4
e) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) =
= x² + 2x + x + 2 – 2[x² + 4x + 4] + x² + 3x + 2x + 6 =
= x² + 2x + x + 2 – 2x² - 8x – 8 + x² + 3x + 2x + 6 = 0
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Quadrado da diferença de dois termos
O quadrado da diferença entre dois termos a e b é indicado por (a – b)²
Para calculá-lo basta multiplicar a – b por a – b:
(a – b)² = (a – b)(a – b)
(a – b)² = a² - ab – ba + b²
(a – b)² = a² - 2ab + b²
O quadrado da diferença entre dois termos é igual ao quadrado do primeiro,
menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do
segundo termo.
Exemplos:
(x – 3)² = x² - 2.x.3 + 3² = x² - 6x + 9
(2x – 1)² = (2x)² - 2.2x.1 + 1² = 4x² - 4x + 1
(5x – 3y)² = (5x)² - 2.5x.3y + (3y)² = 25x² - 30xy + 9y²
Calcule:
a) (2x – 1)² - (x – 2)² + 3.(1 – x²) = [4x² - 4x + 1] – [x² - 4x + 4] + 3 – 3x² =
= 4x² - 4x + 1 – x² + 4x – 4 + 3 – 3x² = 0
b) (a + b)² - (a – b)² = a² + 2ab + b² - [a² - 2ab + b²] = a² + 2ab + b² - a² + 2ab – b² = 4ab
Calcular (103)².
(103)² = (100 + 3)² = 100² + 2.100.3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609
Produto da soma pela diferença de dois termos
(a + b).(a – b) = a.a + a.(-b) + b.a + b.(-b) = a² - ab + ba – b² = a² - b²
(a + b)(a – b) = a² - b²
O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
menos o quadrado do segundo termo.
Exemplos:
(x + 2)(x – 2) = x² - 2² = x² - 4
(2a + 4)(2a – 4) = (2a)² - 4² = 4a² - 16
Calcular o produto 53.47.
53.47 = (50 + 3)(50 – 3) = 50² - 3² = 2500 – 9 = 2491
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Desenvolver e reduzir:
x = (5a – 2)² + (5a + 2)² - (5a + 2)(5a – 2)
x = [25a² - 20a + 4] + [25a² + 20a + 4] – [25a² - 4 ] = 25a² + 12
A expressão (a + b)(a – b)(a² + b²) é igual a :
O polinômio (x + 5)(x – 5)(x² - 25) é idêntico a :
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Simplificando-se a expressão
Cubo da soma de dois termos
(a + b)³ = (a + b)²(a + b) = (a² + 2ab + b²)(a + b) =
= a³ + 2a²b + ab² + ba² + 2ab² + b³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³
Exemplos:
a) (x + 1)³ = x³ + 3.x².1 + 3.x.1² + 1³ = x³ + 3x² + 3x + 1
b) (3a + 2)³ = (3a)³ + 3. (3a)².2 + 3. 3a.2² + 2³ =
= 27a³ + 3.9a².2 + 3.3a.4 + 8 = 27a³ + 54a² + 36a + 8
Cubo da diferença de dois termos
(a – b)³ = (a – b)(a – b)² = (a – b)(a² - 2ab + b²) =
= a³ - 2a²b + ab² - ba² + 2ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
(a – b)³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³
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Exemplos:
a) (x – 1)³ = x³ - 3.x².1 + 3.x.1² - 1³ = x³ - 3x² + 3x – 1
b) (x – 2y)³ = x³ - 3.x².2y + 3.x.(2y)² -(2y)³ = x³ - 6x²y + 12xy² - 8y³
Exercícios resolvidos:
c) Qual o valor da expressão
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Determine o valor das expressões:
Observando a figura abaixo, notamos que a área de um dos quadrados é x² e a área de
um dos retângulos é 6x. Nessas condições responda:
a) Qual é a área do retângulo 1?
b) Qual é a área do quadrado 2?
c) Qual é a área total da figura?
Solução:
a)
b)
c)
A1 = 6.x = 6x
A2 = 6.6 = 36
At = (6+x)² = 36 + 12x + x²
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Dada a proporção abaixo, determine o valor da incógnita x.
Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )³ ?
P + (x – 2)³ = (x + 3)³
P = (x + 3)³ - (x – 2)³
(x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27
(x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8
x³ + 9x² + 27x + 27 – (x³ - 6x² + 12x -8) =
= x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² - 12x +8 = 15x² + 15x + 35
Dois números, x e y, são tais que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20,
determine o valor de a e o valor do quociente x : y.
x² - y² = 20
(2a + 2)²- (2a)² = 20
4a² + 8a + 4 – 4a² = 20
8a = 20 – 4
8a = 16
a = 16/8 = 2
x = 2.2 + 2
x=4+2=6
y = 2.2 = 4
x : y = 6/4 = 3/2
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Sabe-se que x² + y² = 25 e que xy = 12.
Nessas condições, qual é o valor da expressão (x + y)² ?
(x + y)² = x² + 2xy + y²
= x² + y² + 2xy
= 25 + 2.12 = 25 + 24 = 49
Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio x4 – y² - 3x²y. Qual é o
polinômio que você vai obter?
Calcular o valor numérico das seguintes expressões
1) 7a²b + 4ab² + 3a³ + (2ab – b).b² =
para a =3 e b =2
=7.3².2 + 4.3.2² + 3.3³ + (2.3.2 – 2).2² =
=126 + 48 + 81 + 40 = 295
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