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MODELAGEM CFD EM CONFLUÊNCIAS
Victor Manoel Pavanelli Lira 1* & Luiz Rafael Palmier 2
Resumo – Graças aos avanços dos recursos computacionais, a modelagem CFD vem se tornando
uma ferramenta muito utilizada no meio acadêmico e profissional para a simulação de escoamentos
complexos, essencial na redução dos custos de projeto. Para canais abertos, as equações
governantes da mecânica dos fluidos a serem resolvidas são as equação da continuidade e da
quantidade de movimento, que utilizam modelos de turbulência de diversos tipos para fechamento.
Apesar de sua geometria simples, uma confluência prismática apresenta um padrão de escoamento
tridimensional e turbulento, aspectos que a tornam um ótimo caso a ser abordado na validação de
modelos numéricos para escoamentos em canais abertos. Este trabalho discorre sobre alguns dos
principais aspectos na modelagem numérica de confluências e resume os trabalhos de alguns
autores no emprego de CFD para tal. Pode-se dizer que todas as modelagens obtiveram sucesso na
reprodução da zona de separação e das principais peculiaridades deste tipo de escoamento. Algumas
limitações comuns estão na precisão da magnitude de algumas variáveis na aproximação das
paredes.
Palavras-Chave – Modelagem numérica; CFD; confluência em canais abertos.
CFD MODELING IN CONFLUENCES
Abstract – Thanks to the development of computational resources, CFD has become a popular tool
in the academic and professional field for modeling complex flows, essential in reducing design
costs. In open-channels, the governing equations of fluid motion to be resolved are the continuity
and momentum equations, which use different turbulence models for closure. A prismatic
confluence, though having a simple geometry, presents a three-dimensional and turbulent flow
pattern, aspects that make it a great case to be used when validating numerical models of openchannel flows. This paper discusses some of the key aspects in the numerical modeling of
confluences and summarizes the works of some authors in the use of CFD to do so. It can be said
that all models are successful in reproducing the separation zone and the main particularities of this
type of flow. Some common constraints are the accuracy of certain variables’ magnitude when
approaching the walls.
Keywords – Numerical modeling, CFD, open-channel confluence.
INTRODUÇÃO
Dinâmica dos Fluidos Computacional, ou CFD, é um ramo da mecânica dos fluidos que
utiliza métodos numéricos e algoritmos para resolver modelos matemáticos que descrevem qualquer
tipo de escoamento de um fluido considerando uma dada geometria, sendo conhecidas as condições
iniciais, no caso de escoamentos transientes, e as condições de contorno. Graças ao avanço dos
recursos computacionais, os modelos numéricos CFD começaram a ser aplicados para simular
escoamentos de fluidos tridimensionais complexos e para o dimensionamento adequado de modelos
físicos, a fim de reduzir o custo global do projeto. O objetivo deste trabalho é apresentar alguns
1
2
Engenheiro Civil na EFLOW Recursos Hídricos, [email protected].
Professor Associado, Departamento de Engenharia Hidráulica e Recursos Hídricos, UFMG, [email protected].
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aspectos que cercam os códigos CFD e relatar seu desempenho na modelagem de confluências. Fazse uma breve explanação sobre o escoamento em confluências e o esforço em desenvolver equações
que prevejam suas características principais. A seguir, discorre-se sobre modelagem CFD, suas
equações governantes e sua abordagem quanto à turbulência. Por fim, é apresentada uma sucinta
revisão bibliográfica sobre aplicações de CFD na modelagem de escoamento em confluências.
CONFLUÊNCIAS EM CANAIS ABERTOS
Independente do tipo de confluência, seu escoamento sempre possui características de fluxo
complexas e tridimensionais, regidas por um grande número de parâmetros. Weber et al. (2001), em
um estudo em modelo físico de uma confluência prismática, coletaram um extenso conjunto de
dados em uma malha fina de resultados de velocidade 3D, elevações de lâmina d’água e medidas de
turbulência. A estrutura do escoamento é mostrada esquematicamente na Figura 1.
(a)
(b)
Figura 1 – (a) Representação da estrutura de fluxo (Weber et al., 2001) e (b) Mapeamento da lâmina d’água (z/Ho) para
q* = 0,25 [adaptado de Huang (2000)]
Os eixos x e y foram adimensionalisados pela largura do canal, W (0,914 m), as elevações de
água foram adimensionalisadas pelo nível d’água no fim do canal de jusante, Ho (0,298 m), e as
velocidades escalares pela velocidade média de saída do canal de jusante, Ut (0,628 m/s), levando o
símbolo * como indicativo da operação. Além disso, diferentes cenários de vazão foram simulados,
variando a relação de vazão q* = Qm (vazão do canal principal) / Qt (vazão total).
Os principais aspectos do fluxo são: uma zona de separação, localizada logo a jusante da
entrada da contribuição lateral, com recirculação interna, elevada turbulência e menor nível d’água;
uma resultante seção estrangulada com maiores velocidades; um ponto de estagnação próximo ao
canto de montante; uma corrente helicoidal horária ao longo do canal de jusante causada pela
reflexão do escoamento do canal lateral contra a parede direita do canal principal. Alguns aspectos
do escoamento próximo ao fundo são diferentes do que ocorre nas camadas de superfície, tal como
a zona de separação, que é maior junto à superfície, tanto em largura quanto em comprimento. Esse
estudo deixa claro que o trecho crítico a ser modelado – onde o fluxo é mais tridimensional, intenso
e trubulento – está localizado no início do canal de jusante, entre x/W = -1 e -4.
Alguns autores derivaram modelos teóricos úteis para cálculos manuais e modelagem
numérica unidimensional de redes de canais, onde o interesse é reproduzir o perfil da lâmina d’água
com alguma aproximação. Taylor (1944) e Webber & Greated (1966), relacionando variáveis de
fluxo diferentes, elaboraram análises da quantidade de movimento que produziram equações que
relacionam as profundidades dos trechos de montante com a do canal de jusante. Estes últimos
também desenvolveram relações de perda de energia e linhas de fluxo teóricas pelo método de
mapeamento por conformação. Mamedov (1989) estudou as características e intensidades das
deformações dos canais, desenvolvendo métodos empíricos para o cálculo do plano de correntes, da
estabilidade do canal, das características da zona de separação e da seção estrangulada. Gurram et
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al. (1997) trouxeram uma abordagem racional para a contribuição da quantidade de movimento do
canal lateral e a aplicaram para a estimativa do efeito de remanso ao longo de uma junção simples.
Shabayek et al. (2002) desenvolveram um modelo que, diferente de seus antecessores, não assume a
igualdade das profundidades de montante por meio da aplicação de conservação da massa e da
quantidade de movimento, considerando um conjunto aprimorado de condições de contorno
internas. No entanto, não importa quão avançados sejam esses modelos 1D, pois se o interesse é a
compreensão detalhada do fluxo nas proximidades da junção, torna-se necessário utilizar modelos
numéricos 2D ou 3D.
EQUAÇÕES GOVERNANTES E TURBULÊNCIA
As equações governantes da mecânica dos fluidos, a serem resolvidas por um modelo CFD,
são representações matemáticas das seguintes leis de conservação da física: a) a massa de um fluido
é conservada - o que leva à equação da equação da continuidade; b) a taxa de variação da
quantidade de movimento é igual à soma das forças sobre a partícula de um fluido (segunda lei de
Newton) - o que conduz à equação da quantidade de movimento; e c) a taxa de variação de energia
é igual à soma da taxa de adição de calor mais a taxa de trabalho realizado sobre a partícula de um
fluido (primeira lei da termodinâmica) - o que conduz à equação de energia
Segundo Versteeg & Malalasekera (2007), líquidos e gases que fluem a baixas velocidades se
comportam como fluidos incompressíveis. Sem variação de densidade não há nenhuma ligação
entre a equação de energia e as equações de continuidade e quantidade de movimento. O campo de
escoamento pode, portanto, ser resolvido ao considerar somente as duas últimas.
A equação tridimensional da conservação da massa (ou da continuidade) em um ponto de um
fluido incompressível, e.g. o fluxo de água em uma confluência, é:
+
+
=0
=0
(1)
As principais variáveis envolvidas nestas formulações são descritas como u, u, v, w, ρ, p, e τ,
sendo respectivamente o vetor de velocidade, as velocidades escalares nas direções x, y e z,
densidade, pressão e tensão viscosa. As equações governantes contêm tantas incógnitas quanto
componentes de tensões viscosas, τij. As formas mais úteis das equações conservantes da mecânica
dos fluidos são obtidas ao introduzir um modelo apropriado para as tensões viscosas. Todos os
gases e muitos líquidos são isotrópicos, então nestes casos as tensões viscosas podem ser expressas
como função da taxa de deformação local ou taxa de esforço, o que forma a base para o
desenvolvimento das equações de Navier-Stokes nas três dimensões. A equação de Navier-Stokes
no eixo x para um fluido incompressível (densidade constante) pode ser descrita como:
=−
+
+
+
!
" + #$ = −
+
%& ' ( )( + #$
(2)
Um escoamento é laminar quando ele é suave e camadas adjacentes do fluido deslizam entre
elas de forma ordenada, o que pode ser expresso por valores abaixo do chamado número de
Reynolds crítico, Recrit. Para números de Reynolds acima de Recrit, o comportamento do fluxo se
torna caótico e aleatório, o que é definido como escoamento turbulento. Em regime turbulento, o
movimento é intrinsicamente não-permanente até mesmo com condições de contorno constantes,
tendo velocidades e todos os outras propriedades de escoamento variando de forma aleatória e
caótica. Pela chamada Decomposição de Reynolds, um fluxo turbulento pode ser caracterizado em
termos dos valores médios de suas propriedades de escoamento (indicados em letras maiúsculas: U,
V, W, P, Φ etc.) e os seus desvios (ou flutuações) dos valores médios (denotados como: u ', v', w ',
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p', φ' etc.). Aplicando a Decomposição de Reynolds à equação (1), obtém-se a equação da
continuidade para o escoamento médio:
*=0
(3)
Fazendo o mesmo às equações de Navier-Stokes (2) e rearranjando os termos extras das
flutuações de velocidades, obtêm-se as equações do tipo Reynolds-Averaged Navier-Stokes
(RANS), cuja componente x para um escoamento incompressível pode ser referida como:
*
+
(*,) = −
1 -
+.
1
%& ' (*)( + /
1 3
0− 2222
+
1 1)
(− 222222
+
1 4 1)
(− 222222
5 (4)
!
1 1
Pela suposição de Boussinesq, as tensões de Reynolds (7 8 9 = − 2222222
: ; ) são proporcionais às
taxas de deformação. Modelos de turbulência são, então, aplicados para prever tensões de Reynolds
e termos escalares de transporte e fechar o sistema formado pelas equações de escoamento médio.
O modelo de turbulência k-ε padrão [desenvolvido por Launder & Spalding (1974)] é o mais
amplamente usado e validado, com aplicações de razoável precisão em múltiplas áreas na
engenharia. É um modelo de duas equações baseado no conceito simplista de que a energia cinética
turbulenta, k, e a taxa de dissipação de k por unidade de massa, ε, estão relacionados com uma
escala de velocidade, ϑ, e uma escala de comprimento, ℓ. Yakhot et al. (1992) desenvolveram uma
variação desse modelo, nomeando de renormalization group (RNG) k-ε model, que parece
reproduzir melhor escoamentos com elevado número de Reynolds. A alternativa de modelo de
turbulência de duas equações mais proeminente em tentar superar algumas limitações do modelo kε (e seus variantes) é o modelo k-ω desenvolvido por Wilcox (1988). Além da variável k, a
frequência de turbulência, ω = ε / k, é usada como a segunda variável.
Uma abordagem diferente para a simulação de escoamentos turbulentos é o Large Eddy
Simulation model (LES), ou modelo de simulação de grandes vórtices. Sua ideia é que os vórtices
maiores precisam ser computados ao longo do tempo. Em vez de utilizar equações que consideram
variáveis em regime permanente (como nos modelos RANS), o LES usa primeiramente uma
operação de filtragem espacial para separar os vórtices maiores e menores e, em seguida, modela as
tensões resultantes, chamadas tensões sub-grid-scale (SGS), em função do tempo. A necessidade de
resolver equações com discretização temporal torna o modelo LES muito mais caro
computacionalmente do que os modelos de turbulência de duas equações.
MODELAGEM CFD
CFD na indústria
Segundo Versteeg & Malalasekera (2007), CFD é a análise de sistemas que envolvem fluxo
de fluidos, transferência de calor e fenômenos associados por meio de simulação computadorizada.
A técnica é muito robusta e abrange um amplo leque de áreas de aplicação, tais como: aerodinâmica
de aviões e veículos; fluxos em motores; refrigeração de equipamentos; processos químicos
industriais; climatização de edifícios; hidrodinâmica de navios; dinâmica das ondas marítimas;
hidrologia de rios e estuários; escoamento em estruturas hidráulicas; transporte de sedimentos e
poluentes; meteorologia; circulação sanguínea em veias e artérias etc. Há diversos softwares de
códigos CFD, sendo estes os mais conhecidos: Ansys CFX e Ansys Fluent, Flow 3D, Phoenics. Há
também alguns poucos programas gratuitos, como o SSIIM e o OpenFOAM. O último tem sido
usado amplamente por ser livre, aberto e pela extensa variedade de ferramentas e métodos. As
vantagens dos programas comerciais referem-se às suas interfaces sofisticadas que facilitam o
arranjo do problema, dentro de um pré-processador amigável, e a análise dos resultados, dentro de
um pós-processador. Apesar dos pacotes CFD serem ferramentas potentes, eles não garantem o
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sucesso na modelagem. Tal conquista deve ser perseguida por meio de boa compreensão do
problema físico e do modelo numérico que o representa. A única forma de validar os modelos
matemáticos de um código CFD é comparando seus resultados com os de modelos físicos.
CFD em confluências
Alguns estudos de modelo CFD em confluências foram realizados e reportados, cada um
testando diferentes ferramentas de modelagem e adicionando conclusões interessantes. São
retratados nesta seção os principais resultados de três trabalhos em modelagem CFD de
confluências que também utilizaram os dados experimentais de Weber et al. (2001) para validação:
Huang et al. (2002), Dordevic (2012) e Lira (2014). Estes autores expuseram seus resultados de
forma adimensionalisada, para devida comparação com Weber et al. (2001). Além deles, também é
destacado o trabalho de Ramamurthy et al. (2013) que, apesar de não tratar de confluências,
apresentou um interessante estudo paramétrico dos resultados de simulação de um canal curvo, com
escoamento também altamente tridimensional, combinando métodos e modelos distintos.
Huang et al. (2002) desenvolveram um modelo que utiliza as equações de turbulência k-ԑ para
fechamento e calcula a superfície livre por um método de regeneração da malha, que permite que a
grelha seja moldada de acordo com a superfície da água calculada durante as iterações até alcançar
a convergência. Esse método foi capaz de capturar o comportamento da lâmina d’água, sem a
necessidade de resolver o custoso método do Volume dos Fluidos (VOF), que lida com escoamento
multifásico (água e ar). Os cenários de vazão analisados foram q* = 0,25 e 0,75. A validação
mostrou que a regeneração da malha foi capaz de reproduzir a superfície da água de forma
aproximada, subestimando a depressão ao redor da zona de separação. Em geral, a maioria das
características hidrodinâmicas importantes foi bem reproduzida pelo modelo, especialmente as
velocidades na direção do eixo x, u*, longitudinais ao canal principal, como mostra a Figura 2.
Houve uma boa predição do tamanho da zona de recircularion na parte superior, embora tenha
sobrestimado seu tamanho na parte inferior. O modelo não foi tão eficaz em capturar o movimento
transversal em detalhes, o reflexo do fluxo do canal lateral contra a parede direita do canal principal
é bastante subestimado e, assim, a corrente helicoidal horária a jusante da função foi diminuída. A
energia cinética turbulenta foi avaliada e tida como subestimada, especialmente nas imediações da
zona de separação onde há elevada produção de k. Huang et al. (2002) sugerem a aplicação de um
modelo de turbulência de ordem mais elevada para melhorar a precisão, como o LES.
Figura 2 – Distribuição de velocidades u* dos modelos físico e numérico na elevação z/W = 0,278, por Huang (2000)
Dordevic (2012) usou o software SSIIM2 e também aplicou o modelo de trubulência k-ԑ, mas
tratou a superfície livre como uma tampa rígida, que assume a superfície como constante e sem
atrito. A análise focou na comparação de perfis verticais de velocidade medidos e calculados para
q* = 0,583. O modelo foi capaz de reproduzir satisfatoriamente os principais elementos do fluxo,
mesmo tendo adotado a tampa rígida. Houve boa aproximação entre os perfis de velocidade
longitudinais, mas suas magnitudes foram subestimadas [Figura 3 (a) e (b)]; a largura da zona de
recirculação foi capturada, mas o seu comprimento foi subestimado em cerca de 20%; alguns perfis
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de velocidade transversais indicaram que essas componentes foram reproduzidas de forma
aproximada, embora o modelo falhe em descrever a circulação no interior da zona de recirculação
[Figura 3 (c) e (d)]. O autor não menciona em que elevação foi posicionado o limite superior da
geometria (tampa rígida), mas aparentemente esse nível foi adotado maior do que deveria ser, o que
poderia ser uma dos motivos da subestimação das velocidades longitudinais.
Figura 3 – Comparação de resultados numéricos e experimentais em perfis verticais de velocidades longitudinais [(a) e
(b)] e transversais [(c) e (d)], por Dordevic (2012)
Em uma modelagem de canal curvo, Ramamurthy et al. (2013) compararam o escoamento em
modelo físico com aquele produzido em modelagem numérica, em cenários que combinam três
modelos de turbulência [RNG k-ԑ, Reynolds Stress Model (RSM)e LES] e quatro tratamentos de
superfície de água [tampa rígida (RL), porosidade (POR), altura dos líquidos (HOL) e VOF].
Phoenics e Fluent foram os softwares utilizados para os cálculos. Para evitar excessivo custo
computacional, o modelo LES foi aplicado em combinação à abordagem da tampa rígida
exclusivamente. O estudo mostrou que o VOF foi o melhor método de tratamento de superfície
livre. A Tabela 1 resume essa análise comparativa. Numa análise paramétrica, quando os resultados
dos três modelos que assumiram uma tampa rígida são comparados, torna-se evidente que o LES foi
o melhor modelo de turbulência, embora revelando algumas imperfeições significativas, como as
menosprezadas velocidades no fundo e a subestimada zona de separação. Esse fato é atribuído pelos
autores à falta de variação da superfície da água devido à consideração da rígida tampa. Os
resultados do RSM, de sete equações, não foram tão melhores do que aqueles do RNG k-ԑ, de duas
equações, o que é algo positivo já que este demanda um esforço computacional muito menor.
Tabela 1 – Resultados experimentais e numéricos de escoamento em canal na elevação z/Z = 0,83, por
Ramamurthy et al. (2013)
Ferramenta
Tipo de
Modelo de
Lâmina
Comprim. de
umax
umin
kmax
malha
turbulência
d’água
separação (m)
(m/s)
(m/s)
(m²/s²)
Modelo físico
15,0
0,65
-0,09
0,018
Phoenics
BFC
RNG k-ԑ
POR
8,9
0,62
-0,067
0,005
BFC
RSM
POR
9,2
0,63
-0,08
0,009
BFC
RNG k-ԑ
RL
0,0
0,56
0,000
0,003
BFC
RNG k-ԑ
HOL
7,2
0,62
-0,062
0,005
CAR
RNG k-ԑ
POR
3,2
0,63
0,053
0,007
Fluent
BFC
RNG k-ԑ
RL
0,0
0,56
0,000
0,003
BFC
RSM
RL
0,0
0,58
0,000
0,004
BFC
LES
RL
12,4
0,61
-0,03
0,048
BFC
RNG k-ԑ
VOF
11,2
0,63
-0,08
0,007
BFC
RSM
VOF
13,4
0,63
-0,09
0,011
Sendo: BFC = Body-Fitted Coordinate; CAR = Cartesiana
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Por último, com base nos resultados e dificuldades dos modelos nas pesquisas anteriores, Lira
(2014) julgou produtivo testar um arranjo diferente dos já testados na literatura até então. O modelo
foi montado e rodado no OpenFOAM, um software de código CFD gratuito e aberto. A superfície
da água foi tratada como uma tampa rígida e sem atrito. Foram avaliadas as componentes de
velocidade produzidas por três modelos de turbulência distintos (RNG k-ε, k-ω e LES) para o
cenário de vazão, q* = 0,25, o mais tridimensional e difícil de ser reproduzido.
O comportamento geral do fluxo gerado em todos os cenários exibiu uma boa concordância
com os resultados experimentais, principalmente quanto à componente de velocidade u* [Figura 5
(b)] apesar da incapacidade natural da abordagem da tampa rígida em modelar a superfície da água
(Figura 4). Porém, todos os modelos de turbulência subestimaram a intensidade da reflexão na
parede e consequente corrente helicoidal a jusante da junção, como notado no gráfico à direita na
Figura 5 (b), mesma falha ocorrida em Huang et al. (2002).
Figura 4 – Distribuição de velocidades u* dos modelos numéricos e físico na elevação z/W = 0,278, por Lira (2014)
(a)
(b)
Figura 5 – Perfis verticais de velocidades longitudinais (a) e transversais (b) na seção x/W = -2
Embora o modelo LES tenha sido concebido para ser mais eficaz, sua precisão foi pior do que
a dos modelos de turbulência de duas equações, provavelmente pelo efeito em cadeia de uma
estranha subestimação das velocidades nas camadas próximas à parede [idem em Ramamurthy et al.
(2013)]. Não foi observada diferença significativa entre o desempenho dos modelos RNG k-ε e k-ω.
Mas, uma vez que o RNG k-ε melhor representou a zona de separação, pode-se dizer que foi o
modelo de turbulência mais eficaz para o caso analisado. Outra observação feita é que a abordagem
da tampa rígida não afetou significativamente os resultados, visto que a mesma qualidade de
resultados foi obtida por Huang et al. (2002), que aplicou um modelo de turbulência k-ε e tratou a
superfície d’água como variável.
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CONCLUSÕES
Todos os estudos relataram que a maioria das características hidrodinâmicas importantes em
confluências foi bem reproduzida por modelos CFD, especialmente as velocidades longitudinais e a
presença da zona de separação com circulação interna. Já as velocidades transversais, de menores
magnitudes, foram reproduzidas com uma qualidade um pouco inferior. A abordagem da tampa
rígida parece não afetar significativamente a qualidade dos resultados. As velocidades nas camadas
de fundo são em geral pior representadas, mostrando uma possível dificuldade comum no
tratamento das condições de contorno e da malha próximo às paredes. Outra imperfeição partilhada
foi a subestimação da corrente helicoidal horária a jusante da junção, oriunda da reflexão do fluxo
do canal principal contra a parede direita do canal principal.
REFERÊNCIAS
a) Livro
VERSTEEG, H. K.; MALALASEKERA, W. (2007). An introduction to computational fluid
dynamics - the finite volume method. Second. ed. Essex: Pearson Prentice Hall.
b) Artigo em revistas e periódicos
GURRAM, S. K.; KARKI, K. S.; HAGER, W. H. (1997). Subcritical junction flow. Journal of
Hydraulic Engineering, v. 123, n. 5, p. 447-455.
HUANG, J.; WEBER, L. J.; LAI, Y. G. (2002). Three-dimensional numerical study of flows in
open-channel junctions. Journal of Hydraulic Engineering, v. 128, n. 3, p. 268-280.
LAUNDER, B. E.; SPALDING, D. B. (1974). The numerical computation of turbulent flows.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, v. 3, n. 2, p. 269-289.
MAMEDOV, A. S. (1989) Hydraulic calculation of a confluence. Hydrotechnical Const., 553-556.
RAMAMURTHY, F. A. S.; HAN, S. S.; BIRON, P. M. (2013). Three-dimensional simulation
parameters for 90° open channel bend flows. J. of Comp. in Civil Eng. ASCE, v. 27, n.3, p.282-291.
SHABAYEK, S.; STEFFLER, P.; HICKS, F. (2002). Dynamic model for subcritical combining
flows in channel junctions. Journal of Hydraulic Engineering, v. 128, n. 9, p. 821-828.
TAYLOR, E. H. Flow characteristics at rectangular open-channel junctions. Transactions of the
American Society of Civil Engineers, v. 109, p. 893–902, 1944.
WEBBER, N. B.; GREATED, C. A. An investigation of flow behaviour at the junction of
rectangular channels. Proc., Instn. of Civ. Engrs., Vol. 34, p. 321-334, 1966.
WEBER, L. J.; SCHUMATE, E. D.; MAWER, N. Experiments on flow at a 90° open-channel
junction. Journal of Hydraulic Engineering, v. 127, n. 5, p. 340-350, Maio 2001.
WILCOX, D. C. Reassessment of the scale-determining equation for advanced turbulence models.
AIAA Journal, v. 26, n. 11, p. 1299-1310, Novembro 1988.
YAKHOT, V. et al. Development of turbulence models for shear flows by a double expansion
technique. Physics of Fluids A, v. 4, n. 7, p. 1510-1520, Julho 1992.
c) Artigo em anais de congresso ou simpósio
DORDEVIC, D. (2012). Application of 3D numerical models in confluence hydrodynamics
modelling. XIX International Conference on Water Resources. University of Illinois, [s.n.] p. 1-8.
d) Tese e dissertação
HUANG, J. Development and validation of a three-dimensional numerical model for application to
river flow. Tese de doutorado. ed. Iowa City: University of Iowa, 2000.
LIRA, Numerical modeling of a 90° open-channel confluence using Openfoam CFD. Dissertação
de mestrado. Escola de Engenharia. Universidade Federal de Minas Gerais, 2014.
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