Lista Extra - Desafios - Funções de uma Variável

Lista Extra - Desafios - Funções de uma Variável
1 — Calcule os seguintes limites:
√
1+x−1
a) lim √
(3/2)
3
x→0
1+x−1
p
p
1 + sen(x) − 1 − sen(x)
b) lim
x→0
x
1
x
c) lim (1 + sen(x))
(e)
(1)
x→0
eax − ebx
(a − b)
x→0
x
√
e) lim n 1 + xn para x > 0
n→∞
√
x
f) lim q p √
x→∞
x+ x+ x
d) lim
(a resposta depende de x)
2—
a) Encontre o limite das áreas dos polígonos regulares de n − lados inscritos em um círculo de raio r quando
n → ∞.
b) Prove a fórmula para a área do círculo
3—
a) Encontre o limite dos perímetros dos polígonos regulares de n − lados inscritos em um círculo de raio r
quando n → ∞.
b) Prove a fórmula para o perímetro do círculo
4 — Prove que a função de Dirichlet
ξ(x) =
é descontinua em todos os pontos.
5 — Calcule as derivadas das seguintes funções:
q
p
√
1+ 2+ 3+x
a)
x
b) xx
Z sen(x)x
c)
cos(x3 )dx
xsen(x)
d) sen(x) sen(2x) · · · sen(nx)
1 se x ∈ Q
0 se x ∈ R\Q
Z2
ex dx.
6 — Use a definição de integral para calcular
0
7 — Calcule as seguintes integrais:
Z √
a) e x dx
Z
sen2 (x)
b)
dx
ex
Z
1
c)
dx
1 + z4
Z
d) cos2 (ln(x))dx
Z
e) ax sen(bx)dx
Zp
f)
c + bx + ax2 dx
Z
cos(x)
dx
g)
sen2 (x) − 6 sen(x) + 12
Z
h) sen(x) cos(x)ecos(x) dx
Z
ln(x)dx
q
i)
x 1 − 4 ln(x) − ln2 (x)
Z
x
x
j) tg3 ( ) − tg4 ( )dx
3
3
Z
k) sen(x) sen(2x) sen(3x)dx
Z
dx
l)
1 + sen(x) + cos(x)
Z
dx
m)
cosn (x)
Zq
n)
1 + (ex − e−x ))2
Z
e3x
o)
dx
1 + e2x
Z
1
p)
dx
1 + 2x
√
Z
9+6 x+x
√
dx
q)
4 x+x
Z9 q
√
r)
4 − xdx
Z0
dx
s)
2
(x + 9)3
√
Z
2+ x
√ dx
t)
3− x
Z 1/4
x
+5
u)
dx
x − 16
2
Z
v)
(27e9x + e12x )1/3 dx
3