O Pêndulo Físico

5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 4
Movimento Harmônico Simples: Exemplos (continuação)
O Pêndulo Físico
O chamado pêndulo físico é qualquer pêndulo real. Ele consiste de
um corpo rígido (com qualquer forma) suspenso por um ponto O e
que pode girar livremente (sem atrito) em torno desse ponto. A
figura abaixo ilustra um pêndulo físico.
O centro de gravidade (CG) do corpo está situado a uma distância s
de O. Na posição de equilíbrio, quando o pêndulo está na vertical, o
ponto CG está localizado abaixo de O ao longo da linha vertical.
Quando o corpo oscila, seu deslocamento em relação à vertical é
descrito pelo ângulo θ como indicado no desenho.
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Vamos supor que a massa total do corpo é m e que o seu momento
de inércia em relação a O é I.
Quando o corpo está na posição indicada pelo desenho, o seu peso
provoca um torque restaurador em relação a O dado por
τ = − s ( mg sen θ ) .
(1)
O sinal negativo decorre do fato de que a direção positiva é a que se
afasta da vertical.
A equação de movimento para o corpo é
d 2θ
τ = Iα = I
,
dt 2
ou seja,
d 2θ
I
= − mgs sen θ ,
dt 2
que rearranjando nos dá
d 2θ
mgs
+
sen θ = 0 .
dt 2
I
(2)
Notem que esta equação é idêntica à equação de movimento para um
pêndulo simples (equação (10) da aula passada) se fizermos o
comprimento do pêndulo simples ser igual a
l=
I
.
ms
(3)
2
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Na realidade, o pêndulo simples é um caso particular do pêndulo
físico em que toda a massa m está concentrada a uma distância l de
O. Neste caso, a distância s entre o CG deste sistema e o ponto de
suspensão O é igual a l e o momento de inércia do sistema em
relação a O é I = ml2. Substituindo estes valores em (3) obtemos uma
identidade.
O ponto do corpo que está a uma distância l de O está indicado por
C na figura. Como visto acima, se toda a massa do corpo estivesse
concentrada em C e ele estivesse ligado a O por um fio sem massa
teríamos um pêndulo simples equivalente, do ponto de vista
dinâmico, ao pêndulo físico. O ponto C é denominado de centro de
oscilação do pêndulo físico.
A observação de que um pêndulo físico com toda a sua massa m
concentrada no seu centro de oscilação é equivalente a um pêndulo
simples foi feita por Huygens em seu tratado sobre o relógio de
pêndulo (ver aula passada).
No caso de pequenas oscilações, a equação de movimento para o
pêndulo físico torna-se
d 2θ
mgs
+
θ = 0.
2
dt
I
(4)
3
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Esta é a equação de um MHS com
ω =
mgs
.
I
(5)
mgs
I
(6)
I
mgs .
(7)
A frequência das oscilações é
f =
1
2π
e o período é
T = 2π
A equação (7) nos sugere um método para determinar o momento de
inércia de um corpo de forma complicada. Vamos supor que seja
possível determinar o centro de gravidade do corpo, por exemplo,
por testes de equilíbrio. Conhecendo-se o CG do corpo, este é
colocado para fazer pequenas oscilações em torno de um eixo
passando por um ponto O.
Mede-se então o período T das oscilações de pequenas amplitudes e
a distância s entre o ponto O e o CG do corpo. Como também temos
a massa m do corpo, a única variável desconhecida em (7) é o
momento de inércia I em relação a O. O valor de I, portanto, pode
ser determinado por substituição direta dos valores das demais
variáveis em (7).
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Líquido em Um Tubo em Forma de U
Um sistema físico com comportamento oscilatório similar ao de um
pêndulo é um líquido no interior de um tubo em forma de U. Seja
um líquido de densidade ρ no interior de um tubo em forma de U
como na figura abaixo.
A seção reta do tubo é A e o comprimento total da coluna de líquido
é l. Portanto, a massa total de líquido é m = ρAl.
No equilíbrio, o nível do líquido é o mesmo nos dois lados do tubo,
que tomado como a altura de referência y = 0 (veja a figura acima).
Vamos considerar que a energia potencial do sistema é nula no
equilíbrio: U = 0 quando o nível do líquido é y = 0.
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Vamos supor que a coluna de líquido é posta para oscilar no interior
do tubo. Vamos assumir que cada pedaço do líquido se move com a
mesma velocidade v = dy/dt.
Uma situação como a da figura, em que a altura do nível de líquido
baixa de y no lado esquerdo e aumenta de y no lado direito,
corresponde a uma situação imaginária em que um bloco de líquido
de massa ρAy é levantado por uma altura y do lado esquerdo e
transportado rigidamente para o lado direito, sendo colocado sobre a
coluna neste lado. Como isto resulta na elevação de um bloco de
líquido de massa ρAy por uma altura y, a energia potencial do
sistema aumenta para
U ( y ) = ρ Ay . gy = ρ Agy 2 .
Tomando a situação da figura como a do instante inicial, a coluna
líquida passa, a partir daí, a oscilar em torno da posição de equilíbrio
com velocidade v = dy/dt. A energia cinética da coluna é então
2
1
 dy 
K = ρ Al 
 .
2
 dt 
Desprezando forças dissipativas, a energia mecânica total do líquido
se conserva. Ela é,
6
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2
1
 dy 
2
E = ρ Al 
 + ρ Agy .
2
 dt 
(8)
Comparando esta expressão com a da energia do pêndulo simples na
aproximação de pequenas oscilações,
2
1  ld θ 
1
2
2
E = m
 + m ω (l θ ) ,
2  dt 
2
vemos que elas são idênticas fazendo-se
ρ Ag =
1
mω 2
2
e
ρ Al = m .
Combinando estas duas equações, temos que
ω2 =
2g
.
l
(9)
As oscilações de um líquido em um tubo em forma de U equivalem
às oscilações harmônicas de um pêndulo simples de comprimento
l/2. Este resultado foi deduzido pela primeira vez por Newton (16421727) nos Principia.
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Corpo Flutuando
Quando um corpo flutuando em um líquido é ligeiramente abaixado
ou levantado em relação à sua posição de equilíbrio, aparece uma
força restauradora igual ao aumento ou à diminuição do peso do
líquido deslocado pelo corpo (lei do empuxo de Arquimedes, que
será vista mais adiante neste curso). Por causa disso, o corpo passa a
oscilar em relação ao nível original.
No caso em que a parte do corpo que oscila tem seção reta
constante, como na figura abaixo, as oscilações constituem um
MHS.
A figura mostra um densímetro afundado por uma altura y em
relação à sua posição de equilíbrio.
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Vamos supor que a massa do densímetro é m, que a densidade do
líquido no qual ele está imerso é ρ e que a seção reta da parte do
densímetro que oscila é A.
Desta forma, quando o densímetro está afundado por y, o volume de
líquido deslocado é Ay e o seu peso é ρgAy. O densímetro sofre uma
força para cima (contrária ao seu deslocamento) dada por −ρgAy.
Uma situação análoga ocorre quando o densímetro está acima do
líquido por uma altura y em relação à linha de flutuação de
equilíbrio.
A equação de movimento para o densímetro de massa m é então
d2y
m
= − ρ gAy
dt 2
ou
d 2 y ρ gA
+
y = 0.
dt 2
m
(10)
A solução desta equação é um MHS com
ρ gA
ω =
f =
m
1
2π
,
ρ gA
m
(11)
(12)
9
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e
T = 2π
m
ρ gA .
(13)
10