Lista exercícios 2 - GEM

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1. (Uepg 2013) Sendo p e q as raízes da função y = 2x 2 − 5x + a − 3, onde
1 1 4
+ = , assinale
p q 3
o que for correto.
01) O valor de a é um número inteiro.
02) O valor de a está entre −20 e 20.
04) O valor de a é um número positivo.
08) O valor de a é um número menor que 10.
16) O valor de a é um número fracionário.
2. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) Analise as afirmativas seguintes e classifique-as em V
(verdadeiro) ou F (falsa).
(
) Se p é um número inteiro, ímpar e p > 2, então o maior valor de x que satisfaz a
inequação −p ( x − p ) ≥ 2 ( 2 − x ) é sempre um número ímpar.
(
) Para todo m ∈ , o conjunto solução da equação 2mx − m ( x + 1) = 0 é S = {1} .
(
) Se a menor raiz da equação (I) x2 + ( m − 1) x − 3m = 0 e a menor raiz da equação (II)
2x 2 + 5x − 3 = 0 são iguais, então m é a outra raiz de (I).
Tem-se a sequência correta em
a) F – F – V
b) V – V – F
c) V – F – V
d) F – V – F
3. (G1 - epcar (Cpcar) 2013) A equação x = 3x + a2 + 3a, em que x é a incógnita e a ∈
que a < −3, possui conjunto solução S, S ⊂ .
Sobre S tem-se as seguintes proposições:
tal
I. Possui exatamente dois elementos.
II. Não possui elemento menor que 2.
III. Possui elemento maior que 3.
Sobre as proposições acima, são verdadeiras
a) apenas I e II.
b) apenas I e III.
c) apenas II e III.
d) I, II e III.
4. (Uftm 2012) Em uma balança de dois pratos de uma farmácia de manipulação, 10
comprimidos A estão perfeitamente equilibrados com 15 comprimidos B. Se um dos 10
comprimidos A for colocado no prato dos comprimidos B e um dos 15 comprimidos B for
colocado no prato que anteriormente tinha somente comprimidos A, este ficará com 40 mg a
menos que o outro. A relação entre as massas dos comprimidos A e B, em mg, é dada
corretamente por
a) B = A – 30.
b) B = A – 10.
c) A = B + 5.
d) A = B + 20.
e) A = B + 40.
5. (Ueg 2012) Em uma sala de cinema com 100 lugares, o valor do ingresso inteira custa R$
20,00, enquanto o valor da meia-entrada custa 50% da inteira. Em uma seção, em que foram
vendidos 80 meias e 20 inteiras, o faturamento foi de R$ 1.200,00. Se o proprietário da sala der
um desconto de 20% no valor da entrada, qual deve ser o número de pagantes com meiaentrada para que o proprietário tenha a sala cheia e o mesmo faturamento da seção anterior?
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a) 80
b) 50
c) 40
d) 20
6. (G1 - epcar (Cpcar) 2012) Sobre a equação kx −
x −1
= 1, na variável x, é correto afirmar
k
que
a) admite solução única se k 2 ≠ 1 e k ∈ ∗
b) NÃO admite solução se k = 1
c) admite mais de uma solução se k = –1
d) admite infinitas soluções se k = 0
2
7. (G1 - ifce 2012) Os números reais p, q, r e s são tais, que 2 e 3 são raízes da equação x +
2
px + q = 0, e –2 e 3 são raízes da equação x + rx + s = 0. Nessas condições, as raízes da
2
equação x + px + s = 0 são
a) –1 e 6.
b) –2 e 2.
c) –3 e 6.
d) 2 e 6.
e) –1 e 1.
8. (Espm 2012) Considere a operação ∅(n) que consiste em tomar um número n que está no
visor de uma calculadora, somá-lo com 12 e dividir o resultado por 5, aparecendo um novo
número no visor. Após certo número de vezes que essa operação é repetida, nota-se que o
número que aparece no visor não mais se altera, isto é, ∅(n) = n. Esse número é:
a) 3
b) 2
c) 5
d) 7
e) 1
9. (Uespi 2012) Um grupo de amigos divide a conta de um restaurante. Se cada um contribui
com R$ 13,00, faltam R$ 24,00; se cada um contribui com R$ 16,00, sobram R$ 12,00.
Quantos são os amigos?
a) 18
b) 16
c) 14
d) 12
e) 10
10. (Ufpb 2012) Uma usina, dispondo de 200 toneladas de lixo para o processo de reciclagem,
separou metais, vidros, plásticos, papeis e materiais orgânicos, obedecendo às seguintes
etapas:
• Na primeira, foram retirados os metais e os vidros, restando 160 toneladas;
• Na segunda, foram retirados, do que restou da etapa anterior, os papeis e os plásticos,
restando 100 toneladas;
• Na terceira, foram retirados, do que restou da etapa anterior, os materiais orgânicos, restando
ainda 20 toneladas;
• Na quarta, os metais foram separados dos vidros e verificou-se que o peso dos vidros era
igual a três vezes o peso dos metais;
• Na quinta, os plásticos foram separados dos papeis e verificou-se que o peso dos papeis era
igual a duas vezes o peso dos plásticos.
Considerando as etapas desse processo, julgue os itens a seguir:
( ) O peso dos materiais orgânicos corresponde a 40% do peso do montante inicial de lixo a
ser processado.
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(
(
(
(
)
)
)
)
A soma dos pesos dos metais e dos vidros é superior a 45 toneladas.
A soma dos pesos dos plásticos e papeis é inferior a 55 toneladas.
O peso dos metais é de 10 toneladas.
O peso dos plásticos é de 20 toneladas.
11. (Ufsj 2012) Deseja-se dividir igualmente 1.200 reais entre algumas pessoas. Se três
dessas pessoas desistirem de suas partes, fazem com que cada uma das demais receba, além
do que receberia normalmente, um adicional de 90 reais.
Nessas circunstâncias, é CORRETO afirmar que
a) se apenas duas pessoas desistissem do dinheiro, cada uma das demais receberia 60 reais.
b) com a desistência das três pessoas, cada uma das demais recebeu 150 reais.
c) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre oito pessoas.
d) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre cinco pessoas.
12. (G1 - ifpe 2012) Sérgio está fazendo um regime alimentar. Numa conversa com seu amigo
Olavo, este lhe perguntou: “Com quantos quilogramas você está agora?”. Como os dois são
professores de matemática, Sérgio lhe respondeu com o desafio: “A minha massa atual é um
número que, diminuído de sete vezes a sua raiz quadrada dá como resultado o número 44”.
Assinale a alternativa que apresenta a massa atual do Prof. Sérgio, em quilogramas.
a) 100
b) 110
c) 115
d) 121
e) 125
13. (G1 - utfpr 2012) Fulano vai expor seu trabalho em uma feira e recebeu a informação de
que seu estande deve ocupar uma área retangular de 12 m2 e perímetro igual a 14 m.
Determine, em metros, a diferença entre as dimensões que o estande deve ter.
a) 2.
b) 1,5.
c) 3.
d) 2,5.
e) 1.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Notações
: Conjunto dos números naturais;
: Conjunto dos números reais;
+
: Conjunto dos números reais não negativos;
i: unidade imaginária; i2 = −1 ;
P(A) : conjunto de todos os subconjuntos do conjunto A;
n(A) : número de elementos do conjunto finito A;
AB : segmento de reta unindo os pontos A e B;
arg z : argumento do número complexo z;
[a,b] = {x ∈ : a ≤ x ≤ b}
A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B}
A c : complementar do conjunto A;
n
∑ ak xk = a0 + a1x +a2 x2 + ... + an xn,n ∈
.
k =0
Observação: Os sistemas de coordenadas considerados são cartesianos retangulares.
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14. (Ita 2012) Considere um número real a ≠ 1 positivo, fixado, e a equação em x
a2x + 2βa x − β = 0,β ∈
Das afirmações:
.
I. Se β < 0 , então existem duas soluções reais distintas;
II. Se β = −1 , então existe apenas uma solução real;
III. Se β = 0 , então não existem soluções reais;
IV. Se β > 0 , então existem duas soluções reais distintas,
é (são) sempre verdadeira(s) apenas
a) I.
b) I e III
c) II e III.
d) II e IV.
e) I, III e IV.
15. (Ufpb 2011) Um produtor de soja deseja transportar a produção da sua propriedade até um
armazém distante 2.225 km. Sabe-se que 2.000 km devem ser percorridos por via marítima,
200 km por via férrea, e 25 km por via rodoviária. Ao fazer um levantamento dos custos, o
produtor constatou que, utilizando transporte ferroviário, o custo por quilômetro percorrido é:
• 100 reais mais caro do que utilizando transporte marítimo.
• A metade do custo utilizando transporte rodoviário.
Com base nessas informações e sabendo que o custo total para o produtor transportar toda
sua produção será de 700.000 reais, é correto afirmar que o custo, em reais, por quilômetro
percorrido, no transporte marítimo é de:
a) 200
b) 250
c) 300
d) 350
e) 400
16. (Fgv 2011) a) Demonstre que as duas equações abaixo são identidades.
1ª (x + y)2 − 2xy = x 2 + y 2
2ª (x + y) ⋅ [(x + y)2 − 3xy] = x3 + y 3
b) Um cavalheiro, tentando pôr à prova a inteligência de um aritmético muito falante, propôs-lhe
o seguinte problema: “Eu tenho, em ambas as mãos, 8 moedas no total. Mas, se eu conto o
que tenho em cada mão, os quadrados do que tenho em cada mão, os cubos do que tenho
em cada mão, a soma disso tudo é o número 194. Quantas moedas tenho em cada mão?”
Mesmo que você resolva o problema por substituição e tentativa, faça o que é pedido no
item C.
c) Expresse o problema mediante um sistema de duas equações com duas variáveis.
Resolva o sistema de equações usando, se julgar conveniente, as identidades do item (a).
17. (Ufsm 2011) Em uma determinada região do mar, foi contabilizado um total de 340 mil
animais, entre lontras marinhas, ouriços do mar e lagostas. Verificou-se que o número de
lontras era o triplo do de ouriços e que o número de lagostas excedia em 20 mil unidades o
total de lontras e ouriços. Pode-se dizer que o número de ouriços dessa região é
a) 30 mil.
b) 35 mil.
c) 40 mil.
d) 45 mil.
e) 50 mil.
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18. (Eewb 2011) Um professor aplica 50 testes a seus alunos. Cada aluno ganhou 4 pontos
para cada resposta certa e perdeu 1 ponto para cada resposta errada. Se Anna fez 130 pontos,
quantas perguntas ela acertou?
a) 14
b) 36
c) 26
d) 50
19. (Ufjf 2011) Uma mesa de massa total medindo 32kg foi construída utilizando-se dois
materiais: madeira e aço. Na confecção desse objeto, foi gasto o mesmo valor na compra de
cada material. Sabendo que o custo de cada quilograma de aço foi um terço do custo de cada
quilograma de madeira, qual a quantidade de aço utilizada na construção dessa mesa?
20. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Analise a alternativa abaixo, considerando todas as equações
na incógnita x, e, a seguir, marque a correta.
a) Na equação x 2 − mx + n = 0 ( m, n ∈
) , sabe-se que a e b são raízes reais. Logo, o valor
de ( a + b ) − ( a.b ) é, necessariamente, ( n − m ) .
b) Para que a soma das raízes da equação 2x 2 − 3x + p = 0 ( p ∈ ) seja igual ao produto
3
.
2
c) Se a equação 3x 2 − 3x + m = 0 ( m ∈
dessas raízes, p deve ser igual a
ser igual a −
) não possui raízes reais, então o valor de m pode
3
.
4
d) Uma das raízes da equação x 2 + Sx − P = 0
( S, P ∈ ) é o número 1, logo (S − P) é igual
a −1.
21. (G1 - epcar (Cpcar) 2011) Se a ∈
*
+
é raiz da equação na incógnita y,
1 − y 4 − y 2 = y − 1, então
a) 0 < a < 1
b) 1 < a <
3
2
3
<a<2
2
5
d) 2 < a <
2
c)
22. (Ufpr 2011) Durante o mês de dezembro, uma loja de cosméticos obteve um total de R$
900,00 pelas vendas de um certo perfume. Com a chegada do mês de janeiro, a loja decidiu
dar um desconto para estimular as vendas, baixando o preço desse perfume em R$ 10,00.
Com isso, vendeu em janeiro 5 perfumes a mais do que em dezembro, obtendo um total de R$
1.000,00 pelas vendas de janeiro. O preço pelo qual esse perfume foi vendido em dezembro
era de:
a) R$ 55,00.
b) R$ 60,00.
c) R$ 65,00.
d) R$ 70,00.
e) R$ 75,00.
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23. (G1 - ifal 2011) Sejam w e z dois números reais tais que a soma é 21 e o produto é -7.
1
1
Calcule o valor da expressão 2 + 2 .
w
z
445
a)
59
445
b)
49
455
c)
59
455
d)
49
435
e)
49
24. (G1 - col.naval 2011) Dois números reais não simétricos são tais que a soma de seus
quadrados é 10 e o quadrado de seu produto é 18. De acordo com essas informações, a única
opção que contém pelo menos um desses dois números é:
a) {x ∈ ℜ −1 ≤ x ≤ 1}
b) {x ∈ ℜ 1 ≤ x ≤ 3}
c) {x ∈ ℜ 3 ≤ x ≤ 5}
d) {x ∈ ℜ 5 ≤ x ≤ 7}
e) {x ∈ ℜ 7 ≤ x ≤ 9}
25. (Ufpb 2010) O colégio “Evariste Galois” distribui, na merenda, 400 refeições, contendo os
ingredientes arroz, feijão e carne, os quais pesam juntos, em cada refeição, 500 gramas.
Considere que em cada refeição:
• a quantidade de feijão é o dobro da quantidade de arroz;
• a quantidade de carne é 50 gramas menor que a quantidade de feijão.
Com base nesses dados, é correto afirmar que as quantidades, em quilogramas, de arroz,
feijão e carne, que são utilizadas para preparar as 400 refeições da merenda são
respectivamente:
a) 44 ; 88 e 68
b) 46 ; 92 e 62
c) 48 ; 96 e 56
d) 42 ; 84 e 74
e) 50 ; 100 e 50
26. (Enem 2010) Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de
folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu
que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo
seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se
comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma
quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
a) 476
b) 675
c) 923
d) 965
e) 1 538
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27. (Fgv 2010) A Lei de Execução Penal brasileira nº 7.210, de 1984, em seu Art. 126,
parágrafo 1º, diz que o condenado que cumpre pena em regime fechado ou semifechado
poderá remir, pelo trabalho, parte do tempo de execução da pena. Essa lei determina que a
contagem do tempo será feita à razão de 1 (um) dia de pena por 3 (três) de trabalho, o que
significa que, a cada três dias trabalhados, o condenado terá direito a redução de 1 dia em sua
pena.
Sem considerar os anos bissextos, responda às questões seguintes:
a) Se um réu for condenado a 8 anos de prisão e trabalhar por 3 anos, quanto tempo
permanecerá na prisão?
b) Sabendo que um réu foi condenado a uma pena de 11 anos e que ele trabalhará todos os
dias em que permanecer na prisão, sua pena será reduzida para quantos dias?
c) Considere um réu condenado a uma pena P, que trabalha a metade do tempo, em dias, que
estiver preso. Encontre uma expressão matemática que determine o tempo que o réu
permanecerá na prisão, em função de P.
28. (Enem 2010) O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto
em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um
só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na
passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do
segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo
salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e
considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
29. (G1 - utfpr 2010) Um indivíduo gastou
3
1
de seu salário em compras do mercado, de
8
6
1
do seu salário com despesas de saúde. Depois
9
destes gastos, ainda lhe restaram R$ 500,00 do seu salário. O salário deste indivíduo é de:
a) R$ 766,00.
b) R$ 840,00.
c) R$ 1000,00.
d) R$ 1250,00.
e) R$ 1440,00.
seu salário na educação de seus filhos e
30. (G1 - utfpr 2010) Considere três empresas, “A”, “B” e “C”. No mês passado a empresa “B”
3
teve o dobro do faturamento da empresa “A” e a empresa “C” teve do faturamento da
2
empresa “A”. Sabendo que as três empresas somaram um faturamento de R$ 4.500.000,00 no
mês passado, pode-se afirmar que o faturamento da empresa “A” naquele mês foi de:
a) R$ 1.000.000,00.
b) R$ 1.250.000,00.
c) R$ 1.500.000,00.
d) R$ 2.000.000,00.
e) R$ 4.500.000,00.
x −1 x − k
=
, na variável x, k é um parâmetro real. O produto dos
x−2 x−6
valores de k para os quais essa equação não apresenta solução real em x é
31. (Fgv 2010) Na equação
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a) 10.
b) 12.
c) 20.
d) 24.
e) 30.
32. (Ufpr 2010) João viaja semanalmente de ônibus e a esposa costuma ir de automóvel a seu
encontro na estação rodoviária de Matinhos, onde ele chega pontualmente, e ambos se
encontram exatamente às 18h. Um dia, João chega às 17h30min e resolve andar em direção a
sua casa pelo caminho que costuma seguir com a sua mulher, mas sem avisá-la. Encontramse no caminho, ele sobe no carro e os dois voltam para casa, chegando 10min antes do horário
de costume. Supondo que sua esposa viajou com velocidade constante e que saiu de casa no
tempo exato para encontrar o marido às 18h na estação rodoviária, assinale a alternativa que
apresenta o tempo, em minutos, que João andou antes de encontrar-se com ela.
a) 10.
b) 20.
c) 30.
d) 25.
e) 15.
33. (Pucmg 2010) Cada grama do produto P custa R$0,21 e cada grama do produto Q,
R$0,18. Cada quilo de certa mistura desses dois produtos, feita por um laboratório, custa
R$192,00. Com base nesses dados, pode-se afirmar que a quantidade do produto P utilizada
para fazer um quilo dessa mistura é:
a) 300g
b) 400g
c) 600g
d) 700g
34. (G1 - cp2 2010) O quebra-cabeça abaixo deve ser preenchido com os números de 1 a 12,
sem repetição. Nessa estrela, somando os seis números das pontas ou somando os números
de cada linha, obtém-se o mesmo resultado.
a) Determine os valores de A e de B.
b) A partir dos valores de A e B, obtidos no item acima, complete a figura com os números que
estão faltando para concluir a resolução do quebra cabeça.
35. (Uepg 2010) Um ciclista fez um percurso de 600 km, em n dias, percorrendo x quilômetros
por dia. Se ele tivesse percorrido 10 km a mais por dia teria gasto 3 dias a menos. Nessas
condições, assinale o que for correto.
01) O número de dias usados para percorrer os 600 km é um número par.
02) Ele fez o percurso em 30 dias.
04) Ele percorreu mais de 12 km por dia.
08) O número de quilômetros percorridos por dia é um número divisível por 8.
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36. (Espm 2010) Uma costureira pagou R$ 135,00 por uma certa quantidade de metros de um
tecido. Ao passar pela loja vizinha, notou que o metro desse mesmo tecido estava R$ 2,00
mais barato que na anterior. Comprou, então, um metro a mais do que na primeira compra,
gastando R$ 130,00. Considerando as duas compras, o total de metros de tecido que ela
comprou foi:
a) 15
b) 17
c) 19
d) 21
e) 23
37. (Fgv 2010) Deslocando-se a vírgula 4 posições para a direita na representação decimal de
um número racional positivo, o número obtido é o quádruplo do inverso do número original. É
correto afirmar que o número original encontra-se no intervalo real
3 
 1
,
a) 

10000
10000


3 
 1
b) 
,

 1000 1000 
3 
 1
c) 
,

 100 100 
1 3 
d)  , 
 10 10 
e) [1,3]
38. (Ibmecrj 2010) Um grupo de amigos, numa excursão, aluga uma van por 342 reais. Ao fim
do passeio, três deles estavam sem dinheiro e os outros tiveram que completar o total,
pagando cada um deles 19 reais a mais. O total de amigos era:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9
e) 10
39. (G1 - cp2 2008) A pizzaria MASSA NOSTRA oferece aos seus clientes cinco sabores de
pizza salgada (mussarela, portuguesa, calabresa, quatro queijos e palmito) e dois sabores de
pizza doce (chocolate e banana), sendo apresentadas em um único tamanho. As pizzas de um
mesmo tipo (doce ou salgadas) têm o mesmo preço.
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João Pedro convidou cerca de 30 pessoas para comer pizza em sua casa. Ele encomendou 12
pizzas, sendo 8 salgadas e 4 doces, e teve que pagar R$ 176,00. Mais tarde percebeu que o
número de pizzas que comprara era insuficiente para aquela quantidade de pessoas e,
retornando à pizzaria, comprou mais 3 salgadas e 2 doces, pagando mais R$ 72,00.
a) Sendo s o preço da pizza salgada e d o preço da pizza doce, escreva um sistema de duas
equações relacionando s e d.
b) Resolva o sistema, determinando os valores de s e d.
c) A pizzaria lançará um novo produto, a pizza Mix, onde metade da pizza é doce e a outra
metade é salgada. Quantas pizzas do tipo Mix esta pizzaria poderá oferecer em seu cardápio?
40. (Puc-rio 2008) Se
3 − (b b ). 3 + (b b ) = 1, então b é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d)
1
2
e)
1
3
41. (G1 - cp2 2008) O modelo a seguir representa uma piscina retangular que será construída
em um condomínio. Ela terá 4 metros de largura e 6 metros de comprimento. Em seu contorno,
será construída uma moldura de lajotas, representada pela área sombreada da figura a seguir.
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a) Considerando que a largura da moldura mede x metros, represente a área da moldura por
uma expressão algébrica.
2
b) Determine a medida x para que a moldura tenha área de 39 m .
42. (Puc-rio 2007) Um taxista trocou uma nota de 50 reais por notas de 2 reais e 5 reais num
total de 19 notas. Quantas notas de cada valor o taxista recebeu?
( ) 9 notas de 5 reais e 10 notas de 2 reais
43. (Fuvest 2007) Os estudantes de uma classe organizaram sua festa de final de ano,
devendo cada um contribuir com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos deixaram a
escola antes da arrecadação e as despesas permaneceram as mesmas, cada um dos
estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais. No entanto, o diretor, para ajudar,
colaborou com R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da festa?
a) R$ 136,00
b) R$ 138,00
c) R$ 140,00
d) R$ 142,00
e) R$ 144,00
a
44. (Ufpb 2007) Os 100 alunos da 2 série de uma escola foram separados em dois grupos, I e
II, para realizarem uma caminhada. Sabe-se que:
- apenas 10 alunos do grupo I e 5 do grupo II não chegaram ao destino;
- os alunos do grupo II que chegaram ao destino correspondem a 2/3 dos alunos do grupo I
que chegaram ao destino.
Nessas condições, considere as seguintes afirmativas:
I. O grupo I foi formado, inicialmente, por 51 alunos.
II. O grupo II foi formado, inicialmente, por 39 alunos.
III. Apenas 30 alunos do grupo II chegaram ao destino.
Está(ão) correta(s) apenas:
a) I
b) II
c) III
d) I e II
e) II e III
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45. (Ufla 2007) Em uma fazenda, é necessário transportar um número de sacos de cimento
utilizando cavalos. Colocando-se dois sacos de cimento em cada cavalo, sobram nove sacos e
colocando-se três sacos de cimento em cada cavalo, três cavalos ficam sem carga alguma.
Calcule o número de sacos de cimento e o número de cavalos.
46. (Pucmg 2007) Paulo possui o mesmo número de bovinos que Alex. Para que Paulo fique
com 248 cabeças de gado a mais do que Alex, este deve dar àquele um número x de seus
animais. Então, o valor de x é igual a:
a) 124
b) 186
c) 214
d) 248
47. (G1 - cp2 2007) Na sequência de figuras a seguir, temos círculos congruentes, brancos e
cinzas.
Suponha que essa sequência continue a formar figuras com o mesmo padrão.
a) Qual o total de círculos brancos da FIGURA 5?
b) Escreva uma expressão simplificada que represente o número de círculos brancos da
FIGURA N.
c) Qual a figura que tem 157 círculos brancos? Justifique sua resposta.
2
48. (Ufc 2007) Os reais não nulos p e q são tais que a equação x + px + q = 0 tem raízes ∆ e
1 - ∆, sendo que ∆ denota o discriminante dessa equação. Assinale a opção que corresponde
ao valor de q:
a) -1
b) -1/2
c) 1/4
d) 3/16
e) 7/8
49. (G1 - cp2 2007) Uma embalagem comporta bolas de tênis, dispostas em linhas e colunas,
sem nenhuma superposição, como indicado na figura.
Página 12 de 27
Em cada coluna cabem quatro bolas a menos que em cada linha.
a) Chamando de x o número de bolas em cada linha, escreva uma expressão que represente o
total de bolas na caixa.
b) Supondo, agora, que a caixa comporte ao todo noventa e seis bolas de tênis, determine
quantas bolas são colocadas em cada coluna.
50. (G1 - cftpr 2006) Num aniversário, um bolo foi distribuído entre 5 crianças. João ganhou
1/12 do bolo, Luiz ganhou a metade do que João, Maria ganhou 1/6 do bolo, Joana ganhou o
dobro de Maria e Jorge ganhou o restante do bolo. Então, pode-se afirmar que a fração do bolo
dada a Jorge foi:
a) 3/8.
b) 3/5.
c) 2/3.
d) 5/8.
e) 2/9.
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
02 + 04 + 08 + 16 = 30.
1 1 4
p+q 4
+ = ⇒
= ⇒ 3 ⋅ (p + q) = 4 ⋅ p ⋅ q
p q 3
p⋅q 3
O triplo da soma das raízes é igual ao quádruplo do produto das raízes
3.
−( −5)
a−3
27
= 4.
⇒ 15 = 4a − 12 ⇒ 4a = 27 ⇒ a =
⇒ a = 6,75.
2
2
4
[01] Falsa, 6,75 não é inteiro.
[02] Verdadeira, –20 < 6,75 < 20.
[04] Verdadeira, 6,75 > 0.
[08] Verdadeira, 6,75 < 10.
[16] Verdadeira, pois a = 27/4.
[C]
(Verdadeira)
−p ( x − p ) ≥ 2 ( 2 − x )
−px + p2 ≥ 4 − 2x
(2 − p) ⋅ x ≥ 4 − p2 (como p>2)
p2 − 4
p−2
x ≤p+2
x≤
Como p é impar, qualquer p + 2 também será ímpar.
(Falsa)
2mx – mx – m = 0
mx = m
x = 1 ( m ≠ 0)
Obs.: Se m = 0, a equação terá infinitas soluções.
(Verdadeira)
2
Determinando as raízes da equação 2x + 5x – 3 = 0, temos x= ½ ou x = –3.
Substituindo x = –3 na equação (I) x2 + ( m − 1) x − 3m = 0 , temos:
(–3) + (m – 1) ⋅ (–3) – 3m = 0
9 – 3m + 3 – 3m = 0
6m = 12
m=2
2
2
Fazendo m = 2 na equação (I), temos: x + (2 – 1) ⋅ x – 3 ⋅ 2 = 0 ⇒ x – 5x + 6 = 0, cujas raízes
são 2 e –3, concluindo então que m = 2 é raiz da equação (I).
2
Página 14 de 27
[C]
Condição: x ≥ 0
(
)
x = 3x + a2 + 3a ⇒ x 2 = 3x + a2 + 3 ⋅ a ⇒ x2 − 3x − a2 + 3 ⋅ a = 0
3 ± 2a + 3
Resolvendo a equação na incógnita x, temos: x =
2
x = a+3
x = −a
Como a + 3 < 0, concluímos que x = –a é a única solução possível.
Portanto, o conjunto solução possui apenas uma solução x = –a, contrariando a afirmação I.
Para a < –3, temos –a maior que 3; logo, as afirmações II e III estão corretas.
[D]
Sejam a e b, respectivamente, as massas dos comprimidos A e B.
De acordo com as informações, obtemos o sistema
10a = 15b
,

9a + b = 14b + a − 40
cuja solução é a = 60 e b = 40.
Portanto, a = b + 20.
[B]
20 ⋅ 0,8 = 16
10 ⋅ 0,8 = 8
x é o número de pagantes com meia entrada.
100 – x é o número de pagantes com entrada inteira.
Temos, então, a seguinte equação:
8x + (100 − x ) ⋅ 16 = 1200
−8x = −400
x = 50
[A]
kx −
x −1
k −1
= 1 ⇔ k 2 ⋅ x − x + 1 = k ⇔ x ⋅ (k 2 − 1) = k − 1 ⇔ x =
k
k2 − 1
2
Se k for diferente de 1, x é único.
Se k = 1, a equação possui infinitas soluções.
Se k = –1, a equação não possui solução.
Portanto, a alternativa [A] é a correta.
Página 15 de 27
[A]
2
x + px + q = 0, temos – p = 2+3 ⇒ p = –6 (soma das raízes).
2
x + rx + s = 0, temos s = –2.3 ⇒ s = –6 (produto das raízes).
2
2
Logo, x + px + s=0 ⇒ x – 5x – 6 = 0 ⇒ x = –1 ou x = 6.
[A]
n + 12
= n ⇔ 5n = n + 12 ⇔ 4n = 12 ⇔ n = 3.
5
[D]
Sejam n o número de amigos e c o valor da conta.
De acordo com as informações do enunciado, obtemos o sistema:
c = 13n + 24
.

c = 16n − 12
Portanto,
16n − 12 = 13n + 24 ⇔ n = 12.
V - F - F - V - V.
Massa de metais: x
Massa de vidros: 2x
Massa de plásticos: y
Massa de papéis: 2y
De acordo com o texto temos:
3x+ x = 200 – 160 ⇔ x= 10 toneladas e 3x = 30 toneladas.
2y + y = 160 – 110 ⇔ y = 20 toneladas e 2y = 40 toneladas.
(V) Pois 80/200 = 40%.
(F) 40 toneladas.
(F) 60 toneladas.
[C]
Seja n o número de pessoas que inicialmente fariam a divisão.
De acordo com as informações, obtemos
1200 1200
=
+ 90 ⇔ n2 − 3n − 40 = 0
n−3
n
⇒ n = 8.
[D]
Página 16 de 27
2
x = massa de Sérgio.
De acordo com o problema, temos:
x 2 − 7. x 2 − 44 = 0
x 2 − 7x − 44 = 0
Resolvendo a equação temos: x = 11 ou x =- 4 (não convém)
2
2
Portanto, a massa de Sérgio será: x = 11 = 121 kg
[E]
Para que o perímetro do retângulo seja 14, as dimensões deverão ser x e 7 – x.
Como a área (A) é 12, podemos escrever:
x ( 7 − x ) = 12
− x 2 + 7x − 12 = 0
x = 3 ⇒ 7 − 3 = 4
x 2 – 7x + 12 = 0 
x = 4 ⇒ 7 − 4 = 3
Portanto a diferença entre suas dimensões é 4 – 3 = 1.
[C]
( )
a2x + 2βa x − β = 0 ⇔ a x
2
+ 2.β.(a x ) − β = 0
Calculando o discriminante, temos:
Δ = 4β.(β + 1)
Δ < 0 ⇔ −1 < β < 0
Δ = 0 ⇔ β = 0 ou β=-1]
Δ>0 ⇔ β < -1 ou β > 0
I. (F) pois −1 < β < 0 a equação não admite raízes reais.
II. (V) se β = −1 a equação será a2x − 2a x + 1 = 0 ⇔ a x = 1 , ou seja, x = 0.
( )
III. (V) fazendo β = 0 temos a x
2
= 0 , como a é diferente de zero, esta equação não possui
solução.
IV. (F) o produto das raízes da equação y2 − 2βy − β = 0 é um número negativo logo
Página 17 de 27
Uma de suas raízes será negativa, assim a x terá apenas o valor positivo de y, o que sugere
que a equação terá apenas uma solução.
[C]
Custo por km:
Marítimo: x – 100
Férreo: x
Rodoviário: 2x
2000.(x – 100) + 200x + 25.2x = 700 000
2250x – 200 000 = 700 000
2250x = 900 000
x = 400
O valor por quilômetro do transporte marítimo será 400 – 100 = 300 reais.
Resposta
da
2
2
a) 1ª. (x + y) − 2xy = x + +2xy + y 2 − 2xy = x 2 + y 2 .
2ª.
questão
16:
x3 + y 3 = (x + y)(x 2 + y 2 − xy)
= (x + y)[(x + y)2 − 2xy − xy]
= (x + y)[(x + y)2 − 3xy].
b) Sejam x e y o número de moedas em cada mão.
Assim,
 x + y = 8
 x + y = 8
⇒ 2
⇒

2
2
3
3
2
3
3
 x + y + x + y + x + y = 194  x + y + x + y = 186
 x + y = 8
⇒

2
2
(x + y) − 2xy + (x + y)[(x + y) − 3xy] = 186
x + y = 8
 x + y = 8
⇒
⇒
 2
2
8 − 2xy + 8[8 − 3xy] = 186 64 − 2xy + 512 − 24xy = 186
x = 5 e y = 3
x + y = 8
x + y = 8 
⇒
⇒
⇒  ou
.
26xy = 390  xy = 15
x = 3 e y = 5

Portanto, o cavalheiro tem 5 moedas numa das mãos e 3 moedas na outra.
x = 5 e y = 3
 x + y = 8

c) 
⇒  ou
.
2
2
3
3
 x + y + x + y + x + y = 194 
x = 3 e y = 5
S = {(3, 5), (5, 3)}.
[C]
Lontras: 3x
Ouriços: x
Lagostas 3x + x + 20.000
Página 18 de 27
3x + x + 3x + x + 20.000 = 340.000
8x = 320.000
x = 40.000
[B]
x acertos.
50 – x erros
Portanto,
4.x - 1. (50 –x) = 130
4x + x = 130 + 50
5x = 180
x = 36
Logo, Anna acertou 36 testes.
Sejam ma e mm , respectivamente, as massas de aço e de madeira empregadas na confecção
da mesa.
Se c a e cm denotam, respectivamente, o custo de um quilograma de aço e um quilograma de
madeira, segue que:
ca =
1
⋅ cm e ma + mm = 32.
3
Sabendo que foi gasto o mesmo valor na compra de cada material, vem
1
⋅ c m = (32 − ma ) ⋅ c m
3
⇔ 4 ⋅ ma = 96
ma ⋅ c a = mm ⋅ c m ⇔ ma ⋅
⇔ ma = 24kg.
[D]
a) Falsa, pois ( a + b ) − ( a.b ) = m – n;
b) Falsa, pois
3 p
= ⇔p=3;
2 2
c) Falsa, pois Δ < 0 ⇔ ( − 3)2 − 4.3.m < 0 ⇔ 12m > 9 ⇔ m >
3
;
4
d) Correta, pois 12 + S.1 − P = 0 ⇔ S − P = −1 .
[B]
1 − y 4 − y2 = y − 1
1 − y 4 − y 2 = y 2 − 2y + 1 ⇔ y 4 − y 2 = y 2 − 2y ⇔ y 4 − y 2 = y 4 − 4y3 + 4y 2 ⇔
⇔ 4y 3 − 5y 2 = 0 ⇔ y 2 .(4y − 5) = 0 ⇔ y = 0(não convém) ou y =
5
= 1,25(convém)
4
Página 19 de 27
4
2
5
5
5
1 −   −   = − 1(verdade)
4
4
4
3
Portanto, a = 1,25 e 1 < a < .
2
Verificação:
[B]
Sejam n e p, respectivamente, o número de perfumes vendidos e o preço unitário do perfume
em dezembro. Desse modo,
n ⋅ p = 900
np = 900
n = 15
⇒
⇒ n ⋅ (n + 15) = 450 ⇒ 
.

(n + 5) ⋅ (p − 10) = 1000 p = 2n + 30
p = 60
[D]
1
w
2
+
1
z
2
=
z2 + w 2
2
(w.z)
=
(z + w)2 − 2zw
2
(w.z)
=
212 − 2.( −7)
( −7)
2
=
455
49
[B]
Sejam a e b dois números reais não simétricos.
De acordo com as informações do enunciado, obtemos o sistema
2
 2
a2 + b2 = 10 a + b = 10
⇒  2 18
.

2
b = 2
(a ⋅ b) = 18
a

Logo,
18
a2 + 2 = 10 ⇒ a4 − 10a2 + 18 = 0
a
⇒ (a2 − 5)2 = 7
⇒ a2 = 5 ± 7
⇒ a = ± 5 ± 7.
Daí,
b2 =
18
a
2
⇒ b2 =
18
⋅
5m 7
5± 7 5m 7
=
18(5 m 7)
18
⇒ b = ± 5 ± 7.
Como
7 ≅ 2,6, ± 5 + 7 ≅ ± 5 + 2,6 ≅ ± 7,6 e ± 5 − 7 ≅ ± 5 − 2,6 ≅ ± 2,4, então
1 < 2,4 < 4 ⇔ 1 < 2,4 < 2,
− 4 < − 2,4 < − 1 ⇔ −2 < − 2,4 < −1,
4 < 7,6 < 9 ⇔ 2 < 7,6 < 3 e
− 9 < − 7,6 < − 4 ⇔ −3 < − 7,6 < −2.
Portanto, como
2,4 e
7,6 ∈ 1 ≤ x ≤ 3, segue que a opção correta é a (b).
Página 20 de 27
[A]
Quantidade de arroz = x
Quantidade de feijão = 2x
Quantidade de carne= 2x – 50
x + 2x + 2x -50 = 500
5x = 550
x = 110g
Arroz = 110 g, feijão = 220g e carne 170g.
Para 400 refeições, temos 44 kg de arroz, 88 kg de feijão e 68 kg de carne.
[C]
500(0,65 + 0,60 + 0,20) + x.0,65 = 1000
0,65x + 725 = 1000
0,65x = 275
x = 423,076 (423 selos)
Logo, deverão ser comprados 923 (500 + 423) selos de R$ 0,65.
a) 3 anos de trabalho correspondem a um ano de redução, logo a pena será reduzida para
sete anos.
b) x anos na prisão
x
redução da pena.
3
x
33
x+
= 11 ⇔ 4x = 33 ⇔ x =
anos, aproximadamente 3011 dias.
4
3
c) x = tempo de prisão
1 x x
redução da pena. . =
3 2 6
x
6P
logo x + = P ⇔ 7x = 6P⇔ x =
7
6
[D]
x + (x – 1,2) + (x – 1,2 – 1,5) = 17,4
3x – 3,9 = 17,4
3x = 21,3
x = 7,1m
[E]
x−
3x x x
72 x − 27 x − 12 x − 8 x 36000
− − = 500 ⇔
=
⇔ 25 x = 36000 ⇔ x = 1440,00
8 6 9
72
72
[A]
Página 21 de 27
A + B + C = 4.500.000
A + 2A + 1,5A = 4.500.000
4,5A = 4.500.000
A = 1000 000
[E]
x deve ser diferente de 2 e de 6
2
2
x – 6x – x – 6 = x – xk -2x + 2k
x(k – 5) = 2k – 6
x=
2k − 6
4
= 2+
(k diferente de 5)
k −5
k −5
Observando o resultado, notamos que x será sempre diferente de 2, pois
4
será sempre
k −5
diferente de zero.
Se x = 6, termos k = 6.
Logo, o produto dos valores de k pedido é 5.6 = 30
[D]
X = tempo que João andou.
2.(30 – x) = 10
30 – x = 5
x = 25 min.
[B]
1000g
x gramas do produto P
(1000 - x)gramas do produto Q
x.0,21 + (1000 – x ) .0,18 = 192
0,21x + 180 – 0,18x = 192
0,03x = 12
x= 400 g
a) A + 7 + 8 + B = A + 9 + 5 + 2B ⇔ B = 1
com B = 1 temos B + 11 + 12 + 2B = 26
A + 7+ 8 + B = 26 ⇔ A = 10
b)
Página 22 de 27
04 + 08 = 12
600

 x= n

600
 x + 10 =
n
−3

600
600
2
+ 10 =
⇔600(n-3) + 10(n-3).n = 600n ⇔ n – 3n – 180 = 0 ⇔ n= -12 ou n = 15
n
n −3
Logo n = 15 e x = 40
Falso, 15 é ímpar.
Falso, em 15 dias
(04) Verdadeiro, 40 > 12
(08) Verdadeiro, 40 é divisível por 8
[C]
x = quantidade de tecido em metros da loja 1
x +1 = quantidade de tecido em metros da loja 2.
135 130
−
= 2 ⇔ 135( x + 1) − 130.x = 2 x.( x + 1) ⇔ 2 x 2 − 3 x − 135 = 0
x
x +1
Resolvendo, temos x = 9 ou x = -7,5 (não convém)
Logo, foram comprados 9 + 9 + 1 = 19m de tecido.
[C]
10.000x = 4.
1
4
2
⇔ x2 =
⇔x=
x
10000
100
[D]
X = Número de amigos.
Página 23 de 27
342
342
⇔ x.( x − 3) = 3.
⇔ x 2 − 3x − 54 = 0
x
19
Resolvendo temos x = 9 ou x = -6 (não convém)
( x − 3).19 = 3.
a) Observe o sistema a seguir:
8s + 4d = 176


 3s + 2d = 72

b) s=16 e d = 12
c) 10
[C]
Resposta
da
questão
41:
a) 4x + 20x
3
b) x =
2
x
2
[B]
[E]
[B]
18 cavalos e 45 sacos de cimento
[A]
a) 31
2
2
b) (N + 1) - N = N + N + 1
c) 12.
2
N + N + 1 = 157
2
N + N - 156 = 0 => N = 12 ou N = -13 (não convém)
[D]
2
a) x - 4 x
b) 8
Página 24 de 27
[A]
Página 25 de 27
Resumo das questões selecionadas nesta atividade
Data de elaboração:
Nome do arquivo:
12/03/2013 às 19:29
Lista de equações e problemas
Legenda:
Q/Prova = número da questão na prova
Q/DB = número da questão no banco de dados do SuperPro®
Q/prova
Q/DB
Matéria
Fonte
Tipo
1 ................. 118046 ............ Matemática ........ Uepg/2013 .............................. Somatória
2 ................. 120097 ............ Matemática ........ G1 - epcar (Cpcar)/2013 ........ Múltipla escolha
4 ................. 116726 ............ Matemática ........ Uftm/2012 ............................... Múltipla escolha
5 ................. 109916 ............ Matemática ........ Ueg/2012 ................................ Múltipla escolha
7 ................. 114490 ............ Matemática ........ G1 - ifce/2012 ......................... Múltipla escolha
8 ................. 114747 ............ Matemática ........ Espm/2012 ............................. Múltipla escolha
9 ................. 115281 ............ Matemática ........ Uespi/2012 ............................. Múltipla escolha
10 ............... 109216 ............ Matemática ........ Ufpb/2012 ............................... Verdadeiro/Falso
11 ............... 117298 ............ Matemática ........ Ufsj/2012 ................................ Múltipla escolha
12 ............... 112061 ............ Matemática ........ G1 - ifpe/2012 ......................... Múltipla escolha
13 ............... 118872 ............ Matemática ........ G1 - utfpr/2012 ....................... Múltipla escolha
14 ............... 110939 ............ Matemática ........ Ita/2012................................... Múltipla escolha
15 ............... 104127 ............ Matemática ........ Ufpb/2011 ............................... Múltipla escolha
16 ............... 100128 ............ Matemática ........ Fgv/2011................................. Analítica
17 ............... 104246 ............ Matemática ........ Ufsm/2011 .............................. Múltipla escolha
18 ............... 107059 ............ Matemática ........ Eewb/2011.............................. Múltipla escolha
19 ............... 107885 ............ Matemática ........ Ufjf/2011 ................................. Analítica
20 ............... 104929 ............ Matemática ........ G1 - epcar (Cpcar)/2011 ........ Múltipla escolha
21 ............... 104936 ............ Matemática ........ G1 - epcar (Cpcar)/2011 ........ Múltipla escolha
22 ............... 100766 ............ Matemática ........ Ufpr/2011 ................................ Múltipla escolha
23 ............... 102804 ............ Matemática ........ G1 - ifal/2011 .......................... Múltipla escolha
24 ............... 102213 ............ Matemática ........ G1 - col.naval/2011 ................ Múltipla escolha
25 ............... 95030 .............. Matemática ........ Ufpb/2010 ............................... Múltipla escolha
26 ............... 100296 ............ Matemática ........ Enem/2010 ............................. Múltipla escolha
27 ............... 91320 .............. Matemática ........ Fgv/2010................................. Analítica
28 ............... 100308 ............ Matemática ........ Enem/2010 ............................. Múltipla escolha
29 ............... 98211 .............. Matemática ........ G1 - utfpr/2010 ....................... Múltipla escolha
30 ............... 98214 .............. Matemática ........ G1 - utfpr/2010 ....................... Múltipla escolha
31 ............... 91520 .............. Matemática ........ Fgv/2010................................. Múltipla escolha
32 ............... 98439 .............. Matemática ........ Ufpr/2010 ................................ Múltipla escolha
33 ............... 92232 .............. Matemática ........ Pucmg/2010 ........................... Múltipla escolha
34 ............... 93053 .............. Matemática ........ G1 - cp2/2010 ......................... Analítica
35 ............... 90876 .............. Matemática ........ Uepg/2010 .............................. Somatória
36 ............... 97941 .............. Matemática ........ Espm/2010 ............................. Múltipla escolha
37 ............... 91471 .............. Matemática ........ Fgv/2010................................. Múltipla escolha
38 ............... 99401 .............. Matemática ........ Ibmecrj/2010 ........................... Múltipla escolha
40 ............... 77329 .............. Matemática ........ Puc-rio/2008 ........................... Múltipla escolha
42 ............... 74970 .............. Matemática ........ Puc-rio/2007 ........................... Verdadeiro/Falso
43 ............... 70627 .............. Matemática ........ Fuvest/2007 ............................ Múltipla escolha
44 ............... 82662 .............. Matemática ........ Ufpb/2007 ............................... Múltipla escolha
45 ............... 73163 .............. Matemática ........ Ufla/2007 ................................ Analítica
Página 26 de 27
46 ............... 74772 .............. Matemática ........ Pucmg/2007 ........................... Múltipla escolha
48 ............... 70128 .............. Matemática ........ Ufc/2007 ................................. Múltipla escolha
50 ............... 71160 .............. Matemática ........ G1 - cftpr/2006 ....................... Múltipla escolha
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Lista exercícios 2 - GEM

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