Arquivo 12 - Laboratório de Física Computacional

4.4. Relatividade Restrita ou Especial
William Thomson (Belfast, Irlanda, 26 de julho de 1824 − Netherall,
Escócia, 17 de dezembro de1907).
-> 1892, recebe o título de Barão Kelvin of Largs.
1) Lord Kelvin e uma frase que jamais deveria ser dita:
“A Física é um livro que já está todo escrito, falta apenas escrever uns três parágrafos na
página final. Daqui pra frente temos apenas que aplicar equações, não desperdice o seu
talento com isto”
Lord Kelvin, a um estudante de graduação que foi lhe perguntar sobre
como fazer para seguir a carreira de Físico, ao redor de 1890).
2) Os “três parágrafos” a que Lord Kelvin se referia:
¾
A previsão teórica para o espectro de radiação de um corpo totalmente negro
não confere com o resultado experimental.
-> a resposta a isto representa uma das bases para a Física Quântica.
¾
A descrição do Efeito Fotoelétrico dada pelo Eletromagnetismo também falha
quando confrontada com resultados experimentais.
-> a resposta levou à quantização da energia, “pilar” da Física Quântica.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 86
¾
As Equações de Maxwell (Eletromagnetismo) dão resultados diferentes
quando são utilizados referenciais inerciais diferentes.
-> deu origem à Teoria da Relatividade Restrita de Einstein.
3) O Surgimento da Teoria da Relatividade de Einstein:
Em 1905, quando publicou o seu 4º artigo na revista alemã “Annalen der
Physik”, alguns trabalhos já haviam sido feito por outros físicos na época
como Lorentz, FitzGerald, Poincarè, etc.
Diferentemente, destes físicos conceituados, Einstein propôs a sua teoria
levando em conta apenas 2 postulados, dos quais podiam o trabalho
daqueles físicos, ser deduzidos. Provocando assim um fecho consistente,
baseado somente nas próprias conclusões de Einstein.
“Simplicidade e elegância das leis físicas, era o que o movia.”
Gedankenexperiment: é uma experiência mental, imaginária, usada
amplamente por Einstein para entender os fenômenos físicos aos quais
tentava explicar. Ou ainda, exame mental de como funcionaria uma teoria
em condições extremas.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 87
Ex.: segundo a biografia de Einstein, quando tinha 16 anos, se
interessou por um problema (“Gedankenexperiment”)
-> “Suponha que você esteja se olhando em um espelho. O que
aconteceria com a sua imagem se você e o espelho estivessem
viajando à velocidade da luz?”
De acordo com a mecânica clássica (com as transformações de Galileu), a luz não
alcançaria o espelho e, portanto, a imagem não apareceria. Como vimos, todos os
referenciais inerciais são equivalentes. Então, no repouso, não deveríamos ver a
nossa imagem no espelho.
Por outro lado, sabemos que a luz é um fenômeno ondulatório. Como estaríamos
viajando com a onda eletromagnética (luz), no nosso referencial − o observador e a
luz − ela perderia o caráter de luz (a luz não se propaga no referencial da luz, os
campos eletromagnéticos estão estáticos, etc.).
Mas, de acordo com as equações de Maxwell, isto não pode ser, isto é, uma onda
eletromagnética é sempre uma onda eletromagnética, em qualquer referencial
inercial e viaja sempre com a mesma velocidade c.
Então Einstein se deparou com o paradoxo de que: ou a Mecânica Newtoniana
estava errada, ou as Equações de Maxwell estavam erradas.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 88
4) Os Postulados da Teoria da Relatividade Restrita (Especial):
Postulado: é um fato ou preceito reconhecido sem prévia demonstração.
1º Postulado
Princípio da Relatividade: As leis da Física são as mesmas (tomam
a mesma forma) em todos os referenciais inerciais. Não existe
nenhum sistema inercial preferencial (ou que seja melhor que outro).
2º Postulado
Princípio da Constância da Velocidade da Luz: a velocidade da
luz, no vácuo, c, tem o mesmo valor em todos os sistemas inerciais.
Isto é, independe da forma como é emitida, se por um corpo em
repouso ou em movimento uniforme.
Conseqüência do 1º postulado:
“Esse postulado de Einstein nos diz que as leis da física observadas por um
observador, não acelerado, movendo-se com velocidade v = constante, serão
exatamente as mesmas que aquelas observadas por um outro observador que
esteja em repouso ou seja, parado, em relação a esse sistema de referência”.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 89
Com este postulado, Einstein descarta o éter como necessário, e de forma geral,
com sistemas de referências absolutos. Pois afirma que não é possível
encontrarmos através de qualquer experimento (mecânico, ótico, eletromagnético,
etc.) um sistema de referência que esteja absolutamente parado ou absolutamente
em movimento. Tal sistema não existe. Tudo que existe é o movimento relativo.
Conseqüência do 2º postulado:
“Se você estiver se aproximando de um feixe luminoso irá verificar que ele
possui uma velocidade c. Se você estiver se afastando do feixe medirá a
mesma velocidade c. Seja qual for a sua velocidade e seja qual for a direção
em que você se deslocar sempre irá medir a mesma velocidade c para o
feixe luminoso”.
Não pode existir velocidade maior que a da luz.
Este postulado afirma que a velocidade da luz é a mesma em todos os referenciais
inerciais.
-> de acordo com este postulado, se fosse possível para o observador se
mover com o espelho à velocidade da luz, ele continuaria a ver a sua imagem.
Como já foi dito, a teoria da relatividade restrita não foi bem aceita, muitos físicos
famosos não concordavam muito com ela (ex.: Poincarè, Lorentz, etc.), apesar de
terem publicado trabalhos que de certa forma podiam ser previsto por esta teoria.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 90
Esta teoria passou por um verdadeiro crivo, tanto intelectual quanto experimental
(desde o começo do século XX), para finalmente ser aceita.
Uma experiência de Comprovação:
Uma das experiências mais famosas envolve o “decaimento do píon”, realizada
no CERN (“Conseil Européen pour la Recherche Nucléaire“ − Consórcio
Europeu para a Pesquisa Nuclear − posteriormente mudou para: Organisation
Européenne pour la Recherche Nucléaire − Organização Européia para a
Pesquisa Nuclear, mas o nome CERN foi mantido), Europa, em 1964.
Píon: uma partícula elementar que pode ter carga elétrica (π + ou π −) ou ser
neutra (π 0), neste experimento foi utilizado o píon π 0 (o sobrescrito “0” − zero −
quer dizer que a partícula é neutra − sem carga elétrica).
A reação de decaimento ou de desintegração do píon pode ser representado
pela reação:
π 0 →γ +γ
onde o píon se desintegra, ou decai, em duas partículas gama (ondas
eletromagnéticas, fótons ou raios gama). Para conservar a energia e a
quantidade de movimento, estes “gamas” devem sair em 1800 um do outro, no
referencial do píon.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 91
Píons podem ser produzidos em laboratórios. Neste experimento de 1964, eles
foram produzidos com uma velocidade muito próxima da luz:
v = 0,99975 c = 99,975% c
Quando mediram a velocidade dos gamas emitidos (no referencial do píon se
movendo próximo à luz), o resultado foi c.
Conclusão: o píon se movendo com velocidade muito próxima da luz, “vê” a
onda eletromagnética se propagar com uma velocidade que seria a mesma de
um referencial parado (c = 2,9977 × 108 m/s − velocidade da luz no vácuo).
4.5. Transformações de Lorentz
Hendrik Antoon Lorentz (Arnhem, Países Baixos−Holanda, 18 de julho
de 1853 − Haarlem, Países Baixos−Holanda, 4 de fevereiro de 1928).
-> 1892, escreveu um artigo onde descrevia um dos fenômenos
mais importantes para a relatividade restrita (a contração do
espaço) que só tempo depois, com os trabalhos de FitzGerald e
Larmor ficaram conhecidas como Transformações de Lorentz.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 92
Com o 2º postulado, c invariante para referenciais inerciais, descartamos a
transformação de Galileu das velocidades, bem como as transformações de
Galileu em geral e assim devemos encontrar outra forma de transformação que
resolva o problema.
Chegamos, então, às Transformações de Lorentz.
As transformações de Lorentz estão para a relatividade restrita, assim como as
transformações de Galileu estão para a relatividade de Galileu.
Qual deve ser o critério para utilização das transformações de Galileu ou para
utilização das transformações de Lorentz?
-> A velocidade da luz.
Enquanto a velocidade do referencial inercial for muito menor que c (v << c),
usamos Transformações de Galileu e a Mecânica Clássica, de Newton e
Galileu. Quando esta se torna importante (v ≅ c), devemos utilizar as
Transformações de Lorentz e a Mecânica Relativística (de Einstein).
1) Segue um comparativo entre as Transformações de Galileu e Lorentz:
-> adotando as transformadas para o referencial móvel,
repouso, S
S’, e em
[Cristóvão R M Rincoski] p. 93
Transformações de Galileu:
Transformações de Lorentz:
xS − v t S
x'+vt '
x ' = xS − v t xS = x ' + v t
x '=
y ' = yS
yS = y '
y ' = yS
yS = y '
z ' = zS
zS = z '
z ' = zS
zS = z '
t ' = tS = t
de S→ S’
t '=
tS = t ' = t
de S’→ S
1− v c
2
xS =
2
t S − v xS c 2
1− v c
2
tS =
2
de S→ S’
1− v2 c2
t ' + v x ' c2
1− v2 c2
de S’→ S
(inversa)
(inversa)
2) Dilatação do Tempo
Considere o intervalo de tempo de
transformado para S:
Δt s = t sf − t si
t si =
ti '+ v xi ' c 2
1− v2 c2
e
e
S’
(medido em
S’)
e
Δt ' = t f ' − t i ' ,
t sf =
t f '+ v x f ' c 2
.
1− v2 c2
[Cristóvão R M Rincoski] p. 94
Δt S =
Δt '+ v c 2 Δx ' O tempo t’ e x’ são medidos em S’, logo, se vamos
1− v c
2
Onde Δt S =
considerar o intervalo de tempo em um ponto fixo
em S’ (Δx’ = 0 m, x’f = x’i)
2
Δt '
1− v2 c2
ΔtS = γ Δt ' ou Δt ' =
Então, como
Δt ' = 1 − v 2 c 2 Δt S .
ou
ΔtS
γ
com
1− v2 c2 < 1
γ=
1
1−v c
ou γ > 1
2
2
.
então Δt S > Δt ' .
O observador S’, mede um intervalo de tempo em repouso relativo
ao sistema onde os eventos ocorrem (S’, isto é, ele mede x’, t’, etc.),
já o observador S, mede um intervalo de tempo relativo ao sistema
que está em movimento (S’), então, S diz que o tempo de S’ é maior
que o seu tempo. Assim, “quando os processos ocorrem em um
corpo em movimento relativo ao observador eles parecem ter uma
duração maior do que quando eles ocorrem em um corpo em
repouso relativo ao observador”:
Tmovimento > Trepouso
que é a famosa Dilatação do Tempo.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 95
Então podemos definir o seguinte
Tempo Próprio: todo intervalo de tempo medido pelo observador em S’ no
próprio referencial S’.
Comprimento Próprio: todo comprimento medido pelo observador em S’ no
próprio referencial S’.
Onde γ = 1
1 − v 2 c 2 é chamado de Fator de Lorentz.
3) Contração do Comprimento de FitzGerald−Lorentz
Considere um comprimento em S’ (medido por um observador em
S’) e transformado para um observador em S. Os pontos inicial e
final deste comprimento, respectivamente:
x f '=
xsf ' − v t sf
fazendo
e
1− v2 c2
Δx ' = x f '− xi '
xi ' =
com
xsi − v t si
,
1− v2 c2
Δx S = x sf − x si
.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 96
Δx ' =
Δx S − v Δt S
1− v2 c2
Medimos em S, xS e tS, logo, se vamos considerar
o comprimento para um instante fixo em S
(ΔtS = 0 s, tsf = tsi )
Δx S
Onde Δx ' =
1− v2 c2
ou
Δx S = 1 − v 2 c 2 Δx ' ,
Generalizando:
ΔL ' =
ΔL S
1− v2 c2
ΔL ' = γ ΔL S
ou ΔLS = 1 − v
ou ΔLS =
Aqui vemos que
ΔL '
γ
com
2
c 2 ΔL ' .
γ =
1
1− v c
2
1 − v 2 c 2 < 1 ou γ > 1 então
2
.
ΔL ' > ΔL .
Então “o observador S, que vê o objeto em movimento, mede um
comprimento menor que o observador em S’, que vê o objeto em
repouso”:
Lmovimento < Lrepouso
que é a famosa Contração do Comprimento de FitzGerald−Lorentz.
[Cristóvão R M Rincoski] p. 97