A matemática da pré-história ao antigo Egito

Transcrição

UNIrevista – Vol. 1, n° 2: (abril 2006)
ISSN 1809-4651
Fabiana Fagundes Barasuol
Mestre em Modelagem Matemática
[email protected]
Graduada em Matemática pela UNICRUZ e Mestre em Modelagem Matemática pela UNIJUÍ, RS
Resumo
Abstract
Este trabalho tem o objetivo de buscar através de
This work has the objective to search through the
pesquisa bibliográfica as origens da história da
bibliographic research the mathematics history origins,
matemática, descrevendo as influências do homem
describing the Pre-History man influences until the
da Pré-História á civilização do Antigo Egito, sendo
ancient Egypt civilization, being this one, through the
esta, através da descoberta dos mais relevantes
most relevant discovery of papyrus writings. The first
textos escritos em papiro. As primeiras concepções
number conceptions, bigness and form date in the
de número, grandeza e forma datam do começo da
beginning of Stone age (Paleolithic), through marked
Idade da Pedra (Paleolítico), através de entalhes
incisions in bones and cave pictures. Beyond that, the
marcados em ossos e pinturas em cavernas. Além
Neolithic man revealed an strong sense to geometry
disso o homem do Neolítico revelou um agudo
trough
sentido para a geometria através da pintura,
fabrication and others. With pre-history end and History
entrelaçamento de juncos, fabrico de metais e
beginning we see big progresses in the mathematics of
outros. Com o fim da Pré-História e o começo da
the ancient Egypt civilization. The discovery of papyrus
História
observamos
interlacement,
metal
(Rhind
Papyrus,
Moscow
Papyrus,
Kahun
Papyrus
between
descoberta de textos escritos em papiro (Papiro de
they’ve
Rhind, Papiro de Moscou, Papiro de Berlim, Papiro
Arithmetic concepts, fractions, geometry, equations and
de Kahun dentre outros) mostravam que eles já
progressions. Through the history it is searched to
dominavam de um modo particular, conceitos de
establish a better comprehension of the concepts
aritmética,
introduced in mathematics reflected in the most noble
estabelecer
geometria,
Através
uma
da
melhor
da
rush
writings
progressões.
progressos
painting,
matemática na civilização do Antigo Egito. A
frações,
grandes
the
equações
história
e
procura-se
compreensão
already
dominated
in
a
Papyrus,
others)
Berlin
showed
particular
way,
thoughts of innumerable generations.
dos
conceitos introduzidos na matemática refletidos
nos
mais
nobre
pensamentos
de
inúmeras
gerações.
Palavras-chave:
Homem
culturais // matemática
//
manifestações
Key
words:
Man
//
cultural
manifestations
//
mathematics
Os matemáticos do século vinte desempenham uma atividade intelectual altamente sofisticada, sendo boa
parte do que hoje se chama matemática deriva de idéias
que originalmente estavam centradas nos
1
conceitos de número, grandeza e forma. Conhecendo a história da matemática percebemos que as teorias
que hoje aparecem acabadas e elegantes são resultantes de desafios enfrentados na história da humanidade.
Este trabalho tem o objetivo de buscar através de pesquisa bibliográfica as origens da história da
Matemática, descrevendo as influências do homem da Pré-História à civilização do Antigo Egito, sendo esta,
através da descoberta dos mais relevantes papiros da Antigüidade.
Segundo Struik (1992 a), as nossas primeiras concepções de número e forma datam de tempos tão remotos
como os do começo da Idade da Pedra, o Paleolítico. Durante as centenas de milhares de anos, ou mais,
deste período, os homens viviam em cavernas, em condições pouco diferentes das dos animais, e as suas
principais energias eram orientadas para o processo elementar de recolher alimentos onde fosse possível
encontrá-los. Eles faziam instrumentos para caçar e pescar, desenvolviam linguagem para comunicarem uns
com os outros.
A matemática originalmente, segundo Boyer (1999 a), surgiu como parte da vida diária do homem, e se há
validade no princípio biológico da “sobrevivência do mais apto” a persistência da raça humana
provavelmente tem relação com o desenvolvimento de conceitos matemáticos. A princípio as noções
primitivas de número, grandeza e forma podiam estar relacionadas com contrastes mais do que com
semelhanças – a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de tamanho entre uma sardinha e uma
baleia, a dessemelhança entre a forma redonda da lua e a retilínea de um pinheiro. Do mesmo modo se
observaria que certos grupos, como os pares podem ser postos em correspondência um a um. As mãos
podem ser relacionadas com os pés, os olhos e as orelhas ou as narinas. Essa percepção de uma
propriedade abstrata que certos grupos têm em comum e que nós chamamos de número, representa um
grande passo no caminho para a matemática moderna. É improvável que isso tenha sido a descoberta de
um indivíduo ou de uma dada tribo; é mais provável que a percepção tenha sido gradual, desenvolvido tão
cedo no desenvolvimento cultural do homem quanto o uso do fogo, talvez há 300 000 anos.
Ainda segundo o autor, a idéia de número finalmente tornou-se suficientemente ampla e vivida para que se
sentisse a necessidade de exprimir a propriedade de algum modo, presumivelmente a princípio somente na
linguagem de sinais. Os dedos de uma mão podem facilmente ser usados para indicar um conjunto de dois,
três, quatro ou cinco objetos, não sendo o número 1 geralmente reconhecido inicialmente como um
verdadeiro número, ou ainda, as duas mãos podem ser representadas coleções contendo até dez elementos;
combinando dedos das mãos e dos pés pode-se ir até vinte. Quando os dedos humanos eram inadequados,
podiam ser usados montes de pedras. O homem pré-histórico às vezes registrava um número fazendo
marcas num bastão ou pedaço de osso. Descobertas arqueológica fornecem provas de que a idéia de
número é muito mais antiga do que progressos tecnológicos como o uso de metais ou de veículos com rodas.
Precede a civilização e a escrita, pois artefatos com significado numérico, tais como ossos, vêm de um
período cerca de trinta mil anos atrás.
O homem do Neolítico revelou um agudo sentido para os padrões geométricos. A cozedura e a pintura da
cerâmica, o entrelaçamento de juncos, a tecelagem de cestos e têxteis e o fabrico de metais conduziram à
noção de plano e relações espaciais. As formas da dança devem ter desempenhado um papel importante. A
ornamentação neolítica refulgia com a manifestação da congruência, da simetria e da semelhança. Nos
povos com uma estrutura social bem distante da nossa civilização técnica encontramos registros do tempo e,
2
relacionando com eles, conhecimentos dos movimentos do Sol, da Lua e das Estrelas. Este conhecimento
atingiu um caráter científico com o desenvolvimento da agricultura. O uso do calendário lunar tem origem
muito antiga na história da humanidade, estando ligado às variações da vegetação com as fases da Lua.
Outros povos primitivos usaram as constelações para se guiarem na navegação. Desta astronomia
resultaram alguns conhecimentos sobre esferas, direções angulares, círculos e figuras mais complicadas
(Struik, 1992 b).
Por volta do ano 4 000 a.C., algumas comunidades primitivas aprenderam a usar ferramentas e armas de
bronze. Aldeias situadas às margens de rios transformaram-se em cidades. A vida ia ficando cada vez mais
complexa. Novas atividades iam surgindo, graças sobretudo ao desenvolvimento do comércio. Os
agricultores passaram a produzir alimentos em quantidades superiores às suas necessidades. Com isso
algumas pessoas tornaram-se artesãos, comerciantes, sacerdotes e/ou administradores. Como conseqüência
desse desenvolvimento surgiu a escrita. Era o fim da Pré-História e o começo da História 1 . Os grandes
progressos que marcaram o fim da Pré-História verificaram-se com muita intensidade e rapidez no Egito.
A civilização egípcia antiga2 desenvolveu-se no nordeste africano (margens do rio Nilo) entre 3 200 a. C.
(unificação do norte e sul) a 32 a. C. (domínio romano). Como a região era desértica, o rio Nilo ganhou uma
extrema importância para os egípcios. O rio era utilizado como via de transporte (através de barcos) de
mercadorias e pessoas. As águas do rio Nilo eram utilizadas para beber, pescar e fertilizar as margens, nas
épocas de cheias, favorecendo a agricultura. A sociedade egípcia era dividida em várias camadas (faraó,
sacerdotes, militares, escribas, camponeses, artesãos, pequenos comerciantes e os escravos). A escrita
egípcia permitiu a divulgação de idéias, comunicação e controle de impostos. Existia duas formas de escrita:
a demótica (mais simplificada) e a hieroglífica (mais complexa e formada por desenhos e símbolos). Utilizouse para escrever uma espécie de papel chamada papiro que era produzida a partir de uma planta de mesmo
nome. Além disso, a civilização egípcia destacou-se nas áreas da ciências, sendo a matemática usada nas
construções das pirâmides, diques, canais de irrigação e estudos de astronomia.
Os conhecimentos que temos da matemática egípcia provém, essencialmente, de dois textos3 escritos em
papiro: o papiro de Rhind (1 600 a. C.) e o papiro de Moscou (1 800 a. C.). No entanto pensa-se que os
conhecimentos matemáticos nele contidos datam de uma época anterior, provavelmente, mesmo do início
da civilização egípcia. Certo é que o papiro de Rhind foi copiado de outro da mesma época do papiro de
Moscou. Estes papiros são compostos por problemas e resoluções, alguns elementares e com intenções,
supõem-se,
puramente pedagógicas e que eram basicamente destinados ao ensino dos funcionários do
estado, dos escribas. A partir destes, temos acesso apenas a uma matemática elementar. Não se sabe se os
egípcios tinham, ou não conhecimentos matemáticos mais avançados, no entanto os monumentos por eles
construídos levam a pensar que na realidade os arquitetos eram possuidores de conhecimentos não
revelados nos papiros. Outros papiros, da mesma época, são o papiro de Berlim, que contém dois problemas
que envolvem equações de 2º grau e o papiro de Kahun. Além disso, a matemática egípcia é conhecida
1
As mudanças que marcaram este período pode ser encontrada com maiores detalhes no texto História da Matemática,
disponível em http://educar.sc.usp.br/licenciatura/2003/hm/pag03.htm.
2
Sobre a civilização egípcia pode ser encontrado maiores detalhes no texto Egito, disponível em
http://www.suapesquisa.com/egito/
3
Sobre os dois escritos em papiro, maiores detalhes podem ser encontrados no texto História da matemática no Egito,
disponível em http://www.malhatlantica.pt/mathis/Egipto/egipto.htm
3
pelas suas frações unitárias que eram necessárias quando os salários eram pagos em pão e cerveja, sendo
muitas vezes preciso dividir esses bens pelos diferentes trabalhadores.
Papiro de Rhind – escrito em hierático, da direita para a esquerda, tem 32 cm de largura por 513 cm de
comprimento. É datado de cerca de 1 650 a. C., embora o texto diga que foi copiado de um manuscrito, de
cerca, de 200 anos antes. Foi comprado em 1858 numa cidade à beira do Nilo, por um antiquário escocês,
Henry Rhind, por isso é conhecido como Papiro Rhind, ou menos, freqüentemente, Papiro Ahmes em honra
do escriba que o copiou. Encontra-se atualmente no Museu Britânico. O Papiro Rhind contém uma série de
tabelas e 84 problemas e as suas soluções. Descreve-se a seguir uma lista4 das suas tabelas e problemas:
- Cálculos que mostram 2 divido por cada um dos números ímpares de 3 a 101;- Uma tabela contendo os
resultados da divisão de cada número de 1 a 9 por 10; - Problemas 1 a 6: Divisão de 1,2,6,7,8 e 9 pães por
10 homens; - 7 a 20: Multiplicação de diferentes frações por 1+1/2+1/4 ou 1+2/3+1/3 ou 1- (2/3+1/15) e
outras; - 24 a 29: Problemas de quantidades, envolvendo equações do 1º grau com uma incógnita,
resolvidas pelo método de falsa posição; - 30 a 34: Problemas semelhantes aos anteriores, mas mais
complicados (envolvendo frações) e resolvidos pelo método da divisão; - 35 a 38: Problemas de héqat
(medida de capacidade), envolvendo equações do 1º grau com uma incógnita; - 39: Divisão de pães; - 40:
Divisão de pães envolvendo progressões aritméticas; - 41 a 43: Volumes de contentores cilíndricos de
cereais; - 44 a 47: Volumes de contentores paralelepipédicos de cereais; - 47: Tabelas de frações de 1
héqat, como frações do olho de Hórus. Héqat era uma medida de volume ou capacidade e empregava-se
para medir o trigo e a cevada e equivalia a 4.8 litros. De regresso ao olho de Hórus, as sobrancelhas
equivaliam a 1/8, a pupila a 1/4, a parte esquerda da pupila a 1/16, a parte inferior vertical abaixo do olho a
1/32, a parte direita da pupila a 1/16, a parte inferior vertical abaixo do olho a 1/32 e a parte inferior
diagonal do olho representava 1/64, tudo frações de héqat.; - 48 a 53: Áreas de triângulos, retângulos,
trapézios e círculos;
- 54 e 55: Divisão relacionada com área; - 56 a 60: Problemas relacionados com
pirâmides (seqt, alturas e bases). Seqt, segundo Boyer (1999 b) significava o afastamento horizontal de
uma reta oblíqua em relação ao eixo vertical para cada variação de unidade na altura. O seqt corresponde
hoje para indicar a inclinação de uma parede. A unidade de comprimento era o cúbito (7 palmos equivalem
a um cúbito); mas para medir a distância horizontal a unidade usada era a “mão” medindo um sétimo do
cúbito. No problema 56 pede-se o seqt de uma pirâmide que tem 250 cúbitos de altura e uma base
quadrada com lado de 360 cúbitos. O escriba começa dividindo 360 por 2, depois divide o resultado por 250,
obtendo 1/2 +1/5 +1/50. Multiplicando o resultado por 7, deu o resultado de 5 1/25 em mãos por cúbitos; 61 e 61 B: Tabela de uma regra para encontrar 2/3 de números ímpares e frações unitárias; - 62: Problema
de proporções, sobre metais preciosos e os seus pesos; - 63 e 65: Divisão proporcional de pães por um
número de homens; - 64: Problema envolvendo uma progressão aritmética; - 66: Divisão de gordura; - 67:
Proporção de gado devido a imposto; - 68: Divisão proporcional de cereais entre grupos de homens; - 69 a
78: Problemas de pesus (razão entre o número de pães confeccionados ou o número de jarros de cerveja
produzidos e o número de héqat de cereal utilizado na sua produção) de pão e cerveja. Proporção inversa; 79: Progressão geométrica de razão 7; - 80 e 81: Tabelas de frações do olho de Hórus; - 82 a 84:
4
Pode ser encontrada com maiores detalhes em http://www.malhatlantica.pt/mathis/Egipto/Rhind/Rhind.htm e
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm2002/icm2002/content_papiros.htm.
4
Problemas (pouco claros) sobre a quantidade de comida de vários animais domésticos, como gansos e
outras aves.
- Papiro de Moscou: Foi comprado no Egito em 1893 pelo egiptólogo V. S. Golenishchev. Originalmente foi
conhecido como papiro de Golenishchev, quando em 1917, foi comprado pelo Museu de Belas Artes de
Moscou. Esse papiro tem quase o comprimento do Rhind mas só um quarto de largura. Foi escrito, menos
cuidadosamente que a obra de Ahmes, por um escriba desconhecido da décima segunda dinastia (1890 a.C.
aproximadamente). Contém vinte e cinco exemplos, quase todos da vida prática, e não diferindo muito dos
de Ahmes, exceto dois que têm significado especial, dos quais referem-se a um exercício de área de uma
superfície curva e de volume de uma pirâmide truncada, além de problemas que darão origem
posteriormente à equação 2x + x = 9.
Papiro de Berlim: Foi comprado também por A . H. Rhind em Luxor em 1850, na mesma altura que o Papiro
de Rhind, mas encontrava-se em mau estado e só foi analisado e restaurado cerca de 50 anos mais tarde
por Schack-Schackenburg. O Papiro de Berlim encontra-se, ainda parcialmente estragado. Datando
aproximadamente de 1800 a. C., encontra-se atualmente no Museu Staatliche em Berlim. Neste papiro
aparece pela primeira vez a solução de uma equação do 2º Grau. Dois dos seus problemas dão origem a um
sistema de duas equações, sendo uma delas uma equação de 2º Grau. Na notação atual os sistemas de
equações envolvidos nos problemas são:
x
2
+y
2
= 100
e
4x – 3y = 0 (1)
x
2
+y
2
= 400
e
4x – 3y = 0 (2)
Papiro de Kahun5: na verdade não é um papiro, mas sim, fragmentos de diversos papiros, nem todos de
origem matemática, encontrados em Kahun, no Egito por Flindrs Petrie, em 1889. Esses fragmentos foram
restaurados e traduzidos por F. L. Griffith e por Schack-Schackenburg. No entanto, o seu estado de
conservação só permitiu que alguns fossem decifrados. Pensa-se que data de cerca de 1800 a . C. e está
escrito em hierático. Um destes fragmentos (IV, 2) contém cálculos que mostram 2 dividido por cada um
dos números ímpares de 3 a 21. O outro fragmento (IV, 3, colunas 13 e 14), contém um cálculo que foi
interpretado como sendo do volume de um contentor cilíndrico de cereais. No fragmento (LV, 3), encontrase a resolução da equação 1/2x –1/4x = 5. De acordo com Gillings (1982), os três restantes fragmentos não
têm, ainda, uma interpretação conclusiva.
Os papiros referidos anteriormente provém da mesma época (Império Médio). Época de alguma estabilidade,
em que imperava o comércio com outros povos e a agricultura viu um grande desenvolvimento. Deste
período até o período Persa (525 a . C. a 332 a . C.), não são conhecidos papiros com conteúdos específicos
de matemática no Egito, mas não podemos esquecer que o papiro é muito frágil e que a sua conservação
não é fácil. É aqui apresentado um papiro da época persa, o Papiro de Cairo que se encontra atualmente no
museu do Cairo. Provavelmente data do século III a . C. e está escrito em demótico. Foi descoberto em
Tûna el Geber em 1938/39. Contem 22 fragmentos que combinados dão um papiro que deveria ter 2 metros
de comprimento por 35 cm. de largura. Alguns dos seus 40 problemas revelam uma forte influência de
textos Babilônicos. Entre estes estão os que envolvem o Teorema de Pitágoras, também problemas
relacionados com as medidas de panos de vela, que envolvem “equações de 2º Grau”, além de problemas
5
Sobre
o
texto
escrito
neste
papiro,
maiores
detalhes
http://www.educ.fc.ul.pt/icm/icm2002/icm2002/content_papiros.htm.
poderão
ser
encontrados
em
5
de aritmética simples, divisões e frações unitárias. No mesmo sistema de escrita demótica estão escritos
outros papiros posteriores ao Papiro de Cairo. O primeiro é da época Ptolomaica (332 a . C. a 30 a . C.), não
se sabe sua origem. Foi adquirido em 1868 pelo Museu Britânico, com largura de 36,5 cm e não se sabe ao
certo seu comprimento. O segundo papiro, igualmente escrito em demótico, é do início do período Romano
(30 a . C. a 395), com origem igualmente desconhecida. Tem 7,545 metros de comprimento e 25 cm de
largura e parte dele contém 13 questões de matemática (cálculo de multiplicação, divisão, subtração, adição
de dois números, dois envolvendo extração da raiz quadrada e dois o cálculo da área de uma porção de
terra dados dois dos seus lados).
Através desse trabalho podemos verificar que a história da Matemática reflete alguns dos mais nobres
pensamentos de inúmeras gerações. A história permite estabelecer uma melhor compreensão dos conceitos
introduzidos nesta ciência. Para cada matemático sempre fica a tarefa de acrescentar sempre algo ao que
veio antes, sem com isso, remover ou esquecer o princípio de tudo.
Referências
STRUIK, D.J. 1992. História concisa da matemática. Lisboa, Gradiva, 395 p.
BOYER, C.B. 1999. História da matemática. São Paulo, Edgard Blücher Ltda, 488 p.
GILLINGS, R. 1982. Mathematics in the time of the pharaohs. New York, Dover Publications, 86 p.
6

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