o uso do material manipulável no ensino da trigonometria

O USO DO MATERIAL MANIPULÁVEL NO ENSINO DA
TRIGONOMETRIA
Alessandra Hendi dos Santos
UFPR – Licenciatura em Matemática
[email protected]
Anderson Roges Teixeira Góes
UFPR – Departamento de Expressão Gráfica; e
Secretaria Municipal de Educação de Araucária/PR
[email protected]
Resumo
O distanciamento existente entre o contexto da trigonometria ensinado em
sala de aula e sua aplicabilidade no cotidiano, apresenta-se como um dos
fatores que dificultam o ensino e consequentemente a aprendizagem do
respectivo conteúdo. Contudo, a utilização de materiais manipuláveis no
ensino da trigonometria pode ser facilitadora da aprendizagem, pois os
alunos conseguem trabalhar com uma matemática concreta, manipulável e
que possibilita a construção conceitual da trigonometria. Além de um
aprendizado efetivo, a atividade didática com material concreto pode
auxiliar na formação de alunos questionadores, críticos e com poder de
argumentação. Com intuito de apresentar uma proposta metodológica
diferenciada para o ensino da trigonometria, esse trabalho aborda um
conceito de construção matemática através da utilização de material
manipulável, diagnosticando uma matemática crítica, concreta e criativa. O
material utilizado na aplicação deste projeto é de um aparelho manipulável
semelhante ao teodolito (chamaremos de teodolito caseiro), pois com ele é
possível ver as construções feitas pelos alunos no que tange a criatividade,
estímulo e inovação.
Palavras-chave:
manipulável.
teodolito,
trigonometria,
ensino,
aprendizagem,
Resumen
La distancia entre el contexto de la trigonometría enseña en el aula y su
aplicación en la vida cotidiana se presenta como uno de los factores que
dificultan la enseñanza y por lo tanto, el aprendizaje de su contenido. Sin
embargo, el uso de materiales didácticos en la enseñanza de la
trigonometría puede ser un facilitador del aprendizaje porque los
estudiantes pueden trabajar con un matemático concreto, manejable y
permite la construcción de la trigonometría conceptual. Además de un
aprendizaje efectivo, la enseñanza de la actividad con material concreto
puede ayudar con preguntas de estudiantes, críticos y poder de la
argumentación. Con el fin de presentar un nuevo enfoque metodológico a
la enseñanza de la trigonometría, este trabajo aborda el concepto de una
construcción matemática mediante el uso de materiales manipulativos, el
diagnóstico de una crítica matemática, prácticas y creativas. El material
utilizado en la ejecución de este proyecto es similar a un dispositivo de
manipulación teodolito (llamado teodolito casa), ya que con ella se puede
ver los edificios construidos por los estudiantes en lo que respecta a la
creatividad, el entusiasmo y la innovación.
Palabras clave: teodolito, la trigonometría, la enseñanza, el aprendizaje, la
manipulación.
1
Introdução
A trigonometria constitui um tema de extrema importância dentro da matemática, sua
gênese ocorre na Era Clássica quando se acreditava que a Terra era o centro do
universo. Nesta época seu objetivo era a resolução de problemas inerentes ao
triângulo, posteriormente com a criação do cálculo infinitesimal e de seu
prolongamento, que é a Análise Matemática, surgiu a necessidade de se atribuir as
noções de seno, cosseno e tangente.
“Trigonometria é o ramo da matemática oriundo da astronomia que,
associado com a geometria euclidiana, possibilita o cálculo das
medidas dos lados de um triângulo ou de seus ângulos.”
(LAROUSSE, 2001, pag. 992).
O distanciamento existente entre o conteúdo da trigonometria aplicado em sala de
aula e sua aplicabilidade na vida diária apresenta-se como um dos fatores que
dificultam
o
ensino-aprendizagem
do
respectivo
conteúdo.
Os
professores,
proveniente da falta de domínio do contexto da trigonometria, acabam cometendo
falhas no processo de ensino, além de não explorar uma matemática construtiva e
manipulável. Em detrimento desses fatores, as aulas tornam-se monótonas, sem
construção de conhecimento e envolvimento dos alunos.
Utilizando-se dos preceitos supracitados, pode-se averiguar que a utilização de
materiais manipuláveis no ensino da trigonometria serve como um instrumento
facilitador para o ensino e consequentemente a aprendizagem, pois através deles, os
alunos conseguem trabalhar com uma matemática concreta, manipulável e
construtivista. Além de um aprendizado efetivo, a atividade didática com material
concreto pode auxiliar na formação de alunos questionadores, críticos e com poder de
argumentação.
Assim, no intuito de apresentar uma proposta metodológica diferenciada para o
ensino da trigonometria, esse trabalho pretende abordar um conceito de construção
matemática através da utilização de material manipulável, diagnosticando uma
matemática crítica, concreta e criativa.
O intercâmbio entre a teoria e a prática, quando bem aplicado, tende a agregar
valores aos educadores e aos alunos, pois a troca existente no meio dessa
experiência estabelece um ambiente de aprendizagem rico em motivação e criação.
Essa observação em sala de aula será o auge deste trabalho, desta forma serão
diagnosticadas as falhas, sugestões e modificações para que se efetive um ensino de
trigonometria eficaz e satisfatório.
2
Revisão de Literatura
O Ensino da trigonometria é um campo de estudo entre vários pesquisadores da área
de educação, como consequência, vários métodos, modelos e estratégias de melhoria
são aplicados em determinados contextos, mostrando uma preocupação com o
ensino.
Vários são os artigos, pesquisas e trabalhos que exploram o conceito de
metodologia de ensino diferenciada, especificamente no ramo da trigonometria. Entre
eles podemos citar: Brito e Morey (2004), Brighenti (1998), Góes e Colaço (2009),
Gaspari e Gerônimo (2008), Piva, Dorneles et al. (2009), Dias e Camargo (2007)
Mendes, Moço et al. (2009).
O trabalho desenvolvido por Brito e Morey (2004) tem como objetivo fazer uma
pesquisa com os professores da rede pública de ensino da cidade de Natal/RN,
buscando uma constatação sobre as dificuldades encontradas pelos professores no
ensino da trigonometria. Por meio de algumas atividades e de uma investigação sobre
a formação dos professores participantes, foi possível obter uma avaliação positiva,
porém as autoras consideram que a variedade de atividades foi insuficiente para a
construção dos conceitos trigonométricos abordados.
A utilização dos recursos gráficos apresenta-se como um instrumento facilitador
no ensino/aprendizagem da trigonometria. Com uma pesquisa qualitativa realizada
com três professoras de matemática de escolas públicas, Brighenti (1994) evidencia
justamente a importância da representação gráfica como uma proposta metodológica
diferenciada. As professoras participantes puderam aplicar as atividades sugeridas
pela autora, assim observaram a motivação e a construção dos alunos. Essa pesquisa
teve resultados favoráveis no que tange aos aspectos relativos à aprendizagem dos
conceitos trigonométricos.
Para Góes e Colaço (2009), o desenho como instrumento facilitador do
aprendizado da matemática no ensino fundamental e médio cria possibilidades reais
de inserir o aluno em situações problemas de seu cotidiano. Assim, os autores criaram
e aplicaram, numa escola municipal de Araucária/PR, uma metodologia do ensino da
matemática por meio da geometria dinâmica. Nesse projeto, a teoria e a prática
caminham juntas, extraindo a abstração que o aluno tem na construção do conceito
trigonométrico. O resultado dessa pesquisa é satisfatório, pois possibilita a
criatividade, construção, motivação e participação de todos os alunos.
Através de uma abordagem similar feita pelos autores acima, Piva et al. (2009)
enfatizam a utilização do software livre na exploração dos conceitos trigonométricos.
Neste texto é evidenciada a importância que o professor deve ter ao escolher um
software, qual a sua real utilização e principalmente o objetivo a ser alcançado. A
utilização do software possibilita o aluno a construir o conhecimento, através da
analise, experimentação e da depuração de ideias.
Gaspar e Gerônimo (2008) apresentam a proposta de criação de um caderno
pedagógico, que objetiva a inserção de atividades com a utilização de materiais
concretos. Inicialmente, essa proposta foi apresentada a professores da rede estadual
de ensino, em seguida foi aplicada em sala de aula, para que desta forma fosse
possível analisar os resultados favoráveis dessa experimentação. O resultado da
aplicação deste projeto é satisfatório, pois os alunos começam a ter acesso a uma
matemática construtiva, manipulável e criativa.
A metodologia desenvolvida por Dias e Camargo (2007) para o estudo da
trigonometria pretende, por meio de uma sequência de atividades, ajudar os alunos na
organização do raciocínio. É colocada, como responsabilidade do professor, a
organização das metodologias que julga serem mais adequadas, respeitando o ritmo
do educando, ou seja, enfoca a ideia da criação de alunos questionadores, críticos e
com poder de argumentação. O texto mostra a importância em fazer uma aula
investigativa, pois mesmo sem a utilização de materiais concretos é possível criar um
ensino voltado ao diálogo, construção, argumentação e criatividade.
A percepção de que o ensino da trigonometria possui uma ampla aplicação prática
constitui uma nova metodologia, capaz de despertar o interesse dos estudantes
tornando as aulas atrativas e construtivas. Com base nessa perspectiva, Mendes et al.
(2009) realizaram uma oficina com uma turma de vinte e cinco estudantes do ensino
médio. Foram elaboradas atividades que diferenciam do ensino voltado à
memorização de fórmulas, aliando a facilidade de utilização pelos professores, devido
ao baixo custo dos materiais. As autoras afirmam que a utilização dessa proposta
possibilita uma aproximação entre professor e aluno, a fim de propiciar um
aprendizado eficiente e de qualidade.
3
Procedimentos Metodológicos
Quando uma aula é dada sem o objetivo de construção do conhecimento, ela deixa de
agregar fatores importantes no que tange o ensino e a aprendizagem, como a falta de
questionamentos, participação e motivação. Em detrimento a essas averiguações,
propomos uma sequência de atividades que tange a aprendizagem de alguns
contextos trigonométricos perante aos alunos, de tal forma que os estudantes vejam a
aplicação e “verdade” nos conceitos trigonométricos que serão trabalhados. Através
de ações sobre os objetos os estudantes podem construir relações entre a
trigonometria e o meio em que vivem. Manipulando e experimentando vão descobrindo
relações, estruturando o seu pensamento lógico - matemático no que tange às noções
de trigonometria. Com o intuito de apresentar uma proposta que estimulasse a
criatividade e a construção do conhecimento, foi promovida com uma turma do 2º ano
do ensino médio noturno de uma Escola da rede Estadual de Ensino do Paraná, uma
aula que instruiu os alunos a construir um material manipulável semelhante ao
teodolito.
3.1
O Uso do Teodolito
O teodolito é um instrumento óptico de medida utilizado na Topografia, na Geodésia e
na Agrimensura, resumidamente usado em trabalhos topográficos. Sua utilização
permite:
- medir ângulos verticais e horizontais;
- medir a altura de objetos perpendiculares ao chão;
- verificar semelhança e congruência de triângulos.
Os conceitos trigonométricos abordados com a aplicação dessa atividade são:
razões trigonométricas, ângulos notáveis e medidas de alturas inacessíveis.
Ao iniciar a atividade, os alunos foram divididos em grupos de 4 ou 5 alunos,
propriciando uma troca significativa de experiências. Na sequência, foram distribuídos
os materiais necessários para a construção do teodolito caseiro, são eles: pedaço de
papelão, copo plástico de 200 ml, cópia de um transferidor, canudo, palito de sorvete,
uma tabela com os valores das tangentes e uma trena.
As instruções para a construção:
1) faça o contorno da boca do copo sobre o centro do pedaço de papelão.
2) corte o prato numa medida um menor que a marcação feita, de tal forma que
ao colocar o copo na abertura, ele não passe para o outro lado.
Figura 1: Construção do teodolito caseiro
3) cole a cópia do tranferidor no centro do pedaço de papelão.
4) faça dois rasgos pequenos na lateral do copo, para passar o palito de sorvete
que servirá como mira.
Figura 2: Construção do teodolito caseiro
5) cole o canudo no lado oposto a boca do copo, de tal forma que o canudo fique
paralelo ao palito de sorvete.
Figura 3: Teodolito caseiro
Para a utilização, os alunos posicionaram o teodolito caseiro de modo que a sua
base ficasse perpendicular ao objeto a ser observado, por exemplo, um ponto da
intersecção entre uma das paredes da sala e o seu teto. Nesse momento foi realizada
uma discussão com os alunos sobre as alturas que seriam difíceis de calcular apenas
com o uso de trenas e escadas, como um prédio de vinte andares por exemplo.
Através do canudo, os estudantes miravam no pico do objeto (o ponto mais alto),
assim o palito marcava um ângulo no transferidor e a leitura era realizada. Mas os
alunos questionaram: mas como esse ângulo vai me fornecer a atura desse prédio?
Para responder a essa indagação, relembramos alguns conceitos da trigonometria,
como relações métricas do triângulo retângulo (para lembrar o que é cateto oposto,
cateto adjacente e hipotenusa) e razões trigonométricas (para lembrar o cálculo da
tangente, que envolve cateto oposto sobre cateto adjacente).
Outra análise que se apresentou de forma muito interessante é o fato dos alunos
também medirem alturas que eram acessíveis de se obter com o uso de escada e
trena, porém fizeram iniciamente o cálculo através do uso do teodolito, e para tirar a
“prova real” de seu experimento, calcularam utilizando apenas a trena.
Uma maneira de explorar a utilização do teodolito é colocar os estudantes, com
diferentes alturas, a um metro de distância da edificação que será medida. Fazê-los
observar, através do teodolito, o ângulo formado para enxergar o ponto mais alto deste
prédio e, com a tabela das tangentes, levar cada um deles a calcular a altura do
prédio.
Com essa aplicação, podemos fazer a seguinte indagação:
Será que os resultados obtidos serão os mesmos? Não, pois devido à diferença
de alturas dos alunos, os ângulos serão diferentes. Nesse momento faz-se importante
questionar o porquê desse fato ocorrer se estão medindo o mesmo prédio. O objetivo
é possibilitar que os alunos pensem numa maneira (única) para calcular a altura do
prédio.
Antes da aplicação da atividade, foi exemplificada a utilização do teodoito através
do seguinte exercício:
Exemplo - Um topógrafo foi chamado para obter a altura de um edifício. Para
fazer isto, ele colocou um teodolito (instrumento ótico para medir ângulos) a 200
metros do edifício e mediu um ângulo de 30°, como indicado na figura a seguir.
Sabendo que a luneta do teodolito está a 1,5 metros do solo, pode-se concluir que o
valor que melhor aproxima a altura do edifício, em metros, é: (Use tg 30° = 0,577).
Figura 4: Imagem ilustrando o exemplo
4
Considerações Finais
Frequentemente a matemática é classificada pelos estudantes como a matéria mais
difícil, complicada e sem sentido, a abstração existente nos conceitos matemáticos faz
com que os alunos criem uma visão ruim sobre a disciplina. Uma maneira positiva de
reverter esse quadro é criar um envolvimento eficaz da equipe pedagógica com os
professores, para que juntos possam formular novas propostas metodológicas que
aliem a teoria com a prática, utilizando os materiais manipuláveis.
Com a aplicação desse projeto, foi possível observar a empolgação e criatividade
dos alunos. Eles não só participaram da atividade como também questionaram,
raciocinaram e principalmente entenderam o objetivo principal da aula. Um conteúdo
tão abstrato e cheio de fórmulas foi tendo sentido para os estudantes, principalmente
porque eles puderam diagnosticar uma matemática que pode ser aplicada no
cotidiano. Pelo fato da turma ter sido dividida em grupos, a troca e a motivação eram
transferidas de aluno para aluno.
A finalidade desse projeto foi trazer uma metodologia diferenciada para o ensino
da trigonometria, de tal forma que propiciasse um ambiente de sala de aula rico em
construção e manipulação do conhecimento.
Com as análises dos seus resultados, podemos concluir que novas práticas
pedagógicas podem contribuir de forma bastante eficaz para um ensino de qualidade,
lembrando que é papel do professor e da equipe pedagógica trabalhar com projetos
que viabilizem e promovam aulas ricas em construção e manipulação.
Referências
BRITO, Arlete de Jesus; MOREY, Bernadete Barbosa. Trigonometria: Dificuldades
dos professores de matemática no ensino fundamental. Horizontes, Bragança
Paulista, v. 22, n. 1, p. 65-70, jan./jun. 2004
BRIGHENTI, Maria José Lourenção. Ensino e aprendizagem da trigonometria:
novas perspectivas da educação matemática. Rio Claro: Universidade Estadual
Paulista - Instituto de Geociências Exatas de Rio Claro, 1994. 174 p. Dissertação de
Mestrado em Educação Matemática.
BRIGHENTI, Maria José Lourenção. Alterando o ensino de Trigonometria em
escolas de nível médio: a representação de algumas professoras.
Marília:Universidade Estadual Paulista, 1998. 339p. Tese de Doutorado em Educação.
DIAS, Dorval Antonio Ferreira; CAMARGO, Susan Nectoux. A construção de
conceitos nos estudos trigonométricos. Ciência e conhecimento, Brasil, 2007 V1
ene-jun P1-13
GÓES, Anderson Roges Teixeira; COLAÇO, Heliza. A geometria dinâmica e o
ensino da trigonometria. In: Encontro Nacional de Informática e Educação, 2009,
Cascavel. I ENINED, 2009
GASPARI, Claudete Aparecida Almeida; GERÔNIMO, João Roberto. O uso de
materiais manipuláveis no ensino da trigonometria. Caderno Pedagógico – PDE.
Secretaria Estadual da Educação do Estado do Paraná. Maringá, 2008.
LAROUSSE. Dicionário da Língua Portuguesa, São Paulo 2001
MENDES, Patrícia Wyse; MOÇO, Priscila Pedroso; MACHADO, Celiane Costa;
NOVELLO, Tanise Paula. Uso de material concreto no ensino de trigonometria. In:
IX Congresso Nacional de Educação – EDUCERE, Paraná 2009.
PIVA, Claudia; DORNELES, Lecir; SPILIMBERGO, Patrícia; DOSCIATI, André Fortin.
Explorando conceitos da trigonometria através de software livre. In: X EGEM Encontro Gaúcho de Educação Matemática, 2009.