6 - Flávio D. Marques

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SEM 501
Dinâmica Aplicada às Máquinas
TEORIA 6
Prof. Assoc. Flávio D. Marques
http://www.eesc.usp.br/fmarques/
[email protected]
Universidade de São Paulo
Escola de Engenharia de São Carlos
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Prof. Flávio D. Marques
Dinâmica Aplicada às Máquinas – SEM/EESC/USP
Dinâmica – ponto material e corpos rı́gidos
Força e Aceleração – equação de movimento plano;
Trabalho e Energia;
Impulso e Quantidade de Movimento;
Momento Angular e Movimento Giroscópico (tridimensional);
Esta aula ...:
Dinâmica de um Ponto Material
FORÇA E ACELERAÇÃO
Leis de Newton para o movimento;
Equação de movimento;
Equação de movimento para um sistema de pontos materiais;
Equação de movimento: coordenadas cartesianas;
Equação de movimento: coordenadas tangencial e normal;
Equação de movimento: coordenadas cilı́ndricas.
Dinâmica de um ponto material – força e aceleração (cont.)
Leis de Newton para o movimento
Primeira Lei: Um ponto material permanecerá em repouso ou movimento
retilı́neo com velocidade constante, se nenhuma força agir
sobre ele.
Segunda Lei: Um ponto material submetido a uma força experimenta
uma aceleração de mesma direção e sentido da força, com
módulo proporcional à intensidade da força.
Terceira Lei: As forças mútuas de ação e reação entre dois pontos materiais
têm a mesma intensidade, a mesma direção (co-lineares) e
sentidos opostos.
Força: agente externo que induz ou
modifica o movimento de um corpo.
A Primeira e Terceira leis de Newton têm
impacto importante nos conceitos de
Estática.
Isaac Newton, 1643–1727, Inglaterra
A Segunda Lei de Newton
a
F
P
Para um ponto material P de massa m,
F = ma = mv̇ = mr̈
m (massa)
r (posição)
v (velocidade)
a (aceleração)
F (força)
S.I. (mks)
kg
m
m/s
m/s2
N
F.P.S.
slug
ft
f t/s
f t/s2
lb
Lei de Newton para atração gravitacional
F =G
m1 m2
r2
F
m1
F
m2
m
r
3
m
onde G = 66, 73 × 10−12 ( kgs
2 ).
Para mT (massa da Terra) >>> m
(massa de uma pessoa) e r = 6.371km,
então
mT m
GmT
F =G 2
⇒ F =
m
r
r2
ou
F = gm ⇒ W = mg
T
= 9, 81 sm2 .
onde g = Gm
r2
mT
A Equação do Movimento
FR =
Diagrama de
Corpo Livre
X
F = ma
Diagrama
Dinâmico
Princı́pio de d’Alembert
Jean le Rond d’Alembert, 1717-1783, França
X
F
| {z }
−
vetor de força resultante
ma
|{z}
=0
vetor de forças inerciais
equilı́brio dinâmico
Referencial Inercial ou Newtoniano
Definição: é o sistema de referência fixo ou em movimento de
translação com velocidade constante.
z
y
O
x
A equação do movimento só é válida quando aplicada em relação a um
sistema de referência inercial.
Equação do Movimento para um
sistema de partı́culas
Seja uma coleção de pontos materiais
interagindo:
Somando vetorialmente todas as
equações do movimento para os
pontos materiais da coleção:
X
Como
X
A Equação do movimento para o
i-ésimo ponto material é
Fi +
fi
|{z}
= mi ai
força interna
P
Fi =
Fi +
X
fi =
X
mi ai
fi = 0, então,
X
mi ai ⇒
X
F = maG
ou seja, a soma das forças externas
que agem no sistema é igual a massa
total dos pontos materiais
multiplicada pela aceleração de seu
centro de massa.
Equação do Movimento: Coordenadas Cartesianas
Fz
z
Fy
y
Fx
O
Referêncial
Inercial
x
FR = ma ⇒ Fx + Fy + Fz = m (ax + ay + az )
X
Fx i +
X
Fy j +
X
Fz k = m (ax i + ay j + az k)
Equação do Movimento:
Coordenadas Normal e Tangencial (n–t)
Coordenadas n-t são convenientes para tratar problemas de movimento ao longo de
trajetórias curvilı́neas conhecidas.
X
X
Ft u t +
|
Fn un = m (at ut + an un )
{z }
força centrı́peta
Portanto,
dv
dt
X
Ft = mat = m
X
Fn = man = m
v2
ρ
NOTA: observar que a componente binormal é nula.
Equação do Movimento: Coordenadas Cilı́ndricas
Coordenadas cilı́ndricas são convenientes em problemas onde o movimento angular de
uma linha radial são conhecidos.
X
Fr ur +
X
Fθ uθ +
X
Fz uz = m (ar ur + aθ uθ + az uz )
Portanto,
X
X
Fr = mar = m(r̈ − rθ̇2 )
Fθ = maθ = m(rθ̈ + 2ṙθ̇)
X
Fz = maz = mz̈
D. Marques
Aplicada às Máquinas
– SEM/EESC/USP
NOTA: observar que em Prof.
geralFlávio
tem-se
uz ≡ kDinâmica
da representação
cartesiana.
Resolvendo Problemas ...
Escolha da representação das coordenadas:
cartesianas, n-t, cilíndricas
Diagrama de Corpo Livre
DCL
Diagrama Dinâmico
DD
Equação do Movimento
(aplicação da 2a. Lei de Newton)
Cinemática
(aceleração, velocidade, posição)
m
3
c 4
Dinâmica dea um
2ponto material – força e aceleração (cont.)
s
kN
3
10 N
(1) Seja
um guindaste levantando
Solution:
uma massa M = 700kg com uma
ation, Inc., Upper Saddle River,c NJ. All rights reserved.
2T inicial a M=
g 3m/s
M a 2 . Qual
aceleração
as they currently
exist. No portion
2
2of this material may
c
b
without permission
in writing
publisher.
é a força
em from
cadathecabo
nesta
condição?
(b
=
3
e
c
=
4)
2
2
ers of the Hibbeler series of books.
ial acceleration a.
ng cables due to
T
M( a
g)
T
5.60 kN
DCL e DD:
c
b
2c
c
2T √
− Mg = Ma
b 2 + c2
∴
T =
1
M (a + g)
2
√
b2 + c2
c
T = 5.6kN
!
(2) Um caixote de 50kg está em repouso num plano horizontal (coeficiente de
atrito µ = 0, 3). Se uma força P = 400N passa a atuar, determinar a
velocidade do caixote após 3s depois de ter deixado o repouso. Admitir que o
caixote desloca-se apenas na horizontal (g = 9, 81m/s2 ).
P=400N
30°
Admitindo coordenadas cartesianas, seja o DCL e DD:
W
400N
DCL
30°
Nc
F=µNc
ma
=
y, j
DD
x, i
... continuação de (2)
X
X
X
F = ma ⇒
Fx i +
Fy j = m (ax i + ay j)
(400 cos 30◦ − µNc ) i + (Nc − W + 400 sin 30◦ ) j = 50ax i
Então,
Nc = 290, 5N
e
ax = 5, 19m/s2
Cinemática: observa-se que ax é constante, portanto:
v = v0 + ax t ⇒ v = 0, 0 + 5, 19(3)
v = 15, 6m/s
em termos vetoriais,
v = 15, 6i (m/s)
(3) No instante em que θ = 60◦ , o centro de massa G do menino tem
velocidade de vG = 15f t/s. Determinar a tensão nas cordas do balanço. O
menino pesa 60lb (32, 2f t/s2 ).
2T
DCL
manun
θ
θ
G
G
vG
n
t
n
matut t
W
Portanto,
60 cos 60◦ = (
at =
X
Ft ut +
X
Fn un = m (at ut + an un )
onde: at = v̇ e an = (v 2 /ρ)
60
)at
32, 2
dv
= 16, 1f t/s2
dt
2T − 60 sin 60◦ = (
60
152
)(
)
32, 2 10
T = 46, 9lb
DD
de um
ponto
material
– Inc.,
força
aceleração
(cont.)
© Dinâmica
2007 R. C. Hibbeler.
Published
by Pearson
Education,
UppereSaddle
River, NJ. All
rights reserved.
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For the exclusive
use ofdesliza
adopters para
of the Hibbeler
of books.
(4) O menino
de 40kg
baixo series
no escorregador
helicoidal a uma
velocidade
escalar
constante.
A
posição
medida
do
topo
do
brinquedo tem
*Problem 13-88
componentes r = 1, 5m, θ = (0, 7t)rad e z = (−0, 7t)m, com t dado em
The segundos.
boy of mass M Determinar
is sliding down the
slide at a constant
suchdescritas
that his position,
as spiral
componentes
dasspeed
forças
em coordenadas
measured from the top of the chute, has components r = r0, = bt and z = ct. Determine the
cilı́ndricas para o instante de tempo t = 2s. Admitir o menino como um ponto
the slide exerts on him at the instant t = t1. Neglect
components of force F r, F and Fz which
material (g = 9, 81m/s2 ).
the size of the boy.
Given:
M
40 kg
r0
1.5 m
b
0.7
c
0.5
t1
2s
g
9.81
rad
s
m
s
m
2
s
Solution:
r
r0
r'
m
Prof.
0 Flávio D. Marques
r''
0
m
beler. Published by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ. All rights reserved.
rotected under all copyright laws as they currently exist. No portion of this material may
ed, in any form or by any means, without permission in writing from the publisher.
... continuação de (4)
For the exclusive use of adopters of the Hibbeler series of books.
X
3-88
Fr ur +
X
Fθ uθ +
mass M is sliding down the spiral slide at a constant speed such that his position,
m the top of the chute, has components r = r0, = bt and z = ct. Determine the
of force F r, F and Fz which the slide exerts on him at the instant t = t1. Neglect
e boy.
X
Fz uz = M (ar ur + aθ uθ + az uz )
DCL
Mazuz
kg
5m
Marur
rad
s
Maθuθ
m
5
s
DD
s
1
m
2
s
r
z
r0
r'
bt
'
ct
z'
0
b
c
m
s
r''
0
''
0
z''
0
m
2
ar = r̈ − rθ̇2 ;
aθ = rθ̈ + 2ṙθ̇ ;
az = z̈
s
rad
F2 r = M (r̈ − rθ̇2 ) = 40 0 − (1, 5)(0, 5)2 = −29, 4N
s
m
F
2 θ = M (r θ̈ + 2ṙ θ̇) = 40 [(1, 5)(0) + 2(0)(0, 7)] = 0, 0
Fz − M g = M z̈ ⇒ Fz = 40(9, 81) = 392N
s
r''
M r ''
r '
2
2r' '
Fr
F
29.4 N
0.00
Sumário da aula:
Dinâmica de um Ponto Material – Força e Aceleração
Leis de Newton para o movimento;
Equação de movimento;
Equação de movimento para um sistema de pontos materiais;
Equação de movimento: coordenadas cartesianas;
Equação de movimento: coordenadas tangencial e normal;
Equação de movimento: coordenadas cilı́ndricas.
Esta aula: Capı́tulo 13 (exceto seção 13.7).
Exercı́cios sugeridos: 13.12, 13.32, 13.44, 13.50, 13.56, 13.68, 13.79,
13.96, 13.108.
Bibliografia: Hibbeler (2005), 10a edição.
That’s all folks!

6 - Flávio D. Marques

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