! ! ! Seja!ABC!um!triângulo!equilátero!e!suponha!que!M!e!N!são

!
!
!
Seja!ABC!um!triângulo!equilátero!e!suponha!que!M!e!N!são!pontos!pertencentes!ao!lado! BC !tais!que!
ˆ , !então!o!valor!de!cosα!é!
BM = MN = NC. !Sendo!α!a!medida,!em!radianos,!do!ângulo! MAN
A)!
13
.!
14
B)!
14
.!
15
C)!
15
.!
16
D)!
16
.!
17
E)!
17
.!
18
!
Resolução:*
*
l
ˆ . !Seja! AN = x : !
M!e!N!dividem!BC!em!três!partes!iguais,!traçando!a!altura!AH,! HN = !e! AH !é!bissetriz!de! MAN
6
2
!l "
x2 = h2 + # $ !
%6&
2
! l 3 " ! l "2
x = ##
$$ + # $ !
% 2 & %6&
2
x2 =
l 2 ⋅3 l 2
+ !
4
36
!
x2 =
x=
27l 2 + l 2 28l 2 7l 2
!
=
=
36
36
9
l 7
!
3
"α#
& '
Calculando!o! cos $ % : !
2
"α# h l 3 3
!
cos % & = =
⋅
2 l 7
'2( x
" α # 3 21
!
cos $ % =
14
&2'
Calculando!o! cos α : !
"α#
cos α = 2 ⋅ cos 2 & ' − 1 !
(2)
cos α =
2 ⋅ 9 ⋅ 21
−1 !
14 ⋅14
cos α =
27
−1!
14
cos α =
13
!
14
!
Alternativa!A!