1–Arcos e ângulos AB : arco 2–Ciclo trigonométrico Resumo

no:
Nome:
Ensino: Médio
Turma:
Série: 2ª.
Data:
Professor: Márcio
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
1–Arcos e ângulos
1.1–Elementos:



C: centro da circunferência
CB = CA = R: raio da circunferência
ˆ   : ângulo central
ACB

AB : arco
1.2–Medida do arco:
A medida de um arco é igual à medida do seu ângulo central.
AB  
1.3–Comprimento do arco:
medida
comprimento
360
2R

comp AB
 

 
360
2R


 comp AB 
 2R

360
comp AB
 
1.3–Medida do arco em radianos:
DEFINIÇÃO
O arco em que o comprimento é igual ao raio tem medida igual a 1
radiano
medida
comprimento
360
1 rad
2R
R
 2 R  360 R  2  360   rad  180
2–Ciclo trigonométrico
DEFINIÇÃO
Em um sistema de eixos perpendiculares
construímos uma circunferência de raio unitário e
com centro na interseção (origem) desses eixos.
B
+
II


O ponto A é a origem dos arcos e a partir dele
são feitas as medidas desses arcos.
A circunferência intersecta os eixos nos pontos
A, B, C e D e fica dividida em quatro setores.
C
I
o
A
III
IV
D
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA

Os setores indicados por I, II, III e IV são respectivamente
denominados 1º, 2º, 3º e 4º quadrantes.
Se um arco for medido no sentido horário, então a essa medida será
atribuído o sinal negativo (  ).
Se um arco for medido no sentido anti-horário, então a essa medida
será atribuído o sinal positivo (  ).


EXEMPLO






O arco com extremos em A e B no sentido anti-horário mede 90º.
O arco com extremos em A e C no sentido horário mede –180º.
O arco com extremos em A e D no sentido anti-horário mede 270º.
O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário mede
360º.
O arco com extremo em A e dá uma volta no sentido anti-horário e
continua até o ponto B mede 450º.
O arco com extremo em A e dá duas voltas no sentido horário e
continua até o ponto C mede -900º.
2.1–Arcos notáveis no ciclo trigonométrico:
90º 
150º 

2
90º 
rad
5
rad
6
180º   rad
30º 
135º 

6
rad
0º  0 rad
o

3
rad
4
2
rad
45º 
180º   rad
7
rad
6
330º 
270º 
11
rad
6
225º 
5
rad
4
315º 
270º 
90º 

2
120º 
rad
3
2
rad
60º 

3
rad
o
0º  0 rad
360º  2 rad
240º 
rad
360º  2 rad
3
rad
2
180º   rad
4
0º  0 rad
o
360º  2 rad
210º 

4
rad
3
300º 
270º 
3
rad
2
5
rad
3
3
rad
2
7
rad
4
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3–Funções trigonométricas
3.1–Função Seno
DEFINIÇÃO
Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de
comprimento x e OS a ordenada do ponto P.
eixo dos senos
P
S
 
comp AP  x
O
A
R
Seno do arco x é a razão entre a ordenada do ponto P e o raio OP da
circunferência, assim: sen x  OS .
Na função seno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a um
número real. Assim:
f : IR  IR tal que f  x   sen x .
3.1.1–Variação da função seno.
x  0 ou x  2
x  I
x I
x  III
P
S
OS
AP
A
O
P
A
OS
S
P
sen x  0
crescente
sen x  0
x
sen x  o
decrescente
sen x  o
x  II

x
2
A
O
x  IV
3
2
SP
P
O
A
S
O
A
O
SP
sen x  1
máximo
sen x  o
decrescente
sen x  1
mínimo
A
A
O
S
sen x  o
crescente
P
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.1.2–Gráfico

Conjunto imagem: Im  f    1;1



Valor máximo que f assume: 1
Valor mínimo que f assume: - 1
Período: p  2
3.2–Função Cosseno
Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP , de
comprimento x e OS a abscissa do ponto P.
P
 
comp AP  x
O
S
eixo dos
cossenos
A
Cossseno do arco x é a razão entre a abscissa do ponto P e o raio OP
da circunferência, assim: cos x  OS .
Na função cosseno, associamos cada arco do ciclo trigonométrico a
um número real. Assim:
f : IR  IR tal que f  x   cos x .
3.2.1–Variação da função cosseno.
x  0 ou x  2
x 
x I
x  III
P
O
SP
A
O
S
SP
A
S
A
O
O
P
cos x  1
cos x  0
decrescente
cos x  1
mínimo
cos x  0
crescente
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
x
x  II

2
x
P
x  IV
3
2
P
A
A
S
OS
O
OS
S
A
A
O
P
cos x  0
cos x  0
decrescente
P
cos x  0
cos x  0
crescente
3.2.2–Gráfico

Conjunto imagem: Im  f    1;1



Valor máximo que f assume: 1
Valor mínimo que f assume: - 1
Período: p  2
3.3–Função Tangente
Considere no ciclo trigonométrico da figura abaixo o arco AP com
DEFINIÇÃO
P  B e P  D e sendo S a intersecção da reta OP com o eixo das
tangentes.
B
P
S
x
C
O
A
eixo das
tangentes
D
Tangente do arco x é a razão entre a medida do segmento AS e o
raio AO da circunferência, assim: tg x  AS .
Na função tangente, associamos cada arco do ciclo trigonométrico,

com exceção de x   n ;n  , a um número real. Assim:
2



f : IR  x   n ;n    IR tal que f  x   tg x .
2


Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.3.1–Variação da função tangente.
x  0 ou x  2
x I
x 
S
x  III
S
P
AP S
O
O
A
AS
P
O
A
O
S
P
tg x  0
tg x  0
tg x  0
tg x  0
crescente
crescente
x

O
x
x  II
2
P
A
O
3
2
O
O
A
x  IV
A
A
P
P
S   tg x
tg x  0
S
S   tg x
crescente
3.3.2–Gráfico

Conjunto imagem: Im  f   IR


Não tem valor máximo e nem mínimo.
Período: p  
tg x  0
crescente
S
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.3–Resumo
tg x
3
sen x
180º
1
120º
1
60º
3/2
45º
135º
2/2
30º
150º
180º -1
1/ 2
3

2

2

2
1
2
1
2
2
2
3
2
3
3
360º
1/ 2
210º
330º
 2/2
225º
 3/2
240º
-1
cos x
1 0º

3
3
315º
300º
1
270º
 3
4–Relações trigonométricas fundamentais
4.1– Relações trigonométricas fundamentais
2
2

sen θ = 1 - cos θ
2
2

cos θ = 1 - sen θ
 sen2θ + cos2θ = 1
 tgθ =
senθ
cosθ
 secθ =
1
cosθ
 cossecθ =
 cotgθ =
1
senθ
1
cosθ
=
tgθ
senθ
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
4.2–Relações trigonométricas auxiliares
 sec 2θ = 1 + tg2θ
 cossec 2θ = 1 + cotg2θ
5–Relações trigonométricas em um triângulo qualquer
5.1–Lei dos senos
a
b
c


 2R
ˆ sen C
ˆ
sen  sen B
5.2–Lei dos cossenos
a 2  b2  c 2  2  b  c  cos Â
ˆ
b2  a 2  c 2  2  a  c  cos B
ˆ
c 2  a 2  b2  2  a  b  cos C
6–Transformações
6.1–Adição e Subtração de arcos


sen  a  b   sen a.cos b  sen b.cos a
sen  a  b   sen a.cos b  sen b.cos a
cos  a  b   cos a.cos b  sen a.sen b
cos  a  b   cos a.cos b  sen a.sen b
tg a  tg b
1  tg a.tg b


, com a, b,  a  b    n  n 
2
tg a  tg b
tg  a  b  
1  tg a.tg b
tg  a  b  

Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
6.2–Arco Duplo
 sen  2a   2.sen a.cos a
cos2 a  sen 2a

 cos  2a   1  2sen 2a
2cos2 a  1

 tg  2a  



2tg a
, com a   n e a   n  n 
2
2
4
2
1  tg a
Observação:
 sen a  cos a 
2
 sen 2a  cos2 a  2sen a.cos a
1
Logo:  sen a  cos a   1  sen  2a 
2
sen  2a 

Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
1–Áreas de figuras planas
1.1–Retângulo
S  b.h
h
b
1.2–Quadrado
S
2
1.3–Paralelogramo
h S  b.h
b
1.4–Trapézio
b
h S
B  b  h
2
B
1.5–Losango
d
S
D.d
2
h
S
b.h
2
D
1.6–Triângulos
1.6.1–Triângulo qualquer
b
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
1.6.2–Triângulo equilátero
2
S
3
4
1.6.3–Triângulo qualquer
a
S

a.b.sen
2
b
1.6.4–Triângulo qualquer (Fórmula de Hierão)
p
c
b
abc
2
S  p  p  a  p  b  p  c 
a
1.6.5–Triângulo qualquer
Geralmente esta relação é mais
circunferência inscrita no triângulo.
útil
p
c
b
para
determinar
o
raio
da
o
raio
da
abc
2
S  p.r
r
a
1.6.6–Triângulo qualquer
Geralmente esta relação é mais útil
circunferência circunscrita ao triângulo.
para
determinar
c
b
S
a
R
1.7–Hexágono Regular
S
3
2
2
3
abc
4R
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
1.8–Figuras circulares
1.8.1–Círculo
S   R2
R
1.8.2–Coroa circular
r
R

S   R2  r 2

1.8.3–Setor circular

S
R

360º
 R2
1.8.4–Segmento circular

S  Ssetor  Striangulo
R
2–Prismas
2.1–Classificação
2.1.1–Prisma Oblíquo
São os prismas cujas arestas laterais são obliquas ao plano da base.
2.1.2–Prisma Reto
São os prismas cujas arestas laterais são perpendiculares ao plano da base.
2.1.3–Prisma Regular
São os prismas retos em que as bases são polígonos regulares.
Prisma
Oblíquo
Prisma
Reto
Prisma
Regular
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
2.2–Formulário:
2.2.1–Área da base (Ab):
É a área do polígono da base.
2.2.2–Área lateral (Al):
É a soma das áreas de todas as faces laterais.
2.2.3–Área total (At):
É a soma das áreas de todas as faces do prisma.
At  Al  2Ab
2.2.4–Volume (V):
É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um
sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária.
V  Ab.H
2.3–Casos particulares:
2.3.1–Paralelepípedo
reto
retângulo
ou
retângulo
É todo paralelepípedo reto cujas bases são retangulares.
Paralelepípedo Reto-retângulo
Formulário:
c
D
b
a
Área total (At):
At  2 ab  ac  bc 
Volume (V):
V  abc
Diagonal (D):
D  a 2  b2  c 2
paralelepípedo
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
2.3.2–Cubo
É todo paralelepípedo reto-retângulo cujas faces são quadradas.
Cubo
Formulário:
a
D
a
a
Área total (At):
At  6a 2
Volume (V):
V  a3
Diagonal (D):
D a 3
3–Pirâmides
3.1–Classificação
3.1.1–Pirâmide Oblíqua
São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base
não coincide com o centro do polígono da base.
3.1.2–Pirâmide Reta
São as pirâmides cuja projeção ortogonal do vértice sobre o plano da base
coincide com o centro do polígono da base. Numa pirâmide reta, as faces
laterais são triângulos isósceles.
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.1.3–Pirâmide Regular
São as pirâmides retas em que as bases são polígonos regulares. Numa
pirâmide regular, as faces laterais são triângulos isósceles e congruentes
entre si.
Pirâmide
reta
Pirâmide
oblíqua
Pirâmide
regular
Pirâmide quadrangular regular:
V
D
A
E
H
C
B
Na pirâmide regular acima, temos:
HC = R é o raio da circunferência circunscrita à base.
VA = VB = VC = VD = L são as arestas laterais.
VH = h é a altura da pirâmide.
HE = r é o raio da circunferência inscrita ou o apótema da base.
VE = g é a altura da face lateral ou o apótema lateral ou apótema da
pirâmide.
Daí:
i) VH    HE   VE   h 2  r 2  g 2
2
2
2
ii) VH    HC   VC   h 2  R2  L2
2
2
2
3.2–Formulário:
3.2.1–Área da base (Ab):
É a área do polígono da base.
3.2.2–Área lateral (Al):
É a soma das áreas de todas as faces laterais.
3.2.3–Área total (At):
É a soma das áreas de todas as faces do prisma.
At  Al  Ab
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.2.4–Volume (V):
É um número que exprime a razão existente entre o espaço ocupado por um
sólido e o espaço ocupado por um cubo de aresta unitária.
V 
1
 Ab  H
3
3.3–Tetraedro regular
São pirâmides triangulares onde todas as faces são triângulos equiláteros.
a
a
a
a
3.3.1–Formulário:
Área total (At):
At  a 2 3
Altura (H):
H 
a 6
3
Volume (V):
V 
a3 2
12
3–Cilindros
3.1–Secção meridiana do cilindro:
É a interseção do cilindro com um plano que contém o eixo do mesmo.
H
2R
3.1.1–Área da secção meridiana
ASM  2RH
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
3.2–Classificação:
3.2.1–Cilindro Oblíquo
São os cilindros cujo eixo são oblíquos as plano da base.
3.2.2–Cilindro Reto ou de Revolução
São os cilindros cujo eixo é perpendicular ao plano da base. No cilindro
circular reto, a geratriz tem a mesma medida que a altura.
3.2.3–Cilindro Equilátero
São os cilindros retos cuja secção meridiana é um quadrado.
Assim, H  2R .
Cilindro
Oblíquo
Cilindro
Reto ou de
Revolução
Cilindro
Eqüilátero
3.3–Formulário:
Eixo
3.3.1–Área da base (Ab):
É a área do círculo da base.
Geratriz
Ab   R 2
3.3.2–Área lateral (Al):
É área da superfície lateral.
H
R
Altura
Al  2 RH
Base
2R
3.3.3–Área total (At):
At  Al  2Ab
3.3.4–Volume (V):
V  Ab.H
H
R
Superfície
lateral
Resumo
TRIGONOMETRIA/GEOMETRIA
4–Cones
4.1–Secção meridiana do cilindro:
É a interseção do cone com um plano que contém o eixo do
mesmo.
H
4.1.1–Área da secção meridiana
ASM  RH
2R
4.2–Classificação:
4.2.1–Cone Oblíquo
São os cones cujo eixo é oblíquo ao plano da base.
4.2.2–Cone Reto
São os cones cujo eixo é perpendicular ao plano da base.
4.2.3–Cone Equilátero
São os cones retos cuja secção meridiana é um triângulo equilátero.
Assim, g  2R .
Cone
Oblíquo
Cone
Reto ou de
Revolução
Cone
Eqüilátero
4.3–Formulário:
V
4.3.1–Área da base (Ab):
É a área do círculo da base.
Ab   R 2
4.3.2–Área lateral (Al):
É área da superfície lateral.
Al   Rg
4.3.3–Área total (At):
At  Al  Ab
4.3.4–Volume (V):
V 
1
Ab.H
3
Eixo
V
H
Geratriz
Raio
Base
Altura
Superfície
Lateral