- PGMEC - Universidade Federal Fluminense

Transcrição

PGMEC
PROGRAMA FRANCISCO EDUARDO MOURÃO SABOYA DE
PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA MECÂNICA
ESCOLA DE ENGENHARIA
UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE
Dissertação de Mestrado
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO
DESLOCAMENTO DE ÓLEOS PARAFÍNICOS
EM DUTOS CONSIDERANDO EFEITOS
TÉRMICOS E NÃO NEWTONIANOS
Ricardo Sargentini
Julho de 2013
i
RICARDO SARGENTINI
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO
DESLOCAMENTO DE ÓLEOS PARAFÍNICOS
EM DUTOS CONSIDERANDO EFEITOS
TÉRMICOS E NÃO NEWTONIANOS
Dissertação apresentada ao Programa
Francisco
Eduardo
Mourão
Saboya de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica da UFF como
parte dos requisitos para obtenção do
grau de Mestre em Ciências em
Engenharia Mecânica. Área de
Concentração: Mecânica dos Fluidos
Orientador: Professor Roney Leon Thompson, D.Sc
Orientador: Professor Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, D.Sc
Niterói
2013
ii
RICARDO SARGENTINI
SIMULAÇÃO NUMÉRICA DO DESLOCAMENTO
DE ÓLEOS PARAFÍNICOS EM DUTOS
CONSIDERANDO EFEITOS TÉRMICOS E NÃO
NEWTONIANOS
Dissertação apresentada ao Programa
Francisco
Eduardo
Mourão
Saboya de Pós-Graduação em
Engenharia Mecânica da UFF como
parte dos requisitos para obtenção do
grau de Mestre em Ciências em
Engenharia Mecânica. Área de
Concentração: Mecânica dos Fluidos
Banca Examinadora:
Prof. Roney Leon Thompson, D.Sc.
(Orientador) – PGMEC/UFF
Prof. Luiz Eduardo Bittencourt Sampaio, D.Sc.
(Orientador) – PGMEC/UFF
Profª. Maria Laura Martins Costa, D.Sc.
PGMEC/UFF
Prof. Luís Fernando Alzuguir Azevedo, Ph.D.
PUC-RIO
iii
À minha esposa e filhas.
iv
Agradecimentos
Em primeiro lugar a Deus por tudo e pela sua piedade em minha vida.
À minha esposa Bárbara pelo seu apoio incondicional e amor em todos os dias
de nosso casamento e pela compreensão nestes anos de estudo, apesar da sobrecarga que
isto acarretou.
À minha filha Ana Júlia pelos momentos que estive ausente. Eles foram penosos
para mim também.
À minha filha Ana Carolina que está para chegar.
À minha sogra Talita pela ajuda e incentivo.
Aos Doutores José Paravidino e Darcília Simões pelo apoio durante meu
ingresso na Pós-graduação.
Aos meus orientadores Prof. Dr. Roney e Prof. Dr. Luiz Eduardo pela
orientação, dedicação, paciência e principalmente pelo conhecimento compartilhado.
Aos Professores Drª. Maria Laura e Dr. Luís Fernando pelas propostas de
melhorias nesta dissertação.
Aos demais professores e funcionários do Programa de Pós-Graduação em
Mecânica da UFF.
À Gerência da Petrobras por permitir minha participação nesta especialização
acadêmica e aos colegas pelo auxílio.
v
Resumo
A formação de cristais de parafina em uma tubulação de petróleo representa um
problema que pode ocorrer em diversas situações. Normalmente os campos de
exploração localizados em regiões temperadas do planeta, apresentam uma grande
incidência devido às baixas temperaturas, entretanto este processo ocorre também em
zonas tropicais, onde a composição do óleo, associado à presença de água, leva a
formação destes cristais de parafina. Estes cristais modificam o comportamento
reológico do fluido, além de aderirem à superfície das tubulações, podendo inclusive a
obstruir os oleodutos.
Neste trabalho foi desenvolvido um modelo de análise numérica para o estudo
do recalque de petróleo parafínico, sendo capaz de simular um escoamento laminar,
incompressível e não-isotérmico, considerando as mudanças de seu comportamento de
um fluido newtoniano para não-newtoniano devido ao surgimento de cristais parafínicos
abaixo da TIAC (temperatura inicial de aparecimento de cristais). O trabalho simulou
também a situação do reinício do escoamento devido à obstrução das tubulações de
petróleo pelos cristais de parafina.
No trabalho utilizamos um modelo de Bingham para representar os escoamentos
não-newtonianos. Neste modelo não-isotérmico e incompressível foi implementado que
a tensão limite de escoamento e o índice de consistência apresentam dependência da
temperatura apenas abaixo da TIAC, sendo que a viscosidade apresenta esta
dependência tanto acima quanto abaixo da TIAC.
Para as análises foram realizadas 21 simulações, sendo 3 simulações sem o
fluido estar escoando, para a obtenção de um campo de temperatura como no caso de
uma obstrução, 9 com o escoamento do fluido em regime e 9 com o reinicio do
escoamento após a obstrução da tubulação, usando o campo de temperatura das três
primeiras simulações. Nestas simulações foram usados os mesmos parâmetros, sendo
variadas as pressões na entrada das tubulações e a troca de calor entre o fluido e o meio
externo.
vi
Durante as simulações foi possível observar as mudanças de comportamento do
fluido devido às alterações da pressão de entrada em conjunto com as variações da
temperatura. Neste trabalho foi possível verificar as mudanças do perfil de velocidade,
tanto radialmente, quanto longitudinalmente a tubulação, dificultando a clássica
formação de uma região de plug-flow. Além disso, foi verificado que as características
necessárias para que ocorra o escoamento dependem não apenas da diferença de pressão
ser suficiente para vencer a tensão limite de escoamento, mas também dependem da
temperatura local do fluido.
Neste estudo foi verificado que a pressão necessária para o reinício do
escoamento é muito maior que a pressão para manter o escoamento em regime
permanente.
Para a análise numérica (CFD - Computational Fluid Dynamics), foi adotado o
programa OpenFoam®, que é um software elaborado em C++, não comercial, que
permite ao usuário a elaboração de novas rotinas e modelos.
Palavras-chaves:
Óleos
parafínicos,
viscoplasticidade,
dependência
da
temperatura, volumes finitos.
vii
Abstract
The formation of paraffin crystals in a petroleum pipeline is a problem that can
occur in several situations. Usually the operating field located in temperate regions of
the world, have a high incidence due to low temperatures, however this process also
occurs in tropical areas where oil composition associated with the presence of water
leads to the formation of these crystals paraffin. These crystals modify the rheological
behavior of the fluid, and adhere to the surface of the pipes, and can even clog the
pipeline.
In this work was developed a model for numerical analysis for the study of
paraffin oil discharge, being able to simulate a laminar flow of incompressible and nonisothermal fluid, considering changes its behavior in a newtonian fluid to nonnewtonian due to the emergence of paraffin crystals below the TIAC or Twat (wax
appearance temperature). The work also simulated the situation of the restart of the flow
due to clogging of pipes for oil paraffin crystals.
At work was used a model the Bingham to represent non-newtonian flows. In
this non-isothermal and incompressible model was implemented that the yield stress and
consistency index present dependence of the temperature only below the TIAC, and the
viscosity dependence thus above as below the TIAC.
For the analyzes, 21 simulations were performed, being 3 simulations without
flow in order to obtain a temperature field, like in the case of an obstruction flow. The
other 9 simulation are to fluid flow in steady state and 9 simulation with the restarte of
the flow after occlusion of pipe, using the temperature field of the first three
simulations. In these simulations the same parameters were used, with varying pressures
in the inlet pipes and heat exchange between the fluid and the external environment.
viii
During the simulations, it was possible to observe changes in the behavior of the
fluid due to the changes of inlet pressure together with temperature variations. In this
work, it was possible to change the velocity profile, thus radially and along the piping,
interfering in the classical formation of the plug flow region. Furthermore, it was found
that the characteristics necessary for the flow to occur depends not only on the pressure
difference be sufficient to overcome the yield stress but also dependent on local
temperature of the fluid.
In this study, it was found that the pressure required to restart the flow is much
greater than the pressure to keep the flow in steady state.
For the numerical analysis (CFD - Computational Fluid Dynamics), was adopted
OpenFoam ® program, which is a software developed in C + +, non-commercial, which
allows the user to develop new routines and models.
Keywords: Waxy crude oils, viscoplasticity, temperature dependency, finite volume.
ix
SUMÁRIO
1. INTRODUÇÃO ....................................................................................................................1
1.1 Motivação........................................................................................................................................ 1
1.2 Estado da Arte ................................................................................................................................ 6
1.3 Objetivos do Trabalho .................................................................................................................. 10
1.4 Classificação dos Fluidos .............................................................................................................. 11
1.4.1 Fluidos newtonianos ..................................................................................................................... 12
1.4.2 Fluidos não-newtonianos .............................................................................................................. 13
1.4.2.1 Power-law .............................................................................................................................. 17
1.4.2.2 Material de Bingham ............................................................................................................. 19
1.4.2.3 Herschel-Bulkley ................................................................................................................... 19
1.4.2.4 Regularização ........................................................................................................................ 20
2. MODELO MATEMÁTICO ........................................................................................... 22
2.1 Equações Governantes .................................................................................................................. 22
2.2 Modelo Constitutivo ..................................................................................................................... 29
2.3 Solução Analítica para Escoamento Interno em Dutos ................................................................ 37
3. APROXIMAÇÃO NUMÉRICA .................................................................................... 43
3.1 Método dos Volumes Finitos no modelo ....................................................................................... 44
3.1.1 Operador gradiente ........................................................................................................................ 46
3.1.2 Operador divergente ...................................................................................................................... 48
3.1.3 Operador laplaciano ...................................................................................................................... 48
3.1.4 Derivada temporal ......................................................................................................................... 49
3.1.5 Esquemas de interpolação ............................................................................................................. 50
4. SIMULAÇÕES COM UMA MALHA 2D AXISSIMÉTRICA .............................. 52
4.1 Condições de Contorno e Validação da Malha............................................................................. 53
4.2 Simulações de Casos ..................................................................................................................... 60
4.2.1 Simulações para escoamento nulo................................................................................................. 61
4.2.2 Simulações com escoamento ......................................................................................................... 66
4.2.3 Simulações com reinício do escoamento....................................................................................... 92
5. CONCLUSÕES E SUGESTÕES PARA FUTUROS TRABALHOS ................ 112
5.1 Conclusões................................................................................................................................... 112
x
5.2 Sugestões para Futuros Trabalhos ............................................................................................. 115
6. BIBLIOGRAFIA ............................................................................................................ 116
xi
SUMÁRIO DE FIGURAS
Figura 1.1 – Inicio de formação de cristais de parafina: (a) 46°C e (b) 45,5°C - Microscópio
Ótico (fonte Petrobras) .............................................................................................. 2
Figura 1.2 – Formação de cristais de parafina: (c) 43,5°C e (d) 40°C - Microscópio Ótico (fonte
Petrobras) ................................................................................................................ 2
Figura 1.3 –Formação de cristais de parafina a 23 °C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras)..... 2
Figura 1.4 - Cristais de parafina que precipitam depois da temperatura ficar abaixo do TIAC,
podem aderir à superfície das gotas de água (a) ou cobri-las e estabilizar a emulsão (b).
(fonte VISINTIN, R.F.G. et al.[13]) ........................................................................... 4
Figura 1.5 - Flocos de parafina sólida em gotas de água e entre elas (c). Água dispersa é
aprisionada por uma rede de cristal parafínico (d), o sistema abrange todo o volume e a
gelificação está completa. (fonte VISINTIN, R.F.G. et al.[13]) ...................................... 4
Figura 1.6 - Esquema de um Sistema de Produção com injeção de água do mar (fonte Petrobras)
.............................................................................................................................. 5
Figura 1.7 - Comportamento Reológico de um fluido newtoniano ....................................... 12
Figura 1.8 - Comportamento Reológico de um fluido pseudoplástico e dilatante ................... 14
Figura 1.9 - Comportamento Reológico de um fluido com tensão limite de escoamento ......... 15
Figura 1.10 - Comportamento Reológico de um fluido tixotrópico....................................... 16
Figura 1.11 - Modelo Power-law – x - Influência do ................................................. 18
Figura 1.12 - Modelo Power-law – x - Influência do ................................................. 18
Figura 1.13 - Comparação entre modelo de Bingham e Regularização de Papanastasiou ........ 21
Figura 2.1 - Tensões nas faces de um volume de controle infinitesimal ................................ 25
Figura 2.2 - Pressão hidrostática nas faces de um volume de controle infinitesimal................ 25
Figura 2.3 - Tensão de cisalhamento x Taxa de deformação de um fluido de Bingham ........... 29
Figura 2.4 – Esquema ilustrativo da nomenclatura para condução de um cilindro vazado ....... 31
Figura 2.5 – Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação
a temperaturas menor que TIAC ............................................................................. 34
Figura 2.6 - Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação
a temperaturas menor que TIAC ............................................................................ 35
Figura 2.7 - Variação da viscosidade cinemática em relação a temperatura e a influência do
coeficiente ........................................................................................................ 36
Figura 2.8 - Escoamento plenamente desenvolvido - Tensão de cisalhamento x Taxa de
deformação............................................................................................................ 38
Figura 2.9 - Volume de Controle Diferencial .................................................................... 39
Figura 2.10 - Duto para o escoamento .............................................................................. 40
xii
Figura 2.11 - Perfil de velocidades para material de Bingham ............................................. 41
Figura 3.1- Fluxograma básico do processo de CFD .......................................................... 43
Figura 3.2- Volume discretizado – volumes de controle ..................................................... 45
Figura 4.1 - Geometria Axissimétrica usando patch do tipo Wedge ..................................... 52
Figura 4.2 - Malha axissimétrica ..................................................................................... 53
Figura 4.3 - Detalhe da Malha axissimétrica ..................................................................... 53
Figura 4.4 - Geometria Axissimétrica .............................................................................. 56
Figura 4.5 - Comparação entre malhas para L=1m - .................................................... 56
Figura 4.6 - Comparação entre malhas para L=1m - ° ........................... 57
Figura 4.7 - Comparação entre malhas para L=1m - 0°.......................... 58
Figura 4.8 - Tubulação sem escoamento ........................................................................... 61
Figura 4.9 - Visualização da distribuição de temperatura – Simulação 01 ............................. 64
Figura 4.10 - Visualização da distribuição de temperatura – Simulação 02 ........................... 65
Figura 4.11 - Visualização da distribuição de temperatura – Simulação 03 ........................... 65
Figura 4.12 - Tubulação com escoamento ......................................................................... 66
Figura 4.13 – Curvas da viscosidade x taxa de deformação, em função da temperatura .......... 70
Figura 4.14 - Curvas da tensão de cisalhamento x taxa de deformação, em função da
temperatura ........................................................................................................... 71
Figura 4.15 - Distribuição da velocidade – Simulação 04 ................................................... 74
Figura 4.16 - Distribuição da temperatura – Simulação 04 .................................................. 74
Figura 4.17 - Distribuição da velocidade -– Simulação 05 .................................................. 75
Figura 4.18 - Perfil de velocidade ao longo da tubulação – Simulação 05 ............................. 75
Figura 4.20 - Perfil de temperatura ao longo da tubulação – Simulação 05............................ 76
xiii
Figura 4.39- Distribuição da temperatura – Simulação 10 ................................................... 87
Figura 4.43 - Distribuição da temperatura – Simulação 11 ................................................. 89
Figura 4.49 - Tubulação para reinício de escoamento do fluido gelificado ............................ 92
Figura 4.50 - Distribuição da velocidade reinício de escoamento – Simulação 13 .................. 96
Figura 4.51 - Distribuição da temperatura reinício de escoamento – Simulação 13 ................ 96
Figura 4.52 - Distribuição da velocidade reinício de escoamento – Simulação 14. ................. 97
Figura 4.58 – Distribuição da velocidade reinício de escoamento – Simulação 17 ............... 100
Figura 4.59 - Distribuição da temperatura reinício de escoamento – Simulação 17 .............. 100
Figura 4.60 - Distribuição da velocidade reinício de escoamento – Simulação 18 ................ 101
Figura 4.64 – Perfil de velocidade ao longo da tubulação – Simulação 19........................... 104
Figura 4.65 - Perfil de temperatura ao longo da tubulação – Simulação 19.......................... 104
Figura 4.66 - Perfil da viscosidade cinemática ao longo da tubulação – Simulação 19 .......... 105
Figura 4.69 - Perfil de velocidade ao longo da tubulação – Simulação 20 ........................... 107
xiv
Figura 4.70 – Ampliação de parte das curvas extraídas da Figura 4.53. a) Região central, b)
Região periférica – Simulação 20 ........................................................................... 107
Figura 4.75 - Perfil de velocidade ao longo da tubulação – Simulação 21 ........................... 110
Figura 4.76 - Ampliação de parte das curvas extraídas da Figura 4.59. a) Região central, b)
Região periférica – Simulação 21 ........................................................................... 110
xv
SUMÁRIO DE TABELAS
Tabela 3.1- Esquemas utilizados de derivada temporal no OpenFoam® ............................... 50
Tabela 4.1 - Parâmetros – Modelagem com malha em 2D .................................................. 54
Tabela 4.2 - Dimensões das malhas ................................................................................. 55
Tabela 4.3 - Malha adotada............................................................................................. 60
Tabela 4.4 - Parâmetros – Escoamento nulo ...................................................................... 62
Tabela 4.5 - Simulações para o fluido não escoando .......................................................... 63
Tabela 4.6 - Parâmetros – Simulação 04 com escoamento .................................................. 67
Tabela 4.7 – Valores para simulações com o fluido escoando variando a pressão e o isolamento
térmico da tubulação............................................................................................... 72
Tabela 4.8 - Parâmetros – Simulação 13 para reinício de escoamento do fluido gelificado ...... 93
Tabela 4.9 - Simulações para o reinício de escoamento do fluido gelificado.......................... 94
xvi
NOMENCLATURA
Aceleração
Difusividade térmica
Calor específico a pressão constante
U
Vetor velocidade do fluido no OpenFoam®
u
Energia interna
v
Vetor velocidade
P
'
Pressão
(
Tensor das tensões totais
,
Tensor simétrico da taxa de deformação
+
Transposta do gradiente de velocidade
Tensor Vorticidade
/
Tensão limite de escoamento
-
-.
0/
Tensor das tensões de cisalhamento
Tensão de cisalhamento
Tensor Taxa de deformação
Taxa de deformação
1
Vetor Gravidade
3
Viscosidade dinâmica
Viscosidade cinemática
n
Versor normal
2
4
6
Viscosidade em função da taxa de deformação
Vetor perpendicular a área da face f
d
∅
Vetor do centróide P até o centróide N
∅9
Variável arbitrária
k
Índice de consistência
K
Condutividade térmica
Trabalho das forças viscosas
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xvii
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Coeficiente de Power-law
R
Raio da tubulação
<
Raio
.=
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Fluxo de Calor
Raio do Plug-Flow
Raio do Plug-Flow calculado analiticamente
Raio do Plug-Flow calculado por CFD
Massa
ρ
Massa Específica
L
Comprimento da Tubulação
Co
Número de Courant
∀
V
Volume de Controle
Volume
VF
Volume da Célula
T
Temperatura do Fluido
Te
Temperatura de entrada do Fluido
Ts
Temperatura de saída do Fluido
Tc
Temperatura de campo do Fluido
Text
Temperatura externa à tubulação
TIAC/Twat
Temperatura inicial de cristalização
HI
Gradiente na direção normal
JL
Forças viscosas
JK
JM
Forças de pressão
Forças de corpo
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!
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Nu
Número de Nusselt
Pl
Número de Péclet
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Coeficiente de ajuste para G
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NO
N"
NP
∆
Coeficiente de ajuste para -
Coeficiente de ajuste paraQ
Intervalo de Tempo entre simulações
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#5&
#5&
#&
xviii
1. Introdução
1.1 Motivação
O escoamento de petróleo cru ou não tratado pode ser um processo
relativamente fácil, se conhecidos previamente os parâmetros (viscosidade, temperatura
de bombeio, vazão, densidade, etc.). Isto deixa de ocorrer em temperaturas abaixo de
Twat (wax appearance temperature) ou temperatura inicial de aparecimento de cristais
(TIAC), onde começa a ocorrer o surgimento de cristais de parafina.
Os óleos parafínicos de petróleo são conhecidos por terem um comportamento
reológico muito complexo. Acima da TIAC, estes óleos podem ser considerados como
um fluido newtoniano. Quando a temperatura está abaixo do TIAC, sua viscosidade
começa a aumentar de forma acentuada, sendo sensível às restrições mecânicas devido a
estruturação deste material com a presença de cristais de parafina [7][8].
Em temperaturas abaixo do Twax, devido à precipitação de cristais de parafina
(Figuras 1.1, 1.2 e 1.3), estes fluidos passam a apresentar um comportamento reológico
não-newtoniano [20]. Deste modo, a maior parte da complexidade deste processo está
relacionada com o surgimento destes cristais de parafina que podem iniciar um processo
de deposição nas paredes da tubulação, chegando a se agregarem, formando uma
estrutura que venha a bloquear a tubulação e evitar o bombeio do produto [19].
1
a)
b)
Figura 1.1 – Inicio de formação de cristais de parafina: (a) 46°C e (b) 45,5°C - Microscópio
Ótico (fonte Petrobras)
c)
d)
Figura 1.2 – Formação de cristais de parafina: (c) 43,5°C e (d) 40°C - Microscópio Ótico (fonte
Petrobras)
Figura 1.3 –Formação de cristais de parafina a 23 °C - Microscópio Ótico (fonte Petrobras)
2
Este processo de cristalização é de ocorrência comum em regiões frias, pois o
TIAC define o início da cristalização da parafina, sendo que seu valor normalmente está
acima da temperatura ambiente.
Nos casos em que a temperatura externa de uma tubulação esteja abaixo da
TIAC, existe o risco de que um processo de obstrução da tubulação (gelificação) venha
a ocorrer. Sabendo disto, a indústria petrolífera utiliza dutos com isolamentos térmicos e
bombeio do petróleo com temperaturas acima da ambiente e da TIAC.
Na indústria de petróleo nacional, apesar das latitudes dos campos de produção
de petróleo estarem dentro de uma região tropical, boa parte dos óleos produzidos
apresentam níveis parafínicos elevados, além do fato que a maior porcentagem destes
óleos são oriundos de campos offshore onde encontramos temperaturas nas ANM
(árvores de natal molhada) em torno dos 4ºC, em profundidades de até 2000 metros
abaixo do nível do mar. Deste modo, este fenômeno ocorre com frequência na indústria
petrolífera nacional.
Apesar das medidas para se evitar a gelificação nos dutos, quando ocorre uma
parada de escoamento não programada, ou seja, devido a uma falha na unidade de
exportação, o óleo confinado na tubulação irá perder calor para o ambiente, atingindo
temperaturas menores que a sua TIAC, podendo bloquear a tubulação em que ele esteja,
dependendo do tempo da parada do bombeio e da temperatura externa a tubulação.
Desta forma, é necessário que o reinício do escoamento considere este volume de
material gelificado, que apresenta uma reologia complexa e que exigirá uma pressão
acima da sua pressão de escoamento [19] para que a exportação deste óleo seja
restabelecida.
A presença de água em emulsão no petróleo, afeta muito na formação de
parafina (Figura 1.4 e 1.5). Estudos como o de VISINTIN, R.F.G. et al. [13],
demonstram que a presença de água acima de um determinado limite pode aumentar
fortemente a formação de parafina mudando as características do fluido.
3
a)
b)
Figura 1.4 - Cristais de parafina que precipitam depois da temperatura ficar abaixo do TIAC,
podem aderir à superfície das gotas de água (a) ou cobri-las e estabilizar a emulsão (b). (fonte
VISINTIN, R.F.G. et al.[13])
c)
d)
Figura 1.5 - Flocos de parafina sólida em gotas de água e entre elas (c). Água dispersa é
aprisionada por uma rede de cristal parafínico (d), o sistema abrange todo o volume e a
gelificação está completa. (fonte VISINTIN, R.F.G. et al.[13])
4
Para se manter a pressão interna dos reservatórios, atualmente a indústria do
petróleo utiliza a injeção de água através de poços injetores, que utilizam água tratada e
bombeada das plataformas diretamente nos reservatórios (Figura 1.6). Este processo
leva a um aumento da concentração de água presente no petróleo, contribuindo desta
forma no processo de formação de gel de parafina, aumentando bastante a ocorrência da
gelificação nas linhas de exportação de óleo destas unidades de produção.
Figura 1.6 - Esquema de um Sistema de Produção com injeção de água do mar (fonte Petrobras)
5
No atual cenário mundial, com uma demanda crescente por petróleo, é
necessária cada vez mais, a exploração de recursos que antes eram pouco atraentes
devido aos custos envolvidos para sua extração e produção. A exploração destas
reservas vem deste modo se tornando exequíveis financeira e técnicamente, sendo assim
necessário que ocorra o aprimoramento dos modelos utilizadas para a análise destes
tipos de escoamento utilizando o petróleo cru.
Neste contexto, o reinicio do escoamento do petróleo que sofreu gelificação é
um processo que desperta o interesse do setor petrolífero devido ao impacto financeiro
associado ao lucro cessante da sua produção e exportação. Quando lembramos que
quase toda a produção nacional está localizada em campos offshore, sujeito a este
efeito, fica clara a necessidade de estudos para mitigar os problemas devido à ocorrência
da formação de cristais de parafina e a gelificação de petróleo em oleodutos.
1.2 Estado da Arte
O estudo do escoamento do petróleo vem atraindo interesse da indústria e
consequentemente do meio acadêmico já há algum tempo. Problemas como o do
reinício do escoamento de petróleo que sofreu gelificação em uma tubulação são de
difícil análise, sendo que cada vez mais são publicados trabalhos com modelos para
representar este caso.
Além do desenvolvimento teórico dos modelos, parte desta evolução ocorre
devido ao uso cada vez mais difundido das técnicas de CFD. Isto também tem sido
alavancado pelo incessante aumento do poder de processamento que vem ocorrendo nos
computadores.
6
Um dos trabalhos publicados sobre este assunto foi o artigo de DAVIDSON, M.
R. et al. [7] que analisou o reinício do escoamento em uma tubulação de petróleo (Waxy
crude oil) com gelificação assumindo um comportamento não-newtoniano com um óleo
de grau API baixo.
No modelo proposto, o óleo gelificado deveria ser deslocado através do bombeio
com um fluido auxiliar com características semelhantes ao fluido bombeado ou usando
um fluido newtoniano. Este modelo teórico assumiu que o óleo seguia um
comportamento viscoplástico de um material de Bingham.
Para esta análise, o óleo gelificado foi dividido em M segmentos de mesmo
comprimento. Estes seguimentos foram considerados elementos de comprimento
suficientemente
pequenos
para
serem
tratados
como
sendo
incompressíveis
individualmente, sendo que as suas propriedades eram uniformes por segmento.
Entretanto, as propriedades não eram necessariamente iguais para todos os segmentos
em um determinado tempo obtendo-se assim um pequeno efeito de compressibilidade
em seu modelo.
No trabalho de VINAY, G. et al.[8] foi desenvolvido um modelo de simulação
numérica de transientes não-isotérmica de um fluido viscoplástico incompressível em
um duto. O modelo reológico que foi utilizado é uma extensão do modelo clássico de
Bingham, no qual as propriedades do fluido apresentam uma dependência com a
temperatura de forma bem simples. Neste modelo, os autores formularam que a
dependência com a temperatura ocorria de modo isolado entre as propriedades
reológicas, ou seja, apenas simularam casos de escoamentos onde, ou a viscosidade
dependia da temperatura, ou a tensão limite de escoamento dependia da temperatura,
não representando esta dependência de modo simultâneo.
7
Além disso, o modelo adotado para representar a temperatura não é, segundo as
palavras do próprio autor, capaz de descrever esta relação de forma realista, como uma
equação de Arrhenius, que utilizamos em nosso trabalho. O modelo também não é
capaz de simular o reinício do escoamento de um petróleo parafínico como no trabalho
que estamos apresentando.
Em outro artigo [9], estes autores consideram o reinício do escoamento com um
modelo isotérmico para um fluido viscoplástico fracamente compressível em uma
geometria de tubulação usando também um modelo de Bingham. O efeito de
compressibilidade é levado em conta através da dependência da pressão com a
densidade, graças a um coeficiente de compressibilidade isotérmica.
Como o tempo de processamento para estes modelos é alto, VINAY, G. et al.
[10] elaboraram uma nova modelagem para uma simulação em 1D. Apesar de
simplificado, este modelo permitiu avaliar um típico processo de reinício do fluxo.
Neste artigo, os autores elaboraram uma simulação numérica unidimensional de
transientes isotérmicos de um fluido viscoplástico em um duto. O modelo tentou
explicar certas características contra-intuitivas, como o fato de que um oleoduto cheio
de fluido gelificado apresente um comportamento compressível devido ao surgimento
de pequenos espaços com gases confinados. O efeito da compressibilidade leva a uma
redução do tempo necessário para o reinicio do escoamento, se comparado com um
fluido incompressível.
A principal vantagem deste modelo em 1D em relação ao de 2D foi sua
velocidade de computação, pois com o aumento da complexidade dos modelos físicos,
aumenta também o tempo computacional necessário.
VINAY, G. et al. [11] e [14] apresentaram ainda outros trabalhos abordando o
mesmo tema considerando também o efeito tixotrópico que a gelificação do petróleo
apresenta.
8
Estes trabalhos abordaram o problema dos escoamentos de fluidos viscoplástico
fracamente compressíveis, considerando o efeito da tixotropia e usando um novo
modelo que, com características intermediárias entre o modelo 2D e 1D dos outros
trabalhos, obtiveram soluções numéricas de precisão satisfatória, próximas ao modelo
totalmente 2D.
Foram apresentados resultados de um escoamento de óleo parafínico em uma
tubulação, a fim de estimar a influência dos efeitos combinados da compressibilidade e
da tixotropia na capacidade de reinício do escoamento. Este trabalho demonstrou que
existem situações em que, embora a queda de pressão esteja abaixo do valor teórico
mínimo, o reinício do fluxo ocorre graças aos efeitos combinados de tixotropia e
compressibilidade.
Trabalhos sobre o processo de gelificação do óleo também foram elaborados,
contribuindo para o entendimento do fenômeno, podemos citar o artigo de VISINTIN,
R.F.G. et al.[13].
Este estudo avaliou o processo de gelificação dos óleos parafínicos, mostrando
que a presença de água acima de um valor limite pode aumentar a formação de gel,
mudando a temperatura do ponto de fluidez e as tensões de escoamento. O artigo
destaca que a ocorrência de fases sólidas no petróleo parafínico é uma questão
operacional importante para a indústria do petróleo, em vista do fato de que a
associação de cristais em dutos pode levar a graves problemas ao escoamento, sendo
destacado que a presença de água no petróleo é bastante comum, sendo seu impacto
importante na gelificação nos oleodutos.
Os resultados observam o impacto da água emulsionada no ponto de fluidez e na
reologia devido à formação do gel, sendo que os autores recomendam a execução de
testes sobre este impacto para o desenvolvimento dos campos produtores, especialmente
para aqueles offshore.
9
Outros trabalhos como o de OLIVEIRA, G. M. et al.[15], descrevem um modelo
matemático unidimensional usado para simular o reinício de um escoamento
compressível, axial, isotérmico e transiente de um fluido de Bingham entre tubos
circulares e concêntricos.
O modelo além de se basear em equações como a da quantidade de movimento e
da continuidade, relaciona em sua equação de estado, a pressão com a densidade, sendo
o efeito viscoso modelado empregando uma abordagem que considera o fator de atrito.
As equações governantes são discretizadas usando o método dos volumes finitos com
um esquema upwind de primeira ordem.
1.3 Objetivos do Trabalho
Os trabalhos apresentados até então, abordaram diversos aspectos do
escoamento de óleos dito parafínicos. A proposta deste trabalho é simular escoamentos
de óleos parafínicos, considerando o processo de gelificação e o reinício deste
escoamento, utilizando para isto a fluidodinâmica computacional através do programa
livre OpenFoam®.
Neste trabalho, iremos modelar um escoamento laminar que apresente um
comportamento viscoplástico e não-isotérmico de um óleo sujeito a gelificação e
considerando o reinício do seu escoamento após uma parada que permita que a
temperatura do fluido entre em equilíbrio com a temperatura externa à tubulação.
Este modelo, diferente dos demais já apresentados, é capaz de simular um fluido,
neste caso um óleo parafínico, cujos parâmetros reológicos dependem da temperatura.
10
Neste modelo simulamos o comportamento newtoniano do fluido em
temperaturas acima da TIAC, bem como seu comportamento não-newtoniano abaixo
desta temperatura.
O modelo possibilita ainda a análise deste problema para escoamento em dutos
de seção transversal de qualquer formato. No caso, iremos utilizar apenas escoamentos
em seções circulares. Além disso, usualmente vemos trabalhos com o escoamento
utilizando modelos de um fluido viscoplástico de Bingham, sendo que no modelo deste
trabalho, podemos simular um fluido que se comporte como o modelo de HerschelBulkley e consequentemente também simular um caso mais simplificado representado
por um plástico de Bingham.
Para estas simulações não-isotérmicas e incompressíveis, o modelo utilizará a
dependência da tensão limite de escoamento com a temperatura. A viscosidade e o
índice de consistência também serão ajustados pelas variações de temperatura do fluido,
o que irá modificar o aspecto do perfil de velocidade neste tipo de escoamento.
Até então, nos demais trabalhos para o escoamento de fluidos parafínicos, as
propriedades como a viscosidade, tensão limite de escoamento e o índice de
consistência não apresentavam uma interdependência com a temperatura, bem como,
esta dependência não era considerada nas simulações com o reinicio do escoamento de
um fluido gelificado.
1.4 Classificação dos Fluidos
A tarefa de se classificar um fluido muitas vezes pode ser árdua devido à grande
variedade de características envolvidas. Basicamente existem algumas classificações
que auxiliam na organização e separação dos fluidos de acordo com suas propriedades.
11
No nosso caso, a classificação que nos interessa diz respeito à reologia dos
fluidos, sendo dividida em dois grupos principais conhecidos como fluidos newtonianos
e fluidos não-newtonianos.
1.4.1 Fluidos newtonianos
Podemos definir o fluido newtoniano como sendo aquele que durante um
escoamento, apresente uma relação linear entre sua tensão de cisalhamento e a sua taxa
de deformação. Além desta proporcionalidade entre a taxa de deformação e a tensão de
cisalhamento, estes fluidos não apresentam qualquer tipo de memória devido a sua
deformação, não tendo comportamento elástico e sem dependência de suas propriedades
em relação ao tempo. Abaixo segue a Figura 1.7 que representa o comportamento destes
fluidos.
-
0/
Figura 1.7 - Comportamento Reológico de um fluido newtoniano
12
Em escoamento de fluidos newtonianos, o tensor das tensões é proporcional ao
tensor da taxa de deformação de acordo com a equação 1.1.
Deste modo, ele apresenta um coeficiente de proporcionalidade que é conhecido
como viscosidade (2S, sendo constante para uma mesma temperatura de escoamento.
- T 20/
(1.1)
A maioria dos fluidos comuns de composição simples como água, ar, gasolina
apresentam esta característica.
1.4.2 Fluidos não-newtonianos
Simplificadamente, podemos definir um fluido não-newtoniano como sendo
todos os fluidos que não se comportam como um fluido newtoniano.
Uma característica que notadamente representa alguns fluidos como sendo nãonewtoniano é a não linearidade da taxa de deformação, ou seja, sua viscosidade não é
constante, variando de acordo com a taxa de deformação. Dependendo da maneira pela
qual a viscosidade varia com a taxa de deformação, os fluidos não-newtonianos podem
ser classificados como pseudoplásticos (shear thinning) ou dilatantes (shear
thickening).
Os pseudoplásticos são aqueles cuja viscosidade do fluido diminui conforme a
taxa de deformação aumenta, já os dilatantes são aqueles onde a viscosidade do fluido
cresce com o aumento da taxa de deformação (Figura 1.8).
13
-
0/
Figura 1.8 - Comportamento Reológico de um fluido pseudoplástico e dilatante
Os fluidos viscoplásticos apresentam uma tensão limite de escoamento. Nestes
fluidos, para que o mesmo sofra um escoamento, se faz necessário que o fluido seja
sujeito a uma tensão inicial superior a sua tensão limite de escoamento ou tensão de
cedência. Na Figura 1.9 podemos observar um gráfico que representa estas
características. No gráfico são representados dois modelos conhecidos como Bingham e
Herschel-Bulkley que serão melhor apresentados, mais adiante.
14
-
0/
Figura 1.9 - Comportamento Reológico de um fluido com tensão limite de escoamento
Existem ainda os fluidos que possuem um comportamento elástico, fazendo
parte do grupo dos viscoelásticos. Estes fluidos se comportam de modo intermediário
entre um fluido newtoniano, e um sólido hookeano.
Outra vertente são os fluidos cuja viscosidade tem dependência temporal. No
caso, podemos dividir em dois tipos, um conhecido como tixotrópico (Figura 1.10), cuja
viscosidade reduz com o tempo e um fluido que apresente um comportamento oposto a
este, onde sua viscosidade aumente com o tempo sendo chamado de reopético.
15
Na Figura 1.10, podemos ver que o fluido requer um tempo para se ajustar a
nova condição de cisalhamento que lhe foi imposta. No caso de um aumento na
intensidade da tensão de cisalhamento, a taxa de cisalhamento passa por uma fase
intermediária onde aumenta sua intensidade. Isto se deve a uma reestruturação interna
do fluido que leva a uma redução gradual da sua viscosidade (break-down) ou aumento
(build-up).
Figura 1.10 - Comportamento Reológico de um fluido tixotrópico
Existem diversos modelos que são propostos para representar estas variações da
reologia dos fluidos não-newtoniano. A seguir serão apresentados alguns modelos de
fluidos não-newtonianos de interesse neste estudo:
16
1.4.2.1 Power-law
Para representar um fluido que apresente um comportamento dilatante ou
pseudoplástico, foi proposto um modelo conhecido como Power-law. Este modelo parte
do princípio que a viscosidade do fluido é função da sua taxa de cisalhamento - 4U0/ S.
Deste modo, a viscosidade é representada de acordo com a equação abaixo, sendo ele
um modelo de 2 parâmetros.
4U0/ S T A0/ I)*
(1.2)
Os termos A e são conhecidos, respectivamente, como índice de consistência e
coeficiente de Power-law ou coeficiente de potência, sendo este último um
adimensional.
A equação que define a relação da taxa de deformação com a tensão de
cisalhamento é representada pela equação abaixo.
- T A0/ I
(1.3)
O coeficiente de Power-law é responsável pela representação do tipo de
escoamento que se deseja modelar. Para o caso de um escoamento de um fluido do tipo
pseudoplásticos ou shear thinning, o assumirá um valor menor que 1. No caso dos
fluidos dilatante ou shear thickening o assumirá um valor maior que 1. Já para T 1
ele representa um fluido newtoniano. Os gráficos das Figuras 1.11 e 1.12 demonstram
esta variação para um fluido hipotético.
17
-
0.12
τ para n<1
τ para n=1
τ para n>1
0.10
0.08
0.06
0.04
0.02
0.00
0
0.1
0.2
0/
0.3
0.4
0.5
Figura 1.11 - Modelo Power-law – x / - Influência do 0.6
η
η para n<1
0.5
η para n=1
η para n>1
0.4
0.3
0.2
0.1
0.0
0
0.1
0.2
0/
0.3
0.4
0.5
Figura 1.12 - Modelo Power-law – x / - Influência do 18
1.4.2.2 Material de Bingham
Este modelo foi idealizado em 1922 por Bingham, para representar fluidos
viscoplásticos com tensão limite de escoamento. Deste modo, o fluido representado por
este modelo necessita estar sujeito a uma tensão inicial superior a uma tensão limite de
escoamento ou tensão de cedência, pois caso contrário, não ocorrerá o escoamento.
Deste modo, temos abaixo as duas equações que representam este tipo de
comportamento.
- W -. ⇒ - T -. Y A0/
(1.4)
- Z -. ⇒ 0/ T 0
(1.5)
Quando - Z -. , o fluido não atingiu a tensão de cedência, seu comportamento
pode ser considerado similar a um sólido. Devido à ausência de escoamento podemos,
neste caso, considerar como sua viscosidade tendendo a um valor muito alto ou mesmo
infinito. Após o início do escoamento, o fluido apresenta um comportamento similar a
um fluido newtoniano.
1.4.2.3 Herschel-Bulkley
O modelo de Herschel-Bulkley surgiu posteriormente ao de Bingham em 1926,
permitindo que sejam representados fluidos que possuem tensão limite de escoamento,
mas que também tenham um comportamento pseudoplástico ou dilatante. O modelo é
representado pelas equações a seguir.
19
- W -. ⇒ - T -. Y A0/ I
- Z -. ⇒ 0/ T 0
(1.6)
(1.5)
Quando for igual a 1, o modelo será idêntico ao de Bingham. Para o caso de
um escoamento de um fluido do tipo pseudoplásticos, o será menor que 1. No caso
dos fluidos dilatante o será maior que 1.
1.4.2.4 Regularização
Em 1987, surgiu um modelo proposto por Papanastasiou, que introduziu uma
regularização para o modelo clássico de Bingham que considera uma tensão limite de
escoamento.
- T [1 5 U)\/ S ]-< Y A0/
(1.7)
Para o caso do modelo de Bingham, a sua equação é dividida em duas partes,
uma para a tensão de cisalhamento menor que a tensão limite de escoamento e outra
para uma tensão de cisalhamento acima do limite. Papanastasiou formulou uma única
equação que tem como objetivo se aproximar da curva original de Bingham. A
vantagem deste modelo esta na possibilidade de se executar simulações em CFD para
este escoamento, o que era dificultado pelo modelo anterior.
Na Figura 1.13, podemos ver um gráfico que demonstra a importância do
parâmetro , sendo que a partir do valor de T 1000, a equação de Papanastasiou
apresenta uma boa aproximação em relação ao modelo de Bingham. Quando → ∞
ele representa exatamente o modelo de Bingham para - Z -. e - W -. , sem
apresentar uma descontinuidade.
20
-
12
10
8
Bingham
m=1
m=10
m=100
m=1000
6
4
2
0
0
0.05
0.1
0.15
0/
0.2
0.25
0.3
Figura 1.13 - Comparação entre modelo de Bingham e Regularização de Papanastasiou
Da mesma forma que modelo de Bingham pode ser representado pela
regularização de Papanastasiou, o modelo de Herschel-Bulkley também se beneficia
deste recurso, sendo observada a mesma relação para quando → ∞. A equação
regularizada de Herschel-Bulkley é representada na equação escrita abaixo:
- T [1 5 U)\/ S ]U-< Y A0/ I S
(1.8)
21
2. Modelo Matemático
2.1 Equações Governantes
Para a análise de um escoamento isotérmico de um fluido, algumas leis
fundamentais se fazem necessárias. Podemos destacar as leis de conservação de massa,
quantidade de movimento, bem como das equações constitutivas que descrevem a
relação entre a tensão e a deformação para um fluido.
A conservação de massa pode ser descrita pela equação de continuidade:
@
@`
T0
(2.1)
Sendo que para um volume de controle infinitesimal (d∀)
@
cd
a b∀T a∀ c` Y e. UbgS ∀=0
@` ∀
(2.2)
22
ch
c`
Onde
ch
c`
Y e. UbgS T 0
(2.3)
é a variação da massa específica do fluido em relação ao tempo e
e. UbgS é o divergente do fluxo mássico.
Sendo regime permanente:
e. UbgS T 0
(2.4)
No caso para fluido incompressível teremos:
e. g T 0
(2.5)
Considerando o balanço das forças em um volume infinitesimal:
b T JK Y JL Y JM
(2.6)
23
Sendo que
de corpo.
JK são as forças de pressão, JL
as forças viscosas e
JM as forças
A equação da conservação da quantidade de movimento linear pode ser
representada desta forma:
Sendo que
iUgS
i`
b
iUgS
i`
T b1 5 eP Y e. (2.7)
é a derivada material do vetor velocidade, ρ a massa específica
do fluido, 1 a aceleração da gravidade, eP o gradiente de pressão e e. é o divergente
do campo tensorial.
No caso, a tensão total no fluido ' é dada por:
'= -Pl Y (2.8)
Onde P é a pressão mecânica , lé a identidade da parte esférica e é a parte
deviatórica da tensão ou tensão de desvio que surge para o fluido em movimento
(Figura 2.1). No caso do fluido em repouso, a única tensão sobre o elemento do fluido é
a pressão hidrostática (Figura 2.2) (ÇENGEL, Y.A. et al.[17]).
24
Figura 2.1 - Tensões nas faces de um volume de controle infinitesimal
Figura 2.2 - Pressão hidrostática nas faces de um volume de controle infinitesimal
25
Sendo a pressão mecânica:
$ T 5 '
*
D
(2.9)
Portanto, em coordenadas cartesianas retangulares:
pp pq pr
5$ 0
0
' T m 0 5$ 0 n Y oqp qq qr s
rp rq rr
0
0 5$
(2.10)
Seja eg o gradiente do vetor velocidade do fluido, em coordenadas cartesianas,
teremos:
g T tû Y 3ŵ Y xAy
(2.11)
Sendo:
c}
|c~
{c}
eg T {c
{c}
z c
c
c~
c
c
c
c
c
c~
c
c
c
(2.12)
c
26
Onde:
(=e` g
(2.13)
Sendo ( a transposta do gradiente das velocidades, podemos escrever:
( T Ue` g Y egS Y Ue` g 5 egS
*
*
7
7
(2.14)
Adotamos a parte simétrica com sendo + e a assimétrica com sendo ,:
, T 2 e
1
0
|
{ * c c}
, T { 7 c~ 5 c
{* c c}
z7 c~ 5 c
g 5 e g
* c}

7 c
0
* c

7 c
5
5
c
c~

c
c

O termo , é conhecido como tensor vorticidade.
Sendo:
+ T Ue` g Y egS
*
7
(2.15)
* c}

c

5
7 c
c

0

7 c
* c
5
c~
c
(2.16)
(2.17)
27
c}
|
c~
{ * c} c
+ T { 7 c Y c~
{* c} c
z7 c Y c~
* c}

Y
c
7 c
c~
c

c
* c
c

7 c
Y
c

* c}

c

Y
7 c
c

c

c
7 c
* c
Y
c~
c
(2.18)
Em um fluido newtoniano temos que:
T 2μ+
(2.19)
/ T 2+
(2.20)
T μ/
(2.21)
Sendo adotado:
Onde/ é o tensor taxa de deformação:
A intensidade deste tensor é representada por:
0/ T U/ 7 S
*
7
(2.22)
28
Para um fluido newtoniano generalizado temos que:
T 24U/ S+
(2.23)
Onde a viscosidade 4 é função da taxa de deformação.
2.2 Modelo Constitutivo
Para esta análise, iremos utilizar o modelo de um fluido de Bingham, sendo este
um fluido não-newtoniano, viscoplástico que apresenta uma tensão limite de
escoamento e uma dependência linear da tensão de cisalhamento e da taxa de
deformação (Figura 2.3). No caso, o modelo será capaz de suportar uma análise usando
também Herschel-Bulkley, como será falado mais adiante.
-
/
Figura 2.3 - Tensão de cisalhamento x Taxa de deformação de um fluido de Bingham
29
Sendo um fluido incompressível:
e. g T 0
(2.5)
Para um material de Bingham teremos:
- W -. ⇒ - T -. Y A0/
- Z -. ⇒ 0/ T 0
(1.4)
(1.5)
Para este estudo foi utilizado o modelo de Bingham, sendo acrescentado o efeito
da temperatura. Na equação implementada, a utilização de um modelo de HerschelBulkley é facilmente obtido através da alteração do coeficiente de potência.
Considerando um cilindro, teremos o gradiente de temperatura representado na
direção radial onde a condutibilidade térmica será chamada de e a área externa do
cilindro de (Figura 2.4).
T 2
/ T 52
(2.24)
@
@
(2.25)
30
/ T
U ) S7>

U S

(2.26)
Figura 2.4 – Esquema ilustrativo da nomenclatura para condução de um cilindro vazado
Segundo a forma diferencial da lei de Fourier de condução térmica, o fluxo de
calor pode ser representado como o produto da condutância térmica pelo gradiente de
temperatura.
/ T 5Ge
(2.27)
31
Em relação ao efeito das trocas de calor, podemos considerar a equação de
Fourier para um fluxo de calor difusivo. Onde é a difusividade térmica e é o calor
específico à pressão constante.
/ T 5b e
(2.28)
Dada a equação da conservação de energia térmica, onde ∅9 representa o
trabalho das forças viscosas e u a energia interna.
b
i
i`
T 5$Ue. gS Y ∅L Y e. Ub eS
(2.29)
Considerando u T para a equação de estado $ T b, 5 T e
usando a equação 2.3 podemos escrever [21]:
5$Ue. gS T
F i d i¡
¢
d c
F cd
i
i`
T5
F i
i`
T 5bU 5 S
i
i`
(2.30)
Usando os resultados da equação 2.29 e 2.30 temos:
b
i
i`
T £9 Y e. Ub eS
(2.31)
32
Admitindo que o aumento da temperatura devido ao trabalho das forças viscosas
seja desprezível, utilizando a lei de Fourier e supondo que a difusividade térmica é
uniforme e o fluido sendo incompressível:
+'
+¤
T
¥'
¥¤
Y Ug. eS T e7
(2.32)
Além do acréscimo da equação da dependência da temperatura em relação ao
tempo e a difusividade do fluido, foi considerado o efeito da variação de temperatura na
tensão de cisalhamento do fluido e no seu índice de consistência A, bem como seu efeito
em relação à dependência da sua viscosidade em relação à temperatura.
NO
Para este efeito foi considerada que a tensão limite de escoamento será ajustada
com um coeficiente
que será responsável por este grau de dependência da tensão
limite de escoamento em relação à temperatura.
No modelo utilizado, a equação 2.33 sofrerá esta dependência tendo com
referência a temperatura TIAC, sendo que, abaixo desta temperatura, o fluido
apresentará uma variação da sua tensão limite de escoamento, tendo assim um
comportamento não-newtoniano.
A equação 2.33 e 2.34 foram elaboradas a partir de uma equação de Arrhenius,
para tentar representar o efeito não-newtoniano destes fluidos.
Acima da TIAC, o fluido terá um comportamento newtoniano, devido à lógica
implementada no programa que desconsiderará os termos negativos, retornando um
valor igual à zero.
-< T -<¦=§ ¨
¬
¬
©ª« )®¯°±
5 1²
(2.33)
33
O gráfico abaixo apresenta a representação da dependência da tensão limite de
escoamento em relação à temperatura representando a fase não-newtoniana do fluido e a
influência do coeficiente NO nesta variação (Figura 2.5).
-<
0.016
N- = 5000
0.014
N- = 3000
0.012
N- = 1000
0.01
N- = 100
0.008
0.006
0.004
0.002
0
277.15
282.15
287.15
(GS
292.15
297.15
302.15
307.15
Figura 2.5 – Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação
a temperaturas menor que TIAC
No caso do índice de consistência , foi adotada uma dependência da sua
viscosidade em relação à temperatura similar ao caso da tensão limite de escoamento,
sendo feito seu ajuste através do coeficiente , tendo como referência os valores para a
TIAC. A equação foi elaborada a partir de uma equação de Arrhenius para representar
apenas os valores abaixo da TIAC, fluido não-newtonianio. Os valores negativos da
equação são desconsiderados na lógica implantada no modelo, retornando um valor
igual à zero.
34
A T A ¦=§ ¨
¬
¬
© « )®¯°±
5 1²
(2.34)
No gráfico abaixo, a representação do índice de consistência A em relação à
temperatura na fase não-newtoniana do fluido e a influência do coeficiente AO nesta
variação (Figura 2.6).
A³´`
0.0014
Nk = 5000
0.0012
Nk = 3000
Nk = 1000
0.001
Nk = 100
0.0008
0.0006
0.0004
0.0002
0
277.15
282.15
287.15
(GS
292.15
297.15
302.15
307.15
Figura 2.6 - Influência do coeficiente na variação da tensão limite de escoamento em relação
a temperaturas menor que TIAC
A dependência da viscosidade em relação à temperatura foi representada por
uma equação similar à da tensão limite de escoamento e do índice de consistência.
35
A equação 2.35 é do tipo de Arrhenius, onde sua constante é representada por
NP , sendo Qµ? a viscosidade de referência em uma determinada temperatura (µ? S. A
viscosidade Q¶I? é a viscosidade do fluido sob a influência da temperatura, tanto acima
quanto abaixo da TIAC, sendo neste caso,
Q¶I? T Qµ? ¬
·ª¸ ¨)
¬
¹
²º
(2.35)
No gráfico da Figura 2.7 mostra-se a representação a variação da viscosidade em
relação à temperatura do fluido e da sua constante NP .
Q¶I?
0.006
NQ = 5000
0.005
NQ = 2845
0.004
NQ = 1000
NQ = 100
0.003
0.002
0.001
0
277.15
287.15
297.15
307.15
317.15
327.15
(GS
Figura 2.7 - Variação da viscosidade cinemática em relação a temperatura e a influência do
coeficiente 36
No modelo foi implementado a equação 2.36 que permite a obtenção da
viscosidade do fluido considerando-se a influência da temperatura através dos valores
obtidos nas equações 2.33, 2.34 e 2.35. Onde 4¶I? representa Q¶I? multiplicado por b.
4T
O»
\/
Y A0/ UI)*S Y 4¶I?
(2.36)
2.3 Solução Analítica para Escoamento Interno em Dutos
No escoamento de um fluido em um duto, a tensão gerada depende da distância
do fluido em relação à parede do duto. No caso, as perdas de carga deste escoamento
serão função do atrito deste fluido com a parede da tubulação.
A viscosidade do fluido é representada como sendo proporcional à tensão de
cisalhamento pela lei de Newton da viscosidade (FOX, R.W. et al.[16]).
pq T 4
Na equação acima,
pq
@¼
@
(2.37)
é a tensão de cisalhamento gerada devido ao
escoamento do fluido, onde } é a componente longitudinal da velocidade de
escoamento e ½ é a coordenada transversal ao mesmo.
37
Na Figura 2.8 podemos observar o efeito da equação, onde próximo à parede do
duto ocorrem grandes variações da taxa de deformação e consequentemente da
velocidade local do escoamento. Na região de contato com a parede do duto, temos a
condição de não-deslizamento, onde a velocidade do fluido é zero. Neste escoamento
plenamente desenvolvido, a variação da velocidade é representada por uma parábola.
Figura 2.8 - Escoamento plenamente desenvolvido - Tensão de cisalhamento x Taxa de
deformação
Para um material de Bingham:
W . ⇒ - T -. Y 2 ¾ ¾
@¿
@
(2.38)
38
Considerando um volume de controle em um espaço anular podemos considerar
as forças normais e cisalhantes como segue (Figura 2.9):
Figura 2.9 - Volume de Controle Diferencial
Executando o somatório das forças e considerando o equilíbrio do volume
teremos:
5 $ Y
c
c~
2
5 -~ 2
Y
$2
Y #-~ Y
@Àp
@
&2U
Y S T 0
(2.39)
Simplificando, dividindo por 2
:
c
c~
T
@UÀp S
@
(2.40)
39
~ T
Àp T
@ @~ 7
* @
7 @~
Y
(2.41)
(2.42)
Considerando o fluido como sendo um material de Bingham:
W . ⇒ - T -. Y 2 ¾ ¾
@¿
@
* @
7 @~
T -. Y 2 ¾ ¾
@¿
@
(2.38)
(2.43)
Considerando o escoamento completamente desenvolvido admitimos que:
@
@~
T
Á
Á~
T
Á
Â
(2.44)
Figura 2.10 - Duto para o escoamento
40
* Á
7 Â
@Ã
(2.45)
@Ã
(2.46)
T -. Y 2 ¾ ¾
@
* ÁF
7Ä Â
5
OÅ
Ä
T¾ ¾
@
Hipótese - Æ -. :
Considerando a evolução do perfil de velocidade até a parede do duto temos:
@Ã
@
T
OÅ
9
5
* Á
79 Â
(2.47)
A região onde a velocidade não sofre variação em relação ao raio do duto é
chamada de Plug-flow:
@¿
@
T 0 para Z . (Plug-flow):
Figura 2.11 - Perfil de velocidades para material de Bingham
41
Para T . :
Resolvendo a equação:
OÅ
9
* Á
5
79 Â
< T
7OÅ
@Ã
OÅ
@
(2.48)
ÇÈ
É
T
Ã T
< T 0
9
OÅ
9
(2.49)
5
5
* Á
79 Â
* Á 79 Â
7
(2.50)
Y
(2.51)
Condição de não deslizamento na parede do duto U(R)=0.
Temos:
Ã T
Para Z . :
OÅ
9
5
* Á 79 Â
7
(2.52)
* Á
U 7 5 7 S 5
* Á
U 7 5 < 7 S 5
Ã T
Ê9 Â
Ã T
Ê9 Â
OÅ
9
U 5 S
OÅ
9
U 5 < S
(2.53)
(2.54)
Estas deduções serviram para a obtenção das equações 2.49 e 2.54 que serão
usadas para a validação da malha que será utilizada no modelo em volumes finitos. O
raio do plug-flow e a velocidade máxima em um escoamento isotérmico de um material
de Bingham servirão de referência para o refinamento da malha que será adotada.
42
3. Aproximação Numérica
No que envolve a dinâmica dos escoamentos, seja de fluidos newtonianos ou
não-newtonianos, as técnicas que abrangem a fluidodinâmica computacional, ou
simplesmente CFD (Computational Fluid Dynamics), se apresentam como uma
importante ferramenta facilitadora de sua análise.
A partir das premissas básicas de análise de CFD, o presente trabalho tem como
objetivo simular escoamentos, com o auxílio da fluidodinâmica computacional,
utilizando o programa de uso não-comercial OpenFoam®. A Figura 3.1 representa um
fluxograma simplificado desse processo.
Geração da
geometria
Confecção
da malha
Préprocessamento
Pósprocessamento
• Solução
• Interface visual
Figura 3.1- Fluxograma básico do processo de CFD
No caso, este estudo será focado no escoamento de petróleo em regime laminar e
incompressível, podendo apresentar comportamento tanto de um fluido newtoniano,
quanto de um fluido não-newtoniano, considerando o efeito de gelificação deste fluido e
as trocas térmicas com o meio externo.
43
3.1 Método dos Volumes Finitos no modelo
O método de volumes finitos consiste em se obter uma aproximação numérica a
partir de uma equação diferencial, através da integração de um volume de controle. Este
método utiliza a discretização de um volume a ser estudado em vários volumes menores
de controle, resultando assim na geração de uma malha composta por vários elementos.
O seu desenvolvimento está intrinsecamente ligado ao conceito de fluxo entre
regiões, ou volumes adjacentes, onde o fluxo de uma grandeza f é a quantidade dessa
grandeza que atravessa uma fronteira com área A.
A quantidade líquida de f que atravessa um volume de controle, por unidade de
tempo é calculada pela integração, sobre essas fronteiras, da diferença entre os fluxos
que entram e os que saem do volume de controle, o que é conseguido de forma mais
geral pela integração das equações diferenciais.
A aplicação da técnica de volumes finitos permite escrever equações de
diferenças que exprimem as relações de conservação de massa e energia. A
interpretação física direta resultante da aplicação do método de volumes finitos, bem
como, a possibilidade de aplicá-lo diretamente sobre malhas com espaçamentos não
uniformes são duas de suas vantagens.
O domínio é subdividido em um número finito de volumes de controle,
adjacentes entre si, formando uma partição, onde as equações de conservação são
aplicadas, sendo este conjunto conhecido por malha.
Cada variável é armazenada no centróide do volume de controle, sendo os
valores das variáveis determinados por métodos de interpolação nas faces dos volumes.
O método de volumes finitos admite um grande número de tipos de malhas
permitindo a análise de uma grande diversidade de formas complexas, sendo que não
pode haver espaços vagos entre os volumes de controle.
44
Para o uso em equações diferenciais parciais, a discretização dos termos
matemáticos pode ser realizada de diversas formas, no caso, serão apresentados os
termos de acordo com a sua utilização pelo programa OpenFoam® (JASAK, H.[5]) que
se aplicam neste modelo.
Na Figura 3.2 podemos ver uma representação típica resultante da discretização
do domínio onde o ponto P representa o centróide da célula de interesse, o ponto N
representa o centróide da célula vizinha. Nesta representação, podemos ver o vetor d
que une os dois centróides, que no caso, difere do vetor Sf que é perpendicular à face de
contato das células.
f
P
Sf
d
N
Figura 3.2- Volume discretizado – volumes de controle
O ponto P é a localização do centróide
na célula, sendo por definição:
(3.1)
Sendo
o volume da célula referente à P. O centro das faces das células pode
ser definido de modo similar à regra do centróide.
45
aª [Ë 5 Ë? ]N T 0
¹
(3.2)
Onde o vetor da face Ì é definido como d=$Í, sendo 6 o vetor da face com
magnitude igual a área da face.
6 T aª N
¹
(3.3)
3.1.1 Operador gradiente
O operador gradiente UH∅S é um termo explícito que pode ser representado de
algumas formas em volumes finitos, de acordo com a necessidade do usuário.
- Integração Gaussiana:
Este termo segue uma discretização usando o método padrão de integração
Gaussiana no volume de controle.
aÐ e∅Î T aª N∅ T ∑? 6∅Ì
(3.4)
Onde ∅ é uma váriavel qualquer e o sub-índice Ì corresponde à face da célula, sendo
esta forma usada no modelo.
46
- Método dos mínimos quadrados:
Considerando a Figura 3.2, o valor no ponto P pode ser extrapolado para seu
vizinho N usando o gradiente no ponto P. O valor extrapolado em N pode ser
comparado com o valor atual de N, sendo que esta diferença é o erro da aproximação.
Quando utilizamos a soma dos erros quadrados de todos os pontos vizinhos de P, este
terá uma boa aproximação.
Esta discretização é feita calculando-se o valor de um tensor G em todos os
pontos P, pela soma de seus vizinhos N.
Ñ T ∑Ò xÒ7 Ó
(3.5)
Onde a função peso será:
*
xÒ T |@|
(3.6)
e∅ T ∑Ò xÒ7 Ñ)* d(∅Ò 5 ∅ S
(3.7)
O gradiente será:
- Método gradiente normal à superfície;
Tem-se que ? [e∅? ] pode ser avaliado nas células usando o seguinte esquema:
e∅? T
∅Õ )∅È
|@|
(3.8)
47
3.1.2 Operador divergente
O operador divergente é um termo explícito. Sua integração no volume de
controle é feita como indicado abaixo:
aÐ e. ∅V T aª N. ∅ T ∑? N? . ∅?
(3.9)
O termo convectivo é resolvido implicitamente como segue.
aÐ e. UbÃ∅SV T aª N. UbÃ∅S T ∑? 6 . UbÃS? ∅? T ∑? Ö∅6 (3.10)
3.1.3 Operador laplaciano
O operador laplaciano é a integração no volume de controle e é feita como
indicado abaixo:
aÐ e. UΓe∅SV T aª N. UΓe∅S T ∑? Γ? 6 . Ue∅S? (3.11)
Quando consideramos que o comprimento d entre o centróide P e o centróide N
é ortogonal ao plano da face em comum destas células, ou seja paralelo a N? , temos:
6 . Ue∅S? T ØN? Ø
∅Õ )∅È
|@|
(3.12)
48
3.1.4 Derivada temporal
No caso de uma derivada temporal de primeira ordem
no volume representada como segue:
c∅
c`
, tem sua integração
a b∅V
c` Ð
c
(3.13)
Sendo discretizada no tempo considerando os novos valores como sendo
∅I T ∅U Y ∆S para o passo de tempo que esta sendo resolvido.
No caso o passo anterior seria ∅I)* T ∅US e o seu antecessor ∅I)7 T
∅U 5 ∆S e assim por diante.
Para primeira ordem teremos:
c∅
c`
T
∅Ù )∅ÙÚ¬
c∅
aÐ c` V
∆`
T
(3.14)
∅Ù )∅ÙÚ¬
∆`
VF
(3.15)
Para segunda ordem, usando dois passos de tempo anteriores teremos:
c∅
c`
T
: Ù
¬
∅ )7∅ÙÚ¬ Û∅ÙÚ
∆`
(3.16)
49
c∅
aÐ c` V
T
: Ù
¬
∅ )7∅ÙÚ¬ Û ∅ÙÚ
∆`
VF
(3.17)
Alguns esquemas podem ainda ser utilizados no OpenFoam® de acordo com a
tabela abaixo:
Tabela 3.1- Esquemas utilizados de derivada temporal no OpenFoam®
Esquema
Descrição
Euler
Primeira ordem, restrito, implícito
CrankNicholson
Segunda ordem, restrito, implícito
Backward
Segunda ordem, implícito
SteadyState
Não resolve a derivada temporal
No caso foi utilizado o esquema de CrankNicholson para as derivadas temporais.
3.1.5 Esquemas de interpolação
Em análises por volumes finitos, os esquemas de interpolação, assim como
outras considerações, são importantes e influenciam na resolução dos problemas. No
OpenFoam® existem alguns esquemas de interpolação já pré-definidos sendo que
citaremos os principais.
50
Diferenças Centradas (CD) - Este esquema é de segunda ordem, sendo que
dependendo da condição de escoamento pode ocorrer o surgimento de oscilações
espúrias na solução (sistema não limitado).
∅? T Ì~ ∅ Y U1 5 Ì~ S∅Ò
Sendo:
?Ò
Ì~ T ÜÜÜÜ
Ò
(3.18)
(3.19)
ÜÜÜÜ é a distância entre Ì e o centro da célula vizinha N e ÜÜÜÜ
Onde ÌÍ
$Í é a distância
entre os centros das células N e P.
Upwind (UD) – Este esquema é dito limitado, ou seja, não produz oscilações,
sendo porém de primeira ordem de precisão. Dependendo da direção do fluxo, o valor
da variável é determinado na face (∅? ).
∅? T Ý
∅ Þ%
%Ö W 0
∅Ò Þ%
%Ö Z 0
(3.20)
Diferenças Mistas (BD) – Esquema de alta ordem que pondera um valor entre o
esquema Diferenças Centrais e Upwind.
51
4. Simulações com uma malha 2D axissimétrica
Neste estudo foi adotado a utilização de uma malha em 2D para representar o
escoamento do fluido, sendo elaborada uma malha axissimétrica, o que reduz
significativamente o tempo de processamento e permite assim uma maior quantidade de
simulações por caso com uma boa precisão.
Esta malha em 2D, representa uma seção com um ângulo inferior a 5° utilizando
um patch do tipo Wedge que considera a simetria desta seção. Este tipo malha simétrica
apresenta boa precisão para ângulos inferiores a 5°, sendo apenas necessário um volume
ou bloco no sentido transversal. No sentido radial e longitudinal é utilizado um número
maior de volumes, sendo feito um refinamento até a obtenção de uma precisão
aceitável. Para a confecção desta malha foi utilizado o gerador de malhas (blockMesh)
do OpenFoam® (Figura 4.1).
Figura 4.1 - Geometria Axissimétrica usando patch do tipo Wedge
52
A malha axissimétrica seguiu as medidas para representar uma tubulação onde o
fluido irá escoar, sendo considerado o comprimento de 1m, com 0,1m de raio, com um
ângulo da cunha inferior a 5º (Figura 4.2 e 4.3).
Figura 4.2 - Malha axissimétrica
Figura 4.3 - Detalhe da Malha axissimétrica
4.1 Condições de Contorno e Validação da Malha
Para a validação da malha, foram realizadas diversas simulações, onde
consideramos um plástico de Bingham, sendo adotados os parâmetros da Tabela 4.1.
53
Tabela 4.1 - Parâmetros – Modelagem com malha em 2D
Descrição
Sigla
Velocidade entrada
Ue
Velocidade saída
Us
Velocidade na parede do
cilindro
Up
Pressão entrada
Pe
Pressão saída
Ps
$%
0
Temperatura entrada
Te
K
290
Temperatura saída
Ts
K
Temperatura na parede do
cilindro
HI T 0
Tp
K
290
Difusividade
Unidades
$%
7
7
7
AB
D
7
7
Valor
eI Ã T 0
eI Ã T 0
0
279
2 ∗ 10)Ê
à
Massa específica
ρ
Viscosidade cinemática
â
Índice de consistência
k
n
Adimensional
1
Raio da tubulação
R
m
0,05
L
m
1
3 ∗ 10)D
930
25 ∗ 10)ä
25 ∗ 10)ä
54
A malha axissimétrica adotada inicialmente foi de 10x1x25 divisões (Malha 1),
sendo aumentado o número de divisões dos elementos de forma proporcional até que o
efeito deste refino não proporcionasse uma redução significativa do erro obtido,
garantindo uma convergência aceitável. No caso, utilizamos como referência o modelo
de Bingham e comparamos os valores obtidos da velocidade e do raio na região do
Plug-flow, considerando o momento em que os resultados passaram a tender a um valor
constante, quando o escoamento atingiu o regime permanente.
Na tabela abaixo estão os valores adotados das malhas, sendo sempre mantida a
relação entre suas dimensões.
Tabela 4.2 - Dimensões das malhas
Dimensões do
modelo (mm)
X
Y
Z
∆x
∆z
Δ
Δæ
Divisões
x
y
z
Total de
células
(base)
Malha 1
50
4,36
1000
10
1
25
250
5
40
0,125
Malha 2
50
4,36
1000
20
1
50
1000
2,5
20
0,125
Malha 3
50
4,36
1000
30
1
75
2250
1,66
13,33
0,125
Malha 4
50
4,36
1000
40
1
100
4000
1,25
10
0,125
Malha 5
50
4,36
1000
60
1
150
9000
0,83
6,66
0,125
Malha 6
50
4,36
1000
80
1
200
16000
0,63
5
0,125
Malha 7
50
4,36
1000
120
1
300
36000
0,42
3,33
0,125
55
Na Figura 4.5 foram levantados os perfis de velocidade para cada uma das
malhas adotadas. Nesta avaliação foram usadas 7 malhas, cujas quantidade de divisões
foram aumentadas proporcionalmente, exceto em uma dimensão devido ao modelo ser
bidimensional (Figura 4.4).
Figura 4.4 - Geometria Axissimétrica
U
0.20
0.15
M10x1x25
M20x1x50
M30x1x75
M40x1x100
0.10
M60x1x150
M80x1x200
M120x1x300
0.05
0.00
0
0.005
0.01
0.015
0.02
r 0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Figura 4.5 - Comparação entre malhas para L=1m - 56
Considerando a velocidade máxima, obtida na região do Plug-flow deste
escoamento, podemos levantar o gráfico destes valores em relação ao nº de elementos
gerados para cada uma das malhas. No caso, a curva gerada tende a um limite de uma
assíntota horizontal.
Como se trata de um escoamento laminar em um trecho de tubulação reta,
podemos esperar menores erros devido à ortogonalidade e ao uso de elementos
hexaédricos. A partir de 15000 elementos, podemos dizer que em relação à velocidade,
o erro associado ao tamanho das malhas não é mais significativo, apresentando uma
diferença do valor gerado pelas malhas 6 e 7 da ordem de 0,44%, o que ficou abaixo da
meta adotada de 1%.
Figura 4.6 - Comparação entre malhas para L=1m - °
57
Considerando o raio de formação do Plug-flow, podemos também levantar um
gráfico destes valores em relação ao número de elementos gerados para cada uma das
malhas. Assim como no caso anterior, a curva gerada tende a um limite de uma
assíntota horizontal.
Na figura abaixo, é possível notar que acima de 4000 elementos, a curva dos
valores de < não apresenta uma variação significativa.
Figura 4.7 - Comparação entre malhas para L=1m - 0°
58
Deste modo, concluímos que a melhor opção é que seja utilizado nas
simulações, o modelo da malha 06 de 80x1x200 que apresentou os menores erros
associados, além de possuir uma malha com menor número de elementos o que
possibilita uma melhor velocidade de processamento, se comparado com malhas mais
refinadas.
Para as simulações iremos adotar um número de Courant abaixo de 1.O número
de Courant relaciona as dimensões espaciais e temporais da simulação, sendo
representado pela equação a seguir:
. T
c`
c~
|Ã|
(4.1)
Para as condições de contorno serão considerados mais dois adimensionais. O
primeiro que será equivalente ao número de Nusselt (Equação 4.2). Onde h é o
coeficiente de transferência térmica e k a condutividade térmica.
Ít T
çi
"
(4.2)
O outro adimensional será equivalente ao número de Peclet (Equação 4.3).
$ T
d§È Ðè i
"
(4.3)
59
Onde Î> é uma velocidade característica relacionada com a queda de pressão ao
longo do duto. (Equação 4.4).
Î> T
7∆i
d
(4.4)
4.2 Simulações de Casos
Utilizando a malha axissimétrica definida no item anterior (Tabela 4.3), iremos
simular situações distintas de escoamento de um fluido não-newtoniano, com tensão
limite de escoamento.
Tabela 4.3 - Malha adotada
Dimensões do
modelo (mm)
Y
Z
X
∆x
∆z
Δ
Δæ
0,63
5
0,125
Divisões
x
y
z
Total de
células
80
1
200
16000
(base)
Malha 6
50
4,36
1000
60
4.2.1 Simulações para escoamento nulo
Inicialmente serão simuladas situações onde não haverá escoamento para que a
temperatura do fluido entre em equilíbrio com a temperatura externa à tubulação. O
intuito é obter um campo de temperatura que represente melhor a situação de uma
parada de escoamento, ao invés de utilizarmos uma distribuição uniforme nas condições
iniciais do modelo. Deste modo, as simulações deste capítulo servem apenas para
gerarem o campo de temperatura que será utilizado no capítulo de reinício de
escoamento, que será tratado mais adiante.
Para isto, será considerada que a pressão de entrada (Pe) será igual a pressão da
saída (Ps). Como a pressão de saída foi modelada como nula, Pe será igual a zero
(Figura 4.8).
;/
Text=277,15 K
Ps=0
Pe=0
Te=333,15 K
L
Figura 4.8 - Tubulação sem escoamento
Para estas simulações iniciais sem escoamento, serão simulados três casos, onde
será variado o fluxo de calor que passa através da parede da tubulação usando a
condição de contorno de Robin. Na Tabela 4.4 estão os parâmetros utilizados para a
primeira simulação. Os parâmetros adotados são representativos de valores de petróleos
que podem ser obtidos em campos offshore nacionais.
61
Tabela 4.4 - Parâmetros – Escoamento nulo
Descrição
Sigla
Unidades
Valor
Velocidade entrada
Ue
/
eI Ã T 0
Velocidade saída
Us
cilindro
Up
/
0
Pressão entrada
Pe
Pressão saída
Ps
$%
0
Temperatura entrada
Te
K
333,15
Temperatura saída
Ts
K
HI T 0
Temperatura externa
Text
K
277,15
Valor de referência de Text
refValue
K
Gradiente de referência de
Text
refGrad
Número de Nusselt
Nu
G
277,15
Adimensional
10
Temperatura inicial de
aparecimento de cristais
TIAC
K
306,5
Temperatura de referência
Tref
K
333,15
Difusividade
(TIAC)
Massa específica
Viscosidade dinâmica (Tref)
Viscosidade para -ê
Indice de consistência
(TIAC)
-.¦=§
ρ
2µ?
Q<
A ¦=§
n
NO
/
$%
7
Pa
AB
D
Pa.s
7
7
eI Ã T 0
0
0
0,0001
2,79
930
0,2325
20000
0,00025
Adimensional
1
Adimensional
3000
62
Coeficiente de ajuste para
G
Raio da tubulação
N"
NP
Adimensional
3000
Adimensional
2845
R
m
0,05
L
m
1
Como se trata de uma simulação onde levamos em conta apenas os termos
difusivos, sem a presença da velocidade de escoamento, o valor definido para a equação
4.1 deixa de ser significativo, sendo que podemos usar um valor alto para o passo de
tempo da simulação. Neste caso utilizamos um passo de 0,1s, sendo simulado até o
tempo de 100 s, onde não há mais variações no resultado do campo de temperatura para
estes parâmetros.
Para simularmos as variações de troca de calor entre o fluido recalcado e o
ambiente externo ao duto, utilizamos um adimensional similar ao número de Nusselt
para relacionarmos a transferência por convecção com a transferência por condução,
representando um maior ou menor isolamento térmico. Segue abaixo, a Tabela 4.5 com
os parâmetros que diferenciam as 3 simulações:
Tabela 4.5 - Simulações para o fluido não escoando
(S
internalField (K)
0,0001
333,15
1
0,0001
333,15
0,1
0,0001
333,15
Simulações
Pe ( )
Nu
01
0
10
02
0
03
0
63
Na Figura 4.9 podemos ver a distribuição da temperatura ao longo da seção
axissimétrica. A troca de calor pela parede da tubulação é relativamente alto, sendo que
consequentemente a temperatura ao longo da extensão tenderá à temperatura externa.
Figura 4.9 - Visualização da distribuição de temperatura – Simulação 01
Mais duas simulações foram executadas nos mesmos moldes da primeira
simulação, onde apenas foram alterados os valores relacionados com o número de
Nusselt, o que equivale a uma maior restrição a troca de calor através da tubulação,
simulando o efeito de um isolamento térmico.
Nas tubulações de escoamento de petróleo, o isolamento térmico faz parte dos
recursos utilizados para se evitar que um óleo parafínico venha a escoar em temperatura
abaixo de sua TIAC, sendo que neste modelo podemos simular este efeito através dos
valores adotados. Abaixo nas Figuras 4.10 e 4.11 podemos ver a distribuição da
temperatura para os valores adotados na Tabela 4.5.
64
65
O efeito da troca térmica entre o fluido e a parte externa à tubulação torna-se
menos significativo, à medida que o Nu fica menor. Devido a isto foi necessário mais
tempo para atingirmos o equilíbrio térmico nas simulações, sendo nos últimos dois
casos, necessário em torno de 400s para a simulação 02 e 4300s no caso de para a
simulação 03.
4.2.2 Simulações com escoamento
Nestas simulações foi utilizado o mesmo modelo que o adotado nos casos
anteriores. Nestes novos casos, em vez de mantermos a diferença de pressão entre a
entrada e a saída nas tubulações simuladas igual a zero, alteramos o valor da pressão da
entrada, levando ao escoamento do fluido assim que a diferença de pressão fosse
suficiente para vencer a tensão limite de escoamento.
;/
Text=277,15 K
Pe
Ps=0
Te=333,15 K
L
Figura 4.12 - Tubulação com escoamento
66
Este modelo possibilita a realização de simulações sendo possível determinar as
alterações da reologia do fluido, permitindo também a simples constatação se o fluido a
ser recalcado está ou não escoando. Deste modo, é possível verificar sob quais
condições o fluido irá escoar, sendo a pressão um parâmetro importante neste processo.
Para óleos parafínicos, a pressão necessária para mantermos a condição desejada
de escoamento em uma tubulação é um importante parâmetro que contribui para definir
a capacidade da bomba a ser utilizada e a classe de resistência dos acessórios
envolvidos.
Como o valor da pressão de entrada pode ser alterado é possível observar que
não há escoamento para as pressões inferiores a pressão limite de escoamento do fluido.
A adição do efeito térmico, afeta a reologia do fluido e aumenta a complexidade do
escoamento, entretanto com este modelo é possível determinar as condições necessárias
para que o escoamento do fluido ocorra.
No modelo adotado a rotina de processamento gera resultados semelhantes ao
proposto por um modelo de Papanastasiou sendo necessária a adoção de uma
viscosidade Q< para auxiliar na representação do efeito da tensão limite de escoamento.
Seguem na tabela abaixo, os valores adotados (Tabela 4.6).
Tabela 4.6 - Parâmetros – Simulação 04 com escoamento
Descrição
Sigla
Unidades
Valor
Velocidade entrada
Ue
/
eI Ã T 0
Velocidade saída
Us
cilindro
Up
/
0
Pressão entrada
Pe
Pressão saída
Ps
/
$%
$%
eI Ã T 0
0,93
0
67
Temperatura entrada
Te
K
333,15
Temperatura saída
Ts
K
HI T 0
Temperatura externa
Text
K
277,15
refValue
K
Text
refGrad
Número de Nusselt
Nu
G
277,15
Adimensional
10
TIAC
K
306,5
Tref
K
333,15
Difusividade
(TIAC)
Massa específica
(TIAC)
-.¦=§
ρ
2µ?
Q<
A ¦=§
7
Pa
AB
D
Pa.s
7
7
0
0,0001
2,79
930
0,2325
20000
0,00025
n
Adimensional
1
N"
Adimensional
3000
NP
Adimensional
3000
Adimensional
2845
R
m
0,05
L
m
1
Intervalo de tempo
∆
s
0,01
Raio da tubulação
NO
68
Para os casos onde ocorre o escoamento do fluido, as suas propriedades
reológicas apresentam uma forte dependência em relação à temperatura. Esta
dependência se mostra mais significativa em situações de escoamento abaixo da TIAC,
onde ocorrem alterações no índice de consistência e na tensão limite de escoamento
devido à formação de cristais de parafina que alteram o comportamento do fluido que
outrora seria newtoniano, vindo nesta situação a se comportar como um fluido nãonewtoniano.
Quando um fluido que apresente TIAC está em escoamento, além da
dependência destas duas propriedades em relação à temperatura, a viscosidade é outra
propriedade que possui uma forte dependência em relação a sua temperatura durante o
escoamento, tanto acima como abaixo da TIAC.
Como esperado, observamos na Figura 4.13 que a viscosidade aumenta com a
redução da temperatura e vice-versa. Para o caso em que a temperatura esteja acima
T=306,5K, ela apresenta um comportamento completamente newtoniano. Esta
temperatura de 306,5K foi adotada como sendo a TIAC das simulações.
Para as temperaturas abaixo de 306,5K, vemos que a viscosidade continua
sofrendo alteração em relação à temperatura, mas apresentando um comportamento nãonewtoniano, sendo facilmente observável para as taxas de deformação mais baixas.
Na Figura 4.13, podemos observar a dependência da viscosidade de um fluido
que apresente uma TIAC. Para este gráfico foram utilizados os parâmetros do óleo
simulados neste trabalho.
69
10000
4 $%
T=277.15 K
1000
T=285.15 K
T=293.15 K
T=301.15 K
100
T=309.15 K
T=321.15 K
10
T=333.15 K
1
0.1
0.01
0.002
0.02
0.2
2
20
200
2000
0/
1
Figura 4.13 – Curvas da viscosidade x taxa de deformação, em função da temperatura
Na Figura 4.14 podemos ver o gráfico da tensão de cisalhamento em função da
taxa de deformação para o fluido simulado. Assim como no caso das curvas da
viscosidade em função da taxa de deformação, podemos ver a dependência da tensão de
cisalhamento em relação à temperatura do fluido, sendo evidente também a mudança do
comportamento newtoniano para não-newtoniano para as temperaturas menores que a
TIAC.
70
10000
- $%
1000
100
10
T=277.15 K
1
T=285.15 K
0.1
T=293.15 K
T=301.15 K
0.01
T=309.15 K
T=321.15 K
0.001
T=333.15 K
0.0001
0.002
0.02
0.2
2
20
200
2000
0/
1
Figura 4.14 - Curvas da tensão de cisalhamento x taxa de deformação, em função da
temperatura
Para as simulações do fluido escoando em regime permanente, considerando o
efeito da temperatura como já descrito, foram adotadas as seguintes condições contidas
na Tabela 4.7, além dos parâmetros da Tabela 4.6.
71
Tabela 4.7 – Valores para simulações com o fluido escoando variando a pressão e o isolamento
térmico da tubulação
(S
internalField (K)
0,0001
333,15
1
0,0001
333,15
0,93
0,1
0,0001
333,15
07
93
10
0,0001
333,15
08
93
1
0,0001
333,15
09
93
0,1
0,0001
333,15
10
930
10
0,0001
333,15
11
930
1
0,0001
333,15
12
930
0,1
0,0001
333,15
Simulações
Pe ($%)
Nu
04
0,93
10
05
0,93
06
Para cada uma destas simulações foram obtidas as visualizações da distribuição
da velocidade e da distribuição da temperatura ao longo da tubulação.
Como nestas simulações o objetivo foi verificar o escoamento do fluido em
regime permanente, utilizamos uma condição de contorno inicial para o campo interno
de temperatura como sendo uniforme com temperatura de 333,15 K que representaria
uma temperatura de escoamento encontrada em algumas unidades offshore de
exportação de óleo.
72
A pressão também possui este recurso de condição inicial para o campo interno
sendo utilizado um valor uniforme igual a Ps na condição inicial e no caso da
velocidade será usado um vetor igual a zero.
Nas simulações 04 até 06 foi utilizada uma pressão de 0,001
. No
OpenFoam® esta propriedade tem sua unidade dividida pela massa específica, Neste
caso, a pressão seria o equivalente a 0,93 Pa como indicado Tabela 4.6 e 4.7.
Na Figura 4.15, que representa a distribuição da velocidade para a simulação 04,
podemos perceber que não está ocorrendo o escoamento do fluido, entretanto nas
simulações 05 e 06 notamos que o escoamento está estabelecido (Figura 4.17 e Figura
4.21).
Isto pode ser explicado através da variação de temperatura sofrida em cada caso.
Na simulação 04 em um primeiro momento, o escoamento seria possível devido a
condição inicial do campo de temperatura, que seria de 333,15 K, que é uma
temperatura acima do ponto de cristalização da parafina, não ocorrendo assim o
surgimento de um comportamento não-newtoniano e consequentemente sem a presença
de uma tensão limite de escoamento.
A temperatura do fluido, no caso da simulação 04, acaba ficando abaixo da
TIAC devido a troca de calor entre o fluido e a tubulação. Além disso, esta temperatura
está abaixo do limite mínimo para o surgimento do escoamento para esta pressão,
devido à tensão limite de escoamento para esta temperatura ser alta para o caso.
Utilizando as equações 2.33 e 2.49 é possível verificar, que para a condição
adotada, não é possível o escoamento do fluido. Este resultado confirma a solução
encontrada na simulação.
Nas figuras com a distribuição de velocidade e temperatura, será sempre adota
que a linha de simetria (malha axissimétrica) estará no lado esquerdo da figura e a
parede no lado direito, entrando o fluido pela parte inferior e saindo na parte superior
(vide Figura 4.15).
73
Saída
Entrada
Figura 4.15 - Distribuição da velocidade – Simulação 04
Figura 4.16 - Distribuição da temperatura – Simulação 04
74
Figura 4.17 - Distribuição da velocidade -– Simulação 05
0.0018
0.0016
0.0014
0.0012
0.001
0.0008
0.0006
0.0004
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
0.0002
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Figura 4.18 - Perfil de velocidade ao longo da tubulação – Simulação 05
75
G
335
330
325
320
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
315
310
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
Figura 4.20 - Perfil de temperatura ao longo da tubulação – Simulação 05
76
0.003
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
77
G
333.5
333
332.5
332
331.5
331
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
330.5
330
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
78
Apesar da pequena pressão utilizada nas simulações 05 e 06, a menor troca de
calor com a parede da tubulação, possibilita que a temperatura do fluido fique acima de
um valor onde a tensão limite de escoamento equivalente possa ser vencida por esta
pressão, permitindo assim a ocorrência do escoamento.
Nas Figuras 4.16, 4.19 e 4.23 podemos verificar a distribuição da temperatura
para as simulações 04, 05 e 06. Nestas distribuições podemos observar que na
simulação 04 a temperatura esta abaixo dos 306,5 K, sendo a baixa pressão incapaz de
vencer a tensão limite de escoamento. Já na simulação 07, apesar da distribuição de
temperatura ser similar ao da simulação 04, a diferença de pressão neste caso é
suficiente para que o escoamento ocorra.
Na equação 2.49 nós podemos ver a dependência do raio do plug-flow em
relação à tensão limite de escoamento que ocorre em temperaturas menores que a de
formação de cristais de parafina. Entretanto, devemos notar que estas propriedades
sofrem influência da temperatura, que no caso, apresenta uma variação, principalmente
ao longo do sentido radial da tubulação, mudando assim as propriedades do fluido
radialmente. Estas alterações ocorrem principalmente na viscosidade e na tensão limite
de escoamento, levando a alterações no perfil de velocidade.
Deste modo, nas situações abaixo do TIAC, onde seria esperado o surgimento de
regiões com plug-flow, notamos que as variações das propriedades alteram os perfis de
velocidade, dificultando a formação clássica de um patamar de velocidade.
A seguir, podemos ver as distribuições de temperatura e velocidade para as
simulações de 07 até 12 (Figuras 4.25 até 4.48). Devido ao modelo adotado, podemos
notar que agora as características necessárias para que ocorra o escoamento dependem
não apenas da diferença de pressão, mas da temperatura local do fluido, sendo deste
modo importante a relação da troca térmica entre o fluido escoado e o ambiente externo
à tubulação.
79
0.0035
0.003
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
0.0025
0.002
0.0015
0.001
0.0005
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
80
G
340
330
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
320
310
300
290
280
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
81
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
0
0
0.01
0.02
L=0.5
0.03
0.04
0.05
82
335
G
330
325
320
315
L=0
L=0.25
L=0.5
L=0.75
L=1
310
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
83
0.3
0.25
0.2
0.15
0.1
0.05
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
0
0
0.01
0.02
L=0.5
0.03
0.04
0.05
84
G
333.5
333
332.5
332
331.5
331
330.5
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
330
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
85
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
0.2
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
86
Figura 4.39- Distribuição da temperatura – Simulação 10
G
340
335
330
325
320
315
310
L=0
L=0.25
305
L=0.5
300
L=0.75
L=1
295
290
285
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
87
2.5
2
1.5
1
0.5
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
88
334
G
332
330
L=0
328
L=0.25
L=0.5
L=0.75
326
L=1
324
322
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
89
3
2.5
2
1.5
1
0.5
L=0
L=0.25
L=0.75
L=1
L=0.5
0
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
90
G
333.4
333.2
333
332.8
L=0
L=0.25
332.6
L=0.5
L=0.75
L=1
332.4
332.2
332
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
91
4.2.3 Simulações com reinício do escoamento
Estas simulações tem como objetivo representar o reinício do escoamento de
óleos parafínicos, que tenham sofrido um processo de gelificação. A Figura 4.49
;/
representa, de forma esquemática, a simulação proposta.
Text=277,15 K
Pe
Fluido gelificado
Ps=0
L
Figura 4.49 - Tubulação para reinício de escoamento do fluido gelificado
Seguindo o executado anteriormente, serão simulados 9 casos onde serão
variados alguns parâmetros, como a diferença de pressão da entrada em relação à saída
do fluido na tubulação, os parâmetros associados ao Nu para representar uma maior ou
menor troca de calor com o meio externo e a distribuição do campo de temperatura do
fluido gelificado.
Para estas simulações, o campo de temperatura poderia ter sido adotado como
apresentando um valor fixo e sendo uniformemente distribuído ao longo da tubulação,
entretanto, com o objetivo de utilizarmos um campo de temperatura que represente
melhor a situação de uma parada de escoamento, adotamos os valores de campo obtidos
através das simulações 01 até 03 que foram elaborados exatamente com o intuito de
serem utilizados nestas simulações.
92
Para representar o reinício de escoamento serão simuladas 09 situações, cujos
parâmetros estão contidos nas Tabelas 4.8 e 4.9.
Tabela 4.8 - Parâmetros – Simulação 13 para reinício de escoamento do fluido gelificado
Descrição
Sigla
Unidades
Valor
Velocidade entrada
Ue
/
eI Ã T 0
Velocidade saída
Us
cilindro
Up
/
0
Pressão entrada
Pe
Pressão saída
Ps
0
Temperatura do campo
interno
$%
Tc
K
Não uniforme
Temperatura saída
Ts
K
HI T 0
Temperatura externa
Text
K
277,15
refValue
K
Text
refGrad
Número de Nusselt
Nu
G
277,15
Adimensional
10
TIAC
K
306,5
Tref
K
333,15
Difusividade
(TIAC)
Massa específica
-.¦=§
ρ
2µ?
Q<
/
$%
7
Pa
AB
D
Pa.s
7
eI Ã T 0
0,93
0
0,0001
2,79
930
0,2325
20000
93
0,00025
n
7
Adimensional
1
N"
Adimensional
3000
NP
Adimensional
3000
Adimensional
2845
R
m
0,05
L
m
1
Intervalo de tempo
∆
s
0,01
(TIAC)
Raio da tubulação
A ¦=§
NO
Tabela 4.9 - Simulações para o reinício de escoamento do fluido gelificado
(S
Simulações
Pe ($%)
Nu
13
0,93
10
14
0,93
1
0,0001
15
0,93
0,1
0,0001
16
93
10
0,0001
17
93
1
0,0001
18
93
0,1
0,0001
19
930
10
0,0001
20
930
1
0,0001
21
930
0,1
0,0001
0,0001
internalField (K)
Campo da
simulação 01
Campo da
simulação 02
Campo da
simulação 03
Campo da
simulação 01
Campo da
simulação 02
Campo da
simulação 03
Campo da
simulação 01
Campo da
simulação 02
Campo da
simulação 03
94
Na Tabela 4.9 podemos notar que o campo interno de temperatura seguirá o
obtido nas simulações 01, 02 e 03, servindo assim de condição de contorno para o início
destas simulações.
Segundo os resultados obtidos nas simulações anteriores, para os parâmetros
utilizados nas simulações de 05 até 12 seria esperado o surgimento de escoamento,
sendo que apenas no caso dos parâmetros utilizados na simulação 04 o fluido não
escoaria.
No decorrer das simulações de reinício de escoamento, foi possível constatar que
a pressão necessária para o reinício do escoamento difere do valor necessário de pressão
diferencial nas situações em que não ocorre a gelificação, quando o fluido estaria a
temperatura usual de bombeio. Deste modo, se observarmos os resultados obtidos nas
simulações de 13 até a simulação 18, podemos notar que não há escoamento
desenvolvido, o que seria esperado apenas no caso da simulação 13 que possui os
mesmos parâmetros da simulação 04.
Este resultado vem ao encontro do resultado de outros trabalhos de reinício de
escoamento, como nas observações feitas no trabalho de LEE, H.S. et al. [19] que
afirma que a pressão de reinício é muito maior que a necessária para manter o fluido em
regime permanente.
Através destas simulações, podemos notar que o modelo é capaz de representar a
característica que os óleos parafínicos apresentam de necessitarem uma pressão de
reinício maior que a pressão necessária, que originalmente o óleo necessitaria para
escoar em regime permanente. Assim nos casos simulados, vemos que apenas a partir
da simulação 19 é possível o reinício do escoamento, o que demonstra a necessidade de
uma modelagem capaz de simular este tipo de evento.
A seguir podemos ver os resultados obtidos para a simulação 13 até a simulação
18, através das Figura 4.50 até a 4.61 onde estão as distribuições de velocidade e
temperatura para estes casos.
95
Figura 4.50 - Distribuição da velocidade reinício de escoamento – Simulação 13
Figura 4.51 - Distribuição da temperatura reinício de escoamento – Simulação 13
96
Figura 4.52 - Distribuição da velocidade reinício de escoamento – Simulação 14.
97
98
99
Figura 4.58 – Distribuição da velocidade reinício de escoamento – Simulação 17
100
101
Para a simulação 19, onde a pressão diferencial utilizada foi de 0,93kPa,
verificamos que ocorreu o escoamento.
Nas Figuras 4.62 e 4.63 podemos ver a distribuição de velocidade e temperatura
respectivamente.
Para este caso, como o valor do Nu é maior que para as demais simulações é
possível verificar uma grande diferença da temperatura ao longo da seção radial da
tubulação. Isto leva a uma grande variação das propriedades do fluido radialmente.
102
Apesar da grande variação da temperatura para esta simulação no sentido radial,
é possível verificar que a temperatura também apresenta uma variação significativa no
sentido longitudinal ao eixo da tubulação, deste modo, podemos notar na Figura 4.64 o
efeito que esta variação de temperatura causa no perfil de velocidade ao longo da
tubulação de comprimento L.
Na Figura 4.65 nós podemos ver o perfil da temperatura que o fluido apresenta
no sentido radial para várias posições na tubulação. Assim como na figura anterior, é
observado uma variação destes valores também no sentido longitudinal.
Neste gráfico podemos notar que na região mais próxima da parede da
tubulação, o fluido está a uma temperatura abaixo do TIAC fazendo com que ele
apresente nesta região um comportamento não-newtoniano.
Como seria esperada, esta maior variação de temperatura ocorre na região
próxima da parede da tubulação, o que leva a uma maior variação também de outras
propriedades, como no caso da viscosidade que pode ser vista na Figura 4.66.
103
1.6
1.4
1.2
1
0.8
L=0
L=0.25
L=0.5
L=0.75
L=1
0.6
0.4
0.2
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Figura 4.64 – Perfil de velocidade ao longo da tubulação – Simulação 19
G
340
335
330
325
320
315
310
L=0
L=0.25
305
L=0.5
300
L=0.75
L=1
295
290
285
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
104
0.0014
â
7
0.0012
L=0
0.001
L=0.25
L=0.5
L=0.75
0.0008
L=1
0.0006
0.0004
0.0002
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
Figura 4.66 - Perfil da viscosidade cinemática ao longo da tubulação – Simulação 19
Para as simulações 20 e 21, a variação da temperatura ao longo da tubulação é
bem menor que no caso da simulação 19. Mais importante ainda é o fato de que a
variação da temperatura no sentido radial é bem menor se compararmos este dois casos
com a simulação 19. Além desta pequena variação, as temperaturas estão acima da
TIAC, o que é desejado em um escoamento de um óleo parafínico.
As Figuras 4.67 e a 4.68 mostram a distribuição da velocidade e da temperatura
ao longo da tubulação da simulação 20. No gráfico da Figura 4.69 podemos notar que a
variação do perfil da velocidade ao longo da tubulação é menor que a verificada na
simulação 19. O gráfico da Figura 4.70 permite verificar que apesar da variação do
perfil de velocidade ser menor, ele segue a tendência observada na simulação 19.
Nas Figuras 4.67 até 4.78 podemos ver os resultados das simulações 20 e 21,
sendo, como esperado, a influência da temperatura menor, no caso da simulação 21,
devido a menor troca térmica.
105
106
2.5
2
1.5
L=0
L=0.25
1
L=0.5
L=0.75
L=1
0.5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
2.3
2.25
0.8
0.75
2.2
0.7
2.15
0.65
L=0
L=0.25
L=0.5
L=0.75
L=1
2.1
2.05
0.6
L=0
L=0.25
L=0.5
L=0.75
L=1
0.55
2
0
0.005
0.01
a)
0.015
0.02
0.04 0.0405 0.041 0.0415 0.042 0.0425 0.043
b)
Figura 4.70 – Ampliação de parte das curvas extraídas da Figura 4.53. a) Região central, b)
Região periférica – Simulação 20
107
334
G
332
330
L=0
328
L=0.25
L=0.5
L=0.75
326
L=1
324
322
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
0.045
0.05
0.00033
â
7
0.00032
0.00031
L=0
L=0.25
0.0003
L=0.5
L=0.75
0.00029
L=1
0.00028
0.00027
0.00026
0.00025
0.00024
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
108
109
3
2.5
2
1.5
L=0
L=0.25
L=0.5
1
L=0.75
L=1
0.5
0
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
2.47
2.465
0.045
0.6
0.598
L=0
L=0.25
L=0.5
L=0.75
L=1
0.596
2.46
0.594
L=0
L=0.25
L=0.5
L=0.75
L=1
2.455
0.592
2.45
0
0.001
0.05
0.002
0.003
a)
0.004
0.005
0.59
0.0435
0.04355
0.0436
b)
Figura 4.76 - Ampliação de parte das curvas extraídas da Figura 4.59. a) Região central, b)
Região periférica – Simulação 21
110
G
333.4
333.2
333
332.8
L=0
L=0.25
332.6
L=0.5
L=0.75
L=1
332.4
332.2
332
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
7
â
0.000257
0.000256
L=0
0.000255
L=0.25
L=0.5
0.000254
L=0.75
L=1
0.000253
0.000252
0.000251
0.00025
0.000249
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
0.045
111
0.05
5. Conclusões e Sugestões para Futuros Trabalhos
5.1 Conclusões
O modelo desenvolvido neste trabalho demonstrou ter condição de simular o
escoamento de um fluido em regime permanente e o reinício do seu escoamento após
um processo de gelificação. Isto, considerando a influência da temperatura externa no
fluido bombeado, em uma tubulação.
A gelificação se deve ao surgimento de cristais parafínicos que ocorrem abaixo
da TIAC, sendo este efeito simulado neste modelo, ficando evidente nos resultados que
estas alterações reológicas levaram o fluido a apresentar um comportamento nãonewtoniano abaixo da TIAC e um comportamento newtoniano acima desta temperatura.
A modelagem demonstra a forte dependência que as propriedades reológicas
apresentam em relação à temperatura. Para este efeito foi considerada a utilização de
coeficientes sensíveis às variações da temperatura no modelo simulado. Neste modelo a
tensão limite de escoamento, o índice de consistência e a viscosidade sofreram
alterações simultaneamente, possibilitando uma representação mais próxima da
realidade e permitindo que fosse observado como o perfil de velocidade deste
escoamento varia ao longo de uma tubulação com troca térmica. Isto ficou bem evidente
na Figura 4.64.
Além da variação observada na tensão limite de escoamento e do índice de
consistência devido à variação da temperatura, a viscosidade também apresentou uma
forte influência devido a esta variação, não apenas abaixo de TIAC, mas também acima
desta temperatura.
112
Nos gráficos das Figuras 4.13 e 4.14 fica evidente a mudança do comportamento
newtoniano para não-newtoniano na situação onde as temperaturas são menores que a
TIAC.
Até então, nos demais trabalhos, para o escoamento do fluido as propriedades
como a viscosidade, tensão limite de escoamento e o índice de consistência não
apresentavam uma dependência com a temperatura, bem como, esta dependência não
era considerada nas simulações com o reinicio do escoamento de um fluido gelificado.
Como seria esperado, no modelo foi possível ver que o efeito da troca térmica
entre o fluido e a parte externa à tubulação torna-se menos significativo, à medida que o
isolamento térmico é maior levando também a um maior tempo para que fosse atingido
o equilíbrio térmico do fluido contido na tubulação. Deste modo, o modelo possibilita
uma análise considerando diferentes níveis de isolamento térmicos de uma tubulação.
Outro ponto importante é que o modelo possibilita a utilização de um campo de
temperatura mais próximo de uma situação de parada de escoamento, como ocorrido
nas simulações de 01 até 03.
Este trabalho possibilita a utilização de um modelo de Bingham ou se
necessário, um modelo de Herschel–Bulkley, para a situação de um escoamento
laminar, não-isotérmico e incompressível.
O modelo possibilita ainda a análise deste problema para escoamento em dutos
de seção transversal de qualquer formato, apesar do estudo ter sido utilizado apenas para
escoamento de seções circulares. Além disso, as simulações com o uso de malhas
axissimétricas apresentaram bons resultados com a vantagem do tempo de
processamento ter sido significativamente menor, se comparado com a modelagem de
uma malha em 3D, principalmente nos casos onde foi adicionado no modelo, as
dependências em relação à temperatura.
113
Na equação 2.49, nós podemos ver a dependência do raio do plug-flow em
relação à tensão limite de escoamento que ocorre em temperaturas menores que a de
formação de cristais de parafina. Entretanto, devemos notar que estas propriedades
sofrem influência da temperatura, que no caso, apresenta uma variação, principalmente
ao longo do sentido radial da tubulação, mudando assim as propriedades do fluido
radialmente. Estas alterações ocorrem principalmente na viscosidade e na tensão limite
de escoamento, levando a alterações no perfil de velocidade.
Deste modo, nas situações abaixo do TIAC, onde seria esperado o surgimento de
regiões com plug-flow, as variações das propriedades alteram os perfis de velocidade,
dificultando a formação clássica de um patamar de velocidade constante.
No modelo adotado, podemos notar que as características necessárias para que
ocorra o escoamento dependem não apenas da diferença de pressão, mas da temperatura
local do fluido, sendo deste modo importante a relação da troca térmica entre o fluido
escoado e o ambiente externo a tubulação.
Durante as simulações de reinício de escoamento, foi possível constatar que a
pressão necessária para o reinício do escoamento difere bastante do valor necessário
para manter o fluido escoando em regime. Observando os resultados obtidos nas
diversas simulações, fica claro que a pressão diferencial para o reinício de escoamento é
bem maior que a pressão para manter o fluido em escoamento, mesmo que os
parâmetros sejam os mesmos. Este resultado pode ser visto também em outros trabalhos
como é o caso do artigo publicado por LEE, H.S. et al. [19], que afirma que a pressão
necessária para o reinicio do escoamento é muito maior que a necessária para manter o
fluido em regime permanente.
Apesar da grande variação da temperatura nas simulações no sentido radial, foi
possível verificar que a temperatura também apresenta uma variação significativa no
sentido longitudinal ao eixo da tubulação, deste modo, podemos notar na Figura 4.64 o
efeito que esta variação de temperatura causa no perfil de velocidade ao longo da
tubulação.
114
Na Figura 4.65 nós podemos ver o perfil da temperatura que o fluido apresenta
no sentido radial para várias posições na tubulação. Assim como na Figura 4.64, é
observada uma variação destes valores, também no sentido longitudinal.
Neste gráfico, podemos notar que na região mais próxima da parede da
tubulação o fluido está a uma temperatura abaixo do TIAC fazendo com que ele
apresente nesta região um comportamento não-newtoniano.
5.2 Sugestões para Futuros Trabalhos
No modelo adotada neste trabalho foram consideradas várias condições que
melhoraram e aproximaram os resultados para uma situação real. Através deste estudo e
dos demais aqui citados, consideramos que algumas modificações podem contribuir
para aprimorar esta modelagem.
Uma propriedade que estes fluidos possuem e que, após sua gelificação com a
formação dos cristais de parafina, surge um efeito de compressibilidade neste material
devido à formação de espaços com gases confinados.
Como descrito no trabalho de VINAY, G. et al. [10], este efeito de
compressibilidade leva a uma redução do tempo necessário para o reinício do
escoamento, sendo esta compressibilidade um efeito importante a ser considerado em
modelos futuros.
A cristalização da parafina apresenta ainda um efeito de tixotropia que se
combinada com a compressibilidade representará também uma melhoria na
representação destes escoamentos.
Outro ponto interessante seria uma modelagem que possibilitasse uma simulação
com um aumento gradual da pressão na entrada da tubulação, permitindo assim, simular
de forma mais direta, o momento em que a pressão estaria levando ao início do
escoamento, obtendo também gráficos com a relação entre a vazão e diferença de
pressão do escoamento.
O efeito da concentração de água na formação de cristais nos óleos parafínicos
pode ser considerado, sendo mais um fator de ajuste para o modelo (VISINTIN, R.F.G.
et al.[13]).
115
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