DÍZIMAS PERIÓDICAS – DOIS OLHARES: DO ENSINO MÉDIO E DO SUPERIOR

DÍZIMAS PERIÓDICAS – DOIS OLHARES:
DO ENSINO MÉDIO E DO SUPERIOR
NASCIMENTO, A.C.
[email protected]
WEBER, T. C.
[email protected]
MERLI, R. F.
[email protected]
Resumo: O trabalho se baseia na história da dízima periódica e em dois olhares
sobre ela sendo, o primeiro mostraremos como é ensinada na educação básica e
no segundo olhar mostraremos como é ensinado na educação superior. Nesta
mesma linha de raciocino o trabalho frisa o nível de complexidade que cada
maneira o singular possui.
Palavras-Chave: Educação Matemática, Representação decimal, Dízimas
periódicas.
Abstract: The work is based on the history of decimating periodic and two eyes
on it being the first show as taught in basic education and the second look will
show how it is taught in higher education. In this same line of reasoning work
emphasizes the level of complexity that each possesses the singular way.
Keywords: Mathematics Education, decimal representation, regular tithes.
1. Introdução
O presente trabalho aborda o tema dízima periódica, carregando consigo
a história das dízimas periódicas, sua representação na matemática e as
diferentes maneiras de se ensiná-la. Assim, de acordo com os Parâmetros
Curriculares Nacionais de Matemática para o ensino fundamental,
as dificuldades encontradas no processo de aprendizagem dos
números racionais, em especial, dos decimais finitos e infinitos
deve-se ao fato de que a aprendizagem dos números racionais
supõem rupturas com idéias construídas para os números
naturais. (BRASIL, 1998, p 67).
Convém ressaltar que é de extrema importância no ensino de
matemática, apresentar aos alunos de forma sucinta e descomplicada os números
racionais, com a finalidade de quebrar o paradigma de que esses números são
complicados. O foco principal é olhar para as diferentes representações de uma
dízima periódica, sendo assim faremos um retrospecto histórico.
2. História da dízima periódica
Dízima periódica é um numero racional e se origina de uma fração
geratriz. O número fracionário surgiu por volta de 3.000 a.C. , quando um antigo
faraó de nome Sesóstris repartiu o solo do Egito às margens do rio Nilo entre
seus habitantes, de modo que usavam cordas para fazer a medição e cuja
unidade medida usada era o tamanho da própria corda, por mais adequada que
fosse a unidade de medida, dificilmente cabia um número inteiro de vezes nos
lados do terreno. Foi por essa razão que os egípcios criaram um novo tipo de
número: o número fracionário. Representar um número por meio de uma fração
sempre foi um problema antigo da matemática, contudo, por volta de 800 d.c., os
hindus encontraram uma nova forma de representar os números, surgindo assim
os primeiros decimais, como aponta ALLAN (2007, p 465) ao dizer que,
Simon Stevin em 1585 foi quem realmente introduziu os decimais
no quotidiano, apesar de uma notação um pouco complicada.
(ALLAN, 2007, p.465)
Pode-se entender como noção decimal um processo infinito no sentido
que não termina nunca, é o caso de 1/5: se multiplicarmos o numerador desta
fração por potências sucessivas de 10 obtemos sempre o mesmo resto 1 e o
processo é periódico.(ALLAN, 2007).
Youssef (2009) define uma Dízima
Periódica como uma representação numérica, tanto decimal quanto fracionária,
onde existe uma seqüência finita de algarismos que se repetem indefinidamente.
Como exemplo, podemos citar: 2/7 = 0,285714285…
Vejamos como podemos representar uma fração numa perspectiva do
ensino médio e do ensino superior.
3. Olhando para a Dízima Periódica no Ensino Médio
Buscando entender a representação de uma dízima no Ensino Médio,
vejamos a seguinte situação retirada do livro “Novo olhar – Matemática”, de
Joamir Souza, na página 250:
− Determine a fração geratriz da dízima periódica 1,2525...
Para resolvê-la, utilizamos o seguinte algoritmo, ensinado no ensino
médio, de forma mecânica.
Chamando a dízima 1,252525... de x então temos: x= 1, 252525...(1)
De acordo com a quantidade de algarismos do período (no caso 2525...)
multiplica-se a dízima periódica por 10, 100 ou 1000. Assim, para esse problema
em questão, fazemos: 100x = 125, 252525... (2)
Subtraindo a segunda igualdade da primeira temos:
100 x =125,252525... - x=1, 252525...  99x=124  x=124/99
A explicação para esse algoritmo é a seguinte: chama-se a dízima de x,
pois é de simples compreensão já que x é o número fracionário que é necessário
encontrar.
Convém sublinhar que se multiplica o período da dízima porque se trata
de uma representação para frações com potências de 10, 100 e 1000 no
denominador da fração. Notemos que na representação decimal, a quantidade de
algarismos que fica à direita da vírgula é igual à quantidade de zeros do
denominador da fração correspondente, portanto, ao se subtrair uma igualdade da
outra, algoritmo interessante e implementado por Gauss, conseguimos eliminar a
parte periódica, ficando apenas os números não-periódicos.
4. Olhando para a Dízima Periódica no Ensino Superior
No ensino superior a dízima é ensinada fazendo uso de séries
geométricas convergentes. Thomas (2003) define uma série geométrica como
sendo a expressão
a + ar + ar2 + ar3 + ... + arn-1 + ... =
, em que ela convergirá
, se o | | < 1.
para um dado valor
Utilizando o mesmo exemplo anterior, mas com essa nova abordagem,
temos:
− Determine a fração geratriz da dízima 1, 252525...
Para resolvê-la utilizando como abordagem a série geométrica, fazemos:
1,252525...= 1+0,25+0,0025+0,000025+...=1+
Note que (
pois r =
e a1=
dada por 1 +
=
+
+
+
+...
+...) é uma série geométrica convergente,
· Logo a soma é dada por
.
+
=
=
=
. E a dízima é
Podemos escrever essa dízima como uma soma infinita do tipo 1,
252525...= 1+0,25+ 0, 0025+0, 000025+...
Como a quantidade de algarismos que fica à direita da vírgula é igual à
quantidade de zeros do denominador da fração correspondente temos:
1+
+
+
+ ...
Observe que as somas das parcelas formam uma Progressão
Geométrica1 (PG) de razão
·. A soma dos n primeiros de termos de uma PG
finita é definida por: Sn=∑
= a1 + a2 + a3 + ... + an, n ≥ 1
Assim, observamos que:
a2 = a1.q  a3 = a2.q ⇒ a3 = a1.q.q ⇒a3 = a1.q2  a4 = a3.q ⇒ a4 =
a1.q2.q ⇒ a4 = a1.q3  an = an – 1.q ⇒ an = a1.qn – 1.q ⇒ an = a1.qn – 1
Fazendo
.(
)
as
devidas
alterações
algébricas,
chegamos
que
Sn=
.Quando temos uma PG infinita cuja razão é maior que −1 < q <1, é
possível determinar uma fórmula que permite calcular o limite dos termos dessa
PG. Analisando a fórmula Sn= a1.
observe que, à medida que n cresce
indefinidamente qn aproxima-se de zero já que −1 < q < 1. Em outras palavras, à
medida que n→+∞ (lê-se: n tende ao infinito) qn→0 (lê-se qn tende a zero) ou seja,
: lim qn = 0. Logo, : lim Sn =
→
=
lim
→
→
(
)
, isto é : lim Sn =
Vejamos por exemplo, a PG .
+
→
+
, 0<|q|<1 .
+... em que a1 =
eq
. A fração correspondente a 1,252525... é o limite da soma dessa PG infinita
=
=
=
=
= 1+
=
.
De acordo com BRASIL (1999),
Para o aprendizado cientifico matemático e tecnológico, a
experimentação, seja ela de demonstração, seja de observação e
manipulação de situações e equipamento do cotidiano do aluno e
até mesmo laboratorial, propriamente dita é destinada daquela
conduzida para a descoberta cientifica e é particularmente
importante quando permite ao estudante diferentes e
concomitantes formulas de condição qualitativa e quantitativa, de
1
Chamamos de progressão geométrica (PG) toda sequência numérica em que, a partir do
2º termo, o quociente entre um termo e seu antecessor é igual a uma constante,
chamada razão de progressão e indicada por q. (SOUZA, 2010, p. 237)
manuseio, observação, confronto, duvida e de construção
conceitual.(BRASIL, 1999, p. 266).
Vale ressaltar que a dízima periódica quando é resolvida por meio de
séries os alunos têm que identificar o período da dízima, para então multiplicar a
dízima por 10, 100, 1000, ... com a finalidade de deslocar a vírgula de modo a
posicioná-la imediatamente antes do primeiro período e na sequência os alunos
fazem a subtração das igualdades. Já quando se usa progressão geométrica para
determinar uma fração geratriz os alunos apenas têm que identificar o primeiro
termo e a razão da sequência e em seguida aplicar na fórmula Sn =
.
Depois destas breves noções preliminares é de extrema importância que
o professor passe para seus alunos um ensino livre, com oportunidade de
escolhas de representação.
5. Conclusão
Com este trabalho, pudemos investigar que o conteúdo de dízimas
periódicas pode ser explicado por mais de uma maneira, sendo que, talvez, o
método utilizado no ensino possa melhorar e aperfeiçoar o modo como os alunos
‘enxergam’ esse conteúdo, desta forma é importante que o professor possibilite
ao aluno as duas maneiras de encontrar uma fração de dízima periódica,
deixando a seu cargo, a escolha de problemas posteriores.
6. Referências
SOUZA, J. Novo olhar matemática. 1. ed. São Paulo: FTD, 2010.
COSTA, C. P. D.PG. Disponível em: <http://clmd.ufpel.edu.br/eixos/index.php/
semana-6/55>.Acesso em: 29 set 2012.
NELO D, A. Decimais infinitos. Disponível em: <http://www.rbhm.org.br/issues
/RBHM%20-%20Festschrift/38%20-%20Nelo%20-%20final.pdf>. Acesso em: 22
set 2012.
YOUSSEF, A. N. Dízima Periódica. Disponível em:<http://www.infoescola.com/
matematica/dízima-periodica/>. Acesso em: 22 set 2012.
THOMAS, G. B. Cálculo, volume 2, 10. ed. São Paulo: Pearson Addison Wesley,
2003.
BONJORNO,J.R.Matemática:fazendo a diferença.1. ed. São Paulo: FTD, 2006.