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Resolução da Prova
Resolução P1 de VGA - Eng. Ambiental Prof. E.T.Galante 1. (2,0 pontos) Seja OABC um tetraedro e M o ponto médio do segmento BC. −→ −−→ −→ (a) Os vetores (OA, OB, OC) formam uma base de V 3 ? Justifique sua resposta; Resp: −→ −−→ −→ A sequência de vetores (OA, OB, OC) É SIM uma base, pois é uma sequência LI de três vetores. É LI porque os vetores não são paralelos a um mesmo plano, porque caso fossem, não formariam um TETRAEDRO. −−→ (b) Determine as coordenadas de AM nesta base. Resp: −−→ −→ −−→ AM = AB + BM −−→ −→ −−→ AM = AC + CM −−→ −→ −−→ −→ −−→ 2AM = AB + BM + AC + CM −−→ −→ −→ −−→ −−→ 2AM = AB + AC + BM + M B −→ −→ −−→ AB + AC AM = 2 Agora note que: −→ −−→ −→ AB = OB − OA −→ −→ −→ AC = OC − OA Portanto: −−→ −→ −→ −→ −−→ OB − OA + OC − OA AM = 2 −→ −−→ −→ −−→ −2OA + OB + OC AM = 2 −−→ −→ 1 −−→ 1 −→ AM = −OA + OB + OC 2 2 −−→ 1 1 AM = −1, , 2 2 1 2. (2,0 pontos) Exercı́cio resolvido no livro do Boulos. [Cf. pág. 20, Cap. 4, 2a Edição do Boulos] 3. (2,0 pontos) Demonstração feita no livro do Boulos e na lousa em sala de aula. [Cf. pág. 42, Cap. 6, 2a Edição do Boulos] → − → − → − − − − 4. (2,0 pontos) Sejam E = (→ e1 , → e2 , → e3 ) e F = ( f1 , f2 , f3 ) bases de V 3 tais que: → − − − f1 = 2→ e1 − → e3 → − − − f2 = → e2 + 2→ e3 − → − f = 7→ e 3 3 (a) Obtenha a matriz de mudança de base de E para F ; Resp: A matriz M de mudança de base de E para F é: 0 0 M = 0 1 0 −1 2 7 2 − − − − (b) Escreva → w =→ e1 + → e2 + → e3 como combinação linear dos vetores da base F . Resp: A matriz M do item anterior multiplica vetores na base F e dá como resultado as coordenadas deste vetor na base E. Agora precisamos de uma matriz que faça o contrário disso, ou seja, que − multiplique as coordenadas de → w na base E e dê como resposta − as coordenadas de → w na base F . Esta matriz é a inversa M −1 . M −1 = 1/2 0 0 1 0 1/14 −2/7 1/7 − Multiplicando M −1 · → w E obtemos: 2 0 1/2 0 0 1 1/2 0 1 0 1 · 1 = 1 −1/14 1/14 −2/7 1/7 → − → − → − − Portanto → w F = (1/2) f1 + 1 f2 + (−1/14) f3 . π − − 5. (2,0 pontos) A medida em radianos do ângulo entre → u e → v é . 4 √ − − Sabendo que ||→ u || = 5 e ||→ v || = 1, ache a medida em radianos do − − − − ângulo entre → u +→ v e→ u −→ v. Resp: Lembremos das fórmulas → − → − a · b cos(θ) = → − − ||→ a |||| b || − a || = e ||→ √ → − − a ·→ a → − − − − − − Assim, fazendo → a =→ u +→ v e b =→ u −→ v , vem que: − − − − (→ u +→ v ) · (→ u −→ v) cos(θ) = → − → − → − → − || u + v |||| u − v || → − − − − − − − − u ·→ u −→ u ·→ v +→ v ·→ u −→ v ·→ v p =p→ − → − → − → − → − → − → − − (u + v)·(u + v) (u − v)·(u −→ v) − − ||→ u ||2 − ||→ v ||2 p =p → − − − − − − − ||− u ||2 + 2→ u ·→ v + ||→ v ||2 ||→ u ||2 − 2→ u ·→ v + ||→ v ||2 5−1 r =r π √ √ π 5 + 2. 5.1. cos + 1 5 − 2. 5.1. cos +1 4 4 =r 4 r √ √ 2 5 + 2. 5.1. +1 2 √ √ 2 5 − 2. 5.1. +1 2 4 4 4 =p =√ √ p √ =√ 2 6 − 10 26 6 + 10 6 − 10 3 Portanto: θ = arccos 4 √ 26 − − 6. (2,0 pontos) Considere os vetores → u = (1, 0, 2), → v = (1, −1, −1) e → − w = (−2, 2, m + 1). − − − − (a) Determine um vetor → p paralelo a → u tal que → p ·→ v = 7; → − → − → − → − Resp: p paralelo a u ⇒ p múltiplo de u . Assim: → − − p = λ→ u = λ(1, 0, 2) = (λ.1, λ.0, λ.2) = (λ, 0, 2λ) − − Vamos agora impor → p ·→ v = 7: (λ, 0, 2λ) · (1, −1, −1) = 7 ⇒ λ.1 + 0.(−1) + 2λ.(−1) = 7 ⇒ λ + 0 − 2λ = 7 ⇒ λ = −7 − Portanto → p = (−7, 0, −14). − − − (b) Determine um valor de m para que os vetores → w −→ u e→ v sejam ortogonais. − − − − − − Resp: → w −→ u ⊥→ v ⇐⇒ (→ w −→ u)·→ v = 0. Dessa forma: − − − (→ w −→ u)·→ v = [(−2, 2, m + 1) − (1, 0, 2)] · (1, −1, −1) = (−2 − 1, 2 − 0, m + 1 − 2) · (1, −1, −1) = (−3, 2, m − 1) · (1, −1, −1) = −3.1 + 2.(−1) + (m − 1).(−1) − − − = −3 − 2 − m + 1 = −m − 4. Assim: (→ w −→ u)·→ v = 0 ⇐⇒ −m − 4 = 0 ⇐⇒ m = −4. Portanto: m = −4. 4
