Eletricidade da Matéria: Materiais Condutores

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Eletromagnetismo
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Os Materiais Condutores
Em relação aos fenômenos elétricos, notadamente quanto à possibilidade de se estabelecer uma
corrente elétrica passando por eles, classificamos, na física clássica, os materiais em duas categorias:
condutores e isolantes (também denominados dielétricos).
Abordaremos, neste tópico, os materiais condutores, dos quais o cobre é o melhor exemplo. Este
metal, cada vez mais valorizado, se constitui num material bem típico de material condutor. Cada
átomo do elemento cobre tem 29 elétrons distribuídos ao longo de 4 camadas orbitando em torno
do núcleo, que contém 29 prótons. A Figura 1 esquematiza uma distribuição clássica desses elétrons
em torno do núcleo. O elétron da última camada está mais fracamente ligado ao núcleo (ou ao átomo).
Em termos energéticos, é fácil arrancar esse elétron do átomo transformando-o no íon Cu+.
Nos metais em geral, como no caso de um de fio de cobre puro, os átomos ocupam pontos que
se distribuem formando uma rede tridimensional - rede cristalina. No entanto, a rede é formada, a
rigor, por íons (+) que ocupam pontos fixos da rede cristalina. Nesse arranjo, os elétrons da última
camada (a camada dita de valência) se sentem “livres“ para viajar pelo metal. A Figura 2 apresenta
uma ilustração, no plano, dos elétrons em movimento praticamente livre e os íons do metal ocupando
posições fixas.
a
b
Figura 2: (a) Elétrons livres e em movimento num plano. (b) Num metal, podemos
considerar os elétrons como se formassem uma nuvem em movimento entre
núcleos de átomos que ocupam posições regulares no espaço.
Nesse caso, os elétrons continuam pertencendo a toda a rede cristalina do metal, porém, não
pertencem a um átomo específico. Como resultado, eles passam a formar uma “nuvem de elétrons”,
Figura 1: Modelo planetário clássico do
átomo de cobre. Observe o único elétron
na última camada.
que ocupa toda a rede cristalina. Esses elétrons se movem com grande facilidade através da rede
cristalina, e são denominados “elétrons livres”.
exercícios resolvidos 
Os condutores metálicos (cobre, prata, ferro, alumínio e outros) apresentam elétrons livres. Para
um mesmo volume, o cobre é um dos condutores com maior número de elétrons livres e daí o seu
uso cada vez mais disseminado.
Mesmo na ausência de campo elétrico externo, os elétrons livres não se encontram parados em
relação à rede cristalina, mas animados de movimentos desordenados, que ocorrem entre os íons (+)
fixos da rede cristalina do metal. Na presença de um campo elétrico externo, eles rapidamente se
põem em movimento, preferencialmente, no sentido oposto ao das linhas de força do campo indutor.
Os condutores são, assim, materiais cuja estrutura pode ser pensada como a de uma nuvem de
elétrons que se desloca com grande facilidade mediante a aplicação de um campo elétrico ao material.
Dizemos que esses elétrons são elétrons livres. Uma vez que não podem abandonar o material,
existe um limite para a sua liberdade.
Neste tópico, admitiremos que todos os condutores são perfeitos. Com isso admitimos que os
elétrons se movem no material mesmo mediante um campo elétrico muito fraco. Nesses materiais,
os elétrons têm grande mobilidade. Metais são os materiais cujo comportamento mais se assemelha
ao de um condutor perfeito.
Um condutor pode ter carga elétrica em excesso distribuída ao longo dele. A forma mais simples
de neutralizá-la é mediante o aterramento, ou seja, ligando-o à terra por meio de um fio condutor.
Definimos o potencial da Terra como um potencial nulo.
Um sistema composto por dois condutores carregados e com cargas de sinal oposto é denominado capacitor ou condensador. Os capacitores têm inúmeras aplicações práticas. Eles se constituem
em um elemento essencial nos circuitos na medida em que e podem armazenar cargas elétricas e,
consequentemente, armazenam energia que pode ser utilizada de várias maneiras. Essa é uma das
utilidades dos condutores.
2
3
O Campo Eletrostático num Condutor
Num material condutor, os elétrons se movem até que nele se atinja uma situação de equilíbrio
eletrostático. A condição para esse equilíbrio é a de que a força elétrica no interior do material seja
nula. Assim, escrevemos


Einterior = 0
( 1 )
Não é difícil entender a razão para que isso aconteça. Consideremos um condutor próximo de
cargas elétricas positivas, as quais criarão um campo elétrico em todo o espaço. Com a existência de
elétrons facilmente removíveis, os elétrons livres deixarão os átomos e se dirigirão para a superfície
do condutor. Eles tenderão a ficar mais próximos das cargas externas se estas tiverem o sinal positivo, mas ficarão o mais longe possível das cargas externas se elas tiverem sinal negativo. Movimento
oposto ao dos elétrons farão os íons positivos (os átomos que perderam elétrons).
Esse novo rearranjo de cargas acontecerá até que se busque uma situação de equilíbrio. Por
equilíbrio entendemos a não existência de forças no interior do condutor. Não existir forças é o
mesmo que não existir campos elétricos no interior dele.
Em resumo, em qualquer caso, a distribuição de cargas será tal que o campo elétrico produzido
por elas somado ao campo elétrico externo resulta um campo elétrico nulo no interior do condutor.
As linhas de força do campo elétrico na região próxima da superfície de um condutor são linhas
perpendiculares à superfície do condutor.
O fato de o campo elétrico ser nulo no interior de um condutor inspirou o cientista britânico
Michael Faraday a inventar a sua famosa gaiola. A gaiola de Faraday, descoberta em 1836, nada
mais é do que um ambiente no qual se tenha assegurada a blindagem contra campos elétricos
externos. Faraday revestiu as paredes de uma sala com lâminas metálicas - arranjo que ficou conhecido como “Gaiola de Faraday”. Em seguida produziu, com uma máquina eletrostática, descargas de
alta tensão no lado externo da sala. Verificou que um eletroscópio no interior da sala não acusou
excesso de cargas elétricas.
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Um avião a jato cuja fuselagem é totalmente metálica é um bom exemplo de “Gaiola de Faraday”.
Ao ser atingido por uma descarga elétrica, as cargas se espalham pela fuselagem, não atingindo a
parte interna do avião.
Cargas Superficiais
Todas as cargas elétricas livres se concentrarão na superfície do condutor, não existindo, assim,
cargas livres no seu interior. Escrevemos, para um condutor:
σ = σ(x, y, z)
ρlivres = 0
[no interior do Condutor]
( 2 )
ou seja, as cargas elétricas se encontram apenas na superfície, onde sua densidade superficial
[σ = σ (x, y, z)] pode variar de acordo com a posição dos pontos localizados na superfície do condutor.
Podemos determinar a densidade de cargas livres se soubermos a componente normal (perpendicular) à superfície do vetor campo elétrico. Como o campo elétrico no interior é nulo, podemos
∂E x ∂E y ∂E z ρ
+
+
=
) na interface entre o meio condutor e o
∂x
∂y
∂z ε0
meio externo (caracterizado por uma permissividade ε), a seguinte relação entre a componente
escrever, utilizando a lei de Gauss (
normal do campo elétrico na superfície do condutor e a densidade superficial:
σ(x, y, z) = εEn (x, y, z)|superfície
( 3 )
Um condutor usualmente é neutro. As cargas são distribuídas não uniformemente na sua superfície, com excesso de elétrons numa região e falta em outra. Podemos, no entanto, chegar a uma
situação em que podemos ter só um tipo de cargas B se entanto obter um condutor com apenas
um tipo de carga se tomarmos a providência de aterrá-lo, ou seja, de ligá-lo à terra através de um
fio condutor. Por esse fio a carga se escoará para a terra.
5
O Potencial Eletrostático
Dentro do condutor sólido, o potencial eletrostático (ou elétrico) é constante, pois o campo elétrico a ele associado, no interior do condutor, é nulo. Na superfície do condutor, o potencial V tem
o valor igual ao do potencial elétrico que vigora dentro do condutor. Assim, escrevemos:
Vdentro(x, y, z) = Vsuperfície = V0
( 4 )
Assim, a superfície de um condutor é uma superfície equipotencial. De fato, se houvesse um
gradiente de potencial ao longo da superfície, haveria um campo na direção tangencial à superfície,
o que seria incompatível com a hipótese de equilíbrio. Se a superfície estiver em contato com a
terra, o potencial será admitido como nulo.
V0 = 0
( 5 )
Um exemplo simples
A título de exemplo, consideremos o caso de uma carga Q próxima de um plano condutor infinito.
Admitir o condutor como se fosse infinito é apenas uma idealização feita para simplificar o problema.
Admitiremos que o plano esteja conectado à Terra. Consequentemente, imporemos que o potencial
na superfície do condutor seja nulo. Utilizando as coordenadas cartesianas, e para um plano dado
pela condição:
z=0
( 6 )
Figura 3: Carga elétrica Q situado no eixo 0z
próximo de um condutor plano aterrado e
considerado infinito.
6
a condição do potencial eletrostático de que o potencial seja nulo no plano dado pela expressão (6) é,
portanto,
para visualizar expressões matemáticas
V (x, y, 0) = 0
( 7 )
Esse problema será resolvido pelo método conhecido como método das imagens.
A ideia desse método é a de procurar uma solução de um problema análogo a esse e no qual o
potencial na superfície considerada se anule, ou seja, procuraremos uma situação em que a condição
de contorno (na superfície, portanto) seja a mesma. Resolvemos o problema recorrendo a uma
situação similar.
Consideremos o potencial elétrico devido a duas cargas Q, mas de sinais opostos. A carga de sinal
-Q tem o nome de carga imagem. Imaginemos agora a situação descrita pela Figura 3, na qual a
carga de sinal positivo se encontra na posição z = d (as demais coordenadas iguais a zero) e a carga
negativa se encontra no eixo z e com coordenada z = -d. Nessas circunstâncias, o campo elétrico
produzido pelas duas cargas é dado pela expressão
V(x, y, 0) = 0
( 8 )
Na superfície plana, o valor do campo elétrico é dado pela expressão (8) tomando o valor de z = 0.
Obtém-se:



Q 
-2dk
E ( x, y ,0 ) =

4πε0 
2
2
2
 ( d ) + ( y ) + x
(
)


3 
2 

( 9 )
Como esperado, o campo elétrico próximo da superfície é perpendicular a ela, uma vez que só
temos a componente z.
A partir de (9) e (3) concluímos que a densidade de cargas na superfície do plano é dada por:

Q 
d
σ ( x, y ) =
- 
2π 
2
2
 (d ) + ( y ) + x2

(
)
3
2





( 10 )
utilizadas em outras páginas, clique sobre
o respectivo número.
7
Nota-se que as cargas estarão mais concentradas na região em frente à carga Q e sua distribuição vai ficando mais reduzida à medida que nos afastamos do ponto que fica mais próximo da
carga Q. A carga total concentrada no plano é dada por:
+∞ +∞
=
Qtotal
∫ ∫ dxdyσ ( x, y )
( 11 )
-∞ -∞
Uma integração, utilizando variáveis polares, nos fornece o resultado:
Qtotal = −Q
( 12 )
resultado esse interessante e não tão surpreendente, uma vez que a carga imagem tem exatamente
esse valor.
O Poder das Pontas
O campo elétrico assume os valores mais distintos ao longo de um condutor. Em particular, ele é
mais intenso nas regiões, ao longo da superfice, de menor raio de curvatura, isto é, o campo elétrico
é mais intenso nas regiões pontiagudas.
O fato de que numa ponta o campo elétrico é muito intenso recebe o nome de poder das pontas.
O poder que elas exercem será explicado e algumas consequências serão analisadas posteriormente.
Para entender esse fenômeno, consideremos duas esferas com cargas, de raios R e r, mantidas
a potenciais iguais. Isso pode ser conseguido através da interligação utilizando um fio.
Como as esferas têm cargas Q e q, respectivamente, cada uma delas tem os potenciais dados
pelas expressões:
V1
=
1 Q
1 q
=
  e V2
 
4πε0  R 
4πε0  r 
( 13 )
Figura 4: O poder das pontas:
O campo elétrico é mais intenso nas
regiões pontiagudas
8
As cargas se distribuem de tal forma que elas são proporcionais aos seus raios. De fato, a partir
da igualdade dos potenciais, segue-se que as cargas em cada uma delas são dadas pela relação:
Q R
=
q r
( 14 )
Os módulos dos campos elétricos são dados por outro lado pela expressão:
E1 Q  r 2 
=
E2 q  R 2 
( 15 )
Donde concluímos que a relação entre os campos elétricos, para as duas superfícies de mesmo
potencial, será :
E1  r 
= 
E2  R 
( 16 )
E, portanto, quanto menor o raio da superficie, mais intenso será o
campo elétrico nessa superficie.Tendo em vista que, para cada ponto
numa superfície, podemos sempre associar a ele um raio associado a uma
superficie formada pelo conjunto de pontos no seu entorno, concluímos
que as regiões pontiagudas são aquelas para as quais os campos elétricos
são mais intensos. Seguindo o mesmo raciocínio, concluímos que uma
ponta (região de menor curvatura) tem a capacidade de se eletrizar com
mais facilidade do que as regiões de maior raio de curvatura.
O fato de o campo ser mais intenso nas pontas faz com que essas regiões percam cargas mais
facilmente do que outras regiões (aquelas menos pontiagudas). Como consequência, podem ocorrer
nas regiões pontiagudas descargas elétricas intensas. Isso acontece, por exemplo, quando colocamos duas pontas próximas uma da outra e aumentamos a diferença de potencial entre elas.
Ao atingirmos um determinado valor para a diferença de potencial salta uma faísca entre as duas
pontas. No entanto, se substituirmos uma das pontas por um plano, não haverá faísca. Em vez da
faísca, teremos a formação de uma corrente (fraca) entre o plano e a ponta como resultado da ionização do ar.
O poder das pontas tem relação com a rigidez dielétrica. Esta é definida como o maior valor do
campo elétrico que transforma um isolante num condutor elétrico. No caso do ar, a rigidez dielétrica é
cerca de 30.000 V/cm; no vidro, entre 75 kV/cm e 600 kV/cm. Isso significa que se, na superfície de um
condutor eletrizado localizado no ar, existir uma ponta onde o campo elétrico atinja o valor E = 30 kV/cm,
então, por essa ponta ocorrerá uma perda de cargas.
O poder das pontas implica dois fenômenos:
• Uma região pontiaguda (de raio de curvatura ínfimo) tem mais facilidade de se eletrizar do
que aquelas regiões de grandes valores de raio de curvatura.
• O fato de o campo elétrico ser mais intenso nas pontas facilita a fuga de cargas elétricas: um
condutor eletrizado pode “descarregar” cargas elétricas para o ar e se tornar neutro.
Os dois fatos acima e o fato de o campo ser mais intenso nas pontas conferem às pontas um
poder de atrair cargas e um poder de produzir descargas elétricas de grandes intensidades. Disso
deriva o termo “poder das pontas”.
O poder das pontas pode ser demonstrado através de dois fenômenos intrigantes denominados
“sopro elétrico” e “torniquete elétrico”.
No caso do sopro elétrico, o poder das pontas se manifesta através de um sopro, cuja magnitude
é suficiente para apagar uma vela.
Para a obtenção do sopro elétrico, precisa-se de uma máquina eletrostática para eletrizar uma
ponta positivamente. Essa ponta carregada irá atrair elétrons das moléculas que compõem o ar da
atmosfera. Como resultado desse forte campo elétrico, alguns elétrons acabam abandonando as
moléculas, deixando para trás moléculas ionizadas - íons positivos, nesse caso (veja Figura 7).
Esses íons, por serem positivos, serão repelidos pela ponta eletrizada positivamente e, portanto,
se moverão no sentido oposto da ponta. O movimento dos íons positivos em sentido oposto ao da
ponta gera um “vento” elétrico, o qual se manifesta como se fosse um “sopro elétrico” ilustrado na
Figura 8.
9
Figura 5: Ao ser ionizado, o ar pode se
tornar condutor.
a
b
Figura 6: Fugas de cargas nas pontas
produzem dois efeitos.
Figura 7: Ionização do ar por conta de
uma ponta positiva.
Figura 8: Ponta eletrizada positivamente. Os íons positivos são repelidos
pela ponta e o vento ocorre no sentido de se afastar da ponta.
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No caso do torniquete elétrico, o efeito acima se evidencia de outra forma.
O torniquete é constituído de várias hastes pontiagudas, que são interligadas de forma que o
conjunto possa girar livremente. A eletrização desse conjunto levará à produção do sopro elétrico
em cada uma das pontas. O íon positivo será repelido pela ponta e, pela Lei da Ação e Reação, a
ponta será repelida (em sentido oposto) pelo íon positivo; como o torniquete tem livre movimento,
ele se movimenta no sentido oposto ao da ponta (veja Figura 9).
Figura 10: Torniquete elétrico positivo.
Figura 9: Torniquete elétrico.
Para-raios
a
c
b
Os para-raios são dispositivos feitos com materiais bons condutores (barras de metal pontiagudas, colocadas a certa distância
umas das outras ou formando um tridente) com o intuito de dar
proteção às edificações contra os raios que incidem sobre a terra
durante uma tempestade. Um para-raios protege uma área equivalente a uma área circular, cujo raio é cerca de duas vezes a altura em
que ele é instalado. Os para-raios devem ser, assim, instalados nas
partes mais altas dos edifícios e ligados à terra por um fio condutor.
No para-raios fazemos um uso prático do poder de eletrização
das pontas. Ao se eletrizar com mais facilidade, elas acabam atraindo
Figura 11: Para-raios e seu princípio de funcionamento.
os raios produzidos durante uma tempestade.
É importante entender que objetos no solo, como ocorre com o para-raios,
podem servir para escoar a descarga elétrica. Isso é uma consequência do fato
de que os objetos no solo podem se eletrizar. Assim, choques elétricos (conhecidos como choques de retorno) podem ocorrer mesmo que a pessoa não seja
atingida por um raio se estiver em contato com objetos dotados de capacidade
de se eletrizar. Para evitar choques de retorno ou raios, recomenda-se que as
pessoas permaneçam longe de objetos altos e pontiagudos (como árvores) e de
objetos que possam atrair os raios.
O microscópio de emissão (de campo)
Existe um tipo de microscópio não óptico que faz uso do poder das pontas para estudar propriedades eletrônicas e moleculares de superfícies. Ele é composto por uma agulha pontiaguda
emissora e de um detetor de elétrons (normalmente, uma tela fluorescente).
Um campo elétrico muito intenso (cerca de 40 milhões de volts por centímetro) é aplicado ao emissor.
Nessas circunstâncias, os elétrons são arrancados dos átomos da superfície da agulha e são acelerados
em direção à tela fluorescente. Ao atingi-la, produzirão luz (o mesmo processo do televisor). Com isso se
forma uma imagem (uma “fotografia”) da superfície da qual os elétrons foram arrancados.
Figura 12: Microscópio eletrônico de varredura de campo. / Fonte: Instituto de Química da USP
– Central Analítica.
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Escoamento de cargas para a Terra
A Terra pode ser pensada como um grande reservatório de cargas elétricas e com uma enorme
capacidade de absorvê-las. De fato, se pensarmos apenas no manto da Terra, de cerca de vinte
quilômetros, composta de basalto e granito, somos levados a concluir que sua capacidade é inigualável, praticamente infinita. Assim, ela tem grande capacidade de absorver cargas elétricas.
Como o valor do potencial é definido a menos de uma constante, definimos o potencial da Terra
como se fosse igual a zero na superfície. Ao aproximarmos um corpo carregado de outro, por exemplo,
um corpo neutro, e ao ligarmos este à terra, a carga de mesmo sinal do corpo carregado escoará para
a terra. A rigor, a terra é também carregada. No entanto, o que foi dito antes continua válido.
Figura 13: O papel do fio Terra.
Capacidade de um Condutor
Apesar de um capacitor fazer uso de dois condutores, o conceito de capacidade se aplica não só
ao conjunto, mas igualmente se aplica quando se trata de apenas um condutor.
É importante lembrar que a superfície de um
condutor é uma superfície equipotencial.
Todos os pontos têm o mesmo potencial. Isso ocorre porque, se existisse uma diferença de
potencial, haveria necessariamente movimento de cargas, o que contradiz a hipótese que fazemos
de equilíbrio na distribuição de cargas (ou seja, no estudo da eletrostática). Assim, quando nos
referimos ao potencial do condutor, esse termo é bastante preciso, uma vez que só existe um valor
para o potencial.
Definimos a capacidade (C ) de um condutor como a relação entre a carga armazenada na sua
superfície (Q) e o seu potencial (V ), ou seja:
C=
Q
V
( 17 )
Figura 14: A capacidade é o
quociente entre a carga sobre
a superfície e o seu potencial
constante.
13
Como veremos a seguir, a capacidade de um condutor depende da sua geometria. Portanto,
quanto maior o potencial, maior é a carga elétrica concentrada na sua superfície.
De acordo com a expressão (17), podemos concluir que a unidade da grandeza física capacidade,
no sistema MKS, é o Coulomb/Volt (C/V). Damos a essa unidade o nome de Farad (F)
1 Farad F = C/V = Coulomb/Volt
( 18 )
Condensadores ou Capacitores
Os condensadores se constituem num dos componentes mais importantes dos circuitos eletrônicos.
A principal função de um capacitor é a de armazenar elétrons. Por isso, uma das propriedades
mais relevantes de um condensador é sua capacidade de armazenar cargas. Como as cargas produzem
campos elétricos, e como campos elétricos equivalem à energia armazenada, um condensador armazena também energia.
Num esquema de um circuito eletrônico, o condensador é representado pela Figura 15.
Trata-se de duas placas constituídas de algum material bom condutor (um metal), colocadas a certa
distância, com um dielétrico (por exemplo, óleo, ar etc.) ou o vácuo preenchendo o espaço entre elas.
Na sua configuração geométrica mais simples, as placas são paralelas (como na Figura 15). No entanto,
podemos construir capacitores com placas esféricas, cilíndricas ou outras formas geométricas.
Mediante esse arranjo, podemos carregar o capacitor de forma que tenhamos, numa das placas,
cargas positivas e, na outra, cargas negativas em igual quantidade. Carregar um capacitor significa
nele armazenar cargas.
Como as cargas são armazenadas na superfície das placas, é importante que o espaço entre elas
seja ocupado por um material isolante (um material dielétrico), que impeça as cargas de fluírem
entre as placas. Sem essa providência, teríamos uma contínua perda de cargas.
Um capacitor pode desempenhar vários papéis num circuito eletrônico. Ele pode ser útil sempre
que houver necessidade de uma descarga rápida. Por exemplo, em lâmpadas de flash instantâneo
como o de máquinas fotográficas. Pode ser útil também para estabilizar uma linha que transporta
uma corrente contínua, fornecendo cargas na baixa e retirando-as na alta (eliminando os picos).
Os capacitores têm amplo uso em circuitos de corrente alternada, especialmente na construção de
osciladores eletrônicos.
Figura 15: Representação de um
capacitor ou condensador.
Diferença de potencial entre condutores
Dados dois condutores cujos potenciais são V1 e V2 , pode-se medir a diferença de potencial entre
eles através de um instrumento denominado Eletrômetro (veja Figura 16). Em particular, podemos
determinar a diferença de potencial entre um determinado condutor e a Terra.
Lembrando que o potencial é uma grandeza arbitrária, ele é definido a menos de uma constante
aditiva, podemos escolher o potencial da Terra como se fosse igual a zero. Com essa escolha do
potencial de referência adotado, ao medir a diferença de potencial entre um condutor e a Terra,
estaremos medindo o potencial do condutor.
a
b
Figura 16: Efeito de um dielétrico entre as placas de um
condensador de placas paralelas. O eletrômetro mede a
diferença de potencial. (a) Com uma carga dada, a diferença de
potencial é Vo. (b) Com a mesma carga, mas com um dielétrico
entre as placas, a diferença de potencial V é menor que Vo. /
Fonte: modificado de Physics.
14
15
Condensadores
Como apontado na introdução, um condensador é constituído de dois condutores que não se
tocam e são tais que existe um meio dielétrico separando-os. O meio dielétrico pode ser o próprio
ar. Muitas vezes, o meio entre eles é o próprio vácuo, para o qual adotamos k = 1.
A relação entre a carga armazenada e a diferença de potencial entre as armaduras (as superfícies
dos condutores) define a capacidade do condensador:
C=
Q
DV
a
b
( 19 )
O papel do dielétrico, além de evitar que as cargas venham a fluir, tem a função de aumentar a
capacidade do capacitor. Como regra geral, a capacidade de um condutor pode ser escrita como
C = kC0
( 20 )
onde k é a constante dielétrica do meio e C0 é a capacidade do condensador quando o meio entre
as armaduras é o vácuo.
A razão para o aumento da capacidade tem relação com a capacidade do meio de se polarizar.
Quanto mais polarizado for um meio, menor será o campo elétrico. Isso ocorre porque a carga
de polarização na superfície gera um campo elétrico na direção oposta ao campo produzido pelas
cargas nas armaduras. Isso acarreta uma redução no módulo do vetor campo elétrico. Como o
campo elétrico se reduz por fator k, o mesmo ocorrerá com a diferença de potencial. Dessa forma,
a capacidade aumentará na mesma proporção.
Condensador plano
É o condensador de geometria mais simples. Trata-se de dois planos de área total A e mantidos
a uma distância d. A densidade de cargas σ é constante.
Figura 17: Linhas do campo elétrico entre as
armaduras de um condensador ou capacitor de
placas metálicas paralelas. (a) No vácuo (ou ar).
(b) Com dielétrico entre as armaduras. Observe
a diferença de espaçamento das linhas de força.
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De acordo com o Exercício resolvido sobre Energia Armazenada , o campo elétrico produzido por apenas uma das placas tem direção de um segmento de reta que é perpendicular à placa
e tem o valor dado por
E=
σ
2ε
( 21 )
onde ε é a permitividade do meio.
O sentido do vetor campo elétrico é no sentido da placa se a carga sobre a placa for negativa, e
vale o oposto no caso de placas com cargas positivas.
No caso de duas placas paralelas com cargas opostas, e aplicando o princípio da superposição,
constatamos que:
σ Q
E= =
na região entre as placas
( 22 )
ε εA
E =0
fora da região comprendida pelas placas
A direção do campo é perpendicular às placas e o sentido é o das cargas positivas para as cargas
negativas.
As linhas de força do campo elétrico, no caso do condensador ideal, são paralelas e igualmente
espaçadas. No caso real, nota-se que nas bordas das placas o campo não é uniforme.
Figura 18: Perfil de um condensador de placas paralelas
e as linhas de força do campo elétrico. Observe os efeitos
nas extremidades do mesmo.
O sentido do campo elétrico em qualquer ponto entre as placas é sempre o da linha de força que
passa pelo ponto, ou seja, da placa positiva para a negativa.
17
É fácil verificar que o potencial entre as placas varia de acordo com a variável x, que determina a
distância ao longo de um eixo perpendicular às placas e com origem na placa de carga negativa
(veja Figura 19), de acordo com a expressão:
V ( x) =
σ
x
ε
( 23 )
Constata-se, pela expressão (23), que o potencial na placa negativa (quando x = 0) deve ser nulo,
uma vez que, por hipótese, ela está aterrada.
Assim, na posição da outra placa, determinada pelo valor x = d, o potencial é igual à diferença de
potencial entre as placas e será dado por:
V (=
d)
σd Qd
=
ε
εA
Figura 19: Capacitor de placas paralelas. Eixo
0x no sentido oposto ao das linhas de força
(ou do campo elétrico).
( 24 )
Assim, a capacidade de um capacitor plano, dada pela relação entre a diferença de potencial
entre as placas dividida pela carga Q, será dada por:
=
C
Q
εA
=
DV
d
( 25 )
A expressão (25) mostra que, quanto maior for a constante dielétrica do meio, tanto maior será
a capacidade do capacitor. Além disso, quanto maior a área das placas, maior sua capacidade
(o que, ademais, é bastante intuitivo). Não tão óbvio é o fato de que basta reduzir a distância entre
as placas para aumentar a capacidade.
Figura 20: A introdução de um meio
dielétrico entre as placas aumenta a
capacidade do capacitor.
18
Energia Armazenada
Um capacitor armazena energia elétrica. Isso ocorre porque, ao carregarmos um capacitor,
realizamos trabalho. Com isso queremos dizer que, de alguma forma, foi consumida energia para
carregarmos o capacitor.
Pode-se determinar a energia armazenada num capacitor de duas formas equivalentes.
Na primeira forma, integramos a densidade de energia na região entre as placas no capacitor, pois
é nessa região que a energia está distribuída. Na outra forma, consideramos a energia associada a um
elemento de carga infinitesimal e depois efetuamos a soma sobre toda a distribuição de cargas.
Num capacitor, consideramos a placa negativa como se estivesse a um potencial zero (ligado à Terra).
Assim, basta considerar as cargas positivas na outra placa. O incremento de energia (δE), ao aumentarmos a carga de um capacitor por uma quantidade infinitesimal de carga dQ, é dado pela expressão:
Q
δE =δQV =δQ  
C
( 26 )
Assim, a energia armazenada no capacitor é obtida através da soma das cargas desde o valor
zero até o valor final (Q ), isto é:
Q
Q′
dQ ′
C
0
( 27 )
Q2 1
=
CV 2
2C 2
( 28 )
E=∫
cujo resultado é:
=
E
A energia armazenada não está concentrada em alguma região em particular do espaço; ela está
distribuída na região entre as placas do condensador. No caso do capacitor de placas paralelas, a
energia é distribuída uniformemente no espaço com uma densidade dada por:
1
1 V 
δ E = εE 2 = ε  
2
2 d 
2
( 29 )
19
Assim, a energia total será determinada pela densidade uniforme dada acima multiplicada pelo
volume. Obtemos o mesmo resultado anterior, isto é:
2
1 V 
1  εA  2 1
E=
ε   Ad =
CV 2
 V =
2 d 
2 d 
2
( 30 )
Referências
Physics. Disponível em: <http://www.physics.sjsu.edu/becker/physics51/capacitors.htm>. Acesso em 9/2012.
Exercícios Resolvidos: Os Materiais Condutores
Exercício
Quantos elétrons livres podem existir em 1 cm3 de cobre?
Resolução
Esse volume corresponde, aproximadamente, ao de um pedaço de fio de cobre, com 2 mm de
diâmetro e 32 cm de comprimento.
A densidade do cobre é de 8,92 g/cm3. Assim, estamos falando de uma massa de 8,92 g. Quantos
átomos de cobre existem nesse fio ou nesse volume?
Lembrando que o átomo grama do cobre é 63,5 g/mol e que um mol contém 6,02 × 1023 átomos,
conclui-se daí que existem (6,02 × 1023)/(63,5) átomos em cada grama de cobre e que em 8,92 g
de cobre existem N = 8,46 × 1022 átomos.
Admitindo-se que um elétron de cada átomo se torna um “elétron livre” (caso ideal), então, em
1 cm3 de fio de cobre existem
8,46 × 1022 elétrons livres.
Trata-se de um número extremamente alto de elétrons. É bom lembrar, no entanto, que existe
nesse volume a mesma quantidade de íons (+). Por isso, normalmente, um pedaço de fio de cobre
é neutro.
20
21
Exercícios resolvidos: O Campo Eletrostático num Condutor
Exercício
Uma esfera de raio R, metálica e isolada, é eletrizada negativamente. Os elétrons livres em excesso
podem estar no interior da esfera?
Resolução
A resposta, de acordo com a expressão (1), é não. E para isso existem duas razões.
Primeiro, porque cargas iguais se repelem (Lei de Coulomb) e, segundo, pelo fato de os elétrons
em excesso se comportarem, nos condutores, como se fossem livres.
Assim, quando sujeitos a forças de repulsão, eles são repelidos para mais longe possível; e esse
“mais longe possível” é a superfície externa do condutor, onde ficam alojados até atingir um estado
de equilíbrio. Veja esquema nas figuras.
E se, ao invés de excesso de elétrons, tivéssemos “falta de elétrons” (carga positiva em excesso)
no centro da esfera?
Nesse caso, teríamos, no interior da esfera um excesso de íons positivos, os quais (por estarem
mais fixos) não têm liberdade de movimento. No entanto, eles atraem elétrons livres. Cada elétron
que atinge o núcleo neutraliza um íon positivo, deixando no lugar de onde saiu um “buraco” positivo
(falta de elétron). Assim, os íons positivos acabam sendo neutralizados no interior da esfera. No
entanto, em outra região ocorre “falta de elétrons”. Essa região é a superfície externa do condutor.
Desse modo, tanto num caso quanto no outro, concluímos que, no interior do condutor eletrizado, o campo elétrico resultante é nulo. Esse é o resultado expresso em (1).
Se concentrados no centro da esfera, os
elétrons livres seriam repelidos pela força
coulombiana de repulsão entre eles.
Os elétrons livres em excesso são repelidos
até a superfície externa, onde estacionam,
buscando uma situação de equilíbrio.
Exercícios Resolvidos: Cargas Superficiais
Exercício
Comparando-se a quantidade de elétrons e prótons contidos num sólido, explicar o que ocorre
quando o objeto estiver com carga +Q.
Resolução
Se um objeto estiver eletricamente neutro, ele conterá N prótons e N elétrons. Se por um processo qualquer, como o atrito entre duas substâncias, ocorrer um desequilíbrio entre o número de
prótons e de elétrons, diz-se que o objeto se encontra eletrizado.
Um objeto está eletrizado quando contiver excesso de cargas elétricas de um sinal ou de outro.
Se eletrizado positivamente (ou com carga +Q), o número de prótons que ele contém é maior do
que o número de elétrons. Um objeto carregado positivamente, com carga +Q, a rigor, tem “falta de
elétrons”. E sua carga é um múltiplo inteiro e positivo (designado por n) da carga dos elétrons (carga
elétrica e). Assim, escrevemos:
Q = ± ne
Como os prótons não podem ser arrancados da matéria, a eletrização de um objeto sólido (condutor ou não) envolve movimentação de elétrons. Se o sólido perde elétrons, ele fica com carga positiva;
se receber elétrons, ele fica com carga negativa, ou seja, fica com excesso de elétrons.
22
23
Exercícios Resolvidos: O Potencial Eletrostático
Exercício
Fundamentado na Lei de Coulomb, explique a razão pela qual o campo elétrico é nulo no
interior da esfera.
Resolução
O problema se resume a explicar por que são nulos os campos elétricos gerados no interior
do condutor pelas cargas distribuídas na superfície externa. Sabemos que cada uma das cargas
na superfície cria, no interior da esfera, um campo elétrico não nulo. No entanto, é nulo o campo
elétrico que resulta da soma vetorial de todos os campos gerados pelas cargas na superfície.
É o que será demonstrado.
Considere dois pequenos cones com vértice comum e bases formadas por pequenas calotas esféricas, com áreas A1 e A2 a distâncias R1 e R2 do ponto P, respectivamente. Esses cones apresentam
ângulos sólidos iguais (veja Figura 1):
(S1)/(R1)2 = (S2)/(R2)2 = Ω
(I)
As cargas Q1 e Q2 das calotas podem ser expressas em função da densidade superficial de carga “σ”,
que é definida assim:
=
σ
excesso de carga na superfície da esfera
= Q/S
área da superfície esférica
onde S = área da superfície esférica. Como as cargas se distribuem uniformemente na superfície
esférica → σ = Q/S = constante. Logo, a carga Q1 contida numa pequena área A1 e a carga contida
na área A2 da superfície S da esfera serão:
Q1 = σ.A1
(II)
Figura 1: Dois cones com vértice comum
no ponto P delimitam ângulos sólidos
iguais e bases definidas pelas calotas A1 e
A2 na superfície de uma esfera.
24
e
Q2 = σ.A2
(III)
Admitindo-se que os cones sejam tão pequenos quanto possível, as cargas Q1 e Q2 podem ser
consideradas pontuais localizadas no centro da base de cada cone (pontos A e B), conforme ilustrado
na Figura 2.
Assim, elas geram no ponto P, no interior da esfera, campos elétricos de intensidades
E1 = kQ1/(R1)2
(IV)
e
E2 = kQ2/(R2)2
(V)
com a mesma direção radial e sentidos opostos. Substituindo-se (II) e (III) em (IV) e (V) e considerando
a igualdade (I) tem-se:
E1 = k(σS1)/(R1)2 = kσ [(S1/R1)2 ] = kσΩ
(VI)
E2 = k(σS2)/(R2)2 = kσ [(S2/R2)2 ] = kσΩ
(VII)
As relações (VI) e (VII) mostram que os dois campos elétricos têm intensidades iguais e, como
possuem mesma direção, mas sentidos opostos, o campo elétrico resultante no ponto P é nulo.
Como o ponto P é genérico, conclui-se que o campo elétrico no interior de um condutor esférico
eletrizado é Einterior esfera = 0.
Figura 2: O esquema representa os vetores
campo elétrico gerados pelas cargas Q1 e
Q2 no vértice comum dos cones.
25
Exercícios resolvidos: Escoamento de cargas para a Terra
Exercício
Uma esfera metálica isolada tem carga Q = 4,8 × 10-6 C e o seu raio é R = 20 cm.
a. Qual o potencial elétrico desta esfera (na superfície)?
b. Depois de ligada à Terra, qual a carga residual na esfera?
Resolução
a. Potencial da esfera
O texto explorou os seguintes conceitos:
• A carga elétrica Q em excesso numa esfera condutora se distribui uniformemente ao longo
da superfície.
• O campo elétrico dentro da esfera é nulo.
• O potencial elétrico dentro da esfera é constante; a sua intensidade é igual à que vigora
na superfície.
• A intensidade do campo elétrico e do potencial elétrico para pontos fora da esfera é calculada
como se toda a carga superficial estivesse concentrada no centro da esfera.
Assim, para uma esfera condutora de raio R, podemos resumir:
Intensidade da grandeza
Campo elétrico
Potencial elétrico
Para d
<R
E=0
Para d
≥R
E = kQ /d 2
V = Vd = R = kQ/R V = kQ/d
O potencial da esfera é calculado considerando d = R, ou seja,
V = kQ/R = [9 × 109 Nm2 / C2]×[4,8 × 10−6 C]/[0,2 m] = +216 kV (kV = 103 volts)
26
b. Carga residual da esfera
A Terra, assim como o corpo humano, conduz cargas elétricas. Ligada a um condutor eletrizado,
a Terra tem capacidade de absorver ou ceder elétrons livres em quantidades enormes.
Cedendo ou recebendo elétrons, o potencial elétrico da Terra permanece invariável. Por isso, e
para fins práticos, o potencial elétrico da Terra é adotado como referência, ou seja, VTerra = 0.
A Figura ilustra a esfera ligada à Terra. Neste caso, sendo Vesfera > VTerra → , os elétrons livres da
Terra, por meio do fio condutor, movimentar-se-ão até a esfera, preenchendo lacunas onde ocorre
“falta de elétrons”. Com isso, a carga positiva da esfera reduz a um valor Qʹesfera quando o seu potencial elétrico se iguala ao da Terra, ou seja,
′ =VTerra
′ →
Vesfera
′
kQesfera
kQ
R
′ = esfera .QTerra
= Terra → Qesfera
Resfera
RTerra.
RTerra
O raio de qualquer esfera que construirmos para fazer a experiência torna-se desprezível em
relação ao raio da Terra; por outro lado, o excesso de carga da Terra, recebendo ou cedendo elétrons livres, é praticamente nulo. Logo, a carga final na esfera será Qʹesfera = 0. O que isto significa?
Significa que os elétrons livres cedidos pela Terra atingem a esfera e ocupam todas as lacunas da
falta de elétrons. Uma forma não estritamente correta é dizer que “as cargas positivas escoaram
para a Terra”.
Esfera positiva ligada à Terra. Elétrons
livres escoam da Terra para a esfera
para preencher lacunas (falta de
elétrons) geradas por cargas positivas.
27
Exercícios Resolvidos: Diferença de potencial
entre condutores
Exercício
Duas esferas metálicas A (raio RA = 30 cm) e B (raio RB = 10 cm), isoladas uma da outra, contêm
excesso de cargas de QA = 20 × 10-6 C e QB = 10 × 10-6 C.
a. Calcule o déficit de elétrons livres em cada esfera.
b. Calcule a intensidade do campo elétrico na superfície de cada esfera.
c. Qual o potencial elétrico de cada esfera?
Resolução
a. Déficit de elétrons livres em cada esfera.
As esferas têm cargas positivas; isto significa “falta de elétrons” ou um déficit de elétrons. A carga
do elétron, em valor absoluto, é e = 1,6 × 10-19 C. Para perfazer a carga Q = 20 × 10-6 C , é preciso
retirar N elétrons da esfera A; assim, N × (1,6 × 10-19 C) = 20 × 10-6 C, o que resulta N = 12,5 × 1013
elétrons. Da mesma forma, da esfera B deve-se retirar 6,25 × 1013 elétrons. Em resumo: A tem um
déficit de 12,5 × 1013 elétrons e a esfera B tem um déficit de 6,25 × 1013 elétrons.
b. Campo elétrico na superfície de cada esfera.
O campo elétrico gerado pelas cargas Q de uma esfera metálica de raio R em ponto P qualquer



do espaço que a envolve é E = ( r ) = [ kQ / r ² ] .er (r ≥ R e er na direção do vetor posição P-0, onde
0 = centro da esfera). Logo,
E A( r = R ) =
2 × 106 J / C =
2 × 106 V / m
( 9 × 109 N.m² / C² )( 20 × 10-6 C ) / ( 0,3 m ) ² =
EB( r = R ) =
9 × 106 J / C =
9 × 106 V / m
( 9 × 109 N.m² / C² )(10 × 10-6 C ) / ( 0,1 m ) ² =
Esferas condutoras apoiadas
em suportes isolantes.
28
c. Potencial elétrico de cada esfera.
O potencial elétrico de cada esfera é o potencial elétrico que vigora na superfície de cada uma delas.
Então,
• VA = kQA/RA = [9 × 109 (N.m2/C2) × 20 × 10−6(C)]/(0,3 m) = 600 × 103 volts.
• VB = kQB/RB = [9 × 109 (N.m2/C2) × 10 × 10−6(C)]/(0,1 m) = 900 × 103 volts.
Exercício
Considere as esferas do Exemplo 06. As esferas são encostadas entre si (ligadas por um fio condutor) e depois, separadas sem que elas sejam tocadas. Determinar, depois de separadas:
a. As cargas finais de cada esfera.
b. Os potenciais elétricos finais de cada esfera.
c. A quantidade de elétrons que migraram de uma esfera para a outra.
Resolução
As superfícies das esferas são equipotenciais: VB = 900 × 103 volts e VA = 600 × 103 volts, conforme
calculado no Exercício anterior.
Importante: Impulsionados pela força elétrica, os elétrons livres deslocam-se de uma região de
potencial elétrico menos intenso para outra, onde o potencial elétrico seja mais intenso [se os prótons
pudessem se movimentar livremente, eles seriam impulsionados em sentido contrário].
Em outras palavras, os elétrons são impulsionados pela força elétrica no sentido oposto ao
da linha de força do campo elétrico. O esquema da Figura ilustra o sentido do movimento dos
elétrons quando as duas esferas são encostadas entre si.
Quando em contato, as esferas formam um corpo condutor único. No instante t = 0, temos duas
regiões com potenciais elétricos diferentes; a diferença de potencial entre elas é DVAB = VB-VA =
+ 300 × 103 volts. Os elétrons livres são empurrados da esfera A (600 kV) para B (900 kV). E o que
acontece com as cargas e os potenciais elétricos de cada esfera?
• A esfera A, “perdendo” elétrons, fica mais positiva → o seu potencial elétrico aumenta.
• A esfera B, “recebendo” elétrons, fica menos positiva → o seu potencial elétrico diminui.
Sob a ação do campo elétrico, os elétrons
são impulsionados para pontos nos quais
os potenciais elétricos sejam cada vez
mais intensos.
29
A pergunta é: em que instante essa migração deixa de acontecer? Resposta: até o instante em
que VʹA = VʹB ( potenciais elétricos finais com mesmo valor).
Cargas finais de cada esfera
Partindo da igualdade VʹB = VʹA temos:
VʹB = VʹA → kQʹB/RB = kQʹA/RA → QʹB/RB = QʹA/RA
Substituindo-se RA = 30 cm e RB = 10 cm resulta uma relação entre as cargas finais de cada esfera:
Q'B/10 = Q'A/30 → QʹB= QʹA/3 ou QʹA= 3QʹB
(I)
Lei da Conservação da carga elétrica: QA + QB = QʹA + QʹB. Como QA = 20 × 10−6 C e QB = 10 × 10−6 C →
Q'A + Q'B = 30 × 10-6 C
(II)
Das relações (I) e (II):
3 QʹB + QʹB = 4QʹB = 30 × 10−6 C → QʹB = 7,5 × 10−6 C e QʹA = 3.QʹB = 22,5 × 10−6 C.
Potenciais elétricos finais de cada esfera
• VʹA = kQʹA/RA = 67,5 × 103 volts
• VʹB = kQʹB/RB = 67,5 × 103 volts.
Quantos elétrons migraram da esfera A para B?
A esfera A recebeu DQ = (22,5 × 10-6 - 20 × 10-6) = 2,5 × 10-6 C de carga (e a esfera B cedeu
DQ = (10 × 10-6 − 7,5 × 10-6) = 2,5 × 10-6 C de carga). A carga de cada elétron é, em módulo,
e = 1,6 × 10-19 C. Portanto, para perfazer a carga de 2,5 × 10-6 C, serão necessários 15.625 × 1010 elétrons.
Exercícios Resolvidos: Condensador plano
Exercício
Considere o condensador de placas paralelas da Figura. No ponto A, o campo elétrico tem intensidade EA = 240 N/C.
Figura 17/28: Perfil de um condensador de placas paralelas e
as linhas de força do campo elétrico. Observe os efeitos nas
extremidades do mesmo.
a. Qual o campo elétrico nos pontos B, C e D?
b. Qual a força (intensidade, direção e sentido) sobre um elétron no ponto B?
c. Qual a força (intensidade, direção e sentido) sobre um elétron no ponto D?
Resolução
a. O campo elétrico entre as placas é uniforme. Portanto, nos pontos B, C e D, os campos elétricos serão iguais ao do ponto A, ou seja, 240 N/C, vertical para baixo.
b. F = q.E = e.E = (−1,6 × 10−19 C)×(240 N/C = −384 × 10−19 N. O sentido desta força é oposto
ao do campo elétrico. Portanto, é uma força que atrai o elétron para a placa positiva. A força
é ínfima? Sim, mas a massa do elétron também o é (9 × 10-31 kg). Aplicando a 2ª Lei de Newton,
concluímos que a aceleração do elétron é enorme!
c. F = q.E = e.E = (−1,6 × 10−19 C)×(240 N/C = 384 × 10−19 N. Em virtude de o próton e o elétron
terem cargas de mesmo módulo, as forças têm a mesma intensidade; mas o sentido da
força sobre o próton (carga positiva) é o mesmo do campo, ou seja, o próton é atraído para
a placa negativa.
30
Exercício
Mostrar que a relação entre a intensidade E do campo elétrico e o potencial V(x), em um ponto entre
as placas de um condensador plano, é V(x) = E.x, onde x é a distância do ponto até a placa negativa.
Resolução
A expressão (22) permite-nos escrever E = σ/ε0; substituindo em (23), temos o seguinte resultado:
V(x) = [σ/ε0].x = E.x. Esta expressão permite calcular o campo elétrico E, em um ponto situado entre
as placas de um condensador plano, cuja distância entre as placas seja d:
E = V/d
onde x = d a distância da placa positiva em relação à placa negativa. Exemplo numérico: se a diferença
de potencial entre as placas de um condensador plano, separadas por uma distância d = 0,05 m, for
V = 500 volts, o campo elétrico no seu interior será: E = 500/0,05 = 10.000 V/m = 10.000 N/C.
31
32
Exercícios Resolvidos: Energia Armazenada
Exercício
A Figura ilustra um tipo de capacitor eletrolítico. Ele é construído por duas folhas de alumínio
separadas por uma camada de óxido de alumínio embebido em um eletrólito líquido e enroladas
em forma cilíndrica.
Considere um capacitor de capacidade C = 250 µF (µF = 10-6 farad), cujos terminais (+) e (-) sejam
submetidos a uma diferença de potencial V = 300 volts. Determinar:
a. A carga Q acumulada no capacitor.
b. A energia estocada no dispositivo.
Capacitor eletrolítico.
Resolução
a. A expressão define a unidade de capacidade que é o “farad”. 1 farad = 1 F = 1 coulomb/1 volt.
A expressão (25) nos permite calcular a carga acumulada, ou seja, Q = C.V; usando unidades
do MKSA ou SI, temos Q = (250 × 10-6 coulombs/volt)(300 volts) = 75 × 10-3 coulomb, que equivale à carga de ≈ 47 × 1016 prótons (ou de elétrons, tomada com sinal positivo).
b. A expressão (30) permite-nos calcular a energia estocada: E = (1/2)CV2. Substituindo os
valores: E = (1/2)(250 × 10-6)(300)2 = 11,25 joules.
33
34
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Bons estudos!
Créditos
Este ebook foi produzido pelo Centro de Ensino e Pesquisa Aplicada (CEPA), Instituto de Física da Universidade de São Paulo (USP).
Autoria: Gil da Costa Marques.
Revisão Técnica e Exercícios Resolvidos: Paulo Yamamura.
Coordenação de Produção: Beatriz Borges Casaro.
Revisão de Texto: Marina Keiko Tokumaru.
Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica: Daniella de Romero Pecora, Leandro de Oliveira e Priscila Pesce Lopes de Oliveira.
Ilustração: Alexandre Rocha, Aline Antunes, Benson Chin, Camila Torrano, Celso Roberto Lourenço, João Costa, Lidia Yoshino,
Maurício Rheinlander Klein e Thiago A. M. S.
Animações: Celso Roberto Lourenço e Maurício Rheinlander Klein.
35

Eletricidade da Matéria: Materiais Condutores

Transcrição

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