Outono de 2008 - Sociedade Portuguesa de Estatística

Transcrição

Boletim
Publicação semestral
Outono de 2008
Processos Estocásticos
Séries temporais e decisão dinâmica
Nazaré Mendes Lopes ....................................................................... 26
Processos estocásticos aplicados às finanças
João Nicolau ...................................................................................... 35
Algumas noções de dependência positiva
Paulo Eduardo Oliveira ..................................................................... 43
Processos estocásticos em dinâmica de estrutura de engenharia
Paula Milheiro Oliveira .................................................................... 53
Equações diferenciais estocásticas e aplicações biológicas
Carlos A. Braumann .......................................................................... 61
Editorial ............................................................... 1
Mensagem do Presidente ...................................... 2
Notícias ................................................................ 3
Episódios na História da Estatística ................... 11
SPE e a Comunidade ............................................ 13
Ciência Estatística
• Artigos Científicos Publicados ................ 70
• Livros ...................................................... 70
• Teses de Doutoramento ............................ 71
• Prémios Estatístico Júnior 2008 ............... 72
Este Boletim tem o apoio da
Informação Editorial
Endereço: Sociedade Portuguesa de Estatística.
Campo Grande. Bloco C6. Piso 4.
1749-016 Lisboa. Portugal.
Telefone: +351.217500120
e-mail: [email protected]
URL: http://www.spestatistica.pt
ISSN: 1646-5903
Depósito Legal: 249102/06
Tiragem: 1000 exemplares
Execução Gráfica e Impressão: Gráfica Sobreirense
Editor: Fernando Rosado, [email protected]
Novas Edições SPE
Edições SPE
ições SPE NovasNovas
Edições SPE
Título: Séries temporais. Modelações lineares e não lineares. 2ª edição, revista e aumentada.
Autoras: Esmeralda Gonçalves e Nazaré Mendes Lopes
Editora: Sociedade Portuguesa de Estatística
2008 Modelações lineares e não lineares. 2ª edição, revista e aumentada.
ulo: SériesAno:
temporais.
otoras:
lineares.
2ª edição,
revista eeaumentada.
ISBN:
978-972-8890-16-2
Esmeralda
Gonçalves
Nazaré Mendes Lopes
Título: Séries
temporais. Modelações lineares e não lineares. 2ª edição, revista
aumentada.
Séries e
Temporais
Lopes
Páginas:
xxiv+298
itora: Sociedade Portuguesa de Estatística
Autoras:
Esmeralda
Gonçalves
e
Nazaré
Mendes
Lopes
o: 2008 Custo 10 Euros
BN: 978-972-8890-16-2
Ano: 2008 Os interessados podem adquirir esta nova edição no INE e brevemente em algumas livrarias.
ginas: xxiv+298
ISBN: 978-972-8890-16-2
sto 10 Euros
Páginas: xxiv+298
Custo
10 Euros
Os interessados
podem adquirir esta nova edição no INE e brevemente em algumas livrarias.
Esmeralda Gonçalves
Nazaré Mendes Lopes
Modelações lineares e não lineares
DA SPE
Sobre aslivrarias.
“Segundas Edições dos livros dos mini - cursos"
ão no INE eNOTA
brevemente
em–algumas
Os interessados podem adquirir esta nova edição no INE e brevemente em algumas livrarias.
Os manuais que a Sociedade Portuguesa de Estatística (SPE) tem vindo a editar anualmente para suporte do mini-curso que
decorre no início de cada congresso Anual da SPE têm sido muito solicitados, quer por docentes dos ensinos universitário e
TA DA SPEpolitécnico
– Sobre aspara
“Segundas
Ediçõescomo
dos livros
mini - de
cursos"
serem usados
textosdos
de apoio
várias unidades curriculares de estudos graduados e pós-graduados,
mini - cursos"
quer por investigadores teóricos e aplicados para apoio ao seu trabalho de investigação, quer ainda por estatísticos
DA SPE
– Sobre as
Edições
dosvindo
livrosados
mini
- cursos" para suporte do mini-curso que
manuais queNOTA
a Sociedade
Portuguesa
de“Segundas
Estatística
(SPE)
tem
editar
anualmente
profissionais
para
utilização
no exercício
da sua
actividade.
Temos
mesmo tido solicitações provenientes de outros países
tem no
vindo
adeeditar
anualmente
para
suporte
do
mini-curso
que
orre
início
delíngua
cada
congresso
Anual
da
SPE
têm
sido
muito
solicitados,
quer
docentes dos
e sobram dos
portuguesa ou de colegas estrangeiros que entendem oporportuguês.
Os ensinos
poucos universitário
exemplares que
manuais
quedocentes
a Sociedade
Portuguesa
de Estatística
(SPE)
tem vindo
a editar graduados
anualmentee para
suporte do mini-curso que
muito
solicitados,
quer
por
dos
ensinos
universitário
e
técnico
paraOs
serem
usados
como
textos
de
apoio
de
várias
unidades
curriculares
de
estudos
pós-graduados,
Congressos rapidamente se têm esgotado, pelo que a Direcção da SPE sentiu a necessidade de proceder a segundas edições
decorre noteóricos
início
deecada
congresso
Anual
daaoSPE
têm
sido muito
solicitados, quer
porainda
docentes
ensinos universitário e
s unidades
curriculares
estudos
graduados
e pós-graduados,
por investigadores
para
seu
trabalho
de para
investigação,
quer
pordedos
estatísticos
para melhordeservir
a aplicados
comunidade.
Éapoio
também
a oportunidade
os autores,
escolhidos
entre os mais reputados
politécnico
para
serem
usados
como
textos
de
apoio
de
várias
unidades
curriculares
de
estudos
graduados
e pós-graduados,
oissionais
seu trabalho
de investigação,
quer
ainda
por área,
estatísticos
para
utilização
no
exercício
sua actividade.
Temos mesmo
tido
de outrosedição
países
especialistas
nacionais
da da
respectiva
poderem
corrigir
assolicitações
inevitáveis provenientes
gralhas da primeira
e introduzirem
quer
por
investigadores
teóricos
e
aplicados
para
apoio
ao
seu
trabalho
de
investigação,
quer
ainda
por estatísticos
Temos
mesmo
tidoou
solicitações
outros
países justificadas.
íngua portuguesa
de colegas
estrangeirosde
que
entendem
o português.O Os
poucos
exemplares
que sobram
algumas
melhorias
e provenientes
actualizações
que
considerem
Instituto
Nacional
de Estatística
(INE)dos
é uma instituição
profissionais
paraesgotado,
utilizaçãopelo
no exercício
da sua
Temos
mesmo tido
solicitações
provenientes
de outros países
ndem
português.
Os
poucos
que
sobram
dos
gressoso rapidamente
setemos
têm
a Direcção
daactividade.
SPEe que,
sentiunos
a necessidade
detem
proceder
a segundas
edições
com a qual
tidoexemplares
intensa e que
frutuosa
colaboração
últimos anos,
impresso
os manuais
dos mini-cursos. O
de língua
portuguesa
ou
de colegas
estrangeiros
queosentendem
o português.
Os
poucos
exemplares
que sobram dos
o melhor
da SPE servir
sentiu
a
necessidade
de
proceder
a
segundas
edições
comunidade.
É
também
a
oportunidade
para
autores,
escolhidos
de
entre
os
mais
reputados
INE aceitou ser nosso parceiro nesta iniciativa editorial, encarregando-se da impressão e distribuição destas segundas
Congressos
rapidamente
se
têm
esgotado,
pelo que
a Direcção da
SPE sentiu
a necessidade
de
a segundas edições
ade
para os
autores,da
entre
os
reputados
cialistas
nacionais
respectiva
poderem
as inevitáveis
gralhas
da primeira
edição
e proceder
introduzirem
edições,
o escolhidos
que
nos dá de
a área,
garantia
demais
um corrigir
fácil
acesso
por parte dos
interessados.
Estamos
muito
gratos ao INE por mais esta
parae melhor
servir
a comunidade.
Éintroduzirem
também aOoportunidade
para de
os Estatística
autores, escolhidos
de instituição
entre os mais reputados
r as melhorias
inevitáveis
gralhas
da
primeira
edição
e
mas
actualizações
que
considerem
justificadas.
Instituto
Nacional
(INE)
é
uma
valiosa colaboração. Note-se que se trata de manuais sobre temas especializados que dificilmente poderiam ser editados
especialistas
nacionais
respectiva
poderem
corrigir
as inevitáveis
da primeira
ediçãoO e introduzirem
as.
O Instituto
Nacional
de
(INE)
é umaeárea,
instituição
a qual
temos
intensa
eEstatística
frutuosada
colaboração
que,
nos
anos,
tem
impresso
osgralhas
manuais
portido
editoras
comerciais
(ou
só poderiam
sê-lo
aúltimos
um custo
unitário
elevado),
uma
vez dos
que mini-cursos.
o público a que
se dirigem é
algumas
melhorias
e
actualizações
que
considerem
justificadas.
O
Instituto
Nacional
de
Estatística
(INE)
é uma instituição
os
últimos
anos,
temparceiro
impresso
os manuais
mini-cursos.
O autores, que
aceitou
serrelativamente
nosso
nesta
iniciativa
editorial,
encarregando-se
daprescindem
impressão dos
e distribuição
destas
segundas
limitado.
Graças
àdos
generosidade
dos
seus direitos
de autor,
ao formato de bolso
comdá
a qual
temosde
tido
intensa
e frutuosa
colaboração
e que, nos últimos anos,
tem impresso
os manuais
dos mini-cursos. O
ncarregando-se
eum
distribuição
destas
segundas
ões, o que nos
a impressão
garantia
fácil
acesso
por parte
dos de
interessados.
muito
mais esta
(que,daalém
de cómodo,
permite
menores
custos
produção) Estamos
e ao facto
de agratos
SPE ao
e oINE
INEporapoiarem
estas edições, é
INE
aceitou
ser
nosso
parceiro
nesta
iniciativa
editorial,
encarregando-se
da
impressão
e
distribuição
destas segundas
doscolaboração.
interessados.
Estamos
muito
gratos
aomanuais
INE
porsobre
mais
esta moderados.
osa
Note-se
que
se trata
temas
especializados
dificilmente
editados
possível
elas chegarem
ao de
leitor
a preços
muito
Comque
esta
iniciativa, poderiam
a SPE e ser
o INE
põem ao dispor da
edições, o(ou
quesónos
dá a garantia
umser
fácil
acesso
parte dos
interessados.
Estamos
gratos
ao INE
mais esta
temas especializados
dificilmente
poderiam
editados
editoras
comerciais
poderiam
adeum
custo
unitáriopor
elevado),
uma
vez que
público amuito
queestatísticas
se
dirigem
é porem
comunidade
académica
e sê-lo
da
comunidade
estatística
e dos utilizadores
de ometodologias
textos
língua
valiosauma
colaboração.
Note-se
que
seautores,
trata
deque
manuais
sobre dos
temas
especializados
que ao
dificilmente
poderiam
ser editados
unitário
elevado),
vez
que
o
público
a
que
se
dirigem
é
ivamente
limitado.
Graças
à
generosidade
dos
prescindem
seus
direitos
de
autor,
formato
de
bolso
portuguesa de elevada qualidade científica e pedagógica cobrindo temas importantes e actuais das Probabilidades e da
por dos
editoras
comerciais
(oucustos
sóaopoderiam
sê-lo
a eum
unitário
elevado),
vez queestas
o público
a que
é
ue
prescindem
seus
direitos
de funcionar
autor,
formato
de
bolso
, além
de cómodo,
permite
menores
de produção)
ao custo
factopara
de ao SPE
o INEuma
apoiarem
é seedirigem
Estatística,
que
podem
como
manuais
escolares
ensinoe superior
e como apoio
àedições,
investigação
à prática
relativamente
limitado.
Graças
à generosidade
dos
autores,
que prescindem
dos
seus
direitos
de
autor,
aoda
formato de bolso
ão)
ao facto
de
a
SPE
e
o
INE
apoiarem
estas
edições,
é
ívele elas
chegarem
ao
leitor
a
preços
muito
moderados.
Com
esta
iniciativa,
a
SPE
e
o
INE
põem
ao
dispor
profissional. Esta é a primeira das segundas edições que nos propomos disponibilizar. Não houve para isso qualquer razão
(que,
aléme de
menores
custos
de produção)metodologias
e ao facto deestatísticas
a SPE e o INE apoiarem
estas edições, é
s. Com esta
iniciativa,
SPE
o permite
INEde,
põem
dispor
unidade
académica
daa cómodo,
comunidade
estatística
dos
utilizadores
em língua
especial,
a não
ser oe facto
logo ao
a eseguir
àdadecisão dadeDirecção
da SPE de lançar textos
esta iniciativa,
terem, por mera
possível
elas
chegarem
ao
leitor
a
preços
muito
moderados.
Com
esta
iniciativa,
a
SPE
e
o
INE
põem
ao dispor da
utilizadores
de metodologias
estatísticas
textos
em cobrindo
língua
uguesa
de elevada
qualidade
científica
e pedagógica
temas importantes
e actuais
Probabilidades
e da
coincidência,
as autoras
solicitado
autorização
para lançarem
uma segunda
ediçãodas
da obra
(esgotada há
já algum tempo),
comunidade
académica
e
da
comunidade
estatística
e
dos
utilizadores
de
metodologias
estatísticas
textos
em língua
brindo que
temas
importantes
e actuais
das anos
Probabilidades
e da
tística,
podem
como
manuais
escolares
oeensino
superior
como apoio
à investigação
e à no
prática
que
aliásfuncionar
têm usado
há vários
nas suas para
aulas
daí colhido
umae preciosa
experiência
muito útil
trabalho de revisão.
portuguesa
de
elevada
qualidade
científica
e
pedagógica
cobrindo
temas
importantes
e
actuais
das
Probabilidades
e da
ara
o ensino
superior
e como
à investigação
àedição
prática
issional.
Esta
é a primeira
dasapoio
segundas
edições
quee nos
propomos
disponibilizar.
paraisso
issolhes
qualquer
razão
Prontamente
aceitaram
que
essa
segunda
fosse também
editada Não
pela houve
SPE. Por
estamos
gratos, bem como
Estatística,
que
podem
funcionar
como
manuais
escolares
para
o
ensino
superior
e
como
apoio
à
investigação
e
à
prática
propomos
disponibilizar.
Não
houve
para
isso
qualquer
razão
cial, a nãopela
ser osuafacto
de, logo
seguir
à decisão
da servido
Direcção
SPE para
de lançar
esta iniciativa,
mera decorrentes da
paciência
já aque,
tendo
esta obra
de da
cobaia
esta iniciativa,
houveterem,
algunspor
atrasos
profissional.
Esta éesta
aautorização
primeira
dasterem,
segundas
edições
que nos edição
propomos
disponibilizar.
Não
para
isso qualquer razão
Direcção as
da
SPE desolicitado
lançar
por
mera
cidência,
autoras
lançarem
uma segunda
daTrata-se,
obra
(esgotada
há jáhouve
algum
tempo),
necessidade
de definir
einiciativa,
acordarpara
questões
organizativas
e processuais.
naturalmente,
de uma
importante obra que
especial,
a da
nãoobra
ser (esgotada
o facto
de,
logo
a seguir
àuma
decisão
da Direcção
da muito
SPE de
lançar
esta iniciativa,
terem, por mera
maliás
umatêm
segunda
edição
há
já
algum
tempo),
usado
há
vários
anos
nas
suas
aulas
e
daí
colhido
preciosa
experiência
útil
no
trabalho
de
revisão.
nos orgulhamos de editar e que esperamos possa ser muito útil ao leitor.
coincidência,
as autoras
solicitado
autorização
para
lançarem
uma Por
segunda
edição
da obra
(esgotada
há já algum tempo),
do uma preciosa
experiência
muito
útil
no trabalho
de revisão.
ntamente
aceitaram
que essa
segunda
edição
fosse
também
editada
pela SPE.
isso lhes
estamos
gratos,
bem como
que aliás
têm
usado
há vários
anos
nasdesuas
aulas
e daíesta
colhido
uma preciosa
experiência
muito
útil no trabalho
de revisão.
msua
editada
pela
SPE.
Portendo
isso lhes
estamos
gratos,
bem
como
paciência
já que,
esta
obra servido
cobaia
para
iniciativa,
houve alguns
atrasos
decorrentes
da
O Presidente
da SPE
Prontamente
aceitaram
que
essa
segunda
edição
fosse
também
editada
pela
SPE.
Por
isso
lhes
estamos
gratos,
como
aia
para de
estadefinir
iniciativa,
houve
alguns organizativas
atrasos decorrentes
da
essidade
e acordar
questões
e processuais.
Trata-se, naturalmente, de uma importante obraCarlos
que A. bem
Braumann
pela
sua
paciência
já
que,
tendo
esta
obra
servido
de
cobaia
para
esta
iniciativa,
houve
alguns
atrasos
decorrentes
da
cessuais. Trata-se,
naturalmente,
de uma
importante
orgulhamos
de editar
e que esperamos
possa
ser muitoobra
útil que
ao leitor.
necessidade
de
definir
e
acordar
questões
organizativas
e
processuais.
Trata-se,
naturalmente,
de
uma
importante
obra
que
l ao leitor.
nos orgulhamos de editar e que esperamos possa ser muito útil ao leitor.
O Presidente da SPE
O Presidente da SPE
Carlos A. Braumann
O Presidente da SPE
Carlos A. Braumann
Carlos A. Braumann
2ª edição
Sociedade Portuguesa de Estatística
Editorial
… em crescimento sustentado…
… em crescimento sustentado…
Com o incentivo da comunidade, o Boletim SPE tem crescido… e esse avanço tem produzido, como
Com
o incentivo
da comunidade,
tem crescido…
e esse
produzido, como
principal
consequência,
o aumentoodoBoletim
númeroSPE
de páginas
– mais em
uns eavanço
menos tem
em outros!
principal
consequência,
aumentoum
donovo
número
de páginas
mais em
e menos
em outros!
Este
Boletim
de Outonoofornece
record
para o –número
deuns
páginas.
O anterior
formato com
Este Boletimprincipalmente
de Outono fornece
um novodo
record
o número
páginas. aumentar
O anterioroformato
dobragem,
a gramagem
papelpara
utilizado,
nãodepermitia
númerocom
de
dobragem,
principalmente
a
gramagem
do
papel
utilizado,
não
permitia
aumentar
o
número
de
páginas. Foi aproveitada esta edição para criar um novo modelo com capa mais rija e diferente das
páginas. Foi
aproveitada
esta edição
para
criar uma
um novo
modelo
com capa
maisnarijapágina
e diferente
das
restantes
páginas.
Salientando
a capa
fez-se
pequena
alteração
gráfica
de rosto.
restantes
páginas.
Salientando
a
capa
fez-se
uma
pequena
alteração
gráfica
na
página
de
rosto.
Esperamos que seja do agrado dos leitores.
Esperamos
que seja
do aagrado
Pouco
a pouco,
passo
passodos
comleitores.
nova imagem - maior mas não “mais gordo”, com mais espaço,
Poucomais
a pouco,
passo a passo
com novaé imagem
- maior
masdas
nãocontribuições
“mais gordo”,
mais espaço,
com
oportunidades
de divulgação,
mais fácil
a gestão
doscom
especialistas
dos
com mais
oportunidades
mais
diversos
campos. de divulgação, é mais fácil a gestão das contribuições dos especialistas dos
mais diversos campos.
Sempre com o interesse primeiro de divulgação da Ciência Estatística!
Sempre com o interesse primeiro de divulgação da Ciência Estatística!
O modelo editorial, usado na fase mais recente do Boletim SPE, tem vivido com as seguintes secções,
modelo
editorial, do
usado
na fase mais
recente
SPE, tem
vivido
com as
seguintes
secções,e
aOsaber:
Mensagem
Presidente,
Notícias,
SPEdoe Boletim
a Comunidade,
Tema
Central,
Ciência
Estatística
aum
saber:
Mensagem
do
Presidente,
Notícias,
SPE
e
a
Comunidade,
Tema
Central,
Ciência
Estatística
espaço do editor. Em cada edição de Primavera ou Outono - conforme os casos e a oportunidade eum espaço
do editor.
Em cadacom
edição
de Primavera
Outono
os casos
e a oportunidade
temos
divulgado
os Prémios,
apoio,
instituídosou
pela
SPE: o- conforme
Prémio SPE
e os Prémios
Estatísticotemos divulgado
apoio,cada
instituídos
SPE:
o Prémio SPE
e os Prémios
Júnior.
Além de os
umPrémios,
espaço com
noticioso,
ediçãopela
junta
contribuições
relevantes
- comEstatístico
os textos
Júnior. Além
de um
espaço
noticioso,
cada“mais
edição
junta contribuições
relevantes -Pretende-se
com os textos
científicos
do tema
central
e com
os escritos
ligeiros”
de SPE e a Comunidade.
que
científicos
temamais
central
e com
os escritos especializados
“mais ligeiros” de
SPE ebaste,
a Comunidade.
Pretende-se
que
estes
sejamdo da
ampla
divulgação,
quanto
mas muito
abrangentes;
estes sejam da
mais
ampla edivulgação,
especialmente
pelas
aplicações
os campos especializados
diversificados dequanto
outras baste,
ciênciasmas
commuito
quem abrangentes;
se partilha a
especialmenteestatística.
pelas aplicações e os campos diversificados de outras ciências com quem se partilha a
investigação
investigação
estatística.
O
papel usado
até à presente edição limitava o aumento do número de páginas devido à sua espessura
usado atédificuldade
à presente na
edição
limitavaTambém,
o aumento
do número
de páginas
à suano
espessura
eO apapel
consequente
dobragem.
a capa
e o miolo
estavamdevido
impressos
mesmo
etipo
a consequente
dificuldade
na
dobragem.
Também,
a
capa
e
o
miolo
estavam
impressos
no
mesmo
de papel. A capa desta edição passa a ser mais grossa e assim, com facilidade, podemos aumentar
de papel.
A capa desta
edição
a ser mais
grossa
e assim,
com facilidade,
podemos
aumentar
otipo
número
de páginas
sempre
que apassa
respectiva
edição
o exija.
É o caso
deste Boletim
de Outono
que
onão
número
de
páginas
sempre
que
a
respectiva
edição
o
exija.
É
o
caso
deste
Boletim
de
Outono
que
caberia nas possíveis cinquenta e seis páginas do anterior formato.
não caberia nase possíveis
seis páginas
do Mantemos
anterior formato.
Aproveitámos
mudámoscinquenta
o aspectoegráfico
da capa.
o cabeçalho inalterado com o logótipo
Aproveitámos
e mudámos
o aspecto
da capa.
Mantemos
o cabeçalho
inalterado
com o logótipo
oficial
da Sociedade
Portuguesa
de gráfico
Estatística.
A restante
informação
de capa
será apresentada
por
oficial daem
Sociedade
Portuguesa
Estatística.
de capa será apresentada por
contraste
caixas com
fundo de de
uma
das cores A
do restante
logótipoinformação
da SPE.
contraste
em caixas
com fundo
de uma
das corescontribuições
do logótipo da
A
solicitação
dos leitores
e autores
de algumas
temSPE.
estimulado o crescimento sustentado
solicitação
dos leitores
e autores
de algumas
contribuições
tem estimulado
crescimento
sustentado
aAque
temos assistido.
A partir
da presente
edição,
esta publicação
da SPE dáomais
um pequeno
passo
a que temos assistido.
A partir da presente edição, esta publicação da SPE dá mais um pequeno passo
afirmando-se
como Boletim!
afirmando-se
como Boletim!
Porque, na alteração
executada, apenas “transferimos” matéria prima do miolo para a capa, o
Porque, na noalteração
executada,
apenas
“transferimos”
do miolo
a capa,
acréscimo
orçamento
da edição,
correspondente
ao matéria
aumentoprima
do número
de para
páginas
não oé
acréscimo
no
orçamento
da
edição,
correspondente
ao
aumento
do
número
de
páginas
não é
significativo e o custo da expedição não é alterado pois o escalão da taxa de correios será o mesmo.
significativo e o custo da expedição não é alterado pois o escalão da taxa de correios será o mesmo.
A partir desta edição, com mais espaço, há maior incentivo à publicação…
A partir
partir desta
desta edição,
edição, com
com mais
há maior(ainda
incentivo
à publicação…
A
mais espaço,
espaço, partilhe
mais)!...
A partir desta edição, com mais espaço, partilhe (ainda mais)!...
Um crescimento natural com o apoio daqueles que desejam ver bem cumprida a missão da SPE.
Um crescimento
naturale, com
o apoio
que desejam de
verpublicação
bem cumprida
a missão
da SPE.a
Alargamos
horizontes
também,
comdaqueles
maior possibilidade
poderemos
aumentar
Alargamosdahorizontes
e, também,
comsustentado
maior possibilidade
de publicação
temática
edição. Este
crescimento
será, basicamente,
usado poderemos
pela secçãoaumentar
SPE e a
temática da edição. Este crescimento sustentado será, basicamente, usado pela secção SPE e a
Comunidade.
Comunidade.
Uma palavra final de agradecimento à Direcção da SPE pelo incondicional apoio para esta nova
Uma palavra
de proposta.
agradecimento à Direcção da SPE pelo incondicional apoio para esta nova
caminhada
quefinal
lhe foi
caminhada que lhe foi proposta.
O Boletim Primavera de 2009 abordará o tema Investigação (em) Estatística.
O Boletim Primavera de 2009 abordará o tema Investigação (em) Estatística.
Caros Colegas:
Caros Colegas:
Caros Colegas:
Caros Colegas:
Realizou-se
em Vila Real, de 1 a 4 de Outubro de 2008, o nosso XVI Congresso Anual. Voltámos
Caros Colegas:
Realizou-se
Vila Real,
a 4ano
de de
Outubro
de que
2008,
o nosso
XVI Congresso
Voltámos
assim
à data em
habitual
depoisde
de11um
2007 em
o nosso
Congresso
decorreuAnual.
em Agosto
para
Realizou-se
em
Vila
Real,
de
a
4
de
Outubro
de
2008,
o
nosso
XVI
Congresso
Anual.
Voltámos
assim
à data em
habitual
depois
de1um
ano
de
2007
em
que
odo
nosso
Congresso
decorreuAnual.
em Agosto
para
Realizou-se
Vila
Real,
de
a
4
de
Outubro
de
2008,
o
nosso
XVI
Congresso
Voltámos
proporcionar
uma
melhor
articulação
com
a
56ª
Sessão
International
Statistical
Institute,
que
se
assim
à data em
habitual
depois
de1um
ano
de
2007
em
que
odo
nosso
Congresso
decorreuAnual.
em Agosto
para
Realizou-se
Vila
Real,
de
a
4
de
Outubro
de
2008,
o
nosso
XVI
Congresso
Voltámos
proporcionar
uma
melhor
articulação
com
a
56ª
Sessão
International
Statistical
Institute,
que
se
assim
à
data
habitual
depois
de
um
ano
de
2007
em
que
o
nosso
Congresso
decorreu
em
Agosto
para
realizou
em Lisboa
imediatamente
aano
seguir.
A56ª
Comissão
Organizadora
doStatistical
XVI
Congresso,
presidida
proporcionar
uma
melhor
articulação
com
a
Sessão
do
International
Institute,
que
se
assim
à
data
habitual
depois
de
um
de
2007
em
que
o
nosso
Congresso
decorreu
em
Agosto
para
realizou
emColega
Lisboa
imediatamente
aestá
seguir.
A56ª
Comissão
Organizadora
doStatistical
XVI do
Congresso,
presidida
proporcionar
uma
melhor
articulação
com
a
Sessão
do
International
Institute,
que
se
pela
nossa
Irene
Oliveira,
de
parabéns
pelo
indiscutível
sucesso
Congresso
e
pelo
realizou
emColega
Lisboa
imediatamente
aestá
seguir.
A56ª
Comissão
Organizadora
doStatistical
XVI do
Congresso,
presidida
proporcionar
uma melhor
articulação
com
aparabéns
Sessão
do
International
Institute,
que
se
pela
nossa
Irene
Oliveira,
de
pelo
indiscutível
sucesso
Congresso
e
pelo
realizou
em
Lisboa
imediatamente
a
seguir.
A
Comissão
Organizadora
do
XVI
Congresso,
presidida
excelente
trabalho
organizativo,
como
dede
parabéns
estão
a Organizadora
instituição
anfitriã,
a Universidade
dee Tráspela
nossa
Colega
Irene
Oliveira,
está
parabéns
pelo
indiscutível
sucesso
do
Congresso
pelo
realizou
em
Lisboa
imediatamente
a
seguir.
A
Comissão
do
XVI
Congresso,
presidida
excelente
organizativo,
como
parabéns
estão
a instituição
anfitriã,
Universidade
pela
nossatrabalho
Irene os
Oliveira,
estáde
parabéns
pelo
indiscutível
sucesso
do Congresso
e Tráspelo
os-Montes
eColega
Alto Douro,
membros
dade
Comissão
Executiva
e Científica,
osaapresidentes
dasde
sessões
excelente
trabalho
organizativo,
como
de
parabéns
estão
a instituição
anfitriã,
Universidade
de
pela
nossa
Colega
Irene
Oliveira,
está
de
parabéns
pelo
indiscutível
sucesso
do
Congresso
e Tráspelo
os-Montes
e
Alto
Douro,
os
membros
da
Comissão
Executiva
e
Científica,
os
presidentes
das
sessões
excelente
trabalho
organizativo,
como
de
parabéns
estão
a
instituição
anfitriã,
a
Universidade
de
Trásde
trabalho,
os oradores
convidados,
os parabéns
autores das
comunicações
(em
número
record) das
e todos
os
os-Montes
e
Alto
Douro,
os
membros
da
Comissão
Executiva
e
Científica,
os
presidentes
sessões
excelente
trabalho
organizativo,
como
de
estão
a
instituição
anfitriã,
a
Universidade
de
Trásde
trabalho,e Alto
osTodos
oradores
convidados,
os Comissão
autores
dasExecutiva
comunicações
(em número
record) das
eestatística
todos
os
os-Montes
Douro,
os
membros
da
e
Científica,
os
presidentes
sessões
participantes.
deram
um
contributo
importante
para
a
festa
anual
da
comunidade
de
trabalho,e Alto
osTodos
oradores
convidados,
os Comissão
autores
dasExecutiva
comunicações
(em número
record) das
eestatística
todos
os
os-Montes
Douro,
os
membros
da
e
Científica,
os
presidentes
sessões
participantes.
deram
um
contributo
importante
para
a
festa
anual
da
comunidade
de
trabalho, osTodos
oradores
convidados,
os autores
das comunicações
(em número
record) eestatística
todos os
nacional.
participantes.
deram
um
contributo
importante
para
a
festa
anual
da
comunidade
de
trabalho, osTodos
oradores
convidados,
os autores
das comunicações
(em número
record) e todos os
nacional.
participantes.
deram
um contributo
importante
para a um
festa
anual
da comunidade
Durante
o XVITodos
Congresso,
saíram
as Actas do
XV Congresso,
registo
bem
revelador da estatística
qualidade
nacional.
participantes.
deram
um
contributo
importante
para
a
festa
anual
da
comunidade
Durante
o XVI
Congresso,
saíram as portugueses
Actas do XVemCongresso,
um
registo
bem
reveladorOrganizadora
da estatística
qualidade
nacional.
eDurante
relevância
do
labor
dos
estatísticos
2007.
Está
de
parabéns
a
Comissão
o XVI
Congresso,
saíram as portugueses
Actas do XVemCongresso,
um
registo
bem
reveladorOrganizadora
da qualidade
enacional.
relevância
do
labor
dos
estatísticos
2007.
Está
de
parabéns
a
Comissão
Durante
o XVI
Congresso,
saíram
as portugueses
Actas
do XVem
Congresso,
registo
bem
revelador
da qualidade
Congresso,
do ISCTE,
presidida
pela nossa
Colega
Manuela
que concluiu
assim
edeste
relevância
do labor
dos estatísticos
2007.
Estáum
deMagalhães
parabéns
a Hill,
Comissão
Organizadora
Durante
o
XVI
Congresso,
saíram
as
Actas
do
XV
Congresso,
um
registo
bem
revelador
da qualidade
deste
Congresso,
do
ISCTE,
presidida
pela
nossa
Colega
Manuela
Magalhães
Hill,
que
concluiu
assim
relevância
do
labor
dos
estatísticos
portugueses
em
2007.
Está
de
parabéns
a
Comissão
Organizadora
aedeste
missão
que
tão
brilhantemente
desempenhou.
Congresso,
do ISCTE,
presidida
pela nossa em
Colega
Manuela
Magalhães
Hill,
que concluiu
assim
relevância
do
labor
dos
estatísticos
portugueses
2007.
Está
de
parabéns
a
Comissão
Organizadora
aedeste
missão
que
tão
brilhantemente
desempenhou.
Congresso,
do ISCTE,
presidida
pela
nossa
Colega Manuela
Magalhães
Hill, investigador
que concluiuque
assim
O
Prémio
SPE
2008
premiou
mais
uma
vez
um
trabalho
científico
de
um
jovem
se
adeste
missão
que
tão
brilhantemente
desempenhou.
Congresso,
do
ISCTE,
presidida
pela
nossa
Colega
Manuela
Magalhães
Hill,
que
concluiu
assim
O
Prémio
SPE
2008
premiou
mais
uma
vez
um
trabalho
científico
de
um
jovem
investigador
que
se
aOmissão
que
tão
brilhantemente
desempenhou.
destacou
pela
sua
qualidade
e
que
foi
apresentado
no
XVI
Congresso.
Também
no
XVI
Congresso
Prémioque
SPE
2008
premiouemais
umaapresentado
vez um trabalho
científico
de um
jovem investigador
que se
aOmissão
tão
brilhantemente
desempenhou.
destacou
pela
sua
qualidade
que
foi
no
XVI
Congresso.
Também
no
XVI
Congresso
Prémiode
SPE
2008
premiouEstatístico
umaapresentado
vez uma trabalho
científico
deum
um
jovem investigador
que se
tivemos
novo
osqualidade
Prémios
Júnior,
quenoseXVI
candidataram
número
record
trabalhos
destacou
pela
sua
emais
que foi
Congresso.
Também
no
XVIde
Congresso
O
Prémiode
SPE
2008
premiouEstatístico
mais
umaapresentado
vez uma trabalho
científico
deum
um
jovem investigador
que se
tivemos
novo
os
Prémios
Júnior,
que
se
candidataram
número
record
de
trabalhos
destacou
pela
sua
qualidade
e
que
foi
no
XVI
Congresso.
Também
no
XVI
Congresso
escolares
dos
ensinos
básico
e
secundário,
com
a
coordenação
do
Colega
Russell
Alpízar-Jara
e da
tivemos
de
novo
os
Prémios
Estatístico
Júnior,
a
que
se
candidataram
um
número
record
de
trabalhos
destacou
pela
suaosqualidade
ee que
foi apresentado
noseXVI
Congresso.
Também
no
XVIdeCongresso
escolares
dos
ensinos
básico
secundário,
com
a
coordenação
do
Colega
Russell
Alpízar-Jara
e da
tivemos
de
novo
Prémios
Estatístico
Júnior,
a
que
candidataram
um
número
record
trabalhos
Comissão
Especializada
de Educação
eJúnior,
o apoio
dacoordenação
Porto
Editora.
É
uma
forma
de
incentivarmos
o
escolares
dos
ensinos
básico
e
secundário,
com
a
do
Colega
Russell
Alpízar-Jara
e da
tivemos
de
novo
os
Prémios
Estatístico
a
que
se
candidataram
um
número
record
de
trabalhos
Comissão
Especializada
de
Educação
e o apoio
dacoordenação
Porto
Editora.
É
uma
forma
deAlpízar-Jara
incentivarmos
oo
escolares
dos
ensinos
básico
e
secundário,
com
a
do
Colega
Russell
e
da
gosto
pela
Estatística
na
juventude
portuguesa.
Aos
candidatos
e
aos
júris
de
ambos
os
prémios,
Comissão
Especializada
de
Educação
e o apoio
dacoordenação
Porto
Editora.
É
uma
forma
deAlpízar-Jara
incentivarmos
escolares
dos
ensinos
básico
e
secundário,
com
a
do
Colega
Russell
e
da
gosto
pela
Estatística
na
juventude
portuguesa.
Aos
candidatos
e
aos
júris
de
ambos
os
prémios,
o
Comissão
Educação
e o apoio Aos
da Porto
Editora.
É uma
de incentivarmos
nosso
agradecimento.
gosto
pela Especializada
Estatística na de
juventude
portuguesa.
candidatos
e aos
júrisforma
de ambos
os prémios, ooo
Comissão
Especializada
de
Educação
e
o
apoio
da
Porto
Editora.
É
uma
forma
de
incentivarmos
nosso
agradecimento.
gosto
pela Estatística na juventude portuguesa. Aos candidatos e aos júris de ambos os prémios, o
nosso
agradecimento.
gosto
pela Estatística na juventude portuguesa. Aos candidatos e aos júris de ambos os prémios, o
nosso
agradecimento.
E
é
altura
de vos convidar para o XVII Congresso. A Faculdade de Ciências e Tecnologia da
nosso
agradecimento.
E
é
altura
deNova
vos convidar
o XVIIe Congresso.
Faculdade de
Ciências pelo
e Tecnologia
da
Universidade
de Lisboapara
é a anfitriã
a ComissãoA
Organizadora
é presidida
Colega João
E
é
altura
de
vos
convidar
para
o
XVII
Congresso.
A
Faculdade
de
Ciências
e
Tecnologia
da
Universidade
Nova
de Lisboa
é Colega
a anfitriã
e Congresso.
a Comissão
Organizadora
é presidida
pelo
Colega
João
E
é
altura
de
vos
convidar
para
o
XVII
A
Faculdade
de
Ciências
e
Tecnologia
da
Tiago
Mexia.
Já
estive
com
o
Manuel
Esquível,
que
coordena
esta
matéria
na
Comissão
Universidade
de Lisboa
é Colega
a anfitriã
e Congresso.
a Comissão
é presidida
pelo
Colega
João
E
é altura
deNova
vosestive
convidar
para
o XVII
AOrganizadora
Faculdade
de
Ciências
e Tecnologia
da
Tiago
Mexia.
Já
com
o
Manuel
Esquível,
que
coordena
esta
matéria
na
Comissão
Universidade
Nova
de
Lisboa
é
a
anfitriã
e
a
Comissão
Organizadora
é
presidida
pelo
Colega
João
Organizadora,
aJávisitar
possíveis
locais
para
a Comissão
sua
realização,
faltando,
porém,
ainda
acertar
alguns
Tiago
Mexia.
estive
com
o
Colega
Manuel
Esquível,
que
coordena
esta
matéria
na
Comissão
Universidade
Nova
de
Lisboa
é
a
anfitriã
e
a
Organizadora
é
presidida
pelo
Colega
João
Organizadora,
aJávisitar
locais
sua
realização,
ainda acertar
alguns
Tiago
Mexia.
estive possíveis
com
o Colega
Manuel
Esquível,
que faltando,
coordenaporém,
esta matéria
na Comissão
pormenores
importantes.
Brevemente
vospara
dareiaa notícias
do local
escolhido.
Organizadora,
aJávisitar
possíveis
locais
para
sua
realização,
faltando,
porém,
ainda acertar
alguns
Tiago
Mexia.
estive
com
o
Colega
Manuel
Esquível,
que
coordena
esta
matéria
na
Comissão
pormenores
importantes.
Brevemente
vos
darei
notícias
do
local
escolhido.
Organizadora,
a visitar possíveis
locais
para
a notícias
sua realização,
faltando,
porém, ainda acertar alguns
pormenores
importantes.
Brevemente
vos
darei
do
local
escolhido.
Organizadora,
a visitar possíveis
locais
sua realização,
faltando,
porém, ainda acertar alguns
pormenores
importantes.
Brevemente
vospara
dareiano
notícias
doum
local
escolhido.
Em
Agosto
de
2008,
realizou-se
em
Portugal,
Porto,
evento
internacional
muito importante, o
pormenores
importantes.
Brevemente
vos darei no
notícias
doum
local
escolhido.
Em
Agosto
de
2008,
realizou-se
em
Portugal,
Porto,
evento
internacional
muito importante,
o
COMPSTAT
2008.
Mais
uma prova
do reconhecimento
pela
comunidade
internacional
do trabalho
Em
Agosto
de
2008,
realizou-se
em
Portugal,
no
Porto,
um
evento
internacional
muito
importante,
o
COMPSTAT
2008.
Mais
uma prova
do da
reconhecimento
pela
comunidade
internacional
do trabalho
Em
Agosto
de
2008,
realizou-se
em
Portugal,
no
Porto,
um
evento
internacional
muito
importante,
o
dos
investigadores
portugueses
na
área
Estatística.
A
Comissão
Organizadora
foi
presidida
pela
COMPSTAT
2008.
Mais
uma prova
do da
reconhecimento
pela
comunidade
internacional
do trabalho
Em
Agosto
de
2008,
realizou-se
em
Portugal,
no
Porto,
um
evento
internacional
muito
importante,
o
dos
investigadores
portugueses
na
área
Estatística.
A
Comissão
Organizadora
foi
presidida
pela
COMPSTAT
2008.
Mais euma
prova
do da
reconhecimento
pela
comunidade
internacional
do
trabalho
Colega
Maria
Paula
Brito
o
seu
trabalho
mereceu
os
maiores
encómios
dos
participantes,
como
pude
dos
investigadores
portugueses
na
área
Estatística.
A
Comissão
Organizadora
foi
presidida
pela
COMPSTAT
2008.
Mais euma
prova
do da
reconhecimento
comunidade
do
trabalho
Colega
Maria
Paulaportugueses
Brito
o seu
trabalho
mereceu
os maiores
dos internacional
participantes,
como
pude
dos
investigadores
na
área
Estatística.
Adepela
Comissão
Organizadora
foi deste
presidida
pela
constatar
pessoalmente.
AeSPE,
como
não
podia
deixar
ser,encómios
foi um
dos
apoiantes
relevante
Colega
Maria
Paula
Brito
o
seu
trabalho
mereceu
os
maiores
encómios
dos
participantes,
como
pude
dos
investigadores
portugueses
na
área
da
Estatística.
A
Comissão
Organizadora
foi
presidida
pela
constatar
pessoalmente.
A
SPE,
como
não
podia
deixar
de
ser,
foi
um
dos
apoiantes
deste
relevante
Colega
Maria
Paula BritoAeSPE,
o seucomo
trabalho
mereceu
os maiores
encómios
dos apoiantes
participantes,
como
pude
evento.
constatar
pessoalmente.
não
podia
deixar
de
ser,
foi
um
dos
deste
relevante
Colega
Maria
Paula BritoAeSPE,
o seucomo
trabalho
os maiores
dos apoiantes
participantes,
pude
evento.
constatar
pessoalmente.
nãomereceu
podia deixar
de ser,encómios
foi um dos
destecomo
relevante
evento.
constatar
pessoalmente.
A
SPE,
como
não
podia
deixar
de
ser,
foi
um
dos
apoiantes
deste
relevante
evento.
Tenho
a enviar-vos notícias do que se vai passando, agora de uma forma mais organizada para
evento.vindo
Tenho
vindo
a enviar-vos
notícias
do que se vai
passando,
agoraodecaso,
umaqueria
forma salientar
mais organizada
para
não bombardear
os Colegas
com sucessivos
e-mails.
Em todo
que o nosso
Tenho
vindo
a
enviar-vos
notícias
do
que
se
vai
passando,
agora
de
uma
forma
mais
organizada
para
não
bombardear
osversão
Colegas
com sucessivos
e-mails.
Em
todo
ocooperação
caso,
queria
salientar
quePor
o nosso
Tenho
vindo
a
enviar-vos
notícias
do
que
se
vai
passando,
agora
de
uma
forma
mais
organizada
para
“site”
já
tem
uma
inglesa,
com
o
objectivo
de
facilitar
a
internacional.
outro
não
bombardear
osversão
Colegas
com sucessivos
e-mails.
Em
todo
ocooperação
caso,
queria
salientar
quePor
o nosso
Tenho
vindo
a
enviar-vos
notícias
do
que
se
vai
passando,
agora
de
uma
forma
mais
organizada
para
“site”
já
tem
uma
inglesa,
com
o
objectivo
de
facilitar
a
internacional.
outro
não
bombardear
osversão
Colegas
comSPE-CIM,
sucessivos
e-mails.
Em
todotinha
ocooperação
caso,
queriainternacional.
quePor
o enosso
lado,
prosseguiram
os
Encontros
cujo
arranque
vos
anunciado
osalientar
ano passado,
saiu,
“site”
já
tem
uma
inglesa,
com
o
objectivo
de
facilitar
a
outro
não
bombardear
os
Colegas
com
sucessivos
e-mails.
Em
todo
o
caso,
queria
salientar
que
o
nosso
lado,
prosseguiram
os
Encontros
SPE-CIM,
cujo arranque
vos
tinha
anunciado
o dos
ano mini
passado,
saiu,
“site”
já tem uma
inglesa,
comdas
o objectivo
de
facilitar
a cooperação
internacional.
Poree outro
numa
parceria
comversão
o INE,
a primeira
segundas
edições
revistas
dos
manuais
cursos
que
lado,
prosseguiram
os
Encontros
SPE-CIM,
cujo arranque
vos
tinha
anunciado
o dos
ano mini
passado,
saiu,
“site”
já
tem
uma
versão
inglesa,
com
o
objectivo
de
facilitar
a
cooperação
internacional.
Por
outro
numa
parceria
com
o
INE,
a
primeira
das
segundas
edições
revistas
dos
manuais
cursos
que
lado,
prosseguiram
os
Encontros
SPE-CIM,
cujo
arranque
vos
tinha
anunciado
o
ano
passado,
e
saiu,
estavam
esgotados,
de
que
encontram
notícia
numa
das
páginas
deste
Boletim.
numa
parceria
com de
o INE,
a primeira
das segundas
edições
revistas
dos
manuaiso dos
mini
cursos
que
lado,
prosseguiram
os
Encontros
SPE-CIM,
cujo
arranque
vos
tinha
anunciado
ano
passado,
e
saiu,
estavam
esgotados,
que
encontram
notícia
numa
das
páginas
deste
Boletim.
numa
parceria
com de
o INE,
a primeira notícia
das segundas
edições
revistas
dos
manuais dos mini cursos que
estavam
esgotados,
que
encontram
numa
das
páginas
deste
Boletim.
numa
parceria
com de
o INE,
a primeira notícia
das segundas
edições
revistas
dos
manuais dos mini cursos que
estavam
esgotados,
que
encontram
numa
das
páginas
desteGeral,
Boletim.
Certamente
sabem
que
os
actuais
membros
da
Mesa
da
Assembleia
da Direcção e do Conselho
estavam esgotados,
de que
encontram
notíciadanuma
das
páginas
desteGeral,
Boletim.
Certamente
sabem
que
os
actuais
membros
Mesa
da
Assembleia
da Direcção
e do
Fiscal, se recandidataram
para
o triénio
2009-2011,
tendo
a votaçãoGeral,
dos sócios
decorrido
noConselho
dia 3 de
Certamente
sabem
que
os
actuais
membros
da
Mesa
da
Assembleia
da
Direcção
e
do
Conselho
Fiscal,
se durante
recandidataram
para
oem
triénio
2009-2011,
tendo
apor
votação
dos sócios
decorrido
noos
diasócios
3 de
Certamente
sabem
que
os
actuais
membros
da
Mesa
da
Assembleia
Geral,
da
Direcção
e
do
Conselho
Outubro,
o
Congresso
Vila
Real,
e
também
correspondência.
Quiseram
Fiscal,
se durante
recandidataram
para
oem
triénio
2009-2011,
tendo
apor
votação
dos sócios
decorrido
noos
diasócios
3 de
Certamente
sabem
que
os
actuais
membros
da
Mesa
da
Assembleia
Geral,
da
Direcção
e
do
Conselho
Outubro,
o
Congresso
Vila
Real,
e
também
correspondência.
Quiseram
Fiscal,
se durante
recandidataram
paravotação
oem
triénio
2009-2011,
tendo
apor
votação
dos131
sócios
decorrido
noosFoi
diasócios
3com
de
honrar-nos
com
a
expressiva
de
129
votos
a
favor
num
total
de
votos
registados.
Outubro,
o
Congresso
Vila
Real,
e
também
correspondência.
Quiseram
Fiscal,
se
recandidataram
para
o
triénio
2009-2011,
tendo
a
votação
dos
sócios
decorrido
no
dia
3
de
honrar-nos
com
a
expressiva
votação
de
129
votos
a
favor
num
total
de
131
votos
registados.
Foi
com
Outubro, durante
o Congresso
em Vila
Real,
e vossa
também
por correspondência.
Quiseram
osFoisócios
satisfação
que
constatámos
continuar
a
merecer
a
confiança,
o
que
nos
dá
redobrado
ânimo
para,
honrar-nos
com
a
expressiva
votação
de
129
votos
a
favor
num
total
de
131
votos
registados.
com
Outubro, durante
o Congresso
em Vila
Real,
também
por correspondência.
Quiseram
osFoisócios
satisfação
que
constatámos
continuar
ademerecer
ae vossa
confiança,
o que
nos votos
dá redobrado
ânimo
para,
honrar-nos
com
a expressiva
votação
129
votos
a favor
total
de 131
registados.
com
com
a vossa
indispensável
colaboração,
continuarmos
a num
trabalhar
no
próximo
triénio,
tendo
como
satisfação
que
constatámos
continuar
a
merecer
a
vossa
confiança,
o
que
nos
dá
redobrado
ânimo
para,
honrar-nos
com
a
expressiva
votação
de
129
votos
a
favor
num
total
de
131
votos
registados.
Foi
com
com
a
vossa
indispensável
colaboração,
continuarmos
a
trabalhar
no
próximo
triénio,
tendo
como
satisfação
que
constatámos
continuar
a
merecer
a
vossa
confiança,
o
que
nos
dá
redobrado
ânimo
para,
principais
objectivos
consolidar
as
iniciativas
em
curso
e
lançar
novas
iniciativas
que
estão
na
forja
em
com
a
vossa
indispensável
colaboração,
continuarmos
a
trabalhar
no
próximo
triénio,
tendo
como
satisfação
que indispensável
constatámos
continuar
a merecer
vossa econfiança,
o que
nos dá redobrado
ânimo
para,
principais
objectivos
consolidar
as iniciativas
ema curso
lançar
novas
iniciativas
que
estãotendo
na forja
em
com
a
vossa
colaboração,
continuarmos
a
trabalhar
no
próximo
triénio,
como
prol
da
comunidade
estatística.
principais
objectivos
consolidar
as iniciativas
em curso e alançar
novasno
iniciativas
que
estãotendo
na forja
em
com
a
vossa
indispensável
colaboração,
continuarmos
trabalhar
próximo
triénio,
como
prol
da
comunidade
estatística.
principais
objectivosestatística.
consolidar as iniciativas em curso e lançar novas iniciativas que estão na forja em
prol
da
comunidade
principais
objectivosestatística.
consolidar as iniciativas em curso e lançar novas iniciativas que estão na forja em
prol da comunidade
Saudações
cordiais
prol da comunidade
Saudações
cordiais estatística.
Saudações cordiais
Mensagem do Presidente
2
Boletim SPE
Passeio Aleatório1
pelo dia-a-dia do XVI Congresso Anual da SPE
Notícias
Nas margens do Rio Corgo, um dos afluentes do Douro, a bonita cidade de Vila Real
hospedou, este ano e pela primeira vez, um congresso que já conta com 16 anos de história. Esta
cidade,
capital de distrito
• XVIhoje
Congresso
SPE pertencente à antiga província de Trás-os-Montes, uma das mais
importantes províncias vinícolas do país, foi fundada em 1289 por D.Dinis que na época a apelidou de
“Pobra” (povoação) de Vila Real de Panóias. Por aqui passaram nomes como Nicolau Nasoni, famoso
arquitecto italiano, interveniente na edificação de um dos mais belos exemplos de arquitectura barroca
em Portugal – a Casa de Mateus. O nosso ilustre romancista Camilo Castelo Branco viveu, de 1839 a
1841, na pequena aldeia de Vilarinho de Samardã uma freguesia deste concelho. Numa época em que
tanto se fala de “Magalhães” não podia deixar de mencionar que, segundo a tradição, o navegador
Fernão de Magalhães terá nascido na casa dos Pereiras, em Sabrosa, no último quartel do século XVI
Para os menos apreciadores de história resta-me referir que o contemporâneo Miguel Torga, médico e
escritor, nasceu neste distrito em São Martinho de Anta, concelho de Sabrosa e destacar, de entre as
figuras mediáticas dos nossos dias, Simão Sabrosa, actualmente futebolista do Atlético de Madrid, que
aqui nasceu e Pedro Passos Coelho, actualmente Presidente da Assembleia Municipal de Vila Real,
que aqui estudou no Liceu Nacional Camilo Castelo Branco.
Com a colaboração do Departamento de Matemática da Universidade de Trás-os-Montes e
Alto Douro, a Sociedade Portuguesa de Estatística organizou assim em Vila Real o seu congresso
1
anual queAleatório
constitui um
evento fundamental a nível nacional em Probabilidades e Estatística e suas
Passeio
aplicações.
Um
à Comissão
Organizadora
Local, constituída por Irene Oliveira, Elisete
pelo
dia-a-dia
do bem
XVI haja
Congresso
Anual da
SPE
Correia, Fátima Ferreira e Sandra Dias.
Apresentados
Vila um
Realdos
e osafluentes
organizadores
deste congresso,
inicio odemeu
passeio
Nas
margens adocidade
Rio de
Corgo,
do Douro,
a bonita cidade
Vila
Real
por mais um
congresso
que,primeira
por interesses
pessoais
e porque
nãojáser
fã decom
álcool,
de aleatório
só teve
o
hospedou,
este
ano e pela
vez, um
congresso
conta
16 anos
de história.
Esta
título. hoje capital de distrito pertencente à antiga província de Trás-os-Montes, uma das mais
cidade,
importantes províncias vinícolas do país, foi fundada em 1289 por D.Dinis que na época a apelidou de
Primeiro(povoação)
dia: 1 de Outubro
de 2008
“Pobra”
de Vila Real
de Panóias. Por aqui passaram nomes como Nicolau Nasoni, famoso
Como vemitaliano,
sendo hábito
nestes congressos
o primeiro
foi belos
reservado
quasedeinteiramente
miniarquitecto
interveniente
na edificação
de um dosdiamais
exemplos
arquitecturaaobarroca
curso
cuja
preparação
e
dinamização,
este
ano,
esteve
a
cargo
de
Lucília
Carvalho
da
Faculdade
em Portugal – a Casa de Mateus. O nosso ilustre romancista Camilo Castelo Branco viveu, de 1839dea
Ciências
Universidade
Lisboa. Este
curso, deuma
Análise
de Dados
teve como
1841,
na da
pequena
aldeia dedeVilarinho
de Samardã
freguesia
deste Espaciais,
concelho. Numa
épocaobjectivo
em que
descrever
e
modelar
dados
que
resultam
de
observações
de
fenómenos
dependentes
da
sua
localização
tanto se fala de “Magalhães” não podia deixar de mencionar que, segundo a tradição, o navegador
no espaço,
os dados espaciais.
Foram
conceitos
básicos enoosúltimo
modelos
mais do
simples
mais
Fernão
de Magalhães
terá nascido
na introduzidos
casa dos Pereiras,
em Sabrosa,
quartel
séculoe XVI
aplicados
a estes
dados, particular
destaque
foireferir
dado que
às múltiplas
aplicações
práticas.
Esta
grandee
Para os menos
apreciadores
de história
resta-me
o contemporâneo
Miguel
Torga,
médico
aplicabilidade
estatística
espacial
fazia prever
elevado
número
participantes
que assistiram
escritor, nasceudaneste
distrito
em Sãojá Martinho
de oAnta,
concelho
dede
Sabrosa
e destacar,
de entre asa
este
curso.
figuras
mediáticas dos nossos dias, Simão Sabrosa, actualmente futebolista do Atlético de Madrid, que
Terminado
era Coelho,
chegadaactualmente
a hora da Sessão
de Abertura
do Congresso.
Nasdepalavras
do
aqui nasceuoe mini-curso
Pedro Passos
Presidente
da Assembleia
Municipal
Vila Real,
Presidente
da Câmara,
do Reitor
da Camilo
Universidade
Trás-os-Montes e Alto Douro, da Coordenadora
que aqui estudou
no Liceu
Nacional
CastelodeBranco.
do Departamento
de Matemática,
do Presidente
SPE e da da
Presidente
da Comissão
Organizadorae
Com a colaboração
do Departamento
de da
Matemática
Universidade
de Trás-os-Montes
Local
ouvimos
boas vindas
e os votos
uma agradável
e profícua
comcongresso
o orador
Alto Douro,
a as
Sociedade
Portuguesa
dede
Estatística
organizou
assimestadia.
em VilaSeguiu-se,
Real o seu
convidado
Daniel
Gianola
(Universidade
de
Winconsin-Madison,
USA),
a
primeira
das
cinco
anual que constitui um evento fundamental a nível nacional em Probabilidades e Estatísticasessões
e suas
plenárias
que aqui
assistir. Organizadora
Em bom inglês
e sobconstituída
o olhar atento
de Ivette
Gomes
que
aplicações.a Um
bem pudemos
haja à Comissão
Local,
por Irene
Oliveira,
Elisete
presidiu
à sessão
ouvimos
falar de
“Nonparametric and machine learning procedures for genomeCorreia, Fátima
Ferreira
e Sandra
Dias.
enabledApresentados
prediction of agenetic
for Real
quantitative
traits”.
cidadevalue
de Vila
e os organizadores
deste congresso, inicio o meu passeio
A
dia que jáque,
se avistava
longo fomos
recebidos
nosser
Paços
Concelho
para o tradicional
porterminar
mais umumcongresso
por interesses
pessoais
e por não
fã dedoálcool,
de aleatório
só teve o
“Porto
título. de Honra”, gentilmente oferecido pela Câmara Municipal de Vila Real.
Segundo
Primeiro dia:
dia: 21 de
de Outubro
Outubro de
de 2008
2008
O
convite,
desde
já agradeço,
para presidir
logo pela
à sessãoquase
Extremos
I direccionou
de
Como
vem que
sendo
hábito
nestes congressos
o primeiro
diamanhã
foi reservado
inteiramente
ao miniimediato
o
meu
“passeio”
neste
dia
que
acordou
solarengo.
Em
paralelo
decorriam
as
restantes
quatro
curso cuja preparação e dinamização, este ano, esteve a cargo de Lucília Carvalho da Faculdade de
sessões
orais
desteEste
diacurso,
– Séries
Temporais
I, Ensino
da Estatística,
Ciênciasde
da comunicações
Universidade de
Lisboa.
de Análise
de Dados
Espaciais,
teve comoProcessos
objectivo
Estocásticos
e
Estatística
Aplicada
à
Saúde
e
Epidemiologia.
descrever e modelar dados que resultam de observações de fenómenos dependentes da sua localização
no espaço, os dados espaciais. Foram introduzidos conceitos básicos e os modelos mais simples e mais
1
aplicados
estes
dados,
particular
destaque
foi sai
dado
às taberna
múltiplas
aplicações
práticas.
Esta
grandea
“Imagine-sea um
fulano,
já muito
tocado pelo
álcool, que
de uma
e procura
o caminho
para casa.
Ao chegar
cada
esquina,
o
sujeito
está
tão
toldado
que
a
sua
escolha
de
direcção
é
perfeitamente
aleatória.
Virará
para
a
direita
aplicabilidade da estatística espacial já fazia prever o elevado número de participantes que assistiramoua
para
esquerda, seguirá em frente ou voltará para trás por motivos que ninguém entende, muito menos ele próprio. A sua
este acurso.
escolha é perfeitamente aleatória, como se fosse atirando moedas ao ar para decidir o caminho.” Em, Nuno Crato. (2007).
Terminado
o mini-curso era chegada a hora da Sessão de Abertura do Congresso. Nas palavras do
Passeio Aleatório pela Ciência do dia-a-dia. Editora Gradiva.
Presidente da Câmara, do Reitor da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, da Coordenadora
do Departamento de Matemática, do Presidente da SPE e da Presidente da Comissão Organizadora
Local ouvimos
O u t oasn boas
o d vindas
e 2 0e0os8 votos de uma agradável e profícua estadia. Seguiu-se, com o orador3
curso cuja preparação e dinamização, este ano, esteve a cargo de Lucília Carvalho da Faculdade de
Ciências da Universidade de Lisboa. Este curso, de Análise de Dados Espaciais, teve como objectivo
descrever e modelar dados que resultam de observações de fenómenos dependentes da sua localização
no espaço, os dados espaciais. Foram introduzidos conceitos básicos e os modelos mais simples e mais
aplicados a estes dados, particular destaque foi dado às múltiplas aplicações práticas. Esta grande
aplicabilidade da estatística espacial já fazia prever o elevado número de participantes que assistiram a
este curso.
Terminado o mini-curso era chegada a hora da Sessão de Abertura do Congresso. Nas palavras do
Presidente da Câmara, do Reitor da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro, da Coordenadora
do Departamento de Matemática, do Presidente da SPE e da Presidente da Comissão Organizadora
Local ouvimos as boas vindas e os votos de uma agradável e profícua estadia. Seguiu-se, com o orador
convidado Daniel Gianola (Universidade de Winconsin-Madison, USA), a primeira das cinco sessões
plenárias a que aqui pudemos assistir. Em bom inglês e sob o olhar atento de Ivette Gomes que
presidiu à sessão ouvimos falar de “Nonparametric and machine learning procedures for genomeenabled prediction of genetic value for quantitative traits”.
A terminar um dia que já se avistava longo fomos recebidos nos Paços do Concelho para o tradicional
“Porto de Honra”, gentilmente oferecido pela Câmara Municipal de Vila Real.
Segundo dia: 2 de Outubro de 2008
O convite, que desde já agradeço, para presidir logo pela manhã à sessão Extremos I direccionou de
imediato o meu “passeio” neste dia que acordou solarengo. Em paralelo decorriam as restantes quatro
sessões de comunicações orais deste dia – Séries Temporais I, Ensino da Estatística, Processos
Estocásticos e Estatística Aplicada à Saúde e Epidemiologia.
Terminadas as sessões de comunicações orais seguiu-se uma sessão de posters e posteriormente a
1
sessão
plenária
sobre jáDados
categorizados
quadro
produto
de multinomiais:
umaa
“Imagine-se
um fulano,
muito tocado
pelo álcool,com
que omissão
sai de umanum
taberna
e procura
o caminho
para casa. Ao chegar
cada
esquina,
o
sujeito
está
tão
toldado
que
a
sua
escolha
de
direcção
é
perfeitamente
aleatória.
Virará
para
a
direita
ou
panorâmica de métodos de análise. Esta sessão plenária foi proferida por Carlos Daniel Paulino (IST,
para
a
esquerda,
seguirá
em
frente
ou
voltará
para
trás
por
motivos
que
ninguém
entende,
muito
menos
ele
próprio.
A
sua
Universidade Técnica de Lisboa) e presidida por João Tiago Mexia.
escolha é perfeitamente aleatória, como se fosse atirando moedas ao ar para decidir o caminho.” Em, Nuno Crato. (2007).
Para
aqueles que ainda não se cansaram de me ouvir falar de passeios chegou a hora de vos falar do
Passeio Aleatório pela Ciência do dia-a-dia. Editora Gradiva.
verdadeiro passeio, o Passeio do Congresso. Com uma temperatura que mais fazia lembrar um dia de
Verão partimos rumo à Régua para um magnífico cruzeiro pelo Douro abordo do Pirata Azul.
Rodeados de uma paisagem de vinhedos em socalcos de rara beleza, navegámos da Régua ao Pinhão
onde a eclusa da Barragem de Bagaúste se destacou como o “momento alto” do percurso. Terminámos
o passeio na Quinta do Seixo, com cerca de 100 hectares, onde, no meio de muito mistério e
sensualidade, aprendemos um pouco mais sobre a conhecida marca de vinhos Sandeman. A prova de
vinhos do Porto desta marca quase tornou o passeio aleatório, contudo a descida íngreme e sinuosa que
nos esperava obrigou-nos a manter todos os sentidos bem despertos.
Terceiro dia: 3 de Outubro de 2008
Não podia passar por este terceiro dia de congresso sem falar na comunicação Modelos geradores de
memória longa no controlo motor, proferida por Ana Diniz, que abriu a sessão Séries Temporais II.
Trata-se de um trabalho conjunto com João Barreiros e Nuno Crato, inspirador do título deste texto e
que me ensinou, entre outras coisas, que não preciso de me preocupar com o facto de nos congressos
da SPE ser sempre oferecido a todos os oradores monóxido di-hidrogénico. Em jeito de agradecimento
pela inspiração aqui lhe presto a minha singela homenagem.
Após as quatro sessões paralelas que integraram, no total, dezanove comunicações orais em quatro
grande áreas – Séries Temporais, Estatística Multivariada, Regressão Logística e Aplicações à
Genética – ainda houve tempo para mais uma sessão de posters antes da primeira sessão plenária do
dia. Esta sessão plenária, presidida por Russel Alpizar-Jara, esteve a cargo de Geert Molenbergs
(Universidade de Hasselt, Bélgica) e teve por título “Every missing not at random model for
incomplete data – has got a missing at random counterpart with equal fit”. O início da tarde ficou
marcado pela segunda sessão plenária do dia, que teve como oradora convidada a Manuela Neves
(ISA, Universidade Técnica de Lisboa) que nos falou de Métodos semi-paramétricos e não
paramétricos em modelação e estimação. A presidir esteve João Branco. Seguiram-se mais duas
sessões de comunicações orais e uma sessão de posters. A primeira destas sessões de comunicações
orais, com as sessões paralelas Aplicações Sócio-económicas, Amostragem, Estatística Espacial e
Inferência Estatística I, teve um total de quinze apresentações. A segunda contemplou apenas dez
comunicações orais nas áreas de Estatística e Aplicações, Estudo de Populações Animais, Inferência
Estatística e Regressão e Aplicações.
A tarde terminou com a fotografia do congresso tirada este ano em dois locais distintos, primeiro em
frente ao hotel onde se realizou o congresso (Hotel Miracorgo) e depois no terraço com vista sobre o
4
Boletim SPE
Rio Corgo. A noite prolongou-se com o sempre desejado jantar do congresso que decorreu na Quinta
Inferência Estatística I, teve um total de quinze apresentações. A segunda contemplou apenas dez
comunicações orais nas áreas de Estatística e Aplicações, Estudo de Populações Animais, Inferência
Estatística e Regressão e Aplicações.
A tarde terminou com a fotografia do congresso tirada este ano em dois locais distintos, primeiro em
frente ao hotel onde se realizou o congresso (Hotel Miracorgo) e depois no terraço com vista sobre o
Rio Corgo. A noite prolongou-se com o sempre desejado jantar do congresso que decorreu na Quinta
de Santo António e onde as cerca de 170 pessoas que estiveram presentes puderam desfrutar da boa
comida transmontana e ainda dar um pézinho de dança ao som de cantigas tradicionais portuguesas.
Quarto e último dia: 4 de Outubro de 2008
O último dia de congresso iniciou-se com vinte e três comunicações orais divididas por cinco sessões
– Aplicações Financeiras, Controlo de Qualidade, Estatística e Aplicações II, Extremos II e
Estatística Bayesiana.
Com dezoito dos setenta e cinco posters apresentados neste congresso terminaram as sessões de
posters com que fomos presenteados ao longo de três dias.
Tendo já ganho o Prémio SPE aguardo sempre com grande entusiasmo a revelação de cada novo
vencedor. Este ano o prémio foi atribuído a Nuno Sepúlveda (Instituto Gulbenkian da Ciência) pelo
seu trabalho Abordagem por penetrâncias alélicas: uma nova modelação em Genética. Aqui ficam os
meus sinceros parabéns.
Na última sessão plenária deste congresso, presidida por Carlos Braumann, Ian Maclean (Business
Statistics Users Group, Reino Unido) falou-nos da importância da Estatística na sociedade com a sua
comunicação intitulada “Statistics in the Service of Society”.
O congresso terminou com a Sessão de Encerramento onde Carlos Braumann entregou o Prémio
Estatístico Júnior 2008 e agradeceu a presença de todos bem como o empenho e excelente trabalho da
Comissão Organizadora Local.
Para o ano o Departamento de Matemática da Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade
Nova de Lisboa convida-nos, a mais um passeio, nos dias 30 de Setembro a 3 de Outubro de 2009 em
Sesimbra (quase certamente), pela estatística que por cá se faz. Apareçam e até lá muitos e bons
passeios (mais ou menos aleatórios consoante os gostos)!
Ana Paula André Martins
(Departamento de Matemática, UBI)
Outono de 2008
5
Para o triénio 2009-2011
Para oCandidatura
triénio 2009-2011
Candidatura
Mesa da Assembleia Geral
Candidatura
Mesa da Assembleia Geral
Candidatura
Mesa
da SPE
Assembleia
Geral
• Eleições
na
o (UTL
triénio
2009-11
Presidente:
Joãopara
Branco
- Instituto
Superior Técnico)
Mesa da Assembleia
Geral
Presidente:
João Maria
BrancoCarmo
(UTL Miranda
- InstitutoGuedes
Superior
Primeiro
Vogal:
(U.Técnico)
Porto - Faculdade Ciências)
Mesa
da
Assembleia
Geral
Presidente:
João
Branco
(UTL
Instituto
Superior
Técnico)
Primeiro
Vogal:
Maria
Carmo
Miranda
Guedes
(U.
Segundo
Vogal:
Paulo
Infante
(U.
Évora)
Mesa
da Assembleia
Geral
Presidente:
João Paulo
Branco
(UTL (U.
- Instituto
Superior
Primeiro
Vogal:
Maria
Carmo
Miranda
(U.Técnico)
Segundo Vogal:
Infante
Évora)Guedes
Presidente:
João Paulo
BrancoInfante
(UTL (U.
- Instituto
Superior
Primeiro
Vogal:
Maria
Carmo
Miranda
Guedes
(U.Técnico)
Segundo
Vogal:
Évora)
Presidente:
João
Branco
(UTL
Instituto
Superior
Técnico)
Primeiro
Vogal: Paulo
MariaInfante
Carmo (U.
Miranda
Segundo Vogal:
Évora)Guedes (U. Porto - Faculdade Ciências)
Direcção Vogal:
Primeiro
Vogal: Paulo
MariaInfante
Carmo (U.
Miranda
Guedes (U. Porto - Faculdade Ciências)
Segundo
Direcção Vogal: Paulo Infante (U. Évora)
Segundo
Évora)
Direcção
Presidente:
Carlos Braumann (U. Évora)
Direcção
Presidente:
CarlosPaula
Braumann
(U. Évora)
Vice-Presidente:
Brito (U.Porto
– Faculdade de Economia)
Direcção
Presidente:
Carlos
Braumann
(U.
Évora)
Vice-Presidente:
Paula
Brito
(U.Porto
–(U.Lisboa
Faculdade–de
Economia)
Secretário: Luísa
Canto
e Castro
Faculdade
de Ciências)
Direcção
Presidente:
CarlosPaula
Braumann
(U.Loura
Évora)
Vice-Presidente:
Brito
(U.Porto
–
Faculdade
de
Economia)
Secretário:
Luísa
Canto
e
Castro
Loura
(U.Lisboa
–
Faculdade
de Ciências)
Secretário-Adjunto:
Russell
Alpizar-Jara
(U.
Évora)
Presidente:
Carlos
Braumann
(U.
Évora)
Vice-Presidente:
Paula
Brito
(U.Porto
–
Faculdade
de
Economia)
Secretário:
Luísa
Canto
e
Castro
Loura
(U.Lisboa
–
Faculdade
de Ciências)
RussellSouto
Alpizar-Jara
(U.
Évora)
Tesoureiro:Luísa
MariaPaula
Manuela
Miranda
( U.
Aveiro)
Presidente:
Carlos
Braumann
(U.Loura
Évora)
Vice-Presidente:
Brito
(U.Porto
–
Faculdade
de
Economia)
Secretário:
Canto
e
Castro
(U.Lisboa
–
Faculdade
de Ciências)
Russell
Alpizar-Jara
(U.
Évora)
Tesoureiro: MariaPaula
Manuela
Souto
Miranda
( U.
Aveiro)
Vice-Presidente:
Brito
(U.Porto
–(U.Lisboa
Faculdade
de
Economia)
Secretário:
Luísa
Canto
e
Castro
Loura
–
Faculdade
de Ciências)
Russell
Alpizar-Jara
(U.
Évora)
Tesoureiro:Luísa
MariaCanto
Manuela
SoutoLoura
Miranda
( U. Aveiro)
Secretário:
e
Castro
(U.Lisboa
–
Faculdade
de Ciências)
RussellSouto
Alpizar-Jara
Évora)
Tesoureiro:
Maria Manuela
Miranda(U.
( U.
Aveiro)
Conselho
Fiscal
Russell
Alpizar-Jara
(U.
Évora)
Tesoureiro:
Maria Manuela Souto Miranda ( U. Aveiro)
Conselho
Fiscal
Tesoureiro:
Maria Manuela Souto Miranda ( U. Aveiro)
Conselho
Fiscal
Presidente:
Maria
Manuela Neves Figueiredo (UTL – Instituto Superior Agronomia)
Conselho
Fiscal
Presidente:
Maria Rodrigues
Manuela Neves
Figueiredo
(UTL – de
Instituto
Superior Agronomia)
Secretário:
Paulo
(U. Algarve
– Faculdade
Economia)
Conselho
Fiscal
Presidente:
Maria
Manuela
Neves
Figueiredo
(UTL
–
Instituto
Superior Agronomia)
Secretário:
Paulo
Rodrigues
(U. Algarve
– Faculdade
de Economia)
Relator:
Carlos
Marcelo
(Instituto
Nacional
de(UTL
Estatística)
Conselho
Fiscal
Presidente:
Maria
Manuela
Neves
Figueiredo
–
Instituto
Superior Agronomia)
Secretário:
Paulo
Rodrigues
(U. Algarve
– Faculdade
de Economia)
Relator:
Carlos
Marcelo
(Instituto
Nacional
de Estatística)
Presidente:
Maria
Manuela
Neves
Figueiredo
(UTL
–
Instituto
Superior Agronomia)
Secretário:
Paulo
Rodrigues
(U.
Algarve
–
Faculdade
de
Economia)
Relator:
Carlos
Marcelo
(Instituto
Nacional
de(UTL
Estatística)
Presidente:
Maria
Manuela
Neves
Figueiredo
–
Instituto
Superior Agronomia)
Secretário:
Paulo
Rodrigues
(U. Algarve
– Faculdade
de Economia)
Relator:
Carlos
Marcelo
(Instituto
Nacional
de Estatística)
Secretário:
Paulo
Rodrigues
(U.
Algarve
–
Faculdade
de
Economia)
Relator: Carlos Marcelo (Instituto Nacional de Estatística)
Relator: Carlos Marcelo (Instituto Nacional de Estatística)
6
Boletim SPE
• Um
marco,
25 anos!
Um
marco,
há 25há
anos!
O acontecimento em notícia foi ponto de partida em muitos projectos científicos e é, sem dúvida, uma
referência na história da consolidação da Estatística em Portugal. A reunião científica que se enaltece
congregou em Portugal todos os “extremófilos” mundiais e abriu muitos e novos horizontes.
Com o propósito de obter uma perspectiva completa sobre o campo de investigação “Estatística de
Extremos e Aplicações” decorreu, de 31 de Agosto a 14 de Setembro de 1983, no Hotel Golf - Mar do
Vimeiro um Curso Avançado no âmbito do NATO Advanced Study Institute. Com Direcção de J.
Tiago de Oliveira e sendo co-directores M. Ivette Gomes e Feridun Turkman, aquele foi um
acontecimento científico do maior relevo para a história da Estatística e dos Estatísticos portugueses.
“Atrevo-me hoje a dizer que a organização deste encontro de duas semanas, com os dois fins de
semana incluídos e repletos de programa social, embora me tivesse traumatizado de tal modo que só a
partir de 1999 me atrevi a organizar outras conferências, constitui o marco de lançamento daquilo que
penso poder considerar-se a “Escola de Extremos” em Portugal.” (Ivette Gomes in Boletim SPE.
Primavera de 2007, p. 37)
Como memorial, foi editado por J. Tiago de Oliveira o livro de Actas - Statistical Extremes and
Applications - NATO Advanced Science Institute, Series C, pela editora D. Reidel, em 1984.
“The purpose of the NATO – ASI “Statistical Extremes and Applications” was to obtain a complete
perspective of the field, also with a series of promising directions of research and some recent results”
escreveu Tiago de Oliveira no prefácio das referidas actas (disponíveis em bibliotecas universitárias).
Fernando Rosado
• Professora
Fátima:
Notícia Professora
Fátima: A
Sócia nº 1A Sócia
n.º 1
A nossa sócia nº 1, Professora Maria de
Fátima Fontes de Sousa, festejou no passado
mês de Julho, o seu 80º aniversário. Durante
o jantar comemorativo, organizado por
iniciativa do Centro de Estatística e
Aplicações da Universidade de Lisboa, a
Sociedade Portuguesa de Estatística prestoulhe uma pequena homenagem e salientou o
seu
importante
contributo
para
o
desenvolvimento da Estatística em Portugal.
Maria de Fátima Fontes de Sousa licenciouse em Matemática, fez toda a sua carreira
universitária na Faculdade de Ciências da
Universidade de Lisboa e foi Professora
Catedrática do Departamento de Estatística e
Investigação Operacional até 1998. Embora
jubilada, manteve a sua permanência no
Centro de Estatística e Aplicações como
directora da linha de investigação em
“Análise e Planeamento de Experiências”
Luísa Loura
Outono de 2008
7
• Prémios
“Estatístico
Prémios
“Estatístico
JúniorJúnior
2008” 2008”
A atribuição de prémios “Estatístico Júnior 2008” é promovida pela Sociedade Portuguesa de
Estatística, com o apoio da Porto Editora, e tem como objectivo estimular e desenvolver o interesse
dos alunos do ensino básico e secundário pelas áreas da probabilidade e estatística. Ao apelo para
submissão de trabalhos correspondeu uma adesão bastante elevada, tendo sido recebidos 21 trabalhos
na categoria Ensino Básico, envolvendo um total de 57 alunos, e 15 na categoria Ensino Secundário,
envolvendo um total de 39 alunos.
A cerimónia de entrega dos Prémios Estatístico Júnior 2008, conforme estipulado no Regulamento,
decorreu na Sessão de Encerramento do XVI Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de Estatística,
no dia 4 de Outubro de 2008, às 13horas, no Auditório Miguel Torga nas instalações do Hotel
Miracorgo em Vila Real.
Informa-se ainda que neste ano houve um trabalho do Ensino Básico, com nível compatível à
atribuição de um 1º lugar, mas este foi desqualificado porque a equipa foi composta por mais de 3
alunos, violando assim o ponto número 3 do Regulamento.
O Júri foi constituído pelos professores: Doutora Maria Eugénia Graça Martins (Presidente) e Doutora
Luísa Canto e Castro de Loura do Departamento de Estatística e Investigação Operacional da
Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa e Doutor Russell Alpizar-Jara do Departamento de
Matemática da Universidade de Évora.
No final deste Boletim são apresentados os premiados.
A Direcção
• Criação ou não da Região Ibérica da Sociedade Int. de Biometria
Criação ou não da Região Ibérica da Sociedade Internacional de Biometria
No Boletim de Outono de 2007 publicou-se um texto sobre a questão Sim ou não à criação da Região
Ibérica da Sociedade Internacional de Biometria, que foi igualmente distribuído por correio
electrónico aos sócios da SPE. Nele se apelava para a participação do maior número possível de
utilizadores de Estatística, sobretudo no campo da Biometria, numa sondagem electrónica visando
indagar a extensão do interesse na criação de tal Região Ibérica e na associação através dela à
International Biometric Society.
Estamos agora em condições de informar que esta iniciativa não conseguiu mobilizar a comunidade a
que era dirigida já que o número de respostas recebidas foi claramente inexpressivo relativamente ao
dos investigadores que se sabe trabalharem frequentemente na metodologia estatística aplicada à
Biometria, ainda que tivessem correspondido esmagadoramente a posições inequivocamente
afirmativas.
Não havendo uma alteração substancial desta situação de apatia e aparente desinteresse, não creio
pessoalmente que se justifique avançar para uma superior forma de organização dos biostatísticos
ibéricos que envolva num plano de representatividade mais equilibrado a comunidade portuguesa. E é
pena que se perca esta oportunidade de contribuir decisivamente para impulsionar e conferir uma
maior visibilidade à Biostatística que se faz em Portugal.
Carlos Daniel Paulino
Novo glossário inglês-português de termos estatísticos
8
Boletim SPE
Novo glossário inglês-português de termos estatísticos
• Novo glossário inglês - português de termos estatísticos
O glossário estatístico inglês-português da autoria de comissões criadas no seio da SPE e ABE, e que
foi enviado em Julho de 2007 para o ISI, encontra-se disponível no sítio deste no endereço
http://isi.cbs.nl/glossary/index.htm. Os vocábulos de uso exclusivo no Brasil estão aí assinalados com
a indicação (bra).
Em consonância com o que se refere no texto sobre esta matéria publicado no Boletim de Outono de
2007, deu-se início à etapa de elaboração de um glossário estatístico mais abrangente. A parte
portuguesa da equipa de trabalho (CENE) passou a ser constituída por Carlos Daniel Paulino, João
Branco, Dinis Pestana e Alfredo Reis.
Nunca é demais realçar a crucial importância de que se reveste este trabalho para o mundo lusófono e
para a promoção internacional da língua portuguesa no que diz respeito a esse domínio do
conhecimento. Nesse sentido, desafiamos uma vez mais todos os colegas a contribuírem com as suas
sugestões, mormente associadas com o vocabulário estatístico da respectiva área de trabalho, para este
utilíssimo instrumento de consulta e de harmonização da comunicação estatística em português.
Carlos Daniel Paulino
• WEAA2008 - Workshop em Estimação de Abundância Animal
WEAA2008 - Workshop em Estimação da Abundância Animal
Realizou-se na Universidade de Évora, de 7 a 9 de Julho de 2008, o Workshop em Estimação da
Abundância Animal. Este evento, de carácter interdisciplinar, foi patrocinado pelo Centro
Internacional de Matemática (CIM) e pela Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT).
Contou também com o apoio em espécie e subsídios de outras entidades do sector público e privado.
O workshop contou com a presença de ilustres instrutores convidados, cientistas de reconhecido
prestigio internacional nesta área de investigação: os professores Kenneth H. Pollock e Theodore R.
Simons, da North Carolina State University, Raleigh, North Carolina, E. U. A., e o professor JeanDominique Lebreton, do Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), CEFE, França.
Teve como principal objectivo estreitar a lacuna existente entre a teoria da estimação estatística de
populações animais e as suas aplicações, tendo por isso como publico alvo investigadores e estudantes
interessados na estimação de parâmetros demográficos de populações naturais e/ou humanas evasivas.
Originalmente destinado a uma lotação limitada de 30 inscrições, o workshop foi alargado a um total
de 40 participantes dado o interesse manifestado.
Contou com participantes provenientes do sector académico, governamental e de consultores no sector
privado.
A maior parte dos participantes eram de Portugal mas também houve participantes provenientes do
Brasil, Espanha, Itália e do Reino Unido.
Para mais informações: http://www.eventos.uevora.pt/~weaa
A Comissão Organizadora
Russell Alpizar-Jara, Anabela Afonso e João Filipe Monteiro.
Centro de Investigação em Matemática e Aplicações (CIMA) e Departamento de Matemática da Universidade de Évora
Outono de 2008
9
• COMPSTAT’ 2008
A conferência COMPSTAT’2008, International Conference on Computational Statistics, teve este
ano lugar no Porto de 24 a 29 de Agosto, tendo sido organizada localmente pela Faculdade de Economia da
Universidade do Porto. COMPSTAT é uma iniciativa da European Regional Section of the International
Association for Statistical Computing (IASC), uma secção do International Statistical Institute (ISI),
COMPSTAT’2008 foi a sua 18ª edição. Trata-se de uma das mais importantes conferências a nível mundial
na área de Estatística Computacional, certamente a mais importante a nível europeu, reunindo algumas
centenas de participantes quer do mundo académico quer de diferentes actividades onde a Estatística
Computacional tem aplicação, permitindo a divulgação de trabalhos nas vertentes teórica e aplicada,
incentivando a interdisciplinaridade, as trocas de experiências e a cooperação futura. COMPSTAT’2008 foi
a sua primeira edição em Portugal, tendo contado com cerca de 360 participantes, oriundos de 34 países dos
5 continentes.
Foram Keynote Speakers, honrando a conferência com a sua participação, os Prof. Peter Hall (Dep.
of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne, Austrália), Prof. Heikki Mannila (Dep. of
Computer Science, Faculty of Science, University of Helsinki, Finlândia) e Prof. Timo Teräsvirta (School of
Economics and Management, University of Aarhus, Dinamarca). Tiveram lugar dois tutoriais, a saber:
“Computational Methods in Finance” por James Gentle (Dep. of Computational and Data Sciences, George
Mason University, EUA), e “Creating R Packages” por Friedrich Leisch (Institut für Statistik, LudwigMaximilians-Universität, München, Alemanha), que despertaram muito interesse e contaram com uma
assinalável audiência. A conferência teve ainda Sessões Convidadas em variadíssimas áreas, assim como
Contributed Sessions, sob a forma oral e de poster. O livro de Proceedings, publicado pela Physica-Verlag Springer reúne os artigos dos Keynote Speakers e dos oradores nas Sessões Convidadas, incluindo um CDRom com os artigos submetidos livremente que foram aceites após revisão.
De realçar ainda a homenagem ao Prof. Norbert Victor (Presidente do IASC no período 1991-1993)
cuja acção foi fundamental para a criação e desenvolvimento da secção europeia (ERS) do IASC e para a
adopção de COMPSTAT como sua conferência oficial. Norbert Victor seria o primeiro Chairman da ERS,
aquando da sua criação pelo Conselho do IASC em 1978.
O Programa Social foi concebido para dar a conhecer aos participantes um pouco mais da cidade do
Porto e da sua cultura, permitindo encontros informais … e a necessária descontracção após as sessões de
trabalho. Assim, no domingo, dia 24, os participantes foram convidados para um Ice Breaker nas belíssimas
instalações da Comissão de Viticultura da Região dos Vinhos Verdes, onde puderam apreciar um copo de
Vinho Verde com uma bela vista sobre o rio Douro. Na Segunda-feira, dia 25, teve lugar o Cocktail do
Congresso, na Praia da Luz, ao pôr do Sol… que cremos ficará na memória de todos… e que terminou com
dança ao som de músicas dos 60’s e 70’s. O Instituto dos Vinhos do Porto e Douro ofereceu uma prova de
Vinhos do Porto na 3ª feira, que contou com a presença de cerca de 80 participantes, que assim tiveram
oportunidade de aprender alguns segredos sobre o precioso néctar. Terça-feira foi ainda o dia em que os
participantes visitaram a Casa da Música para um concerto pelo agrupamento Camerata Senza Misura, que
tocou obras de Rossini, Carlos Azevedo e Beethoven. Quarta-feira já pedia um pouco de descanso… e da
parte da tarde subimos o Rio Douro de barco, passando a barragem de Crestuma-Lever. A metereologia não
nos deixou ficar mal… e foi um momento de agradável descontracção e abundante reportagem fotográfica.
Finalmente, no dia 28 reunimo-nos para jantar no restaurante das Caves Taylor’s, tendo havido ainda a
oportunidade de uma visita às caves para os interessados. A noite terminou com música e dança para os
mais activos, tendo os restantes desfrutado da vista nocturna sobre a cidade do Porto a partir do terraço… a
noite estava belíssima.
Na sessão de encerramento do Congresso foram atribuídos três prémios a trabalhos apresentados por
jovens investigadores; os laureados foram: Michiel Debruyne - "The Stahel-Donoho Outlyingness in a
Reproducing Kernel Hilbert Space"; Paulo Canas Rodrigues e Miguel de Carvalho - "Monitoring
Calibration of the Singular Spectrum Analysis Method" e Morgan Seston - "A Simple Algorithm to
Recognize Robinsonian Dissimilarities".
E sexta-feira foi o dia das despedidas… até Paris em Agosto de 2010.
E sexta-feira foi o dia das despedidas… até Paris em Agosto de 2010.
A Comissão Organizadora Local agradece a todos os que de alguma forma contribuíram para a
A Comissão Organizadora Local agradece a todos os que de alguma forma
realização de COMPSTAT’2008, enviando daqui um abraço a todos os connosco participaram na
realização de COMPSTAT’2008, enviando daqui um abraço a todos os conno
Conferência. Para mais informações, fotografias, etc., não deixe de visitar o website da Conferência,
Conferência. Para mais informações, fotografias, etc., não deixe de visitar o web
www.fep.up.pt/compstat08/.
www.fep.up.pt/compstat08/.
Paula Brito
Paula Brito
10
Boletim SPE
Episódios na História da Estatística
• Rodolpho Guimarães (1904)
RODOLPHO GUIMARÃES (1904)
Rodolfo Ferreira Dias Guimarães (1866–1918), professor da Escola do Exército de Lisboa (actual
Academia Militar), célebre pela sua investigação em História da Matemática, nomeadamente pela
edição de um catálogo das obras de Matemática publicadas por autores portugueses durante o século
XIX e pela divulgação da obra de Pedro Nunes (1502–1578), publica em 1904 um riquíssimo
opúsculo intitulado Noções sobre Cálculo das Probabilidades, Theoria dos Erros e Méthodo dos
Mínimos Quadrados, que contém os principais resultados, existentes na época, nesta área. Este tratado
corresponde ao volume 223 da colecção Bibliotheca do Povo e das Escolas, uma colecção assinalável,
destinada quer ao mercado português quer ao brasileiro, em cuja capa se declara: “Cada volume
abrange 64 paginas, de composição cheia, edição
estereotypada, — e fórma um tratado elementar completo
n’algum ramo de sciencias, artes ou industrias, um florilegio
litterario, ou um aggregado de conhecimentos uteis e
indispensaveis, expostos por fórma succinta e concisa, mas
clara, despretenciosa, popular, ao alcance de todas as
intelligencias”. Correspondendo a tal apresentação, esta
extensa colecção de livros de pequeno formato (11cm×17cm)
abordava os mais diversos assuntos, tais como a Matemática
(nas suas distintas áreas, como por exemplo, em 1910,
Geometria e trigonometria espherica, do autor agora em
referência), a Física, a Química, a História, a Geografia, a
Filosofia, a Religião, a Meteorologia, a Gramática, a Arte, a
Anatomia, a Culinária, o Cultivo, a Ginástica, até a Hygiene
da Habitação.
Na obra acima referida, Rodolfo Guimarães, após uma breve
resenha histórica do Cálculo das Probabilidades, aponta a
definição
clássica
de
probabilidade,
baseada
na
equipossibilidade, através da qual deduz as principais propriedades da Probabilidade, tais como os
Teoremas da Probabilidade Composta, da Probabilidade Total, de Bayes, entre outros. Define a
esperança matemática em jogos de azar, com a qual analisa o paradoxo de S. Petersburgo, e apresenta
a esperança moral de Nicolau Bernoulli. Demonstra o Teorema de Jacob Bernoulli (Lei [Fraca] dos
Grandes Números) e o Teorema Limite Central (de Moivre–Laplace), ambos restritos a provas de
Bernoulli com igual probabilidade, referindo a generalização de Poisson para provas com
probabilidades de sucesso distintas, publicada em 1837. Não examina, no entanto, os casos gerais,
obtidos pela escola russa de probabilidade, tanto as generalizações da Lei dos Grandes Números de
Chebycheff, de 1867, e de Markoff, de 1900, que não se restringem a provas de Bernoulli mas impõem
condições aos momentos da distribuição, como ainda o Teorema Limite Central de âmbito geral
demonstrado por Lyapounov em 1901, resultados que, aliás, estão ausentes nas publicações ocidentais
até à obra de Castelnuovo, que só aparece em 1919. O autor dedica uma boa parte desta obra à Teoria
dos Erros, expondo as hipóteses subjacentes aos erros para que sejam caracterizados pela Lei de Gauss
e verificando experimentalmente este resultado na medição de ângulos. O estudo termina com a
exposição do Método dos Mínimos Quadrados.
Ao lermos este volume inserido nesta colecção popular, ao alcance de todas as intelligencias,
concluímos que, certamente, os intelectos da época seriam deveras brilhantes.
Rui Santos
Escola Superior de Tecnologia e Gestão − Instituto Politécnico de Leiria
Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa
Outono de 2008
11
• José de Sousa Pinto (1913)
JOSÉ DE SOUSA PINTO (1913)
José Freire de Sousa Pinto (1855–1911), professor da Faculdade de Matemática da Universidade de
Coimbra, debate a utilização do Cálculo das Probabilidade na modelação dos fenómenos casuais,
numa construção póstuma e inacabada, mas deveras rica, publicada
nos Annaes Scientificos da Academia Polytecnica do Porto em
1913 (disponível no Fundo Antigo da Faculdade de Ciências da
Universidade do Porto — http://www.fc.up.pt/fa). Nesta obra,
intitulada Noções de Cálculo das Probabilidades para o
Estabelecimento das Bases da Estatística, o autor começa por expor
o processo de construção do conhecimento em qualquer ciência,
concluindo que o avanço do conhecimento advém da combinação
entre a observação do fenómeno e o raciocínio teórico. Deste modo,
qualquer teoria decorre da observação dum fenómeno, sendo essa
teoria inicialmente uma aproximação. Depois é observado uma vez
mais o fenómeno. Esta nova observação servirá para testar a
primeira teoria formada, que é confirmada ou aperfeiçoada com o
novo conhecimento proveniente da nova observação, ou mesmo
alterada, caso a teoria inicial venha a ser considerada errónea. É
nesta cadeia sucessiva de duplo esforço, observação e raciocínio,
que o conhecimento científico avança no sentido do esclarecimento completo do fenómeno, onde a
teoria formalizada acontecerá de certeza sempre que o fenómeno ocorra. José de Sousa Pinto considera
que existem, contudo, alguns fenómenos que não podem ser totalmente teorizados, isto é, que não
podem “passar à categoria de certeza”, pois correspondem a fenómenos casuais. O autor destaca
então dois tipos de probabilidades: as “probabilidades aleatórias”, quando a equipossibilidade é
evidente e, por este motivo, pode ser utilizada a definição clássica de probabilidade de Laplace, as
quais, “apesar do superior desenvolvimento da sua analyse, representam um meio restricto, artificial
e como quasi separado do campo scientifico”, sendo a sua utilidade restrita quase unicamente aos
jogos de azar; as “probabilidades dos fenómenos”, onde é através da realização repetida do fenómeno,
supondo invariabilidade deste, que o valor das probabilidades associadas são determinadas, pois, se
um fenómeno tiver, por exemplo, dois resultados possíveis, A e B, a sua repetição continuada deverá
mostrar a sua relação teleológica, como se ao acontecimento A estivessem associados α resultados
favoráveis e ao acontecimento B estivessem β e, à medida que vamos observando o fenómeno, o rácio
entre o número de vezes que ocorre A e o número de vezes que ocorre B tenderá a manifestar a relação
α/β — Lei Teleológica de Wronski ou Lei Empírica do Acaso. Desta forma, José de Sousa Pinto
considera claramente que as Leis de Bernoulli são o instrumento certo para determinar as
probabilidades quando não é aplicável a definição clássica de probabilidade e, por conseguinte, a elas,
bem como às “mathematicas philosophicas de WRONSKI”, se deve a importância da Estatística como a
ciência que determina as probabilidades associadas aos fenómenos casuais, tornando, desta forma, “as
Probabilidades num fecundo recurso scientífico”. Será justo salientar, por conseguinte, a riqueza da
construção filosófica para a determinação das probabilidades e sua fundamentação com recurso à
inversa das Leis de Bernoulli efectuada por José de Sousa Pinto em 1913, numa das poucas obras
Portuguesas dedicadas ao Cálculo das Probabilidades e à Estatística na época.
Rui Santos
Escola Superior de Tecnologia e Gestão − Instituto Politécnico de Leiria
Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa
12
Boletim SPE
SPE e a Comunidade
Para uma melhor compreensão da Gestão como Ciência
PARA UMA MELHOR COMPREENSÃO DA GESTÃO COMO CIÊNCIA
António Teixeira ([email protected]), Álvaro Rosa ([email protected])
e Nelson António ([email protected])
IBS (ISCTE Business School), UNIDE
1. Introdução
Um dos aspectos que os investigadores e práticos da gestão se confrontam é a necessidade de integrar
num todo coerente as contribuições provenientes de diversas disciplinas científicas com grau de
exactidão diferente, onde se incluem tanto componentes duras como moles.
Quer na vertente prática quer na teórica da gestão, análises abrangentes devem estar associadas a uma
capacidade integradora das diversas disciplinas sem contudo perder de vista as suas características
diferentes. Claro que a gestão é um corpo multifacetado que não se limita à fronteira da ciência. No
entanto, este artigo debruçar-se-á apenas sobre a componente científica da gestão, abordando como
exemplo a forma de conciliar a estatística com as ciências comportamentais.
Como Deming (1986) refere, as observações empíricas devem ser sempre analisadas à luz de uma
teoria. Esta integração multidisciplinar também não deve decorrer à revelia de uma matriz teórica que
neste caso se deve referir ao critério de cientificidade. Neste artigo, tendo em contas as limitações de
espaço, abordamos um leque nuclear de concepções de demarcação do campo da ciência, de forma a
clarificar as bases de um modelo integrador para a gestão (para mais detalhes ver Teixeira et al.,
2007).
2. Critérios de demarcação
Com o advento do Iluminismo, o pensamento científico assumiu uma posição predominante, tendo-se
assistido no século XIX a uma etapa marcante na crença nas possibilidades da ciência. Alguns
pensadores consideram exagerada esta atitude. Fiolhais et al. (2008) afirmam a este respeito que “O
cientismo manifesta-se na ideia de que ou temos provas científicas, ou nada podemos ter que seja
racional. … Mas esta não é uma posição razoável. Provar cientificamente algo, ou logicamente, ou
matematicamente, é apenas uma das maneiras que temos de argumentar a favor de ideias ou decisões
ou compromissos”, considerando que racionalidade é mais vasta. Diga-se aliás que o próprio termo é
por vezes empregue com sentido pejorativo (Bauer, 1992), considerando inclusivamente Jarroson
(1992) que o mesmo se encontrava nos antípodas do espírito científico.
Esta tendência levou a que se procurasse a definição de critérios de demarcação entre a ciência e a não
ciência, para distinguir o conhecimento científico do metafísico, de forma a erradicar este último do
edifício científico em construção. Vejamos quais foram as etapas relevantes para o âmbito da nossa
análise da evolução destes critérios de demarcação.
2.1 – O verificacionismo
Embora a teoria do conhecimento e a filosofia das ciências venham de períodos anteriores, a primeira
situação relevante para a nossa análise diz respeito ao positivismo lógico representado pelo Círculo de
Viena, tendo alguns dos seus membros apresentado o Modelo Hipotético-Dedutivo. Esta corrente
utilizou a abordagem cartesiana e evoluiu para o empirismo lógico unificador da ciência e pretendendo
protegê-la da metafísica.
Estas perspectivas assumem uma abordagem acumulacionista do desenvolvimento das ciências,
na qual cada geração de cientistas, recebe a visão anterior e trabalha a partir dela para alargar as
fronteiras da ciência, dentro do mesmo quadro geral de princípios metodológicos. O critério de
demarcação presente no positivismo lógico centra-se na significação das proposições, considerando
com sentido, as que podem ser verificadas recorrendo à análise lógica regressiva, até aos
enunciados de base, remetendo para a categoria das sem sentido, as que têm carácter metafísico,
13
O uportanto,
t o n o dpassíveis
e 2 0 0 8de verificação. Assim, para o positivismo lógico, o critério de
não sendo
na qual cada geração de cientistas, recebe a visão anterior e trabalha a partir dela para alargar as
fronteiras da ciência, dentro do mesmo quadro geral de princípios metodológicos. O critério de
demarcação presente no positivismo lógico centra-se na significação das proposições, considerando
com sentido, as que podem ser verificadas recorrendo à análise lógica regressiva, até aos
enunciados de base, remetendo para a categoria das sem sentido, as que têm carácter metafísico,
não sendo portanto, passíveis de verificação. Assim, para o positivismo lógico, o critério de
demarcação entre o científico e o metafísico, é o verificacionismo.
1
2.2 – O falsificacionismo
Popper (1934) seguiu um caminho diferente, adoptando como critério de demarcação a
falsificabilidade. Ao contrário dos positivistas, Popper não estava interessado na exclusão das
propostas tradicionais da filosofia do campo do que faz sentido. Ele estava apenas interessado em
excluí-las do âmbito da área científica.
A teoria de Popper constituiu um passo que veio revolucionar a visão do processo científico. Enquanto
que anteriormente o processo era tido como acumulacionista e sem descontinuidades, com os
horizontes da ciência sendo sucessivamente alargados a partir das contribuições anteriores (the
received view). Popper introduziu uma perspectiva revolucionária em que cada novo passo passa pela
rejeição do que anteriormente era aceite, ao mesmo tempo que a nova teoria explica igualmente,
embora por outra forma ou por um caso particular, os factos explicados pela teoria que se abandona.
Popper considera que todas as teorias são contextuais e só devem ser adoptadas enquanto a sua
falsidade não estiver provada, utilizando o termo corroboração como sinónimo de insucesso numa
tentativa de falsificação, o que não significa aceitação. Assim, uma determinada teoria não tem
necessariamente que reflectir uma verdade científica absoluta, mas apenas uma forma de lidar com a
realidade, partindo da sua observação e encontrando explicações dentro das limitações do
desenvolvimento científico e tecnológico existente no contexto em que a teoria é elaborada, sendo no
fundo um raciocínio de gestão da ignorância. Uma teoria ou afirmação só será científica se a sua
falsificabilidade for possível a partir dos resultados de observações empíricas embora, nalguns casos,
devido a limitações de vária ordem, nomeadamente de cariz tecnológico, essa falsificação possa ser
apenas possível teoricamente, pelo menos a curto prazo.
Embora Popper não se refira a Sir Ronald Fisher (1890-1962), Jerzy Neyman (1894-1981) e E.S.
Pearson (1895-1980) na sua obra, estes desenvolveram na altura a teoria da inferência estatística
(Blankenship e Petersen, 1999) que reflecte de uma forma perfeita o espírito do falsificacionismo:
“Fisher tinha lançado as fundações de uma teoria geral para tirar conclusões dos dados estatísticos.
Neyman e Pearson reformularam parte da teoria numa forma que era mais fácil de compreender,
porque seguia regras matemáticas simples”.
Na boa tradição popperiana, a proposição sujeita a teste é assumida, o que não é o mesmo que aceite
como verdadeira, a menos que se encontre evidência estatística que aponte para a sua falsidade. A
hipótese nula, representando a proposição assumida antes do teste, nunca é validada pelo teste e
geralmente é formulada como o contrário do que se quer provar. Desta forma dá-se o benefício da
dúvida ao status quo. Ou é rejeitada ou continua a ser utilizada, mas como uma verdade transitória e
contextual de carácter probabilístico que se mantém apenas enquanto não se obtêm indícios apontando
para a sua falsidade (Ackerman, 1976): “Muitos estatísticos falam livremente sobre aceitar e rejeitar
hipóteses com base em regras metodológicas (incluindo a dimensão de diversos parâmetros); Popper
só pode falar em rejeição de hipóteses na inferência estatística”.
Assim, a teoria de Popper não contempla a existência de verdades absolutas, sendo estas tidas por
transitórias e probabilísticas e vistas como uma correspondência com factos, num caminho que, de
falsificação em falsificação, se percorre um processo iterativo de aproximação a uma verdade
inatingível, no que Miller (1994) chama de conjecturas e refutações, vendo a diferença entre o
verificacionismo e o falsificacionismo como algo de semelhante a dois regimes diferentes de admissão
de estudantes para o acesso ao ensino universitário. No primeiro caso há um exame de admissão para
entrar na universidade que certifica que o estudante tem as características exigidas (verificacionismo),
no segundo, todos os estudantes são admitidos e vão sendo expulsos do sistema à medida que se prove
não serem capazes (falsificacionismo)
Relativamente ao paralelismo entre a obra de Popper e o que viria mais tarde a ser conhecido por
inferência estatística, Blaug (1992) refere: “A filosofia da ciência de Popper teria sido muito melhor
compreendida, e estaria hoje muito menos rodeada pelas más interpretações que ainda abundam na
literatura derivada, se ele tivesse logo feito expressa referência à teoria da inferência estatística de
Neyman – Pearson … Aí está o sentido principal da teoria de Neyman – Pearson e, quando posta
desta maneira, torna-se imediatamente óbvio que o princípio da falsificabilidade requer normas
14
Boletim SPE
2
compreendida, e estaria hoje muito menos rodeada pelas más interpretações que ainda abundam na
literatura derivada, se ele tivesse logo feito expressa referência à teoria da inferência estatística de
Neyman
– Pearson
… Aí
estáoperacionalidade.
o sentido principalA da
teoria da
de Neyman
– Pearson
e, de
quando
posta–
metodológicas
que lhe
dêem
omissão
exploração
da teoria
Neyman
desta
maneira,
torna-se
imediatamente
óbvio
que
o
princípio
da
falsificabilidade
requer
normas
Pearson,
e particularmente
sua aparente relutância
em a da
mencionar,
devem
então ser
registadas–
metodológicas
que lhe dêema operacionalidade.
A omissão
exploração
da teoria
de Neyman
metodológicas
que
lhe
dêem
operacionalidade.
A
omissão
da
exploração
da
teoria
de
Neyman
como
um daqueles
mistérios ainsolúveis
da história
das ideias”.
Pearson,
e particularmente
sua aparente
relutância
em a mencionar, devem então ser registadas–
Pearson,
e
particularmente
a
sua
aparente
relutância
em a mencionar, devem então ser registadas
como um daqueles mistérios insolúveis da história das ideias”.
como
umabordagem
daqueles mistérios
insolúveis da história das ideias”.
2.3 – A
paradigmática
2
O
de paradigma,
tal como foi definido por Thomas Khun (1962) constitui um instrumento
2.3conceito
– A abordagem
paradigmática
2.3
–
A
abordagem
paradigmática
privilegiado
apoiar otalrelacionamento
procurado.
ComKhun
este (1962)
conceito,
Khun um
produziu
uma
O conceito depara
paradigma,
como foi definido
por Thomas
constitui
instrumento
O
conceito de
paradigma,
como
definido
Thomas
Khun
constitui
instrumento
perspectiva
convencional
sobre
a foi
natureza
dapor
ciência,
ligando-a
à actividade
científica.
Esta
privilegiado
para
apoiar otal
relacionamento
procurado.
Com
este (1962)
conceito,
Khun um
produziu
uma
privilegiado
para
apoiar
o
relacionamento
procurado.
Com
este
conceito,
Khun
produziu
uma
perspectiva considera
o paradigma
sendo da
um ciência,
conjunto ligando-a
de ideias convencionalmente
aceite pelos
convencional
sobre acomo
natureza
à actividade científica.
Esta
perspectiva
convencional
sobre
acomo
natureza
da
ligando-a
à actividade
científica.
Esta
que
exercemconsidera
a sua actividade
na resolução
de problemas
concretos,
puzzles
na sua terminologia.
perspectiva
o paradigma
sendo
um ciência,
conjunto
de ideias
convencionalmente
aceite pelos
perspectiva
considera
o
paradigma
como
sendo
um
conjunto
de
ideias
convencionalmente
aceite
pelos
Desta
forma, aa sua
adopção
de uma
teórica
não decorre
do resultado
de uma discussão
que
exercem
actividade
na determinada
resolução dematriz
problemas
concretos,
puzzles
na sua terminologia.
que
exercem
a
sua
actividade
na
resolução
de
problemas
concretos,
puzzles
na
sua
terminologia.
dos
méritos
de de
várias
de forma
masresultado
sim da sua
aceitação
para
Desta
forma,relativos
a adopção
umaalternativas
determinadamedidos
matriz teórica
nãoabstracta,
decorre do
de uma
discussão
Desta
forma,
a
adopção
de
uma
determinada
matriz
teórica
não
decorre
do
resultado
de
uma
discussão
servir
de
base
à
actividade
conduzida
nos
períodos
de
aplicação
do
que
Khun
chama
de
ciência
dos méritos relativos de várias alternativas medidos de forma abstracta, mas sim da sua aceitação para
dos
méritos
relativos
de
várias
alternativas
forma
abstracta,
sim
da chama
sua aceitação
parae
normal,
seja,
quais
não
são questionados
osdeprincípios
de base
convencionalmente
servir
deoubase
à nos
actividade
conduzida
nosmedidos
períodos
de
aplicação
do mas
que
Khun
deaceites
ciência
servir
de
base
à
actividade
conduzida
nos
períodos
de
aplicação
do
que
Khun
chama
de
ciência
utilizadosouà seja,
margem
de quaisquer
referentes
a méritos
avaliados de
formae
normal,
nos quais
não são considerações
questionados os
princípios
de base relativos
convencionalmente
aceites
normal,
ou
seja,
nos
quais
não
são
questionados
os
princípios
de
base
convencionalmente
aceites
abstracta
contextual.
utilizadose ànão
margem
de quaisquer considerações referentes a méritos relativos avaliados de formae
utilizados
à
margem
de quaisqueré considerações
referentes
méritos
relativos
avaliados
forma
Esta
característica
convencional
largamente aceite,
o quea não
exclui
a existência
de de
posições
abstracta
e não contextual.
abstracta
e
não
contextual.
dissidentes,
mais frequentes
e naturais
nos meiosaceite,
ligadosoàsque
ciências
duras. No
entanto, pode
afirmarEsta característica
convencional
é largamente
não exclui
a existência
de posições
Esta
convencional
é largamente
aceite,
oàsque
não
exclui
a existência
de posições
se quecaracterística
emerge
dafrequentes
literatura
um
largo
apoio
às teses
de Kuhn.
Há
mesmo
de pode
outras
ordens
dissidentes,
mais
e naturais
nos meios
ligados
ciências
duras.seguidores
No
entanto,
afirmardissidentes,
mais
frequentes
e
naturais
nos
meios
ligados
às
ciências
duras.
No
entanto,
pode
afirmarde
ideias,
nomeadamente
de Popper,
em última
análise,
ter
se que
emerge
da literaturado
umfalsificacionismo
largo apoio às teses
de Kuhn.que
Há consideram,
mesmo seguidores
de outras
ordens
se
emerge
da
literatura
umfalsificacionismo
largo
apoio
às teses
de Kuhn.
Há consideram,
mesmo
de(Fuller,
outras
ordens
vencido
o lado
errado,
quando
se
encara
como
critério
de vitória
o grau seguidores
de aceitação
2003).
de que
ideias,
nomeadamente
do
de Popper,
que
em última
análise,
ter
de
ideias,
nomeadamente
do
falsificacionismo
de
Popper,
que
consideram,
em
última
análise,
ter
Assim,
adoptando
uma
perspectiva
pragmática
que,
como
veremos,
é
um
dos
principais
pontos
de
vencido o lado errado, quando se encara como critério de vitória o grau de aceitação (Fuller, 2003).
vencido
o
lado
errado,
quando
se
encara
como
critério
de
vitória
o
grau
de
aceitação
(Fuller,
2003).
partida
a formação
das ideias que
presidemque,
à gestão
qualidade,
iremos
o paradigma
Assim, para
adoptando
uma perspectiva
pragmática
comodaveremos,
é um
dos adoptar
principais
pontos de
Assim,
adoptando
uma
perspectiva
pragmática
que,
como
veremos,
é
um
dos
principais
pontos de
como
instrumento
de
análise
da
evolução
do
corpo
científico
no
âmbito
da
gestão
das
organizações.
partida para a formação das ideias que presidem à gestão da qualidade, iremos adoptar o paradigma
partida
para
a formação
das
ideias
que presidem
àcientífico
gestão da
adoptar
o paradigma
Vejamos
portanto
como
se pode
reflectir
abordagem
paradigmática
da evolução
da
ciência da
como instrumento
de
análise
da
evolução
doesta
corpo
noqualidade,
âmbito dairemos
gestão
das organizações.
como
instrumento
de
análise
da
evolução
do
corpo
científico
no
âmbito
da
gestão
das
organizações.
gestão
ao
aspecto
concreto
em
análise,
começando
por
identificar
quais
os
paradigmas
da gestão
Vejamos portanto como se pode reflectir esta abordagem paradigmática da evolução da ciência
da
Vejamos
portanto
como
se
pode
reflectir
esta
abordagem
paradigmática
da
evolução
da
ciência
da
surgidos
sua fase
científica.
A Figura
1 ilustra por
esta identificar
evolução, quais
sendo os
de paradigmas
referir que da
a mesma
gestão aonaaspecto
concreto
em análise,
começando
gestão
gestão
ao
aspecto
concreto
em
análise,
começando
por
identificar
quais
os
paradigmas
da
gestão
contempla
as fases
marcantes,
independentemente
datas em
que de
ocorreram.
Os efeitos
da
surgidos naapenas
sua fase
científica.
A Figura
1 ilustra esta das
evolução,
sendo
referir que
a mesma
surgidos
na
sua
fase
científica.
A
Figura
1
ilustra
esta
evolução,
sendo
de
referir
que
a
mesma
.
evolução
encontram-se
na Figura das
2 que
mostra
perspectivas
contemplaparadigmática
apenas as fases
marcantes, ilustrados
independentemente
datas
em as
quediferentes
ocorreram.
Os efeitosdos
da
contempla
apenas
fases
marcantes,
independentemente
datas
em as
que
ocorreram.
Os efeitosdos
da
seguidores
do novoasparadigmas
e dos que
se mantêm
dentrodas
fronteiras
do
anterior. perspectivas
evolução paradigmática
encontram-se
ilustrados
na Figura
2das
que
mostra
diferentes
evolução
paradigmática
encontram-se
ilustrados
na
Figura
2
que
mostra
as
diferentes
perspectivas
dos
seguidores do novo paradigmas e dos que se mantêm dentro das fronteiras do anterior.
seguidores do novo paradigmas e dos que se mantêm dentro das fronteiras do anterior.
Figura 1 – Os paradigmas da gestão
Figura 2 – Desenvolvimento dos paradigmas
3
3
3
O u t oAs
n ocinco
d esituações
2 0 0 8ilustradas correspondem a (Teixeira et al., 2008):
15
As cinco situações ilustradas correspondem a (Teixeira et al., 2008):
1. Paradigma inicial – Esta situação caracteriza-se pela existência de um núcleo de valores aceite que preside à actividade
normal de gestão. Existem ainda camadas periféricas de valores, cada vez mais confinados a uma dimensão instrumental à
medida que são mais periféricos. Cada vez são mais uma consequência e não uma causa, um servidor e não um amo.
2. Relações núcleo-periferia e periferia-núcleo - As setas que se acrescentaram nesta fase são de dois tipos. O primeiro,
respeitante às setas direccionadas no sentido núcleo-periferia ilustra o facto de que as camadas periféricas correspondem a
concretizações mais específicas e concretas dos valores nucleares. O segundo tipo corresponde às setas em sentido contrário
e significam que qualquer elemento de uma camada periférica deve ser analisado em cada caso concreto tendo em atenção os
valores nucleares de onde provém.
Por outro lado, o feedback recebido da aplicação das ferramentas deve ser analisado constantemente para verificar se as
ideias nucleares mantêm a sua capacidade geradora de soluções que resolvam efectivamente os problemas que vão surgindo.
3. Movimentos resultantes da aceitação de um novo paradigma – Esta fase mostra que os paradigmas concorrem entre si
por um posicionamento no núcleo do corpo teórico aceite. Assim, a aceitação do novo paradigma terá como consequência a
substituição do núcleo, o que por sua vez provocará uma migração para posições mais periféricas dos valores base e
instrumentos respeitantes ao paradigma objecto de substituição.
4. Situação após a aceitação de um novo paradigma – Esta fase ilustra de forma simplificada e esquemática o resultado do
rearranjo do corpo teórico após a aceitação de um novo paradigma. A zona interior corresponde à posição nuclear do novo
paradigma e a exterior resulta da migração para a periferia dos elementos do paradigma anterior, que não se extinguem,
transformam-se.
5. Perspectiva dos aderentes ao novo paradigma – Os aderentes ao novo paradigma ganham um novo conjunto de ideias de
ordem superior no sentido de permitirem a compreensão e interpretação de situações para as quais o paradigma anterior se
mostrara insuficiente. No entanto, mantêm a perspectivação resultante do paradigma anterior que se mantém perfeitamente
válida para determinada gama de situações. A teoria de que a terra não é plana não invalida muitas aplicações concretas
delineadas a partir da consideração em contrário, aplicando-se o mesmo à consideração da sua esfericidade perfeita.
6. Perspectiva dos não aderentes ao novo paradigma – Esta situação retrata esquematicamente um resultado de uma não
adesão ao novo paradigma. Enquanto a envolvente é caracterizada por um amplo campo de actuação, os não aderentes
correm o risco de ficar com uma perspectiva mais restrita do que se passa à sua volta e das regras do jogo, não possuindo
variedade e profundidade conceptuais para interpretarem as situações que excederam os limites da sua perspectiva.
Em termos paradigmáticos passa-se o ilustrado na Figura 3. O desenvolvimento da envolvente é de
forma que a mesma se encontra em permanente expansão, tendo como consequência o aparecimento
de novos tipos de situação para os quais o paradigma até então aceite não fornece as respostas
adequadas.
Figura 3 – Redução do domínio de aplicação do
paradigma alvo de substituição
4
3. Conclusões
Um modelo integrador da componente científica da gestão estão, representadas na gestão, o
falsificacionismo que se encontra no âmago da estatística inferencial tal como encarada por Fisher e
Neyma-Pearson, não preenche estes requisitos. O modelo terá então que ser construído com base na
perspectiva paradigmática. No entanto, esta não possui a componente metodológica essencial à
vertente quantitativa.
Uma via integradora de ambas as perpspectivas passa pelo que chamamos de caminho intermédio de
Lakatos, os programas de investigação científica.
Sem abandonar as concepções de Popper, Lakatos assume posições que respondem a algumas das
críticas do campo paradigmático em relação ao falsificacionismo, robustecendo e aproximando as duas
perpspectivas. Esta posição é vista de formas diversas conforme as convicções dos observadores,
havendo quem considere que está mais próximo de Popper e quem entenda que está mais próximo de
Kuhn. A este respeito, Silva (1998), por exemplo, considera: “O contributo de Imre Lakatos para a
filosofia da ciência permite-nos uma reflexão permanente, tanto sobre a leitura de Karl Popper, como
sobre a de Thomas Kuhn: apesar do seu autor o apresentar como mais próximo de uma proposta
popperiana melhorada e mais contrastante com a contribuição kuhniana”. As limitações de espaço
não nos permitem abordar o pensamento de Lakatos, deixando tal para outra ocasião.
Será assim de adoptar a perspectiva paradigmática associada aos projectos de investigação como uma
16
B o l emetodológica
t i m S P E do que a
ponte para componentes que, caracterizadas por uma vertente mais
filosofia da ciência permite-nos uma reflexão permanente, tanto sobre a leitura de Karl Popper, como
sobre a de Thomas Kuhn: apesar do seu autor o apresentar como mais próximo de uma proposta
popperiana melhorada e mais contrastante com a contribuição kuhniana”. As limitações de espaço
não nos permitem abordar o pensamento de Lakatos, deixando tal para outra ocasião.
Será assim de adoptar a perspectiva paradigmática associada aos projectos de investigação como uma
ponte para componentes que, caracterizadas por uma vertente mais metodológica do que a
providenciada pelo paradigma, essencialmente estrutural e descritiva, exijam uma abordagem
metodológica. Esta situação encontra-se espelhada na Figura 4.
Figura 4 – Estrutura e metodologia no modelo a adoptar
4. Bibliografia
Ackerman, R. J. (1976), The Philosophy of Karl Popper, Massachusetts: University of Massachusetts
Press.
Bauer, H. (1992). Scientific Literacy and the Myth of the Scientific Method, University of Illinois
Press.
Blankenship, B. e P. Peterson (1999). “W. Edwards Deming’s Mentor and Others who Made a
Significant Impact on his Views During the 1920s and 1930s”, Journal of Management History, Vol.
5, No. 8, pp. 454-465.
Blaug, M. (1992), The Methodology of Economics, tradução portuguesa de V. Calvete (1994), A
Metodologia da Economia, Lisboa: Gradiva.
Deming, W. E. (1986). Out of the Crisis, Cambridge: Cambridge University Press.
Fiolhais, C., D. Murcho, H. Damião, J. Buescu, P. F. Silva, P. G. Mota e S. Araújo. Fé, racionalidade
e cientismo (consultado em Julho de 2008).
Fuller, S. (2003). Kuhn vs Popper, Icon Books.
http://dererummundi.blogspot.com/2007/12/f-racionalidade-e-cientismo.html
Jarrosson, B. (1992), Invitation à la Philosophie des Sciences, Paris: Éditions do Seuil.
Kuhn, T. (1962). The Structure of Scientific Revolutions, Chicago: Chicago University Press.
Popper, K. (1934). The Logic of Scientific Discovery, New York: Harper & Row.
Silva, P. (1998). A Filosofia da Ciência de Paul Feyerabend, Lisboa: Instituto Piaget.
Teixeira A., Rosa A. e N.António (2007). O doce amanhecer da ciência da gestão: uma perspectiva
filosófica, Lisboa: Pedago.
Teixeira, A, e N.António (2008). “Qualidade e estratégia”, TMQ – Gestão da Qualidade, 2008,
Lisboa: Sílabo (a publicar).
Outono de 2008
17
5
Estimação da abundância animal e de populações humanas móveis
Russell Alpizar-Jara, Anabela Afonso e João Filipe Monteiro
Russell Alpizar-Jara,
e João Filipe Monteiro
{alpizar,Anabela
aafonso,Afonso
jfgm}@uevora.pt
RussellCentro
Alpizar-Jara,
Anabela
Afonso
e João Filipe Monteiro
{alpizar,
aafonso,
jfgm}@uevora.pt
de Investigação em Matemática e Aplicações
{alpizar,
aafonso,
jfgm}@uevora.pt
Centro de
Investigação
emde
Matemática
e Aplicações
Departamento
Matemática
Centro de Investigação
em
Matemática
Departamento
de
Matemática
Universidade
de
Évora e Aplicações
Departamento
de de
Matemática
Universidade
Évora
Universidade de Évora
1. Introdução
1. Introdução
1. Introdução
O tema “Estimação da Abundância Animal”, apesar de aparentemente limitado e restrito a uma área de
O
tema “Estimação
da Abundância
apesar de
limitado
e restrito
a uma áreaeste
de
conhecimento,
é muito
vasto e com Animal”,
grande potencial
deaparentemente
aplicação. Neste
texto vamos
desenvolver
O
tema “Estimação
da Abundância
Animal”,
apesar de
aparentemente
limitado
e restrito
a uma áreaeste
de
conhecimento,
é
muito
vasto
e
com
grande
potencial
de
aplicação.
Neste
texto
vamos
desenvolver
tema enfatizando a sua relevância para a gestão das populações biológicas e para a tomada de decisões
conhecimento,
é muito
e compara
grande
potencial
de aplicação.
Neste texto
vamos
desenvolver
este
tema
enfatizando
a sua vasto
relevância
a gestão
dasacesso
populações
e para
a tomada
de decisões
referentes
a populações
humanas que
são
de difícil
devidobiológicas
ao seu carácter
evasivo.
tema
enfatizando
a
sua
relevância
para
a
gestão
das
populações
biológicas
e
para
a
tomada
de
decisões
referentes a populações humanas que são de difícil acesso devido ao seu carácter evasivo.
referentes a populações humanas que são de difícil acesso devido ao seu carácter evasivo.
A estimação da abundância de populações animais e do número de pessoas de algumas populações
A
estimação
da abundância
de populações
animais
e do número
pessoas
de algumas
populações
humanas
móveis
é um tema bastante
relevante
na sociedade
actual.dePor
exemplo,
para a definição
de
A
estimação
da abundância
de populações
animais
e do número
dePor
pessoas
de algumas
populações
humanas
móveis
é
um
tema
bastante
relevante
na
sociedade
actual.
exemplo,
para
a
definição
de
quotas de pesca é de extrema importância uma correcta estimação da abundância de pescado, de forma
humanas
móveis
é
um
tema
bastante
relevante
na
sociedade
actual.
Por
exemplo,
para
a
definição
de
quotas
é deou
extrema
pescado,
forma
a evitardea pesca
extinção
a sobreimportância
abundânciauma
de correcta
algumas estimação
espécies; da
nasabundância
políticas dedeSaúde
sãode
precisas
quotas
de
pesca
é
de
extrema
importância
uma
correcta
estimação
da
abundância
de
pescado,
de
forma
aestimativas
evitar a extinção
sobre abundância
de algumas
espécies;
nascrónicas
políticas
Saúde sãode
precisas
das taxasoudea incidência
e prevalência
de certas
doenças
emdepopulações
difícil
aestimativas
evitar a extinção
ou
a
sobre
abundância
de
algumas
espécies;
nas
políticas
de
Saúde
são
precisas
das
taxas
de
incidência
e
prevalência
de
certas
doenças
crónicas
em
populações
de
difícil
acesso. Na secção 6 referimos vários exemplos em diversas áreas de aplicação.
estimativas
das taxas
de incidência
prevalência
certas áreas
doenças
crónicas em populações de difícil
acesso. Na secção
6 referimos
várioseexemplos
emde
diversas
de aplicação.
acesso. Na secção 6 referimos vários exemplos em diversas áreas de aplicação.
Recentemente decorreu na Universidade de Évora o CIM – Workshop em Estimação da Abundância
Recentemente
decorreu
Universidade
de Évora
o CIM –desta
Workshop
em Estimação
Abundância
Animal. Julgamos
que na
este
foi o primeiro
workshop,
natureza,
a decorrerdaem
território
Recentemente
decorreu
na
Universidade
de Évora
o CIM –desta
Workshop
em Estimação
daem
Abundância
Animal.
Julgamos
que
este
foi
o
primeiro
workshop,
natureza,
a
decorrer
território
Português, pelo menos durante a última década. O principal objectivo foi o de trazer à comunidade
Animal.
Julgamos
que
este
foi
o
primeiro
workshop,
desta
natureza,
a
decorrer
em
território
Português,
pelo menosum
durante
última
década. Oespecialistas
principal objectivo
foi o depara
trazer
à comunidade
científica portuguesa
elencoa de
reconhecidos
internacionais
leccionar
alguns
Português,
pelo
menos
durante
a
última
década.
O
principal
objectivo
foi
o
de
trazer
à
comunidade
científica
um elenco
reconhecidos
especialistas
para
leccionar
alguns
tópicos deportuguesa
interesse nesta
área dedeinvestigação,
divulgar
algum internacionais
trabalho recente
e apontar
linhas
de
científica
portuguesa
um
elenco
de
reconhecidos
especialistas
internacionais
para
leccionar
alguns
tópicos
de
interesse
nesta
área
de
investigação,
divulgar
algum
trabalho
recente
e
apontar
linhas
investigação e desenvolvimento futuro (ver na secção Notícias neste volume e mais detalhes sobrede
o
tópicos
de interesse
nesta área de
investigação,
divulgar
algum trabalho
recente
e apontar
linhas
de
investigação
e desenvolvimento
futuro
(ver na secção
Notícias
volume
e mais
sobrefoi
o
workshop em
http://www.eventos.uevora.pt/~weaa).
Pode-se neste
considerar
que
estedetalhes
objectivo
investigação
e
desenvolvimento
futuro
(ver
na
secção
Notícias
neste
volume
e
mais
detalhes
sobre
o
workshop dada
em ahttp://www.eventos.uevora.pt/~weaa).
considerar
que este
foi
alcançado
excelente adesão verificada. Outro dosPode-se
objectivos
deste workshop
era aobjectivo
constituição
workshop
em
http://www.eventos.uevora.pt/~weaa).
Pode-se
considerar
que
este
objectivo
foi
alcançado
dada agrupo
excelente
adesão interessado
verificada. Outro
dos objectivos edeste
workshop
era a constituição
de um pequeno
de trabalho
no desenvolvimento
aplicação
de técnicas
nesta área
alcançado
dada
a
excelente
adesão
verificada.
Outro
dos
objectivos
deste
workshop
era a constituição
de
um
pequeno
grupo
de
trabalho
interessado
no
desenvolvimento
e
aplicação
de
técnicas
nesta área
de investigação. Também aqui a iniciativa foi bem sucedida, visto que foram vários os participantes
de
um
pequeno grupo
de trabalho
interessado
no
desenvolvimento
eque
aplicação
de técnicas
nesta área
de
investigação.
Também
aqui
a
iniciativa
foi
bem
sucedida,
visto
foram
vários
os
participantes
que se mostraram interessados em pertencer a esse grupo de trabalho, estando já a ser agendados
de
investigação.
Também aqui aem
iniciativa
foi abem
sucedida,
que foram
vários
que
se mostraram
pertencer
esseneste
grupoworkshop
devisto
trabalho,
estando
já aosserparticipantes
alguns
encontros. interessados
Os principais tópicos
tratados
foram
os métodos
deagendados
capturaque
se
mostraram
interessados
em
pertencer
a
esse
grupo
de
trabalho,
estando
já
a
ser
agendados
alguns
encontros.
Os
principais
tópicos
tratados
neste
workshop
foram
os
métodos
de
captura-a
recaptura e extensões no âmbito dos modelos de estados múltiplos. Também foi abordada
alguns
encontros.
Os principais
tópicos
tratados de
neste
workshop
foram Também
os métodos
de
captura-a
recaptura
e
extensões
no
âmbito
dos
modelos
estados
múltiplos.
foi
abordada
amostragem por distâncias, onde foi dada uma atenção especial à amostragem por pontos.
recaptura
e por
extensões
no onde
âmbito
dos uma
modelos
de especial
estados àmúltiplos.
Também
foi abordada a
amostragem
distâncias,
foi dada
atenção
amostragem
por pontos.
amostragem por distâncias, onde foi dada uma atenção especial à amostragem por pontos.
Nos últimos anos têm-se verificado grandes desenvolvimentos tanto na amostragem por distâncias
Nos
anos têm-se
verificado
grandes
tanto na amostragem
por biológicas
distâncias
comoúltimos
nos modelos
de estados
múltiplos
e aindadesenvolvimentos
na amostragem adaptativa
para populações
Nos
últimos
anos têm-se
verificado
grandes
desenvolvimentos
tanto na amostragem
por biológicas
distâncias
como
nos
modelos
de
estados
múltiplos
e
ainda
na
amostragem
adaptativa
para
populações
e/ou evasivas. No entanto, neste artigo vamos centrar a nossa discussão apenas nos modelos de
como
nos modelos
de
estadosneste
múltiplos e vamos
ainda na amostragem
adaptativa
para populações
biológicas
e/ou
evasivas.
No em
entanto,
a nossa
discussão
modelos
de
captura-recaptura,
particular nosartigo
modelos paracentrar
populações
fechadas,
vistoapenas
serem nos
os que
têm tido
e/ou
evasivas.
No
entanto,
neste
artigo
vamos
centrar
a
nossa
discussão
apenas
nos
modelos
de
captura-recaptura,
em
particular
nos
modelos
para
populações
fechadas,
visto
serem
os
que
têm
tido
uma maior aplicação nas mais diversas áreas do conhecimento. Referiremos também vários
captura-recaptura,
em particular
modelosáreas
para populações
fechadas,Referiremos
visto serem os
que têm
tido
uma maior deaplicação
maisnos
do conhecimento.
também
vários
contributos
colegas enas
alunos
quediversas
colaboraram connosco
e a quem desde
já agradecemos.
Muitas
uma
maior
aplicação
nas
mais
diversas
áreas
do
conhecimento.
Referiremos
também
vários
contributos
de colegaspodem
e alunos
colaboraram
connosco
e a quemnas
desde
já agradecemos.
Muitas
destas contribuições
ser que
consultadas
nos artigos
publicados
Actas
da SPE dos últimos
contributos
de colegaspodem
e alunos
que
colaboraram
connosco
e a quemnas
desde
já agradecemos.
Muitas
destas
contribuições
ser
consultadas
nos
artigos
publicados
Actas
da
SPE
dos
últimos
congressos anuais. A nossa intenção não é fazer aqui uma revisão exaustiva destes métodos de
destas
contribuiçõesApodem
consultadas
publicados
nas Actas dadestes
SPE dos
últimos
congressos
nossa ser
intenção
não é nos
fazerartigos
aqui
uma revisão
métodos
de
amostragemanuais.
mas sim indicar
alguns
desenvolvimentos
recentes
na área eexaustiva
a possibilidade de
utilização
congressos
anuais.
A
nossa
intenção
não
é
fazer
aqui
uma
revisão
exaustiva
destes
métodos
de
amostragem
mas
sim
indicar
alguns
desenvolvimentos
recentes
na
área
e
a
possibilidade
de
utilização
e difusão na sociedade portuguesa por parte da comunidade científica.
amostragem
mas sim indicar
alguns
recentes
na área e a possibilidade de utilização
e difusão na sociedade
portuguesa
pordesenvolvimentos
parte da comunidade
científica.
e difusão na sociedade portuguesa por parte da comunidade científica.
2. Breve revisão histórica
Os modelos de captura-recaptura têm uma grande importância histórica. O modelo mais simples, que
Os
captura-recaptura
têm de
uma
grande importância
O modelo
que
hojemodelos
em dia édeconhecido
por modelo
Lincoln-Petersen,
está histórica.
na base dos
modelosmais
que simples,
proliferaram
Os
modelos
deconhecido
captura-recaptura
têm de
uma
grande importância
histórica.
O modelo
mais
simples,
que
hoje
em
dia
é
por
modelo
Lincoln-Petersen,
está
na
base
dos
modelos
que
proliferaram
muito rapidamente no século XX. Os primeiros desenvolvimentos teóricos remontam ao tempo de
hoje
em dia é conhecido
por modeloOsdeprimeiros
Lincoln-Petersen, está na base
dos modelos
que proliferaram
muito
no século
teóricos
remontam
tempo de
Laplacerapidamente
(1786), quando
tentouXX.
estimar o tamanhodesenvolvimentos
da população francesa
com
base nosaoregistos
do
muito rapidamente no século XX. Os primeiros desenvolvimentos teóricos remontam ao tempo de
número de nascimentos e do número de habitantes nos centros suburbanos nos arredores de Paris.
Pouco mais de 100 anos depois, Petersen (1896) introduz algumas ideias na área da pesca e formaliza
18
B o l e tDe
i mforma
S P independente,
E
um modelo ao estudar a migração de peixes do Mar Alemão para “Limfjord”.
Laplace (1786), quando tentou estimar o tamanho da população francesa com base nos registos do
Laplace
(1786),
quando etentou
estimardeo habitantes
tamanho danos
população
francesa com
nos registos
do
número de
nascimentos
do número
centros suburbanos
nosbase
arredores
de Paris.
Laplace (1786), quando tentou estimar o tamanho da população francesa com base nos registos do
número
de
nascimentos
etentou
do número
deo(1896)
habitantes
centros
nosbase
de Paris.
Pouco mais
de 100
anos depois,
Petersen
introduz
algumassuburbanos
ideias nacom
área
daarredores
pesca
formaliza
Laplace
(1786),
quando
estimar
tamanho
danos
população
francesa
nos eregistos
do
número de
nascimentos
e do número
de habitantes
nos
centros suburbanos
nos arredores
de Paris.
Pouco
mais
de
100
anos
depois,
Petersen
(1896)
introduz
algumas
ideias
na
área
da
pesca
e
formaliza
um
modelo
ao
estudar
a
migração
de
peixes
do
Mar
Alemão
para
“Limfjord”.
De
forma
independente,
número
de
nascimentos
e
do
número
de
habitantes
nos
centros
suburbanos
nos
arredores
de
Paris.
Laplace
(1786),
quando
tentou estimar
tamanho
da população
nos eregistos
do
Pouco mais
de 100
anos depois,
Peterseno(1896)
introduz
algumas francesa
ideias nacom
área base
da pesca
formaliza
um
modelo
ao
estudar
aosmigração
de
peixes
do
Mar
Alemão
para “Limfjord”.
De
forma
independente,
Lincoln
(1930)
propõe
mesmos
princípios
para
estimar
o tamanho
da população
de
patos
silvestres
Pouco
mais
de
100
anos
depois,
Petersen
(1896)
introduz
algumas
ideias
na
área
da
pesca
e
formaliza
número
de
nascimentos
e
do
número
de
habitantes
nos
centros
suburbanos
nos
arredores
de
Paris.
um modelo ao estudar a migração de peixes do Mar Alemão para “Limfjord”. De forma independente,
Lincoln
(1930)
propõe
mesmos
princípios
para
estimar
oa tamanho
da primeiras
população
de
patos
silvestres
nos
Estados
Unidos
daaos
América.
Apesar
de
se
atribuírem
Laplace
as
ideias
relativas
aos
um
modelo
ao
estudar
de
peixes
do
Mar
Alemão
para
“Limfjord”.
De da
forma
independente,
Pouco
mais
de
100
anos
depois,
Petersen
(1896)
introduz
algumas
ideias
na área
pesca
e formaliza
Lincoln
(1930)
propõe
osmigração
mesmos
princípios
para
estimar
o tamanho
da população
de
patos
silvestres
nos
Estados
Unidos
daaos
América.
Apesar
de do
se
atribuírem
Laplace
as
primeiras
ideias
relativas
aos
actuais
desenvolvimentos
de captura-recaptura,
temestimar
sido documentado
o eminente
britânico
John
Lincoln
(1930)
propõe
mesmos
princípios
para
oaa tamanho
daque
população
de patos
silvestres
um modelo
ao
estudar
migração
de
peixes
Mar
Alemão
para
“Limfjord”.
De forma
independente,
nos
Estados
Unidos
da América.
Apesar
de se
atribuírem
Laplace
as
primeiras
ideias
relativas
aos
actuais
desenvolvimentos
de
captura-recaptura,
tem
sido
documentado
que
o
eminente
britânico
John
Graunt
já
tinha
usado
ideias
semelhantes
para
estimar
a
população
de
Londres,
baseando-se
em
dados
nos
Estados
Unidos
da
América.
Apesar
de
se
atribuírem
a
Laplace
as
primeiras
ideias
relativas
aos
Lincoln
(1930)
propõe
os
mesmos
princípios
para
estimar
o
tamanho
da
população
de
patos
silvestres
actuais desenvolvimentos de captura-recaptura, tem sido documentado que o eminente britânico John
Graunt
já
tinha
usado
ideias
semelhantes
para
estimar
a
população
de
Londres,
baseando-se
em
dados
publicados
na
sua
obra,
Natural
and
Political
Observations:
Made
upon
the
Bills
of
Mortality
de
1662
actuais
desenvolvimentos
de semelhantes
captura-recaptura,
tem sido
documentado
que
o eminente
John
nos
Estados
Unidos
América.
Apesar para
de seestimar
atribuírem
a Laplace
primeiras
ideiasbritânico
relativas
aos
Graunt
já
tinha
usadodaideias
a população
de as
Londres,
baseando-se
em dados
publicados
na
sua
obra,
Natural
and
Political
Observations:
Made
upon
the
Bills
of
Mortality
de
1662
(Amstrup
et
al.
2005).
Graunt
já
tinha
usado
ideias
semelhantes
para
estimar
a
população
de
Londres,
baseando-se
em
dados
actuais
desenvolvimentos
tem sido documentado
eminente
britânico
John
publicados
na sua obra, Natural
and Political Observations:
Made uponque
the oBills
of Mortality
de 1662
(Amstrup
etnaal.sua
2005).
publicados
obra,
Natural
and
Political
Observations:
Made
upon
the
Bills
of
Mortality
de
1662
Graunt
já
tinha
usado
ideias
semelhantes
para
estimar
a
população
de
Londres,
baseando-se
em
dados
(Amstrup et al. 2005).
Os
modelos
desua
captura-recaptura
têmPolitical
sido classificados
em dois
grupos,
dependendo
do1662
tipo
(Amstrup
etnaal.
2005).
publicados
obra, Natural and
Observations:
Madegrandes
upon the
Bills of
Mortality de
Os
modelos
de
captura-recaptura
têm
sido
classificados
em
dois
grandes
grupos,
dependendo
do
tipo
de
população:
fechada
(Otis
et
al.
1978
e
White
et
al.
1982)
ou
aberta
(Pollock
et
al.
1990
e
Lebreton
(Amstrup
et al.
Os modelos
de 2005).
captura-recaptura têm sido classificados em dois grandes grupos, dependendo do tipo
de
população:
fechada
(Otisque
et al.
1978sido
e White
et al. 1982)
ou aberta
etsedependendo
al.
1990 e constante
Lebreton
et al.
1992).de
Considera-se
a população
é fechada
quando
ograndes
seu (Pollock
tamanho
mantém
Os
modelos
captura-recaptura
classificados
em dois
grupos,
do tipo
de população:
fechada
(Otis et al. têm
1978 e White
et al. 1982)
ou aberta
(Pollock
et al. 1990 e Lebreton
et
al.
1992).
Considera-se
que
a
população
é
fechada
quando
o
seu
tamanho
se
mantém
constante
durante
o
período
de
amostragem
e
não
existem
saídas
(mortes
ou
emigração)
nem
entradas
de
população:
fechada
(Otis
et
al.
1978
e
White
et
al.
1982)
ou
aberta
(Pollock
et
al.
1990
e
Lebreton
Os
modelos
captura-recaptura
sido classificados
em doisograndes
grupos,sedependendo
do tipo
et al.
1992).de
Considera-se
que a têm
população
é fechada quando
seu tamanho
mantém constante
durante
o período
de(Otis
amostragem
e enão
existem
saídas
(mortes
ou
emigração)
neme constante
entradas
(nascimentos
ou
imigração)
naal.
população.
Caso
contrário
diz-se
que (Pollock
a população
é1990
aberta.
Pollock
et
al.
1992).
Considera-se
que
a
população
é
fechada
quando
o
seu
tamanho
se
mantém
de
população:
fechada
et
1978
White
et
al.
1982)
ou
aberta
et
al.
Lebreton
durante o período de amostragem e não existem saídas (mortes ou emigração) nem entradas
(nascimentos
ou
na apopulação.
contrário
diz-se
que tamanho
a população
é aberta.
Pollock
(1982)
propõe
umimigração)
desenho
robusto
quee permite
combinar
modelos
populações
abertas.
durante
o período
de amostragem
nãoCaso
saídas
(mortes
emigração)
nem econstante
entradas
et
al. 1992).
Considera-se
que
população
éexistem
fechada
quando
o para
seu
se fechadas
mantém
(nascimentos
ou imigração)
na população.
Caso
contrário
diz-se
que ou
a população
é aberta.
Pollock
(1982)
propõe
um
desenho
robusto
que
permite
combinar
modelos
para
populações
fechadas
e
abertas.
(nascimentos
ou
na população.
contrário
diz-se
que populações
a população
é aberta.
Pollock
durante
o período
de amostragem
nãoCaso
existem
saídas
(mortes
ou
emigração)
nem e entradas
(1982) propõe
umimigração)
desenho
robusto
quee permite
combinar
modelos
para
fechadas
abertas.
Ao
longo
dos
anos,
estes
modelos
continuaram
a
ser
muito
utilizados
na
área
das
ciências
biológicas
(1982)
propõe
um
desenho
robusto
que
permite
combinar
modelos
para
populações
fechadas
e
abertas.
(nascimentos ou imigração) na população. Caso contrário diz-se que a população é aberta. Pollock
Ao
longo
dos
anos,
estestambém
modelos
a seràsmuito
utilizados
na
áreapor
dasexemplo
ciências
biológicas
mas
a sua
aplicabilidade
foipermite
expandindo
populações
humanas,
das
(1982)
propõe
um desenho
robustosecontinuaram
que
combinar
modelos
para
populações
fechadasna
e área
abertas.
Ao longo
dos anos,
estes modelos
continuaram
a ser muito
utilizados
na
área das ciências
biológicas
mas
a suamédicas
aplicabilidade
também
foi
expandindo
populações
humanas,
por
na
área and
das
ciências
epidemiologia
("International
Working
Group
forárea
Disease
Monitoring
Ao
anos,e estes
modelosse
a seràs
utilizados
na
dasexemplo
ciências
biológicas
maslongo
a sua dos
aplicabilidade
também
secontinuaram
foi expandindo
àsmuito
populações
humanas,
por
exemplo
na
área das
ciências
médicas
e
epidemiologia
("International
Working
Group
for
Disease
Monitoring
and
Forecasting"
1995ab).
Seber
(1982)
faz
referência
à
aplicação
de
captura-recaptura
a
problemas
de
mas
a
sua
aplicabilidade
também
se
foi
expandindo
às
populações
humanas,
por
exemplo
na
área
das
Ao
longomédicas
dos anos,e estes
modelos continuaram
a ser Working
muito utilizados
das ciências
biológicas
ciências
epidemiologia
("International
Group na
forárea
Disease
Monitoring
and
Forecasting"
1995ab).
Seber
(1982)
fazexpandindo
referência à aplicação
de humanas,
captura-recaptura
a problemas
de
edição
demédicas
texto,
correcção
de programas
informáticos,
controlo
de
qualidade
e emexemplo
geral
a na
populações
ciências
e epidemiologia
("International
Group
for Disease
Monitoring
mas
a sua
aplicabilidade
também
se foi
populações
por
área and
das
Forecasting"
1995ab).
Seber
(1982)
faz referência ààsWorking
aplicação
de captura-recaptura
a problemas
de
edição
de
texto,
correcção
de
programas
informáticos,
controlo
de
qualidade
e
em
geral
a
populações
evasivas.
Forecasting"
1995ab).
Seber
(1982)
faz
referência
à
aplicação
de
captura-recaptura
a
problemas
de
ciências
médicas
e
epidemiologia
("International
Working
Group
for
Disease
Monitoring
and
edição de texto, correcção de programas informáticos, controlo de qualidade e em geral a populações
evasivas.
edição
de texto,
correcção
de programas
controlo de
e em geral
a populações
Forecasting"
1995ab).
Seber
(1982) faz informáticos,
referência à aplicação
de qualidade
captura-recaptura
a problemas
de
evasivas.
evasivas.
edição de texto, correcção de programas informáticos, controlo de qualidade e em geral a populações
3. O estimador de Lincoln-Petersen
evasivas.
A
dede
captura-captura
mais simples consiste em recolher (capturar) uma amostra inicial
3. experiência
O estimador
Lincoln-Petersen
A
dede
captura-captura
mais
consiste
umamisturem
amostra com
iniciala
com
que
são marcados
e simples
devolvidos
à áreaemderecolher
estudo (capturar)
para que se
1 animais,
3. experiência
Onestimador
Lincoln-Petersen
A
experiência
de captura-captura
mais simples consiste em recolher (capturar) uma amostra inicial
com
n
animais,
que
são
marcados
e
devolvidos
à
área
de
estudo
para
que
se
misturem
com
população
de
N
–
n
animais
não
marcados.
Posteriormente,
retira-se
uma
nova
amostra,
de
n
animais,
A
experiência
de que
captura-captura
mais
consiste
umamisturem
amostra
inicialaa
1
2
com
n11 animais,
são marcados
e simples
devolvidos
à áreaemderecolher
estudo (capturar)
para que se
com
população
de Nde
– ncaptura-captura
nãoamostra
marcados.
Posteriormente,
nova
amostra,
de n2jáanimais,
da
população.
Nesta
segunda
verificaremos
queemretira-se
mrecolher
dos uma
n2(capturar)
animais
capturados
forama
com
n1 animais,
são marcados
e simples
devolvidos
à área
de
para
que
se
com
1 animais
2 estudo
A experiência
mais
consiste
umamisturem
amostra
inicial
população
de N – nque
1 animais não marcados. Posteriormente, retira-se uma nova amostra, de n2 animais,
da
população.
Nesta
segunda
amostra
verificaremos
que
m
dos
n
animais
capturados
já
foram
previamente
marcados
(recapturas).
Se
considerarmos
que
a
população
é
fechada,
que
os
animais
população
de
N
–
n
animais
não
marcados.
Posteriormente,
retira-se
uma
nova
amostra,
de
n
animais,
1
2 com
compopulação.
n1 animais,
que
são marcados
e devolvidos
à área
que capturados
se misturem
da
Nesta
segunda
amostra
verificaremos
que de
m22 estudo
dos n22 para
animais
já forama
previamente
(recapturas).
Se verificaremos
considerarmos
queretira-se
a população
é fechada,
animais
dentro
de cada
amostra
têm não
igual
probabilidade
de captura
(homogeneidade),
que
asque
marcas
não
se
da
população.
segunda
amostra
que
dos uma
n2 animais
capturados
foram
população
de marcados
N Nesta
– n1 animais
marcados.
Posteriormente,
nova
amostra,
de os
n2jáanimais,
previamente
marcados
(recapturas).
Se considerarmos
que ma2 população
é fechada,
que
os
animais
dentro
de
cada
amostra
têm
igual
probabilidade
de
captura
(homogeneidade),
que
as
marcas
não
se
perdem
nem
são
contadas
mais
do
que
uma
vez
pelo
observador
e
que
os
indivíduos
marcados
e
não
previamente
marcados
(recapturas).
Se
considerarmos
que
a
população
é
fechada,
que
os
animais
da
população.
segunda
amostra
verificaremos
que m(homogeneidade),
capturados
já não
foram
2 dos n2 animais que
dentro
de cada Nesta
amostra
têm igual
probabilidade
de captura
as marcas
se
perdem
nem
são
contadas
mais
domisturados,
que
vez
pelo
observador
e que
os indivíduos
marcados
e não
marcados
estavam
aleatoriamente
então
que
a proporção
de animais
dentro
cada
amostra
têm
igual
de esperamos
captura
que
asque
marcas
não
se
previamente
marcados
(recapturas).
Seuma
considerarmos
que (homogeneidade),
a população
fechada,
osmarcados
animais
perdemde
nem
são
contadas
mais
do probabilidade
que
uma
vez pelo
observador
e que os éindivíduos
marcados
e não
marcados
estavam
aleatoriamente
misturados,
então
esperamos
que
a
proporção
de
animais
marcados
na
segunda
amostra
seja
semelhante
à
proporção
de
animais
marcados
na
população
total,
ou
seja
perdem
nem
são
contadas
mais
do
que
uma
vez
pelo
observador
e
que
os
indivíduos
marcados
e
não
dentro
de estavam
cada amostra
têm igual misturados,
probabilidade
de esperamos
captura (homogeneidade),
as marcas
não se
marcados
aleatoriamente
então
que a proporçãoque
de animais
marcados
na
segunda
amostra
seja semelhante
à proporção
animais
marcados
na
população
total,
ou seja
m2de
nesperamos
marcados
estavam
aleatoriamente
misturados,
então
que
a
proporção
de
animais
marcados
perdem
nem
são
contadas
mais
do
que
uma
vez
pelo
observador
e
que
os
indivíduos
marcados
1
na segunda amostra seja semelhante à proporção de≈animais
marcados na população total, ou seja e não
.
m
n
na
segunda
amostra
seja
semelhante
à
proporção
de
animais
marcados
população
ou seja
marcados estavam aleatoriamente misturados, então
esperamos
que a na
proporção
de total,
animais
marcados
1
n22 ≈ nN
m
2
1 .
.
≈
m
n
na
segunda
amostra
seja
semelhante
à
proporção
de
animais
marcados
na
população
total,
ou
seja
n
N
2
1
Desta relação resulta o conhecido estimador de Lincoln-Petersen:
n22 ≈ N .
m
Desta relação resulta o conhecido estimador
de
Lincoln-Petersen:
n1n2n22 ≈ nN1 .
Lincoln-Petersen:
Nˆ = de
n.2 N
nde
1 n22Lincoln-Petersen:
m
ˆ
Nˆ = n1n2 .
Nˆ = nde
. métodos de estimação e está na base de diversos
Desta
relação resulta
conhecido
1 n22Lincoln-Petersen:
Este estimador
podeoser
obtido estimador
por diferentes
N= m
.
m
2
n
n
m
Este
estimador
pode ser No
obtido
por apesar
diferentes
métodos de
estimação
e está
na base
de diversos
1
2
modelos
probabilísticos.
entanto,
de
a mesma
forma
analítica,
a interpretação
Nˆ = 2 . apresentar
Este estimador pode ser obtido por diferentes
métodos de estimação e está na base de diversos
modelos
probabilísticos.
entanto,
a mesma
analítica,
a interpretação
mde
pode variar
com pode
os pressupostos
elaborados
(Alpizar-Jara
Jorge eforma
Alpizar-Jara
Este
estimador
ser No
obtido
por apesar
diferentes
métodos2000,
de
estimação
e está
na 2006).
base
de diversos
2 apresentar
modelos
probabilísticos.
No
entanto,
apesar
de
apresentar
a mesma
forma
analítica,
a interpretação
pode
variar
com
os
pressupostos
elaborados
(Alpizar-Jara
2000,
Jorge
e
Alpizar-Jara
2006).
modelos
probabilísticos.
No
entanto,
apesar
de
apresentar
a
mesma
forma
analítica,
a
interpretação
Este
estimador
ser obtidoelaborados
por diferentes
métodos2000,
de estimação
e está na 2006).
base de diversos
pode variar
com pode
os pressupostos
(Alpizar-Jara
Jorge e Alpizar-Jara
Na figura
1 com
apresenta-se
um
bastante
ilustrativo
dos
captura-recaptura,
disponível
pode
variar
os pressupostos
elaborados
2000,
Jorge ede
Alpizar-Jara
2006).
modelos
probabilísticos.
No desafio
entanto,
apesar(Alpizar-Jara
de
apresentar
amodelos
mesma
forma
analítica,
a interpretação
Na
figura
1
apresenta-se
um
desafio
bastante
ilustrativo
dos
modelos
de
captura-recaptura,
na
página
de
internet
Figure
This!
.
Este
espaço
foi
criado
pela
National
Council
of
Teachers
of
pode
variar1 com
os pressupostos
elaborados
2000,
Jorge edeAlpizar-Jara
2006). disponível
Na figura
apresenta-se
um desafio
bastante(Alpizar-Jara
ilustrativo dos
modelos
captura-recaptura,
disponível
na
página
de
internet
Figure
This!
.
Este
espaço
foi
criado
pela
National
Council
of
Teachers
of
Mathematics,
nos Estadosum
Unidos
da bastante
América,ilustrativo
em cooperação
com outras
entidades, para envolver
os
Na figura 1 apresenta-se
desafio
dos modelos
disponível
na página de internet Figure This!. Este espaço foi criado pela National Council of Teachers of
Mathematics,
nos
Estados
Unidos
em cooperação
com
outras
entidades,
envolver
os
estudantes
eapresenta-se
as
suas
famílias
emdadesafios
matemáticos
que
podem
resolvidos
em
casa.
Estes
na
internet
Figure
This!
. América,
Este espaço
foi criado
pela
National
Councilpara
of Teachers
of
Na página
figura 1de
desafio
dos
modelos
desercaptura-recaptura,
disponível
Mathematics,
nos Estadosum
Unidos
da bastante
América,ilustrativo
em cooperação
com outras
entidades, para envolver
os
estudantes
e
as
suas
famílias
em
desafios
matemáticos
que
podem
ser
resolvidos
em
casa.
Estes
divertidos
desafios
são
cuidadosamente
escolhidos,
de
alta
qualidade
e
apelam
à
utilidade
da
Mathematics,
nos
Estados
Unidos
em cooperação
com
outras
envolver
os
na página de
internet
Figure
This!
. América,
Este espaço
foi criado
National
Councilpara
of Teachers
of
estudantes
e as
suas
famílias
emdadesafios
matemáticos
que pela
podem
ser entidades,
resolvidos
em
casa. Estes
divertidos
desafios
são
cuidadosamente
escolhidos,
de
alta
qualidade
e
apelam
à
utilidade
da
matemática
na
resolução
de
problemas
da
vida
real.
estudantes
e
as
suas
famílias
em
desafios
matemáticos
que
podem
ser
resolvidos
em
casa.
Estes
Mathematics,
nos Estados
Unidos da América,
em cooperação
outras entidades,
envolver da
os
divertidos
desafios
são cuidadosamente
escolhidos,
de altacom
qualidade
e apelam para
à utilidade
matemática
naasresolução
de
problemas
da vida
real.
divertidos
desafios
são
cuidadosamente
escolhidos,
de
alta
qualidade
e
apelam
à
utilidade
da
estudantes
e
suas
famílias
em
desafios
matemáticos
que
podem
ser
resolvidos
em
casa.
Estes
matemática na resolução de problemas da vida real.
matemática
na resolução
problemas da vida
real.
divertidos desafios
são de
cuidadosamente
escolhidos,
de alta qualidade e apelam à utilidade da
matemática na resolução de problemas da vida real.
Outono de 2008
19
Figura 1: Desafio 52 – Captura-recaptura, disponível na página de internet Figure This!
Figura 1: Desafio
52 – Captura-recaptura, disponível na página de internet Figure This!
(http://www.figurethis.org/challenges/c52/challenge.htm).
Figura 1: Desafio
52 – Captura-recaptura, disponível na página de internet Figure This!
(
http://www.figurethis.org/challenges/c52/challenge.htm).
Figura 1: Desafio 52 – Captura-recaptura, disponível na página de internet Figure This!
4. Modelação da heterogeneidade
nas probabilidades de captura
4. Modelação da heterogeneidade nas probabilidades de captura
4. Modelação da heterogeneidade nas probabilidades de captura
O pressuposto de homogeneidade das probabilidades de captura é muitas vezes violado, devido a
4.
Modelação
daentre
heterogeneidade
nasprobabilidades
probabilidades
captura
O
pressuposto
de
homogeneidade
das
dedecaptura
é muitas
vezes violado,
devido a
factores
externos
diferentes momentos
de amostragem
(t = variação
temporal),
a características
O
pressuposto
de
homogeneidade
das
probabilidades
de
captura
é muitas
vezes violado,
devido a
factores
externos
entre
diferentes
momentos
de
amostragem
(t
=
variação
temporal),
a
características
dos indivíduos
(h
= heterogeneidade),
ou àde forma
como (tos= variação
indivíduos
reagem a às
armadilhas
factores
externos
entre
diferentes
momentos
amostragem
temporal),
características
O
probabilidades
detipo
captura
éhappy”
muitasouvezes
devido
dos=pressuposto
indivíduos de(hhomogeneidade
= onde
heterogeneidade),
ou à efeitos
forma docomo
os indivíduos
reagem
às De
armadilhas
(b
comportamento)
se podemdas
observar
“trap
“trapviolado,
shy”.
forma aa
dos
indivíduos
(h
=
heterogeneidade),
ou
à
forma
como
os
indivíduos
reagem
às
armadilhas
factores
externos
entreonde
diferentes
momentos
amostragem
= variação
temporal),
a características
(b
= comportamento)
se podem
observarde
efeitos
do tipo (t“trap
happy”
ouque
“trap
shy”.
Deestas
forma
incorporar
estas componentes
na modelação,
foram
propostos
oito
modelos
combinam
trêsaa
(b
= comportamento)
onde
se podem
observar
efeitos
docomo
tipo “trap
happy”
ouque
“trap
shy”.
De
forma
dos
indivíduos
(h
=
heterogeneidade),
ou
à
forma
os
indivíduos
reagem
às
armadilhas
incorporar
estas
componentes
na
modelação,
foram
propostos
oito
modelos
combinam
estas
fontes
de variação,
que se podem
apresentar
numa
estrutura
hierárquica,
comoque
se ilustra
na Figura
2.três
O
incorporar
estas
componentes
na
modelação,
foram
propostos
oito
modelos
combinam
estas
três
(b
=
comportamento)
onde
se
podem
observar
efeitos
do
tipo
“trap
happy”
ou
“trap
shy”.
De
forma
fontes
de
variação,
que
se
podem
apresentar
numa
estrutura
hierárquica,
como
se
ilustra
na
Figura
2.
Oa
modelo
as podem
três fontes
de variação
em
simultâneo
e o modelo
nulo
M0 assume
que
as
tbh considera
fontes
deM
variação,
que se
apresentar
numa
estrutura
hierárquica,
comoque
se
ilustra
na Figura
2.três
O
incorporar
estas
componentes
na
modelação,
foram
propostos
oito
modelos
combinam
estas
modelo
M
considera
as
três
fontes
de
variação
em
simultâneo
e
o
modelo
nulo
M
assume
que
as
tbh
0
probabilidades
de
captura
são
constantes.
A
selecção
de
modelos
é
habitualmente
efectuada
através
de
modelodeMvariação,
as podem
trêsconstantes.
fontes
de variação
simultâneo
o modelo
nulo
M0 assume
que as
tbh considera
fontes
que numa
se
apresentar
numa em
estrutura
hierárquica,
se
ilustra
na Figura
O
probabilidades
de captura
são
A selecção
de
modelos
éehabitualmente
efectuada
através
um
critério baseado
função
discriminante
multivariada
que como
considera
vários
testes2.de
de
probabilidades
de
captura
são
constantes.
A
selecção
de
modelos
é
habitualmente
efectuada
através
de
modelo
Mtbh econsidera
as três
fontes
de
variação em
simultâneo
e oque
modelo
nulo Mvários
assume
que de
as
0no
um
critério
baseado
numa
discriminante
multivariada
testes
ajustamento
a validação
dos função
modelos
ajustados.
Este
procedimento
estáconsidera
disponível
software,
de
um
critério
baseado
numa
função
discriminante
multivariada
que
considera
vários
testes
de
probabilidades
de
captura
são
constantes.
A
selecção
de
modelos
é
habitualmente
efectuada
através
de
ajustamento livre,
e a validação
dos(Otis
modelos
Esteetprocedimento
disponível no software,
distribuição
CAPTURE
et al.ajustados.
1978 e White
al. 1982). está
ajustamento
ebaseado
a validação
dos(Otis
modelos
ajustados.
Este
estáconsidera
disponívelvários
no software,
de
um critério livre,
numa
função
discriminante
multivariada
testes de
distribuição
CAPTURE
et al.
1978 e White
etprocedimento
al. 1982). que
distribuição
livre,
CAPTURE
(Otis
et
al.
1978
e
White
et
al.
1982).
ajustamento e a validação dos modelos ajustados. Este procedimento está disponível no software, de
distribuição livre, CAPTURE (Otis et al. 1978 e White et al. 1982).
Figura 2: Estrutura hierárquica dos modelos usuais para tratar a heterogeneidade nos problemas de captura (adaptada de
Figura 2: Estrutura hierárquica dos modelos usuaisWhite
para tratar
heterogeneidade nos problemas de captura (adaptada de
et al.a1982).
Figura 2: Estrutura hierárquica dos modelos usuaisWhite
para tratar
heterogeneidade nos problemas de captura (adaptada de
et al.a1982).
White et al. 1982).
Figura
2: Estrutura hierárquica
dos implementadas
modelos usuais para
tratar a heterogeneidade
nos problemas
de captura (adaptada
de e
Mais
recentemente,
têm sido
extensões
dos oito modelos
originalmente
propostos
White
et
al.
1982).
Mais
recentemente,
têm
sido
implementadas
extensões
dos
oito
modelos
originalmente
propostos
várias abordagens de estimação em softwares de livre acesso como MARK (Cooch e White 2002). e
Mais
sido implementadas
extensões
dos como
oito modelos
originalmente
váriasrecentemente,
abordagens detêm
estimação
em softwares de
livre acesso
MARK (Cooch
e Whitepropostos
2002). e
várias
abordagens detêm
estimação
em softwares de
livre acesso como
MARK (Cooch
e White 2002). e
Mais recentemente,
sido implementadas
modelos
Nestes
modelos para populações
fechadas, aextensões
estimaçãodos
de oito
parâmetros
éoriginalmente
habitualmentepropostos
feita com
várias abordagens
dede
estimação
empor
softwares
livre acessodecomo
MARK
e White
2002).
Nestes
modelos
para
populações
fechadas,
adeestimação
parâmetros
é(Cooch
habitualmente
feita com
recurso
ao
método
estimação
máxima
verosimilhança
e
também
com
alguns
métodos
não
Nestes
modelos
para
populações
fechadas,
a
estimação
de
parâmetros
é
habitualmente
feita com
recurso
ao
método
de
estimação
por
máxima
verosimilhança
e
também
com
alguns
métodos
não
paramétricos.
Uma de
formulação
da
funçãoverosimilhança
de máxima verosimilhança
para
os modelos
para
recurso
ao método
estimaçãogeral
por
máxima
e tambémé com
alguns
métodos
não
Nestes
modelos
para
populações
fechadas,
a
estimação
de
parâmetros
habitualmente
feita
com
paramétricos.
Uma
formulação
geral
da
função
de
máxima
verosimilhança
para
os
modelos
para
populações
fechadas
é
dada
por:
paramétricos.
Uma de
formulação
funçãoverosimilhança
de máxima verosimilhança
os modelos
recurso
ao fechadas
método
estimação
porNda
máxima
e também compara
alguns
métodos para
não
populações
é dada
por: geral
k
1− xij
xij
populações
fechadas
é
dada
por:
paramétricos. Uma formulaçãoL (geral
da função
verosimilhança para os
⋅) = ∏∏
pij (1 −depij máxima
(1) modelos para
)
i =1 j =1
populações fechadas é dada por:
onde N representa o total de indivíduos na população em estudo, k o B
número
20
o l e t de
i mcapturas,
S P E xij = 1 se o
animal i é capturado no instante j, e x = 0 caso contrário, e p representa a probabilidade do animal i
( ) ∏∏
i =1 j =1
(
)
ij 1− xij
ij
L ( ⋅) = ∏∏
i =1 j =1 pij (1 − pij )
i =1
ijx
(1)
j =1
onde N representa o total de indivíduos na população em estudo, k o número de capturas, xij = 1 se o
onde
o total
de indivíduos
população
em estudo,
k o número
de capturas, do
xij animal
= 1 se oi
animalN irepresenta
é capturado
no instante
j, e xij =na
0 caso
contrário,
e pij representa
a probabilidade
onde
N irepresenta
o total
de indivíduos
na
população
em estudo,
k o número
de capturas, do
xij animal
= 1 se oi
animal
é
capturado
no
instante
j,
e
x
=
0
caso
contrário,
e
p
representa
a
probabilidade
ij
ij
ser capturado no instante j, i = 1, …, N, e j = 1, …, k, i. e. para os diferentes modelos:
animal
i é capturado
no instante
xij =e j0=caso
contrário,
e pijosrepresenta
probabilidade do animal i
ser
capturado
no instante
j, i = 1, j,…,e N,
1, …,
k, i. e. para
diferentesamodelos:
ser capturado no instante j, i = 1, …, N, e j = 1, …, k, i. e. para os diferentes modelos:
− M0: pij = p, ∀i, j
−
M
pij = pp,, ∀
j
0:: p
−
M
∀i,
t : pij =
−
M
= pp,j, ∀
i,ii j
0: p ij =
−
M
∀
t : pij = pj , ∀j, p ∩ F(p), onde F é a função de distribuição de p
−
M
h: p ij = p i, ∀i
i
−
M
t : pij = pj , ∀j, p ∩ F(p), onde F é a função de distribuição de p
−
M
h: pij = pi para a i primeira captura, p = c para as recapturas
−
M
b: pij = p , ∀j, p ∩ F(p), onde F é aijfunção de distribuição de p
−
M
h: pij = pi para a i primeira captura, p = c para as recapturas
−
M
b :p
ij
−
M
captura,pijpij==c cpara
recapturas
bh: p ij==pppara
i para a primeiracaptura,
i para
−
M
asas
recapturas
b :p
ij = p paraa aprimeira
ij
−
M
primeira
captura,do
pij efeitos
= ci para
as
recapturas
bh: p ij = ϕ i θ , assume combinação
−
M
t
e
h
multiplicativos
th : pij = pi para
j
−
M
a
primeira
captura,
p
=
c
para
as
recapturas
bh
ij
i
ij
i
−
M
ϕ
θj, assume
combinação
t eash recapturas
multiplicativos
th:: p
ij =
−
M
pji para
a primeira
captura, do
pij efeitos
= cj para
tb: p
ij =
−
M
p
=
ϕ
θ
,
assume
combinação
do
efeitos
t
e
h
multiplicativos
th: pij = p i para
j
−
M
cjcpara
asasrecapturas
tb : p
ij = pj paraa aprimeira
−
M
primeiracaptura,
captura,ppijpij=
recapturas.
tbh
ij= p ijpara a primeira
ij para
−
M
:
p
==
cjcpara
asasrecapturas
ij = pj para a primeiracaptura,
ij
− Mtb
:
p
captura,
p
=
para
recapturas.
tbh
ij
ij
ij
ij
− Mtbh: pij = pij para a primeira captura, pij = cij para as recapturas.
Os parâmetros destes modelos são o tamanho da população, N, e as probabilidades de captura, pij.
Os parâmetros
destesnúmero
modelosdesão
o tamanhoemda alguns
população,
N, e as
probabilidades
de captura, (1)
pij.
Devido
ao elevado
parâmetros
modelos,
a função
de verosimilhança
Os
parâmetros
destes
modelos
são
o
tamanho
da
população,
N,
e
as
probabilidades
de
captura,
pij.
Devido
elevado número
de parâmetros
em alguns
modelos,
função de verosimilhança
(1)
apresentaaoproblemas
de identificabilidade
e estimação
se não
forem aconsideradas
algumas restrições.
Devido
ao
elevado
número
de
parâmetros
em
alguns
modelos,
a
função
de
verosimilhança
(1)
apresenta
problemas
de identificabilidade
e estimação
forempropõem
consideradas
algumasalternativos
restrições.
Autores como
Burnham
e Overton (1978)
e Chao etseal.não
(1992)
estimadores
apresenta
problemas
de
identificabilidade
e
estimação
se
não
forem
consideradas
algumas
restrições.
Autores como
Burnham
Overton (1978)
e Chao
et problemas.
al. (1992) propõem estimadores alternativos
baseados
em métodos
não eparamétricos
para evitar
estes
Autores
como
Burnham
e
Overton
(1978)
e
Chao
et
al.
(1992)
propõem
estimadores
alternativos
baseados em métodos não paramétricos para evitar estes problemas.
baseados em métodos não paramétricos para evitar estes problemas.
Os primeiros desenvolvimentos do modelo Mh foram considerados por Burnham e Overton (1978),
Os primeiros
doomodelo
considerados
pordas
Burnham
e Overton
(1978),e
h foram
que
derivaramdesenvolvimentos
um estimador para
tamanhoMda
população
em função
frequências
de capturas
Os primeiros
desenvolvimentos
doomodelo
Mda
considerados
pordas
Burnham
e Overton
(1978),
h foram
que
derivaram
um
estimador
para
tamanho
população
em
função
frequências
de
capturas
utilizaram o método Jackknife para corrigir o enviesamento. Mais tarde, Cormack (1989) tentoue
que
derivaram
um estimador
para o tamanho
população em função
das frequências
de capturas
utilizaram
o método
Jackknife
corrigir da
oheterogeneidade
enviesamento.
Mais
tarde,
Cormack
(1989)
tentoue
estimar os parâmetros
do modelopara
que considera
nas probabilidades
de captura
através
utilizaram
o
método
Jackknife
para
corrigir
o
enviesamento.
Mais
tarde,
Cormack
(1989)
tentou
estimar
os parâmetros
do e,
modelo
considera heterogeneidade
probabilidades
captura através
de modelos
loglineares
mais que
recentemente,
Pledger (2000),nas
baseando-se
nos de
desenvolvimentos
estimar
os parâmetros
do e,
modelo
que
considera heterogeneidade
nas
probabilidades
captura através
de
modelos
loglineares
maise Pollock
recentemente,
(2000),
baseando-se
nos de
desenvolvimentos
anteriormente
feitos por Norris
(1996) Pledger
em modelos
de misturas,
introduziu
heterogeneidade
de
modelos
loglineares
e,
mais
recentemente,
Pledger
(2000),
baseando-se
nos
desenvolvimentos
anteriormente
feitosdepor
Norrisutilizando
e Pollocko(1996)
misturas, introduziu
heterogeneidade
nas probabilidades
captura
métodoem
demodelos
máxima de
verosimilhança
não paramétrica.
Vários
anteriormente
feitos
por
Norris
e
Pollock
(1996)
em
modelos
de
misturas,
introduziu
heterogeneidade
nas
probabilidades
de
captura
utilizando
o
método
de
máxima
verosimilhança
não
paramétrica.
Vários
estimadores dos modelos tipo Mt foram desenvolvidos por Chao (1989) e mais tarde generalizados
nas
probabilidades
de captura
utilizando
odesenvolvidos
método de máxima
verosimilhança
não paramétrica.
Vários
estimadores
dos
modelos
tipo
M
foram
por
Chao
(1989)
e
mais
tarde
generalizados
t
para o modelo Mth (Chao et al., 1992). Huggins (1989, 1991) propôs a técnica de regressão logística
estimadores
dosMmodelos
tipo M1992).
desenvolvidos
por Chao
(1989)
e mais
generalizados
t foramHuggins
para modelar
o modelo
(1989,
1991)
propôs
técnica
detarde
regressão
logística
th (Chao et al.,
para
heterogeneidade
nas probabilidades
de captura
através
de acovariáveis
observáveis.
para
o
modelo
M
(Chao
et
al.,
1992).
Huggins
(1989,
1991)
propôs
a
técnica
de
regressão
logística
th
para modelar heterogeneidade nas probabilidades de captura através de covariáveis observáveis.
para modelar heterogeneidade nas probabilidades de captura através de covariáveis observáveis.
A inferência bayesiana tem sido utilizada nos modelos Mt que permitem apenas a variação das
A
inferência bayesiana
tem sido de
utilizada
nos modelos
Mt 1981)
que permitem
a variação
das
probabilidades
entre os momentos
amostragens
(Castledine,
ou quandoapenas
se aborda
o problema
A
inferência bayesiana
tem sido de
utilizada
nos modelos
Mt 1981)
que permitem
apenas
a variação
das
probabilidades
entre
os
momentos
amostragens
(Castledine,
ou
quando
se
aborda
o
problema
da heterogeneidade nos modelos Mh (Basu e Ebrahimi, 2001). Ghosh e Norris (2005) desenvolveram
probabilidades
entrenos
os momentos
amostragens
(Castledine,
1981) ou
quando(2005)
se aborda
o problema
da
modelos
Mde
Ebrahimi,
2001).
e Norris
desenvolveram
h (Basu ebayesiana
umheterogeneidade
modelo Mbh utilizando
uma abordagem
onde
as Ghosh
probabilidades
de captura
não variam
da
heterogeneidade
nos
modelos
M
(Basu
e
Ebrahimi,
2001).
Ghosh
e
Norris
(2005)
desenvolveram
h
um
Mbh mas
utilizando
bayesiana
onde easdependem
probabilidades
de captura
variamà
commodelo
o tempo,
variamuma
de abordagem
indivíduo para
indivíduo
da reacção
dos não
mesmos
um
modelo
M
utilizando
uma
abordagem
bayesiana
onde
as
probabilidades
de
captura
não
variamà
bh
com
o tempo, mas variam de indivíduo para indivíduo e dependem da reacção dos mesmos
armadilha.
com
o
tempo,
mas
variam
de
indivíduo
para
indivíduo
e
dependem
da
reacção
dos
mesmos
à
armadilha.
armadilha.
5. Algumas áreas de aplicação
Seguidamente, chamamos à atenção do leitor para uma variedade de aplicações, dando particular
Seguidamente,
chamamos
à atenção
do leitor para(populações
uma variedade
de aplicações,
particular
ênfase às aplicações
nas áreas
da Biologia/Ecologia
animais,
dinâmica dedando
populações
e de
Seguidamente,
chamamos
à atenção
do leitor para(populações
uma variedade
de aplicações,
dando
particular
ênfase
às
aplicações
nas
áreas
da
Biologia/Ecologia
animais,
dinâmica
de
populações
e dee
comunidades), Ciências Médicas e da Saúde (Epidemiologia, doenças crónicas), Ciências Sociais
ênfase
às
aplicações
nas
áreas
da
Biologia/Ecologia
(populações
animais,
dinâmica
de
populações
e de
comunidades),
Ciências Médicas
e da Saúde
(Epidemiologia,
doenças
crónicas),
Ciências
Sociais
Demografia (subcontagem
de minorias
em censos
de população,
imigrantes
ilegais,
os sem
abrigo,e
comunidades),
Ciências
Médicas
e
da
Saúde
(Epidemiologia,
doenças
crónicas),
Ciências
Sociais
Demografia
(subcontagem
de minorias
emdecensos
de população,
ilegais, os sem abrigo,e
toxicodependência,
prostituição),
Controlo
Qualidade
e inspecçãoimigrantes
de softwares.
Demografia
(subcontagem
de minorias
emdecensos
de população,
ilegais, os sem abrigo,
toxicodependência,
prostituição),
Controlo
Qualidade
e inspecçãoimigrantes
de softwares.
toxicodependência, prostituição), Controlo de Qualidade e inspecção de softwares.
5.1 Ciências Biológicas
Nas Ciências Biológicas, os modelos de captura-recaptura continuam ser aplicados numa grande
Nas
Ciências
Biológicas,
os modelos
ser aplicados
grande
variedade
de grupos
taxonómicos:
mamíferos,
peixes, avescontinuam
entre outros,
e tambémnuma
em plantas.
Nas
Ciências
Biológicas,
os
modelos
de
captura-recaptura
continuam
ser
aplicados
numa
grande
variedade
de grupos taxonómicos:
mamíferos,
peixes, aves
entre outros,
também
em plantas.
Algumas contribuições
importantes podem
ser consultadas
em Brownie
et al. e(1985),
Burnham
et al.
variedade
de
grupos
taxonómicos:
mamíferos,
peixes,
aves
entre
outros,
e
também
em
plantas.
Algumas
contribuições
importantes
ser consultadas
em um
Brownie
al. (1985),
Burnhamdestes
et al.
(1987)
e Nichols
et al. (1992).
Mais podem
recentemente,
tem havido
grandeetinteresse
na utilidade
Algumas
contribuições
importantes
podem
ser
consultadas
em
Brownie
et
al.
(1985),
Burnham
et al.
(1987) e Nichols
et al. (1992).
Maisderecentemente,
tem havido
grande
interesse
na utilidade
destes
modelos
na estimação
da riqueza
espécies (Nichols
et al. um
1998).
Neste
contexto,
N representa
o
(1987)
e
Nichols
et
al.
(1992).
Mais
recentemente,
tem
havido
um
grande
interesse
na
utilidade
destes
modelos
na
estimação
da
riqueza
de
espécies
(Nichols
et
al.
1998).
Neste
contexto,
N
representa
o
número denaespécies
(riqueza
de espécies
- o parâmetro
e pNeste
a probabilidade
ij representa
modelos
estimação
da riqueza
de espécies
(Nicholsdeetinteresse)
al. 1998).
contexto,
N representadao
espécie i estar presente na quadrícula j, i = 1,..., N, e j = 1, ..., t. O pressuposto de igualdade na
probabilidade de detecção entre as espécies restringe fortemente a utilidade dos modelos M0, Mt, Mb, e
Mtb. No entanto, a violação deste pressuposto é permitida no modelo Mh e nos modelos que
consideram variações nas probabilidades de detecção entre as espécies (Alpizar-Jara e Nichols 2002).
5.2
Outono de 2008
Ciências Médicas
21
probabilidade
de detecção
entredeste
as espécies
restringe
fortemente
a utilidade
dos
M0, Mt, Mque
b, e
M
a violação
pressuposto
permitida
no
Mhmodelos
e nos
modelos
tb. No i entanto,
consideram
variações
nas probabilidades
de
detecção
entre
e de
Nichols
2002).
espécie
estar
presente
na
quadrícula
j, restringe
i = 1,...,éé N,
e jas
= espécies
1, ...,
t.modelo
O(Alpizar-Jara
pressuposto
igualdade
probabilidade
de
detecção
entre
as
espécies
fortemente
a
utilidade
dos
modelos
M
,
M
,
M
e
0
t
b,na
M
.
No
entanto,
a
violação
deste
pressuposto
permitida
no
modelo
M
e
nos
modelos
que
tb
h
consideram
variações
nas probabilidades
de detecção
entre
as espécies
(Alpizar-Jara
e Nichols
2002).
probabilidade
de
detecção
entre
as
espécies
restringe
fortemente
a
utilidade
dos
modelos
M
,
M
,
M
,
0
t
b e
Mtb. No entanto,
a violação
deste pressuposto
é entre
permitida
no modelo
Mh e nos
modelos
que
consideram
variações
nas probabilidades
de detecção
as espécies
(Alpizar-Jara
e Nichols
2002).
5.2
Ciências
Médicas
Mtb. No
entanto,
a nas
violação
deste pressuposto
é entre
permitida
no modelo
Mh e enos
modelos
que
consideram
variações
probabilidades
de detecção
as espécies
(Alpizar-Jara
Nichols
2002).
5.2
Ciências
Médicas
consideram
variações
nas probabilidades de detecção entre as espécies (Alpizar-Jara e Nichols 2002).
5.2 Ciências Médicas
Como
referimos
na nota histórica, nas últimas décadas os métodos de captura-recaptura têm sido
5.2 Ciências
Médicas
Como
referimos
na notaemhistórica,
nas últimas
têm esido
amplamente
utilizados
Epidemiologia
paradécadas
estimar ose métodos
corrigir de
as captura-recaptura
taxas de incidência
de
5.2
Ciências
Médicas
Como
referimos
na
nota
histórica,
nas
últimas
décadas
os
métodos
de
captura-recaptura
têm esido
amplamente
utilizados
em
Epidemiologia
para
estimar
e
corrigir
as
taxas
de
incidência
de
prevalência
de certas
doenças
(McCarty
al. 1993;
Roberts
Scragg 1994).
Uma das vantagens
Como
referimos
na nota
nas etúltimas
décadas
oseemétodos
de
têm desta
amplamente
utilizados
emhistórica,
Epidemiologia
para
estimar
corrigir1994).
as captura-recaptura
taxas
de
incidência
esido
de
prevalência
de
certas
doenças
(McCarty
et
al.
1993;
Roberts
e
Scragg
Uma
das
vantagens
desta
metodologia
é que
permite
evitar nas
contagens
exaustivas
emétodos
onerosasas
de
pessoas
afectadas,
que
Como
referimos
na
nota
histórica,
últimas
décadas
os
de
captura-recaptura
têm
sido
amplamente
utilizados
em
Epidemiologia
para
estimar
e
corrigir
taxas
de
incidência
e
de
prevalência
deécertas
doenças
(McCarty
et al. 1993;
Roberts ee Scragg
1994).
Uma
das vantagens
desta
metodologia
quedisponíveis.
permite
evitar
contagens
exaustivas
onerosas
detaxas
pessoas
afectadas,
que
dificilmente
estão
É possível
obter
estimativas
baseando-nos
na
existência
de listagens
amplamente
utilizados
em
Epidemiologia
para
estimar
e
corrigir
as
de
incidência
e
de
prevalência
de
certas
doenças
(McCarty
et
al.
1993;
Roberts
e
Scragg
1994).
Uma
das
vantagens
desta
metodologia
é quedisponíveis.
permite evitar
contagens
exaustivas ebaseando-nos
onerosas denapessoas
afectadas,
que
dificilmente
estão
Ésobreposições
possível
obter
estimativas
existência
de al.
listagens
incompletas
e
considerando
as
das
pessoas
nas
listas
respectivas
(Lee
et
2001,
prevalência
de
certas
doenças
(McCarty
et
al.
1993;
Roberts
e
Scragg
1994).
Uma
das
vantagens
desta
metodologia estão
é quedisponíveis.
permite evitar
contagens
exaustivas baseando-nos
onerosas denapessoas
afectadas,
que
dificilmente
Ésobreposições
possível
obterdas
estimativas
existência
de al.
listagens
incompletas
e2003).
considerando
asevitar
pessoas
listas
respectivas
(Leeafectadas,
et
Alpizar-Jara
Apermite
dependência
entre
as amostras
é umnas
facto
neste
tipo
de aplicações,
o2001,
que
metodologia
é
que
contagens
exaustivas
e
onerosas
de
pessoas
que
dificilmente
estão
disponíveis.
É
possível
obter
estimativas
baseando-nos
na
existência
de
listagens
incompletas
e2003).
considerando
as sobreposições
das pessoas
nas
listas
respectivas
(Lee et al. o2001,
Alpizar-Jara
A
dependência
entre
as
amostras
é
um
facto
neste
tipo
de
aplicações,
que
geralmente
traduz
em estimativas
enviesadas.
Uma
formanas
de listas
abordar
o problema
da dependência
dificilmenteseeestão
disponíveis.
possível
obter
estimativas
na existência
listagens
incompletas
considerando
as Ésobreposições
das
pessoas
respectivas
(Lee
etdeal.
Alpizar-Jara
2003).
Aemdependência
entre
as
amostras
é umbaseando-nos
facto
neste
tipo
de aplicações,
o2001,
que
geralmente
se
traduz
estimativas
enviesadas.
Uma
forma
de
abordar
o1989).
problema
da dependência
entre
várias
amostras
é
mediante
o
uso
dos
modelos
log-lineares
(Cormack
incompletas
e
considerando
as
sobreposições
das
pessoas
nas
listas
respectivas
(Lee
et
al.
2001,
Alpizar-Jara
2003).
A
dependência
entre
as
amostras
é
um
facto
neste
tipo
de
aplicações,
o
que
geralmente
traduz éem
estimativas
enviesadas.
Uma
forma de(Cormack
abordar o1989).
problema da dependência
entre
várias se
amostras
mediante
o usoentre
dos modelos
log-lineares
Alpizar-Jara
2003).
A
dependência
as
amostras
é
um
facto
neste
tipo
de
aplicações,
o
que
geralmente
se
traduz
em
estimativas
enviesadas.
Uma
forma
de
abordar
o
problema
da
dependência
entre várias amostras é mediante o uso dos modelos log-lineares (Cormack 1989).
5.3
Ciências
Sociais
geralmente
se
traduz
em
estimativas
enviesadas.
Uma
forma
de
abordar
o
problema
da
dependência
entre várias amostras é mediante o uso dos modelos log-lineares (Cormack 1989).
5.3
Sociaisé mediante o uso dos modelos log-lineares (Cormack 1989).
entre Ciências
várias amostras
5.3 Ciências Sociais
Nas
sociais
são vários os artigos publicados com aplicação dos modelos de captura-recaptura
5.3 ciências
Ciências
Sociais
Nas
ciências
sociais
são vários
os artigos como
publicados
aplicaçãodo
dosnúmero
modelos
captura-recaptura
em
bastante
sensíveis
da sociedade
sejam:com
a estimação
dosdesem
abrigo (Fisher
5.3 áreas
Ciências
Sociais
Nas
ciências
sociais
são vários
os artigos como
publicados
com
aplicaçãodo
dosnúmero
modelos
desem
captura-recaptura
em
áreas
bastante
sensíveis
da
sociedade
sejam:
a
estimação
dos
abrigo
(Fisher
et
al.
1994),
prostitutas
(Kruse
et
al.
2003)
e
toxicodependentes
(Domingo-Salvany
et
al. 1995).
Tal
Nas
ciências
sociais
são vários
os artigos como
publicados
aplicaçãodo
dosnúmero
modelos
captura-recaptura
emal.
áreas
bastante
sensíveis
da sociedade
sejam:com
a estimação
dosdesem
abrigo
(Fisher
et
1994),
prostitutas
(Kruse
et
al.
2003)
e
toxicodependentes
(Domingo-Salvany
et
al.
1995).
Tal
como
na
Epidemiologia,
as
estimativas
deste
tipo
de
populações
móveis
baseiam-se,
de
um
modo
Nas
ciências
sociais
são(Kruse
vários
os al.
artigos
publicados
aplicação
modelos
captura-recaptura
em
áreas
bastante
sensíveis
da sociedade
como
sejam:com
a estimação
dodos
número
dosdesem
abrigo
(Fisher
et
al.
1994),
prostitutas
et
2003)
e
toxicodependentes
(Domingo-Salvany
et
al.
1995).
Tal
como
na Epidemiologia,
as da
estimativas
deste
tipo
de apopulações
móveis
baseiam-se,
de um
modo
geral,
em
bases
de sensíveis
amostragem
de al.
registos
incompletos,
onde
as listas
são dependentes
entre
si.(Fisher
Silva
emal.áreas
bastante
sociedade
como
sejam:
estimação
do
número
dos sem
abrigo
et
1994),
prostitutas
(Kruse
et
2003)
e toxicodependentes
(Domingo-Salvany
et al.
1995).
Tal
como
na
Epidemiologia,
as
estimativas
deste
tipo
de
populações
móveis
baseiam-se,
de
um
modo
geral,
em
bases
de amostragem
de
registos
incompletos,
onde as
listas
são
dependentes
entre
si. Silva
et
al.
(2007)
mostram
um
exemplo
de
aplicação
para
avaliar
o
efeito
da
violação
do
pressuposto
de
et
al.
1994),
prostitutas
(Kruse
et
al.
2003)
e
toxicodependentes
(Domingo-Salvany
et
al.
1995).
Tal
como
na Epidemiologia,
as estimativas
deste
tipo de populações
móveis
baseiam-se, entre
de um
geral,
em
bases
de amostragem
de registos
incompletos,
onde as
listas
são
dependentes
si. modo
Silva
et
al.
(2007)
mostram
um
exemplo
de
aplicação
para
avaliar
o
efeito
da
violação
do
pressuposto
de
independência
baseados
noastrabalho
de Domingo-Salvany
et al.as(1995).
como
na bases
Epidemiologia,
estimativas
deste
tipo
deavaliar
populações
móveis
baseiam-se,
de um
geral,
em
de amostragem
de registos
incompletos,
onde
listas
são
dependentes
entre
si. modo
Silva
et
al. (2007)
mostram
um
exemplo
de Domingo-Salvany
aplicação
para
o(1995).
efeito
da violação
do pressuposto
de
independência
baseados
no
trabalho
de
et
al.
geral,
em
bases
de
amostragem
de
registos
incompletos,
onde
as
listas
são
dependentes
entre
si.
Silva
et
al.
(2007)
mostram
um
exemplo
de
aplicação
para
avaliar
o
efeito
da
violação
do
pressuposto
de
independência baseados no trabalho de Domingo-Salvany et al. (1995).
Em
Demografia,
por exemplo,
os modelos
de captura
recaptura
têm sido
utilizados,
o nome de
et al.
(2007) mostram
um
exemplo
deDomingo-Salvany
aplicação
para avaliar
efeito
da violação
do sob
pressuposto
de
independência
baseados
no trabalho
de
et al. o(1995).
Em
Demografia,
pormúltiplo,
exemplo,
os modelos
de dos
captura
recaptura
têm sidopor
utilizados,
sob odenome
de
sistemas
de registo
para
a de
correcção
censos
deal.população
subcontagens
grupos
independência
baseados
no
trabalho
Domingo-Salvany
et
(1995).
Em
Demografia,
pormúltiplo,
exemplo,para
os modelos
de dos
captura
recaptura
têm sidopor
utilizados,
sob odenome
de
sistemas
de registo
a para
correcção
censos
de população
subcontagens
grupos
minoritários
(Chao
Tsay 1998)
a estimação
do
número
de imigrantes
ilegaissob
(Jandl
2004).
Em
Demografia,
poremúltiplo,
exemplo,
os emodelos
de dos
captura
recaptura
têm
sidopor
utilizados,
odenome
de
sistemas
de
registo
para
a
correcção
censos
de
população
subcontagens
grupos
minoritários
(Chao
e Tsay
1998)extensa
emodelos
paralista
a estimação
dorecaptura
número
de imigrantes
ilegais
(Jandl
2004).
Fienberg
(1992)
apresenta
uma
de
referências
bibliográficas
sobre
o
uso
de
modelos
de
Em
Demografia,
por
exemplo,
os
de
captura
têm
sido
utilizados,
sob
o
nome
de
sistemas
de registo
para ea para
correcção
dos censos
de população
por subcontagens
de grupos
minoritários
(Chao
emúltiplo,
Tsay uma
1998)
a estimação
do número
de imigrantes
ilegais
(Jandl
2004).
Fienberg
(1992)
apresenta
extensa
lista
de
referências
bibliográficas
sobre
o
uso
de
modelos
de
captura-recaptura
aplicados
à
subcontagem
nos
censos
da
população
e
Pollock
et
al.
(1994)
utilizam
sistemas (1992)
de registo
para
correcção
censos
de
população
por
subcontagens
de 2004).
grupos
minoritários
(Chao
emúltiplo,
Tsay uma
1998)
eapara
a estimação
do número
de imigrantes
Fienberg
apresenta
extensa
lista
de dos
referências
bibliográficas
sobre
oilegais
uso
de(Jandl
modelos
de
captura-recaptura
aplicados
àdimensão
subcontagem
nos
censos
da número
população
eimigrantes
Pollock
et
al. incompletas.
(1994)
utilizam
estes
modelos
para
estimar
a
duma
população
baseados
em
registos
de
listas
minoritários
(Chao
e
Tsay
1998)
e
para
a
estimação
do
de
ilegais
(Jandl
2004).
Fienberg (1992) apresenta
uma
extensa listanos
de censos
referências
bibliográficas
sobre et
o uso
de modelos
de
captura-recaptura
aplicados
à
subcontagem
da
população
e
Pollock
al.
(1994)
utilizam
estes
modelos
paraapresenta
estimar auma
dimensão
duma
população
baseados
em registos
de listas
incompletas.
Fienberg
(1992)
extensa
lista
de
referências
bibliográficas
sobre
o
uso
de
modelos
captura-recaptura
aplicados
à
subcontagem
nos
censos
da
população
e
Pollock
et
al.
(1994)
utilizam
estes modelos para estimar a dimensão duma população baseados em registos de listas incompletas. de
5.4
Controlopara
de aplicados
Qualidade
esubcontagem
inspecção
de nos
softwares
captura-recaptura
censos baseados
da população
e Pollock
et al.incompletas.
(1994) utilizam
estes
modelos
estimar a àdimensão
duma
população
em registos
de listas
5.4
Controlopara
de Qualidade
e inspecção
de softwares
estes modelos
estimar a dimensão
duma
população baseados em registos de listas incompletas.
5.4 Controlo de Qualidade e inspecção de softwares
Muitas
empresas
se dedicam
ao desenvolvimento
5.4 Controlo
deque
Qualidade
e inspecção
de softwares de software para a manipulação de dados (de
Muitas
empresasdeque
se dedicam
aoe desenvolvimento
software
a manipulação
de dados (de
contas
bancárias,
registos
médicos,
dos Ministérios
Justiça,
porpara
exemplo)
estão preocupadas
em
5.4
Controlo
Qualidade
e
inspecção
de softwaresdede
Muitas
empresas
que
se
dedicam
ao
desenvolvimento
de
software
para
a
manipulação
de dados (de
contas
bancárias,
registos
médicos,
e
dos
Ministérios
de
Justiça,
por
exemplo)
estão
preocupadas
em
garantir
o sigilo dos
dados
pessoaisaoe,desenvolvimento
habitualmente, investem
elevadas
quantias
com esse
Muitas
empresas
que
se dedicam
software
a manipulação
de propósito.
dados (de
contas
bancárias,
registos
médicos,
ee,dos
Ministérios investem
dedeJustiça,
porpara
exemplo)
estão
preocupadas
em
garantir
o
sigilo
dos
dados
pessoais
habitualmente,
elevadas
quantias
com
esse
propósito.
Uma
das
principais
ameaças
no aoetratamento
dessasdebases
de por
dados
são
asestão
falhas
no dados
software
Muitas
empresas
que
se
dedicam
desenvolvimento
de
software
para
a
manipulação
de
(de
contas
bancárias,
registos
médicos,
dos
Ministérios
Justiça,
exemplo)
preocupadas
em
garantir
o sigilo
dos dados
pessoais
e, habitualmente,
investem
elevadas
quantias
com
esse
propósito.
Uma
das
principais
ameaças
no
tratamento
dessas
bases
de
dados
são
as
falhas
no
software
disponibilizado
(Schofield
2007).
Ose,
têmexemplo)
sido
utilizados
na detecção
de
contasdas
bancárias,
registos
médicos,
emodelos
dos
Ministérios
debases
Justiça,
por
preocupadas
em
garantir
o sigilo
dos
dados
pessoais
habitualmente,
investem
quantias
com
esse
propósito.
Uma
principais
ameaças
noOstratamento
deelevadas
dados
sãoutilizados
asestão
falhas
no
software
disponibilizado
(Schofield
2007).
modelos
dedessas
captura-recaptura
têm2004).
sido
na
detecção
de
erros
em
aplicações
de
inspecção
de
software
(Peterson
et
al.
Os
modelos
propostos
garantir
o
sigilo
dos
dados
pessoais
e,
habitualmente,
investem
elevadas
quantias
com
esse
propósito.
Uma das principais
ameaças
bases de dados
sãoutilizados
as falhasnano
software
disponibilizado
(Schofield
2007).noOstratamento
modelos
dedessas
captura-recaptura
têm2004).
sido
detecção
de
erros
em
aplicações
de
inspecção
de
software
(Peterson
et
al.
Os
modelos
propostos
consideram
a heterogeneidade
nas
probabilidades
debases
detecção
das sido
falhas
as diferenças
nas
Uma em
das aplicações
principais
ameaças
de al.
dados
sãoutilizados
ase modelos
falhas
software
disponibilizado
(Schofield
2007).no
Ostratamento
modelos
dedessas
captura-recaptura
têm
na no
detecção
de
erros
de
inspecção
de
software
(Peterson
et
2004).
Os
propostos
consideram
a de
heterogeneidade
probabilidades
de detecção
das sido
falhas
e as diferenças
nas
probabilidades
detecção
entre nas
inspectores.
Vários
autores
têm
questionado
a utilidade
dos
modelos
disponibilizado
(Schofield
2007).
Os
modelos
de
captura-recaptura
têm
utilizados
na
detecção
de
erros
em
aplicações
de
inspecção
de
software
(Peterson
et
al.
2004).
Os
modelos
propostos
consideram
a de
heterogeneidade
nas
probabilidades
de detecção
das falhasa utilidade
e as diferenças
nas
probabilidades
detecção
entre
inspectores.
Vários
autores
têm
questionado
dos
modelos
do
tipo
M
,
mas
Alpizar-Jara
et
al.
(2008)
argumentam
que
estes
modelos
também
podem
ser
úteis
erros
em
aplicações
de
inspecção
de
software
(Peterson
et
al.
2004).
Os
modelos
propostos
b a heterogeneidade nas probabilidades de detecção das falhas e as diferenças nas
consideram
probabilidades
deAlpizar-Jara
detecção entre
inspectores.
Vários autores
têm
questionado
a utilidade
dos ser
modelos
do
tipo
Mde
et al.
(2008)
argumentam
estes
modelos
também
úteis
b, mas
neste
tipo
aplicações
dadoentre
que
énas
provável
que,
em autores
algumas
situações,
intercomunicação
entre
consideram
a de
heterogeneidade
probabilidades
de que
detecção
das exista
falhas
e as podem
diferenças
nas
probabilidades
detecção
inspectores.
Vários
têm
questionado
a
utilidade
dos
modelos
do
tipo
M
,
mas
Alpizar-Jara
et
al.
(2008)
argumentam
que
estes
modelos
também
podem
ser
úteis
b aplicações dado que é provável que, em algumas situações, exista intercomunicação entre
neste
tipo
de
os
inspectores
sobre
as
características
das
falhas
detectadas.
probabilidades
de
detecção
entre
inspectores.
Vários
autores
têm
questionado
a
utilidade
dos
modelos
do
tipo
Mde
Alpizar-Jara
et al.
(2008) argumentam
que estes
modelos
podem ser entre
úteis
b, mas
neste
tipo
aplicações
dado que
é provável
que,detectadas.
em algumas
situações,
existatambém
intercomunicação
os
inspectores
sobre
as características
das falhas
do
tipo
M
Alpizar-Jara
et
al.
(2008)
argumentam
que
estes
modelos
também
podem
ser
úteis
b, mas
neste
tipo
de
aplicações
dado
que
é
provável
que,
em
algumas
situações,
exista
intercomunicação
entre
os inspectores sobre as características das falhas detectadas.
6.
Algumas
reflexões
e
possibilidades
de
trabalho
futuro
neste
tipo
de
aplicações
dado
que
é
provável
que,
em
algumas
situações,
exista
intercomunicação
entre
os inspectores sobre as características das falhas detectadas.
6.
Algumas reflexões
possibilidades
trabalho
futuro
os inspectores
sobre as ecaracterísticas
dasdefalhas
detectadas.
6. Algumas reflexões e possibilidades de trabalho futuro
Apesar
da crescente
utilização
desta metodologia
diversas áreas de conhecimento, os modelos
6. Algumas
reflexões
e possibilidades
de trabalhonas
futuro
Apesar
da
crescente
utilização
desta
metodologia
nas
diversas
áreas deAssim,
conhecimento,
os fazer
modelos
devem
ser
cuidadosamente
avaliados
em
função
dos
seus
pressupostos.
gostávamos
um
6. Algumas
reflexões
e possibilidades
de trabalho
futuro
Apesar
da cuidadosamente
crescente
utilização
desta em
metodologia
nas
diversas
áreas deAssim,
conhecimento,
os fazer
modelos
devem
ser
avaliados
função
dos
seus
pressupostos.
gostávamos
um
apelo
comunidade
para
ter em
atenção não
sódiversas
o potencial
dosdemétodos
Apesarà ser
da cuidadosamente
crescentecientífica
utilização
desta
metodologia
nas
áreas
conhecimento,
os fazer
modelos
devem
avaliados
em
função
dos
seus
pressupostos.
Assim,
gostávamos
um
apelo
à
comunidade
científica
para
ter
em
atenção
não
só
o
potencial
dos
métodos
de
captura-recaptura
nas
várias
áreas
de aplicação,
masdesta
também
as limitações
associadas
às aplicações
concretas.os fazer
Apesar
da
crescente
utilização
metodologia
nas
diversas
áreas
de
conhecimento,
modelos
devem
ser
cuidadosamente
avaliados
em
função
dos
seus
pressupostos.
Assim,
gostávamos
um
apelo
à comunidade
científicamas
paratambém
ter em atenção
não sóassociadas
o potencialàsdos
métodosconcretas.
nas
várias
áreas
de referir
aplicação,
as limitações
aplicações
devem
ser
cuidadosamente
avaliados
função
dos
seus
pressupostos.
Assim,
gostávamos
fazer
um
Devemos
também
que
os
avanços
nestas
técnicas
de
amostragem
têm
sido
acompanhados
dos
apelo
à
comunidade
científica
para
ter
em
atenção
não
só
o
potencial
dos
métodos
de
captura-recaptura
nas várias áreas de aplicação, mas também as limitações associadas às aplicações concretas.
apelo
à
comunidade
científica
para
ter
em
atenção
não
só
o
potencial
dos
métodos
de
captura-recaptura
principais
desenvolvimentos
noutras
metodologias
estatísticas
sejam asconcretas.
análises de dados
nas várias áreas
de aplicação, mas
também
as limitações
associadascomo
às aplicações
nas várias áreas
de aplicação,
mas também
as limitações
associadas
às aplicações
concretas.
categorizados
(regressão
logística
e modelos
log-lineares),
os critérios
de selecção
de modelos, a
modelação da heterogeneidade, a estatística espacial, os modelos para erros de medição, a mistura de
distribuições, a estimação não paramétrica, os métodos de re-amostragem e a inferência bayesiana.
Assim, esperamos também que este texto sirva de motivação para que investigadores interessados
nestas metodologias possam procurar elos de ligação entre as diversas áreas de interesse.
Na estimação de populações biológicas os métodos de captura-recaptura, amostragem por distâncias,
22
Boletim SPE
modelos multi-estados e a combinação destes têm tido um papel relevante. A combinação dos métodos
Assim,
esperamos também
este elos
textodesirva
de entre
motivação
para áreas
que investigadores
nestas metodologias
possam que
procurar
ligação
as diversas
de interesse. interessados
nestas metodologias possam procurar elos de ligação entre as diversas áreas de interesse.
Na estimação de populações biológicas os métodos de captura-recaptura, amostragem por distâncias,
Na
estimação
de populações
biológicasdestes
os métodos
captura-recaptura,
amostragem
por
distâncias,
modelos
multi-estados
e a combinação
têm tidodeum
papel relevante. A
combinação
dos
métodos
modelos
multi-estados
e
a
combinação
destes
têm
tido
um
papel
relevante.
A
combinação
dos
métodos
de amostragem existentes permite também o desenvolvimento de novos modelos. Por exemplo,
nas
de
amostragem
existentes
permite da
também
o desenvolvimento
novos
modelos. Por
exemplo,
nas
populações
evasivas
a combinação
amostragem
por distânciasdecom
a amostragem
adaptativa
é cada
populações
evasivas
a combinação
por 2006).
distâncias
comúltimos
a amostragem
adaptativa
é cadao
vez mais uma
realidade
(Afonsoda eamostragem
Alpizar-Jara
Nos
anos tem-se
notado
vez
mais uma realidade
(Afonso
e quer
Alpizar-Jara
2006). Nosporúltimos
anos
tem-seet notado
desenvolvimento
de modelos
espaciais
para a amostragem
distâncias
(Hedley
al. 2004)o
desenvolvimento
de modelos
espaciais quer
para a amostragem
distâncias (Hedley
et al. 2004)
quer para os modelos
(Borchers
et al., 2008).por
A combinação
da amostragem
por
quer para os
modelos
(Borchers
et al., 2008).
A combinação
da amostragem
distâncias
com
os modelos
de captura-recapatura
(Alpizar-Jara
e Pollock,
1996, 1999;
Borchers etpor
al.
distâncias
com os
modelos de captura-recapatura
(Alpizar-Jara
e Pollock,
1996, 1999;
et 1al.e
1998;
Monteiro
e Alpizar-Jara
2006) permitem lidar
com a violação
do pressuposto
de Borchers
que g(0) =
1998;
e Alpizar-Jara
2006)
lidardacom
violação do pressuposto
de que g(0)
1e
estimarMonteiro
o valor de
g(0). Nas Actas
dospermitem
Congressos
SPEa encontram-se
outras contribuições
na=área
estimar
o valor de
Nas Actas
dos Congressos
da(2001),
SPE encontram-se
contribuições
na áreae
da amostragem
porg(0).
distâncias
de Alpizar-Jara
et al.
Marques e outras
Buckland
(2005), Rendas
da amostragem
por edistâncias
Alpizar-Jara
et al.
(2001), Marques e Buckland (2005), Rendas e
Alpizar-Jara
(2005)
Afonso e de
Alpizar-Jara
(2007,
2008).
Alpizar-Jara (2005) e Afonso e Alpizar-Jara (2007, 2008).
Finalmente, sugerimos a leitura do artigo de revisão de Schwarz e Seber (1999) sobre o
Finalmente,
sugerimos
a leitura
do artigo
de revisão
de Schwarz
Seber (1999)
sobre
desenvolvimento
de modelos
e métodos
de estimação
da abundância
animal ee também
de alguns
livroso
desenvolvimento
modelos
e métodos como
de estimação
daetabundância
e também
de alguns
livros
de referência nestadeárea
de investigação
Amstrup
al. (2005), animal
Buckland
et al. (2001),
Williams
de
referência
et al.
(2002). nesta área de investigação como Amstrup et al. (2005), Buckland et al. (2001), Williams
et al. (2002).
7. Referências bibliográficas
7. Referências bibliográficas
Afonso, A. e Alpizar-Jara, R. (2006). Amostragem por distâncias adaptativa: combinação de transectos lineares com pontuais. Em:
Ciência
– Actas do
Congresso
Anualpor
da Sociedade
Portuguesa combinação
de Estatísticade(Canto,
L. C.,lineares
Martins,com
E. G.,
Rocha,Em:
C.,
Afonso, Estatística
A. e Alpizar-Jara,
R. XIII
(2006).
Amostragem
distâncias adaptativa:
transectos
pontuais.
Oliveira,
M.
F.,
Leal,
M.
M.
e
Rosado,
F.
eds.),
Edições
SPE,
Lisboa,
p.
163-172.
Ciência Estatística – Actas do XIII Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de Estatística (Canto, L. C., Martins, E. G., Rocha, C.,
Oliveira, M. F., Leal, M. M. e Rosado, F. eds.), Edições SPE, Lisboa, p. 163-172.
Afonso, A. e Alpizar-Jara, R. (2007). Estimação em amostragem por distâncias com distribuições espaciais não homogéneas. Em:
Estatística:
Interdisciplinar
- Actas
do XIV
Anual
da Sociedade
de espaciais
Estatística”;
Ferrão, M.E.,
Afonso,
A. Ciência
e Alpizar-Jara,
R. (2007).
Estimação
em Congresso
amostragem
por distâncias
comPortuguesa
distribuições
não(Eds.
homogéneas.
Em:
Nunes, C. e Braumann,
C.A.) Edições-SPE;
p. 201-210.
Estatística:
Ciência Interdisciplinar
ActasLisboa;
do XIV
Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de Estatística”; (Eds. Ferrão, M.E.,
Nunes, C. e Braumann, C.A.) Edições SPE; Lisboa; p. 201-210.
Afonso, A. e Alpizar-Jara, R. (2008). Avaliação dos estimadores de amostragem por distâncias usando processos de Poisson não
homogéneos.
Estatística:
teoria Avaliação
à prática. Actas
do XV Congresso
Anual da por
Sociedade
Portuguesa
Estatística;
(MagalhãesAfonso,
A. e Em:
Alpizar-Jara,
R.da(2008).
dos estimadores
de amostragem
distâncias
usando de
processos
de Poisson
não
Hill, M., Ferreira,
Dias, J.G.,
Salgueiro,
M.F.,Actas
Carvalho,
H.,Congresso
Vicente, P.,
Braumann,
C.) Edições
SPE; Lisboa;
p. 73-81.(Magalhãeshomogéneos.
Em: M.A.,
Estatística:
da teoria
à prática.
do XV
Anual
da Sociedade
Portuguesa
de Estatística;
Hill, M., Ferreira, M.A., Dias, J.G., Salgueiro, M.F., Carvalho, H., Vicente, P., Braumann, C.) Edições SPE; Lisboa; p. 73-81.
Alpizar-Jara, R. (2000). Muestreo de poblaciones animales basado en modelos probabilísticos. Em: Memoria de la VII Jornada de
Análisis Estadístico
de Datos
(JAED).
Hernández,
O.) Escuela
deen
Estadística.
de Costa
Rica. p. 9-25.
Alpizar-Jara,
R. (2000).
Muestreo
de (Ed.
poblaciones
animales
basado
modelos Universidad
probabilísticos.
Em: Memoria
de la VII Jornada de
Análisis Estadístico de Datos (JAED). (Ed. Hernández, O.) Escuela de Estadística. Universidad de Costa Rica. p. 9-25.
Alpizar-Jara, R. (2003). Modelos de captura-recaptura: aplicações nas ciências médicas. Em: II Conferência Estatística e Qualidade na
Saúde. EscolaR.
Superior
Tecnologia
da Saúde de Lisboa.
6 p.
Alpizar-Jara,
(2003).de
Modelos
de captura-recaptura:
aplicações
nas ciências médicas. Em: II Conferência Estatística e Qualidade na
Saúde. Escola Superior de Tecnologia da Saúde de Lisboa. 6 p.
Alpizar-Jara, R. e Nichols, J. (2002). Modelos de captura-recaptura para estimar o número de espécies numa comunidade ecológica. Em:
Novos RumosR.
eme Estatística.
Actas doModelos
IX Congresso
anual da Sociedade
Portuguesa
de Estatística.
(Carvalho,
L., Brilhante,
F. e Rosado,
Alpizar-Jara,
Nichols, J. (2002).
para estimar
o número
de espécies
numa comunidade
ecológica.
Em:
F. eds.)Rumos
p. 125-136.
Novos
em Estatística. Actas do IX Congresso anual da Sociedade Portuguesa de Estatística. (Carvalho, L., Brilhante, F. e Rosado,
F. eds.) p. 125-136.
Alpizar-Jara, R. e Pollock, K.H. (1996). A combination line transect and capture-recapture sampling model for multiple observers in
aerial
surveys.R.Journal
Environmental
andAEcological
Statistics,
3(4):311-327.
Alpizar-Jara,
e Pollock,
K.H. (1996).
combination
line transect
and capture-recapture sampling model for multiple observers in
aerial surveys. Journal Environmental and Ecological Statistics, 3(4):311-327.
Alpizar-Jara, R. e Pollock, K.H. (1999). Combining line transect capture-recapture for mark-resighting studies. Em: Marine Mammal
Survey
and Assessment
Methods.
(Garner,Combining
G.W, Amstrup,
S.C., Laake,
J.L., Manly, B.F.J.,
McDonald, L.L
e Robertson,
D.G. eds).
A.A.
Alpizar-Jara,
R. e Pollock,
K.H. (1999).
line transect
capture-recapture
for mark-resighting
studies.
Em: Marine
Mammal
Balkema.
Netherlands.
p. 99-114.
Survey andRotterdam.
Assessment
Methods. (Garner,
G.W, Amstrup, S.C., Laake, J.L., Manly, B.F.J., McDonald, L.L e Robertson, D.G. eds). A.A.
Balkema. Rotterdam. Netherlands. p. 99-114.
Alpizar-Jara, R., Infante, P. e Martins, A. (2008). Inspecções de software usando modelos de captura-recaptura na estimação de falhas.
Em: Estatística:
da teoria
prática. Actas
do XV
Congresso
Anual dausando
Sociedade
Portuguesa
de Estatística;na(Magalhães-Hill,
M.,
Alpizar-Jara,
R., Infante,
P. àe Martins,
A. (2008).
Inspecções
de software
modelos
estimação de falhas.
Ferreira,
M.A., Dias,
J.G., Salgueiro,
Carvalho,
Vicente,Anual
P., Braumann,
C.) Edições
SPE; Lisboa;
p. 83-92(Magalhães-Hill, M.,
Em:
Estatística:
da teoria
à prática.M.F.,
Actas
do XV H.,
Congresso
da Sociedade
Portuguesa
de Estatística;
Ferreira, M.A., Dias, J.G., Salgueiro, M.F., Carvalho, H., Vicente, P., Braumann, C.) Edições SPE; Lisboa; p. 83-92
Alpizar-Jara. R., Stefanski, L.E., Pollock, K.H e Laake, J. (2001). An additive measurement error model in line transect sampling using
multiple observes.
Em: UmL.E.,
olharPollock,
sobre aK.H
Estatística.
do VII
anual da Sociedade
Portuguesa
de Estatística.
P.
Alpizar-Jara.
R., Stefanski,
e Laake, Actas
J. (2001).
An Congresso
additive measurement
error model
in line transect
samplingEds.
using
Oliveira
and
E.
Athayde.
Portugal.
p.
539-555.
multiple observes. Em: Um olhar sobre a Estatística. Actas do VII Congresso anual da Sociedade Portuguesa de Estatística. Eds. P.
Oliveira and
E. Athayde.
Portugal.
539-555.
Amstrup,
S.C.,
McDonald,
T.L., e p.
Manly,
B.F.J. (2005). Handbook of Capture-Recapture Analysis. Princeton NJ: Princeton University
Press.
Basu, S. e Ebrahimi, N. (2001). Bayesian capture-recapture methods for error detection and estimation of population size: Heterogeneity
and dependence. Biometrika, 88(1):269-279.
Borchers, D. L. e Efford, M. G. (2008). Spatially Explicit Maximum Likelihood Methods for Capture-Recapture Studies. Biometrics
64:377-385.
Borchers, D.L., W. Zucchini e R.M. Fewster. (1998). Mark-recapture models for line transects surveys. Biometrics 54:1207-1220.
Brownie, C., D. R. Anderson, K. P. Burnham e D.S. Robson. (1985). Statistical inference from band recovery data: a handbook. Second
ed. U.S. Fish
23
Oand
u tWildlife
o n o Service
d e Resource.
2 0 0 8Publication 156.
64:377-385.
Borchers, D.L., W. Zucchini e R.M. Fewster. (1998). Mark-recapture models for line transects surveys. Biometrics 54:1207-1220.
Brownie, C., D. R. Anderson, K. P. Burnham e D.S. Robson. (1985). Statistical inference from band recovery data: a handbook. Second
ed. U.S. Fish and Wildlife Service Resource. Publication 156.
Buckland, S. T., Anderson, D. R., Burnham, K. P., Laake, J. L., Borchers, D. L. e Thomas, L. (2001). Introduction to distance sampling.
Oxford University Press, New York.
Burnham, K.P. e Overton, W.S. (1978). Estimation of the size of a closed population when capture probabilities vary among animals.
Biometrika 65:625-633.
Burnham K. P., D. R. Anderson, G. C. White, C. Brownie e K. H. Pollock. (1987). Design and analysis methods for fish survival
experiments based on release-recapture. American Fisheries Society Monographs 5, Bethesda, MD.
Castledine, B.J. (1981). A Bayesian Analysis of Multiple-Recapture Sampling for a Closed Population. Biometrika 68(1):197-210.
Chao, A. (1989). Estimating population size for sparse data in capture-recapture experiments. Biometrics 45:427-438.
Chao, A. e Tsay, P.K. (1998). A sample coverage approach to multiple-system estimation with application to census undercount. Journal
of American Statistical Association 93:283-293.
Chao A, Lee SM e Jeng SL. (1992). Estimation of population size for capture-recapture data when capture probabilities vary by time and
individual animal. Biometrics 48: 201-16.
Cooch E. e White, G.C. (2008). Program MARK- A gentle Introduction. 7ed.
Em http://www.phidot.org/software/mark/docs/book/ (Outubro 2008)
Cormack, R.M. (1989). Log-Linear Models for Capture-Recapture. Biometrics 45(2):395-413.
Domingo-Salvany, A., Hartnoll, R.L., Maguire, A., Suelves, J.M. e Antó, J.M. (1995). Use of capture-recapture to estimate the
prevalence of opiate addiction in Barcelona, Spain, 1989. American Journal of Epidemiology 141:567-574.
Fienberg, S.E. (1992). Biobliography on capture-recapture modelling with application to census undercount adjustment. Survey
Methodology 18:143-154.
Fisher, N., Turner, S.E., Pugh, R. e Taylor, C. (1994). Estimating numbers of homeless and homeless mentally ill people in north east
Westminster by using capture-recapture analysis. BMJ, 308:27-30.
Ghosh, K.S. e Norris, J.L. (2005). Bayesian Capture-Recapture Analysis and Model Selection Allowing for Heterogeneity and
Behavioral Effects. Journal of Agricultural, Biological & Environmental Statistics, 10(1):35-49.
Hedley, S. L. e Buckland, S. T. (2004). Spatial models for line transect sampling. Journal of Agricultural, Biological, and Environmental
Statistics, 9:181-199.
Huggins, R.M. (1989). On the statistical analysis of capture experiments. Biometrika 76:133-40.
Huggins, R.M. (1991). Some Practical Aspects of a Conditional Likelihood Approach to Capture Experiments. Biometrics, 47(2):725732.
International Working Group for Disease Monitoring and Forecasting (1995a). Capture-recapture and multiple-record system estimation,
I: History and theoretical development. American Journal of Epidemiology, 141:1047-1058.
International Working Group for Disease Monitoring and Forecasting (1995b). Capture-recapture and multiple-record system estimation,
I: Application in human diseases. American Journal of Epidemiology, 141:1059-1088.
Jandl, M. (2004). The estimation of illegal migration in Europe. Studi Emigrazione/Migration Studies, vol. XLI (153): 141-155.
Jorge, C. e Alpizar-Jara, R. (2006). Captura-Recaptura: um estudo de simulação para avaliar o desempenho de estimadores do tipo
Lincoln-Petersen. Em: Ciência Estatística. Actas do XIII Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de Estatística. (Eds. Canto e Castro,
L., Martins E. G., Rocha, C., Oliveira, M. F., Leal, M. M. e Rosado, F.), p. 423-431.
Kruse, N., Frieda, Behets, F.M., Vaovola, G., Burkhardt, G., Barivelo, T., Amida, X., e Dallabetta, G. (2003). Participatory mapping of
sex trade and enumeration of sex workers using capture-recapture methodology in Diego-Suarez, Madagascar. Sexually Transmitted
Diseases 30(8):664-670.
Laplace, P.S. (1786). Sur les naissances, les mariages et les morts. Histoire de l'Académie Royale des Sciences, Année 1783, Paris. p.
693-702.
Lebreton, J-D., Burnham, K. P., Clobert, J., e Anderson, D.R. (1992). Modeling survival and testing biological hypotheses using marked
animals: a unified approach with case studies. Ecological Monographs, 62:67-118.
Lee, AJ; Seber, GAF; Holden, JK e Huakau, JT. (2001). Capture-Recapture, Epidemiology, and List Mismatches: Several Lists.
Biometrics 57(3):707-713.
Lincoln, F.C. (1930). Calculating waterfowl abundances on the basis of banding returns. U.S. Department of Agriculture, Circular,
118:1-4.
Marques,T.A. e Buckland, S.T. (2005). Transectos lineares em situações de não uniformidadeBdas
24
o distâncias
l e t i mdisponíveis
S P E para detecção.
Em: Estatística Jubilar. Actas do XII Congresso da SPE (Eds. C. A. Braumann, P. Infante, M. M. Oliveira, R. Alpizar-Jara e F. Rosado).
Lee, AJ; Seber, GAF; Holden, JK e Huakau, JT. (2001). Capture-Recapture, Epidemiology, and List Mismatches: Several Lists.
Biometrics 57(3):707-713.
Lincoln, F.C. (1930). Calculating waterfowl abundances on the basis of banding returns. U.S. Department of Agriculture, Circular,
118:1-4.
Marques,T.A. e Buckland, S.T. (2005). Transectos lineares em situações de não uniformidade das distâncias disponíveis para detecção.
Em: Estatística Jubilar. Actas do XII Congresso da SPE (Eds. C. A. Braumann, P. Infante, M. M. Oliveira, R. Alpizar-Jara e F. Rosado).
Edições SPE. p. 445-454
McCarty D.J., Tull E.S., Moy C.S., Kwoh C.K. e LaPorte R.E. (1993). Ascertainment corrected rates: applications of capture-recapture
methods. International Journal of Epidemiology 22:559-565.
Monteiro, J.F.G. e Alpizar-Jara, R. (2006). Estimação bayesiana de g0 em amostragem por distâncias. Em: Ciência Estatística. Actas do
XIII Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de Estatística. (Eds. Canto e Castro, L., Martins E. G., Rocha, C., Oliveira, M. F., Leal,
M. M. e Rosado, F.), p. 501-510.
Nichols, J.D., Sauer, JR., Pollock, K.H. e Hestbeck, J.B. (1992). Estimating transition probabilities for stage based population projection
matrices using capture-recapture data. Ecology 73:306-312.
Nichols JD, Boulinier T, Hines JE, Pollock KH e Sauer JR. (1998). Inference methods for spatial variation in species richness and
community composition when not all species are detected. Conservation Biology 12:1390-1398.
Norris, J.L. III, e Pollock, K.H. (1996). Nonparametric MLE under two closed capture-recapture models with heterogeneity, Biometrics
52:639-649.
Otis, D.L., Burnham, K.P., White, G.C. e Anderson, D.R. (1978). Statistical inference from capture data on closed animal populations.
Wildlife Monographs, 62, 135 pp.
Petersen C.G.J. (1896). The yearly immigration of young plaice into the Limfjord from the German Sea. Report Danish Biological
Station for 1895, 6:1-48.
Peterson, H., Thelin, T., Runeson, P. e Wohlin, C. (2004). Capture-recapture in software inspections after 10 years research-theory,
evaluation and application. Journal of Systems and Software 72:249-264.
Pledger, S. (2000). Unified maximum likelihood estimates for closed capture-recapture models using mixtures. Biometrics 56:434-442.
Pollock, K.H. (1982). A capture-recapture design robust to unequal probability of capture. Journal of Wildlife Management 46:757-760.
Pollock, K.H., S. C. Turner e C. A. Brown. (1994). Use of capture-recapture techniques to estimate population size and population totals
when a complete frame is unavailable. Survey Methodology 20:117-124.
Pollock, K.H, J.D. Nichols, C. Brownie e J.E. Hines. (1990). Statistical inference for capture-recapture experiments. Wildlife
Monographs 107. 97pp.
Rendas, L.M.P. e Alpizar-Jara, R. (2005). O modelo logspline aplicado aos transectos lineares. Em: Estatística Jubilar. Actas do XII
Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de Estatística. (Eds. Braumann, C.A., Infante, P., Oliveira, M.M., Alpizar-Jara, R. e Rosado,
F.) p. 629-640.
Roberts I. e Scragg R. (1994). Application of capture-recature methodology to estimate the completeness of child injury surveillance.
Journal of Pediatric Child Health 30:514-515.
Schofield, J. (2007). Beyond defect removal: Latent defect estimation with capture recapture method (CRM). The Journal of Defense
Software Engineering.
Em: http://www.stsc.hill.af.mil/crosstalk/2007/08/0708Schofield.html (Outubro 2008).
Schwarz, C. J. e Seber, G. A. F. (1999). A review of estimating animal abundance III, Statistical Science 14:427-456.
Seber, G.A.F. (1982). The estimation of animal abundance and related parameters, 2nd ed. Charles W. Griffin. London.
Silva, N., Afonso, A. e Alpizar-Jara, R. (2007). Captura-recaptura: modelos loglineares na estimação do número de toxicodependentes
em Barcelona, Espanha. Em Estatística: Ciência Interdisciplinar - Actas do XIV Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de
Estatística”; (Eds. Ferrão, M.E., Nunes, C. e Braumann, C.A.) Edições SPE; Lisboa; p. 741-750
White, G.C., Anderson, D.R., Burnham, K.P., e Otis, D.L. (1982). Capture-recapture and removal methods for sampling closed
populations. Los Alamos National Laboratory LA-8787-NERP.
Williams, B.K., Nichols, J.D. and Conroy, M.J. (2002). Analysis and Management of Animal Populations. Academic Press. San Diego.
Outono de 2008
25
Processos Estocásticos
Séries
temporais e decisão
Séries
temporais
decisãodinâmica
dinâmica
Nazaré
Nazaré Mendes
Mendes Lopes,
Lopes, [email protected]
[email protected]
Departamento
de
F.C.T.U.C.
Departamento de Matemática,
Matemática, F.C.T.U.C.
1 Introdução
A necessidade de tomar decisões e efectuar análises sobre fenómenos ou sistemas que evoluem de
forma aleatória ao longo do tempo são características comuns a muitas das questões que preocupam
especialistas de áreas transversais da sociedade actual como a economia e as finanças, a gestão, a
tecnologia e a biotecnologia ou a sociologia. Geralmente, a tomada de decisões baseia-se em modelos
matemáticos temporais construídos de forma a ter em conta o maior número de características
empíricas observadas nos resultados dos fenómenos em estudo. A análise empírica retrospectiva do
fenómeno, olhando em particular para os resultados do mesmo sob diferentes pressupostos, é essencial
ao desenvolvimento da investigação no domínio da modelação estocástica. Mais, tal como os
fenómenos em estudo, esta modelação tem carácter dinâmico. Nenhum modelo é definitivo. A escolha
correcta de um modelo decorre, usualmente, da comparação, validada com uma certa confiança, entre
as propriedades empíricas dos resultados e as propriedades teóricas de vários modelos de resposta
possível. Para além disso, análises empíricas mais profundas de tais fenómenos permitem constatar
novas características não tidas em conta nos modelos inicialmente considerados e, assim, procurar uma
outra classe que lhes responda.
O carácter não determinista de tais fenómenos justifica a sua inclusão no domínio geral das
Probabilidades e Estatística ou, mais particularmente, dos Processos Estocásticos. De facto, o estudo
destes processos apresenta, relativamente à Teoria Básica das Probabilidades, o aspecto inovador de
desenvolver modelos matemáticos para fenómenos aleatórios dinâmicos, isto é, cuja dependência do
tempo (ou de outro eventual parâmetro) tem um papel preponderante. Assim, a probabilidade aparece
não no sentido de cada resultado de uma experiência aleatória determinar uma única observação, um
único número por exemplo, mas sim o comportamento de algum sistema ao longo de uma sequência
ou intervalo de tempo. Fazendo o contraponto com a Estatística Clássica, onde o dado fundamental é
uma família (quando muito numerável) de variáveis aleatórias independentes, realçar-se-á o carácter
dinâmico deste modelo estocástico através da dependência, habitualmente existente, entre as variáveis
que o definem. De facto, a hipótese de independência das observações não tem agora qualquer sentido:
estamos perante variáveis que já se observavam no passado, que podemos observar no futuro e cujas
conclusões dependem de um segmento de observações entre dois instantes conhecidos, a que
chamamos trajectória do processo.
Podemos definir matematicamente esta situação identificando um processo estocástico com uma
família de variáveis aleatórias, ( X t , t ∈ T ), dependentes de um parâmetro t (em geral o tempo), todas
definidas sobre um mesmo espaço de probabilidade (Ω,  , P ) , o que nos permite fazer intervir o
acaso da forma axiomatizada habitual. Nas situações em estudo no presente texto esta dependência é
temporal e o espaço dos tempos, T, é discreto, usualmente N ou Z , o que conduz à designação natural
de tais processos como séries temporais ou cronológicas.
A construção de um modelo adequado, que permita descrever e interpretar a evolução da série, é
fundamental para a resolução dos diferentes problemas que se põem na análise das séries temporais.
Existem vários tipos de modelos que distinguimos entre teóricos e empírico-teóricos.
Os modelos teóricos estão associados a fenómenos aleatórios cuja descrição permite equacionar
matematicamente a sua evolução. Destes, podem referir-se, em particular, os caminhos aleatórios, os
processos de ramificação ou os processos de nascimento e morte. Quanto aos modelos empírico26
Boletim SPE
teóricos, objecto essencial deste estudo, diremos que são modelos teóricos criados para descrever o
teóricos,
objectoevolutivo
essencial de
deste
quereais.
são modelos
teóricos criados
descrever o
comportamento
um estudo,
conjuntodiremos
de dados
Destes, destacamos
comopara
particularmente
comportamento
evolutivo
de
um
conjunto
de
dados
reais.
Destes,
destacamos
como
particularmente
importantes os modelos auto-projectivos, isto é, genericamente, aqueles em que o processo em cada
importantes
os modelos
auto-projectivos,
isto é,e genericamente,
aquelesaleatória.
em que oProcura-se
processo em
instante é função
dos seus
valores passados
de uma perturbação
que cada
tais
instante
é
função
dos
seus
valores
passados
e
de
uma
perturbação
aleatória.
Procura-se
que
tais
modelos verifiquem teoricamente as características empíricas dos dados a representar. Há, assim, uma
modelos
verifiquem
teoricamente
as
características
empíricas
dos
dados
a
representar.
Há,
assim,
uma
dialéctica entre o teórico e o empírico em permanente desenvolvimento. À medida que vamos
dialéctica
entre
o teórico e responder
o empírico
permanente
desenvolvimento.
À medida
quedados
vamosa
conseguindo,
teoricamente,
aosemfactos
empíricos
conhecidos sobre
o tipo de
conseguindo,
teoricamente,
responder
aos
factos
empíricos
conhecidos
sobre
o
tipo
de
dados
descrever, aumenta a necessidade de prosseguir estudos sobre tal tipo de dados que permitama
descrever,
aumenta
a necessidade
de prosseguir estudos sobre tal tipo de dados que permitam
identificar novas
características
comportamentais.
identificar
novas
características
comportamentais.
Um aspecto essencial ligado à análise de dados temporais tem a ver com a impossibilidade de
Um aspecto
à análise
de dados
temporais
tem a Nomeadamente,
ver com a impossibilidade
de
representar
umaessencial
evoluçãoligado
totalmente
anárquica
da série
de dados.
a presença de
representar
uma
evolução
totalmente
anárquica
da
série
de
dados.
Nomeadamente,
a
presença
de
valores aberrantes ou de características sazonais na série em análise pode conduzir a modelos
valores
aberrantes
ou deAssim,
características
série em análise
pode conduzir
a modelos
matemáticos
incorrectos.
impõe-se sazonais
um prévionaprocedimento
de filtragem
que elimine
factores
matemáticos
incorrectos.
Assim,
impõe-se
um
prévio
procedimento
de
filtragem
que
elimine
factores
alheios à evolução da própria série e a transforme numa outra com propriedades de estabilidade
no
alheios
à
evolução
da
própria
série
e
a
transforme
numa
outra
com
propriedades
de
estabilidade
no
tempo, isto é, verificando as chamadas propriedades de estacionaridade.
tempo,
isto é, verificando
as lineares
chamadas
de estacionaridade.
Recorrendo
aos modelos
depropriedades
séries temporais
e à sua limitação para descrever determinado
Recorrendo
aos
modelos
lineares
de
séries
temporais
e à sua limitação
descrever
determinado
tipo de dados, em particular os de natureza financeira, procuraremos
ilustrarpara
as questões
genericamente
tipo de dados,
particular os de natureza financeira, procuraremos ilustrar as questões genericamente
referidas
nesta em
introdução.
referidas nesta introdução.
2 Modelos auto-projectivos de séries temporais
2 Modelos auto-projectivos de séries temporais
Os modelos auto-projectivos constituem uma das principais aproximações matemáticas da análise
modelos
auto-projectivos
constituem
uma das
aproximações
da éanálise
de Os
séries
temporais
com objectivo
de previsão.
A principais
ideia básica
subjacente amatemáticas
tais modelos
a de
de
séries uma
temporais
com matemática
objectivo deque,
previsão.
básica
subjacente
a tais modelosa história
é a de
encontrar
formulação
a menosAdeideia
um certo
erro,
gere aproximadamente
encontrar
umada
formulação
que,suas
a menos
de um certopadrão.
erro, gere
a história
de evolução
série e matemática
reproduza as
características
Emaproximadamente
comparação com
outras
de
evolução
da
série
e
reproduza
as
suas
características
padrão.
Em
comparação
com
outras
metodologias, esta apresenta a enorme vantagem de usar apenas, na obtenção de previsões, informação
metodologias,
estaque
apresenta
a enorme
vantagem
de usar apenas,
na obtenção
desubjacentes
previsões, informação
associada à série
pretendemos
prever
e não informação
contida
em séries
que se crê
associada
à
série
que
pretendemos
prever
e
não
informação
contida
em
séries
subjacentes
que se crêe
influenciarem o comportamento da série original. É assim uma técnica mais parcimoniosa
influenciarem
comportamento
série
original.
É assim uma técnica mais parcimoniosa e
particularmenteoútil
para previsões adacurto
e médio
prazo.
particularmente
útil
para
previsões
a
curto
e
médio
prazo.
Um processo estocástico ( X t , t ∈ T ) verifica um modelo auto-projectivo se é função dos seus
Um processo estocástico ( X t , t ∈ T ) verifica um modelo auto-projectivo se é função dos seus
valores passados e de um processo
centrado e não correlacionado, (ε t , t ∈ T ) , habitualmente designado
valores passados e de um processo centrado e não correlacionado, (ε t , t ∈ T ) , habitualmente designado
processo de erro, isto é,
processo de erro, isto é,
X t = f ( X t −1 , X t − 2 ,..., ε t ), para todo t ∈ T ,
X t = f ( X t −1 , X t − 2 ,..., ε t ), para todo t ∈ T ,
com f uma função mensurável dependente
de um certo número de parâmetros desconhecidos.
com
f
uma
função
mensurável
dependente
de um certo
número
de parâmetros
desconhecidos.
Após a construção ou definição do modelo,
há que
estimar
os parâmetros
envolvidos nessa
Após
a
construção
ou
definição
do
modelo,
há
que
estimar
os
parâmetros
nessaa
definição. A validação do modelo estimado por um procedimento de teste estatísticoenvolvidos
que comprove
definição.
A
validação
do
modelo
estimado
por
um
procedimento
de
teste
estatístico
que
comprove
sua adequação aos dados observados é indispensável à correcta utilização do mesmo em estudosa
sua
adequaçãodesignadamente
aos dados observados
é indispensável à correcta utilização do mesmo em estudos
subsequentes,
de previsão.
subsequentes,
designadamente
de
previsão.
Estes estudos serão tanto mais fiáveis quanto mais regular for, no tempo, a função que descreve a
Estes
tanto
maisforfiáveis
quantodemais
regularO for,
no tempo,
a função
descreve aé
série
em estudos
estudo eserão
quanto
menor
o horizonte
previsão.
interesse
de tratar
séries que
estacionárias
série
estudo e quanto menor for o horizonte de previsão. O interesse de tratar séries estacionárias é
assimem
evidente.
assim
evidente.
Até ao início dos anos 80 estes estudos foram dominados pelos modelos lineares, com particular
Até ao
dos anos 80 para
estesos
estudos
foram
dominados
pelos modelos lineares,
comsituando-se
particular
ênfase,
no início
caso estacionário,
modelos
ARMA
(auto-regressivos/médias
móveis),
ênfase,
no
caso
estacionário,
para
os
modelos
ARMA
(auto-regressivos/médias
móveis),
situando-se
nos anos 70, e na sequência do aparecimento do livro de Box e Jenkins (1970, ed. revista 1976), a
nos
anos
na seu
sequência
do aparecimento
do livro retida
de Boxpara
e Jenkins
(1970, ed.
revista
1976), oa
época
de 70,
ouroe do
desenvolvimento.
A formulação
estes modelos
permite
exprimir
época
de
ouro
do
seu
desenvolvimento.
A
formulação
retida
para
estes
modelos
permite
exprimir
valor presente da série como função linear dos seus valores passados e dos valores presente e passadoso
valor
da série
como função
dos seus
passados
e dos valores
presente
de umpresente
ruído que
se interpreta
como linear
a inovação
da valores
série. Mais
precisamente,
diz-se
que ume passados
processo
de
um
ruído
que
se
interpreta
como
a
inovação
da
série.
Mais
precisamente,
diz-se
processoa
estocástico real ( X t , t ∈ Z ) segue um modelo ARMA de ordens p e q , ARMA( p,que
q ) , um
se verifica
estocástico real ( X t , t ∈ Z ) segue um modelo ARMA de ordens p e q , ARMA( p, q ) , se verifica a
seguinte equação de recorrência,
seguinte equação de recorrência,
X t − ϕ1 X t −1 − ... − ϕ p X t − p = ε t − θ1ε t −1 − ... − θ q ε t − q ,
X t − ϕ1 X t −1 − ... − ϕ p X t − p = ε t − θ1ε t −1 − ... − θ q ε t − q ,
onde (ϕ i )1≤i≤ p e (θ i )1≤i≤q são constantes reais e ε = (ε t , t ∈ Z ) é um processo de erro de variância
constante.
Em algumas séries temporais a hipótese de estacionaridade não é fácil de aceitar, designadamente
quando é notória a presença de uma tendência de crescimento ou decréscimo. A tendência poderá ser
27
t o numo simples
d e 2 0procedimento
08
eliminadaO u
com
de diferenciação, isto é, poderá ser já aceitável aquela
onde (ϕ i )1≤i≤ p e (θ i )1≤i≤q são constantes reais e ε = (ε t , t ∈ Z ) é um processo de erro de variância
constante.
eliminada com um simples procedimento de diferenciação, isto é, poderá ser já aceitável aquela
hipótese para a série das diferenças
Yt = X t − X t −1 = (1 − L ) X t
onde
(
ϕ
)
e
(
θ
)
são
constantes
reais e ε = (ε t , td∈, Z
) éé,um
ou, maisi geralmente,
isto
paraprocesso de erro de variância
i 1para
1≤i ≤ p
≤i ≤ q a série das diferenças de ordem
d
constante.
Yt = (1 − L ) X t , d ∈ N,
onde L é o operador tal que Lk X t = X t −k .
A modelação
ARMA
estacionária
será então
aplicada àisto
nova
(Yt ,ser
t ∈ Zjá) .aceitável aquela
eliminada
com um
simples
procedimento
de agora
diferenciação,
é, série
poderá
hipótese
para adeste
série modo
das diferenças
Alargamos
a classe dos modelos ARMA à os chamados modelos ARIMA ( p, d , q ) (a
= X t objectivo
− X t −1 = (1essencial
− L ) X t é transformar uma série com certas
letra I provém da palavra integrated)Y, t cujo
características
não
estacionárias
numa
estacionária.
Nota-se
prática, não é habitual ir além das
ou, mais geralmente, para a série das diferenças de ordem d ,que,
isto na
é, para
d
diferenças de ordem 1 ou 2 .
Yt = (1 − L ) X t , d ∈ N,
Outro aspecto a ter em conta
na
modelação
estacionária
de séries temporais tem que ver com a
k
onde
L
é
o
operador
tal
que
L
X
=
X
.
eliminação dos, eventualmente existentes,
t
t − k perfis sazonais; por exemplo, para certas séries mensais os
dados
relativos
a
um
mesmo
mês
em
diferentes
anos têm
tendência
situar-se
análoga em
A modelação ARMA estacionária será então agora
aplicada
à novaa série
(Yt , tde∈ maneira
Z) .
relação
à média
anual.
A fim
de contornar
este problema,
e Jenkinsmodelos
introduziram
uma
Alargamos
deste
modo
a classe
dos modelos
ARMA à Box
os chamados
ARIMA
( pclasse
, d , q ) de
(a
modelos, generalização dos anteriores, capazes de ter em conta tais sazonalidades. Tais modelos são
letra I provém da palavra integrated), cujo objectivo essencial é transformar uma série com certas
denominados SARIMA (a letra S decorre do termo sazonal). O princípio subjacente a esta modelação
características não estacionárias numa estacionária. Nota-se que, na prática, não é habitual ir além das
tem a ver com a aplicação da modelação ARIMA ao modelo inicial após a eliminação neste da
diferenças de ordem 1 ou 2 .
sazonalidade. Por exemplo, se designarmos por S o período correspondente à sazonalidade da série
Outro aspecto a ter em conta na modelação estacionária de séries temporais tem que ver com a
inicial
( X t , tdos,
∈ Z )eventualmente
, a simples consideração
sériesazonais;
transformada
eliminação
existentes, da
perfis
por exemplo, para certas séries mensais os
Z t =anos
X t −têm
X t −Stendência a situar-se de maneira análoga em
dados relativos a um mesmo mês em diferentes
relação
à média
anual.
A fim
de contornar
este problema,
e Jenkins
introduziram
umaaplicada
classe dea
poderá já
conduzir
a uma
série
sem sazonalidade.
A estaBox
nova
série poderá
ser agora
modelos,
dos anteriores, capazes de ter em conta tais sazonalidades. Tais modelos são
modelaçãogeneralização
ARIMA .
denominados SARIMA (a letra S decorre do termo sazonal). O princípio subjacente a esta modelação
a ver com de
a aplicação
da da
modelação
ARIMA ao modelo inicial após a eliminação neste da
3temIdentificação
um modelo
família ARIMA
sazonalidade. Por exemplo, se designarmos por S o período correspondente à sazonalidade da série
A identificação, em termos práticos, do modelo ou modelos que podem ajustar-se a determinado
inicial ( X t , t ∈ Z ) , a simples consideração da série transformada
conjunto de dados baseia-se sobretudo na análise das funções de autocorrelação e de autocorrelação
Z t =comparação
X t − X t −S com as correspondentes funções teóricas,
empíricas, associadas à série observada, e sua
quando
existem,
paraatais
modelos.
poderá já
conduzir
uma
série sem sazonalidade. A esta nova série poderá ser agora aplicada a
De facto,ARIMA
a família
modelação
. dos modelos ARMA estacionários é caracterizada à ordem 2 , isto é, através dos
resumos de 2ª ordem, pelas correspondentes funções de autocorrelação e de autocorrelação parcial.
este aspecto
com os da
modelos
de ordem p , isto é, ARMA( p, 0) , para os
3Ilustremos
Identificação
de um modelo
famíliaauto-regressivos
ARIMA
quais
os dois teoremas
de caracterização
seguir ou
enunciados
são podem
de importância
no
A identificação,
em termos
práticos, do amodelo
modelos que
ajustar-sefundamental
a determinado
procedimento
prático
de identificação.
conjunto
de dados
baseia-se
sobretudo na análise das funções de autocorrelação e de autocorrelação
empíricas,
à série
observada,
e sua comparação
comprocesso
as correspondentes
teóricas,
Teorema 1associadas
Uma condição
necessária
e suficiente
para que um
estacionáriofunções
(1) centrado
X
quando
existem,
para tais modelos.
admita uma
representação
auto-regressiva ( AR ) é que as autocorrelações, ρ (h ), h ≥ 0, se escrevam
De combinações
facto, a família
modelos
ARMA estacionários
é caracterizada à ordem 2 , isto é, através dos
como
de dos
funções
exponenciais
de h, da forma
resumos de 2ª ordem, pelas correspondentes p∗funções de autocorrelação e de autocorrelação parcial.
1
Ilustremos este aspecto com os modelos
ordem
p , isto é, ARMA( p,p 0) , para os
ρ (h auto-regressivos
) = ∑ única
Aj
, A de
∈C
.
1
he só j se todas as raízes do polinómio 1 − ∑ ϕ x i são de
Um modelo AR ( p ) admite uma solução estacionária
se
i
(z jenunciados
)
=1
quais os dois teoremas de caracterização a j seguir
são de importância fundamental
no
i =1
procedimento
prático
de
identificação.
módulos diferentes de 1 . Se (e só se) tais raízes são de módulos superiores a 1 podemos interpretar ε como o processo de
inovação
(isto
é,
ε tosécondição
não
correlacionado
Xpara
à data
). processo estacionário
z j são com
as raízes
dodepolinómio
Φ( L) = 1 − ϕ
− ... − ϕ p LXp .
Nota-se
valores
Teorema
1 que
Uma
necessária
eo passado
suficiente
quetauto-regressivo
um
(11)Lcentrado
Assim, uma
se arepresentação
representaçãoauto-regressiva
é tal que tais( AR
raízes
sãoasde
módulos maiores
1 escrevam
então as
admita
) é que
autocorrelações,
ρ (h ),doh ≥que
0, se
autocorrelações do modelo tendem para zero de modo exponencial.
p
Teorema
2 Uma condição necessária e suficiente para que um processo estacionário centrado
1
i admita
Um modelo AR ( p ) admite uma solução estacionária única se e só se todas as raízes do polinómio 1 − ∑ ϕ i x são de
uma representação AR é que a sucessão das autocorrelações parciais se anule a partir de
i =1 uma certa
ordem. Tal
ordem
ordem
datais
representação
auto-regressiva.
módulos
diferentes
de é1a
. Se
(e só se)
raízes são de módulos
superiores a 1 podemos interpretar ε como o processo de
inovação (isto é, ε t é não correlacionado com o passado de X à data t ).
Assim, se as sucessivas autocorrelações empíricas da série observada apresentam um decréscimo
exponencial e as correspondentes autocorrelações parciais empíricas são significativamente nulas a
28
o l emodelo
t i m auto-regressivo
SPE
partir de certa ordem, a representação do fenómeno em estudo porBum
é
Assim, se a representação é tal que tais raízes são de módulos maiores do que 1 então as
autocorrelações do modelo tendem para zero de modo exponencial.
Teorema 2 Uma condição necessária e suficiente para que um processo estacionário centrado admita
uma representação AR é que a sucessão das autocorrelações parciais se anule a partir de uma certa
ordem. Tal ordem é a ordem da representação auto-regressiva.
Assim, se as sucessivas autocorrelações empíricas da série observada apresentam um decréscimo
exponencial e as correspondentes autocorrelações parciais empíricas são significativamente nulas a
partir de certa ordem, a representação do fenómeno em estudo por um modelo auto-regressivo é
bastante verosímil.
Se o processo que gerou a série de observações é descrito por um modelo ARIMA então, dada a sua
não estacionaridade, não existe função de autocorrelação. No entanto, sendo processos de 2ª ordem,
existe sempre a correlação entre X t e X t + h , que se prova tender para 1 quando t tende para + ∞.
Assim, se as autocorrelações empíricas da série observada permanecem próximas de 1 para um
número suficientemente grande de instantes (por exemplo, se o seu decréscimo, para instantes
positivos, é lento), é natural diferenciar a série a fim de a tornar estacionária. O número de vezes, d ,
que devemos diferenciar é obtido aplicando o critério anterior às sucessivas séries diferenciadas, tantas
vezes quantas as necessárias.
A detecção de factores sazonais também é feita com o recurso ao comportamento das
autocorrelações e autocorrelações parciais empíricas. Neste caso, se estamos em presença de uma
sazonalidade de período S , tais funções tomam valores grandes, em módulo, para os índices múltiplos
de S .
4 Processo de erro na modelação de séries financeiras
A evolução dos modelos anteriormente considerados está limitada a uma formulação linear pelo que
se torna evidente o carácter restritivo do seu campo de aplicação, quando pretendemos obter bons
ajustamentos para certos sistemas reais. Além disso, não tendo tais modelos qualquer outro tipo de
especificação, por exemplo informação sobre a evolução no tempo dos seus momentos condicionais,
revelam-se, em particular, insuficientes para o tratamento de certos problemas financeiros e monetários
(índices da bolsa de valores, taxas de juro e de câmbio, inflação...) nos quais a variabilidade
instantânea (ou volatilidade) das séries de valores associados depende de modo significativo do
passado. Este problema revela-se nos resíduos da estimação de tais séries por modelos do tipo ARIMA
quando, havendo compatibilidade entre as funções de correlação e de correlação parcial da série de
dados e as de um tal modelo linear, a estimação resultante conduz a um resíduo com características
diferentes das de um ruído branco clássico.
Os ruídos brancos clássicos são em geral considerados independentes ou mesmo Gaussianos, não
sendo formulada qualquer hipótese sobre a forma como evolui no tempo a sua variabilidade
instantânea que, como já foi referido, em dados de natureza financeira depende de modo significativo
do passado. Esta característica, reconhecida pelo menos desde Mandelbrot (1963) que, sobre dados
relativos à inflação e a taxas de juros, afirmou ...large changes tend to be followed by large changes of either sign - and small changes tend to be followed by small changes..., é também constatada por
Friedman que, na sua Nobel Lecture (1977), considera que as mais altas taxas de inflação estão
geralmente associadas à sua maior variabilidade e, presumivelmente, a uma maior incerteza sobre as
taxas futuras.
Este tipo de séries apresenta também características de não normalidade. De facto, as observações,
não correlacionadas ao longo do tempo, são em geral bem descritas por uma distribuição simétrica,
unimodal e com caudas mais pesadas do que a normal (leptocúrtica).
Tais constatações empíricas levam Robert Engle a propor, em 1982, uma classe de modelos para
séries temporais, com características de processos de erro, que prevêem uma evolução no tempo da
respectiva variância condicional. Tais modelos, ditos com heteroscedasticidade condicional autoregressiva de ordem q ( ARCH (q ) ), definem a variância condicional ao passado do processo no
instante t (volatilidade) como uma função linear dos quadrados dos valores do processo anteriores
àquele instante t .
As trajectórias destes processos, que revelam um comportamento compatível com a observação de
Mandelbrot, bem como a análise das respectivas distribuições empíricas, ilustram bem a sua
adequação a tal tipo de dados.
Nas figuras
29
O u t oabaixo
n o dtais
e aspectos
2 0 0 8 são ilustrados quer com a trajectória de 1000 observações de uma
2
2
2
instante t (volatilidade) como uma função linear dos quadrados dos valores do processo anteriores
Nas figuras abaixo tais aspectos são ilustrados quer com a trajectória de 1000 observações de uma
série gerada de acordo com o modelo ARCH (1) verificando E ε t2 ε t −1 = 0.3 + 0.7ε t2−1 (2) quer com a
(
)
correspondente análise estatística empírica, que inclui, em particular, um teste à normalidade da sua
lei.
Friedman que, na sua Nobel Lecture (1977), considera que as mais altas taxas de inflação estão
geralmente associadas à sua maior variabilidade e, presumivelmente, a uma maior incerteza sobre as
8
taxas futuras.
6
Este tipo de séries apresenta também
características de não normalidade. De facto, as observações,
4
não correlacionadas ao longo do tempo,
são em geral bem descritas por uma distribuição simétrica,
2
unimodal e com caudas mais pesadas do que a normal (leptocúrtica).
0
Tais constatações empíricas levam
Robert Engle a propor, em 1982, uma classe de modelos para
-2
séries temporais, com características de processos de erro, que prevêem uma evolução no tempo da
respectiva variância condicional.-4 Tais modelos, ditos com heteroscedasticidade condicional autoregressiva de ordem q ( ARCH (-6q ) ), definem a variância condicional ao passado do processo no
-8
função250 linear 500
dos quadrados
dos valores do processo anteriores
instante t (volatilidade) como uma
750
1000
ARCH(1)
250
Nas figuras abaixo
tais aspectos são ilustrados quer
com a trajectória de 1000 observações de uma
Série : AR C H(1)
Amo stra: 1000 obs . 2
série gerada de 200
acordo com o modelo ARCH (1) verificando
E ε t ε t −1 = 0.3 + 0.7ε t2−1 (2) quer com a
Mé dia: -0.002 307
(
)
Me dian a: 0. 0107 73
Má ximo: 6.21 6783
Mín imo: -6. 5522 30
De sv io p adrão :1.01 4642
Simetria :-0.17 5610
Cu rtos e: 9.1 6986 7 (>3)
Esta tística de Jarq ue-Bera : 159 1.275
p-va lor: 0 .000 000
(menor valor do nív el de sig . que le va à re j. d a n ormal.)
correspondente análise estatística empírica, que inclui, em particular, um teste à normalidade da sua
150
lei.
100
8
50
6
4
0
-6
-4
-2
20
2
4
6
0
-2
Na tentativa de encontrar formulações
mais adequadas para a variabilidade instantânea surgiram
-4
inúmeras generalizações e extensões
dos modelos ARCH , que podemos incluir numa classe geral de
-6
2
Designa-se de
por erro
ε t acondicionalmente
σ -álgebra gerada-8por
(ε t , ε t −1 ,...) , i.e., ε( CH
ε t , ε ta−1seguinte
,...).
processos
heteroscedásticos
definição:
t = σ) (com
250
500
750
1000
ARCH(1)
Definição Diz-se que ε = (ε t , t ∈ Z ) segue um modelo
condicionalmente heteroscedástico de ordens p
e q , CH ( p, q ) , se
250
E (ε t ε t −1 ) = 0 e V (ε t ε t −1 ) = ht = H (ε t −1 ,..., ε t − q , ht −1 ,..., ht − p ),
Série : AR C H(1)
onde H é uma função real definida sobre R p+ q , estritamente
e Borel - mensurável.
Amo stra: 1000positiva
obs .
200
Mé dia: -0.002 307
Me dian a: 0. 0107 73
Má ximo: 6.21 6783
Mín imo: -6. 5522 30
De sv io p adrão :1.01 4642
Simetria :-0.17 5610
Cu rtos e: 9.1 6986 7 (>3)
Esta tística de Jarq ue-Bera : 159 1.275
p-va lor: 0 .000 000
(menor valor do nív el de sig . que le va à re j. d a n ormal.)
Observe-se que,
é solução de um modelo CH ( p, q ) todo o processo ε da forma ε t = ht Z t , com
150
ht = H (ε t −1 ,..., ε t100
− q , ht −1 ,..., ht − p ) = G (ε t −1 , ε t − 2 ,...), sendo G uma função real, estritamente positiva e
mensurável, e
(Z t , t ∈ Z )
50
uma sucessão de variáveis aleatórias reais (v.a.r.) independentes e
identicamente distribuídas, centradas e reduzidas e tais que Z t é independente de ε t −1 .
0
Algumas características
interessantes destes modelos podem ser de imediato obtidas como
-6
-4
-2
0
2
4
6
consequência da definição anterior e reforçam a sua boa adequação a dados financeiros. De facto, a
condição E (ε t ε t −1 ) = 0, que pode interpretar-se como uma condição de ortogonalidade ao passado do
processo, permite-nos concluir ainda a ortogonalidade e a inexistência de correlações condicionais a
qualquer passado do processo. Além disso, tais processos verificam propriedades de ruído branco (não
2
necessariamente
relativamente
e )são
Designa-se por ε t homoscedástico)
a σ -álgebra gerada por
(ε t , ε t −1 ,...) , ài.e.,leiε condicional
. ruídos brancos, no sentido
t = σ (ε t , ε t −1 ,...
clássico, desde que sejam estacionários. Permitem também modelar inovações não Gaussianas, sendo,
em particular, leptocúrticos.
30
Boletim SPE
consequência da definição anterior e reforçam a sua boa adequação a dados financeiros. De facto, a
condição E (ε t ε t −1 ) = 0, que pode interpretar-se como uma condição de ortogonalidade ao passado do
processo, permite-nos concluir ainda a ortogonalidade e a inexistência de correlações condicionais a
qualquer passado do processo. Além disso, tais processos verificam propriedades de ruído branco (não
necessariamente homoscedástico) relativamente à lei condicional e são ruídos brancos, no sentido
clássico, desde que sejam estacionários. Permitem também modelar inovações não Gaussianas, sendo,
em particular, leptocúrticos.
A especificação da forma funcional H conduz à obtenção das múltiplas classes de modelos que,
desde os já referidos processos ARCH de Engle, têm surgido na literatura, e que permitem ter em
conta outras características particulares eventualmente presentes nas séries reais a modelar. Os
processos GARCH e GTARCH parecem-nos representar classes de modelos de grande utilidade
prática e com características suficientemente diferenciadas.
Os modelos ARCH generalizados de ordens p e q , GARCH ( p, q ), introduzidos por Bollerslev
em 1986 , são a generalização mais natural dos ARCH (ou GARCH (0, q ) ) e a sua variância
q
p
i =1
j =1
condicional é dada por ht = α 0 + ∑ α i ε t2−i + ∑ β j ht − j , onde α 0 > 0,α i ≥ 0, i = 1,..., q, e β j ≥ 0,
j = 1,..., p.
Com esta formulação procurou-se ir ao encontro de uma dinâmica auto-regressiva/média móvel
para o quadrado do processo e assim minimizar a ordem de atrasos associada à dinâmica,
simplesmente auto-regressiva, presente no quadrado de um processo ARCH .
Esta classe de modelos apresenta uma importante limitação, resultante da formulação quadrática
retida para a expressão da variância condicional. Com efeito, a influência dos valores passados do
processo na variabilidade instantânea da série não tem em conta os seus sinais, mas apenas os seus
valores absolutos. Ora, em particular no caso das séries financeiras, surgem frequentemente
assimetrias na variabilidade; por exemplo, a variabilidade é em geral maior depois de um decréscimo
do que após um acréscimo de igual valor absoluto. Os modelos threshold ARCH ( ARCH com
limiares), introduzidos em Zakoian (1990), permitem modelar assimetrias na variabilidade tendo em
conta, de modo distinto, a influência de valores simétricos do processo subjacente.
Em Rabemananjara e Zakoian (1993) surge uma generalização destes, os modelos GTARCH
( ARCH com limiares generalizados), onde, seguindo a ideia de Bollerslev, se introduziu uma
dinâmica endógena na variância condicional por forma a minimizar a já referida ordem de atrasos e
consequente perda de informação. A variância condicional de tais processos GTARCH ( p, q ) é
definida pela função
2
com α 0 > 0, α i , + ≥ 0, α i , −
q
q
p


ht =  α 0 + ∑ α i , + ε t+−i − ∑ α i , − ε t−−i + ∑ β j ht − j  ,
i =1
i =1
j =1


≥ 0, i = 1,..., q, e β j ≥ 0, j = 1,..., p. Se p = 0 , encontramos os já referidos
modelos TARCH de ordem q .
O estudo das propriedades de estacionaridade destes modelos é fundamental para averiguar da sua
correcta adequação a dados estacionários ou tornados estacionários. Podemos desde já afirmar que
para todos estes modelos existem soluções estacionárias únicas.
A análise da estacionaridade fraca foi inicialmente desenvolvida a partir das formulações lineares
que foram obtidas para certas funções do processo e do estudo correspondente para modelos lineares.
Ora, a determinação destas funções, muito simples no caso dos modelos GARCH , complica-se
enormemente quando passamos a modelos com limiares não tendo sido mesmo encontradas no caso
dos modelos com limiares generalizados. Tal facto, levou à descoberta de uma outra metodologia que
permitiu resolver, em simultâneo, a estacionaridade forte e fraca bem como a ergodicidade de tais
modelos.
Tal metodologia baseia-se fundamentalmente na obtenção de uma representação Markoviana
multivariada do tipo auto-regressivo com coeficientes aleatórios para uma função vectorial do processo
ε da qual se deduz a solução estacionária para ε . Nomeadamente, são obtidas condições necessárias e
suficientes de estacionaridade forte e fraca para processos ε , seguindo modelos GTARCH ( p, q ),
solução da anteriormente referida equação do tipo ε t = ht Z t . Além disso, sob as mesmas condições,
tais modelos são ergódicos. Constata-se ainda que todo o modelo fracamente estacionário é fortemente
estacionário, isto é, a condição de existência de momentos de 2ª ordem é mais exigente que a de
31
O u t o da
n olei.d e 2 0 0 8
estacionaridade
ε da qual se deduz a solução estacionária para ε . Nomeadamente, são obtidas condições necessárias e
suficientes de estacionaridade forte e fraca para processos ε , seguindo modelos GTARCH ( p, q ),
solução da anteriormente referida equação do tipo ε t = ht Z t . Além disso, sob as mesmas condições,
tais modelos são ergódicos. Constata-se ainda que todo o modelo fracamente estacionário é fortemente
estacionário, isto é, a condição de existência de momentos de 2ª ordem é mais exigente que a de
estacionaridade da lei.
Em particular, no caso de um modelo TARCH (1) condicionalmente Gaussiano, isto é, tal que
ht = α 0 + α 1, + ε t+−1 − α 1, − ε t−−1 , com (Z t , t ∈ Z ) ruído branco Gaussiano, se as v.a.r. At = α 1, + Z t+ − α 1, − Z t−
são tais que E (ln At ) existe e é estritamente negativa então existe uma solução forte e fracamente
estacionária única, que também é ergódica desde que α 12,+ + α 12,− < 2 . No entanto, basta que
α 1, + α 1, − < 12 exp(− Ψ ( 12 ) ) ≅ 3.5619... , para que tal solução exista e seja fortemente estacionária e
ergódica. Nota-se que o estudo é desenvolvido a partir da representação Markoviana de coeficientes
aleatórios, facilmente dedutível, ht = α 0 + At −1 ht −1 .
Estudos teóricos que permitam identificar propriedades para estes modelos compatíveis com novas
constatações empíricas sobre os dados a modelar continuam a ser preocupação dos investigadores
nestes domínios. Em 1986, ao estudar várias séries de retornos financeiros, Taylor observou que, na
maior parte delas, a autocorrelação empírica dos retornos em valor absoluto é maior do que a
autocorrelação empírica do quadrado de tais retornos. Outros estudos, de que citamos por exemplo
Granger e Ding (1995) e Granger et al (2000), permitiram também observar a presença de tal relação
empírica noutras séries de retornos reais. Assim, perante a já destacada boa adequação dos modelos
condicionalmente heteroscedásticos às series financeiras, impôs-se analisar esta propriedade teórica
para tais processos. Mais precisamente, têm-se vindo a desenvolver estudos que permitam concluir
sobre a validade da relação, conhecida por propriedade de Taylor,
corr ( ε t , ε t −1 ) > corr ε t2 , ε t2−1 ,
(
)
quando ε = (ε t , t ∈ Z ) segue um modelo condicionalmente heteroscedástico.
Podemos afirmar que estes estudos estão ainda em fase muito inicial e têm sido sobretudo baseados
em simulações. De facto, as expressões teóricas daquelas autocorrelações só foram conhecidas, e
apenas para alguns modelos, a partir do trabalho de He e Teräsvirta (1999) e, além disso, o grau de
complexidade que apresentam limita fortemente o seu desenvolvimento. Tanto quanto é do nosso
conhecimento, os estudos teóricos sobre esta propriedade estavam, até há pouco, circunscritos ao já
referido trabalho de He e Teräsvirta e garantiam apenas a existência de um subconjunto de modelos
ARCH (1) de valor absoluto, isto é, modelos TARCH (1) em que α 1, + = α 1, − , verificando a
propriedade de Taylor. Recentemente, esta propriedade foi estabelecida em Gonçalves, Leite e Mendes
Lopes (2007) na classe geral dos modelos TARCH (1) , sendo explicitamente exibida a região de
valores dos parâmetros a que correspondem modelos verificando tal propriedade. Em particular, se o
modelo é um TARCH (1) condicionalmente Gaussiano, uma discretização do conjunto de
parametrizações que verificam a propriedade de Taylor está representada pelos círculos a preto na
figura abaixo.
Em resumo, a investigação desenvolvida sobre a propriedade de Taylor permite-nos afirmar que
esta não é uma característica comum aos modelos condicionalmente heteroscedásticos. Revela, no
entanto, que ela poderá estar presente em subconjuntos de parametrizações de todas as classes de
modelos deste tipo.
É nossa convicção que o estudo deste problema tem muito ainda a revelar. Em particular, os estudos
que desenvolvemos permitem conjecturar que a verificação desta propriedade está muito ligada à
cauda da distribuição parente do processo estacionário e sobre a qual tem
32
B opapel
l e t relevante
i m S P Ea distribuição
esta não é uma característica comum aos modelos condicionalmente heteroscedásticos. Revela, no
entanto, que ela poderá estar presente em subconjuntos de parametrizações de todas as classes de
modelos deste tipo.
É nossa convicção que o estudo deste problema tem muito ainda a revelar. Em particular, os estudos
que desenvolvemos permitem conjecturar que a verificação desta propriedade está muito ligada à
cauda da distribuição parente do processo estacionário e sobre a qual tem papel relevante a distribuição
do processo gerador, (Z t , t ∈ Z ) , acima referido.
5 Em jeito de conclusão
No desenvolvimento deste artigo procuramos realçar a importância da dialéctica que é
indispensável estabelecer entre o comportamento empírico das séries a descrever e as propriedades
teóricas dos modelos a adequar ou a definir. De facto, fica patente não só a importância de procurar, na
classe dos modelos conhecidos, aqueles que em cada momento conjugam propriedades teóricas
próximas das correspondentes propriedades empíricas dos dados, mas também quão fundamental é,
para a criação de novos modelos, a detecção de outros comportamentos empíricos não tidos em conta
nos já existentes.
A dinâmica do processo de ajustamento de um modelo estocástico a uma série de dados observada é
também particularmente evidente quando tomamos como referência a já clássica metodologia de BoxJenkins associada à classe dos modelos lineares gerais do tipo SARIMA . De facto, partindo do
comportamento das funções de autocorrelação e autocorrelação parcial empíricas da série de dados a
ajustar, procuramos o modelo naquela classe que melhor a representa. A aceitação de um tal modelo
não é, no entanto, tácita, passando por um controlo de qualidade, por meio de testes estatísticos, que
avaliarão, em particular, se o resíduo resultante de uma tal modelação tem propriedades de processo de
erro. Caso tal não aconteça, a procura anterior volta ao início mantendo-se esta dinâmica até que uma
tal condição mínima seja verificada. Este processo ganha obviamente um maior dinamismo com o
aparecimento de novos modelos, designadamente com os processos de erro condicionalmente
heteroscedásticos. Não basta agora verificar se o resíduo resultante é um processo de erro pois
sabemos que, por exemplo em dados de natureza financeira, pode estar presente uma volatilidade
instantânea que os modelos lineares não conseguem incorporar. Há então a possibilidade de,
recorrendo de novo a um teste estatístico, questionar a significância da presença de tal volatilidade ou
heteroscedasticidade condicional. Confirmada a sua presença, é o recurso à metodologia de BoxJenkins, agora aplicada aos modelos lineares associados a certas funções do processo de erro (por
exemplo, ao quadrado do resíduo no caso GARCH ), que nos irá conduzir ao modelo mais adequado.
Claro que, em qualquer caso, o que temos sempre é uma resposta que tendo muito para ser boa será
certamente, no mínimo, aceitável.
Em conclusão, um modelo estocástico para um certo fenómeno é apenas uma representação
matemática aceite desse mesmo fenómeno e não uma sua caracterização. Captar as características
essenciais dos dados a representar é muitas vezes o mais importante e indispensável, não
necessariamente para chegar a uma boa previsão pontual mas, sobretudo, para deduzir sobre o
fenómeno em causa um bom intervalo de previsão.
O desenvolvimento teórico e prático dos assuntos sintetizados neste texto pode, por exemplo, ser
encontrado em Gonçalves e Mendes-Lopes (2008).
6 Bibliografia
Bollerslev, T. (1986) Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity, Journal of
Econometrics, 37, 307-327.
Droesbeke, J., B. Fichet et Ph. Tassi (1989) Séries Chronologiques - Théorie et pratique des modèles
ARIMA, Economica, Paris.
Engle, R. (1982) Autoregressive conditional heteroscedasticity with estimates of the variance of the
U.K. inflation, Econometrica, 50, 987-1008.
Gonçalves, E. e N. Mendes-Lopes (2008) Séries temporais - Modelações lineares e não lineares, Ed.
da Sociedade Portuguesa de Estatística, Lisboa.
Gonçalves, E., J. Leite e N. Mendes-Lopes (2007) Taylor property in the threshold ARCH models,
Proceedings of the 56th ISI Session, Lisboa (http://www.isi2007.com.pt/isi2007/).
Gouriéroux, Ch. et A. Monfort (1990) Séries Temporelles et Modèles Dynamiques, Economica, Paris.
Gouriéroux, Ch. et A. Monfort (1992) Modèles ARCH et applications financières, Economica, Paris.
Granger, C.W.J. and Z. Ding (1995) Some properties of absolute return: an alternative measure of risk,
Annales d'Économie et de Statistique, 40, 67-95.
33
Granger,OC.W.J.,
u t o n oS. dSpear
e 2 and
0 0 8Z. Ding (2000) Stylized facts on the temporal and distributional
Proceedings of the 56th ISI Session, Lisboa (http://www.isi2007.com.pt/isi2007/).
Gouriéroux, Ch. et A. Monfort (1990) Séries Temporelles et Modèles Dynamiques, Economica, Paris.
Gouriéroux, Ch. et A. Monfort (1992) Modèles ARCH et applications financières, Economica, Paris.
Granger, C.W.J. and Z. Ding (1995) Some properties of absolute return: an alternative measure of risk,
Annales d'Économie et de Statistique, 40, 67-95.
Granger, C.W.J., S. Spear and Z. Ding (2000) Stylized facts on the temporal and distributional
properties of absolute return: an update, Proceedings of the Hong Kong International Workshop on
Statistics and Finance: An Interface (GChan, W., W. Li and H. Tong, eds.), 97-120, Imperial College
Press.
He, C. and T. Teräsvirta (1999) Properties of moments of a family of GARCH processes, Journal of
Econometrics, 92, 173-192.
Murteira, B., D. Muller, e K. F. Turkman (1993) Análise das sucessões cronológicas, McGraw-Hill,
Lisboa.
Rabemananjara, R. and J.M. Zakoian (1993) Threshold ARCH models and asymmetries in volatility,
Journal of Applied Econometrics, 8, 31-49.
Taylor, S. (1986) Modelling Financial Time Series, Wiley.
34
Boletim SPE
João Nicolau, [email protected]
Instituto Superior de Economia e Gestão/Universidade Técnica de Lisboa
João Nicolau,
Nicolau, [email protected]
[email protected]
João
Instituto
Superior
dedeEconomia
/ Universidade
Técnica
Lisboa
Instituto
Superior
EconomiaeeGestão
Gestão/Universidade
Técnica
de de
Lisboa
Introdução
Este artigo foca a ligação entre os processos estocásticos e as finanças. Concretamente, a) procura-se
explicar o forte crescimento dos processos estocásticos ligados às finanças, b) exemplificam-se
algumas ligações entre a teoria financeira e os processos estocásticos, c) argumenta-se que a área
Introdução
financeira tem contribuído para o desenvolvimento da teoria dos processos estocásticos e, finalmente,
d) faz-se uma breve nota sobre o ensino das séries temporais financeiras e disciplinas afins.Bachelier,
um matemático Francês na viragem do século XX, é visto por muitos como o fundador da moderna
Este
artigo foca
a ligaçãoNaentre
processos
estocásticos
e as finanças.
Concretamente,
Matemática
Financeira.
sua os
tese
de doutoramento
(“Teoria
da Especulação”)
lançaa)asprocura-se
bases do
1
explicar
o
forte
crescimento
dos
processos
estocásticos
ligados
às
finanças,
b)
exemplificam-se
movimento Browniano como modelo do comportamento das cotações em bolsa e usa esse modelo
algumas
ligações
teoria financeira
e os processos
c) argumenta-se
que a área
para
avaliar
opçõesentre
sobrea acções.
Historicamente,
é um dos estocásticos,
primeiros trabalhos
a usar explicitamente
financeira
tem
contribuído
para
o
desenvolvimento
da
teoria
dos
processos
estocásticos
e,
finalmente,
processos estocásticos no âmbito das finanças. Passado mais de um século sobre a “Teoria da
d) faz-se uma breve
notadizer
sobre
o ensino
das séries
temporais em
financeiras
e disciplinas
afins.Bachelier,
Especulação”,
pode-se
que
os processos
estocásticos,
tempo discreto
e contínuo,
estão na
um
matemático
Francês
na
viragem
do
século
XX,
é
visto
por
muitos
como
o
fundador
moderna
base da economia financeira, por uma razão simples: tempo, risco e incerteza são osdaelementos
Matemática
Na sua tese de doutoramento (“Teoria da Especulação”) lança as bases do
centrais
que Financeira.
influenciam
1 o comportamento dos agentes económicos e dos mercados financeiros em
movimento
Browniano
como modelodadoteoria
comportamento
geral e, por essa via são indissociáveis
financeira. das cotações em bolsa e usa esse modelo
para avaliar opções sobre acções. Historicamente, é um dos primeiros trabalhos a usar explicitamente
processos
no âmbitoem
dasgeral,
finanças.
Passadoe tem
maissido
deaplicada
um século
sobretodos
a “Teoria
da
A área dos estocásticos
processos estocásticos,
é vastíssima,
em quase
os ramos
Especulação”,
pode-se
dizer
que
os
processos
estocásticos,
em
tempo
discreto
e
contínuo,
estão
na
da ciência e da tecnologia. Neste artigo detenho-me apenas sobre os desenvolvimentos recentes que
base
da economia
financeira,
por uma
razão
simples: tempo,têm
risco
incerteza
são os elementos
têm ocorrido
no âmbito
das finanças.
Estes
desenvolvimentos
sidoe muito
significativos
e, como
centrais
que
influenciam
o
comportamento
dos
agentes
económicos
e
dos
mercados
financeiros
em
resultado, têm aparecido disciplinas novas, como por exemplo, Econometria Financeira, Séries
geral
e, por Financeiras,
essa via são indissociáveis
da teoria financeira.
Temporais
Finanças Computacionais
(a Matemática Financeira, como disciplina, é mais
antiga e deve a sua projecção e visibilidade fundamentalmente aos trabalhos de Fisher Black, Eugene
A
área Harry
dos processos
estocásticos,
em geral,
é vastíssima,
e temoutros).
sido aplicada em quase todos os ramos
Fama,
Markowitz,
Robert Merton,
Myron
Scholes, entre
da ciência e da tecnologia. Neste artigo detenho-me apenas sobre os desenvolvimentos recentes que
têm ocorrido no âmbito das finanças. Estes desenvolvimentos têm sido muito significativos e, como
resultado,
têm aparecidodos
disciplinas
como no
porâmbito
exemplo,
Econometria Financeira, Séries
Forte Desenvolvimento
Processosnovas,
Estocásticos
das Finanças
Temporais Financeiras, Finanças Computacionais (a Matemática Financeira, como disciplina, é mais
antiga e deve a sua projecção e visibilidade fundamentalmente aos trabalhos de Fisher Black, Eugene
É incontestável
o crescimento
dosScholes,
processos
estocásticos
Fama,
Harry Markowitz,
Robertextraordinário
Merton, Myron
entre
outros). ligados às finanças. Nenhuma
outra área da economia se desenvolveu tão rapidamente nos últimos anos como a dos processos
estocásticos aplicados a problemas financeiros. Procurarei a seguir, de forma muito breve, avançar
2
Forte
Desenvolvimento
com algumas
explicações.dos Processos Estocásticos no âmbito das Finanças
1. Tem-se assistido em muitos países, sobretudo desde a década de 60/70, a uma liberalização e
É
incontestável
o crescimento
extraordinário
dos financeiros
processos estocásticos
ligados às Como
finanças.
Nenhumao
globalização
progressiva
dos mercados
e não financeiros.
resultado,
1
Bachelier
explorou
as
ideias
do
teorema
do
limite
central
e,
assumindo
que
o
ruído
de
mercado
não
possuía
memória,
deduziu que
outra área
da economia
desenvolveu
tão rapidamente
últimostambém
anos como
a dos processos
sistema
financeirosecresceu
exponencialmente.
Mas nos
aumentou
de complexidade
(na
os incrementos dos preços deviam ser independentes e ter distribuição normal.
estocásticos
aplicados
Procurarei
a seguir,
de forma etc.).
muito Esta
breve,crescente
avançar
relação
entre aosproblemas
agentes, financeiros.
na diversidade
produtos
financeiros,
complexidade
do sistema financeiro, foi acompanhada pelo desenvolvimento de métodos
com algumas
explicações.
quantitativos adequados à natureza das transacções financeiras e dos instrumentos financeiros
criados. Estes métodos têm sido desenvolvidos nas universidades e, sobretudo, nas grandes
instituições financeiras. Na indústria financeira são bem conhecidos os quants (ou quantitative
1
Bachelier
explorou asTratam-se
ideias do teorema
do limite central
assumindo
que o ruído
de mercadoque
não possuía
memória,
analysts).
de indivíduos
come, forte
formação
matemática
se dedicam
aos
deduziu que
os
incrementos
dos
preços
deviam
ser
independentes
e
ter
distribuição
normal.
problemas financeiros de base quantitativa. Uma característica singular destes métodos
quantitativos é o de se basearem em grande parte em processos estocásticos porque o risco e a
incerteza
35
O u t o nestão
o dpresentes
e 2 0 0em
8 todos os mercados financeiros.
complexidade do sistema financeiro, foi acompanhada pelo desenvolvimento de métodos
quantitativos adequados à natureza das transacções financeiras e dos instrumentos financeiros
instituições financeiras. Na indústria financeira são bem conhecidos os quants (ou
2 quantitative
analysts). Tratam-se de indivíduos com forte formação matemática que se dedicam aos
1. Tem-se
assistido
em muitos
países,
sobretudo desde
década de 60/70,
a umadestes
liberalização
problemas
financeiros
de base
quantitativa.
Uma acaracterística
singular
métodose
globalização
dos mercados
financeiros
e não financeiros.
quantitativos éprogressiva
o de se basearem
em grande
parte em processos
estocásticosComo
porqueresultado,
o risco e oa
sistema
cresceu
Mas aumentou também de complexidade (na
incertezafinanceiro
estão presentes
emexponencialmente.
todos os mercados financeiros.
relação entre os agentes, na diversidade produtos financeiros, etc.). Esta crescente
2. complexidade
Assistiram-se também
a progressos
significativos
na desenvolvimento
modelação quantitativa
dos
do sistema
financeiro, muito
foi acompanhada
pelo
de métodos
mercados financeiros.
destaquefinanceiras
autores como
Black, financeiros
John Cox,
quantitativos
adequadosMerecem
à naturezaespecial
das transacções
e dosFisher
instrumentos
Eugene
Fama,
John
Lintner,
Harry
Markowitz,
Robert
Merton,
Franco
Modigliani,
Merton
Miller, Stephen
Ross, Paul
Samuelson,
Myron são
Scholes,
William Sharpe,
Rober
entre
instituições
financeiras.
Na indústria
financeira
bem conhecidos
os quants
(ou Engle,
quantitative
outros,
cujas
contribuições
lançaram
as
fundações
da
moderna
análise
financeira
quantitativa.
analysts). Tratam-se de indivíduos com forte formação matemática que se dedicam aos
Todas
as principais
contribuições
os processos
estocásticos,
porque
problemas
financeiros
de base envolveram
quantitativa.explicitamente
Uma característica
singular
destes métodos
(como
já
argumentámos)
o
risco
e
a
incerteza,
presentes
em
todos
os
mercados
financeiros,
quantitativos é o de se basearem em grande parte em processos estocásticos porque o risconão
ea
podem
serestão
dissociados
dasem
finanças.
incerteza
presentes
todos os mercados financeiros.
3.
progresso informático
suas vertentes
hardware
e software
sido muito
importante dos
em
2. O
Assistiram-se
também anasprogressos
muito
significativos
na tem
modelação
quantitativa
todas
as áreas
da estatística.
Muitas
das técnicas
e métodos
propostos
últimos
mercados
financeiros.
Merecem
especial
destaque
autores estatísticos
como Fisher
Black, nos
John
Cox,
anos
teriam
sido
complemente
irrelevantes
e,
certamente,
condenados
ao
esquecimento
sem os
Eugene Fama, John Lintner, Harry Markowitz, Robert Merton, Franco Modigliani, Merton
recursos
informáticos
Naturalmente,
este argumento
o desenvolvimento
Miller, Stephen
Ross, existentes.
Paul Samuelson,
Myron Scholes,
William justifica
Sharpe, Rober
Engle, entre
dos
métodos
estatísticos
em
geral,
mas
é
particularmente
válido
no
âmbito
das
séries
temporais
outros, cujas contribuições lançaram as fundações da moderna análise financeira
quantitativa.
financeiras.
Todas as principais contribuições envolveram explicitamente os processos estocásticos, porque
(como já argumentámos) o risco e a incerteza, presentes em todos os mercados financeiros, não
4. Outro factor relevante para o desenvolvimento dos processos estocásticos no âmbito das
podem ser dissociados das finanças.
finanças é a grande oferta de séries financeiras. Nenhuma outra área da economia dispõe de
e variadas
séries temporais
como a área
financeira.
É possível,
hoje
em dia,
obter sem
3. tantas
O progresso
informático
nas suas vertentes
hardware
e software
tem sido
muito
importante
em
custos
séries
financeiras
longas
com
periodicidades
extremamente
elevadas
(e.g.
observações
todas as áreas da estatística. Muitas das técnicas e métodos estatísticos propostos nos últimos
diárias
e intradiárias)
praticamente
isentas de
erros de observação.
Poraoexemplo,
o website
anos teriam
sido complemente
irrelevantes
e, certamente,
condenados
esquecimento
sem da
os
Yahoo
Finance
fornece,
a
título
gratuito,
centenas
de
milhares
de
cotações
nacionais
recursos informáticos existentes. Naturalmente, este argumento justifica o desenvolvimentoe
estrangeiras
periodicidade
diária,
ou mensal.
É possível
também,
a baixo
custo,
dos
métodos com
estatísticos
em geral,
mas semanal
é particularmente
válido
no âmbito
das séries
temporais
adquirir bases de dados de cotações tick-by-tick de títulos de acções, taxas de câmbio e taxas de
financeiras.
juro compostas por milhões de observações. Esta disponibilidade de dados permite ao
4. Outro
factor validar,
relevante
para o desenvolvimento
dos processos
no âmbitonovas
das
investigador
confirmar
e experimentar novas
técnicas e estocásticos
métodos e descobrir
finanças
é a grande
oferta de séries financeiras. Nenhuma outra área da economia dispõe de
regularidades
empíricas.
tantas e variadas séries temporais como a área financeira. É possível, hoje em dia, obter sem
custos séries financeiras longas com periodicidades extremamente elevadas (e.g. observações
diárias e intradiárias) praticamente isentas de erros de observação. Por exemplo, o website da
Yahoo Finance fornece, a título gratuito, centenas de milhares de cotações nacionais e
A Teoria Financeira e os Processos Estocásticos
estrangeiras com periodicidade diária, semanal ou mensal. É possível também, a baixo custo,
adquirir bases de dados de cotações tick-by-tick de títulos de acções, taxas de câmbio e taxas de
jurode compostas
por milhões
de Temporais
observações.
Esta disponibilidade
de dados
permite ao
O objecto
estudo pertinente
em Séries
Financeiras
(STF) e áreas afins
(e.g. Econometria
investigador
confirmar
e experimentar
novas (poderá
técnicas ser,
e métodos
e descobrir
novas
Financeira)
é o preçovalidar,
financeiro
observado
ao longo do tempo
por exemplo,
3 uma cotação
2
regularidades
empíricas.
de uma acção, um índice bolsista, uma taxa de câmbio, uma taxa de juro, etc.) . Este preço poderá
depois ser convertido em rendibilidade ou retorno caso se trabalhe em tempo discreto. Quase sempre
2
Maispreço
geralmente,
o preço no
poderá
representar
o valor
a que
um intermediário
financeiro informa
disposto
a pagar pela
este
é estudado
quadro
de uma
teoria
financeira.
Esta interligação
entre estar
finanças
e os
compra
de
um
determinado
activo,
opção
ou
futuro,
o
valor
a
que
um
intermediário
financeiro
informa
estar
disposto
a receber
processos estocásticos é ilustrada a seguir.
pela venda de um determinado activo, opção ou futuro, o valor final da transacção, o valor definido num mercado de futuros, entre
A Teoria Financeira e os Processos Estocásticos
outros.
1. Uma das aplicações mais importantes da teoria dos processos estocásticos às finanças é a que
respeita à determinação do preço justo ou prémio de uma opção. Uma opção call europeia
confere
ao seu
detentorem
o direito,
mas não aFinanceiras
obrigação, (STF)
de comprar
activo
exemplo
O objecto
de estudo
pertinente
Séries Temporais
e áreasum
afins
(e.g.(por
Econometria
uma éacção
cotada
na bolsa)
na data ao
delongo
expiração
do contrato
porpor
umexemplo,
preço K uma
previamente
Financeira)
o preço
financeiro
observado
do tempo
(poderáT,ser,
cotação
2tempo e pode ser
fixado.
A
cotação
do
activo
evolui
estocasticamente
ao
longo
do
de uma acção, um índice bolsista, uma taxa de câmbio, uma taxa de juro, etc.) . Este preço poderá
genericamente caracterizado como um processo estocástico
definido num
2
Mais geralmente,
poderá representar o valor
a que uméintermediário
financeiro informa
estar
a pagar
espaço deo preço
probabilidades
(onde
o espaço amostral,
podendo
serdisposto
identificado
pela compra
de
um
determinado
activo,
opção
ou
futuro,
o
valor
a
que
um
intermediário
financeiro
informa
como o conjunto de todos os cenários de mercado,
é a álgebra- dos subconjuntos de estar
eP
disposto a receber pela venda de um determinado activo, opção ou futuro, o valor final da transacção, o valor definido
é a medida
deentre
probabilidade).
No instante T o detentor da opção pode comprar o activo pelo
num mercado
de futuros,
outros.
preço K, previamente estabelecido, e vender imediatamente por
, supondo obviamente que
. Se
o detentor da opção não exerce o direito de compra. Desta forma a receita
36
Boletim SPE
confere ao seu detentor o direito, mas não a obrigação, de comprar um activo (por exemplo
uma acção cotada na bolsa) na data de expiração do contrato T, por um preço K previamente
fixado. A cotação do activo evolui estocasticamente ao longo do tempo e pode ser
genericamente caracterizado como um processo estocástico
definido num
espaço de probabilidades
(onde
é o espaço amostral, podendo ser identificado
como o conjunto de todos os cenários de mercado,
é a álgebra- dos subconjuntos de e P
é a medida de probabilidade). No instante T o detentor da opção pode comprar o activo pelo
preço K, previamente estabelecido, e vender imediatamente por
, supondo obviamente que
. Se
o detentor da opção não exerce o direito de compra. Desta forma a receita
(payoff) é
. Nestas circunstâncias, qual o valor justo do prémio da opção no
momento
? Naturalmente, o valor
depende crucialmente do processo
estocástico
. Fisher Black e Myron Scholes, assumindo um movimento
Browniano geométrico, deduziram uma fórmula matemática para o prémio da opção. Esta
fórmula, simples e extremamente útil ainda nos dias de hoje, é considerada por muitos
economistas como uma das maiores realizações da teoria financeira.
2. A volatilidade é um tópico fundamental em finanças. O conceito de volatilidade está presente
na gestão do risco, na afectação e selecção de activos, na valorização e hedging das opções e
derivados e em muitas outras operações e estratégias financeiras (no exemplo anterior, o
parâmetro mais importante que condiciona o valor
é, precisamente, a
volatilidade do processo
). A área da modelação e da previsão da volatilidade
assenta, naturalmente, em processos estocásticos. A literatura é muita vasta nesta área, e inclui
variadíssimos modelos em tempo discreto (e.g. modelos ARCH e modelos de volatilidade
estocástica) e em tempo contínuo (e.g. processos de difusão univariados com coeficiente de
difusão não constante e processos de difusão de segunda ordem de volatilidade estocástica).
3. A gestão do risco consiste, grosso modo, em identificar as fontes de risco e em medir, controlar
e gerir esse mesmo risco. Nesta área, um conceito fundamental é o Value at Risk ou VaR
(como é usualmente conhecido na literatura). O VaR representa a perda que pode ocorrer num
lapso de tempo determinado, com uma certa probabilidade , supondo que o portfolio não é
gerido durante o período de análise. Em termos probabilísticos, o VaR é o quantil de ordem
da distribuição teórica de ganhos e perdas. Estes ganhos e perdas evoluem ao longo do tempo
e, portanto, são susceptíveis de serem modelados através de processos estocásticos.
4. Uma discussão já longa na literatura debate a eficiência dos mercados financeiros. O mercado
de capitais diz-se eficiente se os preços dos produtos financeiros reflectirem toda a informação
disponível. Quando é libertada uma informação relevante (por exemplo, um anúncio de
distribuição de dividendos de valor superior ao esperado, um anúncio de fusões ou aquisições,
etc.) num mercado eficiente os agentes reagem imediatamente comprando ou vendendo de
acordo com a informação e os preços ajustam-se imediatamente. Se o mercado é eficiente o
preço ajusta-se rapidamente e não há oportunidades para a realização de rendibilidades
anormais. Neste caso, o retorno não é previsível e, portanto, deverá ser não autocorrelacionado.
Naturalmente esta discussão faz-se no âmbito de um modelo probabilístico de processos
4
estocásticos.
5. Um problema importante em finanças é o da selecção e constituição de portfolios de acordo
com o princípio geral da obtenção da máxima rendibilidade com a menor volatilidade (risco)
possível. Existem várias abordagens para obter a rendibilidade e a volatilidade mas a mais
conveniente e adequada diz respeito às previsões (temporais) de rendibilidade e volatilidades
associadas aos activos que constituem o portfolio. Com efeito, a decisão sobre constituição de
portfolio dependerá da rendibilidade e da volatilidade futura dos activos financeiros que
constituem o portfolio. Trata-se, portanto, de um problema de previsão que deve ser tratado,
naturalmente, no âmbito dos processos estocásticos.
As Finanças e o Desenvolvimento da Teoria dos Processos Estocásticos
Outono de 2008
37
As Finanças e o Desenvolvimento da Teoria dos Processos Estocásticos
4
5. Um problema importante em finanças é o da selecção e constituição de portfolios de acordo
Os exemplos
no ponto
anteriordailustram
forte ligação com
entrea as
finanças
e a teoria
dos
com o discutidos
princípio geral
da obtenção
máximaa rendibilidade
menor
volatilidade
(risco)
processos
estocásticos.
No
entanto,
a
teoria
financeira
não
se
tem
limitado
a
aplicar
métodos
possível. Existem várias abordagens para obter a rendibilidade e a volatilidade mas a maise
procedimentos
já estabelecidos
dos às
processos
estocásticos.
também expandido
a análise
conveniente
e adequada na
dizteoria
respeito
previsões
(temporais)Tem
de rendibilidade
e volatilidades
dos processos
estocásticos,
quer
propondo
novos
modelos
ou
processos
estocásticos
quer
propondo
associadas aos activos que constituem o portfolio. Com efeito, a decisão sobre constituição de
novas metodologias
de estimação
e inferência. Para
este tópico
alguns
exemplos. que
portfolio dependerá
da rendibilidade
e da ilustrar
volatilidade
futuratomam-se
dos activos
financeiros
constituem o portfolio. Trata-se, portanto, de um problema de previsão que deve ser tratado,
1. Como referimos anteriormente, a volatilidade é uma das variáveis mais importante em
naturalmente, no âmbito dos processos estocásticos.
finanças. A questão é como medir, estimar e prever a volatilidade. O modelo ARCH
(Autoregressive Conditional Heteroskedasticity), devido a Robert Engle, é um produto das
séries temporais financeiras. O modelo, definido em tempo discreto, propõe uma especificação
dinâmica para a variância condicional de um processo estocástico. A estimação do modelo,
As Finanças
e o Desenvolvimento
da Teoria
Processos
Estocásticos
normalmente
realizada no quadro
da dos
estimação
de máxima
verosimilhança, permite medir,
estimar e prever a volatilidade. Não é exagero dizer-se que têm sido produzidos centenas de
artigos sobre estas questões. Muitos destes artigos têm refinado a abordagem ARCH, por
Os exemplos
discutidos
noespecificações
ponto anterioralternativas
ilustram a eforte
ligação
entre as
finançasase propriedades
a teoria dos
exemplo,
propondo
testes
estatísticos,
discutindo
processos
estocásticos.dosNoestimadores
entanto, a eteoria
não modelos
se tem limitado
a aplicarbaseados
métodosem
e
assimptóticas
testes,financeira
etc. Outros
de volatilidade,
procedimentos
já
estabelecidos
na
teoria
dos
processos
estocásticos.
Tem
também
expandido
a
análise
pressupostos alternativos, têm sido propostos, sendo, provavelmente o mais importante, o
dos processos
querestocástica.
propondo novos
modelos envolvem
ou processos
estocásticos
propondo3
modeloestocásticos,
de volatilidade
Estes modelos
questões
difíceisquer
de estimação
novas metodologias
e inferência.
Para ilustrar
tomam-se alguns exemplos.
que também de
têmestimação
sido tratados
por investigadores
da este
áreatópico
das finanças.
1.
referimosnosanteriormente,
a volatilidade
é uma naturalmente,
das variáveisdemais
importante
2. Como
As transacções
mercados financeiros
não ocorrem,
forma
espaçada. em
Se
finanças.
A
questão
é
como
medir,
estimar
e
prever
a
volatilidade.
O
modelo
ARCH
registarmos todas as alterações do preço de um activo, obtemos, para mercados
(Autoregressive
Heteroskedasticity),
devido a Robert
Engle, frequência
é um produto
suficientemente Conditional
líquidos, uma
sucessão de observações,
de altíssima
ondedaso
séries
temporais
financeiras.
O
modelo,
definido
em
tempo
discreto,
propõe
uma
especificação
intervalo entre observações consecutivas pode ser encarado como um processo estocástico,
dinâmica
condicional
de um
processo
estocástico.
A estimação
do modelo,
susceptívelpara
de aservariância
modelado.
Na área das
Séries
Temporais
Financeiras
vários modelos
têm
normalmente
realizada
no
quadro
da
estimação
de
máxima
verosimilhança,
permite
medir,
sido propostos para modelarem o intervalo entre observações, sendo talvez o mais relevante o
estimar
prever a volatilidade.
Não
é exagero dizer-se que têm sido produzidos centenas de
modelo eautoregressive
conditional
duration.
artigos sobre estas questões. Muitos destes artigos têm refinado a abordagem ARCH, por
3. exemplo,
Processospropondo
estocásticos
em tempo alternativas
contínuo, especialmente
processos
de difusão
tem sido
especificações
e testes estatísticos,
discutindo
as propriedades
largamente
empregues
em
finanças.
Todavia,
todos
os
modelos
envolvem
parâmetros
ou
assimptóticas dos estimadores e testes, etc. Outros modelos de volatilidade, baseados em
funções desconhecidas
que têm
devem
estimados sendo,
a partir provavelmente
de observações odiscretas
do processo.
pressupostos
alternativos,
sidoserpropostos,
mais importante,
o
A
inferência
estatística
é,
pois,
crucial
em
todas
as
aplicações,
particularmente
em
finanças.
modelo de volatilidade estocástica. Estes modelos envolvem questões difíceis de estimação3
Sob também
certas condições
gerais, opor
método
da máxima
verosimilhança
que
têm sido tratados
investigadores
da área
das finanças.para processos de difusão
baseados em observações discretas apresenta as habituais boas propriedades (consistência,
2. As
transacções
nos mercados
financeiros
nãodos
ocorrem,
naturalmente,
de forma
espaçada. Se
eficiência
e distribuição
assimptótica
normal
estimadores).
Infelizmente,
as5 densidades
de
registarmos
todas
as
alterações
do
preço
de
um
activo,
obtemos,
para
mercados
transição necessárias para construir a função de verosimilhança são geralmente desconhecidas.
suficientemente
líquidos,
uma
sucessão alternativas
de observações,
de propostas,
altíssima muitas
frequência
o
Nestas circunstâncias,
várias
abordagens
têm sido
delasonde
vindas
intervalo
entre
observações
consecutivas
pode
ser
encarado
como
um
processo
estocástico,
da área das finanças. A título de exemplo, citam-se as seguintes abordagens: método dos
3
Nestes susceptível
modelos
a volatilidade
é uma variável
não
dependenteFinanceiras
de um erro
aleatório,
o que
impede
de ser modelado.
Nalatente,
área
dasobservável,
Séries
Temporais
vários de
modelos
têma utilização
momentos
generalizados
baseados
no operador
infinitesimal;
função
martingala
estimação;
dos métodos
habituais
de
estimação.
sido
propostosdapara
modelarem ovia
intervalo
entre
sendo talvez
o mais relevantevia
o
aproximação
verosimilhança
expansão
de observações,
Hermite; aproximação
da verosimilhança
modelo
autoregressive
conditional
duration.
aproximação
numérica
da equação
progressiva de Kolmogorov; aproximação da
verosimilhança via simulação; métodos Bayesianos; métodos baseados em modelos auxiliares
3. Processos estocásticos em tempo contínuo, especialmente processos de difusão tem sido
(inferência indirecta e método dos momentos eficientes).
largamente empregues em finanças. Todavia, todos os modelos envolvem parâmetros ou
desconhecidas
que devemdaser
estimados
a partirtêm
de observações
doem
processo.
4. funções
Os investigadores
matemáticos
área
das finanças
expandido osdiscretas
modelos
tempo
A
inferência
estatística
é,
pois,
crucial
em
todas
as
aplicações,
particularmente
em
finanças.
contínuo, focando sobretudo o caso em que o coeficiente de difusão da equação dos preços é
Sob
certas através
condições
gerais,
o método
máxima verosimilhança
para processos
deprocesso
difusão
modelado
de uma
outra
equaçãodadiferencial
estocástica, governada
por outro
baseados
observações correlacionado
discretas apresenta
habituaisdeboas
propriedades
de Wiener,emeventualmente
com oasprocesso
Wiener
associado à(consistência,
equação dos
eficiência
e
distribuição
assimptótica
normal
dos
estimadores).
Infelizmente,
as
densidades
preços. Este tipo de modelos é adequado para modelar preços de activos onde se suspeite quedea
transição
necessárias
para
construir
a função
de verosimilhança
são geralmente
volatilidade
dos preços
é ela
também
uma função
estocástica. Ainda
na área da desconhecidas.
modelação dos
preços, tem sido dada especial atenção aos processos de difusão com saltos de Poisson, por se
entender que estes modelos se adequam aos processos sujeitos a alterações bruscas da
3
Nestes modelos a volatilidade é uma variável latente, não observável, dependente de um erro aleatório, o que impede a
trajectória, devido, por exemplo, a crashes bolsistas ou ataques especulativos súbitos. Estes
utilização dos métodos habituais de estimação.
modelos têm sido aplicados no apreçamento das opções e na estimação e previsão da
volatilidade.
38
Boletim SPE
preços. Este tipo de modelos é adequado para modelar preços de activos onde se suspeite que a
volatilidade dos preços é ela também uma função estocástica. Ainda na área da modelação dos
preços, tem sido dada especial atenção aos processos de difusão com saltos de Poisson, por se
entender que estes modelos se adequam aos processos sujeitos a alterações bruscas da
trajectória, devido, por exemplo, a crashes bolsistas ou ataques especulativos súbitos. Estes
modelos têm sido aplicados no apreçamento das opções e na estimação e previsão da
volatilidade.
5. Como referimos, nenhuma outra área da economia dispõe de tantas e variadas séries temporais
como a área financeira. É possível obter sem custos, séries financeiras longas com
periodicidades extremamente altas (por exemplo, de segundo a segundo). A disponibilidade
destas novas séries mostrou novas regularidades empíricas e lançou as bases da teoria da
microestrutura de mercado. Em particular foi revelado a existência de um ruído de mercado
impossível de detectar com frequência de amostragem inferior. Esta questão tem sido discutida
no âmbito da realized volatility que é uma medida da volatilidade baseada na variação
quadrática de uma semimartingala.
6. Importantes contribuições têm também surgido no âmbito dos processos estocásticos não
lineares na média em tempo discreto (nota: interpretamos modelos não lineares na média
quando a média condicional é uma função não linear dos seus argumentos). Estas contribuições
têm incidido sobretudo nos modelos do tipo regime-switching. Estes tipos de modelos
adequam-se, por exemplo, em situações onde existem alterações bruscas e inesperadas nas
trajectórias dos processos (e.g., ataques especulativos, crashes bolsistas, anúncios públicos de
medidas do governo, eventos políticos e, em geral, eventos extraordinários não antecipados) ou
onde existem alterações da dinâmica do processo sem alterações bruscas nas trajectórias. Para
este tipo de fenómenos, têm sido discutidos dois tipos de modelos: 1) modelos onde a
mudança de regime é função de uma variável observável, como por exemplo, os modelos com
variáveis impulso, os modelos limiares ou threshold AR (TAR), os modelos onde os
coeficientes associados às componentes AR são funções não lineares dos valores passados
(STAR, smoothed transition AR), entre outros; 2) modelos onde a mudança de regime não é
observada, incluindo-se, nesta classe, os modelos onde os regimes são independentes entre si
(como, por exemplo, os modelos simple switching ou de Bernoulli) e os modelos onde existe
dependência entre os regimes (como por exemplo, os modelos Markov-Switching).
7. A área da estimação não paramétrica tem estado também muito activa em finanças. Em certos
casos, a teoria e os dados são insuficientes para especificar parametricamente o modelo de
interesse. Nestes casos considera-se uma abordagem não paramétrica. No âmbito dos modelos
de difusão, tem sido particularmente estudada a estimação dos coeficientes infinitesimais
(tendência e difusão) e das densidades de transição e estacionárias (quando existam). Estas
estimativas têm sido empregues para testar a especificação paramétrica de vários modelos.
6 coeficientes
Outras aplicações incluem, por exemplo, o estudo da homogeneidade dos
6
(concretamente, serão os coeficientes infinitesimais dependentes apenas do estado do processo
ou,
ee do
ou, eventualmente,
eventualmente, dependem
dependem também
também do
do tempo?)
tempo?)
do apreçamento
apreçamento das
das opções
opções
(concretamente
estuda-se
se
o
preço
das
opções
é
consistente
com
os
seus
valores
teóricos,
(concretamente estuda-se se o preço das opções é consistente com os seus valores teóricos,
baseados
baseados em
em modelos
modelos paramétricos).
paramétricos).
Muitos
Muitos outros
outros exemplos
exemplos poderiam
poderiam ser
ser acrescentados
acrescentados (por
(por exemplo,
exemplo, na
na teoria
teoria dos
dos valores
valores extremos
extremos para
para
modelar
modelar cenários
cenários de
de risco
risco ee valores
valores em
em perda,
perda, redes
redes neuronais,
neuronais, etc.).
etc.).
O
O Ensino
Ensino das
das Séries
Séries Temporais
Temporais Financeiras
Financeiras ee disciplinas
disciplinas Afins
Afins
Dada
Dada aa importância
importância dos
dos processos
processos estocásticos
estocásticos no
no âmbito
âmbito das
das finanças,
finanças, éé pois
pois natural
natural que
que oo ensino
ensino oo
das
séries
temporais
financeiras
e
disciplinas
afins
(econometria
financeira,
métodos
de
previsão
das séries temporais financeiras e disciplinas afins (econometria financeira, métodos de previsão para
para
finanças,
finanças, etc.)
etc.) estejam
estejam já
já firmemente
firmemente presentes
presentes nas
nas principais
principais faculdades
faculdades de
de economia,
economia, gestão
gestão ee
finanças
finanças do
do mundo,
mundo, em
em todos
todos os
os níveis
níveis do
do ensino
ensino superior
superior (licenciatura,
(licenciatura, mestrado
mestrado ee doutoramento).
doutoramento).
Uma
Uma breve
breve consulta
consulta na
na Internet
Internet mostra
mostra que
que centenas
centenas de
de universidades
universidades em
em todo
todo oo mundo
mundo oferecem
oferecem
Séries
Séries Temporais
Temporais Financeiras,
Financeiras, Econometria
Econometria Financeira
Financeira ou
ou Matemática
Matemática Financeira.
Financeira. Apresenta-se
Apresenta-se aa
seguir
seguir uma
uma lista
lista de
de algumas
algumas universidades
universidades que
que leccionam
leccionam aa unidade
unidade curricular
curricular Financial
Financial
Econometrics:
Econometrics: Harvard
Harvard University,
University, EUA;
EUA; London
London School
School of
of Economics,
Economics, Reino
Reino Unido;
Unido; School
School of
of
Economics
and
Business
Administration
University
of
Navarre,
Espanha;
University
of
Washington,
Economics
University of Navarre, Espanha; University of Washington,
39
O uand
t o Business
n o dEUA;
e Administration
2 0Aarhus
0 8 School
Seattle, Washington,
of Business, Dinamarca; New York Stern School of
Uma breve consulta na Internet mostra que centenas de universidades em todo o mundo oferecem
Séries Temporais Financeiras, Econometria Financeira ou Matemática Financeira. Apresenta-se a
seguir uma lista de algumas universidades que leccionam a unidade curricular Financial
6
Econometrics: Harvard University, EUA; London School of Economics, Reino Unido;
School of
Economics and Business Administration University of Navarre, Espanha; University of Washington,
eventualmente,
também
do tempo?)
e doNew
apreçamento
opções
Seattle, ou,
Washington,
EUA; dependem
Aarhus School
of Business,
Dinamarca;
York Sterndas
School
of
(concretamente
estuda-se
se oSwansea,
preço dasReino
opções
é consistente
com
os seus valores
teóricos,
Business,
EUA; University
of Wales
Unido;
Macquarie
University,
Austrália.
Entre
baseados
em modelos
paramétricos).
nós várias
universidades
oferecem
também unidades curriculares na área de ligação entre as finanças e
os processos estocásticos. No ISEG/UTL (Instituto Superior de Economia e Gestão) têm sido
Muitos outrosasexemplos
poderiam
ser acrescentados
(por exemplo, Financeira
na teoria dos(licenciatura),
valores extremosSéries
para
leccionadas
seguintes
unidades
curriculares: Econometria
modelar cenários
risco e valores
em perda,
redes neuronais,
etc.). para Finanças (mestrado); na
Temporais
para de
Finanças
(mestrado)
e Métodos
de Previsão
Universidade Nova de Economia, Introduction to Financial Econometrics (mestrado); no ISCTE
(Instituto Superior das Ciências do Trabalho e da Empresa), Métodos e Estudos Empíricos em
O Ensino das Séries Temporais Financeiras e disciplinas Afins
Finanças (Doutoramento); na Faculdade de Economia da Universidade de Algarve, Econometria
Financeira (MBA); na Faculdade de Economia da Universidade de Coimbra, Análise de Séries
Financeiras
(mestrado).
Dada a importância
dos processos estocásticos no âmbito das finanças, é pois natural que o ensino o
das séries temporais financeiras e disciplinas afins (econometria financeira, métodos de previsão para
finanças, etc.) estejam já firmemente presentes nas principais faculdades de economia, gestão e
finanças do mundo, em todos os níveis do ensino superior (licenciatura, mestrado e doutoramento).
4
Uma breve consulta
na Internet mostra que centenas de universidades em todo o mundo oferecem
Bibliografia
Séries Temporais Financeiras, Econometria Financeira ou Matemática Financeira. Apresenta-se a
seguir uma lista de algumas universidades que leccionam a unidade curricular Financial
Econometrics:
Harvard
University,
EUA; London
School
Economics,
Unido;Securities”,
School of
Aït-Sahalia, Y.,
(1996),
“Nonparametric
Princing
of ofInterest
Rate Reino
Derivative
Economics
and64,
Business
Administration University of Navarre, Espanha; University of Washington,
Econometrica,
527-560.
Seattle, Washington, EUA; Aarhus School of Business, Dinamarca; New York Stern School of
Aït-Sahalia,
Y., University
(2002), “Maximum
Likelihood
Estimation
of Discretely
SampledAustrália.
Diffusions:
A
Business,
EUA;
of Wales Swansea,
Reino
Unido; Macquarie
University,
Entre
Closed-form
Approximation
Approach.”
Econometrica,
70(1), 223-262.
nós
várias universidades
oferecem
também
unidades curriculares
na área de ligação entre as finanças e
os processos estocásticos. No ISEG/UTL (Instituto Superior de Economia e Gestão) têm sido
Amin, K. e V. Ng, (1993), “Option Valuation with Systematic Stochastic Volatility”, Journal of
leccionadas as seguintes unidades curriculares: Econometria Financeira (licenciatura), Séries
Finance, 48(3), 881-910.
Temporais para Finanças (mestrado) e Métodos de Previsão para Finanças (mestrado); na
Universidade
Nova
de Economia,
Financial
Econometrics
(mestrado);
no ISCTE
Andersen, T.G.,
T. Bollerslev,
F.X. Introduction
Diebold e H.toEbens,
(2001),
“The distribution
of realized
stock
(Instituto
SuperiorJournal
das Ciências
do Trabalho
e 61,
da Empresa),
Métodos e Estudos Empíricos em
return volatility”,
of Financial
Economics,
43-76.
Finanças (Doutoramento); na Faculdade de Economia da Universidade de Algarve, Econometria
7
Bachelier, L.,
(1900),na
Théorie
de la Spéculation,
Mathématique,
Financeira
(MBA);
Faculdade
de Economiathèse
da de
Universidade
de Paris.
Coimbra, Análise
de Séries
Financeiras (mestrado).
Barndorff-Nielsen, O.E. e N. Shephard, (2006), “Econometrics of testing for jumps in financial
economics using bipower variation”, Journal of Financial Econometrics, 4, 1-30.
4
Lista necessariamente incompleta de artigos muito relevantes na área dos processos estocásticos em finanças. Inclui também
Bibby,
e M. Sorensen,
algumas B.,
publicações
do autor na(1995),
área dos“Martingale
processos comEstimation
aplicações àsFunction
finanças. for Discretely Observed Diffusion
4
Bibliografia
Process”, Bernoulli, 1, 17-39.
Black, F., e M. Scholes, (1973), “The Pricing of Options and Corporate Liabilities, Journal of Political
Aït-Sahalia,81,Y.,
(1996), “Nonparametric Princing of Interest Rate Derivative Securities”,
Economy”,
pp. 637-654.
Econometrica, 64, 527-560.
Bollerslev, T., (1986), “Generalized autoregressive conditional heteroscedasticity”, Journal of
Aït-Sahalia, Y.,
Econometrics
31, (2002),
307-327.“Maximum Likelihood Estimation of Discretely Sampled Diffusions: A
Closed-form Approximation Approach.” Econometrica, 70(1), 223-262.
Bollerslev, T., R.Y. Chou e K.F. Kroner, (1992), “ARCH modeling in finance: a review of the theory
Amin,
K. e V.
Ng, (1993),
“Option
Valuation with
Systematic Stochastic Volatility”, Journal of
and
empirical
evidence”,
Journal
of Econometrics,
52, 5-59.
Finance, 48(3), 881-910.
Cox, J., Ingersoll J., Ross S. , (1985), “A Theory of the Term Structure of Interest Rates”,
Andersen, T.G.,53,T.385-407.
Bollerslev, F.X. Diebold e H. Ebens, (2001), “The distribution of realized stock
Econometrica,
return volatility”, Journal of Financial Economics, 61, 43-76.
Danielsson, J., (1994), “Stochastic Volatility in Asset Prices - Estimation With Simulated Maximum
Bachelier, L.,Journal
(1900), of
Théorie
de la Spéculation,
thèse de Mathématique, Paris.
Likelihood”,
Econometrics,
64, 375-400.
Duffie, D., (1988), Security Markets : Stochastic Models, Academic Press.
Engle,
R., (1982), “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of
4
Lista necessariamente incompleta de artigos muito relevantes na área dos processos estocásticos em finanças. Inclui
United
Inflation”,
Econometrica,
50, 987-1008.
também Kingdom
algumas publicações
do autor
na área dos processos
com aplicações às finanças.
Engle, R., (2001), “GARCH101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics”,
40
Journal of Economic Perspectives, 15, 157-168
Boletim SPE
Likelihood”, Journal of Econometrics, 64, 375-400.
Duffie, D., (1988), Security Markets : Stochastic Models, Academic Press.
Engle, R., (1982), “Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance of
United Kingdom Inflation”, Econometrica, 50, 987-1008.
Engle, R., (2001), “GARCH101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics”,
Journal of Economic Perspectives, 15, 157-168
Engle, R., e J. Russell, (1998), “ Autoregressive Conditional Duration: A New Model for Irregularly
Spaced Transaction Data”, Econometrica 66.
Eraker, B., (2001), “MCMC Analysis of Diffusion Models With Application to Finance”, Journal of
Business & Economic Statistics, 19, 177-191.
Fama, E., (1976), “Forward Rates as Predictors of Future Spot Rates”, Journal of Financial
Economics, 361-77.
Gallant A., e G. Tauchen, (1996), “Which moments to match?”, Econometric Theory, 12, 657-681.
Hansen, L., (1982), “Large Sample Properties of Generalized Methods of Moments”, Econometrica,
50.
Hansen, L., e J. Scheinkman, (1995), “Back to the Future: Generating Moment Implications for
Continuous-Time Markov Processes”, Econometrica, 63, 767-804.
Hull J, e A. White, (1987), “The Pricing of Options on Assets with Stochastic Volatilities”, Journal of
Finance, 42, 281-300.
Jacquier, e., N. Polson, e P. Rossi, (1994), “Bayesian Analysis of Stochastic Volatility Models”,
Journal of Business and Economic Statistics, 12,371-389
Kessler, M., (1997), “Estimation of an Ergodic Diffusion from Discrete Observations”, Scandinavian
Journal of Statistics, 24, 211- 229.
Lintner, J., (1965), “The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock
8
portfolios and capital budgets”, Review of Economics and Statistics, 47, 13-37.
Lo, A., (1988), “Maximum likelihood estimation of generalized Ito processes with discretely sampled
data”, Econometric Theory, 4, 231--247.
Marakowitz, H., (1952), “Portfolio selection”, Journal of Finance, 7, 77-91.
Merton, R., 1990, Continuous Time Finance, Cambridge, M.A. Blackwell.
Merton, R., (1973), “Theory of Rational Option Pricing”, Bell Journal of Economics and
Management Science, 4, 141-183.
Nelson, D., (1990), “ARCH Models as Diffusion Approximations”, Journal of Econometrics, 45, 738.
Nelson, D., (1991), “Conditional Heteroskedasticity in Asset Returns: A New Approach”,
Econometrica, 59.
Nicolau, J., (2002) “New Technique for Simulating the Likelihood of Stochastic Differential
Equations”, The Econometrics Journal, 5, 2002.
Nicolau, J., (2002) “Stationary Processes that Look Like Random Walks -- the Bounded Random
Walk Process in Discrete and Continuous Time”, Econometric Theory, 18.
Nicolau, J., (2003) “Bias Reduction in Nonparametric Diffusion Coefficient Estimation”, Econometric
Theory, 19.
Nicolau, J., (2005), “Processes with Volatility-Induced Stationarity. An Application for Interest
Rates”, Statistica Neerlandica, 59, 376-396.
41
Outono de 2008
Nicolau, J., (2003) “Bias Reduction in Nonparametric Diffusion Coefficient Estimation”, Econometric
Theory, 19.
Nicolau, J., (2005), “Processes with Volatility-Induced Stationarity. An Application for Interest
Rates”, Statistica Neerlandica, 59, 376-396.
Nicolau, J., (2005). “A Method for Simulating Non-Linear Stochastic Differential Equations in R1”.
Journal of Statistical Computation and Simulation, 75, 595-609.
Nicolau, J., (2007), “A Discrete and a Continuous-Time Model Based on a Technical Trading Rule”,
Journal of Financial Econometrics, 5, 266-284.
Nicolau, J., (2007), “Non-Parametric Estimation of Second Order Stochastic Difference Equations”,
Econometric Theory, 23.
Nicolau, J., (2008), “Modeling Financial Time Series Through Second Order Stochastic Differential
Equations”, Statistics and Probability Letters, to appear.
Pedersen, A., (1995), “A new approach to maximum likelihood estimation for stochastic differential
equations based on discrete observations”, Scandinavian Journal of Statistics, 22, 55-71.
Sharpe, W., (1963), “A simplified model for portfolio analysis”, Management Science, 9, 277-93.
Sharpe, W., (1964), “Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk”,
Journal of Finance, 19.
Sørensen, M., (1995), “Martingale Estimation Function for Discretely Observed Diffusion Process”,
Bernoulli, 1.
Taylor, S., (2008), Modelling Financial Time Series, Second Edition, John Wiley & Sons.
Yoshida, N., (1992), "Estimation for Diffusion Processes from Discrete Observations", Journal of
Multivariate Analysis 41, 220-242.
42
Boletim SPE
Algumas noções de dependência positiva
Algumas
noçõesOliveira,
de dependência
positiva
Paulo Eduardo
[email protected]
CMUC, Departamento
de Matemática,
Universodade de Coimbra
Paulo Eduardo
Oliveira, [email protected]
CMUC, Departamento de Matemática, Universidade de Coimbra
1
Introdução
A Teoria da Probabilidades começou por evoluir tratando essencialmente variáveis aleatórias independentes. No entanto, se do ponto de vista teórico é satisfatória a construção de um corpo de conhecimentos coerente, do ponto de vista da modelização de fenómenos fı́sicos, ou outros que foram surgindo, a
independência era claramente insuficiente. Daı́ que, naturalmente, fossem surgindo abordagens ao tratamento da dependência. Assim, foram-se introduzindo noções que controlavam o grau de dependência,
começando por ser populares as noções de mistura. Foram introduzidas várias noções deste tipo, tentando responder às necessidades de controlo da dependência que surgiam em diversos contextos. A ideia
base subjacente às noções de mistura é simples: há um parâmetro que descreve a distância a que se
encontram as variáveis dentro da famı́lia considerada e exige-se que quanto mais afastadas as variáveis
estiverem menos dependentes estão serão. No essencial, o que distingue as diferentes noções de mistura
é a forma como se mede o grau de dependência. Sendo conhecidos diversos parâmetros que podem
dar indicações sobre a independência, facilmente se imagina que as noções de mistura se podem multiplicar. Existe uma vasta literatura sobre a utilização de noções de mistura em modelos probabilı́sticos,
estabelecendo relações entre as diversas noções, quando isso é possı́vel.
As noções de dependência positiva pretendem controlar o grau de dependência deixando cair esta
ideia de distância entre variáveis aleatórias. É, por isso, uma noção de dependência mais global traduzindo um comportamento do conjunto de variáveis aleatórias, independente da ordenação destas.
As primeiras referências a dependência positiva surgem em Lehman (1966) e depois, na sua forma
mais definitiva, conhecida como associação, em Esary, Proschan, Walkup (1967). Os conceitos de dependência positiva atraı́ram pouca atenção dos probabilistas e estatı́sticos durante bastantes anos: Barlow, Porschan (1975), que utilizam a dependência positiva para tirar partido das suas propriedades por
transformações monótonas para estudar modelos em fiabilidade e análise de sobrevivência, é das poucas referências que se encontram. O tema só volta a aparecer com as contribuições de Newman (1980,
1984), Newman, Wright (1981) que abordam os problemas clássicos de teoremas centrais limites. Em
Joag-Dev, Proschan (1983) introduzem-se condições de dependência negativa, que acabaram por só
atrair alguma atenção ainda mais tarde na literatura. Posteriormente, Lindqvist (1988) e Evans (1990)
estendem os conceitos a espaços abstractos colocando em evidência algumas subtilezas deste género
de dependência. Em paralelo a esta literatura o conceito de associação desenvolve-se de forma completamente independente em fı́sica matemática, onde é conhecido como desigualdades FKG (Fortuin,
Kasteleyn, Ginibre (1971)), com aplicações à teoria da percolação e modelos de Ising, por exemplo.
A partir do inı́cio dos anos 1990 o interesse por dependência positiva cresce aparecendo então
contribuições que estabelecem de forma mais completa o estudo dos teoremas limites clássicos e se
estendem progressivamente a questões de velocidades de convergência ou grandes desvios.
2
Associação e primeiras propriedades
A primeira noção de dependência positiva surge em Lehman 1966.
Definição 2.1 (Lehamn (1966)) Duas variáveis aleatórias X1 e X2 dizem-se positivamente dependentes
se
P(X1 > x, X2 > y) − P(X1 > x)P(X2 > y) ≥ 0,
∀x, y ∈ R.
É imediato verificar que podemos substituir o sinal “>” por “≤”. A ideia consistia em tirar partido da
representação seguinte para variáveis de quadrado integrável, conhecida como Lemma de Hoeffding,

Cov(X1 , X2 ) =
P(X1 > x, X2 > y) − P(X1 > x)P(X2 > y) dx dy.
(1)
43
Outono de 2008
É imediato verificar que podemos substituir o sinal “>” por “≤”. A ideia consistia em tirar partido da
representação seguinte para variáveis de quadrado integrável, conhecida como Lemma de Hoeffding,

Cov(X1 , X2 ) =
P(X1 > x, X2 > y) − P(X1 > x)P(X2 > y) dx dy.
(1)
Por exemplo, é imediato que o seguinte resultado se verifica.
1
Proposição 2.2 Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias de quadrado integrável positivamente dependentes.
Estas variáveis são independentes se e só se Cov(X1 , X2 ) = 0.
A noção seguinte acabou por se revelar mais útil para o estudo de resultados limites.
Definição 2.3 (Esary, Proschan, Walkup (1967)) Um conjunto de variáveis aleatórias X1 , . . . , Xn diz-se (positivamente) associado se dadas duas quaisquer funções f, g : Rn −→ R crescentes coordenada a
coordenada se tiver


Cov f (X1 , . . . , Xn ), g(X1 , . . . , Xn ) ≥ 0,
(2)
sempre que esta covariância exista.
Uma sucessão de variáveis aleatórias Xk , k ≥ 1, diz-se (positivamente) associada se, para todo o
n ∈ N, X1 , . . . , Xn é um conjunto (positivamente) associado de variáveis aleatórias.
É óbvio que a propriedade de associação de variáveis aleatórias não se altera se operarmos uma permutação das variáveis. Note-se ainda que se define associação de conjuntos de variáveis aleatórias reais,
utilizando funções reais crescentes. Esta noção depende, portanto, da estrutura de ordem dos reais, o que
torna sua generalização a espaços mais abstractos delicada.
Antes de apresentar alguns exemplos, vejamos uma simplificação desta definição à custa do Lema de
Hoeffding (1). De facto, dadas duas funções f e g, podemos escrever

 


Cov f (X1 , . . . , Xn ), g(X1 , . . . , Xn ) =
Cov I{f (X1 ,...,Xn )>s} , I{g(X1 ,...,Xn )>t} ds dt,
onde IA representa a função indicatriz do conjunto A. Note-se que, para s e t fixos, γs (X1 , . . . , Xn ) =
I{f (X1 ,...,Xn )>s} e δt (X1 , . . . , Xn ) = I{g(X1 ,...,Xn )>t} são crescentes coordenada a coordenada.
Teorema 2.4 X1 , . . . , Xn são associadas se e só se, para todas as funções γ e δ crescentes coordenada a
coordenada e tomando valores em {0, 1},


Cov γ(X1 , . . . , Xn ), δ(X1 , . . . , Xn ) ≥ 0.
Utilizando esta caracterização podemos agora deduzir o seguinte resultado.
Proposição 2.5 Uma variável aleatória X é associada consigo mesma.
A verificação desta proposição recorre ao Teorema 2.4 e ao facto das funções reais nele consideradas serem da forma I[s,+∞) , pelo que duas destas funções são ordenáveis. Uma vez efectuada esta
observação, o resultado é imediato.
Caso pretendêssemos estender a noção definindo uma famı́lia de vectores aleatórios de dimensão k
associados deverı́amos considerar funções definidas em Rk ×· · ·×Rk crescentes em cada uma das suas
n coordenadas, isto é, crescentes enquanto função definida em Rk . Se o Teorema 2.4 continua válido, já
que apenas depende da representação integral da covariância, a forma das funções crescentes não permite
a sua ordenação completa não se podendo, portanto, repetir a argumentação anterior. Isto é, um vector
aleatório não é necessariamente associado consigo mesmo.
Decorrem agora da Proposição 2.5 as propriedades seguintes.
Teorema 2.6 Se dois conjuntos de variáveis associadas são independentes um do outro, a sua união é
um conjunto de variáveis associadas.
Se as variáveis X1 , . . . , Xn são associadas e f1 , . . . , fk são funções reais definidas em Rn todas
crescentes (ou todas decrescentes), então as variáveis aleatórias f1 (X1 , . . . , Xn ), . . ., fk (X1 , . . . , Xn )
são associadas.
Estamos agora em condições de apresentar de forma mais simples alguns exemplos de variáveis
44
Boletim SPE
aleatórias associadas.
Se as variáveis X1 , . . . , Xn são associadas e f1 , . . . , fk são funções reais definidas em R todas
crescentes (ou todas decrescentes), então as variáveis aleatórias f1 (X1 , . . . , Xn ), . . ., fk (X1 , . . . , Xn )
são associadas.
Estamos agora em condições de apresentar de forma mais simples alguns exemplos de variáveis
aleatórias associadas.
Exemplo 2.7 Considerem-se variáveis aleatórias X2n , n ≥ 1, e fixe-se um natural m > 1. Definam-se Yi = max(Xi , . . . , Xi+m ). Como o conjunto Y1 , . . . , Yk é obtido por transformações crescentes de
X1 , . . . , Xk+m , segue-se que a famı́lia Yn , n ≥ 1, é associada.

Exemplo 2.8 Se considerarmos um modelo auto-regressivo Xn = ki=1 ci Xn−i em que os coeficientes
c1 , . . . , ck > 0, então a sucessão Xn , n ≥ 1, é associada.
Exemplo 2.9 Sejam X1 , . . . , Xn variáveis associadas e, para k = 1, . . . , n, Sk = X1 + · · · + Xk .
Atendendo ao teorema anterior segue-se que S1 , . . . , Sn são associadas. Analogamente, as estatı́sticas
de ordem X1:n , . . . , Xn:n são associadas. Para o justificar basta invocar o Teorema 2.6. (Note-se que isto
inclui o caso em que as variáveis iniciais são independentes.)
Um exemplo importante foi demonstrado em Pitt (1982).
Proposição 2.10 Seja X = (X1 , . . . , Xn ) um vector aleatório de dimensão n gaussiano. Se, para todos
os i, j = 1, . . . , n, Cov(Xi , Xj ) ≥ 0 então as variáveis X1 , . . . , Xn são associadas.
A demonstração exige uma caracterização alternativa de associação, reduzindo a famı́lia de funções
crescentes para as quais é necessário verificar (2) àquelas com derivadas parciais contı́nuas e limitadas.
Os exemplos anteriores exploram a segunda parte do Teorema 2.6. Este implica que sempre que
se operem transformações com o mesmo sentido de monotonia sobre variáveis independentes, obtemos
uma famı́lia de variáveis associadas. É, portanto, natural que este conceito de independência apareça em
modelos de fiabilidade ou análise de sobrevivência, como é explorado em Barlow, Proschan (1975).
Escolhendo convenientemente mais uma famı́lia de funções crescentes que caracteriza a associação,
mostra-se que esta forma de dependência é preservada pela convergência en distribuição.
Teorema 2.11 (Esary, Proschan, Walkup (1967)) Sejam, para cada k, Xk,1 , . . . , Xk,n variáveis associadas tais que o vector (Xk,1 , . . . , Xk,n ) converge em distribuição (quando k → +∞) para (X1 , . . . , Xn ).
Então as variáveis X1 , . . . , Xn são associadas.
Para terminar esta apresentação de resultados básicos, faz-se agora referência um pouco mais detalhada à questão da estrutura de ordem do espaço em que as variáveis tomam valores, já abordada após
a Proposição 2.5. Seja E um espaço métrico separável e completo no qual está definida uma estrutura
de ordem parcial “≤”. Um conjunto A ⊂ E diz-se crescente se sempre que x ∈ A e x ≤ y então
também y ∈ A. O espaço E diz-se totalmente ordenado se dados x, y ∈ E se tiver que x ≤ y ou y ≤ x.
Evidentemente, se E = Rn com a ordenação lexicográfica habitual, o espaço não é totalmente ordenado.
Consideremos variáveis aleatórias Xn que assumem valores em E. Para efectuar a extensão da noção de
associação necessitamos de definir o que se entende por função ou conjunto crescente em E.
Definição 2.12 Dado um espaço métrico separável e completo parcialmente ordenado,
1. uma variável aleatória com valores em E diz-se associada se, dados dois conjuntos crescentes
C1 , C2 ⊂ E, se tiver
P(X ∈ C1 ∩ C2 ) ≥ P(X ∈ C1 )P(X ∈ C2 );
2. uma sucessão de variáveis aleatórias Xk , k ≥ 1, com valores em E diz-se associada se, para todo
o n ∈ N, dados C1 , . . . , Cn ⊂ E crescentes, se tiver
P(X1 ∈ C1 , · · · , Xn ∈ Cn ) ≥ P(X1 ∈ C1 ) · · · P(Xn ∈ Cn ).
Como se vê, a estrutura de ordem do espaço E e forma de a estender ao produto cartesiano E n é essencial para a caracterização da associação. Pode-se agora mostrar que as propriedades básicas referidas
atrás, no que diz respeito à transformação por funções crescentes se mantêm válidas. Isto é, se efectuarmos transformações crescentes sobre variáveis associadas continuamos com uma famı́lia de variáveis
O uNot oentanto,
n o d há
e uma
2 0 0diferença
8
associadas.
fundamental no que respeita à extensão da Proposição 2.5. 45
Como se vê, a estrutura de ordem do espaço E e forma de a estender ao produto cartesiano E n é essencial para a caracterização da associação. Pode-se agora mostrar que as propriedades básicas referidas
atrás, no que diz respeito à transformação por funções crescentes se mantêm válidas. Isto é, se efectuarmos transformações crescentes sobre variáveis associadas continuamos com uma famı́lia de variáveis
associadas. No entanto, há uma diferença fundamental no que respeita à extensão da Proposição 2.5.
Proposição 2.13 (Lindqvist (1988)) Uma variável com valores num espaço métrico separável e completo parcialmente ordenado é associada consigo mesma
se e só se existe um subconjunto mensurável
3
totalmente ordenado A ∈ E tal que P(X ∈ A) = 1. Em particular, as variáveis aleatórias sobre E serão
associadas com elas próprias se e só se E for um espaço totalmente ordenado.
Este resultado de associação deixa claro o papel que tem a estrutura de ordenação na caracterização da
associação. Por exemplo, se alterarmos a representação de uma famı́lia de variáveis aleatórias, passando
por um espaço distinto do inicial, isso poderá ter consequências sobre a eventual associação da famı́lia
em estudo. Este comportamento não se observa ao manipular as noções de mistura. Um exemplo do que
se descreve acontece na utilização de processos pontuais.
Exemplo 2.14 Considere-se uma famı́lia de variáveis aleatórias X1 , . . . , Xn e definam-se as medidas de
Dirac δX1 , . . . , δXn (massas pontuais nos pontos definidos pelas variáveis aleatórias). Esta famı́lia de medidas de Dirac define um conjunto de variáveis aleatórias com valores no espaço do processos pontuais
discretos N = {µ medida sobre R : µ(A) ∈ N, A boreliano de R}. Este conjunto
 é evidentemente apenas parcialmente ordenado. Um elemento µ ∈ N é representável na forma µ = k δxk ,onde xk ∈ R não
são necessariamente distintos. Se designarmos por suporte de µ, supp(µ) = {x1 , . . . , xk , . . .} o conjunto
de pontos em que se concentram as massas pontuais, podemos definir µ1 ≤ µ2 ⇔ supp(µ1 ) ⊂ supp(µ2 )
(note-se que esta relação de ordem não tem em conta a grandeza da massas pontuais). Esta relação
de ordem é apenas parcial: não é possı́vel ordenar elementos de N cujos suportes não verifiquem uma
relação de inclusão. Assim, o facto da famı́lia de variáveis aleatórias reais X1 , . . . , Xn ser associada não
significa que a famı́lia de processos pontuais δX1 , . . . , δXn seja associada, e vice-versa.
Para mais resultados sobre as questões topológicas e de ordenação e suas influências na noção de
associação reenvia-se o leitor para Lindqvist (1988).
3
Associação e desigualdades
O estudo de resultados limites depende, normalmente, do estabelecimento de desigualdade adequadas
para o controlo de momentos de somas ou de desigualdades que permitam limitar alguma noção de
distância ao que observarı́amos no caso de estudarmos sucessões independentes. Esta última aproximação foi a utilizada para estabelecer versões do Teorema Limite Central, nas suas versões clássica e
funcional. As desigualdades sobre momentos de somas surgiram um pouco mais tarde e têm-se tornado mais populares nos últimos anos na caracterização de velocidades de convergência. As primeiras
desigualdades demonstradas diziam respeito a majorações de probabilidades de cauda, veja-se Esary,
Proschan, Walkup (1967) e Lebowitz (1972). A desigualdade mais importante para o estudo da convergência em distribuição controla a distância entre distribuições conjuntas e distribuições produto, que
corresponderiam ao caso independente.
Teorema 3.1 (Newman (1980)) Sejam X1 , . . . , Xn variáveis aleatórias independentes de quadrado integrável. Então, dados t1 , . . . , tn ∈ R,


n

 1



|tj tk | Cov(Xj , Xk ),
(3)
ϕXj (tj ) ≤
ϕ(X1 ,...,Xn ) (t1 , . . . , tn ) −

 2
j=1
j=k
onde ϕ representa a função caracterı́stica do vector ou variável em ı́ndice.
A demonstração deste resultado é surpreendentemente simples. Uma vez verificada para o caso de
duas variáveis, o que se reduz a uma integração por partes, uma argumentação por indução permite
obter a majoração enunciada. De acordo com (3), a estrutura de covariâncias descreve por completo o
comportamento de variáveis associadas, pelo menos no que à convergência em distribuição diz respeito.
46
B o l e tcomo
i m So Papresentado
E
Esta desigualdade está na base de resultados do tipo Teorema Limite Central,
no
onde ϕ representa a função caracterı́stica do vector ou variável em ı́ndice.
A demonstração deste resultado é surpreendentemente simples. Uma vez verificada para o caso de
duas variáveis, o que se reduz a uma integração por partes, uma argumentação por indução permite
obter a majoração enunciada. De acordo com (3), a estrutura de covariâncias descreve por completo o
comportamento de variáveis associadas, pelo menos no que à convergência em distribuição diz respeito.
Esta desigualdade está na base de resultados do tipo Teorema Limite Central, como o apresentado no
Teorema 4.1.
Só em Birkel (1988) aparecem as primeiras desigualdades para momentos de somas de variáveis
associadas. Assume agora um papel central o controlo de
4
u(n) =
Cov(Xj , Xk ).
j:|k−j|≥n
Teorema 3.2 (Birkel (1988)) Sejam Xn , n ≥ 1, variáveis aleatórias centradas e associadas. Designemos
por Sn = X1 + · · · + Xn . Se supn≥1 E(|Xn |s ) < +∞, s > 2 e u(n) = O(n−ρ ), ρ > 0, então existe
r ∈ (2, s) tal que supm≥0 E(|Sm+n − Sm |r ) ≤ Bnr/2 , onde B é independente de n.
Esta desigualdade do tipo Rosenthal foi estendida em Shao, Yu (1996), aligeirando as hipóteses, nomeadamente sobre a velocidade de convergência de u(n). O seu enunciado é complexo e um pouco
técnico, pelo que não o incluiremos neste texto. A condição sobre u(n) significa que os termos da
matriz de covariâncias que estão longe da diagonal principal são negligenciáveis. O controlo adequado
do decrescimento de u(n) tornou-se num instrumento comum no estudo de resultados limites.
Importantes para o estudo das velocidades de convergência em leis dos grandes números, que permitem o tratamento da convergência de estimadores estatı́sticos, por exemplo, são as desigualdades
maximais e as exponenciais do tipo Bernstein. A não negatividade das covariâncias permite utilizar um
argumento simples de indução para mostrar uma desigualdade maximal de ordem 2.
Teorema 3.3 (Newman, Wright (1981)) Sejam Xn , n ≥ 1, variáveis aleatórias centradas, de quadrado
integrável e associadas. Designemos Sn = X1 + · · · + Xn e Mn = max(S1 , . . . , Sn ). Então E(Mn2 ) ≤
Var(Sn ) = E(Sn2 ). Em consequência
2
Var(Sn ) .
ε2
Isto é, a desigualdade de Kolmogorov para variáveis independentes continua válida, a menos do factor
2. A extensão a desigualdades maximais de ordem superior, tentando a analogia ao caso independente,
não parece simples. De facto, o argumento indutivo utilizado na decomposição das variâncias deixa
de funcionar já que faz aparecer momentos de todas as ordens inferiores e, em particular as de ordem
par não são controláveis, à custa da associação, já que não definem funções crescentes das variáveis
originais.
Foi necessário esperar até Ioannides, Roussas (1999) para que fosse provada uma desigualdade do
tipo Bernstein. Esta versão assumia que as variáveis eram estacionárias e uniformemente limitadas
e utilizava na demonstração um argumento indutivo para analisar momentos exponenciais das somas
parciais. A limitação das variáveis era justificada pelo contexto em que a questão era analisada, já
que se tratava do estudo de estimadores do tipo núcleo em que as expressões intervenientes eram, de
facto, uniformemente limitadas. A extensão ao caso geral, sob estacionaridade, foi demonstrada em
Oliveira (2005), simplificando ainda a técnica de demonstração ao substituir o argumento indutivo pela
utilização de uma variante da desigualdade (3).
P (max(|S1 | , . . . , |Sn |) ≥ ε) ≤
Teorema 3.4 (Oliveira (2005)) Sejam Xn , n ≥ 1, variáveis centradas, estritamente estacionárias e associadas tais que, para algum α > 0,

1/2  
∞
αn log n
log n
exp
Cov(X1 , Xj ) ≤ C0 < ∞,
(4)
pn c2n
2pn
j=p +2
n
onde pn <
n
2
e cn convergem para +∞. Suponhamos que


√ αpn log n 1/2
cn ,
εn = 9 2
n
e que existe δ > α tal que sup|t|≤δ E(etX1 ) ≤ Mδ < +∞. Então, para n suficientemente grande,
O 
u t o nn o d e 2 0 0 8
 




2
47
√
εn = 9 2

αpn log n
n
1/2
cn ,
e que existe δ > α tal que sup|t|≤δ E(etX1 ) ≤ Mδ < +∞. Então, para n suficientemente grande,

 n
 

 1 

4
2Mδ n2


P 
Xi − E(Xi )  > ε ≤ 2(1 + C0 ) + 3
exp (−α log n) .
3
n

α
9α
p
log
n
n
i=1
(5)
As condições do tipo (4) são, para variáveis estacionárias, equivalentes às condições sobre u(n) já
referidas atrás. Portanto, o essencial continua a ser5 um controlo adequado sobre o decrescimento das
covariâncias. É de realçar que (4) impõe um decrescimento rápido das covariâncias já que são estas que
têm que compensar o crescimento deo termo exponencial que aparece como factor.
4
Convergência em distribuição
O primeiro Teorema Limite Central para variáveis associadas demonstra-se utilizando a desigualdade
(3), comparando com o que acontece no caso de variáveis independentes.
Teorema 4.1 (Newman (1980)) Sejam Xn , n ≥ 1, variáveis aleatórias centradas de quadrado integrável
associadas e estritamente estacionárias tais que
2
σ = Var(X1 ) + 2
∞

Cov(X1 , Xj ) < +∞.
j=2
Então
1
√
σ n
n
j=1
Xj converge em distribuição para uma variável com distribuição N (0, 1).
Este resultado foi estendido por Cox, Grimmett (1984) para variáveis com momentos de ordem 3 finitos,
deixando cair a estacionaridade estrita, e impondo u(n) −→ 0. Em Birkel (1993) encontramos versões
do Teorema Limite Central assumindo apenas a existência de momentos de ordem 2 e, em Oliveira,
Suquet (1996), o controlo das covariâncias é um pouco mais flexı́vel, permitindo a existência de algumas
covariâncias significativamente grandes perto da diagonal principal (o enunciado é demasiado técnico
para caber neste artigo).
Estes resultados têm sempre versões funcionais, essencialmente sob as mesmas condições, que podem ser encontrados em Newman, Wright (1981) ou Birkel (1993).
No que respeita à velocidade de convergência para o Teorema Limite Central, o primeiro resultado
do tipo Berry-Esséen, majorando uniformemente a distância entre as funções de distribuição, foi demonstrado em Wood (1983) assumindo a estacionaridade da sucessão. A expressão para a velocidade é
complicada, mas sempre mais lenta do que n1/5 . Esta velocidade é provada adaptando a demonstração
clássica de Berry-Esséen. Um controlo mais preciso do decrescimento de u(n) permite obter uma melhor
velocidade de convergência.
Teorema 4.2 (Birkel (1988)) Sejam Xn , n ≥ 1, variáveis centradas e associadas, Sn = X1 + · · · + Xn
e σn2 = E(Sn2 ). Suponhamos que
−λn
u(n) = O(e
), λ > 0,
σn2
> 0,
inf
n≥1 n
sup E(|Xn |3 ) < ∞.
n≥1
Então existe uma constante B, independente de n ≥ 1, tal que
 




1 2

sup P
Sn ≤ x − Φ(x) ≤ Bn−1/2 log2 n,
σn
x∈R
onde Φ representa a função de distribuição de uma variável com distribuição N (0, 1).
A demonstração baseia-se numa variante da desigualdade (3) que permite uma adaptação da técnica
habitual para provar a desigualdade de Berry-Esséen. No mesmo artigo se mostra que podemos substituir
o termo log2 n por log n no majorante, caso existam momentos de ordem superior a 3. Noutra direcção,
Suquet (1995) obtém um majorante substituindo a distância uniforme por uma distância do tipo L2 entre
as funções de distribuição.
48
Boletim SPE
A demonstração baseia-se numa variante da desigualdade (3) que permite uma adaptação da técnica
habitual para provar a desigualdade de Berry-Esséen. No mesmo artigo se mostra que podemos substituir
o termo log2 n por log n no majorante, caso existam momentos de ordem superior a 3. Noutra direcção,
Suquet (1995) obtém um majorante substituindo a distância uniforme por uma distância do tipo L2 entre
as funções de distribuição.
5
Processos empı́ricos
Dada uma sucessão de variáveis aleatórias associadas e com distribuição uniforme no intervalo [0, 1],
tem interesse estatı́stico o comportamento da sucessão
6 de funções
 n

√
1
ξn (t) = n
I[Xi ,1] (t) − t ,
t ∈ [0, 1].
n i=1
Como é bem sabido, basta estudar estas funções para variáveis uniformes, já que o caso geral se obtém
por transformação pela função de distribuição das variáveis. O comportamento limite destas funções
intervém na caracterização assimptótica de testes de hipóteses, daı́ a motivação estatı́stica para o estudo.
A convergência em distribuição desta sucessão sob a hipótese de associação aparece em Yu (1993).
Teorema 5.1 (Yu (1993)) Sejam Xn , n ≥ 1 variáveis com distribuição uniforme em [0, 1], estacionárias
e associadas, tais que para algum a > 0,
+∞

13
n 2 +a Cov(X1 , Xn ) < +∞
(6)
n=2
então a sucessão ξn converge em distribuição no espaço D(0, 1), das funções contı́nuas à direita e com
limites à esquerda, para um processo gaussiano centrado e com covariância
Γ(s, t) = s ∧ t − st + 2
+∞ 

k=2

P(X1 ≤ s, Xk ≤ t) − st .
O interesse nesta convergência provém das transformações que é possı́vel operar, mantendo a convergência em distribuição. De facto, a topologia habitual em D[0, 1] é suficientemente forte para tornar
contı́nuas uma famı́lia de operadores bastante alargada, contendo, por exemplo, transformações como
supt∈[0,1] ξn (t) (veja-se Billingsley (1968)), utilizadas em alguns testes de hipóteses não paramétricos.
A velocidade de decrescimento das covariâncias exigida pelo resultado anterior é grande. De facto, tem
que acontecer que Cov(X1 , Xn ) = O(n−r ), com r > 7.5. Como habitualmente no espaço D[0, 1] a
maior parte do esforço é passada a mostrar a compacidade da sucessão por forma a garantir a existência
do limite. Este resultado foi sucessivamente melhorado, baixando a velocidade de decrescimento exigida
às covariâncias para Cov(X1 , Xn ) = O(n−r ), com r > 4, em Louhichi (2000).
Tendo em atenção que vários dos referidos testes não necessitam da transformações contı́nuas num
espaço com topologia tão forte, a convergência do processo empı́rico foi estudada nos espaços Lp [0, 1].
Por exemplo, os testes de Anderson-Darling apenas necessitam da convergência do processo empı́rico
relativamente à topologia do espaço L2 . Como seria de esperar, a caracterização da compacidade da
sucessão fica substancialmente facilitada.
Teorema 5.2 (Oliveira, Suquet (1998)) Nas condições do Teorema 5.1 o processo empı́rico converge
em distribuição no espaço Lp [0, 1] desde que Cov(X1 , Xn ) = 0(n−r ), com r > 3p
.
2
Nota-se nas condições para a convergência do processo empı́rico uma maior exigência quanto ao
decrescimento das covariâncias relativamente às condições para a resultados do tipo limite central. Uma
boa parte da explicação para esta diferença deve-se à necessidade de, no estudo do processo empı́rico,
controlar covariâncias entre variáveis do tipo I{Xn ≤s} . A tradução deste controlo para covariâncias entre
as variáveis originais faz-se à custa da desigualdade seguinte, válida para variáveis associadas (veja-se
Roussas (1995) para os detalhes)


Cov I{X0 ≤s} , I{Xn ≤t} ≤ BCov1/3 (X0 , Xn ).
Outono de 2008
49
controlar covariâncias entre variáveis do tipo I{Xn ≤s} . A tradução deste controlo para covariâncias entre
as variáveis originais faz-se à custa da desigualdade seguinte, válida para variáveis associadas (veja-se
Roussas (1995) para os detalhes)


Cov I{X0 ≤s} , I{Xn ≤t} ≤ BCov1/3 (X0 , Xn ).
6
Leis dos grandes números
7
Os primeiros resultados do tipo leis dos grandes números aparecem em Newman (1984) e Birkel (1998a).
Teorema 6.1 A lei forte dos grandes números é válida se

• (Newman (1984)) as variáveis são associadas, estacionárias e n1 ni=1 Cov(X1 , Xn ) −→ 0;

1
• (Birkel (1988a)) as variáveis são associadas e ∞
i=1 n2 Cov(Xn , Sn ) < ∞.
As demonstrações utilizam o controlo das covariâncias através de u(n), definido atrás, ou utilizando
desigualdades para momentos de somas de variáveis no caso de Birkel (1988a). As abordagens não
permitem contudo caracterizações de velocidades de convergência.
Só com o aparecimento de desigualdades exponenciais para variáveis associadas se obtiveram as
primeiras caracterizações de velocidades de convergência em leis dos grandes números. Estas passam
pela condição (4) o que obriga a decrescimento geométrico das covariâncias.
Teorema 6.2 (Ioannides, Roussas (1999)) Sejam Xn , n ≥ 1, variáveis aleatórias limitadas, centradas
e associadas tais que Cov(X1 , Xn ) = ρ0 ρn , onde ρ0 > 0 e ρ ∈ (0, 1). Então n1 (X1 + · · · + Xn ) −→ 0
2/3
quase certamente com velocidade de convergência de ordem logn1/3 n .
Este resultado é uma consequência directa da versão do Teorema 3.4 provada em Ioannides, Roussas (1999). Neste mesmo artigo se mostra que caso Cov(X1 , Xn ) = c0 n−a , com a > 0, então utilizando
(4) não é possı́vel deduzir uma velocidade de convergência para a lei dos grandes números. No caso
de decrescimento geométrico, a velocidade foi sendo melhorada, à custa da utilização de versões optimizadas para o efeito das desigualdades exponenciais, como em Sung (2007), até obter a velocidade
2
log2 n (loglog n)1/2
n
em Xing, Yang (2008) e log
em Henriques, Oliveira (2008).
n1/2
n1/2
Mais recentemente obtiveram-se caracterizações para as velocidades de convergência utilizando desigualdades maximais.
Teorema 6.3 Sejam Xn , n ≥ 1, variáveis centradas, e associadas.
• (Yang,
Su, Yu (2008)) Suponhamos que as variáveis aleatórias são de quadrado integrável e
∞ 1/2
u
(2i ) < ∞, então n1 (X1 + · · · + Xn ) −→ 0 com velocidade de convergência da ordem
i=1
log1/2 n (loglog n)δ/2
,
n1/2
onde δ > 1.
• (Henriques, Oliveira (2008)) Suponhamos que as variáveis aleatórias são estacionárias, E(X1r ) <
∞, para algum r > 4, u(n) ≤ c n−1 e E(Xi Xj |σ(X1 , . . . , Xi )) ≥ 0, para todos os i < j. Então
1/4+δ
1
(X1 + · · · + Xn ) −→ 0 com velocidade de convergência da ordem (lognn)1/2 , onde δ > 0.
n
A segunda velocidade de convergência é ligeiramente melhor que a primeira, embora à custa de condições
um pouco mais restritivas. A condição sobre as esperanças condicionais pode ser interpretada como uma
espécie de dependência positiva condicional. Vale a pena referir que os modelos introduzidos no Exemplo 2.7 satisfazem esta condição. A primeira destas velocidades de convergência é menos exigente e
parece ter sido o primeiro resultado deste tipo baseado em desigualdades maximais.
Referências
[1] Barlow, R., Proschan, F. (1975). Statistical Theory of Reliability and Life Testing: Probability
Models. Holt, Rinehart and Winston, New York.
[2] Billingsley, P. (1968). Convergence of probability measures. John Wiley & Sons, Inc., New York50 London-Sydney.
Boletim SPE
[1] Barlow, R., Proschan, F. (1975). Statistical Theory of Reliability and Life Testing: Probability
Models. Holt, Rinehart and Winston, New York.
[2] Billingsley, P. (1968). Convergence of probability measures. John Wiley & Sons, Inc., New YorkLondon-Sydney.
[3] Birkel, T. (1988). On the Convergence Rate in the Central Limit Theorem for Associated Processes.
Ann. Probab. 16, 1685–1698.
[4] Birkel, T. (1988a). A note on the strong law 8of large numbers for positively dependent random
variables, Statist. Probab. Lett. 7, 17-20.
[5] Birkel, T. (1993). A functional central limit theorem for positively dependent random variables. J.
Multivariate Anal. 44, 314–320.
[6] Cox, J., Grimmett, G. (1984). Central Limit Theorems for Associated Random Variables and the
Percolation Model. Ann. Probab. 12, 514–528.
[7] Esary, J., Proschan, F., Walkup, D. (1967). Association of random variables with applications. Ann.
Math. Statist. 38, 1466–1474.
[8] Evans, S. (1990). Association and random measures. Probab. Theory Related Fields 86, 1–19.
[9] Fortuin, C., Kasteleyn, P., Ginibre, J. (1971). Correlation inqualities on some partially ordered sets.
Comm. Math. Phys. 22, 89–103.
[10] Henriques, C., Oliveira, P. (2008). Convergence rates for the Strong Law of Large Numbers under
Association. Pré-Publicações do Dep. Matemática Univ. Coimbra 08-14.
[11] Ioannides, D., Roussas, G. (1999). Exponential inequality for associated random variables. Statist.
Probab. Lett. 42, 423–431.
[12] Lehman, E. (1966). Some concepts of dependence. Ann. Math. Statist. 37, 1137–1153.
[13] Lindqvist, B. (1988). Association of probability measures on partially ordered spaces. J. Multivariate Anal. 26, 111–132.
[14] Louhichi, S. (2000). Weak convergence for empirical processes of associated sequences. Ann. Inst.
H. Poincaré Probab. Statist. 36, 547–567.
[15] Newman, C. (1980). Normal fluctuations and the FKG inequalities. Comm. Math. Phys. 74, 119–
128.
[16] Newman, C. (1984). Asymptotic independence and limit theorems for positively and negatively
dependent random variables. In: Tong, Y. (ed.), Inequalities in Statistics and Probability, IMS
Lecture Notes - Monograph Series vol. 5, 127–140.
[17] Newman, C. Wright, A. (1981). An invariance principle for certain dependent sequences. Ann.
Probab. 9, 671–675.
[18] Oliveira, P. (2005). An exponential inequality for associated variables, Statist. Probab. Lett. 73,
189–197.
[19] Oliveira, P., Suquet, C. (1996). An L2 [0, 1] invariance principle for LPQD random variables. Portugal. Math. 53, 367–379.
[20] Oliveira, P., Suquet, C. (1998). Weak convergence in Lp (0, 1) of the uniform empirical process
under dependence. Statist. Probab. Lett. 39, 363–370
[21] Pitt, L. (1982). Positively correlated normal variables are associated. Ann. Probab. 10, 496–499.
[22] Roussas, G. (1995). Asymptotic normality of a smooth estimate of a random field distribution
function under association, Statist. Probab. Letters 24, 77-90.
51
[23] Shao,
O uQ.,
t oYu,
n oH.d(1996).
e 2 0 0Weak
8 convergence for weighted empirical processes of dependent se-
under dependence. Statist. Probab. Lett. 39, 363–370
[21] Pitt, L. (1982). Positively correlated normal variables are associated. Ann. Probab. 10, 496–499.
[22] Roussas, G. (1995). Asymptotic normality of a smooth estimate of a random field distribution
function under association, Statist. Probab. Letters 24, 77-90.
[23] Shao, Q., Yu, H. (1996). Weak convergence for weighted empirical processes of dependent sequences. Ann. Probab. 24, 2098–2127.
[24] Suquet, C. (1995). Distances euclidiennes sur les mesures signées et application à des théorèmes
de Berry-Esséen. Bull. Belg. Math. Soc. Simon Stevin 2, 161–181.
[25] Sung, S.H. (2007), A note on the exponential9inequality for associated random variables, Statist.
Probab. Letters 77, 1730–1736.
[26] Wood, T. (1983). A Berry-Esséen theorem for associated variables. Ann. Probab. 11, 1042–1047.
[27] Xing, G., Yang, S. (2008). Exponential inequalities for positively associated random variables and
application, J. Inequal. Appl.
[28] Yang, S., Su, C., Yu, K. (2007). A general method to the strong law of large numbers and its
applications. Statist. Probab. Letters 78, 794–803, doi:10.1016/j.spl.2007.09.046.
[29] Yu, H. (1993). A Glivenko-Cantelli lemma and weak convergence for empirical processes of associated sequences. Probab. Theory Relat. Fields 95, 357–370.
52
Boletim SPE
Processos
estocásticos
em dinâmica
de estruturas
de
Processos
estocásticos
em dinâmica
de estruturas
de engenharia
engenharia
Paula Milheiro Oliveira, [email protected]
CEC, Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto
1
Introdução
Em estudos sobre o comportamento dinâmico de estruturas na engenharia civil e mecânica, considera-se habitualmente fontes de aleatoriedade ou incerteza, que se repartem em 3 tipos: (a) a aleatoridade
devida a causas naturais ou operacionais; (b) a incerteza sobre as propriedades mecânicas dos materiais
utilizados na construção; (c) as incertezas sobre os modelos matemáticos adoptados quer para a resposta
da estrutura quer para a resistência dos mecanismos estruturais.
Para produzir conhecimento de modo a reduzir a variabilidade que resulta destas incertezas são
realizadas simulações e, sobretudo, testes sobre as próprias estruturas ou modelos físicos (à escala reduzida) destas estruturas.
Os testes que se realizam para estudar o comportamento de uma estrutura podem ser de vários
tipos. Os testes em que se simulam condições várias de funcionamento real envolvem a reprodução
de meios aleatórios, nomeadamente acções de ventos, cargas devidas ao movimento dos veículos no
caso das pontes ou do funcionamento de máquinas pesadas no caso de instalações industriais e, nomeadamente, a acção de sismos, entre outras acções. Podemos distinguir dois tipos de acções: acções de
natureza ambiental (como o vento, a temperatura, a humidade, os sismos, as ondas do mar) e acções de
natureza operacional (como as cargas a que estão sujeitas). É aqui que aparecem de imediato os primeiros processos estocásticos, logo à entrada. Na teoria de sistemas diríamos que são o input do sistema.
No contexto da engenharia de estruturas preferem chamar-lhes excitação. Na sua forma mais simples
estes processos podem surgir como ruído branco gaussiano. Significa isto, portanto, que um dos testes
a que se sujeita uma estrutura, quando se pretende estudar a sua dinâmica, é um teste em que se simula
uma excitação de entrada segundo um ruído branco gaussiano. Este teste, muitas vezes realizado em
laboratório sobre modelos físicos, permite observar e avaliar respostas da estrutura e algo que interessa
especialmente aos engenheiros de estruturas, que é estimar parâmetros que descrevem a estrutura. São
exemplo destes parâmetros os chamados modos de vibração, que não são mais do que transformações
dos parâmetros do modelo matemático que descreve o comportamento dinâmico da estrutura. Um dos
aspectos que interessa também ao engenheiro de estruturas é a análise de indicadores de degradação da
estrutura.
Podemos distinguir vários tópicos que nos permitem clarificar áreas de conhecimento e áreas de
trabalho para quem pretende investigar ou simplesmente articular saberes, a um nível avançado, no
campo da dinâmica de estruturas: é, primeiro que tudo, necessário conhecer ou desenvolver modelos
de excitação e de resposta adequados à situação concreta em estudo; é necessário conhecer e adaptar
métodos existentes de simulação da resposta; é necessário ser capaz de aplicar, e sobretudo desenvolver,
métodos de estimação de parâmetros e de estado e, finalmente, podemos ainda encontrar-nos perante
problemas de controlo da estrutura, para os quais é necessário explorar técnicas de controlo estocástico.
2
Modelos para a excitação
Pode dizer-se que acções como o vento, os sismos ou as ondas do mar são duplamente aleatórios, no
sentido em que a sua ocorrência é estocástica no tempo mas também as trajectórias que caracterizam
Outono de 2008
53
Figura 1: Registo do terramoto El Centro (Imperial Valley, EUA, costa do Pacífico). A aceleração foi
medida na base do edifício El Centro Terminal Substation e está representada em cm/s2 .
estas acções exibem padrões aleatórios. Acções como a temperatura, a humidade ou as cargas a que a
estrutura está sujeita na sua operação são mais naturalmente vistas como processos contínuos no tempo.
Ao longo das últimas décadas, estas acções têm vindo a ser examinadas na engenharia estrutural
sobretudo do ponto de vista estocástico. Naturalmente que encontramos quer processos estocásticos
estacionários quer não estacionários, talvez com uma maior predominância destes últimos. Os registos
sísmicos, por exemplo, permitem-nos dizer que as acções sísmicas são processos estocásticos hoje reconhecidos como fortemente não estacionários (e.g. Figura 1), devido a diferenças entre frequências e
tempos de chegada das suas ondas componentes. Podem ser modelados de duas formas distintas: (a)
processos estocásticos não estacionários unicamente em amplitude (resultam da transformação de um
processo estacionário através de uma função determinística do tempo, na prática estimada com base
nos registos sísmicos); (b) processos estocásticos com uma densidade espectral de potência evolutiva
(como resultado de diferentes velocidades e energias das diversas ondas que compõem o movimento e
de múltiplas reflecções, refracções e difracções).
No primeiro caso, temos modelos da forma:
At = ξ(t)Mt
onde At representa a aceleração do solo no instante t, ξ(t) é a função de modelação (determinística) e
{Mt }t é um processo estocástico gaussiano estacionário. São muito usados os modelos de Shinozuka–
–Sato (1967), em que ξ(t) é da forma
1
ξ(t) = (e−at − e−bt ) ,
c
Aming–Ang (1966):
54



t
t1
,
t ≤ t1
ξ(t) =
1,
t1 ≤ t ≤ t2 ,

 e−c(t−t2 ) , t ≤ t
2
Boletim SPE
e Yeh–Wen (1990):
ξ(t) =
�
at −b e−ct
,
d + th
em que a, b, c, d, h, t1 e t2 são parâmetros, cujos valores são atribuidos com base em argumentos de
natureza física ou em registos, perante cada situação concreta.
No segundo caso, temos modelos muito variados, dos quais destacamos o modelo de Yeh–Wen
(1990):
At = ξ(t)Mk(t) ,
n(t)
agora com k(t) = ṅ(t
, onde n(t) é uma função polinomial que pretende representar a acumulação de
s)
passagens por 0 no registo sísmico e ts o instante em que as fortes movimentações do solo ocorrem
(Figura 2). Outros modelos podem ser encontrados em Priestley (1981), Grigoriu et al. (1988), Spanos
et al. (1992), Fan–Ahmadi (1990), Kameda–Nojima (1988), Faravelli (1988) e Carli (1992, 1995), entre
outros.
Figura 2: Registo do terramoto de 1971 na Baía de São Francisco (EUA). A aceleração foi medida em
San Fernando e está representada em cm/s2 .
3
Modelos para a resposta
A dinâmica de uma estrutura com comportamento linear e N graus de liberdade1 , pode ser modelada
pelo seguinte sistema diferencial estocástico no sentido de Ito (Clough e Penzien, 1993):
�
(1)
(2)
dxt
= xt dt
,
(1)
(2)
(2)
(1)
dxt
= M −1 (−Cxt − Kxt )dt + M −1 dWt
(1)
(2)
em que xt e xt são vectores de deslocamento e velocidade, respectivamente, M é a matriz de massa
da estrutura, C a sua matriz de amortecimento viscoso, K a sua matriz de rigidez e {Wt }t é o processo
estocático que modela a excitação externa a que está sujeita a estrutura.
No entanto, nem todas as estruturas apresentam um comportamento linear, encontrando-se por
exemplo modelos da forma (Wen, 1973):
 (1)
(2)

dx
= xt dt�

�
 t(2)
(2)
(1)
dxt
= M −1 −Cxt − αKxt − (1 − α)Kzt dt + M −1 dWt ,
(2)
�
�


 dz = Ax(2) − β|x(2) | |z |n−1 z − γ x(2) |z |n dt
t
t
t
t
t
t
t
1 Se
se tratar da estrutura muito elementar como uma estrutura porticada, os N graus de liberdade corresponderão a N
pisos. Em estruturas mais complexas como edifícios, cada piso, só por si, corresponderá a vários graus de liberdade.
Outono de 2008
55
em que {zt }t é um processo estocástico habitualmente designado por componente histerética do sistema,
α é um coeficiente relacionado com a rigidez pós-cedência e A , n , β e γ são parâmetros que caracterizam
o tamanho e forma dos ciclos de histeresis, que são estocásticos.
Nos modelos (1) e (2) o tempo é considerado como contínuo. No entanto as medições da resposta
da estrutura são de facto obtidas em instantes discretos. Pode haver conveniência em que o modelo da
estrutura seja também descrito em tempo discreto. Os defensores desta abordagem usam modelos em
espaço de estados e por vezes modelos ARMA, que provêm de uma formulação prévia da dinâmica da
estrutura via Elementos Finitos (ver, por exemplo, Peeters–Ventura, 2003). Um exemplo desta abordagem consiste no modelo seguinte, que respeita a uma estrutura em mastro (Figura 3):
Xk = FXk−1 + GUk .
(3)
Figura 3: Exemplo de uma estrutura em mastro.
A estrutura é composta por 9 nós ligados por barras, dos quais os 3 primeiros estão ligados ao solo,
e sofre o efeito de uma acção aleatória, representada pelo processos estocástico {Uk }k , em todos os
seus nós, quer na direcção horizontal quer na vertical, de forma independente. F é uma matriz 18 × 18
construída a partir das matrizes de massa, de amortecimento e de rigidez. G é uma matriz construída a
partir da matriz de massa, de uma matriz 18 × 12 consistindo de zeros e uns nas posições apropriadas
e de uma matriz nula. {Xk }k é um processo estocástico vectorial de dimensão 18, cujas coordenadas
representam deslocamentos e velocidades no instante tk . Nos modelos ARMA são as acelerações nos
nós da estrutura que são modeladas.
É muito comum encontrarmos aplicações práticas em que a dimensão dos processos estocásticos
envolvidos é elevada, colocando-nos perante problemas computacionais consideráveis.
4
Simulação da excitação e da resposta
Os métodos de simulação da resposta são muitas vezes usados para análise da estrutura, uma vez que a
simulação de um grande número de trajectórias no tempo permite efectuar resumos, com valor estatístico,
úteis para o engenheiro.
Dependendo do tipo de modelo adoptado para a excitação e para a dinâmica da estrutura encontramos métodos adequados à simulação da excitação e da resposta. Sempre que se parte de um
modelo em tempo contínuo há, naturalmente, que o discretizar primeiro. É assim que aparecem métodos já nossos conhecidos da discretização de equações diferenciais estocásticas a serem usados neste
56
Boletim SPE
contexto, como por exemplo, os esquemas de Euler, Milshtein e Runge-Kutta estocástico (Milstein,
1995; Kloeden–Platen, 1999; Tocino–Ardanuy, 2002) mas aparecem também novos métodos, como o
esquema de Newmark estocástico (Roy–Dash, 2005; Zhang et al., 1999), que explora particularidades
dos processos estocásticos envolvidos na modelação da estrutura vibratória, procurando fazer intervir
no procedimento de discretização parâmetros com significado físico, que são cuidadosamente calibrados
segundo a aplicação a que se destinam.
5
Estimação de parâmetros
No caso das estruturas com comportamento linear, são de particular importância para os engenheiros de
estruturas os chamados parâmetros modais. Nestes casos admite-se que a estrutura está sujeita a uma
excitação do tipo ruído branco, da qual não se observa a trajectória. No exemplo de uma torre como
a estrutura citada na Secção 3 (equação (3) e Figura 3), os parâmetros modais são alguns dos valores
próprios da matriz F, matriz esta que é desconhecida e que teremos de estimar.
Mais uma vez, dependendo do tipo de modelo adoptado para a dinâmica da estrutura, teremos
diferentes métodos de estimação. São muito populares, pela qualidade que demonstraram em aplicações
práticas, os chamados métodos de sub-espaço (Van Overschee–De Moor, 1996; Ljung, 1999).
De entre os métodos baseados no espectro da resposta destaca-se o método Peak-Picking, pela
sua simplicidade (Bendat–Piersol, 1993). A ideia chave deste método reside na estimação das frequências próprias da estrutura (valores próprios da matriz de deriva na equação (1)) através dos picos da
representação espectral.
O Método de Máxima Verosimilhança tem também sido usado para estimar parâmetros de modelos
no domínio da frequência (Guillaume et al., 1998).
6
Estimação de estado
Este problema está de facto, muitas vezes, relacionado com o anterior, uma vez que alguns dos métodos
de estimação de parâmetros incorporam uma fase de estimação de estado.
Na formulação de problemas de estimação do estado de uma estrutura, ou da resposta de uma
estrutura, ao modelo de dinâmica da estrutura, do tipo dos apresentados na Secção 3, é acrescentado um
modelo para as observações obtidas dos sensores:
yk = DXk + vk ,
onde D é uma matriz que especifica a localização dos sensores e {vk }k é um processo estocástico que
representa o ruído de medição (ou erro de medida). Embora seja menos comum2 , o modelo das observações também pode ser escrito em tempo contínuo:
dYt = DXt + dVt
e podemos, embora mais raramente, encontrar-nos perante modelos de observação não lineares.
A estimação do estado, Xk (ou Xtk , nos modelos contínuos), faz-se sobre a σ-álgebra das observações até ao instante tk , da qual dispomos de uma trajectória, resultante da recolha das observações dos
sensores ao longo do tempo.
O problema de estimação de estado pode ser resolvido de forma óptima pelo Filtro de Kalman,
se o modelo for linear, e de forma sub-óptima, sob determinadas condições, pelo Filtro de Kalman
2 Também
porque será menos realista.
Outono de 2008
57
Estendido (EKF), se o modelo for não linear (Ljung, 1999). Outros métodos aproximados como o Filtro
de Partículas (Ching et al., 2006; Tang–Sato, 2005) podem ser também usados, com vantagens em termos
computacionais e com menos restrições do que o EKF.
7
Controlo da estrutura
Os problemas de controlo da estrutura são talvez aqueles em que o investimento do esforço de investigação é mais recente. Porque as excitações a que uma estrutura está habitualmente sujeita no meio em
que está inserida se comportam como processos estocásticos, o controlo terá de ter em conta um comportamento estocástico, devendo por isso ser entendido como um controlo estocástico também. Quando
falamos em controlo estocástico estamos a falar em acções (processos estocásticos) que são provocadas
pelo controlador (equipamento de controlo), ao longo do tempo, para levar a estrutura a um determinado estado desejado, geralmente um estado que garante estabilidade e outras condições optimizadas de
funcionamento (ver, por exemplo, Ikhouane–Rodellar, 2007).
8
Comentários finais
Em muitos domínios, modelos estocásticos representando uma dinâmica complexa são necessários para
descrever processos que se desenvolvem no tempo de forma aleatória, exibindo interacções no tempo
que se tornam fundamentais para um verdadeiro conhecimento do fenómeno em estudo e algumas vezes apresentando ainda interacções com outros processos. Muitas vezes a premência do estudo vem
da necessidade de adequirir alguma previsibilidade sobre o comportamento do sistema. Exemplos concretos de processos estocásticos deste tipo encontram-se na dinâmica das estruturas da engenharia da
construção (ver, por exemplo, Muscolino, 2001).
As elevadas velocidades permitidas pelos computadores dos nossos dias não fizeram mais do que
tornar o uso de modelos estocásticos bastante sofisticados cada vez mais praticáveis, ao mesmo tempo
que desenvolvimentos importantes na teoria das probabilidades, em particular na área do cálculo estocástico, foram explorados por estatísticos e outros profissionais apenas numa sua pequena extensão, no
desenvolvimento de métodos estatísticos para processos estocásticos.
Há pois muito espaço para contribuições de jovens investigadores e para equipas que se queiram
dedicar a estes aspectos dos processos estocásticos e da estatística. O comportamento dinâmico de
estruturas deixa desafios vários para quem sobre esses problemas se queira debruçar.
BIBLIOGRAFIA
Bendat, J.S. and Piersol, A.G. (1993). Engineering Applications of Correlation and Spectral Analysis, 2nd Ed.,
John Wiley.
Carli, F. (1995). Smooth frequency modulating functions for strong ground motions, Proc. 10th Eur. Conf. Earthquake Engineering, Vienna, 1994, Balkema, 155–160.
Carli, F. (1992). Nonstationary models of earthquake accelerograms Proc. of the World Conf. on Earthquake
Engineering, Madrid, 1992, Balkema, 829–834.
Ching, J., Beck, J.L. and Porter, K.A. (2006). Bayesian state and parameter estimation of uncertain dynamical
systems, Probabilistic Engineering Mechanics, 21(1), 81–96.
Chiostrini, S. and Facchini, L. (1999). Response analysis under stochastic loading in presence of structural uncertainties, International Journal for Numerical Methods in Engineering, 46, 853–870.
58
Boletim SPE
Clough, R.W. and Penzien, J. (1993). Dynamics of Structures, 2nd edition, Civil Engineering Series, Mc-Graw
Hill Int. Ed.
Fan, F.G. and Ahmadi, G. (1990). Nonstationary Kanai-Tajimi models for El Centro 1940 and Mexico City 1985
earthquakes, Probabilistic Engineering Mechanics, 5(4), 171–181.
Faravelli, L. (1988). Source-to-site seismic models in structural dynamics. Proc. of the 3rd International Conf. on
Recent Advances in Structural Dynamics, Southampton (UK), 1021–1032.
Grigoriu, M., Ruiz, S.E. and Rosenblueth, E. (1988). Mexico earthquake of September 19, 1985 — nonstationary
models of seismic ground acceleration, Earthquake Spectra, 4(3), 551–568.
Guillaume, P., Verbove, P. and Vanlanduit, S. (1998). Frequency-domain maximum likelihood identification of
modal parameters with confidence intervals, Proc. of the 23rd International Conf. on Noise and Vibration Engineering, ISMA, 955–962.
Hampl, N.C. and Shueller, G.I. (1989). Probability densities of the response of nonlinear structures under stochastic dynamic excitation, Probabilistic Engineering Mechanics, 4, 1–9.
Ikhouane, F. and Rodellar, J. (2007). Systems with Hysteresis: Analysis, Identification and Control Using the
Bouc-Wen Model, Wiley.
Iwan, W.D. and Huang, C.T. (1996). On the dynamic response of non-linear systems with parameter uncertainties,
International Journal of Non-Linear Mechanics, 31, 631–645.
Jensen, H. and Iwan, W.D. (1991). Response variability in structural dynamics, Earthquake Engineering and
Structural Dynamics, 20, 949–959.
Jensen, H. and Iwan, W.D. (1992). Response of systems with uncertain parameters to stochastic excitation, Journal
of Engineering Mechanics, 118, 1012–1025.
Kameda, H. and Nojima, N. (1988). Simulation of risk-consistent earthquake motion, Earthquake Engineering &
Structural Dynamics, 16(7), 1007–1019.
Kloeden, P.E. and Platen, E. (1999). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations, Springer, Berlin.
Lin, Y.K. (1976). Probabilistic Theory of Structural Dynamics, Kriegher, Malabor (USA).
Ljung L. (1999). System Identification — Theory for the User, 2nd ed., PTR Prentice Hall.
Lutes, L.D. and Sarkani, S. (1997). Stochastic Analysis of Structural and Mechanical Vibrations, Prentice Hall,
N.J.
Milstein, G.N. (1995). Numerical Integration of Stochastic Differential Equations, Kluwer Academic Publishers,
Dordrecht.
Muscolino, G. (2001). Stochastic dynamics for structural engineering problems: a review. Civil and Structural
Engineering Computing: 2001, B.H. Topping, Ed., Saxe-Coburg Publications, 287–318.
Nigam, N.C. (1983). Introduction to Random Vibrations, MIT Press, Cambridge MA.
Peeters, B. and Ventura, C.E. (2003). Comparative study of modal analysis techniques for bridge dynamic characteristics. Mechanical Systems and Signal Processing, 17(5), 965-988.
Priestley, M.B. (1981). Spectral Analysis and Time Series, Academic Press.
Roy, D. and Dash, M.K. (2005). Explorations of a family of stochastic Newmark methods in engineering dynamics.
Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 194(45-47), 4758-4796.
Schüeller, G.I. (1997). A state-of-the-art report on computational stochastic mechanics — Simulation techniques.
Probabilistic Engineering Mechanics, Special issue IASSAR Report, 12, 203-229.
Soong, T.T. and Grigoriu, M. (1993). Random Vibration of Mechanical and Structural Systems, Prentice Hall
Englewood Cliffs, N. J.
Outono de 2008
59
Spanos, P.D., Tein, W.Y. and Ghanem, R. (1992). Spectral estimation of bivariate non-stationary processes. Proc.
of the World Conf. on Earthquake Engineering, 839.
Tang, H.S. and Sato, T. (2005). Auxiliary particle filtering for structural system identification, Proc. SPIE, 5765
(710).
Tocino, A. and Ardanuy, R. (2002). Runge-Kutta methods for numerical solution of stochastic differential equations, Journal of Computational and Applied Mathematics, 138 , 219-241.
Van Overschee, P. and De Moor, B. (1996). Subspace Identification for Linear Systems: Theory Implementation
— Applications, Kluwer Academic Publishers.
Zhang, L., Zu, J.W. and Zheng, Z. (1999). The stochastic Newmark algorithm for random analysis of multi-degreeof-freedom non-linear systems, Computers and Structures, 70, 557–568.
60
Boletim SPE
Carlos A. Braumann, [email protected]
Carlos A. Braumann, [email protected]
Departamento de Matemática e Centro de Investigação em
em Matemática
Matemática e Aplicações
Aplicações
Universidade de
de Évora
Évora
Universidade
1. Introdução
O objectivo deste texto é dar uma panorâmica de algumas das principais aplicações biológicas das
equações diferenciais estocásticas.
É bem sabido que as equações diferenciais ordinárias (EDO) têm uma longa tradição e grande
sucesso como modelos matemáticos do comportamento de fenómenos dinâmicos nas mais variadas
áreas da Ciência e da Tecnologia. De facto, é por vezes mais fácil descrever regras de comportamento
da taxa de variação (derivada) de uma variável temporal (regras que podem envolver essa variável
e/ou outras variáveis com as quais interage) do que descrever directamente as regras de evolução da
própria variável. Obtém-se assim uma EDO que, por integração, permite obter o comportamento da
variável de interesse e fazer previsões sobre a sua evolução futura.
No caso de uma só variável X(t) teremos um modelo da forma
dX (t )
= f (t , X (t )) ou dX (t ) = f (t , X (t ))dt
dt
(1)
com uma condição inicial X(0)=X0. A extensão a várias variáveis é relativamente simples, trabalhandose com um vector de variáveis e usando também um vector de funções em vez de uma função escalar
f. Para não complicar a notação, consideraremos aqui o caso unidimensional.
Raramente, porém conseguimos introduzir nesses modelos todas as variáveis intervenientes,
quer por desconhecimento de factores que podem afectar o fenómeno dinâmico em causa, quer por
impossibilidade de os medir ou prever, quer ainda porque o seu efeito é menos relevante (ainda que
não despiciendo para certos objectivos) para justificar o investimento necessário à sua inclusão
detalhada. É, pois, natural, que esses factores sejam agrupados numa única variável temporal cujo
comportamento é necessariamente aleatório, isto é, um processo estocástico, processo esse que se deve
incluir como um termo adicional que perturba a dinâmica determinística dos factores intervenientes
explicitamente considerados no modelo. Tão natural como o tratamento probabilístico que usamos
para descrever o resultado do lançamento de uma moeda ao ar em vez de pretendermos introduzir de
forma determinística as diversas forças resultantes da gravidade e da forma exacta como posicionamos
e movimentamos a mão ao lançar a moeda e ao recolhê-la. Se admitirmos que esses factores agrupados
são em número elevado, natural será que, usando e quiçá abusando do teorema do limite central, o seu
efeito cumulativo possa ser aproximadamente descrito por um processo estocástico gaussiano.
Normalmente, é mais fácil considerar o efeito acumulado dessas perturbações entre o instante 0 e o
instante t. Se admitirmos que as perturbações que actuam num intervalo de tempo são
aproximadamente independentes das que actuam noutros intervalos de tempo que se lhe não
sobreponham, então é natural que o efeito acumulado das perturbações seja um processo com
incrementos independentes. E se admitirmos que as perturbações, aproximadamente independentes
entre si, ocorrem com uma frequência relativamente uniforme e têm efeitos que se adicionam, então é
razoável supor que o seu número é aproximadamente proporcional ao intervalo de tempo a que nos
reportamos e, portanto, a variância do seu efeito acumulado num certo intervalo de tempo é
proporcional à duração desse intervalo. Mesmo que a proporcionalidade não seja correcta e a
“constante” de proporcionalidade seja afinal variável, podemos incorporar essa variabilidade num
factor multiplicativo que represente a variação do desvio-padrão com as variáveis consideradas no
Outono de 2008
61
modelo e/ou com o tempo, e, nesse caso, nada impede escolher para o processo perturbador de base (a
ser depois multiplicado por aquele factor) uma constante de proporcionalidade unitária. Disto tudo
resulta que, admitindo no limite a continuidade temporal das perturbações (também é possível
considerar perturbações descontínuas mas disso não falaremos aqui), podemos usar como efeito
acumulado (entre 0 e t) de base o processo de Wiener padrão W(t) (único que conjuga as propriedades
de ser contínuo, gaussiano, ter incrementos independentes e os seus incrementos terem variância
proporcional, no caso padrão com constante de proporcionalidade unitária, ao comprimento do
intervalo). Claro que, num intervalo infinitesimal dt, o efeito das perturbações de base referentes a esse
intervalo será dW(t) e, se representarmos por g(t,X(t)) o desvio-padrão das perturbações, obtemos a
equação diferencial estocástica (EDE)
dX (t ) = f (t , X (t ))dt + g (t , X (t ))dW (t ) ,
(2)
com a mesma condição inicial X(0)=X0 (como o valor inicial pode ser desconhecido, nada impede que
X0 seja uma variável aleatória, desde que seja independente de W(t)).
Note-se que podemos generalizar, sem dificuldades, ao caso de várias variáveis e vários
processos de Wiener. Também podemos generalizar, embora disso não tratemos aqui, ao caso de
processos com saltos.
Naturalmente, pressupõe-se um espaço de probabilidade subjacente (Ω,P) e, representando
por ω∈Ω o “acaso”, convém lembrar que W(t) é um processo estocástico, isto é depende do tempo e
do acaso, pelo que rigorosamente deveríamos escrever (mas não o fazemos habitualmente) W(t,ω).
Podemos pensar que um ω concreto representa um estado concreto da natureza que determina os
valores concretos (ao longo de toda a história do processo) dos factores perturbadores do nosso
fenómeno; então Ω representará o conjunto de todos os possíveis estados da natureza, a qual “escolhe
ao acaso” um deles de acordo com a lei de probabilidade P. Para t fixo, temos uma variável aleatória
(função mensurável-do acaso). Para ω fixo, W(t,ω) representa uma função do tempo (uma trajectória
ou realização do processo) que descreve a evolução do efeito acumulado (entre 0 e t) das perturbações
de base quando o estado da natureza é ω. Claro que, a diferentes estados da natureza, podem
corresponder trajectórias diferentes. Também X0=X0(ω) pode depender do estado da natureza e,
obviamente a solução da EDE, se existir, também depende do estado da natureza, isto é, X(t)=X(t,ω)
também é um processo estocástico.
Claro que agora, as previsões futuras dos valores de X(t) são de natureza probabilística, já que,
para t fixo, X(t) é uma variável aleatória.
Natural é que as EDE tenham um campo de aplicação muito vasto, correspondente no essencial
ao campo de aplicação das EDO, já que haverá quase sempre factores perturbadores não
explicitamente considerados na EDO. Mas é óbvio que só valerá a pena usar EDE se esses factores
perturbadores provocarem alterações relevantes relativamente aos resultados que se obteria usando
EDO, como sucede frequentemente nos fenómenos biológicos. Convém ter em atenção, porém, que,
mesmo para g pequenas, os resultados podem ser quantitativamente e até qualitativamente muito
diferentes dos resultados obtidos trabalhando com EDO e valores médios de variáveis ou parâmetros.
Mas o campo de aplicação das EDE é, de facto, mais vasto do que o das EDO já que há situações em
que os factores aleatórios assumem um papel fundamental. É o caso de muitas aplicações financeiras
(bolsas, futuros, opções, etc.), da sismologia ou das telecomunicações, em que modelos baseados em
EDO seriam inúteis.
2. Breve introdução às equações diferenciais estocásticas
Naturalmente, entende-se por solução da EDE (2), a solução X(t)=X(t,ω) da correspondente
equação integral
t
t
0
0
X (t ) = X 0 + ∫ f ( s, X ( s ))ds + ∫ g ( s, X ( s ))dw( s ) .
62
(3)
Boletim SPE
Sob condições de regularidade adequadas, para cada trajectória ω fixa, o primeiro integral pode
ser interpretado como um vulgar integral de Riemann. Porém, o segundo integral não pode ser
interpretado como integral de Riemann-Stieltjes porque o processo integrador W(t) tem variação
ilimitada para quase todas as trajectórias, pelo que o limite das somas de Riemann-Stieltjes para uma
sucessão de decomposições (com diâmetro convergente para zero) do intervalo de integração depende
da escolha dos pontos intermédios onde é calculada a função integranda g(s,X(s)). Se fizermos a
escolha (não-antecipativa) dos pontos iniciais de cada subintervalo (a escolha em que a dinâmica
presente não é afectada pelas perturbações aleatórias futuras), temos o integral de Itô, que tem
excelentes propriedades probabilísticas mas não segue as regras usuais de cálculo Tal obriga a um
novo cálculo, o cálculo estocástico de Itô. Aqui usa-se a convergência em média quadrática
(convergência L2 com respeito a ω) para a obtenção do limite das somas de Riemann-Stieltjes, embora,
ao generalizar a uma classe mais vasta de funções integrandas, se possa substituir essa convergência
por uma convergência em probabilidade. Há outros integrais correspondentes a outras escolhas ou
combinações de escolhas dos pontos intermédios, sendo o mais popular deles o integral de
Stratonovich que, não tendo tão boas propriedades probabilísticas, segue as regras usuais de cálculo.
Como é natural, as EDE de Itô e de Stratonovich com idênticas funções f e g, têm em geral soluções
diferentes. Aliás, a EDE de Itô dX=fdt+gdW é equivalente à (tem a mesma solução da) EDE de
Stratonovich (S) dX=f*dt+gdW (o “(S)” é para assinalar que se usa o cálculo de Stratonovich) em
que f*=f−(1/4)∂g2/∂x. Em qualquer dos cálculos, as funções f e g devem satisfazer certas condições de
regularidade para se poder garantir a existência e unicidade de solução da EDE; felizmente, com
condições de regularidade adequadas, a solução é um processo de difusão que satisfaz as equações de
Kolmogorov e, portanto, é um processo de Markov. Se a EDE for autónoma (f(t,x)=f(x) e g(t,x)=g(x)),
a solução é mesmo um processo de difusão homogéneo. Mais pormenores podem ver-se nos livros,
como Braumann (2005) ou Øksendal (2003) ou ainda, para uma versão resumida, em Braumann
(1998).
Devo referir que tem havido uma certa controvérsia na literatura sobre qual dos cálculos, Itô ou
Stratonovich, é mais adequado em cada tipo de aplicações, uma vez que eles dão resultados que, até do
ponto de vista qualitativo, são aparentemente diferentes. Por exemplo, em certos modelos de
crescimento populacional e em certas condições, um cálculo prevê que a população se extingue com
probabilidade um e o outro que a probabilidade de extinção é nula. Braumann (2007a,b,c), ilustrando
com modelos de crescimento populacional e de pesca, resolve a controvérsia mostrando que a razão da
aparente discrepância de resultados resulta da suposição implícita feita na literatura de que f(t,x) (taxa
“média” de crescimento) tem o mesmo significado para os dois cálculos. Isso é falso pois f(t,x)
representa médias diferentes da taxa de crescimento. Para uma classe muito ampla de modelos usados
em crescimento populacional, representa a taxa média aritmética para o cálculo de Itô e a taxa média
geométrica para o cálculo de Stratonovich. Se atendermos às diferenças entre as médias, os resultados
coincidem. A moral da história é que temos de ter cuidado ao escolher a função f(t,x). Por exemplo, no
caso referido, se usarmos o cálculo de Itô, devemos naturalmente escolher para f(t,x) a expressão
correcta para a taxa média aritmética de crescimento. Se, porém, usarmos o cálculo de Stratonovich,
devemos escolher a expressão correcta para a taxa média geométrica de crescimento. Se tivermos esse
cuidado elementar, os dois cálculos dão resultados totalmente coincidentes.
Daremos agora alguns exemplos ilustrativos da variedade de aplicações biológicas, na
esperança de atrair alguns futuros investigadores numa área que está em intensa actividade. Escusado
será dizer que muitos progressos teóricos que têm sido feitos no estudo das EDE têm sido suscitados
por questões que surgem nas aplicações.
3. Aplicações em dinâmica de populações
Esta é área em que mais tenho trabalhado. Agora X(t) representa o tamanho (número de
indivíduos, biomassa ou densidade) da população (de animais, plantas ou bactérias) no instante t.
dX (t ) / dt
pode depender do
No caso determinístico, a taxa de crescimento per capita r =
X (t )
tamanho da população x e do instante t [r=r(t,x)]. Admitindo um ambiente estável, podemos supor um
Outono de 2008
63
modelo autónomo em que r=r(x), podendo, se os recursos forem ilimitados, a função ser constante;
mas, geralmente, os recursos são limitados pelo que os recursos disponíveis per capita tendem a
diminuir quando a população aumenta, o que provoca que r(x) seja estritamente decrescente. Vários
modelos com esta propriedade têm sido propostos, tais como o modelo logístico r(x)=r(1–x/K) ou o
modelo de Gompertz r(x)= r ln(K/x), onde K (capacidade de sustento do meio) é, caso r>0 and K>0, a
população de equilíbrio estável para a qual o tamanho da população converge quando t→+∞.
Se o ambiente estiver sujeito a flutuações aleatórias, em vez de o crescimento per capita no
dX (t )
intervalo infinitesimal dt ser descrito pelo modelo determinístico
= r ( X (t ))dt , teremos,
X (t )
supondo que, em termos cumulativos, as flutuações aleatórias são impulsionadas por um processo de
Wiener W(t) que afecta directamente o crescimento per capita, a EDE
dX (t )
= r ( X (t ))dt + σ ( X (t ))dW (t ) ,
X (t )
(4)
onde σ(x) mede a intensidade do efeito dessas flutuações no crescimento per capita (os modelos
propostos na literatura consideram habitualmente σ(x) constante ou proporcional a r(x)).
Na literatura, os artigos consideram modelos específicos correspondendo a casos particulares
das funções r(x) e σ(x). Entre os artigos pioneiros mais relevantes contam-se Levins (1969), May
(1973), Capocelli e Ricciardi (1974), Goel e Richter-Dyn (1974), Kiester e Barakat (1974), Tuckwell
(1974), Roughgarden (1975), mas muitos outros se seguiram.
Dado que as propriedades deduzidas poderiam ser específicas dos modelos considerados, havia
interesse em obter propriedades que fossem robustas relativamente ao modelo. Tinham particular
interesse nas propriedades relativas a haver ou não extinção da população e, em caso negativo, existir
uma densidade estacionária, isto é, uma distribuição de equilíbrio com densidade para a qual
convergisse a distribuição de probabilidade do tamanho da população quando t→+∞. Em Braumann
(1999b) considera-se, para σ(x) constante, o caso geral de r(x): (0,+∞)→(−∞,+∞) ser uma função
arbitrária de classe C1, satisfazendo, contudo, algumas hipóteses biologicamente realistas como ser
estritamente decrescente, verificar r(+∞)<0 (o que significa que os recursos não permitem sustentar
uma população demasiado grande) e R(0+)=0 com R(x)=r(x)x (população sem imigração). Foi possível
mostrar que, se r(0+)<0, a extinção ocorre com probabilidade um e que, se r(0+)>0, a extinção tem
probabilidade nula de ocorrer e existe uma densidade estacionária. Em Braumann (2001c) generalizase para o caso de σ(x) arbitrária, desde que sempre positiva e satisfazendo algumas condições técnicas
pouco restritivas.
Na realidade, quando falámos de extinção, referíamo-nos a termos população nula ou a
convergir para zero. Mas, se pensarmos o que significa uma população de, por exemplo, 0,4
indivíduos (não esquecer que a variável de estado X é contínua no modelo mas não na realidade),
talvez seja preferível adoptar como critério mais realista de extinção, a população alguma vez atingir
um tamanho a>0 com a<X0, embora pequeno, isto é, fixarmos um limiar absorvente de extinção a.
Interessa, então determinar a probabilidade de ocorrer esta extinção realista e a distribuição do tempo
de extinção, aspectos que tem interessantes aplicações na gestão de espécies em perigo. Estas matérias
podem ser vistas em, por exemplo, Braumann (1995), Lange, Engen e Sæther (2003) e Carlos e
Braumann (2005, 2006). Claro que também se pode estudar a probabilidade de atingir um limite
elevado b>X0 e a distribuição do tempo para o atingir, o que, além de ser relevante em termos de
preservação de espécies, também é importante para a prevenção de surtos de pragas agrícolas.
Uma outra aplicação é em espécies sujeitas a capturas (pesca, caça, florestação), em que, aos
modelos anteriormente considerados, se acrescenta a mortalidade provocada pelas capturas:
dX (t )
= r ( X (t ))dt − h(t )dt + σ ( X (t ))dW (t ) ,
X (t )
(5)
onde h(t) é a esforço de captura (esforço de pesca, etc.) e h(t)X(t) é a taxa de capturas (por unidade de
tempo). Claro que h(t) pode, em geral ser controlado pelos operadores da exploração (definindo assim
64
Boletim SPE
uma política de capturas) e têm aparecido vários artigos, usando técnicas de controlo óptimo
estocástico, para, relativamente a modelos específicos de r(x) e σ(x), determinar a política de capturas
que optimiza uma função objectivo, usualmente o valor esperado do lucro (a preços constantes, isto é
afectando o lucro com uma taxa de depreciação) acumulado num certo horizonte temporal. Veja-se,
por exemplo, Lungu e Øksendal (1997), Alvarez e Shepp (1997) e Alvarez (2000). Estas políticas, ao
contrário do que sucede nos modelos determinísticos, são inaplicáveis porque implicam uma rápida
alternância entre parar as capturas e capturar ao maior ritmo possível. Os trabalhos pioneiros de
Beddington e May (1977), Gleit (1978) e May et al. (1978) optaram antes por considerar modelos em
que o esforço de pesca é determinado exclusivamente pelo tamanho da população explorada
h(t)=H(X(t)) (um exemplo especial é o de esforço constante, situação em que as capturas são
proporcionais à população existente), caso em que é possível, em certas condições, obter densidades
estacionárias, isto é, um equilíbrio estocástico sustentável. Estudaram o comportamento dos modelos
para r(x), h(x) e σ(x) específicos, tal como também fez Braumann (1985, 1993), onde se procuraram,
dentro de certa classe de políticas, as que optimizassem as capturas esperadas num regime sustentável
e sem extinção. O estudo para modelos gerais (com algumas restrições biologicamente razoáveis), em
termos de extinção e de existência de densidade estacionária, foi feito em Braumann (1999, 2001a,
2002). Em Braumann (2001b) estudam-se modelos que combinam dois tipos de políticas (as de quota
constante e as esforço constante).
Sobre os problemas estatísticos de estimação (quer dos parâmetros de r(x) e σ(x) e, se houver
capturas, de h(x), quer da estimação não-paramétrica destas funções), de escolha de modelos e de
previsão de tamanhos futuros da população, muito haveria a dizer, mas optamos por não o fazer aqui
por limitações de espaço, apesar da serem fundamentais para a aplicação dos modelos. Só queremos
referir que normalmente dispomos apenas de observações de uma única trajectória do processo (não é
geralmente viável ter repetições, em condições idênticas, de populações em crescimento) e que,
mesmo nessa trajectória, as observações são feitas (por vezes com erro) num número finito de
instantes 0=t0<t1<t2<...<tn. Naturalmente que só alguma forma de ergodicidade (da solução ou de um
processo relacionado com a solução) permite de alguma maneira usar certas “médias” temporais (ao
longo da única trajectória) em substituição das médias de conjunto (médias ao longo do conjunto das
trajectórias) de que não podemos dispor. Obviamente que as observações não são variáveis aleatórias
independentes mas, como a solução da EDE é (sob condições de regularidade adequadas) um processo
de Markov, a verosimilhança pode obter-se multiplicando as densidades de transição entre instantes de
observação consecutivos. Sucede, porém, que é frequente não se conseguir obter uma expressão
explícita para as densidades de transição, tendo que se usar aproximações adequadas ou técnicas
alternativas. A consistência dos estimadores é muitas difícil de comprovar e exige normalmente que o
número de observações tenda para infinito e o espaçamento entre elas tenda para zero, além de uma
ligação entre as velocidades de convergência destas duas grandezas. Estas dificuldades têm vindo a
ser engenhosa e gradualmente ultrapassadas.
4. Aplicações ao crescimento individual
Uma área recente de trabalho é a da utilização de EDE para modelar o crescimento de um
indivíduo (animal ou planta) desde o nascimento até à maturidade (em termos de peso, volume,
comprimento ou outra medida de tamanho), quando esse crescimento é influenciado por variações
aleatórias no ambiente em que o indivíduo cresce. Seja X(t) o tamanho do indivíduo no instante t. Os
modelos determinísticos mais utilizados podem geralmente escrever-se na forma
dY (t ) = β (α − Y (t ))dt , onde Y(t)=h(X(t)), com h(x) função de classe C1 estritamente crescente. Por
exemplo, o modelo de Mitscherlich corresponde a h(x)=x, o de Bertalanffy-Richards a h(x)=xc (com
c>0) e o de Gompertz a h(x)=ln x. Note-se que A=h–1(α) é o tamanho assintótico que o animal atinge
na maturidade. No caso estocástico podemos adoptar a classe de modelos baseada no modelo de
Ornstein-Uhlenbeck (que nasceu na Física para descrever o movimento browniano de uma partícula)
dY (t ) = β (α − Y (t ))dt + σdW (t ) ,
Outono de 2008
(6)
65
passando A=h–1(α) a ser o tamanho assintótico médio. O caso particular do modelo de BertalanffyRichards foi aplicado crescimento de árvores em Garcia (1983). Estranhamente este tipo de modelos
não tem sido muito pouco utilizado, preferindo os que trabalham com estes dados usar modelos de
regressão, que são adequados para erros de observação, mas que são totalmente inadequados para
alterações provocadas por flutuações ambientais. De facto, os modelos de regressão tomam, como
base de previsão do tamanho futuro, o tamanho da curva determinística, mesmo que muito diferente do
tamanho actual do indivíduo, enquanto os modelos baseados em EDE partem do tamanho actual. Isso
impede a situação pouco realista dos modelos de regressão, que, por não terem memória, prevêem, por
exemplo, elevada probabilidade de recuperações milagrosas e quase instantâneas do peso de animais
muito magros.
A classe geral de modelos foi estudada em Filipe, Braumann e Roquete (2007a,b) e Filipe e
Braumann (2007, 2008), com aplicação a dados de bovinos mertolengos. Foi também tratado, no caso
de termos vários animais (várias trajectórias) o caso mais complexo em que se admite que α pode
variar de animal para animal (pois não são geneticamente idênticos), pelo que se pode considerar
também uma variável aleatória. Os problemas de estimação e de previsão (para uma ou várias
trajectórias e, neste último caso, para α comum a todos os animais ou para α aleatório) foram também
tratados.
Uma quantidade de particular interesse é o tempo necessário para que o animal atinja um
determinado tamanho L adequado pata a sua venda no mercado.
Claro que estes resultados têm implicações interessantes na optimização financeira de explorações
pecuárias ou silvícolas, por exemplo.
5. Aplicações demográficas
Um correcto conhecimento das taxas de mortalidade é essencial para o planeamento dos
sistemas de segurança social (pensões e fundos de reforma) e para a gestão de carteiras de seguros de
vida ou de planos de poupança reforma. Em Portugal, recentes alterações legislativas incorporam já no
cálculo das pensões um factor de sustentabilidade que tem em conta precisamente as alterações da
esperança de vida da população. De facto, a redução das taxas de mortalidade que se tem vindo a
observar graças aos progressos sociais e à evolução da Medicina, tem provocado o aumento da
esperança de vida. Consequentemente, a utilização de taxas de mortalidade correntes, sem prever a sua
actualização futura, pode dar origem a subavaliações dos encargos futuros da segurança social ou de
instituições financeiras com o pagamento de pensões e de responsabilidades assumidas com planos de
poupança reforma. Já no que se refere a seguros de vida, a consequência será a sobreavaliação dos
encargos.
Há várias maneiras de modelar a evolução das taxas de mortalidade, sendo correntes os
modelos determinísticos. Na verdade, porém, a evolução temporal das taxas de mortalidade, está
sujeita a perturbações aleatórias decorrentes de problemas de saúde pública imprevistos (como, por
exemplo, epidemias ou alterações climáticas), evolução não determinística dos progressos médicos,
alterações económicas e sociais que afectam os riscos de morte, etc. Faz, pois, todo o sentido que as
taxas de mortalidade evoluam de acordo com uma certa tendência essencialmente determinística, a que
se sobrepõem alterações aleatórias, pelo que podem ser descritas por equações diferenciais estocásticas
apropriadas, normalmente mais gerais do que as aqui descritas, incluindo a possibilidade de saltos
(para descrever possíveis evoluções abruptas das condições de vida). Mas é de notar que há que
combinar esta fonte de aleatoriedade ambiental que afecta as taxas de mortalidade com a aleatoriedade
demográfica em que, mesmo para taxas fixas, que devem interpretar-se como probabilidades de morte
para cada grupo etário, a mortalidade efectivamente observada num ano resulta da amostragem
realizada sobre o grupo (de pensionistas ou de segurados) em estudo (cada indivíduo do grupo tem
certa probabilidade de morrer nesse ano, contando para a mortalidade observada se morrer e não
contando em caso contrário). Os riscos financeiros decorrentes do efeito demográfico, que tem a
natureza de erro amostral, podem ser reduzidos aumentando a amostra, isto é, o tamanho do grupo. Já
os riscos decorrentes da variabilidade ambiental, pelo contrário, ficam ampliados pelo aumento do
tamanho do grupo. Um problema ainda em aberto é como fazer a cobertura do risco, já que, apesar de
se usarem modelos de EDE relativamente semelhantes aos usados para os produtos financeiros
66
Boletim SPE
transaccionados no mercado, não se dispõe de instrumentos semelhantes de cobertura e avaliação do
risco. Por outro lado, não se prevê que seja fácil a criação e aceitação pública de produtos financeiros
derivados baseados na evolução das taxas de mortalidade.
Em Bravo e Braumann (2007) pode ver-se o enquadramento e resultados gerais deste estudo,
mas, para uma análise detalhada de vários modelos e uma aplicação à realidade portuguesa, deve
consultar-se Bravo (2007).
Uma outra alternativa é supor que as taxas de mortalidade evoluem de acordo com modelos
essencialmente determinísticos mas em que os parâmetros sofrem perturbações aleatórias, isto é, são
processos estocásticos cuja evolução é descrita por equações diferenciais estocásticas.
6. Outras aplicações biológicas
Naturalmente, os modelos de crescimento populacional podem aplicar-se, usando EDE em
dimensão superior a um, a conjuntos de populações interactuantes. Um exemplo interessante é a do
estudo de um sistema presa-predador feito por Rudnicki (2003).
Uma outra aplicação interessante refere-se à epidemiologia, onde o clássico modelo
determinístico SIR que estuda a evolução do número de susceptíveis (S(t)), infectados (I(t)) e
recuperados (R(t)) tem uma versão estocástica em forma de EDE tridimensionais (mas na verdade
vivendo num espaço a duas dimensões porque S(t)+I(t)+R(t) é o tamanho, considerado fixo neste
modelo, da população). Veja-se Tornatore e Buccellato (2007).
Uma aplicação que tem já uma tradição antiga e um corpo de literatura extenso é o do estudo
do comportamento eléctrico dos neurónios. Os chamados modelos neuronais que descrevem a
evolução do potencial X(t) da membrana do neurónio são intrinsecamente estocásticos, já que são
bastante imprevisíveis os impulsos eléctricos recebidos pelas ligações a múltiplos outros neurónios.
Normalmente considera-se que, quando X(t) atinge um determinado limiar S>X0, o neurónio dispara
transmitindo sinais a outros neurónios e reduzindo o seu potencial a X0. Até disparar, a dinâmica de
X(t) é descrita por uma equação diferencial estocástica, sendo o modelo de Ornstein-Uhlenbeck talvez
o mais popular. Uma variável com particular interesse é o tempo até disparar, cuja distribuição e
momentos têm sido muito estudados para este e outros modelos alternativos. Pode encontrar uma boa
abordagem no livro de Ricciardi (1977). Como o comportamento dos disparos é um pouco mais
complexo do que aqui se descreveu, a literatura está cheia de refinamentos que colocam problemas
teóricos muito interessantes.
As aplicações em genética de populações são também importantes, usando processos de
difusão como boas aproximações à evolução das frequências génicas quando se incorporam os efeitos
da deriva genética (variação amostral das frequências). Estes estudos têm importantes implicações no
estudo das teorias de evolução das espécies e na datação da origem de espécies e de colonizações de
populações. A apresentação em forma de processo de difusão, que é mais tradicional na literatura
especializada desta área, é equivalente à utilização de EDE, pois, em condições de regularidade
adequadas, as soluções de EDE são processos de difusão e vice-versa. Um clássico é o livro de Crow e
Kimura (1970).
Mas a lista de aplicações é bastante mais vasta e inclui a análise de modelos imunológicos e
fisiológicos, como, por exemplo, os modelos de evolução da concentração de insulina e glucose (e de
outros químicos que com eles interagem), que têm muita importância para determinar o melhor
doseamento da administração da insulina em diabéticos e para o desenvolvimento em curso de
sistemas automáticos de administração de insulina. Veja-se, por exemplo, Picchini et al. (2006).
E é melhor parar por aqui, deixando de fora várias outras aplicações também interessantes, para
além daquelas de que ninguém ainda se lembrou e que o leitor poderá vir a descobrir.
Agradecimentos
O autor é membro do CIMA-U.E., centro de investigação financiado pelo Programa de Financiamento
Plurianual da Fundação para a Ciência e a Tecnologia (FCT). Os resultados reportados sobre modelos
de crescimento individual foram desenvolvidos no âmbito do projecto PTDC/MAT/64297/2006,
financiado pela FCT.
Outono de 2008
67
Referências
Alvarez, L. H. R. (2000). On the option interpretation of rational harvesting planning. J. Math. Biol. 40: 383405.
Alvarez, L. H. R., Shepp, L. A. (1997). Optimal harvesting of stochastically fluctuating populations. J. Math.
Biol. 37: 155-177.
Beddington, J. R., May, R. M. (1977). Harvesting natural populations in a randomly fluctuating environment.
Science 197: 463-465.
Braumann, C. A. (1985). Stochastic differential equation models of fisheries in an uncertain world: extinction
probabilities, optimal fishing effort, and parameter estimation. Em Mathematics in Biology and
Medicine, Capasso, V., Grosso, E., Paveri-Fontana, S. L. (eds.), Springer, Berlin.
Braumann, C. A. (1993). General models of fishing with random growth parameters. Em Mathematics Applied
to Biology and Medicine, Demongeot, J., Capasso, V. (eds.), Wuerz Publ. Ltd., Winnipegp.
Braumann, C. A. (1995). Threshold crossing probabilities for population growth models in random
environments. J. Biological Systems 3: 505-517.
Braumann, C. A. (1998). O Acaso, a bolsa e a vida. Em Estatística: A Diversidade na Unidade. Actas do V
Congresso Anual da SPE, Souto de Miranda, M., Pereira, I. (eds.), p. 29-55, Sociedade Portuguesa de
Estatística e Edições Salamandra, Lisboa.
Braumann, C. A. (1999). Variable effort fishing models in random environments. Math. Biosci. 156: 1-19.
Braumann, C. A. (1999b). Applications of stochastic differential equations to population growth. Em Proc. 9th
International Colloquium on Differential Equations, Bainov, D. (ed.), VSP, Utrecht, p. 47-52 (invited
paper).
Braumann, C. A. (2001a). General stochastic differential equation model of population growth and fishing in a
random environment. Bull. Internat. Statistical Inst. LIX CP3: 111-112.
Braumann, C. A. (2001b). Constant effort and constant quota fishing policies with cut-offs in random
environments. Natural Resource Modelling 14 (2): 199-232.
Braumann, C. A. (2001c). Crescimento de populações em ambiente aleatório: generalização a intensidades de
ruído dependentes da densidade da população. Em A Estatística em Movimento, Neves, M. M., Cadima,
J., Martins, M. J., Rosado, F. (eds.), Sociedade Portuguesa de Estatística, Lisboa, p. 119-128.
Braumann, C. A. (2002). Variable effort harvesting models in random environments: generalization to densitydependent noise intensities. Math. Biosci. 177 & 178: 229-245.
Braumann, C. A. (2005). Introdução às Equações Diferenciais Estocásticas e Aplicações. Edições SPE, Lisboa.
Braumann, C. A. (2007a). Itô versus Stratonovich calculus in random population growth. Math. Biosci. 206: 81107.
Braumann, C. A. (2007b) Harvesting in a random environment: Itô or Stratonovich calculus. J. Theoret. Biol.
244: 424-432.
Braumann, C. A. (2007c). Population growth in random environments: which stochastic calculus? Bull.
Internat. Statistical Inst. LXII (Proc. 56th Session of the ISI, electronic publication, printed version of
the journal in press).
Bravo, J. M. (2007). Tábuas de Mortalidade Contemporâneas e Prospectivas: Modelos Estocásticos,
Aplicações Actuariais e Cobertura do Risco de Longevidade. Tese de Doutoramento, Universidade de
Évora, p. xxvi+565.
Bravo, J. M., Braumann, C. A. (2007). The value of a random life: modelling survival probabilities in a
stochastic environment. Bull. Internat. Statistical Inst. LXII (Proc. 56th Session of the ISI, electronic
publication, printed version of the journal in press).
Capocelli, R. M., Ricciardi, L. M. (1974). A diffusion model for population growth in random environments.
Theoret. Popul. Biol. 5: 28-41.
Carlos, C., Braumann, C. A. (2005). Tempos de extinção para populações em ambiente aleatório. Em
Estatística Jubilar, Braumann, C. A., Infante, P., Oliveira, M. M., Alpízar-Jara, R., Rosado, F. (eds).
Edições SPE, Lisboa p. 133-142.
Carlos, C., Braumann, C. A. (2006). Tempos de extinção para populações em ambiente aleatório e cálculos de
B o R.
l eG.,
t i Rocha,
m S PC.,
E Oliveira, M.
Itô e Stratonovich. Em Ciência Estatística, Canto e Castro, L., Martins,
68
Estatística Jubilar, Braumann, C. A., Infante, P., Oliveira, M. M., Alpízar-Jara, R., Rosado, F. (eds).
Edições SPE, Lisboa p. 133-142.
Carlos, C., Braumann, C. A. (2006). Tempos de extinção para populações em ambiente aleatório e cálculos de
Itô e Stratonovich. Em Ciência Estatística, Canto e Castro, L., Martins, R. G., Rocha, C., Oliveira, M.
F., Leal, M. M., Rosado, F. (eds), Edições SPE, Lisboa, p. 229-238.
Crow, J. F., Kimura, M. (1970). An Introduction to Population Genetics Theory. Harper and Row, New York.
Filipe, P.A., Braumann, C.A. (2008). Modelling individual animal growth in random environments. In Proc.
23d International Workshop on Statistical Modelling, Eilers, P. H. C. (ed.), p. 232-237.
Filipe, P.A., Braumann, C. A. (2007). Animal growth in random environments: estimation with several paths.
Bull. Internat. Statistical Inst. LXII (Proc. 56th Session of the ISI, electronic publication, printed
version of the journal in press).
Filipe, P.A., Braumann, C.A., Roquete, C.J. (2007a). Modelos de crescimento de animais em ambiente
aleatório. Em Estatística Ciência Interdisciplinar, Ferrão, M.E., Nunes, C., Braumann, C.A. (eds.),
Edições SPE, Lisboa, p. 401-440.
Filipe, P.A., Braumann, C.A., Roquete, C.J. (2007b). Crescimento individual em ambiente aleatório: várias
trajectórias. Em Actas do XV Congresso Anual da Sociedade Portuguesa de Estatística, Edições SPE,
Lisboa (aceite para publicação).
Garcia, O., (1983). A stochastic differential equation model for the height of forest stands. Biometrics 39: 10591072.
Gleit, A. (1978). Optimal harvesting in continuous time with stochastic growth. Math. Biosci. 41: 112-123.
Goel, N. S., Richter-Dyn, N. (1974). Stochastic Models in Biology. Academic Press, N. Y.
Kiester, A. R., Barakat, R. (1974). Exact solutions to certain stochastic differential equation models of
population growth. Theoret. Popul. Biol. 6: 199-216.
Lange, R., Engen, S. e Sæther, B.-E. (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation.
Oxford University Press, Oxford.
Levins, R. (1969). The effect of random variations of different types on population growth. Proc. Natl. Acad.
Sci. USA 62: 1061-1065.
Lungu, E. M., Øksendal, B. (1997). Optimal harvesting from a population in a stochastic crowded environment.
Math. Biosci. 145: 47-75.
May, R. M. (1973). Stability in randomly fluctuating versus deterministic environments. Amer. Natur. 107:
621-650.
May, R. M., Beddington, J. R., Horwood, J. H. Shepherd, J. G. (1978). Exploiting natural populations in an
uncertain world. Math. Biosci. 42: 219-252.
Øksendal, B. (2003). Stochastic Differential Equations. An Introduction with Applications. (6th edition).
Springer, Berlin.
Picchini, U., Ditlevsen, S., De Gaetano, A. (2006). Modeling the euglycemic hiperinsulinemic clamp by
stochastic differential equations. J. Math. Biol. 53: 771-796.
Ricciardi, L. M. (1977). Diffusion Problems and Related Topics in Biology. Lecture Nores in Biomathematics
14, Springer, Berlin.
Roughgarden, J. (1975). A simple model for population dynamics in stochastic environments. Amer.Natur. 109:
713-736.
Rudnicki, R. (2003). Long-rime behaviour of a predator-prey model. Stochastic Processes Appl. 108: 93-107.
Tornatore, E., Buccellato, S. M. (2007). On a stochastic SIR model. Applicationes Mathematicae 34: 389-400.
Tuckwell, H. C. (1974). A study of some diffusion models of population growth. Theoret. Popul. Biol. 5: 345357.
Outono de 2008
69
Ciência Estatística
• Artigos Científicos Publicados
Beirlant, B., Figueiredo, F., Gomes, M.I. and Vandewalle, B. (2008). Improved reduced bias tail index
and quantile estimators. J. Statistical Planning and Inference 138, 1851-1870,
DOI:10.1016/j.jspi.2007.07.015, 2007.
Braumann, C. A. (2008). Growth and extinction of populations in randomly varying environments.
Computer & Mathematics with Applications 56: 631-644.
Braumann, C. A. (2007). Itô versus Stratonovich calculus in random population growth. Mathematical
Biosciences 206: 81-107.
Braumann, C. A. (2007). Harvesting in a random environment: Itô or Stratonovich calculus? J.
Theoretical Biology 244: 424-432.
Caeiro, F. and Gomes, M.I. (2008). Minumum-variance reduced-bias tail index and high quantile
estimation. Revstat 6:1, 1-20.
Ferreira, M. and Canto e Castro, L. (2008). Tail and dependence behavior of levels that persist for a
fixed period of time. Extremes 11;2, 113-133, DOI: 10.1007/s10687-007-0046-y, 2007.
Gomes, M.I. Canto e Castro, L., Fraga Alves, M.I., and Pestana, D. (2008). Statistics of extremes for
iid data and breakthroughs in the estimation of the extreme value índex: Laurens de Haan leading
contributions. Extremes 11:1, 3-34, DOI: 10.1007/s 10687-007-0048-9, 2007.
Gomes, M.I., de Haan, L. and Henriques Rodrigues, L. (2008). Tail Index estimation for heavy-tailed
models: accommodation of bias in weighted log-excesses. J. Royal Statistical Society B70, Issue 1,
31-52, DOI: 10.1111/j.1467-9869.2007.00620.x, 2007.
Gomes, M. I., L. Henriques Rodrigues, B. Vandewalle and C. Viseu (2008). A Heuristic Adaptive
Choice of the Threshold for Bias-Corrected Hill Estimators. J. Statist. Comput. and Simulation
78:2, 133-150, DOI: 10.1080 / 10629360600954000, 2007.
Gomes, M.I. and Neves, C. (2008). Asymptotic comparison of the mixed moment and other extreme
value index estimators. Statistics and Probability Letters, Vol 78:6 pp 643-653, 2008, DOI:
10.1016/j,spl.2007.07.026, 2007.
Gomes, M.I., Hall, A. e Miranda, C. (2008). Subsampling techniques and the Jackknife methodology
in the estimation of the extremal index. J. Comput. Statist. And Data Analysis 52:4, 2022-2041,
DOI: 1016 / j.csda.2007.06.023, 2007.
de Haan, L. and Zhou, C. (2008). On extreme value abalysis of a spatial process. Revstat 6:1, 71-81.
Martins, A., Ferreira, H. and Pereira, L. (2008). Multidimensional outlier-proneness of dependent data
and the extremal index. Statistical Methodology 5, 72-82.
Neves, C. and Fraga Alves, M.I. (2008). Testing extreme value conditions - an overview and recent
approaches. Revstat 6:1, 83-100.
• Livros
Título: Séries temporais. Modelações lineares e não lineares. 2ª edição, revista e aumentada.
Autoras: Esmeralda Gonçalves e Nazaré Mendes Lopes
Ano: 2008
Título: Análise de Dados Espaciais
Autoras: M. Lucília Carvalho e Isabel C. Natário
Ano: 2008
Título: Estatística - da teoria à prática. Actas do XV Congresso Anual da SPE.
Editores: M. M. Hill, M. A. Ferreira, J. G. Dias, M. F. Salgueiro, H. Carvalho, P. Vicente e C.
Braumann.
Ano: 2008
70
Boletim SPE
• Teses de Doutoramento
Título: O Papel de Distribuições Condicionalmente Especificadas em Estatística Bayesiana
Autora: Elisete Correia, [email protected]
Orientadora: Maria Antónia Amaral Turkman
Na minha tese, tendo como motivação os trabalhos de Arnold, Castillo e Sarabia (1997) sobre a
especificação da distribuição conjunta de vectores aleatórios bidimensionais através das distribuições
condicionadas e os trabalhos de Berger e Bernardo (1974) sobre a especificação de distribuições a
priori de referência, comparamos as distribuições a posteriori marginais para um parâmetro de
interesse, obtidas por estes métodos e pelo método de Jeffreys. Consideramos diferentes modelos e
diferentes parâmetros de interesse, nomeadamente, razão de dispersões, razão de médias e razão de
proporções.
Argumentando que a eliciação a priori deve ser feita sobre o parâmetro de interesse e não sobre os
parâmetros iniciais indexadores do modelo, comparamos os resultados obtidos para a distribuição a
posteriori marginal do parâmetro de interesse, quando esses dois tipos de eliciação são considerados.
Na sequência do nosso estudo encontramos várias distribuições que, tanto quanto sabemos, não
costumam ser mencionadas na literatura. Estão neste caso a distribuição a posteriori marginal
resultante da razão de duas distribuições normais independentes com parâmetros distintos, isto é não
identicamente distribuídas, a distribuição a posteriori marginal resultante da razão de duas
distribuições Student não centrais independentes, não identicamente distribuídas, a distribuição a
posteriori marginal resultante da razão de betas independentes com ambos os parâmetros distintos e a
distribuição a posteriori condicional para o parâmetro perturbador, cujo núcleo é o da função
integranda da representação integral da função hipergeométrica.
Surgiram ainda versões ponderadas de certas distribuições (normal e Student) com função de
ponderação |x|.
Elisete Correia
Título: Estabilidade em Análise Conjunta de Regressões e Condução Dinâmica de Planos de
Melhoramento
Autor: Amílcar Manuel do Rosário Oliveira, [email protected]
Orientador: João Tiago Mexia
A minha tese incide sobre a análise conjunta de regressões, ACR, técnica que tem sido utilizada na
análise conjunta de ensaios para a avaliação e comparação de cultivares. Inicialmente a técnica foi
utilizada para ensaios sempre com os mesmos cultivares, sendo posteriormente estendida à condução
de planos de melhoramento.
A aplicação da técnica consistia até agora, no ajustamento de regressões lineares da produção numa
variável não observável, designada por índice ambiental, que mede a capacidade produtiva.
Neste estudo procedeu-se à extensão da aplicação da técnica ACR, na medida em que passamos duma
análise clássica – na qual se tem apenas em atenção a produção de cada cultivar - para o caso alargado
em que se considera o valor económico.
Foi usada a técnica da quase-normalidade multiplicativa, onde através das simulações efectuadas foi
possível concluir que o produto de duas variáveis normais independentes, uma das quais com baixo
coeficiente de variação, é aproximadamente normal. Estes resultados permitiram tirar conclusões
importantes tendo em vista a aplicação prática.
É estabelecida a aplicação da técnica da ACR completada, considerando-se a informação adicional.
A técnica desenvolvida foi aplicada ao plano português de melhoramento de aveia (1984-2004).
Amílcar Oliveira
Outono de 2008
71
PRÉMIOS “ESTATÍSTICO JÚNIOR 2008”
Prémios “Estatístico Júnior 2008”
Trabalho classificado em 1º lugar (Ensino Secundário)
Título: Exames Nacionais do 9º ano
Autoria: Mariana Pinto Marques, Marta Isabel Nunes Vieira Fernandes e Rui Tavares Godinho
Estabelecimento de Ensino: Escola Secundária do Entroncamento
Ano de Escolaridade: 10º Ano
Professor orientador: Dulce Marina Bugalho Monteiro
Trabalhos classificados em 2º lugar (ex æquo) (Ensino Secundário)
Título: Como melhorar a educação nos próximos anos
Autoria: Vanda Catarina Ribeiro Gameiro, Ana Catarina Morgado e Cátia Sofia Guedes Pinto
Título: Caracterização sócio-económica dos alunos desta escola
Autoria: Ricardo Simões e Vítor Pereira
Estabelecimento de Ensino: Escola EB/S Padre Martins Capela, Terras de Bouro
Professor orientador: Patrícia Alexandra da Silva Ribeiro Sampaio
Título: Aplicando a distribuição bidimensional – Estudo da relação entre a CIF e a CE na disciplina de
Matemática A do 12º Ano
Autoria: Duarte José Baptista Pereira Alves e Dinis Cambraia Lopes Sarmento Pereira
Estabelecimento de Ensino: Escola Secundária Carlos Amarante-Braga
Professor orientador: Tomé António Mendes Torres
Trabalho classificado em 2º lugar (Ensino Básico)
Título: Hábitos alimentares dos alunos de 9º ano da Escola Artur Gonçalves
Autoria: Inês Oliveira Pedro dos Santos, Leonor Oliveira Pedro e Ana Beatriz Correia Lopes
Estabelecimento de Ensino: Escola Artur Gonçalves, Torres Novas
Professor orientador: Teresa de Jesus Poço Isabel
Título: Segurança na nossa Escola
Autoria: Catarina Mafalda Correia da Costa e Verónica Panea
Estabelecimento de Ensino: Escola Básica Integrada da Mexilhoeira Grande
Professor orientador: Clara Maria Lourenço Marquês
72
Boletim SPE
Prémios “Estatístico Júnior 2008”
PRÉMIOS “ESTATÍSTICO JÚNIOR 2008”
Título: Exames Nacionais do 9º ano
Autoria: Mariana Pinto Marques, Marta Isabel Nunes Vieira Fernandes e Rui Tavares Godinho
EstabelecimentoEXAMES
de Ensino: Escola
Secundária do Entroncamento
NACIONAIS
DE 9º ANO
Trabalhos classificados em 2º lugar (ex æquo) (Ensino Secundário)
Título: Como melhorar a educação nos próximos anos
Autoria: Vanda Catarina Ribeiro Gameiro, Ana Catarina Morgado e Cátia Sofia Guedes Pinto
Professor orientador: Dulce Marina
Bugalho Monteiro
MATEMÁTICA
Título: Caracterização sócio-económica dos alunos desta escola
Autoria: Ricardo Simões e Vítor Pereira
Estabelecimento de Ensino: Escola EB/S Padre Martins Capela, Terras de Bouro
Professor orientador: Patrícia Alexandra da Silva Ribeiro Sampaio
6- Achas que durante o ano foste bem preparado?
40
35
35
Título: Aplicando a distribuição bidimensional – Estudo da relação entre a CIF e a CE na disciplina de
Matemática A do 12º Ano
Autoria: Duarte José Baptista Pereira Alves e Dinis Cambraia Lopes Sarmento Pereira
Estabelecimento de Ensino: Escola Secundária Carlos Amarante-Braga
PORTUGUESA
Professor orientador: LÍNGUA
Tomé António Mendes
Torres
30
25
20
15
9
10
5
0
Sim
Não
Título: Hábitos alimentares dos alunos de 9º ano da Escola Artur Gonçalves
Autoria: Inês Oliveira Pedro dos Santos, Leonor Oliveira Pedro e Ana Beatriz Correia Lopes
Estabelecimento de Ensino: Escola Artur Gonçalves, Torres Novas
Professor orientador: Teresa de Jesus Poço Isabel
Título: Segurança na nossa Escola
Autoria: Catarina Mafalda Correia da Costa e Verónica Panea
Língua Portuguesa/Matemática
Estabelecimento de Ensino: Escola Básica Integrada da Mexilhoeira Grande
Professor orientador: Clara Maria Lourenço Marquês
Abordagem por penetrâncias alélicas: uma nova modelação estatística para a
análise de fenótipos binários complexos1

Nuno Sepúlveda, [email protected]
Instituto Gulbenkian de Ciência e CEAUL
Abordagem
por
penetrâncias
alélicas:
uma
nova
modelação
estatística para
aa
Abordagem
por
penetrâncias
alélicas:
uma
nova
modelação
para
1 estatística
Abordagem
por
penetrâncias
alélicas:
uma
nova
modelação
estatística
para
a e
Fenótipos binários complexos
sãodeo fenótipos
resultado de
uma rede
intrincada1 de factores genéticos
análise
binários
complexos
1
análise
de
fenótipos
binários
complexos

análisedecorre
de fenótipos
binários
ambientais.
Desta complexidade
a incerteza
na expressão
fenotípica estatística
para qualquer
genótipo,
Abordagem
por penetrâncias
alélicas:
uma
novacomplexos
modelação
para
a

1
suscitando a consideraçãoanálise
da probabilidade
de
um
indivíduo
manifestar
o
fenótipo
dado
o
seu
de fenótipos binários complexos

genótipo, que na literaturaNuno
genética
é conhecida
por penetrância. Diversos modelos lineares
Sepúlveda,
[email protected]
Nuno
Sepúlveda,
[email protected]

Nuno
Sepúlveda,
[email protected]
generalizados têm sido propostos
para Gulbenkian
dissecar geneticamente
tipo de fenótipos. Em geral, estes
Instituto
de
Ciência
ee este
CEAUL
Instituto
Gulbenkian
de
Ciência
CEAUL
Instituto
Gulbenkian
de
Ciência
e
CEAUL
modelos pressupõem
uma
escala
conveniente
para
a
penetrância
e efeitos lineares dos genes em
 
Nuno Sepúlveda, [email protected]
estudo,
seguindo
de
perto
a
filosofia
dos
populares
modelos
lineares
paradea factores
análise
de
fenótipos
Fenótipos
binários
complexos
são
oo Gulbenkian
resultado
de
uma
rede
intrincada
genéticos


 

 
 
 ee
Instituto
de Ciência
e CEAUL
Fenótipos
binários
complexos
são
resultado
de
uma
rede
intrincada
de
factores
genéticos
Fenótipos binários
complexos
são
o
resultado
de
uma
rede
intrincada
de
factores
genéticos
e
quantitativos.
Contudo,
estes
modelos
apresentam
algumas
lacunas
em
termos
de
interpretação
ambientais.
Desta
complexidade
decorre
a
incerteza
na
expressão
fenotípica
para
qualquer
genótipo,

ambientais.
Desta
complexidade
decorre
aa incerteza
na
expressão
fenotípica
para
qualquer
genótipo,
ambientais.
Desta
complexidade
decorre
incerteza
na
expressão
fenotípica
para
qualquer
genótipo,
genética:
(i)
os
alelos
que
conferem
o
fenótipo
não
são
explicitamente
especificados
nos
modelos;
(ii)
suscitando
aa consideração
da
probabilidade
de
um
indivíduo
manifestar
oo fenótipo
oo seu
Fenótipos binários
complexos
são o resultado
de
uma
rede intrincada
de
factores dado
genéticos
e
suscitando
consideração
da
probabilidade
de
um
indivíduo
manifestar
dado


suscitando
a de
consideração
darecessividade
probabilidade
dedecorre
um por
indivíduo
manifestar
o fenótipo
fenótipo
dado
o seu
seu
agenótipo,
modelação
dominância
e
não
de
uma
concepção
biológica
desses
conceitos;
que
na
literatura
genética
é
conhecida
penetrância.
Diversos
modelos
lineares
ambientais.
Desta
complexidade
decorre
a
incerteza
na
expressão
fenotípica
para
qualquer
genótipo,
genótipo,
que
na
literatura
genética
éé conhecida
por
Diversos
modelos
lineares
genótipo,
quetêm
na
literatura
genética
conhecida
por apenetrância.
penetrância.
Diversos
modelos
lineares
(iii)
a escolha
da
escala
para
penetrância
obedece
critérios
estatísticos
do
que
biológicos,
generalizados
sido
propostos
para
dissecar
este
tipo
de
fenótipos.
Em
geral,
suscitando
a consideração
daa probabilidade
degeneticamente
um mais
indivíduo
manifestar
o fenótipo
dado
oestes
seu
generalizados
têm
sido
propostos
para
dissecar
geneticamente
este
tipo
de
fenótipos.
Em
geral,
estes
generalizados
têm
sidouma
propostos
para
dissecar
geneticamente
esteostipo
de fenótipos.
Em
geral,
estes
nomeadamente,
o
bom
ajustamento
de
um
modelo
aos
dados;
(iv)
modelos
não
permitem
por
siem
só
modelos
pressupõem
escala
conveniente
para
a
penetrância
e
efeitos
lineares
dos
genes
genótipo,
que
na
literatura
genética
é
conhecida
por
penetrância.
Diversos
modelos
lineares


modelos
pressupõem
uma
conveniente
para
aa penetrância
ee efeitos
lineares
dos
genes
em
modelosmecanismos
pressupõem
uma escala
escala
conveniente
paraa herança
penetrância
efeitos
lineares
dos
genes
em
extrair
genéticos
que
possam
explicar
do
fenótipo.
Tais
deficiências
justificam
estudo,
seguindo
de
perto
a
filosofia
dos
populares
modelos
lineares
para
a
análise
de
fenótipos
generalizados
têm de
sido propostos
para dissecar
geneticamente
este
tipo de
fenótipos.
Emdegeral,
estes
estudo,
seguindo
aa filosofia
dos
populares
modelos
lineares
para
aa análise
fenótipos
estudo,
seguindo
de perto
perto
filosofia
dos
populares
modelos
lineares em
para
de
fenótipos
aquantitativos.
necessidade
premente
de
desenvolver
novos
modelos
mais apropriados
para
a análise
análise
de genes










em
Contudo,
estes
modelos
apresentam
lacunas
termos
de
interpretação
modelos
pressupõem
uma
escala
conveniente
para
aalgumas
penetrância
e efeitos
lineares
dos
quantitativos.
Contudo,
estes
modelos
apresentam
algumas
lacunas
em
termos
de
interpretação
quantitativos.
Contudo,
estes
modelos
apresentam
algumas
em termos
deinterpretação
binários
complexos

 


 lacunas



genética:
(i)
os
alelos
que
conferem
oo fenótipo
não
são
explicitamente
especificados
nos
modelos;
(ii)
estudo, seguindo
de[1].
perto
a filosofia
dos populares
modelos
lineares
para 
a análise
de
fenótipos
genética:
(i)
os
alelos
que
conferem
fenótipo
não
são
explicitamente
especificados
nos
modelos;
(ii)
genética:
(i)
os
alelos
que
conferem
o
fenótipo
não
são
explicitamente
especificados
nos
modelos;
(ii)
Tentando
suprir
as
deficiências
enumeradas
acima,
propõe-se
a lacunas
abordagem
por
penetrâncias
alélicas
aaquantitativos.
modelação
de
dominância
ee recessividade
não
decorre
de
uma
concepção
desses
conceitos;
Contudo,
estes
modelos
apresentam
algumas
embiológica
termos
de interpretação
modelação
de
dominância
recessividade
não
decorre
de
uma
concepção
biológica
desses
conceitos;
apara
modelação
de penetrância
dominância
e recessividade
não
decorre
de[2,3].
uma
concepção
biológica
desses
conceitos;
em
experimentais
Nesta nova
modelação,
admite-se
que
(iii)
aamodelar
escolha
escala
aapopulações
penetrância
obedece
aa critérios
estatísticos
do
que
biológicos,
genética:
(i) osada
alelos
quepara
conferem
o
fenótipo
não 
sãomais
explicitamente
especificados
nos
modelos;
(ii)
(iii)
escolha
da
escala
para
penetrância
obedece
mais
critérios
estatísticos
do
que
biológicos,









(iii)
a
escolha
da
escala
para
a
penetrância
obedece
mais
a
critérios
estatísticos
do
que
biológicos,
os
alelos
do
genótipo
têm
uma
probabilidade
de
se
expressarem
ao
nível
do
fenótipo.
Deste
modo,
nomeadamente,
o
bom
ajustamento
de
um
modelo
aos
dados;
(iv)
os
modelos
não
permitem
por
si
só
a modelação de dominância
e recessividade
não decorre
de
uma(iv)
concepção
biológica
desses
conceitos;
nomeadamente,
oo 
bom
ajustamento
de
modelo
aos
dados;
os
modelos
não
permitem
por








nomeadamente,
bom
ajustamento
de um
umser
modelo
aos
dados;
(iv)
os
modelos
não
permitem
por si
si só
só
vários
modelos
de
acção
genética
podem
facilmente
obtidos
por
diferentes
condições
de
expressão
extrair
mecanismos
genéticos
que
possam
explicar
a
herança
do
fenótipo.
Tais
deficiências
justificam
(iii)
a escolha
da 
escala
para
a penetrância
obedece
mais
a
critérios
estatísticos
do 
que
biológicos,
extrair
mecanismos
genéticos
que
possam
explicar
aa herança
do
fenótipo.
Tais
deficiências
justificam













extrair
mecanismos
genéticos
que
possam
explicar
herança
do
fenótipo.
Tais
deficiências
justificam
alélica.
Neste
trabalho
revêem-se
os
modelos
de
penetrância
alélica
propostos
para
fenótipos
binários
aanomeadamente,
necessidade
premente
de
desenvolver
novos
modelos
mais
apropriados
para
aa análise
de
fenótipos
o 
bom ajustamento
de um
modelo
aos
dados;
(iv)
os modelos
não
permitem
por si só
necessidade
premente
de
novos
modelos
mais
apropriados
para
análise
de
fenótipos




 
 


acomplexos,
necessidade
premente
de desenvolver
desenvolver
novos
modelos
mais
apropriados
para
a
análise
de
fenótipos
nomeadamente,
os
modelos
de
dominância
e
recessividade
para
a
acção
de
um
gene,
e os
binários
complexos
[1].
extrair
mecanismos
genéticos
que
possam
explicar
a
herança
do
fenótipo.
Tais
deficiências
justificam
binários
complexos
[1].

binários
complexos
[1].
modelos
de
acção
independente,
inibitória
e
cumulativa
para
dois
genes.
A
sua
análise
estatística
Tentando
suprir
as
deficiências
enumeradas
acima,
propõe-se
aa abordagem
por
alélicas
a necessidade
premente
de desenvolver
novos
modelos
mais apropriados
para
apenetrâncias
análise de fenótipos
Tentando
suprir
as
deficiências
enumeradas
acima,
propõe-se
abordagem
por
penetrâncias
alélicas
Tentando
suprir
as
deficiências
enumeradas
acima,
propõe-se
a
abordagem
por
penetrâncias
alélicas
processa-se
segundo
métodos
bayesianos,
não
só
por
serem
teoricamente
coerentes
e
permitirem
a
para
modelar
a
penetrância
em
populações
experimentais
[2,3].
Nesta
nova
modelação,
admite-se
que
penetrância

binários
complexos
[1].
para
modelar
a
em
populações
experimentais
[2,3].
Nesta
nova
modelação,
admite-se
que
paraalelos
modelar
a penetrância
em
populações
experimentais
[2,3]. Nesta
nova do
modelação,
admite-se
que
incorporação
de
informação
a
priori,
mas
também
por
estarem
a
tornar-se
cada
vez
mais
acessíveis
os
do
genótipo
têm
uma
probabilidade
de
se
expressarem
ao
nível
fenótipo.
Deste
modo,
Tentando
suprir as deficiências
enumeradas acima,
propõe-se
a abordagem
porfenótipo.
penetrâncias
alélicas
os
alelos do
têm
uma
de
se
expressarem
ao
nível
do
Deste
modo,
deDois


aplicação


 


 
os
do genótipo
genótipo
têm
uma probabilidade
probabilidade
de
seapresentados:
expressarem
aodiferentes
nível
do condições
fenótipo.
Deste
modo,
aosalelos
geneticistas.
exemplos
de
são
um
referente
à acção
do
haplótipo
vários
modelos
acção
genética
podem
ser
facilmente
obtidos
por
de
expressão
para
modelar
a penetrância
em populações
experimentais
[2,3]. Nesta
nova
modelação,
admite-se
que
vários
modelos
de
acção
genética
podem
ser
facilmente
obtidos
por
diferentes
condições
de
expressão









 
vários
modelos
de
acção
genética
podem
ser
facilmente
obtidos
por imunoglobulinas
diferentes
condições
de
expressão
[HLA-B8,SC01,DR3]
na
herança
genética
das
deficiências
de
D
e
G4
numa
alélica.
Neste
trabalho
revêem-se
os
modelos
de
penetrância
alélica
propostos
para
fenótipos
binários
os alelosNeste
do genótipo
têm
uma probabilidade
depenetrância
se expressarem
nível do para
fenótipo.
Destebinários
modo,
alélica.
trabalho
revêem-se
os
modelos
de
alélicaaopropostos
fenótipos

alélica.
Neste
trabalho
os
modelos
de
penetrância
propostos
parada
fenótipos
binários
população
caucasiana,
erevêem-se
um
outro
relacionado
com
a acção
dealélica
dois
no
controlo
susceptibilidade
complexos,
nomeadamente,
os
modelos
de
eeobtidos
recessividade
para
aa acção
de
um
ee os
vários
modelos
de acção
genética
podem
serdominância
facilmente
porloci
diferentes
condições
de gene,
expressão
complexos,
nomeadamente,
os
modelos
de
dominância
recessividade
para
acção
de
um
gene,
complexos,
nomeadamente,
os modelos
demurganhos.
dominância
e recessividade
para aAacção
de um gene,
e os
os
àalélica.
infecção
por
Listeria
monocytogenes
em
modelos
de
acção
independente,
inibitória
e
cumulativa
para
dois
genes.
sua
análise
estatística
Neste
trabalho
revêem-se
os
modelos
de
penetrância
alélica
propostos
para
fenótipos
binários
modelos
de
acção
inibitória
ee cumulativa
para
dois
genes.
A
sua
análise
estatística
 independente,

  
 

 
 
modelos
de
acção
independente,
inibitória
cumulativa
para
dois
genes.
A
sua
análise
estatística
processa-se
segundo
métodos
não
só por
serem
teoricamente
permitirem
complexos, nomeadamente,
os bayesianos,
modelos
de 
dominância
e recessividade
para coerentes
a acção deee
um
gene, e osaa
processa-se
segundo
métodos
não
por
serem
teoricamente
coerentes


 


 

processa-se
segundo
métodosa bayesianos,
bayesianos,
não só
só
por
serem
teoricamente
coerentes
e permitirem
permitirem
a
Referências:
incorporação
de
informação
priori,
mas
também
por
estarem
a
tornar-se
cada
vez
mais
acessíveis
modelos
de acção
independente,
inibitória
e cumulativa
para dois
genes. cada
A suavez
análise
estatística
incorporação
de
informação
aa priori,
mas
também
por
estarem
aa tornar-se
mais
acessíveis

incorporação
de
informação
priori,
mas
também
por
estarem
tornar-se
cada
vez
mais
acessíveis
[1]
Cordell,
H.,
Todd,
J.,
Hill,
N.,
Lord,
C.,
Lyons,
P.,
Peterson,
L.,
Wicker,
L.
and
Clayton,
D.
(2001).
aos
geneticistas.
Dois
exemplos
de
aplicação
apresentados:
um
referente
àà acção
do
haplótipo
processa-se
segundo
métodos
bayesianos,
não são
só por
serem teoricamente
coerentes
e permitirem
a
aos
Dois
exemplos
de
aplicação
são
apresentados:
um
referente
do
haplótipo
aos geneticistas.
geneticistas.
Dois
exemplos
de
aplicaçãodas
sãoadeficiências
apresentados:
um
referente
àofacção
acção
do
haplótipo
Statistical
Modeling
of
Interlocus
Interactions
in
Complex
Disease:
Rejection
the
Multiplicative
[HLA-B8,SC01,DR3]
na
herança
genética
de
imunoglobulinas
D
e
G4
numa


incorporação
de
informação
a
priori,
mas
também
por
estarem
a
tornar-se
cada
vez
mais
acessíveis
[HLA-B8,SC01,DR3]
na
genética
das
deficiências
de
imunoglobulinas
D
[HLA-B8,SC01,DR3]
naumherança
herança
genética
das
deficiências
de loci
imunoglobulinas
D ee G4
G4 numa
numa
Model
of Epistasis
in Type
Ioutro
Diabetes.
Genetics
158:357-367.
população
caucasiana,
eeexemplos
relacionado
com
aaapresentados:
acção
de
dois
no
controlo
da
susceptibilidade
aos geneticistas.
Dois
de
aplicação
são
um
referente
à
acção
do
haplótipo
população
caucasiana,
um
outro
relacionado
com
acção
de
dois
loci
no
controlo
da
susceptibilidade













população
caucasiana,
e
um
outro
relacionado
com
a
acção
de
dois
loci
no
controlo
da
susceptibilidade
[2]
Sepúlveda,
N. (2004).
Modelosgenética
estatísticos
para
a acção de
conjunta de dois loci
fenótipos
àà[HLA-B8,SC01,DR3]
infecção
por
Listeria
monocytogenes
em murganhos.
na herança
das 
deficiências
D em
e G4
numa
por
monocytogenes

 em
murganhos.

 imunoglobulinas

 Superior
 

à infecção
infecção
por Listeria
Listeria
monocytogenes
em
murganhos.
binários
complexos.
Tese
de
Mestrado,
Departamento
de
Matemática,
Instituto
Técnico.
população caucasiana,
e um outro relacionado com a acção de dois loci no controlo da susceptibilidade
[3]
Sepúlveda,
N.,
Paulino,
C. D., Carneiro,
J. and Penha-Gonçalves, C. (2007). Allelic penetrance
Referências:
à infecção
por Listeria
monocytogenes
em murganhos.
Referências:
Referências:
approach
as H.,
a tool
to
model
two-locus
interaction
inP.,
complex
binary
traits. Heredity
99:173-184.
[1]
Cordell,
Todd,
J.,
Hill,
N.,
Lord,
C.,
Lyons,
Peterson,
L.,
Wicker,
L.
and
Clayton,
D.
(2001).


[1]
Cordell,
H.,
Todd,
J.,
Hill,
N.,
Lord,
C.,
Lyons,
P.,
Peterson,
L.,
Wicker,
L.
and
Clayton,
D.
(2001).
[1]
Cordell,
H.,
Todd,
J.,
Hill,
N.,
Lord,
C.,
Lyons,
P.,
Peterson,
L.,
Wicker,
L.
and
Clayton,
D.
(2001).
Statistical
Modeling
Interlocus
in
aa
Complex
Disease:
of
the
Multiplicative
 of

   Interactions
 
 
Rejection
 
 
Referências:
Statistical
Modeling
of
Interlocus
Interactions
in
Complex
Disease:
Rejection
of
the
Multiplicative
Nuno
Sepúlveda,
galardoado
com
o
prémio
SPE
2008,
licenciou-se
em
Matemática
Aplicada
e
Computação
(ramo
de
Statistical
Modeling
of
Interlocus
Interactions
in158:357-367.
a Complex Disease: Rejection of the Multiplicative
Model
of
Epistasis
in
Type
II Diabetes.
Genetics

[1]
Cordell,
H.,
Todd,
J.,pelo
Hill,
N., Lord,
C., Técnico.
Lyons,
P., Peterson,
L., Wicker,
L. pela
and mesma
Clayton,
D. (2001).
Model
of
Epistasis
in
Type
Diabetes.
Genetics
158:357-367.
Probabilidades
e
Estatística)
Instituto
Superior
Mestre
em
Matemática
Aplicada
instituição
sob
Model
of Epistasis
in(2004).
Type I Modelos
Diabetes. estatísticos
Genetics 158:357-367.
[2]
Sepúlveda,
N.
aa acção
conjunta
de
dois
em
fenótiposa
Statistical
Modeling
of
Interlocus
apara
Complex
Rejection
of loci
the Multiplicative
[2]
Sepúlveda,
N.
(2004).
Modelos
estatísticos
para
acção
conjunta
de
dois
loci
em
supervisão
do
Professor
Doutor
Carlos Interactions
Daniel
Paulino,inencontra-se
no Disease:
Instituto
Gulbenkian
de
Ciência
a fenótipos
terminar o
[2] Sepúlveda,
N.
(2004).
Modelos
estatísticos
para
aMatemática,
acção
conjunta
de dois
loci Técnico.
emconvidado
fenótipos

binários
complexos.
Tese
de
Mestrado,
Departamento
de
Instituto
Superior
doutoramento
em
Ciências
Biológicas,
sob
a
orientação
do
Professor
Doutor
Jorge
Carneiro.
É
docente
na
Model
of
Epistasis
in
Type
I
Diabetes.
Genetics
158:357-367.
binários
complexos.
Tese
de
Mestrado,
Departamento
de
Instituto
Superior
Técnico.
binários
complexos.
Tese
de
Mestrado,
Departamento
de Matemática,
Matemática,
Instituto
Superior
Técnico.
[3]
Sepúlveda,
N.,
Paulino,
C.
D.,
Carneiro,
J.
and
Penha-Gonçalves,
C.
(2007).
Allelic
penetrance
Escola
Superior
de
Saúde
Egas
Moniz
e
no
Instituto
Superior
de
Ciências
da
Saúde
Egas
Moniz
.
[2] Sepúlveda,
Sepúlveda,
N. Paulino,
(2004). Modelos
estatísticos
paraPenha-Gonçalves,
a acção conjunta
de
dois Allelic
loci em fenótipos
[3]
N.,
C.
J.
C.
(2007).
[3] Sepúlveda,
N.,
Paulino,
C. D.,
D., Carneiro,
Carneiro,
J. and
and
Penha-Gonçalves,
C.Heredity
(2007). 99:173-184.
Allelic penetrance
penetrance
approach
as
aa tool
to
model
two-locus
interaction
in
complex
binary
traits.
binários complexos.
Tese
de
Mestrado,
Departamento
de
Matemática,
Instituto
Superior
Técnico. 
approach
as
tool
to
model
two-locus
interaction
in
complex
binary
traits.
Heredity
99:173-184.

 





approach as a tool
to model
two-locus
interaction
in complex
binary
traits.
Heredity 
99:173-184.
[3] Sepúlveda, N.,
Paulino, C. D., Carneiro, J. and Penha-Gonçalves, C. (2007). Allelic penetrance
Nuno Sepúlveda, galardoado
com o prémio SPE 2008, licenciou-se em Matemática Aplicada e Computação (ramo de
Nuno
Sepúlveda,
galardoado
com
o prémiointeraction
SPE 2008, licenciou-se
em
Matemática
Aplicada
e Computação
(ramo de
approach
as
a
tool
to
model
two-locus
inMestre
complex
binary
traits.
Heredity
99:173-184.
Probabilidades
e Estatística)
pelo
Instituto
Superior
em em
Matemática
Aplicada
pelaemesma
instituição
sobdea
Nuno Sepúlveda,
galardoado
com
o prémio
SPE Técnico.
2008, licenciou-se
Matemática
Aplicada
Computação
(ramo

Probabilidades e Estatística) pelo Instituto Superior Técnico. Mestre em Matemática Aplicada pela mesma instituição sob a
supervisão
do Professor
Doutor
Carlos Daniel
Paulino,
encontra-se
Instituto Aplicada
Gulbenkian
Ciência
a terminar
Probabilidades
e Estatística)
pelo Instituto
Superior
Técnico.
Mestre emno
Matemática
pelademesma
instituição
sob oa
supervisão
do Professor
Doutor
Carlos
Daniel
Paulino,
encontra-se
no
Instituto
Gulbenkian
Ciência a terminar
o
Nuno Sepúlveda,
galardoado
com
o prémio
2008, do
licenciou-se
em
Matemática
Aplicadade
(ramo na
de
doutoramento
Ciências
Biológicas,
sob
a SPE
orientação
Professorno
Doutor
Jorge
Carneiro.
Ée Computação
docente
convidado
supervisão
do em
Professor
Doutor
Carlos
Daniel
Paulino,
encontra-se
Instituto
Gulbenkian
de
Ciência
a
terminar
o

doutoramento
em
Ciências Biológicas,
sob
a orientação
doMestre
Professor
Doutor Jorge
Carneiro.
Émesma
docente
convidado
naa
Probabilidades
e
Estatística)
pelo
Instituto
Superior
Técnico.
em
Matemática
Aplicada
pela
instituição
sob
doutoramento
Biológicas,
sobInstituto
a orientação
do de
Professor
Jorge
Escola Superiorem
de Ciências
Saúde Egas
Moniz e no
Superior
CiênciasDoutor
da Saúde
EgasCarneiro.
Moniz. É docente convidado na
Escola Superior
de Saúde Doutor
Egas Moniz
e noDaniel
Instituto
Superior
de Ciências
Saúde Egas
Moniz. de Ciência a terminar o
supervisão
do Professor
Carlos
Paulino,
encontra-se
noda
Gulbenkian

Escola Superior
de Saúde Egas Moniz
e no Instituto
Superior
de Ciências
daInstituto
Saúde Egas
Moniz.
doutoramento
em
Ciências
Biológicas,
sob
a
orientação
do
Professor
Doutor
Jorge
Carneiro.
É docente convidado na
1

Trabalho financiado pelo Instituto Gulbenkian de Ciência e pela Fundação para a Ciência e Tecnologia (Bolsa de
Escola
Superior
de
Saúde
Egas
Moniz
e
no
Instituto
Superior
de
Ciências
da
Saúde
Egas
Moniz
.
Doutoramento SFRH/BD/19810).


Outono de 2008 - Sociedade Portuguesa de Estatística

Transcrição

Documentos relacionados

Conferência e Exposição SPE atende às necessidades da América

Ementa de Disciplina - Programa de Pós

Prezado Sr./Sra.: A Sony Pictures Entertainment ("SPE") lhe escreve

Terrorismo Poético

for immediate release - Society of Petroleum Engineers

SPE Macaé apoia treinamento de alunos da UENF

Modelo do trabalho - DT - Home Page

ATA Nº11

fichat é cnicafichat é cnica

FIEB anuncia vencedores do Prêmio Desempenho