2 de Março. 2014. Apontamento No. 13 VALOR

Apontamento No. 13
VALOR FINAL E VALOR INICIAL
Valor-tempo do dinheiro. Valor final. Valor inicial.
Descrição breve
O poder de compra proporcionado por um rendimento periódico pode ser usado de imediato
ou mais tarde. Quando se decide adiar o uso dum poder de compra, espera-se conseguir um
maior uso no futuro já que o rendimento poupado ao transformar-se em capital novo vai gerar
juros que acrescentam o valor do capital inicial. Por outro lado, quem espera deitar mão a um
capital prometido no futuro, pode dar-lhe dois destinos: pode esperar, ou pode procurar
antecipar o uso do poder de compra cristalizado na promessa. Quando se decide antecipar o
uso dum poder de compra, espera-se obter um tanto menos do que seria possível conseguir se
tivesse esperado pois a ansiedade tira ao capital a capacidade de render juros. O objectivo
deste apontamento é mostrar como calcula o valor dum pagamento simples devido numa
certa data. Se tal pagamento fôr devido de imediato, devemos poder calcular o seu valor
económico numa qualquer data futura. Se tal pagamento fôr devido em data futura, devemos
poder calcular o seu valor económico numa qualquer data anterior.
VALOR-TEMPO DO DINHEIRO
A data em que certos pagamentos são devidos, ou esperados, tem consequências económicas
importantes que são reconhecidas em geral como resultado do valor-tempo do dinheiro. O
valor-tempo do dinheiro é a ideia comum que um euro em dinheiro pode ser sempre investido
para ser transformado numa quantia maior no futuro com a consequência de tornar um euro
prometido menos valioso do que um euro na mão. Outra consequência do valor-tempo do
dinheiro é a impossibilidade de comparar duas quantias devidas em datas diferentes. Para
poder comparar o seu valor económico, há que calcular primeiro os valores destas quantias
como se fossem devidas ou esperadas na mesma data.
Observações: 1) Um pagamento sem referência à data em que é devido ou esperado não tem
valor económico. 2) Duas quantias devidas ou esperadas em datas diferentes nunca podem
ser somadas ou comparadas directamente. 3) Se dois pagamentos devidos ou esperados na
mesma data são iguais, o seu valor é sempre igual em qualquer outra data. /
Última revisão: 2 de Março. 2014.
[2]
A comparação do valor económico de duas quantias devidas ou esperadas em datas diferentes
faz-se com recurso às técnicas de cálculo de valores finais e valores iniciais. O cálculo dum
valor final mede o valor dum pagamento no fim do prazo duma troca intertemporal de
dinheiro. O cálculo dum valor inicial mede o valor dum pagamento no início desse prazo. O
processo através do qual o valor dum pagamento é transportado para o futuro, chama-se
capitalização. O processo através do qual o valor dum pagamento é transportado para o
passado, é a actualização. As medidas do valor-tempo do dinheiro são cálculos de valores
finais e de valores iniciais de pagamentos a ser transportados para a frente e para trás ao
longo da linha do tempo. A linha do tempo é a linha horizontal usada para indicar a data e o
montante de pagamentos associados a uma troca intertemporal de dinheiro. Empréstimos,
depósitos, e títulos de crédito, são exemplos de trocas intertemporais de dinheiro.1
Uma troca intertemporal de dinheiro é uma permuta de pagamentos que são devidos ou
esperados em datas diferentes. Os pagamentos com sinal positivo referem-se por convenção a
recebimentos, ou entradas de dinheiro; os pagamentos com sinal negativo referem-se a
desembolsos, ou saídas de dinheiro. Os pagamentos que são parte duma troca intertemporal
de dinheiro podem tomar três formas: podem tomar a forma dum pagamento simples, duma
renda, ou duma sequência de pagamentos variáveis. Um pagamento simples é uma quantia
única em dinheiro que está agora na posse de alguém ou que é devida ou esperada numa data
futura. A linha do tempo representada na Figura 13.1 mostra dois pagamentos simples: a
entrada de (+) 500,00 euros esperada no final do Ano 2, na Data 2, e a saída de (–) 1.500,00
euros devida no final do Ano 4, na Data 4.
S.F.F. inserir aqui: Figura 13.1 Pagamentos simples.
Uma renda é uma sequência ou progressão de pagamentos em dinheiro, constantes e
periódicos. A linha do tempo representada na Figura 13.2 mostra uma renda dita ordinária
com um termo anual e constante de 500,00 euros a pagar ao longo dos próximos quatro anos.
S.F.F. inserir aqui: Figura 13.2 Renda.
Uma sequência de pagamentos variáveis é uma sequência ou progressão de pagamentos em
dinheiro sem qualquer regularidade no tempo ou montante. A linha do tempo representada na
Figura 13.3 mostra uma sequência de pagamentos variáveis ao longo dum prazo de cinco
anos que inclui um desembolso inicial de (–) 100,00 euros seguido de uma sub-sequência
1
O conceito de título de crédito abarca uma variedade grande de documentos jurídicos como são a letra de
câmbio, a livrança, ou o cheque, e inclui ainda outros como documentos de transporte, certificados de depósito,
extractos de factura ou cautelas de penhor. Cf. José A. ENGRÁCIA ANTUNES. Os Títulos de Crédito: Uma
Introdução (Coimbra: 2009) Coimbra Editora.
[3]
anual de entradas de dinheiro iguais a (+) 5,00 euros até ao fim do Ano 5, na Data 5, à qual se
junta a entrada (+) de 100,00 euros, igual ao montante do desembolso inicial.
S.F.F. inserir aqui: Figura 13.3 Sequência de pagamentos variáveis.
Os pagamentos relativos a obrigações soberanas correspondem ao perfil temporal da
sequência de pagamentos variáveis representada na Figura 13.3; este perfil temporal de
pagamentos variáveis diz-se clássico ou convencional.
O nosso estudo neste apontamento centra-se no cálculo do valor final e do valor inicial de
pagamentos simples. A noção mais elementar de valor final, ou de valor inicial e dos cálculos
respectivos, é aplicada a pagamentos simples. Vamos então começar por analisar o valor final
dum pagamento simples para depois tratar do valor inicial dum pagamento simples devido no
futuro. A noção de valor final parece ser a mais intuitiva mas vamos procurar mostrar que a
noção de valor inicial acaba por ser a mais útil na análise das decisões financeiras de
empresas e administrações públicas, e das decisões financeiras familiares.
VALOR FINAL
Uma troca intertemporal de dinheiro supõe sempre a equivalência de dois pagamentos
simples em que um deles é devido numa certa data e o outro é esperado mais tarde. Por isso,
uma troca intertemporal de dinheiro pode ser interpretada como um crédito que transforma
um pagamento simples numa quantia maior ao fim dum determinado período de tempo por
causa dos juros acumulados. O juro acumulado ao longo dum certo prazo de tempo também
se diz vencido ou corrido. A maior quantia conseguida no fim dum processo de capitalização
é o valor final do pagamento simples efectuado no início do processo. O juro é o “motor” do
crescimento dum capital inicial. A regra de cálculo do juro é por isso uma peça central de um
processo de capitalização.
Definição: Valor final.
O valor final dum pagamento simples efectuado no início dum certo período de tempo é o
valor conseguido ao fim desse período em resultado do juro acumulado a uma certa taxa. /
O valor final dum processo de capitalização também é chamado valor capitalizado, valor
futuro, ou valor acumulado. Qualquer destas designações é apropriada desde que fique bem
entendido que dizem respeito ao valor económico medido no fim da troca intertemporal (e
não numa data futura qualquer). Suponha então que X(0) designa o montante do pagamento
[4]
simples em dinheiro efectuado hoje em troca da promessa incondicional do pagamento do
montante X(1) ao fim de um ano. Na linha do tempo anual representada na Figura 13.4, esta
troca de dinheiro tem o prazo inicial de um ano a começar hoje, no início do Ano 1 na Data 0,
e a terminar daqui a uma ano, no final do Ano 1 na Data 1.
S.F.F. inserir aqui: Figura 13.4 Troca de dinheiro a um ano.
Num empréstimo ou depósito típico, o valor do capital inicial X(0) é cedido em troca da
entrega prometida do pagamento X(1) no final do prazo respectivo. O pagamento X(1) inclui
o valor J(0, 1) do juro acumulado ao longo do Ano 1. O Ano 1 é o prazo da troca.
.
J(0, 1) é o montante do juro acumulado no período de um ano com início hoje e final daqui a
um ano. O juro é pago regularmente no final de cada período ao fim do qual o juro se diz
acumulado, capitalizado ou formado. Este período é o chamado período de formação do juro
ou período de contagem dos juros. Quando se diz que o juro é capitalizado anualmente, quer
dizer que o juro é pago uma vez por ano: o período de contagem dos juros é de um ano.
Quando se diz que o juro é capitalizado semestralmente, o juro é pago uma vez por semestre:
o período de contagem dos juros é de seis meses. Quando se diz que o juro é capitalizado
diariamente, o juro é pago uma vez por dia: o período de contagem dos juros é de um dia.
Temos aqui assim uma troca de dinheiro com um prazo inicial de um ano que inclui um só
período de contagem dos juros. O montante J(0, 1) de juros é em geral apresentado sob a
forma duma fracção (própria) ou proporção R(0, 1) do montante X(0) do capital inicial.
.
R(0, 1) é a taxa periódica de juro acordada e definida para o período (0, 1) de contagem dos
juros. Uma vez que a promessa do pagamento do montante X(1) é incondicional e isenta de
qualquer incerteza quanto ao cumprimento da promessa, a taxa de juro diz-se ainda que é
uma taxa de juro sem risco. O montante X(1) do pagamento simples devido ou esperado no
final do processo é o valor final da quantia actual ou presente X(0).
FV = X(1) = X(0) + R(0, 1) ⋅ X(0) = [1+ R(0, 1)] ⋅ X(0) .
O factor [1 + R(0, 1)] é geralmente descrito como factor de capitalização. Os actuários
chamam-lhe
€ factor de acumulação. É o valor final de uma unidade monetária em mão no
início do Ano 1 que rende ou vence juros à taxa periódica R(0, 1). A taxa periódica de juro
pode ser definida com base numa regra de juros simples ou numa regra de juros compostos.
[5]
Quando o juro é calculado e pago só em resultado do uso do capital inicial, chama-se juro
simples. Quando o juro é calculado e pago em resultado do uso do capital inicial e dos juros
entretanto acumulados, chama-se juro composto ou juro capitalizado.
Suponha um crédito a contado a um ano do capital inicial de 1.000,00 euros em que o juro é
definido pela taxa anual de 4 por cento capitalizada anualmente com base em juros simples.2
O pagamento simples X(1) devido ao fim de um ano é o valor final do capital inicial de
1.000,00 euros. O capital inicial de 1.000,00 euros também é chamado o valor do principal.
euros.
Mil euros em mão equivalem a 1.040,00 euros prometidos incondicionalmente e sem risco
daqui a um ano, quando a taxa de 4 por cento é usada com base na regra de juros simples.
Vamos agora aumentar o prazo da troca intertemporal. Trata-se agora dum empréstimo ou
depósito típico a dois anos cujo capital inicial X(0) é cedido em troca da entrega prometida do
montante X(2) no final do Ano 2 na Data 2. O montante X(2) inclui o valor J(0, 2) do juro
acumulado ao longo do prazo de dois anos, o período (0, 2). O processo de capitalização tem
um prazo inicial de dois anos que inclui dois períodos anuais de contagem dos juros.
.
J(0, 1) é o montante do juro formado no período (0, 1). J(1, 2) é o montante do juro formado
no período (1, 2) com início daqui a um ano e final um ano depois. Os juros acumulados ao
longo de todo o processo é o total dos montantes J(0, 1) e J(1, 2) de juros.
.
R(0, 2) é a taxa periódica sem risco acordada para os dois anos do prazo do empréstimo ou
depósito. O juro acumulado em cada um dos períodos de contagem dos juros baseia-se na
regra de juros simples pois só é calculada aqui a retribuição pelo uso do capital inicial.
.
r(0, 2) é a taxa anual sem risco acordada para os dois anos do prazo da troca. É a taxa igual e
constante a ser usada para calcular o montante do juro em cada um dos períodos de contagem
2
Um crédito a contado é um processo cuja data de início é a data de hoje, enquanto um crédito a prazo é um
processo cujo início tem lugar em certa data no futuro. O prazo dum crédito a contado começa a contar a partir
de hoje, enquanto o prazo dum crédito a prazo só começa a contar a partir da respectiva data futura de início.
[6]
dos juros. O valor da taxa anual de juro pode interpretar-se como a taxa unitária devida ao
credor por cada unidade monetária do capital cedido em cada ano do prazo da troca. Neste
caso, a taxa anual r(0, 2) é também uma taxa sem risco porque se entende que a promessa da
restituição final do montante X(2) é incondicional e isenta de qualquer risco.
.
O factor de capitalização calculado com base na regra de juros simples é proporcional ao
prazo do processo de capitalização. O factor de capitalização dum processo com dois anos é o
dobro do factor de capitalização dum processo com um ano, quando a taxa anual é igual.
.
Seja então um crédito a contado a dois anos do capital inicial de 1.000,00 euros em que o juro
é definido com base na taxa anual de 4 por cento capitalizada anualmente com base em juros
simples no primeiro e no segundo período de contagem dos juros.
euros.
O pagamento simples X(2) = 1.080,00 euros, devido no final do prazo de dois anos do
processo, é o valor final do pagamento simples inicial de 1,000.00 euros.
Generalizando: Suponha o pagamento simples X(0) efectuado hoje em troca da promessa
incondicional e sem risco da entrega do pagamento simples X(t) ao fim de t anos.
.
Os montantes J(0, 1), J(1, 2),… , J(t – 1, t) são os juros simples acumulados em cada um dos
períodos de contagem dos juros do processo.
Definição: Juro simples.
O juro simples J(0, t) que o principal X(0) vence ao fim de t unidades de tempo à taxa r(0, t)
de juro simples por unidade de tempo, é igual a:
onde
./
[7]
O factor de capitalização dum empréstimo ou depósito com um prazo inicial de t anos é um
múltiplo t do factor de capitalização da troca semelhante com um prazo inicial de um ano.
.
O valor do factor de capitalização duma troca com um prazo inicial de t anos é útil para o
cálculo dum valor final dum pagamento simples ao fim dum prazo com um número inteiro de
anos. Oportunamente, mostra-se o ajustamento que deve ser feito a esta expressão quando se
trata dum prazo que representa uma fracção de um ano i.e. dum prazo com menos de um ano.
Exemplo 1
Suponha que eu fiz uma aplicação de mil euros num depósito a 30 anos e que contratei a taxa
anual de 4 por cento na base da regra de juros simples. Qual é o valor do saldo final do
depósito ao fim dos 30 anos do prazo?
Solução. Para calcular o valor do juro simples, igual em todos os períodos anuais de
contagem dos juros, basta multiplicar a taxa pelo valor do capital inicial. O quadro seguinte
mostra o crescimento do saldo anual da conta.
Ano
Saldo
inicial
4% Juro
simples
Saldo
final
1
1.000,00
+
=
1.040,00
2
1.040,00
+
=
1.080,00
3
1.080,00
+
=
1.120,00
4
1.120,00
+
=
1.160,00
30
2.160,00
+
=
2.200,00
O montante dos juros acumulados anualmente em cada um dos períodos de contagem dos
juros é constante e igual a 40,00 euros. /
Passamos agora à análise do valor final dum pagamento simples calculado com base na regra
de juros compostos. De acordo com esta regra, o montante do juro em cada período de
contagem dos juros é baseado nos valores do capital incial e dos juros já formados e
[8]
acumulados. Surge assim o juro formado sobre juros. Na nossa troca típica a um ano, o
capital inicial X(0) aumenta para um nível mais alto X(1) que inclui o montante J(0, 1) dos
juros que agora são calculados com base na regra de juros compostos.
.
Não há qualquer diferença no valor final X(1) usando a regra de juros simples ou a regra de
juros compostos porque o juro só está formado no final do período de um ano quando acaba
precisamente o processo de capitalização. A regra de juros compostos diz precisamente que o
juro formado num dado período só se junta ao valor do capital no fim do período de
contagem respectivo. Por esta razão, é indiferente escrever a expressão do cálculo do valor
final usando a taxa periódica ou a taxa anual que lhe corresponde porque neste caso são
iguais. Com efeito, tem-se sempre que: R(0, 1) = r(0, 1).
.
Vamos então de imediato para o nosso empréstimo ou depósito típico a dois anos, em que o
valor do principal X(0) cresce para o nível mais alto X(2) que inclui o montante J(0, 2) dos
juros calculados com base na regra de juros compostos. O empréstimo ou depósito a dois
anos inclui dois períodos de contagem dos juros.
J(0, 2) = J(0,1) + J(1, 2) = r(0, 2) ⋅ X(0) + r(0, 2) ⋅ [ X(0) + r(0, 2) ⋅ X(0)] .
 


J (0,1)
J (1, 2)
A regra de juros compostos define o valor do principal no início de cada período de contagem
dos
€ juros como sendo acrescido dos juros formados no período anterior. O total dos juros
formados num processo de capitalização com juros compostos pode ser decomposto no
montante formado com base no capital inicial mais o montante formado a partir dos juros
acumulados.
.
O factor de capitalização dum empréstimo ou depósito a dois anos com juros compostos
inclui por isso uma componente relativa ao juro sobre juros.
1+ R(0, 2) = 1+ 2 ⋅ r(0, 2) + r 2 (0, 2) = [1+ r(0, 2)] 2 .
€
[9]
Seja então agora um crédito a contado a dois anos do capital inicial de 1.000,00 euros em que
o juro é definido com base na taxa anual de 4 por cento capitalizada anualmente com base em
juros compostos no primeiro e no segundo período de contagem dos juros. O pagamento
simples X(2) devido ao fim de dois anos é o valor final do capital inicial de 1,000.00 euros
calculado agora com base na regra de juros compostos.
euros.
O valor final pode ser decomposto em três parcelas: (a) o capital inicial de 1.000,00 euros,
(b) 80,00 euros de juros simples, e (c) 1,60 euros de juro sobre juros.
Definição: Juro composto.
O montante J(0, t) do juro composto formado com base num capital inicial X(0) ao fim de t
unidades de tempo, à taxa r(0, t) de juro composta por unidade de tempo, é igual a:
J(0, t) = [ [1+ r(0, t)] t−1] ⋅ X(0) tal que
./
O factor de capitalização dum processo com o prazo inicial de t-anos usando a regra de juros
compostos é€igual ao valor do factor de capitalização do processo com o prazo inicial de um
ano elevado à t-ésima potência.
1+ R(0, t) = [1+ r(0, t)] t .
Esta expressão do factor de capitalização é útil para o cálculo do valor final de pagamentos
simples com prazos de um
€ ou mais anos que usam a regra de juros compostos. É menos útil
para o caso de trocas de dinheiro com prazos mais curtos abaixo de um ano.
Exemplo 2
Suponha que eu fiz uma aplicação de mil euros num depósito a 30 anos e que contratei a taxa
anual de 4 por cento na base da regra de juros compostos. Qual é o valor do saldo final do
depósito ao fim dos 30 anos do prazo?
Solução. Para calcular o valor do juro composto em cada período anual de contagem dos
juros, multiplica-se a taxa anual pelo valor do capital no início do período correspondente. O
valor do juro composto formado num determinado período deve ser de seguida adicionado ao
[ 10 ]
valor do capital no início do período respectivo para obter o valor do capital no início do
período seguinte. O quadro seguinte mostra o crescimento do saldo anual da conta.
Year
Initial
balance
4% Compound
interest
Final balance
1
1.000,00
+
=
1.040,00
2
1.040,00
+
=
1.081,60
3
1.081,60
+
=
1.124,86
4
1.124,86
+
=
1.169,86
30
3.118,65
+
=
3.243,40
A regras dos juros compostos estabelece que o valor do principal, que serve para calcular o
juro formado em cada período de contagem de juros, deve acrescer ao fim de cada periodo
pelo montante do juro formado no período anterior. /
Veja a diferença entre o valor final dum processo com um certo capital inicial, prazo e taxa
anual, usando a regra de juros compostos, e o valor final dum processo semelhante usando a
regra de juros simples. A razão desta diferença crescente à medida que o tempo passa tem
tão-só a ver com o crescimento da componente do juro sobre juro.
Já foi referido que somos frequentemente confrontados com a necessidade de calcular o valor
final duma troca de curto prazo. Por “curto prazo” entendem-se aqui os prazos até um ano.3
Um prazo curto abaixo de ano é representado na linha do tempo por uma fracção (própria) de
um ano que corresponde ao número exacto de dias do prazo a dividir pelo número de dias do
Ano Comercial aplicável. O juro é entendido como acumulado diariamente ao longo do prazo
da troca de dinheiro.
Seja então um crédito a contado de 1.000,00 euros com o prazo de seis meses e a vencer juros
à taxa simples de 4 por cento ao ano. Torna-se agora fundamental saber indicar a data em que
a troca tem início: é a data de início do processo de capitalização de curto prazo (empréstimo,
3
Há instrumentos financeiros ditos de curto prazo, que são usualmente conhecidos como instrumentos do
mercado monetário, cujos prazos iniciais podem ultrapassar a barreira de um ano. Por exemplo, o papel
comercial emitido por empresas em Espanha ou “pagarés” pode ter prazos iniciais até 18 meses.
[ 11 ]
depósito ou título de crédito). Suponha que o prazo de seis meses se inicia no dia 19 de
Março, e que portanto o final tem lugar seis meses depois no dia 19 de Setembro. Há que
contar o número exacto de dias do prazo.
dias.
O prazo de seis meses a inciar a 19 de Março é descrito como 184/360-avos de um ano.
Definição: Juro simples (prazos curtos).
O juro J(0, t) cujo principal X(0) vence ao fim de n dias à taxa r(0, n) de juro anual, é igual a:
onde
./
Quando se trata dum empréstimo ou depósito, em euros, com um prazo inferior a um ano, há
que contar o número exacto de dias do prazo. O juro J(0, n) cujo principal X(0), em euros,
vence ao fim de n dias à taxa anual r (0, n) de juro simples, vem dado por:
.
Recorde-se que a convenção Actual/360 é usada nos mercados do dinheiro em euros, em
dólares dos EUA, em francos Suíços, e nas moedas dos países Nórdicos.
O cálculo do montante X(1) do pagamento simples devido ao fim dos seis meses do prazo
iniciado em 19 de Março, faz-se usando a expressão geral anterior.
euros.
O valor final do capital inicial de mil euros ao fim dos seis meses iniciados em 19 de Março à
taxa anual de 4 por cento é igual a 1.020,44 euros, segundo a regra de juros simples.
Exemplo 3
Considere agora um crédito a contado de 1.000,00 libras esterlinas com o prazo de seis meses
a iniciar em 19 de Março e a vencer juros à taxa simples de 4 por cento ao ano. Qual é o valor
do saldo final da conta do empréstimo ao fim dos seis meses do prazo?
[ 12 ]
Solução. O montante X(1) do pagamento simples devido no final do prazo de seis meses é
calculado da mesma maneira excepto no uso do Ano Comercial de 365 dias que se aplica às
dívidas denominas em libras.
libras.
O valor final dum capital inicial de 1.000,00 libras ao fim dos seis meses do prazo iniciado
em 19 de Março à taxa anual de 4 por cento é igual a 1.020,16 libras. /
VALOR INICIAL
Há por vezes necessidade de conhecer o valor na data de hoje dum pagamento devido ou
esperado no futuro. Podemos querer calcular quanto deve ser posto de lado hoje para poder
acumular uma certa quantia ao fim dum certo período de tempo a uma dada taxa anual.
Definição: Valor inicial.
O valor inicial dum pagamento simples devido ou esperado no futuro, é a quantia em
dinheiro que deve ser aplicada de imediato para render juros a uma taxa determinada por
forma a igualar o valor do pagamento futuro ao fim dum certo prazo de tempo. /
O processo de cálculo do valor inicial dum pagamento simples devido ou esperado no futuro
é designado usualmente de actualização. O processo de actualização é com efeito o inverso
dum processo de capitalização. Em vez de se calcular o valor final duma quantia actual ou
corrente a uma dada taxa de juro, uma actualização permite determinar o valor inicial dum
pagamento futuro com base no pressuposto que há uma oportunidade para capitalizar este
valor inicial a uma certa taxa de retorno. Esta taxa de retorno é conhecida sob designações
variadas: taxa de desconto, custo de capital ou custo de oportunidade.
Considere então um empréstimo ou depósito a dois anos cujo montante X(2) do pagamento
final inclui o capital inicial e o juro formado ao longo do prazo respectivo. O valor inicial do
pagamento simples X(2) devido ou esperado ao fim de dois anos calcula-se invertendo a
expressão usada para calcular o valo final.
.
[ 13 ]
R(0, 2) é a taxa periódica de desconto sem risco aplicável a este processo com dois anos. A
taxa periódica de desconto é também calculada com base numa das duas regras de cálculo
dos juros. A regra de juros simples é usada quando o juro é calculado com base no valor do
capital inicial. A regra de juros compostos é usada quando o juro é calculado com base no
valor do capital inicial e dos juros eventualmente acumulados.
A expressão que descreve o cálculo dum valor inicial com base na regra dos juros simples é
fácil de construir.
.
Do mesmo modo, a expressão que descreve o cálculo dum valor inicial com base na regra dos
juros compostos é igualmente fácil de construir.
.
Exemplo 4
Qual é o valor inicial de 250.000,00 euros devidos daqui a 4 anos com base numa taxa anual
de desconto de 5 por cento, usando a regra dos juros compostos?
Solução. O montante X(4) = 250.000,00 euros do pagamento simples devido ao fim de quatro
anos é calculado através da generalização desta última expressão.
euros.
O valor inicial de 250.000,00 euros devido daqui a 4 anos é equivalente a 205.675,62 euros
em dinheiro hoje quando se usa uma taxa anual de desconto de 5 por cento. /
Sumário
O juro é a retribuição paga pelo devedor pelo uso temporário dum capital financeiro que
pertence ao credor. O juro simples é a retribuição que se calcula com base tão-só no capital
de tal modo que o juro entretanto acumulado não vence juros. O juro composto é o total do
juro simples mais o juro sobre juros.
[ 14 ]
Conceitos-chave
valor-tempo do dinheiro, time value of money, valor tiempo del dinero, Zeitert des Geldes,
valeur-temps de l’argent, valore del tempo nel denaro
capitalização, compounding, capitalización, Aufzinsung, capitalisation, capitalizzaazione
actualização, discounting, descuento, Abzinsung, actualisation, sconto
taxa de juro, interest rate, tipo de interés, Zinssatz, taux d’intérêt, tasso d’interesse
valor final, future value, valor futuro, Endwert, valeur finale, montante
valor inicial, present value, valor actual, Barwert, valeur actuelle, valore attuale
juro simples, simple interest, interés simple, Kapitalzinsen, intérêts simples, interesse
semplice
juro composto, compound interest, interés compuesto, Zinseszins, intérêts composés,
interesse composto
taxa de desconto, discount rate, tasa de descuento, Diskontsatz, taux d’escompte, tasso di
sconto
título de crédito, negotiable instrument, título-valor, Wertpapier, effet de commerce, titolo di
credito
Questões
1. Explique o que entende por valor-tempo do dinheiro.
2. Qual é a diferença entre o montante do juro simples dum título de crédito a um ano e
o montante do juro composto que lhe corresponde?
3. Qual é a diferença entre o montante do juro simples dum título de crédito a dois anos
e o montante do juro composto que lhe corresponde?
4. O conceito de valor inicial é o inverso do conceito de valor final. Explique.
Exercícios
1. Qual é o valor final de 100.000,00 euros ao fim de 10 anos investidos a uma taxa
anual de 21/2 por cento capitalizada anualmente, usando a regra de juros simples?
[ 15 ]
2. Qual é o valor final de 100.000,00 euros ao fim de 10 anos investidos a uma taxa
anual de 7/8 de um por cento capitalizada anualmente, usando a regra de juros
compostos?
3. Qual é o valor inicial dum pagamento simples de 200.000,00 euros daqui a 5 anos,
usando uma taxa anual de desconto de 4 por cento?
4. Qual é o valor inicial dum pagamento simples de 100.000,00 euros daqui a 92 dias,
usando uma taxa anual de desconto de 4 por cento?
Problemas
1. Suponha que acabei ser Avô e quero deixar à minha Neta uma apólice permitindo o
encaixe de 5.000,00 euros aos 21 anos de idade. Qual é o prémio mínimo que a
seguradora me vai propôr sabendo que as taxas de rentabilidade anual dos seus
investimentos para estes prazos têm sido de (a) 2 por cento? (b) 4 por cento? (c) 6 por
cento?
2. Suponha que estou a pensar reformar-me daqui a 40 anos e que quero subscrever uma
apólice com o valor de 50.000,00 euros a ser liquidada nessa altura. Qual é o prémio
mínimo que a seguradora me vai propôr sabendo que as taxas de rentabilidade anual
dos seus investimentos para estes prazos têm sido de (a) 4 por cento? (b) 8 por cento?
(c) 12 por cento?
3. Suponha que tenho em meu poder uma apólice que me dá o direito a encaixar
25.000,00 euros daqui a 15 anos mas que gostaria de ver descontada hoje. Qual é o
prémio mínimo que a seguradora me vai propôr sabendo que as taxas de rentabilidade
anual dos seus investimentos para estes prazos têm sido de (a) 3 por cento? (b) 6 por
cento? (c) 9 por cento?
N.B. São desde já agradecidas as correcções e as sugestões ou comentários a esta versão
ainda preliminar do texto. Muito obrigado.
Versão inicial: 30 de Maio. 1995.
Copyright (c) 2014. Francisco J. Comprido.
[ 16 ]
Figura 13.1 Pagamentos simples.
Figura 13.2 Renda.
Figura 13.3 Sequência de pagamentos variáveis.
Figura 13.4 Troca de dinheiro a um ano.
[ 17 ]
Figura 13.5 Troca de dinheiro a dois anos.
Figura 13.6 Valor final.
Figura 13.7 Valor inicial.