Probabilidades - M. Barros Consultoria

Transcrição

Quem sou eu?

Métodos Estatísticos de
Apoio à Decisão
Mônica Barros
Doutora em Séries Temporais – PUC-Rio
Mestre em Estatística – University of Texas at Austin,
EUA
Bacharel em Matemática – University of Washington,
Seattle, EUA
Professora da PUC-Rio (Depto. De Eng. Elétrica)
E-mails: [email protected],
[email protected]
Home page: http://www.mbarros.com

Aulas 1 e 2
Mônica Barros, D.Sc.
Julho de 2007
monica@
[email protected]
ele.puc--rio.
rio.br
1
Descrição
1
T
Probabilidade: Definições básicas
2
T
Definições básicas: probabilidade, espaço amostral, eventos, propriedades das probabilidades,
Probabilidade Condicional, Independência;Teorema de Bayes
Variáveis Aleatórias Contínuas e Discretas , Função de Probabilidade, Função Densidade, Função de
Distribuição, Momentos de uma v.a., Média, Variância e Desvio Padrão
3
4
5
T
T
T
Probabilidade: v.a. Contínuas
Variáveis Discretas: Bernoulli, Binomial, Geométrica, Binomial Negativa, Poisson;
Variáveis Contínuas: Uniforme, Exponencial, Gama, Qui-quadrado, LogNormal, Weibull, t, F
Variável aleatória Normal
6
7
P
T
Pratica 1
Aula de exercícios - As funções do Excel para cálculo de probabilidades para v.a. Contínuas e discretas
O teorema central do limite e a importância da distribuição Normal
8
C
9
T/P
10
T/P
11
T/P
CASE 1: Simulação - soma de v.a.
e o teorema central do limite CASE
2: Otimização de um portfolio
simulado - propriedades da média
e variância e o uso do Solver
Estatística - estimação pontual e
Prática 2
Estatística - estimação por
intervalos e Prática 3
Estatística - testes de hipóteses e
Prática 4
O teorema central do limite na prática - soma de variáveis aleatórias e a convergência para a Normal.
Distribuição da soma de v.a. e da média amostral. Propriedades da média e variância de combinações
lineares de v.a. - o efeito da correlação. O uso do Solver do Excel.
Estimação por máxima verossimilhança e métodos de momentos - Exercícios
Intervalos de confiança para amostras Normais e proporção Binomial - Exercícios - intervalos de confiança
empregando o Excel
Teste de hipótese para amostrais normais e Exercícios
Alterações: inclusão de estatística descritiva na aula 1
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2
Nota – Instalação das
Ferramentas de Análise do Excel
Programa do Curso
Aula Tipo (T-P-C) Tema
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3

Muitas das técnicas descritas aqui requerem a prévia
instalação do suplemento (“add-in”) “Ferramentas de
Análise” do Excel. O procedimento de instalação é
descrito a seguir:

No menu Ferramentas, selecione “Suplementos” e na
caixa de diálogo que será aberta marque a opção
“Ferramentas de análise”. Se esta opção não estiver
presente, clique “procurar” para encontrar o arquivo
correspondente (em geral chamado Analys32.xll) ou
rode novamente o “set-up” do MS-Office.
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4
Aula 1
Estatística Descritiva
Definições básicas – Introdução à
Probabilidade

Estatística Descritiva
Probabilidade
Espaço amostral
Eventos
Propriedades das probabilidades
Probabilidade Condicional
Independência
Teorema de Bayes

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5
Prá que serve estatística?

6
Estatística
Porque nos permite entender e lidar com a idéia
de variabilidade.
Um exemplo típico é:
Produção de parafusos. Uma fábrica produz
parafusos, que devem diâmetro dentro de certas
especificações. Ao medirmos os diâmetros de
100 parafusos produzidos ao acaso existirão
variações individuais.
Estas variações são importantes? Até que ponto
as variações observadas são aceitáveis?
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Em geral um número em Estatística não é apenas
um número! A ele associamos uma medida de
incerteza ou variabilidade.

População e Amostra

População = coleção de todos os elementos cujas
características desejamos conhecer. Os elementos (ou
"indivíduos") na população não são necessariamente
pessoas!

Amostra = subconjunto da população cujas características
serão medidas. A amostra será usada para descobrir
características da população.
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Exemplos
Exemplos
1) População = eleitores na cidade do Rio de Janeiro
Amostra = 650 eleitores escolhidos aleatoriamente (ao acaso)
Característica de interesse: percentual de eleitores que
planejam votar num candidato X nas próximas eleições.
3) População = todos os domicílios com TV na
2) População = automóveis produzidos no Brasil entre 1997 e
2002
Amostra = 10000 carros escolhidos aleatoriamente dentre os
sujeitos a “recall” das montadoras
Característica de interesse: verificar se o proprietário do carro
respondeu ao chamado de “recall” da fábrica
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Em resumo: A partir de uma amostra coletamos
informaç
informações que nos permitem
permitem aprender alguma
coisa interessante sobre a populaç
população.
9
Por que fazer isso?
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10
E agora?

É economicamente eficiente! Os custos
são infinitamente mais baixos que os de
amostrar a população inteira (“censo”).

Pode-se provar que, para populações
muito grandes, uma amostra de cerca de
600 ou 1000 "indivíduos" fornece
resultados bastante confiáveis sobre as
características da população.
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cidade do Rio de Janeiro
Amostra = 1000 domicílios com TV escolhidos ao
acaso
Característica de interesse = percentual de
audiência de cada emissora de TV num certo dia
da semana no horário de 18 às 22 horas.
11

Você coletou uma amostra e, dentro desta
amostra você coletou dados numéricos
(por exemplo, o consumo médio mensal
em kWh dos domicílios numa certa área
da cidade). O que fazer com isso?

Existem 2 possibilidades:

Você pode simplesmente descrever estes dados
numéricos através de gráficos e tabelas. Isto é chamado
de estatí
estatística descritiva.
descritiva A maioria das pesquisas de
mercado faz só isso, que é sem dúvida, muito
importante.
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E agora?
E agora?

Você pode tentar tirar conclusões sobre
as características da população a partir
dos dados observados na amostra.

Isso se chama estatística inferencial (ou
simplesmente estatística!). Para que a
gente consiga fazer isso, é necessário ter
uma noção bastante abrangente de
Probabilidades.
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13

Na verdade, a estatística descritiva surgiu
muito antes da estatística inferencial.

Esta última depende da especificação de
modelos matemáticos baseados numa
noção fundamental, que é a de
"probabilidade".
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14
Estatística descritiva

Gráficos ("A picture is worth one thousand words")
Histograma
Diagramas de Pareto
Gráficos de dispersão, gráficos da variável ao longo do
tempo, gráficos de barras, etc...
Medidas Numéricas

Média amostral

Mediana amostral

Desvio padrão amostral

Variância amostral
Assimetria e Curtose amostrais
Percentis
Covariância, Correlação amostrais
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15
Alguns gráficos da evolução de
variáveis ao longo do tempo
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16
EXEMPLO: Preços de Petróleo
Brent e WTI – dados diários –
02/01/1991 a 03/11/2006
Consumo Total Energia Elétrica
Jan/1979 a Ago/2006
Consumo de Energia Elétrica - Total Brasil (GWh) - Fonte: Eletrobrás
Preços de Petróleo (US$/Barril) - Janeiro de 2000 a Novembro de 2006
32,000
84
80
76
72
27,000
68
64
60
22,000
56
52
48
17,000
44
40
36
12,000
32
28
24
20
7,000
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4/
1/
4/ 200
3/ 0
3/ 200
5 0
2/ /20
7 0
31 /20 0
30 /8/2 00
/1 00
29 0/2 0
/1 00
27 2/20 0
/ 0
28 2/20 0
/4 0
27 /20 1
/6 0
26 /20 1
/
25 8/2 01
/ 0
24 10/2 01
/1 00
22 2/20 1
/2 0
23 /20 1
/ 0
22 4/20 2
/ 0
21 6/20 2
20 /8/ 02
/1 20
19 0/2 02
/1 00
17 2/20 2
/2 0
18 /20 2
/4 0
17 /20 3
/ 0
16 6/2 3
0
15 /8/2 03
/1 0
14 0/2 03
/1 00
2
12 /20 3
/2 0
12 /20 3
/ 0
11 4/20 4
/6 0
10 /20 4
/8 0
9/ /20 4
10 0
8/ /20 4
12 0
4
6/ /20
2/ 04
7/ 200
4/ 5
2
6/ 00
6 5
5/ /200
8
4/ /20 5
10 0
3/ /2 5
12 00
5
1/ /200
2/ 5
2/ 200
4/ 6
1/ 200
6
31 /20 6
/ 0
29 7/20 6
/9 06
/2
00
6
ja
n/
7
ja 9
n/
8
ja 0
n/
8
ja 1
n/
82
ja
n/
8
ja 3
n/
8
ja 4
n/
85
ja
n/
8
ja 6
n/
8
ja 7
n/
8
ja 8
n/
89
ja
n/
9
ja 0
n/
9
ja 1
n/
9
ja 2
n/
9
ja 3
n/
9
ja 4
n/
95
ja
n/
9
ja 6
n/
9
ja 7
n/
98
ja
n/
9
ja 9
n/
0
ja 0
n/
0
ja 1
n/
02
ja
n/
0
ja 3
n/
0
ja 4
n/
0
ja 5
n/
06
16
17
EXEMPLO: IPC-FIPE
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Petróleo WTI
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Petróleo Brent
18
EXEMPLO: IPC-FIPE
Inflação FIPE (% a.m) e quadrissemanas - 01/1995 a 10/2006
5

No gráfico anterior exibimos o IPC-FIPE (o Índice de
Preços ao Consumidor da FIPE, um dos mais
importantes índices de inflação com suas
estimativas quadrissemanais) no período entre
01/1995 e 10/2006.

As prévias quadrissemanais servem como
indicadores da inflação do próximo mês medida
pelo IPC-FIPE.

No próximo gráfico exibimos os valores mais
recentes (desde 2002) do IPC-FIPE.
4
3
2
1
ja
n/
95
0
-1
-2
Inflação - IPC - FIPE
Inflação - IPC - FIPE - 1a. quadrissemana
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monica@
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20
IBOVESPA Diário – Julho de 1994 a
a 06/08/2004
IPC-FIPE desde 2002
Inflação FIPE (% a.m)- 01/2002 a 10/2006
Índice de ações - Ibovespa - fechamento (07/1994 a 08/2004)
3.0
25,000
2.5
20,000
2.0
1.5
15,000
1.0
0.5
10,000
ju
l/0
6
ou
t/0
6
ja
n/
06
ab
r/0
6
ju
l/0
5
ou
t/0
5
ja
n/
05
ab
r/0
5
ju
l/0
4
ou
t/0
4
ja
n/
04
ab
r/0
4
ju
l/0
3
ou
t/0
3
ja
n/
03
ab
r/0
3
-0.5
ju
l/0
2
ou
t/0
2
ja
n/
02
ab
r/0
2
0.0
5,000
INFLAÇÃO - IPC - FIPE (% a.m.)
0
04
20
6/ 4
/0 0 0
29 1/2 3
/0 0 0
29 8/2 3
/0 0 0
30 3/2 2
/0 0 0
31 0/2 2
/1 0 0
30 5/2 1
/0 0 0
31 2/2 1
/1 0 0
30 7/2 1
/0 0 0
31 3/2 0
/0 0 0
01 9/2 0
/0 0 0
30 5/2 9
/0 9 9
01 2/1 9
/1 9 9
01 7/1 9
/0 9 9
02 1/1 8
/0 9 9
31 9/1 8
/0 9 9
01 4/1 7
/0 9 9
02 1/1 7
/1 9 9
01 6/1 7
/0 9 9
02 1/1 6
/0 9 9
01 8/1 6
/0 9 9
02 3/1 5
/0 9 9
03 0/1 5
/1 9 9
03 5/1 4
/0 9 9
04 2/1 4
/1 9 9
03 7/1
/0
04
monica@
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21
a 06/08/2004

monica@
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a 06/08/2004
Parece que a bolsa subiu muito durante
quase todo o Plano Real.
IBOVESPA em Pontos em Reais e Dólares
26000.00
23000.00
20000.00

Será que isso é mesmo verdade?
17000.00
14000.00
11000.00
Veja o próximo gráfico, em que
comparamos o IBOVESPA em R$ e US$.
8000.00
5000.00
IBOVESPA em Dólares
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23
monica@
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ele.puc--rio.
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05/05/2004
26/12/2003
25/08/2003
17/04/2003
10/12/2002
08/08/2002
04/04/2002
22/11/2001
18/07/2001
13/03/2001
31/10/2000
28/06/2000
21/02/2000
14/10/1999
10/06/1999
01/02/1999
22/09/1998
19/05/1998
08/01/1998
03/09/1997
30/04/1997
17/12/1996
14/08/1996
11/04/1996
29/11/1995
25/07/1995
17/03/1995
08/11/1994
2000.00
04/07/1994

IBOVESPA em R$
24
Exemplo - IBOVESPA e Dólar
Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 12/06/2003
14,500
14,000
Gráfico de Dispersão
(uma variável versus outra)
Neste período parece fazer sentido
ajustar uma reta e poderíamos
estipular um modelo que pudesse
prever o IBOVESPA em função da
taxa de câmbio
13,500
13,000
12,500
12,000
11,500
11,000
10,500
10,000
y = -3830.7x + 24366
R2 = 0.8954
9,500
9,000
2.80
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25
Exemplo - IBOVESPA e Dólar –
incorporação de novos dados
2.90
3.00
3.10
3.20
3.30
3.40
3.50
3.60
3.70
3.80
3.90
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26
Ibovespa versus Dólar PTAX -10/12/2002 a 02/03/2004

Por que o modelo anterior não funciona?

No período entre junho de 2003 e março
de 2004 o dólar permaneceu praticamente
estável, enquanto o índice Bovespa subiu
consideravelmente, como podemos
verificar no próximo gráfico.
26,000
24,000
Claramente, um modelo linear não é mais
apropriado quando levamos em consideração os
novos dados (entre junho de 2003 e março de
2004) - OU SEJA: O MODELO MUDOU!
22,000
20,000
18,000
16,000
y = -10612x + 48010
2
R = 0.4532
14,000
12,000
10,000
8,000
2.80
2.90
3.00
3.10
3.20
3.30
3.40
monica@
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3.50
3.60
3.70
3.80
3.90
27
monica@
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28
Exemplo - temperaturas

Dados:Temperatura máxima (média das
máximas) na estação de Santa Cruz (Rio de
Janeiro) entre Jan/1982 e Dez/1991.

O que fazer com todos estes 120 números?

A coisa mais sensata é fazer um gráfico da
temperatura versus o índice de tempo (mês e
ano). Este gráfico vai revelar o óbvio, isto é, que
as temperaturas no verão são mais altas que no
inverno!
IBOVESPA - 10/12/2002 a 02/03/2004
25,000
Junho de 2003
23,000
21,000
19,000
17,000
15,000
13,000
11,000
10
/
25 12/
/ 0
09 12/ 2
/ 0
24 01/ 2
/ 0
08 01/ 3
/ 0
23 02/ 3
/ 0
10 02/ 3
/ 0
25 03/ 3
/ 0
09 03/ 3
/ 0
24 04/ 3
/ 0
09 04/ 3
/ 0
24 05/ 3
/ 0
08 05/ 3
/ 0
23 06/ 3
/ 0
08 06/ 3
/ 0
23 07/ 3
/ 0
07 07/ 3
/ 0
22 08/ 3
/ 0
06 08/ 3
/ 0
21 09/ 3
/ 0
06 09/ 3
/ 0
21 10/ 3
/ 0
05 10/ 3
/ 0
20 11/ 3
/ 0
05 11/ 3
/ 0
20 12/ 3
/ 0
04 12/ 3
/ 0
19 01/ 3
/ 0
03 01/ 4
/ 0
18 02/ 4
/ 0 04
2/
04
9,000
29
Temperaturas Máximas - 1982 a 1991
31
37
35
33
31
29
27
25
monica@
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set/91
jan/91
mai/91
set/90
jan/90
mai/90
set/89
jan/89
mai/89
set/88
jan/88
mai/88
set/87
jan/87
mai/87
set/86
jan/86
mai/86
set/85
jan/85
mai/85
set/83
jan/83
mai/83
set/82
jan/82
mai/82
23
set/84
Além disso, a gente vai perceber que
existe um comportamento sazonal nos
dados, ou seja, dentro de cada ano a
evolução da temperatura se repete mais
ou menos da mesma maneira.
O gráfico também nos dá uma idéia do
quanto a temperatura está variando em
todo o período. Por exemplo, pode-se
verificar que a temperatura máxima nestes
10 anos está sempre acima de 22 graus.

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rio.br
30
jan/84
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mai/84
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32

O grá
gráfico é muito útil, mas certamente não conta
a estó
estória toda ....

Por exemplo, qual será a temperatura média de
todos os meses? Dentre os 120 meses, em
quantos a temperatura média esteve entre 28 e 33
graus? Qual o percentual de temperaturas entre
22 e 25 graus? Tomando-se os 120 pontos, quais
os valores de temperatura tais que 90% dos
meses têm temperaturas entre estes dois
valores?
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rio.br

O primeiro passo é fazer a distribuição de
freqüência dos seus dados. Isto é simplesmente
uma medida mais compacta de representação
dos dados. Você divide as temperaturas em
intervalos (chamados intervalos de classe)
classe e
conta quantas observações caem em cada
intervalo.
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rio.br
34
A escolha do nú
número de intervalos é meio
arbitrá
arbitrária. O importante é garantir que o número
de classes não seja nem muito grande nem muito
pequeno.
Se o número de classes for muito pequeno, fica
difícil verificar as diferenças entre as classes. Ao
contrário, se o número de classes for muito
grande, existirão muito poucas observações em
cada classe.
O primeiro passo é ordenar os dados pois facilita
a colocação dos dados em cada classe.
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rio.br
Podemos pensar nestas, e numa infinidade de
outras questões. O fato é que um simples gráfico
da temperatura versus o tempo não fornece as
respostas.
33

35

Escolha do número de classes num
diagrama de frequência

Seja n o número de intervalos num diagrama de frequência.
Recomenda-se escolher n entre 5 e 20. Quanto maior o
número de observações, maior o número de intervalos.

Geralmente usausa-se n igual à raiz quadrada do nú
número total
de observaç
observações,
ões que neste caso seria aproximadamente 11.
Para facilitar a visualização em geral usamos intervalos
com o mesmo comprimento. Também muitas vezes o
primeiro intervalo é descrito como "abaixo de um certo
valor" e o último como "acima de um certo valor".
monica@
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ele.puc--rio.
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36

Neste exemplo usamos n = 7, por uma questão
puramente prática, pois este número nos permite
encontrar intervalos de classe de comprimento
1.9 em todas as classes, exceto a primeira, e
todas as classes terminam com uma temperatura
que é um número inteiro e par.
Neste caso eu decidi considerar 7 classes para
as temperaturas. A primeira vai de 24 a 26 graus,
a segunda vai de 26.1 a 28 graus e assim
sucessivamente. O diagrama de freqüências
encontrado está a seguir.
monica@
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ele.puc--rio.
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37
Exemplo – temperaturas

Classe
Frequência Relativa
Frequência
Relativa
Acumulada
5.83%
24-26 graus
7
7/120 = 5.83 %
26.1- 28 graus
31
31/120 = 25.83 %
31.66%
28.1-30 graus
26
26/120 = 21.67 %
53.33%
30.1-32 graus
26
26/120 = 21.67 %
75.00%
32.1-34 graus
25
25/120 = 20.83 %
95.83%
34.1-36 graus
3
3/120 = 2.50 %
98.33%
36.1-38 graus
2
2/120 = 1.67 %
100%
Totais
120
100%
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38
O diagrama de frequências já nos permite
responder a diversas outras questões. Por
exemplo, a grande maioria (69.17%) das
temperaturas máximas está entre 26.1 e 32 graus.
Também percebemos que temperaturas máximas
acima de 34.1 graus são incomuns (apenas 5
dentre as 120).
Veja que outras conclusões você consegue obter
a partir deste diagrama.
monica@
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ele.puc--rio.
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Frequência
39

A partir de um diagrama de frequências podemos
facilmente construir um histograma.

Histograma
Gráfico de barras, onde o eixo vertical contém as
frequências (ou freqüências relativas) e o eixo
horizontal contém os intervalos de classes.
Muitas vezes faz-se a área de cada barra igual à
freqüência relativa de cada classe, de tal forma
que a área total sob o histograma é 1 (100%).

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40
Histograma – produção no Excel

É automática, mas você precisa ter instalado
antes o suplemento (“add-in”) de ferramentas de
análise de dados.

Aliás, este suplemento será muito útil para nós,
portanto instale-o.
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41
42
Histograma – implementação
no Excel em Português
Células contendo os dados
Células contendo os limites dos intervalos (não precisam ser
especificados) – mas geralmente quando não os especificamos o
Excel gera uns limites meio “feios”
monica@
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43
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44
Histograma – Retorno diário do
preço do petróleo WTI – 01/1991 a
08/2006
Note que este histograma usa intervalos diferentes
dos especificados na tabela de freqüência mostrada
anteriormente
Histograma
Histograma - Log Retornos Petróleo WTI - 1991 a 2006
800
35
A grande maioria dos
retornos diários
(variações diárias)
nesta faixa, mas
também variações
extremas
700
30
600
25
Frequency
Freqüência
500
20
400
15
300
10
200
100
5
0
24
26
28
30
32
34
36
38
-1
3.
1
-1 %
2.
2
-1 %
1.
3%
-1
0.
4%
-9
.5
%
-8
.6
%
-7
.7
%
-6
.8
%
-6
.0
%
-5
.1
%
-4
.2
%
-3
.3
%
-2
.4
%
-1
.5
%
-0
.6
%
0.
3%
1.
2%
2.
0%
2.
9%
3.
8%
4.
7%
5.
6%
6.
5%
7.
4%
8.
3%
9.
2
10 %
.0
%
10
.9
%
11
.8
12 %
.7
%
13
.6
14 %
.5
%
M
or
e
0
acima de 38
Intervalo
monica@
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Bin
45
Diagrama de Pareto
46
Exemplo – Consumo Residencial
Como fazer um diagrama de Pareto?
1) Faça um gráfico de barras colocando a freqüência de cada
tipo de evento no eixo vertical, e arranjando os eventos em
ordem decrescente de ocorrência. Assim, a primeira barra
corresponde ao evento que ocorre com mais freqüência, a
segunda barra diz respeito ao segundo evento mais
freqüente, e assim por diante.
2) Crie um eixo vertical no lado direito do seu gráfico
contendo as freqüências relativas acumuladas. Faça uma
linha juntando as frequências relativas acumuladas e a
superponha ao gráfico de barras.
monica@
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ele.puc--rio.
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47

Os dados a seguir representam a distribuição de
domicílios residenciais por classe de consumo
de energia elétrica na área de concessão de uma
certa distribuidora de energia. Os dados referemse a uma pesquisa realizada em dezembro de
1995 com uma amostra de 1122 domicílios.
Faixas de consumo
número de domicílios
freqüência relativa
0-50 KWh
127
127/1122 = 11.3 %
51-100 KWh
199
199/1122 = 17.7 %
101-150 KWh
225
20.10%
151-300 KWh
384
34.20%
acima de 300 KWh
187
16.70%
Total:
1122
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48
Exemplo – Consumo Residencial

Medidas Numéricas
O diagrama de Pareto para estes dados é:

Diagrama de Pareto

400

350
300
250
200
150
100
A partir de agora suponha que os dados
observados na amostra são x1, x2, ..., xn .
n é o tamanho da amostra.
A partir dos x's vamos encontrar números que
resumem as características da amostra. Vamos
estar interessados em dois tipos principais de
medidas numéricas: as que caracterizam a
localização do centro da amostra e as que
caracterizam a dispersão dos dados.
50
0
151-300 KWh
101-150 KWh
51-100 KWh
acima de 300 KWh
0-50 KWh
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monica@
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Medidas Numéricas
Medidas de Tendência Central
Medidas de Localização ou de tendência
central

49
Medidas de Dispersão

Média Amostral
X=
dizem onde está o "meio" dos seus dados
exemplo: média e mediana amostrais
50
1 n
∑ Xi
n i =1

No Excel: função Média (....)

Considere agora a amostra x1, x2, ..., xn e suponha que você
a ordene, de tal forma que x(1) seja o menor elemento da
dizem o quanto os seus dados estão “espalhados”
exemplo: desvio padrão e variância amostrais, amplitude
amostral
amostra, x(2) seja o segundo menor elemento, ...., x(n) seja o
maior elemento da amostra. Os valores x(1), x(2), ..., x(n) são
chamados de estatí
estatísticas de ordem da amostra. Outras
medidas de tendência central e de dispersão serão
definidas a partir das estatísticas de ordem.
monica@
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51
monica@
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ele.puc--rio.
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52

Mediana

É definida a partir das estatísticas de ordem.

⎧ X⎛ n⎞ + X⎛ n ⎞
⎜ +1⎟
⎪ ⎜⎝ 2 ⎟⎠
⎝2 ⎠
se n, o tamanho da amostra, é par
⎪
2
⎪
m=⎨
ou
⎪X
+
n
1
⎛
⎞
⎪ ⎜ ⎟
se n, o tamanho da amostra, é ímpar
⎪ ⎝ 2⎠
⎪⎩

Por exemplo, se existem 10 observações na amostra, a
mediana equivale à média entre x(5) e x(6) . Se a amostra
contém 11 elementos, a mediana é x(5) . A mediana amostral
é menos influenciada que a média por observações
aberrantes (“outliers”).
No Excel é a função med(...)
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53

Por exemplo, se os seus dados são 1,2,3,4,5, a
média amostral é: (1+2+3+4+5)/5 = 3 e a mediana
amostral tem o mesmo valor.
Se agora os dados são:
1,2,3,4,45, a média amostral é:
(1+2+3+4+45)/5 = 11, mas a mediana amostral
continua sendo 3.
Logo, a média amostral foi profundamente
influenciada por um único valor, e o mesmo não
aconteceu com a mediana amostral.
monica@
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As medidas de tendência central não são as
únicas medidas necessárias para caracterizar
uma amostra (ou população).
0.30
0.25
0.20

54
Precisamos também saber o quanto as
observações na amostra estão " espalhadas".
Tem maior
dispersão – é
mais“espalhada”
0.15
0.10

Por exemplo, no gráfico a seguir as populações
têm a mesma média, mas certamente a segunda
distribuição tem maior dispersão.
0.05
0.00
2
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55
7
12
17
monica@
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56

Variância Amostral

Desvio Padrão Amostral
É a medida mais comum de dispersão . A
variância amostral, denotada por s2 é definida
como:
1 n
2
s2 =
∑ (X
n − 1 i =1
i

−X)
Onde X é a média amostral.
Note que, por definição, a variância amostral é
sempre não negativa!!!
A unidade de medida da variância é o quadrado
da unidade de medida das observações, o que
dificulta a sua interpretação.

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58
Opção 1

s
X
É uma medida adimensional, e serve principalmente
para comparar duas amostras que foram coletadas
em unidades de medida diferentes, por exemplo,
uma em cm e outra em polegadas.
Amplitude Amostral
A = X ( n ) − X (1) = máx − mín
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1 n
2
∑(Xi − X)
n −1 i =1
Como obter estatísticas
descritivas no Excel?
Coeficiente de variação amostral
CV =
s = s2 =
57

O desvio padrão amostral, denotado por s, é
definido como a raiz quadrada positiva da
variância amostral. Pelos comentários anteriores,
notamos que s é expresso nas mesmas unidades
de medida que as observaç
observações na amostra.
amostra
59

Use as funções apropriadas, por exemplo,
média(..), med(...), máximo(...), mínimo(...),
desvpad(...), ...
Opção 2

Use a ferramenta “estatística descritiva”
dentro das opções de “análise de dados”,
como indicado na tela a seguir. Várias outras
estatísticas, como a curtose (que mede o
“peso” das “caudas”(extremos) e a assimetria,
são também fornecidas).
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60
Células contendo os
dados
Indicador de nome
da variável na 1a.
posição da coluna
ou linha
Produzir estatísticas
descritivas
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61
Percentis
monica@
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62
Quartis

O percentil x% é o ponto tal que, a
probabilidade de estar abaixo dele é x%.

O percentil 50% é a MEDIANA de um
conjunto de dados, e qualquer percentil
entre 0 e 100% pode ser encontrado
através da função PERCENTIL do Excel.
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63

Primeiro Quartil: Q1 – é o percentil 25%,
ou seja, 25% das observações estão
abaixo de Q1

Segundo Quartil: Q2 - é a mediana

Terceiro Quartil: Q3 – é o percentil 75%
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64
Estatísticas Descritivas – Retorno
do Petróleo WTI – 01/1991 a 08/2006
Percentis – Retorno do Petróleo
WTI – 01/1991 a 08/2006
Percentis
Estatísticas Descritivas - Retorno WTI - 1991 a agosto 2006
Média
Mediana
Moda
Desvio Padrão
Variância
Curtose
Assimetria
Amplitude
Mínimo
Máximo
Número de Obs.
0.017%
0.071%
0.000%
2.38%
0.001
26.338
-1.57
0.56
-40.64%
15.38%
3,836
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5% dos retornos
abaixo de -3.53%
90% dos retornos
abaixo de +2.51%
65
Análise dos Retornos do
IBOVESPA
5%
10%
25%
50%
75%
90%
95%
-3.53%
-2.53%
-1.17%
0.07%
1.28%
2.51%
3.45%
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66
Histograma dos Retornos
IBOVESPA
Histograma dos retornos diários do IBOVESPA

Considere agora os retornos diários do
IBOVESPA no período entre 04 de julho de 1994 e
06/08/2004.
500
450
400

250
200
150
Onde log denota o logaritmo natural (base e) e Pt
e Pt+1 são, respectivamente, os preços nos dias t e
t + 1.
O retorno definido acima é chamado de retorno
geomé
geométrico.
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ele.puc--rio.
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300
67
100
50
0
s
ai
M %
00
7. %
50
6. %
00
6. %
50
5. %
00
5. %
50
4. %
00
4. %
50
3. %
00
3. %
50
2. %
00
2. %
50
1. %
00
1. %
50
0. %
00
0. 0%
.5
-0 0%
.0
-1 0%
.5
-1 0%
.0
-2 0%
.5
-2 0%
.0
-3 0%
.5
-3 0%
.0
-4 0%
.5
-4 0%
.0
-5 0%
.5
-5 0%
.0
-6 0%
.5
-6 0%
.0
-7

350
Defina o retorno diário entre os dias t e t + 1
como:
⎛P ⎞
Rt +1 = log⎜⎜ t +1 ⎟⎟
⎝ Pt ⎠
Freqüência

Bloco
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68
IBOVESPA
Percentis dos Retornos
Percentil Retorno Correspondente
1.0%
-6.75%
5.0%
-3.90%
10.0%
-2.74%
25.0%
-1.24%
50.0%
0.13%
75.0%
1.48%
90.0%
2.69%
95.0%
3.66%
99.0%
6.63%
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Uso da função “freqüência”
Produz a freqüência (número de ocorrências
num determinado intervalo).
Por exemplo, dentre 2501 retornos diários do
IBOVESPA, a referência:

FREQÜÊNCIA(E$3:E$2503;G7) significa:
Olhe para todos os dados em E$3 a E$2503 (são
os retornos diários) e conte QUANTOS estão
ABAIXO do valor em G7.
O gráfico destas frequências é mostrado na
próxima página.

69
IBOVESPA
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ele.puc--rio.
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70
IBOVESPA
Frequüências Acumuladas - Retornos Diários
3,000

Se dividirmos cada uma destas freqüências
por 2501 obtemos as freqüências relativas
acumuladas – veremos mais tarde que isso
é uma aproximação para a função de
distribuição acumulada.

Veja o próximo gráfico.
2,500
2,000
1,500
1,000
500
-1
5.
00
-7 %
.0
0
-6 %
.5
0
-6 %
.0
0
-5 %
.5
0
-5 %
.0
0
-4 %
.5
0
-4 %
.0
0
-3 %
.5
0
-3 %
.0
0
-2 %
.5
0
-2 %
.0
0
-1 %
.5
0
-1 %
.0
0
-0 %
.5
0%
0.
00
%
0.
50
%
1.
00
%
1.
50
%
2.
00
%
2.
50
%
3.
00
%
3.
50
%
4.
00
%
4.
50
%
5.
00
%
5.
50
%
6.
00
%
6.
50
%
7.
00
%
20
%
30
%
-
monica@
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71
monica@
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72
IBOVESPA
Assimetria

Frequüências Relativas Acumuladas - Retornos Diários
100%
95%
90%
O coeficiente de assimetria amostral é
definido como:
⎧1 n
3⎫
⎨ ∑ (X i − X ) ⎬
⎩ n i =1
⎭
85%
80%
75%
γ3 =
70%
65%
60%
55%
50%
45%
40%
⎧1 n
2⎫
⎨ ∑ (X i − X ) ⎬
⎩ n i =1
⎭
3/ 2
⎧n
3⎫
n ⎨∑ ( X i − X ) ⎬
⎩ i =1
⎭
=
3/ 2
n
⎧
2⎫
⎨∑ (X i − X ) ⎬
⎩ i =1
⎭
35%
30%
Se o coeficiente é zero, seus dados são simé
simétricos em torno da
média.
25%
20%
15%
10%
5%
Se o coeficiente é positivo (assimetria positiva), existem
valores “grandes”
grandes” maiores que a mé
média => existe uma cauda
comprida para a direita.
-1
5.
00
-7 %
.0
0
-6 %
.5
0
-6 %
.0
0
-5 %
.5
0
-5 %
.0
0
-4 %
.5
0
-4 %
.0
0
-3 %
.5
0
-3 %
.0
0
-2 %
.5
0
-2 %
.0
0
-1 %
.5
0
-1 %
.0
0%
-0
.5
0%
0.
00
%
0.
50
%
1.
00
%
1.
50
%
2.
00
%
2.
50
%
3.
00
%
3.
50
%
4.
00
%
4.
50
%
5.
00
%
5.
50
%
6.
00
%
6.
50
%
7.
00
%
20
%
30
%
0%
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rio.br
73
Assimetria
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Assimetria
Distribution for PLD/B10
Distribution for DEM REAL/B7
0.080
Mean=28.82446
0.070
Values in 10^ -6
0.060
0.050
Na curva A acima a
assimetria é positiva,
a curva B é simétrica
e a curva C tem
assimetria negativa.
0.040
0.030
O oposto ocorre se a
assimetria é negativa (em
geral média MENOR que a
mediana).

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Dados simé
simétricos
Dados com assimetria
positiva
Em geral, se a
assimetria é positiva, a
média é MAIOR que a
mediana.

74
75
0.020
0.010
0.000
0
35
5%
18.8795
70
90%
105
140
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0.75
Mean=919999.9
0.8375
5%
0.925
1.0125
1.1
Values in Millions
49.7419
5%
90%
.8459
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5%
.994
76
Curtose
Curtose

É uma medida do “achatamento” de uma
distribuição de probabilidade.

Como a distribuição Normal tem curtose
igual a 3, usualmente define-se o
“excesso de curtose”, ou seja, o quanto
uma distribuição de probabilidade tem
mais curtose que a Normal.
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rio.br
Distribuições de retornos de ativos
financeiros geralmente tem a “cara” de
uma Normal, mas com excesso de
curtose!

Ao lado, a curva B é a
Normal padrão e a
curva A tem excesso
de curtose.

77
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78
Curtose

A fórmula do excesso de curtose é:
n
κ4 =

n∑ ( X i − X )
4
i =1
2⎞
⎛ n
⎜ ∑( Xi − X ) ⎟
⎝ i =1
⎠
2
Definições básicas –
Introdução à Probabilidade
−3
Note que, se os seus dados são Normais, esta
medida é próxima de zero.
monica@
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79
monica@
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ele.puc--rio.
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80
Probabilidades – Introdução

Probabilidades – Introdução
Probabilidade faz parte do nosso dia a dia,
por exemplo:
“A previsão da meteorologia é de (grande
chance de) chuvas ao final do dia”
“O Flamengo possui (MUITAS!!!) chances
matemáticas de chegar à final”
A probabilidade do candidato XYZ chegar ao
2o. Turno das eleições presidenciais é
pequena...
A probabilidade da taxa SELIC cair na próxima
reunião do COPOM é alta...

Em resumo: estamos SEMPRE falando sobre
probabilidades no nosso dia a dia, resta saber
como quantificá-las, e quais os MODELOS mais
comuns na prática.

Na terminologia usual, a probabilidade reflete a
chance de um determinado evento ocorrer.
Quanto maior a probabilidade, maior a chance de
ocorrência de um acontecimento.

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Aquela cujo resultado não pode ser conhecido antes da
realizaç
realização da mesma,
mesma por exemplo:

O resultado da jogada de um dado;
O número de carros que passam num posto de pedágio
num intervalo de meia hora;
A cotação do dólar em 02/03/2005;
Os números que vão “sair” no concurso da Mega-Sena da
próxima semana;
A carga no Sudeste às 18 horas de amanhã.
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Sempre que lidamos com experiências aleatórias, ou
seja, toda vez em que o “mundo” não é determinístico
(quase sempre...)
Experiência aleató
aleatória

IMPORTANTE: probabilidade é um número entre
0 e 1 sempre!
82
Experiência Aleatória
E por que é necessário estudar probabilidades?

81
Experiência Aleatória

83
Mas... note que, embora você não saiba
exatamente qual o resultado da experiência
aleató
aleatória, també
também não existe ignorância completa
sobre o assunto!!!
No exemplo da jogada do dado, é claro que os
resultados possíveis são {1, 2, 3, 4, 5, 6}, as
faces do dado;
No caso da Mega-Sena, o conjunto de valores
possíveis são os 6 números sorteados no
conjunto {0, ..., 50} e nos outros exemplos
podemos estabelecer um intervalo de valores
máximos e mínimos!
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84
Espaço Amostral

Evento
É o conjunto de todos os possí
possíveis resultados de
uma experiência aleató
aleatória.

Total de nomes da lista telefônica do Rio de Janeiro
(???)
Valores entre R$ 1.50 e R$ 150 (cotação do dólar em
02/03/2007)
Uma moeda é jogada 3 vezes, e observamos a
seqüência de caras (H) e coroas (T). O espaço amostral
é S = { HHH, THH, HTH, HHT, TTH, THT, HTT, TTT}
Uma lâmpada é fabricada e testada até queimar, e
registra-se o tempo de ocorrência deste evento. O
espaço amostral é S = { x : x > 0 }
O espaço amostral será denotado aqui por S.
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É um conjunto de possíveis resultados de
uma experiência, isto é, um subconjunto do
espaço amostral.
Nomes na lista telefônica que comecem com P e tenham
5 letras
Cotação do dólar entre R$ 3.50 e R$ 8.50 em 02/03/2007.
O evento “sair 1 cara em 3 jogadas” é dado pelo
conjunto: { HTT, THT, TTH}
O evento “lâmpada durar menos de 1000 horas” pode
ser expresso como: { x : 0 < x < 1000}

85
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Evento
Propriedades de Eventos
Da definição segue diretamente que
ambos ∅ e S são eventos.
Se o espaço amostral é finito e possui n
elementos, então existem 2n
subconjuntos deste espaço amostral, isto
é, existem 2n eventos.
É claro que não podemos dizer quantos
eventos existem associados a um espaço
amostral infinito.

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87
86
Se A e B são eventos – sua interseção também é um
evento! Isso vale também para a interseção entre n
eventos.
Interseç
Interseção entre os eventos A e B
Espaç
Espaço Amostral
Evento A
Evento B
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88

Se A e B são eventos – sua união também é um
evento! Esta propriedade é válidade também para a
união de n eventos.

Se A é um evento, o complemento de A, denotado
por AC ou A , também é um evento.
união entre os eventos A e B
Espaç
Espaço Amostral
Espaç
Espaço Amostral
Evento A
Ac
Evento B
A
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Eventos mutuamente
exclusivos
Definição axiomática de
probabilidade
Eventos mutuamente exclusivos – os elementos de
A não pertencem a B e vice-versa, isto é, A ∩ B = ∅.

A definição axiomática de probabilidade
encara probabilidade como uma função
cujo domínio é o espaço amostral.

Logo, probabilidade é uma função que
“sai” de S e “chega” no intervalo [0,1] e
por isso precisamos saber “lidar” com
conjuntos, pois o espaço amostral não é
necessariamente numérico, como já
vimos.

Note que dois eventos complementares são mutuamente
exclusivos
Espaço Amostral
A
B
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92
probabilidade
qualquer
probabilidade

Seja A um subconjunto
amostral S.
do
espaço

Podemos definir uma função P(.) tal que, se A ⊆ S,
então P(A) é a probabilidade de que o resultado da
experiência aleatória seja um elemento de A.
[0,1]
A
probabilidade
S

Esta função P(.) "pega" elementos do espaço
amostral e os leva num subconjunto dos reais, o
intervalo [0,1].
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probabilidade

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probabilidade
Seja S o espaço amostral e A um subconjunto
qualquer deste espaço. Uma função
de
probabilidade que atua sobre este espaço
amostral satisfaz:
i) 0 ≤ P(A) ≤ 1 para todo A ⊆ S
ii) P(S) = 1
iii) P(A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪.....) = P(A1) + P(A2) +
P(A3) + ...
onde os Ai são mutuamente exclusivos.
Esta última propriedade é válida, em particular,
quando existe um número finito de termos na
união.
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No entanto, nem toda função que sai de S e chega
em [0,1] pode ser chamada de probabilidade, ela tem
que satisfazer certas condições.

95

A versão mais simples da expressão iii) será usada
muitas vezes neste curso, e por isso a colocamos em
destaque:
P(A1 ∪ A2) = P(A1) + P(A2) se A1 e A2 forem
mutuamente exclusivos.

Estas três propriedades definem o tipo de função
que pode ser chamada de "probabilidade".

A princípio, existem infinitas funções que mapeiam S
em [0,1], mas para ser chamada de “probabilidade”,
uma função deve satisfazer os três requisitos
anteriores.
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96
Propriedades das
Probabilidades

Propriedades das
Probabilidades
A partir da definição podemos derivar diversas
propriedades importantes.
Seja A um subconjunto qualquer de S e Ac o seu
complemento.
Seja P(.) uma probabilidade definida em S. As
seguintes propriedades decorrem da definição de
probabilidade:

P(Ø) = 0
Para todo A ⊆ S, P(Ac) = 1 - P(A) onde Ac é o
complemento de A
Para todo A ⊆ S, 0 ≤ P(A) ≤ 1 = P(S)
Para quaisquer A1 e A2 em S tais que A1 ⊆ A2 então
P(A1) ≤ P(A2)
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Esta última propriedade resulta numa certa
“ordenação" dentro do espaço amostral, e diz
simplesmente que, se um evento A1 está contido
noutro, a probabilidade de A1 é menor ou igual
à probabilidade do evento que o contém.

A propriedade a seguir é uma das mais
importantes na prática, e nos permite calcular a
probabilidade da união de eventos que não são
disjuntos.
97
Propriedades das
Probabilidades
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Partição do Espaço Amostral
Para quaisquer A1 e A2 em S:
Pr(A1 ∪ A2) = Pr(A1) + Pr(A2) - Pr(A1 ∩ A2)

Em particular, se A1 e A2 são mutuamente
exclusivos: Pr(A1 ∪ A2) = Pr(A1) + Pr(A2)

Esta propriedade é às vezes chamada de
“lei da adição”.

É formada por eventos cuja interseção é nula e cuja
união é o próprio espaço amostral.

Por exemplo, pessoas numa pesquisa de mercado
classificadas em classes de consumo (A, B, C, D) – as
classes formam uma partição do espaço amostral.
Espaç
Espaço Amostral
A
B
C
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98
99
D
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100
Em resumo: casos particulares
da lei da adição
Exemplo – propriedades das
probabilidades

Eventos mutuamente exclusivos
P(A ∪ B) = P(A) + P(B), pois P(A ∩ B) = 0

Eventos complementares
P(A ∪ Ac) = P(A) + P(Ac) = 1, já que P(A ∩ Ac) = 0

Partição do espaço amostral (com 3 eventos)
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) = 1
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101

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102
Como será
será que a probabilidade de um evento muda
apó
após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso
nos leva à idéia de probabilidade condicional.
A idéia de probabilidade condicional é uma das mais
importantes deste curso e está intimamente
relacionada ao fato da ocorrência de um evento afetar
ou não a probabilidade de ocorrência de outro evento.
Uma probabilidade condicional nada mais é do que
uma probabilidade calculada não mais a partir do
espaço amostral inteiro S, e sim a partir de um
subconjunto de S.
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Um banco possui 10 fundos de investimento. Desses,
6 são de renda fixa, 4 são corporativos e 2 são de
renda fixa e corporativos. Se escolhermos um fundo
ao acaso, qual é a probabilidade dele ser de renda
fixa ou corporativo?
Solução (evento A: renda fixa, evento B: corporativo)
Universo = 10 elementos
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
P(A) = 6/10 = 0.6
P(B) = 4/10 = 0.4
P(A ∩ B) = 2/10 = 0.2
P(A ∪ B) = 0.6 + 0.4 – 0.2 = 0.8 ou 80%

Motivaç
Motivação

Um grupo de pessoas inclui 40 com diploma de curso
superior, 20 microempresários e 10 que são, ao mesmo
tempo, portadores de diploma do curso superior e
microempresários.

Calcule a probabilidade de alguém ser microempresário
sabendo que ele tem diploma de curso superior.
Sejam os eventos:
A = { pessoa tem diploma de curso superior }
B = { pessoa é um microempresário }

Seleciona-se uma das 50 pessoas aleatoriamente. Então:
103
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104

Pr( A ) = 40/50 , Pr( B ) = 20/50 e Pr( A ∩ B ) = 10/50
Considere o seguinte evento: a pessoa é
microempresária e sabe-se que ela tem diploma de
curso superior.

A probabilidade deste evento deve ser diferente da
probabilidade da pessoa ser microempresária, por
que agora o espaço amostral não consiste mais nas
50 pessoas originais, mas apenas naquelas que
possuem diploma de curso superior.

A probabilidade condicional de que uma pessoa seja
microempresária sabendo-se que ela tem diploma de
curso superior é dada por:
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P(A ∩ B) / Pr(A) = 10 /40 = 0.25

Ou, em outras palavras, devemos olhar
para as 10 pessoas na interseção dentre
as 40 pessoas com diploma de curso
superior. O nosso “mundo”, ao calcular a
probabilidade condicional, restringe-se às
40 pessoas que têm curso superior, e não
mais às 50 pessoas do grupo original.
105
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106
Exemplo
Em uma amostra de 100 funcionários de
uma empresa:

Fumantes
35 são homens e fumantes,
28 são homens e não fumantes,
17 são mulheres fumantes
20 são mulheres e não fumantes.
Qual a probabilidade de um funcionário
escolhido ao acaso ser fumante, dado que ele
é homem?

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107
Mulheres
Fumantes
Não
fumantes
Homens
35
28
63
Mulheres
17
20
37
Total
52
48
100
Homens
Total
Não
fumantes
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Note que, quando definimos que o evento B
ocorreu (o funcionário é homem), restringimos o
espaço amostral à ocorrência do evento A (o
funcionário é fumante)
O novo universo passa a ser o próprio evento B
Fumantes
Mulheres
Homens
Não
fumantes

Utilizando o número de elementos de cada
conjunto, temos:

Fumantes
Não
fumantes
Total
Homens
35
28
63
Mulheres
17
20
37
Total
52
48
100
P(A | B) = 35/63 = 0.556
Ou empregando as probabilidades:
P(B) = 63/100 = 0.63
P(A ∩ B) = 35/100 = 0.35
P(A ∩ B)/P(B) = 0.35/0.63 = 0.556

Novo universo
P(A ∩ B)
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109

Em geral, a probabilidade do evento B dado o
evento A (ou dado que o evento A ocorreu) é:
P (B | A) = P(A ∩ B)/P(A)
Analogamente: P (A | B) = P(A ∩B)/P(B)

Estas definições só são válidas quando os
denominadores forem diferentes de zero.
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110
Estes exemplos nos fizeram derivar naturamente
a probabilidade condicional do evento B dado o
evento A.

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Ao reordenarmos as expressões anteriores
encontramos:
P(A ∩B) = P (B | A) . P(A) = P(A | B). P(B)

Este resultado é também conhecido como
Teorema da Multiplicação. Este teorema nos
permite escrever uma probabilidade condicional
em termos da probabilidade condicional
“inversa”, o que é útil quando uma delas for
difícil de calcular. Em particular:
P (B | A) =
111
P( A | B )P(B )
P ( A)
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112
Eventos Independentes

Dois eventos A e B são chamados de
independentes se:
Pr ( A ∩ B ) = Pr ( A ) . Pr ( B )
P(A | B) = (P(A). P(B))/P(B) = P(A)

Do contrário, A e B são eventos dependentes.

Independência é uma propriedade muito forte e
tem um impacto direto sobre as probabilidades
condicionais, como veremos a seguir.
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Ou seja, se A e B são independentes, a ocorrência
de B não traz qualquer informação adicional sobre
A.

Analogamente, se A e B são independentes: P(B | A)
= P(B)

Em termos bastante informais, se A e B são
independentes, um evento não tem “nada a ver”
com o outro!
113
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Independência e Dependência
Renda Familiar
Núm. Cartões
Exemplo

Tomou-se uma amostra com 1000 pessoas num
shopping-center com o objetivo de investigar a
relação entre renda familiar e posse de cartões de
crédito.
A partir dos dados da próxima tabela pergunta-se:
existe independência entre “renda” e “posse de
cartões de crédito”?
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114

Para eventos independentes,
115
0
1
2 ou mais

< R$ 500
R$ 501 a R$1000
R$ 1001 a R$ 2000
> R$ 2001
260
50
20
170
100
25
80
110
45
20
60
60
530
320
150
330
295
235
140
1000
Se existe independência entre as duas variáveis,
então Pr(Ai ∩Bj) = Pr(Ai).Pr(Bj) para todos i e j, onde Ai
indica o nível de renda e Bj o número de cartões de
crédito. Logo, basta provar que a igualdade acima
não é válida para ALGUMA célula na tabela para
concluir que as duas variáveis são dependentes. Se
olharmos para a célula superior esquerda vemos que:
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116
Exemplo

Pr(renda abaixo de R$ 500 E nenhum cartão) = 0.26

Mas:
Pr(renda abaixo de R$ 500) = 330/1000 = 0.33
Pr( 0 cartões de crédito) = 530/1000 = 0.53

E como 0.26 ≠(0.33)(0.53), segue que as variáveis
“renda familiar” e “número de cartões de crédito”
são dependentes.
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Uma caixa contém R bolas vermelhas e B bolas
azuis. Vamos tirar 2 bolas da caixa sem repô-las.
Qual a probabilidade p da primeira bola ser
vermelha e da segunda ser azul?

Solução
Sejam A e B os seguintes eventos:
A = {1a. bola é vermelha}
B = {2a. bola é azul}

Se o evento A ocorreu, uma bola vermelha foi
tirada da caixa. Como não há reposição, a
probabilidade de obter uma bola azul na 2a.
retirada é:
117
Exemplo
Pr (B | A) =

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118
B
R + B −1
O evento ( A ∩ B ) é o evento {1a. bola é vermelha e
a 2a. bola é azul}, e sua probabilidade é:
P( A ∩ B ) = p = P( A).P(B | A) =

Como será
será que a probabilidade de um evento muda
apó
após sabermos que um outro evento ocorreu? Isso
nos leva à idéia de probabilidade condicional.

Uma probabilidade condicional nada mais é do que
uma probabilidade calculada não mais a partir do
espaço amostral inteiro S, e sim a partir de um
subconjunto de S.

Já vimos que a definição de prob. condicional é:
R
B
.
R + B R + B −1
P (B | A) = P(A ∩ B)/P(A) e, analogamente,
P (A | B) = P(A ∩ B)/P(B)
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119
monica@
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120

Exemplo
Estas duas últimas expressões em conjunto nos
levam ao resultado conhecido como Teorema da
Multiplicaç
Multiplicação:
ão

P(A ∩B) = P (B | A) . P(A) = P(A | B). P(B)

Pr ( H ) = 0.4 = probabilidade de selecionar um homem
Pr ( M ) = 0.6 = probabilidade de selecionar uma mulher
Seja S o evento: "uma pessoa é fumante". Então:
Pr (S | H ) = 0.5 e Pr ( S | M ) = 0.3.
Desejamos encontrar Pr ( H |S ).
A partir desta última expressão:
P (B | A) =
P( A | B )P(B )
P ( A)
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121
Exemplo
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122
Exemplo
Pela definição de probabilidade condicional:
Pr (H | S ) =
Numa certa cidade 40% das pessoas são
homens e 60% mulheres. Também, 50% dos
homens e 30% das mulheres fumam. Ache a
probabilidade de que uma pessoa seja homem,
dado que esta pessoa é fumante.
Solução
Finalmente:
Pr (H ∩ S ) Pr (S | H ) Pr (H )
=
Pr (S )
Pr (S )
Pr (H | S ) =

Mas Pr (H) e Pr (S | H) são conhecidas, e então só
é preciso calcular Pr (S) (a probabilidade de um
fumante na população). Mas, note que:

S = (S ∩ M) ∪ (S ∩ H) e os conjuntos (S ∩ M) e (S ∩ H) são
disjuntos
Pr ( S ) = Pr ( S ∩ M ) + Pr ( S ∩ H ) =
= Pr ( S | H ).Pr ( H ) + Pr ( S | M ).Pr ( M ) =
= ( 0.5 ) ( 0.4 ) + ( 0.3 ) ( 0.6 ) = 0.38
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123
Pr (H ∩ S ) Pr (S | H ) Pr (H ) (0.5)(0.4) 20 10
=
=
=
=
= 0.5263
(0.38) 38 19
Pr (S )
Pr (S )
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124
Independência para mais de
dois eventos
Independência

Dois eventos A e B são independentes se:
Pr ( A ∩ B ) = Pr ( A ) . Pr ( B )

Se A e B são independentes, então as
probabilidades condicionais são iguais às
incondicionais, isto é:
P(A | B) = (P(A). P(B))/P(B) = P(A)
P(B | A) = P(B)

Considere uma coleção de n eventos A1,
A2, ..., An. Estes eventos são
independentes se, e somente se:
i) Pr ( A1 ∩ A2 ∩... ∩ An ) =
= Pr(A1) . Pr(A2) ... Pr(An) e,
ii) Toda sub-coleção de eventos contendo
mais de dois e menos de n eventos é
independente.
Em outras palavras, se A e B são independentes, A “não
traz qualquer informação sobre B” (e vice-versa).
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125
Independência para mais de
dois eventos

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No caso de 3 eventos A, B e C, a
independência ocorre se TODAS as
condições abaixo são satisfeitas:
1) Pr( A ∩ B) = Pr(A).Pr(B)
2) Pr( A ∩ C) = Pr(A).Pr(C)
3) Pr( B ∩ C) = Pr(B).Pr(C)
4) Pr( A ∩ B ∩ C) = Pr(A).Pr(B).Pr(C)
Uma partição do espaço amostral é uma coleção
de eventos mutuamente exclusivos cuja união é o
próprio S (espaço amostral), como nas figuras a
seguir.
B1
B2
B3
A
B6
B7
B
B4
C
B8
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126
127
D
B5
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128

Em termos formais, os eventos B1, B2 , ...., Bk
formam uma partição do espaço amostral S se:
1) Bi ∩ Bj = ∅ para todo i ≠ j
2) ∪ Bi = S
3) Pr( Bi ) > 0 para todo i

Suponha que A é um evento qualquer em S e B1,
B2 , ...., B8 formam uma partição de S, como na
figura a seguir.
B1
B2
B3

Para que serve uma partiç
partição?

Podemos escrever qualquer evento no espaç
espaço
amostral em termos das suas interseç
interseções com os
conjuntos que formam uma partiç
partição do espaç
espaço
amostral.
amostral.
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B6
B7
A
B8
129

Então podemos escrever o evento A em termos das suas
interseções com cada elemento da partição (neste
exemplo, B1 a B8).
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É um resultado que decorre diretamente
das propriedades de uma partição, como
mostrado nas transparências anteriores.

Note que:
Pr(A) = Pr (A ∩ B1) + Pr (A ∩ B2) + Pr (A ∩ B3) +
.....+ Pr (A ∩ Bk)
Mas:
Pr (A ∩Bi ) = Pr( Bi ). Pr(A⏐Bi) para i =1, 2, ...., k.
Combinando estes dois resultados fornece o
teorema da probabilidade total.
A = (A ∩ B1) ∪ (A ∩ B2) ∪ (A ∩ B3) ∪ ..... (A ∩ Bk)
Mas, os (A ∩ Bi) são mutuamente exclusivos, e assim é
muito fácil calcular a probabilidade da sua união (basta
somar as probabilidades). Logo:
Pr(A) = Pr (A ∩ B1) + Pr (A ∩ B2) + Pr (A ∩ B3) +
.....+ Pr (A ∩ Bk)
Mas, cada uma destas probabilidades pode ser escrita em
termos de probabilidades condicionais.
monica@
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B5
130
Teorema da Probabilidade
Total

B4
131

monica@
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132
Teorema da Probabilidade
Total
Teorema de Bayes

Sejam B1, B2 , ...., Bk uma partição de S e A um
evento qualquer em S. Então:

Pr(A) = Pr(B1).Pr(A⏐B1) + Pr(B2).Pr(A⏐B2) + ..... +
Pr(Bk).Pr(A⏐Bk)

É um resultado muito útil em Probabilidade, que
“mistura” os teoremas da multiplicação e da
probabilidade total.

Sejam B1, B2 , ...., Bk uma partição de S e A um
evento qualquer em S. Então:
O caso mais simples ocorre quando a partição é
composta por apenas 2
eventos, B e seu
complemento, Bc. Neste caso:
Pr(A) = Pr(B).Pr(A⏐B) + Pr(Bc).Pr(A⏐Bc)
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Pr (Bi ∩ A)
=
Pr ( A)
Pr (Bi ∩ A)
=
Pr ( A | Bi ) Pr (Bi )
∑ Pr (A | B )Pr (B ) ∑ Pr (A | B )Pr (B )
k
j =1
133
j
j
k
j =1
j
j
Para qualquer evento Bi na partição e qualquer A.
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134
Teorema de Bayes
Para que serve?
Muitas vezes conseguimos encontrar
partições de S que são “óbvias” ou
“naturais”;
O teorema de Bayes nos permite
“inverter” probabilidades condicionais,
escrevendo uma probabilidade
condicional que (esperamos!) é difícil de
calcular diretamente em termos de
probabilidades “fáceis” de calcular.
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Pr (Bi | A) =

Teorema de Bayes

135

Cuidados ao usar o Teorema de Bayes

ESCREVA OS EVENTOS DE INTERESSE.
NÃO TENTE RESOLVER OS PROBLEMAS “DE
CABEÇ
CABEÇA” PARA MINIMIZAR SUAS CHANCES DE
ERRO!

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136
Exemplo - Bayes

Exemplo - Bayes
Os funcionários de uma empresa se dividem em
3 grupos: economistas, engenheiros e analistas
de sistemas. Estes funcionários podem ocupar
cargos técnicos ou gerenciais. Sabemos que:
40% dos funcionários são economistas,
30% dos funcionários são engenheiros e
30% dos funcionários são analistas de sistemas.

a) Seleciona-se um funcionário aleatoriamente.
Qual a probabilidade dele ocupar um cargo
gerencial?

b) Seleciona-se uma pessoa ao acaso na
empresa e sabe-se que ela ocupa um cargo de
gerência. Qual a probabilidade dela ter vindo de
cada um dos três grupos, ou seja, dado que a
pessoa é um gerente, qual a probabilidade dela
ser economista, engenheiro ou analista de
sistemas?
O percentual de cada grupo ocupando cargos
gerenciais é:
30% dos economistas,
40% dos engenheiros,
10% dos analistas de sistemas.
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137
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Exemplo - Bayes
Exemplo - Bayes
Solução

a) Considere os eventos:
A1 = {economistas}, A2 = {engenheiros}, A3
= {analistas de sistemas}, G = {cargo de
gerência}
Sabemos que: Pr(A1) = 0.40, Pr(A2) = 0.30,
Pr (A3) = 0.30. Também: Pr(G⏐A1) = 0.30,
Pr(G⏐A2) = 0.40 e Pr(G⏐A3) = 0.10.
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139
138
Queremos encontrar Pr(G). Mas:
Pr(G) = Pr(G ∩ A1) + Pr(G ∩ A2) + Pr(G ∩
A3) =
= Pr(A1). Pr(G⏐A1) + Pr(A2). Pr(G⏐A2) +
Pr(A3). Pr(G⏐A3)

A substituição dos valores resulta em:
Pr(G) = (0.40)(0.30) + (0.30)(0.40) +
(0.30)(0.10) = (0.30)(0.90) = 27 %
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140
Exemplo - Bayes

Exemplo - Bayes
Queremos descobrir Pr(Ai⏐G) para i = 1, 2, 3. Isto
é uma aplicação direta do teorema de Bayes, já
facilitada por que conhecemos o denominador
(Pr(G)).
Pr(G) = 0.27 (já calculado)
Pr(A1⏐G) = Pr(G⏐A1). Pr(A1)/0.27 = (0.30)(0.40)/0.27
= 44.4%
Pr(A2⏐G) = Pr(G⏐A2). Pr(A2)/0.27 = (0.40)(0.30)/0.27
= 44.4%
Pr(A3⏐G) = Pr(G⏐A3). Pr(A3)/0.27 = (0.30)(0.10)/0.27
= 11.2%
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Dentre os clientes da classe A, 20% usam telefone
pré-pago.
Dentre os clientes da classe B, 40% usam telefone
pré-pago.
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142
Exemplo - Bayes
Dentre os clientes da classe C, 90% usam telefone
pré-pago.
Dentre os clientes da classe D, 98% usam telefone
pré-pago.
Um cliente é escolhido aleatoriamente e tem o
serviço pré-pago. Qual a probabilidade dele
pertencer a cada uma das classes?
Solução
Aqui a partição “natural” da população já existe - os clientes
estão divididos em classes de consumo. Se soubermos que
alguém usa um telefone pré-pago, como isso afeta a
probabilidade da pessoa estar em cada uma das classes de
consumo?
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Uma empresa de telefonia celular quer saber como
funciona a relação entre o uso do telefone e a
renda de seus clientes. Uma pesquisa anterior
revelou que:
10% dos clientes pertencem à classe A.
21% dos clientes pertencem à classe B.
35% dos clientes pertencem à classe C.
34% dos clientes pertencem à classe D.
141
Exemplo - Bayes

143

Suponha que A, B, C, D indicam,
respectivamente, os eventos “pertencer à classe
A”, “pertencer à classe B”, etc...

Seja G o evento “usar celular pré-pago”. Então,
do enunciado do problema:

P(A) = 0.10, P(B) =0.21, P(C) = 0.35, P(D) = 0.34.

P(G|A) = 0.20, P(G|B) =0.40, P(G|C) =0.90, P(G|D) =
0.98.
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144
Exemplo - Bayes
Exemplo - Bayes
A probabilidade de um cliente escolhido
ao acaso usar celular pré-pago é (pelo
Teorema da Probabilidade Total):
P (G ) = P(G | A)P( A) + P(G | B )P(B ) + P(G | C )P(C ) + P(G | D )P (D ) =
= (0.20 )(0.10 ) + (0.40 )(0.21) + (0.90 )(0.35) + (0.98)(0.34 ) = 0.7522

P(G | A)P( A) (0.10 )(0.20 )
=
= 2.66%
0.7522
P(G )
P(G | B )P(B ) (0.21)(0.40 )
=
= 11.17%
P (B | G ) =
P(G )
0.7522
P(G | C )P(C ) (0.35)(0.90 )
P(C | G ) =
=
= 41.88%
P(G )
0.7522
P(G | D )P(D ) (0.34 )(0.98)
P (D | G ) =
=
= 44.30%
P(G )
0.7522
P( A | G ) =
Escolhe-se um cliente ao acaso, e
observa-se que ele usa celular pré-pago.
Qual a probabilidade dele pertencer a
cada uma das classes de consumo?
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145
Exemplo - Bayes
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146
Exemplo - Bayes

Note que as probabilidades condicionais
(dado que o cliente é pré-pago) são
diferentes das incondicionais, e então
existe DEPENDÊNCIA entre o uso do
celular pré-pago e a classe de consumo!

Por exemplo, a probabilidade de um cliente
qualquer ser da classe A é 10%, mas se
soubermos que o cliente é um usuário de
pré-pago, a probabilidade dele ser de
classe A cai para 2.66%.
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Agora o Teorema de Bayes entra em ação,
mas, como já calculamos o denominador
(a probabilidade de alguém ser cliente prépago), o cálculo se resume ao Teorema da
Multiplicação.

147
No outro extremo, a probabilidade de um
cliente qualquer ser da classe D é 34%.
Dada a informação de que o cliente é “prépago”, a probabilidade dele ser “classe D”
sobe para 44.3%.
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148
Teorema de Bayes – para casa

Uma revenda de carros usados oferece garantia
total por 4 meses para todos os carros que
vende, e este é o seu grande diferencial de
marketing. Uma pesquisa anterior revelou que:
12% dos carros vendidos são Peugeot.
13% dos carros vendidos são Ford.
18% dos carros vendidos são Fiat.
16% dos carros vendidos são GM.
20% dos carros vendidos são Volkswagen.
21% dos carros vendidos são de outros
fabricantes.
monica@
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Dentre os compradores de Peugeot, 7% retornam
à loja com alguma reclamação sobre o carro
adquirido.
Dentre os compradores de Ford, 8% retornam à
loja com alguma reclamação sobre o carro
adquirido.
Dentre os compradores de Fiat, 15% retornam à
adquirido.
Dentre os compradores de GM, 10% retornam à
adquirido.
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150
Dentre os compradores de Volkswagen, 16%
retornam à loja com alguma reclamação sobre o
carro adquirido.
Dentre os compradores de outras marcas, 18%
retornam à loja com alguma reclamação sobre o
carro adquirido.
Um comprador entra na loja com uma reclamação
durante o período de vigência da garantia.
Qual a probabilidade dele ter comprado um carro
de cada uma das marcas (incluindo “outras”)?
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149

151

Uma empresa de telefonia quer saber se
vale a pena disponibilizar internet de banda
larga para seus clientes, e encomendou
uma pesquisa de mercado, cujos
resultados estão a seguir:
15% dos clientes usam a internet mais de 30 horas por
semana.
23% dos clientes usam a internet entre 20 e 30 horas por
semana.
28% dos clientes usam a internet entre 10 e 20 horas por
semana.
34% dos clientes usam a internet menos de 10 horas por
semana.
monica@
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152

Dentre os clientes que usam internet mais de 30
horas por semana, 90% estão interessados no
acesso rápido (banda larga).

Dentre os clientes que usam internet entre 20 e 30

Dentre os clientes que usam internet
menos de 10 horas por semana, 25%
estão interessados no acesso rápido
(banda larga).

Um cliente é escolhido aleatoriamente e
está interessado na internet de banda
larga. Qual a probabilidade dele pertencer
a cada uma das classes de usuário (mais
de 30 horas, 20 a 30 horas, etc ...)?
Dentre os clientes que usam internet entre 10 e 20
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153

154
Uma certa forma de câncer ocorre à razão de 3
em 1000 pessoas. Desenvolveu-se um teste para
detectar a doença.
Se um paciente é sadio, existe 5% de chance de
um alarme falso.
Se um paciente tem a doença, existe 2% de
chance de que o teste não consiga detectá-la.
Qual a probabilidade da pessoa ter a doença
sabendo que o resultado do teste foi positivo
(acusou a existência da doença)?
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Uma empresa de telefonia celular quer saber
como funciona a relação entre o uso do telefone
e a renda de seus clientes. Uma pesquisa anterior
revelou que:
10% dos clientes pertencem à classe A.
25% dos clientes pertencem à classe B.
35% dos clientes pertencem à classe C.
30% dos clientes pertencem à classe D.
monica@
[email protected]
ele.puc--rio.
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Dentre os clientes
telefone pré-pago.
Dentre os clientes
telefone pré-pago.
Dentre os clientes
telefone pré-pago.
Dentre os clientes
telefone pré-pago.
da classe A, 25% usam
da classe B, 45% usam
da classe C, 90% usam
da classe D,
95% usam
Um cliente é escolhido aleatoriamente e tem o
serviço pré-pago. Qual a probabilidade dele
pertencer a cada uma das classes?
monica@
[email protected]
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