CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS

CÁLCULO DE MATRIZ PARA ELEMENTOS FINITOS
Sistemas de equações algébricas que relacionam Forças, Deslocamentos e Coeficientes de
Rigidez podem ser representados e resolvidos de forma compacta e elegante com auxílio da
Notação Matricial. (ALVES, 2003).
Tem-se que é possível realizar uma analogia entre sistemas com molas e outros sistemas
tais como barras, chapas, etc., de maneira que facilite a compreensão do método de cálculo por
elementos finitos de estruturas. Portanto:
Mola
1
2
f1
1
f2
Barra
F1
2
F2
EA/L
k
x1
x2
d1
d2
a)
b)
Figura 1: a) Comparação entre Mola e b) uma Barra de um elemento Fonte: Alves (2003).
Então, uma barra que submetida a uma força axial de tração ou compressão terá o
comportamento equivalente ao de uma mola sob tração ou compressão.
F = k . x ⇒ é similar a ⇒ F =
EA
.d
L
(1)
Onde F é a força, k é a rigidez da mola, x é a deformação da mola, d é a variação de
comprimento e L é o comprimento inicial.
Então para o caso específico mostrado na figura 2, tem-se que o Nó do elemento 1 é
submetido a um deslocamento devido a força aplicada f1, mantendo-se o Nó 2 bloqueado.
f1
1
Mola
2
f2 = -f1
k
x1
Figura 2: Compressão de uma mola.
x2 = 0
Para o caso específico mostrado na figura 2 e tomando-se as condições de equilíbrio do
sistema, tem-se que a reação encontrada no Nó 2 é f2 = -f1 pois tem sentido oposto a f1.
Desta forma colocando-se na forma Matricial tem-se:
Para uma Mola:
f1   k
 =
f2   − k
− k   x1

.


k   x 2 = 0
(2)
Supondo que se tenham as forças como incógnitas tem-se para este sistema duas
equações e duas incógnitas.
f1 = k . x 1 + (− kx 2 )
Sendo, portanto:
f2 = − k . x 1 + kx 2
(3)
Substituindo x2 por zero tem-se:
f1 = k . x 1 + (− k .0 ) ⇒ f1 = k . x 1
(4)
f2 = − k . x 1 + k .0 ⇒ f2 = − k . x 1
Para uma Barra de um elemento:
 EA
F1   L
 =
F2   − EA
 L
−
EA 

L  d 1
.

EA  d 2 = 0
L 
(5)
Comparativamente tem-se da mesma maneira que k representa a rigidez da Mola, EA / L
representa a rigidez da Barra de um elemento.
Dados que o módulo de elasticidade E, a área A e o comprimento L são constantes, podese isolar estas constantes da Matriz.
F1  EA  1
.
 =
L  − 1
F2 
− 1 d 1

.


1 d 2 = 0
Quando o sistema possui mais de um elemento de mola tem-se:
Elemento 1
B
Elemento 2
A
C
ka
kb
Figura 3: Sistema de mola com dois elementos
(6)
A
B
B
ka
-ka
-ka
ka
A
C
kb
-kb
-kb
kb
B
A
B
C
C
0
A
ka
-ka
-ka
ka + kb
-kb
B
-kb
kb
C
0
B
Figura 4: Procedimento para montagem da Matriz de Rigidez da estrutura. Fonte: Alves,
2003.
A montagem deste sistema de elementos mola possui liberdade apenas para deslocamento
unidirecional, permitindo a compressão ou tração devido a forças axiais.
As estruturas de vigas podem ter liberdade de movimentação em cada um de seus nós do
elemento.
A viga, no caso mais geral, pode transmitir forças axiais, momentos fletores em dois planos
perpendiculares contendo seus eixos principais, forças cortantes e momentos torçores. Vide figura a
seguir.
Figura 5: A viga e os graus de liberdade em um elemento. Fonte: Alves, 2003.
Considerando-se o comportamento de vigas dos fundamentos da resistência dos materiais
e impondo-se deslocamentos unitários transversais ∆ e de rotação θ ao elemento viga, resultam os
coeficientes de rigidez necessários.
M1
M2
M1,2 =
6EI
.∆
L2
∆
12EI
.∆
L3
(8)
M1 =
2EI
.θ
L
(9)
M2 =
4EI
.θ
L
R=
L
R
(7)
R
Figura 6: Deslocamento em um nó.
M2
M1
θ
R
L
R
R=
Figura 7: Inclinação em um nó.
(10)
6EI
.θ
L2
(11)
A disposisão dos “Elementos na Matriz”, que não comtempla forças axiais e apenas flexão,
é vinculada aos quatro graus de liberdade.
1
3
4
2
k=
1
2
 12EI
 L3

 6EI
 L2
 12EI
− 3
 L
 6EI

 L2
6EI
L2
4EI
L
6EI
− 2
L
2EI
L
3
4
12EI
L3
6EI
− 2
L
12EI
L3
6EI
− 2
L
6EI 
L2 

2EI 
L 
6EI 
− 2 
L 
4EI 

L 
−
1
2
3
4
Figura 8: Graus de liberdade do elemento e a Matriz correspondente.
Sabe-se que para a matriz de um elemento, como mostrada na figura anterior, bem como,
na Matriz Global sempre tem-se uma matriz quadrada e que também haverá a simetria.
k=
 12EI
 L3

 6EI
 L2
 12EI
− 3
 L
 6EI

 L2
4EI
L
6EI
− 2
L
2EI
L
Figura 9: Simetria da Matriz do elemento.



Simétrica



12EI

L3

6EI
4EI 
− 2

L
L 
Figura 10: Estrutura de pórtico Plano, constituida de Viga com Rigidez Axial e Rigidez á
Flexão no Plano. (Alves, 2003).
Figura 11: Matriz de rigidez global da estrutura sistema global de coordenadas. (Alves,
2003).
2 REVISÃO DE ALGEBRA MATRICIAL
2.1.
Generalidades
k 11 k 12 k 13 


[K ] = k 21 k 22 k 23 
k 31 k 32 k 33 
1ª. Coluna
1ª. Linha
2ª. Linha
3ª. Linha
3ª. Coluna
2ª. Coluna
Figura 12: Exemplo de Matriz.
Sendo:
K11 o elemento localizado na 1ª. Linha e 1ª. Coluna
K23 o elemento localizado na 2ª. Linha e 3ª. Coluna
Desta maneira temos como índice o primeiro número indicando a linha e o segundo número
indicando a coluna em que está o elemento da matriz.
De modo geral pode-se expressar a posição em que se encontra um elemento por Kij em
que o elemento encontra-se na i-ésima linha e j-ésima coluna.
[K] = [Kij ] 3x3
A matriz pode ser expressa de maneira compacta como:
Figura 13: Exemplo de simplificação de uma Matriz.
Neste exemplo tem-se uma matriz composta por 3 linhas e 3 colunas. Como esta possui o
mesmo número de linhas e de colunas diz-se que ela é é uma Matriz Quadrada de Ordem 3.
Na equação {F}
= [K] . {U} normalmente se conhecem as forças e rigidez mas, tem-se os
delocamentos U como incógnitas portanto, há necessidade de isolá-los. Para realizar o isolamento
desta matriz coluna é necessário utilizar o procedimento de inversão da matriz rigidez.
O procedimento de inversão passa por encontrar a Determinante da matriz, os cofatores, a
matriz transposta e a matriz identidade.
2.2
Determinante de Matriz
Para encontrar a Determinante de uma matriz é necessário somar os produtos de seus
elementos como mostrado no exemplo a seguir.
[K ] = 
k11 k12 
 ⇒ det K = k11 . k 22 − k 21 k12
k 21 k 22 
Figura 14: Procedimento para encontrar a determinante de um Matriz.
Note que a determinante de uma matriz é um número.
2.3
Matriz Transposta
Para a obtenção da Matriz Transposta é necessário trocar a posição dos elementos das
linhas para colunas conforme exemplo a seguir. Isto é obtido fazendo-se com que um elemento que
T
ocupe a posição i,j da Matriz [K] tenha a posição j,i da Matriz [K] .
[K ] = 
3 5 6

4 1 7
tem − se [K ]
T
3 4 
= 5 1 
6 7 
Figura 15: Procedimento para transpor uma Matriz.
2.4
Cofatores de Matriz
Os cofatores de uma matriz são números obtidos em função de sua posição na matriz e os
valores restantes da matriz quando se eliminam uma linha e uma coluna da matriz e multiplicados por
(-1)i+j que indica o cruzamento da linha e coluna eliminadas, conforme exemplo a seguir.
Para o elemento 1,1 da matriz do exemplo tem-se:
3 5
[K ] = 4 1
2 8
6
1+1 1
7  cof (K 11 ) = (− 1) . 
8
9 
7
= 9 .1 − 8 .7 = −47
9 
Figura 16: Procedimento para encontrar um dos cofatores de uma Matriz.
Para o elemento 3,2 da matriz do exemplo tem-se:
3 5
[K ] =  4 1
 2 8
6
3 + 2 3 6 
7  cof (K 32 ) = (− 1) . 
 = − 3 .7 + 4 .6 = 3
4
7


9 
Figura 17: Procedimento para encontrar outro dos cofatores de uma Matriz..
A matriz dos cofatores teria o seguinte aspecto:
 − 47 k12 k13 
[Cof K ] = k 21 k 22 k 23 
k 31 3 k 33 
Figura 18: Resultado da matriz com os dois cofatores da Matriz.
Para inversão da matriz de rigidez tem-se então:
[K ]
−1
1
T
=
. [cofK ]
det[K ]
Figura 19: Resumo da inversão de uma Matriz.
Com a matriz de rigidez inversa é possível reescrever a equação da seguinte maneira:
{U} = [K ] .{F }
−1
Figura 20: Equação simplificada dos deslocamentos globais.
Onde
{U} corresponde a matriz coluna dos deslocamentos globais e {F} corresponde a
matriz coluna das forças.
Figura 21: Visão geral do método dos elementos finitos. (Alves, 2003).