Zusammenfassung Grundbau

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GRUNDBAU – Zusammenfassung von Daniel Ehrbar, D-BAUG
1.
Stabilitätsprobleme (S. 123 – 172)
1.1 Allgemeine Bemerkungen (S. 123)
Man unterscheidet drei Arten von Stabilitätsproblemen; gesucht sind je nach Problem andere
Kenngrössen:
1) Böschungsstabilität: Sicherheitsfaktor F
2) Erddruck: aktive und passive Erddruckkräfte Ea und Ep
3) Tragfähigkeit: Bruchspannung σf
Den drei Problemen besitzen drei Gemeinsamkeiten: es stellt sich ein Scherbruch ein, die
Bruchvorgänge sind ähnlich und das Grundwasser hat negative Auswirkungen.
1.2 Drainierte und undrainierte Scherfestigkeit (S. 124)
1.3 Scherparameter (S. 124)
1.4 Lösung eines Stabilitätsproblems (S. 124/5)
Die genaue Lösung erhält man durch das Lösen eines Gleichungssystems, welches statische
Gleichgewichtsbedingungen, kinematische Geometriegleichungen, Bruchzustandsgleichungen
und statischen sowie kinematischen Randbedingungen. Da die Lösung nicht einfach erreichbar
ist, existieren zwei Näherungsmethoden der Plastizitätstheorie, welche für alle drei Probleme
geeignet sind:
1) statische Methode: konservativ, ergibt unteren Grenzwert
2) kinematische Methode: nicht konservativ, ergibt oberen Grenzwert
In der Praxis genügt es, einen eng begrenzten Bereich zwischen beiden Lösungen zu definieren!
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1.5 Erddruck (S. 153 – 172)
Auf ein in den Boden eingebundenes Bauwerk wirken seitliche
Kräfte aufgrund des Bodens. Je nach Richtung der Deformation
werden diese Kräfte als „aktiv“ (Ea) oder „passiv“ (Ep) bezeichnet.
Treten keine Deformationen auf, so spricht man vom Erdruhedruck e0. Allgemein ergeben Deformationen „vom Boden weg“
aktive Erddruckkräfte, während Deformationen „auf den Boden
zu“ passive Erddruckkräfte erzeugen. Oder, lapidar formuliert:
auf der aktiven Seite verschieben die Erddruckkräfte die Mauer, während die Mauer auf der
passiven Seite den Boden staucht.
1.5.1 Näherungsmethoden der Erddrucktheorie (S. 158)
Es gibt zwei Methoden, um die Erddrücke zu berechnen: die Theorie nach Rankine und
diejenige von Coulomb. Rankine ergibt einen unteren (konservativen) Grenzwert. Beide
Theorien gehen von unterschiedlichen Annahmen aus, welche in der Realität nicht immer
zutreffend sein müssen:
Rankine
Coulomb
Wand
starr
starr
Wandreibung
keine
beliebig
Oberfläche
gerade (auch geneigt!)
beliebig
Bruchzustand
ganzer Bodenbereich
Auf zwei Bruchebenen (Gleitebene im Boden
und an der Wand)
Boden
beliebig
homogen
1.5.2 Erddrucktheorie nach Rankine (S. 154 – 157)
Die Erddrucktheorie nach Rankine ist eine statische Methode, d.h. sie ist konservativ. Sie geht
von drei (in der Regel unzutreffenden!) Annahmen aus:
1) Starre, vertikale Wand ohne Reibung
2) gerade Bodenoberfläche (aber nicht unbedingt horizontal)
3) Bodenbereich einseitig der Wand im Bruchzustand
Die nachfolgenden Lösungen gelten für den dargestellten Rankine’schen Sonderfall.
Aktive und passive Erddruckbeiwerte Ka und Kp:
ϕ '  1 − sin ϕ ' 1

K a = tan 2  45° −  =
=
2  1 + sin ϕ ' K p

Neigung der Bruchflächen gegenüber der Horizontalen:
aktiv : 45° +
ϕ'
2
Seite 2 von 28
passiv : 45° −
ϕ'
2
Verteilung des Erddrucks: (S. 156)
Der Erddruck ist (im homogenen Boden) grundsätzlich dreiecksförmig verteilt. Ein Sprung in der
Verteilung kommt bei Schichtwechseln oder beim Übergang in die grundwassergesättigte
Zone vor. Der Erddruck e ist eine Spannungsgrösse in [kPa = kN/m2]. Allgemein gilt für c’ = 0:
H
'
v
e =σ ⋅K
E = ∫ e ⋅ dz
h
Falls die Verschiebungen der Wand genügend gross sind, tritt links und rechts der Wand ein
vollkommener Bruchzustand auf und es werden die maximalen Erddrücke mobilisiert. Für
einen homogenen Boden gelten dann die Formeln:
ea = γ ⋅ z ⋅ K a
1
resp. Ea = γ ⋅ H 2 ⋅ K a
2
ep = γ ⋅ z ⋅ K p
1
resp. E p = γ ⋅ H 2 ⋅ K p
2
Wirkung der Kohäsion: (S. 156)
Für den Erddruck in überkonsolidierten feinkörnigen Böden ist die Wirkung der Kohäsion c’ mit
in Betracht zu ziehen (die Kohäsion ist prinzipiell stabilitätsfördernd):
ea = K a ⋅ σ v' − 2 ⋅ K a ⋅ c'
e p = K p ⋅ σ v' + 2 ⋅ K p ⋅ c'
[Beachte: Bei der Berechnung der Erddrücke bei vertikalen Baugrubenabschlüssen wird der berechnete Erddruck mit
dem Faktor m reduziert, d.h. der Faktor m geht nicht in die Wurzel ein! Dies ist deshalb so, weil m nicht die
Unsicherheiten des Kp-Werts abdeckt, sondern die Tatsache berücksichtigt, dass auf der passiven Seite nicht der
gesamte passive Erddruck mobilisiert werden kann.]
Spalt hinter der Wand (bei kohäsiven Böden): (S. 156)
Wie die Abbildung zeigt, können bei kohäsiven Böden rechnerisch
auf der aktiven Seite Zugspannungen ergeben. Weil es zwischen
zcr
Wand und Boden keine dauerhafte Haftung gibt, können diese
Kräfte nicht übertragen werden; stattdessen bildet sich ein Spalt.
Erst unterhalb des Spalts beginnt die Wirkung der aktiven Erddrücke:
zcr =
2c '
γ ⋅ Ka
1.5.3 Erddrucktheorie nach Coulomb (S. 157 – 164)
Die Erddrucktheorie nach Coulomb ist eine kinematische Methode und ergibt deshalb unvorsichtige Werte. Sie geht von drei Annahmen aus:
1) starre Wand
2) Bruchmechanismus mit flacher Gleitebene
3) homogener Boden
Die Wandneigung α, die Geländeneigung β und die Wandreibung δ sind im Allgemeinen nicht
null; zur Vorzeichenregelung siehe S. 159, Bild 9.3.12 resp. die Abbildung im Anhang.
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Einfluss der Wandreibung: (S. 159/162)
Wenn sich der Boden nach unten bzw. die Wand nach oben bewegt, so ist der
Wandreibungswinkel δ positiv, andernfalls negativ. Er wird folgendermassen geschätzt:
Aktive Seite:
normale Bauwerksoberfläche:
sehr raue Oberflächen:
passive Seite:
vorsichtig zu wählen, deshalb:
δ = 2 / 3 ⋅ϕ'
δ = ϕ'
δ = −1 / 2 ⋅ ϕ '
Allgemeine Randbedingungen: (S. 163):
Die aktiven und passiven Erddruckbeiwerte werden für allgemeine Randbedingungen wie folgt
ermittelt:
Ka =
Kp =
cos 2 (ϕ '+α )
  sin(ϕ '+δ ) ⋅ sin(ϕ '− β ) 0.5 
2
 
cos (α ) ⋅ cos(δ − α ) 1 + 
cos(δ − α ) ⋅ cos(α + β )  
 

2
K ah = K a ⋅ cos(δ − α )
2
K ph = K p ⋅ cos(δ − α )
cos 2 (ϕ '−α )
  sin(ϕ '−δ ) ⋅ sin(ϕ '+ β ) 0.5 
2
 
cos (α ) ⋅ cos(δ − α ) 1 − 
  cos(δ − α ) ⋅ cos(α + β )  
Verteilung des Erddrucks:
Die Verteilung des Erddrucks kann analog wie bei der Theorie nach Rankine berechnet werden.
Bemerkung:
Bei sehr grossen Wandsetzungen kann der Wandreibungswinkel negativ werden (siehe Analyse
„Crib Wall“, Vorlesung 2).
1.5.4 Sicherheit gegen Gleiten und Kippen
Vorgehen zur Wandstabilitätsberechnung nach Rankine resp. Coulomb:
1) Effektive vertikale Spannungen ermitteln und skizzieren
2) Erddruckbeiwerte berechnen
3) aktive und passive Erddrücke ea und ep berechnen und aufzeichnen. Achtung: Zugspannungen sind nicht möglich! Werkleitungen u.ä. können evtl. zu einem späteren
Zeit-punkt wieder ausgegraben werden; dann fehlt dieser Bodenbereich und die Wand
muss trotzdem stabil sein – Nachweis also für den Grenzzustand „Werkleitung
ausgegraben“ führen!!!
4) aktive und passive Erddruckkräfte Ea und Ep ausrechnen und Wirkungslinie einzeichnen.
Achtung: Trapezförmige Erddruckverteilung in Rechtecke und Dreiecke mit unterschiedlichen Wirkungslinien der Resultierenden zerlegen!
5) hydrostatische Grundwasserdruckverteilung skizzieren und äquivalente Wasserdruckkräfte Fw,a und Fw,p ermitteln
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6) (langfristige) Sicherheit gegen Gleiten (Fg) und Kippen (Fk) um den Fusspunkt O der
Mauer berechnen:
Fg =
∑E
∑E
p , horizontal
+FWasser , passiv
a , horizontal
+ FWasser ,aktiv
Fk =
≥ 1.5
∑M
∑M
O, p
=
O,a
∑ [E
∑ [E
]
ph
⋅ d i + FW , p ⋅ dW , p
ah
⋅ d i ] + FW , a ⋅ dW , a
≥ 1.5
7) Bei Gewichtsmauern: Reibung der Mauersohle in Gleitfläche:
FR , Mauer = µ ⋅ N = tan(δ a ) ⋅ (GMauer + E av )
Fg =
GMauer = VMauer ⋅ γ Mauer
FR , Mauer
Eah
1.6 Tragfähigkeit (S. 142 – 153)
Das Tragfähigkeitsproblem besteht darin, dass die Traglast σf des Bodens unter einem
Fundament überschritten wird; die Schubspannungen im Boden erreichen dessen Scherfestigkeit und es kommt zum Bruch.
1.6.1 Näherungsmethoden für den undrainierten Zustand (S. 143/4)
Der einzige Bodenparameter, welcher benötigt wird, ist die undrainierte Scherfestigkeit su. In
der Formel für die Bruchspannung wird die Einbindetiefe t des Fundaments und die
Geländeauflast q eingesetzt:
σ f = (γ ⋅ t + q ) + N c ⋅ su
mit : N c = 2 + π = 5.14
1.6.2 Statische Methode für den drainierten Zustand (S. 144/5)
Die nachfolgende Tragfähigkeitsformel gilt nur unter bestimmten Voraussetzungen:
1) unendlich langes Streifenfundament (→ ebenes Problem)
2) vertikale und zentrische Belastung des Fundaments
3) homogener und isotroper Boden mit horizontaler Oberfläche
4) kleine Gründungstiefe t, d.h. t < b (mit b als Breite des Fundaments)
Die Tragfähigkeitsfaktoren Nc, Nq und Nγ können berechnet oder auf S. 147 in Bild 9.2.7
herausgelesen werden.
1
2
σ f = c'⋅ N c + (γ ⋅ t + q ) N q + b ⋅ γ ⋅ N γ
Abb. 9.2.6
N c = ( N q − 1)
1
tan ϕ
ϕ

N q = eπ ⋅ tan ϕ ⋅ tan 2  45° + 
2

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Nγ ≈ 1.8( N q − 1) tan ϕ
1.6.3 Allgemeine Tragfähigkeitsformel (andere Randbedingungen) (S. 148 – 152)
Können obige Randbedingungen (aus 1.6.2) nicht erfüllt werden, so muss für die Analyse des
drainierten Zustandes die allgemeine Tragfähigkeitsformel verwendet werden. Sie besteht aus
fünf verschiedenen Korrekturfaktoren:
s: Formfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.12)
d: Tiefenfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.13)
i: Lastneigungsfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.14)
g: Geländeneigungsfaktoren (S. 150, Kap. 9.2.15)
b’: Fundamtentneigungsfaktoren (S. 151, Kap. 9.2.16)
Diese Faktoren können gemäss den Formeln in den entsprechenden Kapiteln berechnet oder
via Tabellen bestimmt werden. Die allgemeine Formel der Tragfähigkeit lautet somit:
1
2
σ f = c ⋅ N c ⋅ sc ⋅ dc ⋅ ic ⋅ g c ⋅ b'c + (γ ⋅ t + q ) ⋅ N q ⋅ sq ⋅ d q ⋅ iq ⋅ g q ⋅ b'q + γ ⋅ b ⋅ Nγ ⋅ sγ ⋅ dγ ⋅ iγ ⋅ gγ ⋅ b'γ
Damit diese Formel gilt, müssen zwei Bedingungen erfüllt sein:
1) horizontale Bodenoberfläche bis zur Distanz L vom Fundamentrand her:
π
ϕ  ⋅ tan ϕ

L = b ⋅ tan  45° + e 2
2

2) homogener Boden bis in die Tiefe H unter dem Fundament
π 
ϕ
 45° +  tan ϕ
cos ϕ
H =b
e180°  2 
ϕ

2 ⋅ cos 45° + 
2

Exzentrischer Lastangriff: (S. 149)
Ist der Lastangriff exzentrisch, so muss mit einer „reduzierten“ Fundamentfläche gerechnet
werden. Dies ergibt fiktive Breiten b und l , welche (immer) in obiger allgemeinen Tragfähigkeitsformel eingesetzt werden müssen!
Einbindetiefe t: (S. 151)
Die Einbindetiefe t ist vom Bewegungsmechanismus abhängig; es soll die Einbindetiefe auf
derjenigen Fundamentseite verwendet werden, auf welche sich das Fundament auch
zubewegt. Falls der Mechanismus nicht bestimmt werden kann, empfiehlt es sich, im Rahmen
einer konservativen Annahme die kleinste vorhandene Einbindetiefe zu wählen.
Einfluss des Porenwasserdrucks: (S. 148)
Die Einflüsse des Porenwasserdrucks sind auf Seite 148, Kap. 9.2.8, hilfreich illustriert.
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1.6.4 Schnelle Belastung von gesättigten Tonen (S. 151)
Bei der schnellen Belastung von gesättigten Tonen ist φ = 0 und c = su in Rechnung zu stellen.
Dadurch gelten obige Formeln nicht mehr – in Kapitel 9.2.17 auf Seite 151 ist das Vorgehen
beschrieben.
1.6.5 Sicherheitsgrad Fstat (S. 148)
Da die Tragfähigkeitsformeln lediglich Näherungslösungen darstellen, muss ein Sicherheitsfaktor von 2 gewählt werden. Die Ausmasse der Setzungen sind separat zu prüfen; auch diese
können die maximale Belastung eines Fundaments limitieren! Ein Sicherheitsgrad von 3 erfüllt
aber in der Regel auch Setzungsbedingungen.
Fstat =
σf
σ vorhanden
>2
( falls Setzungen kritisch :
Fstat > 3)
1.7 Böschungsstabilität (S. 125 – 142)
Der Winkel einer Böschung wird mit β bezeichnet, die Höhe mit H und das Raumgewicht mit γ.
1.7.1 allgemeine Definition des Sicherheitsgrades (S. 136)
Die übliche Definition des Sicherheitsgrades ist ein Verhältnis zwischen den Summen der rückhaltenden und treibenden Kräften resp. Momenten. Diese Definition ist irreführend, weil sie von der Richtung der Kräfte abhängig ist; eine
Kraft kann sowohl als „negativ treibende Kraft“ (d.h. mit
Minus-Vorzeichen im Nenner) oder – fälschlicherweise! – als
„rückhaltende Kraft“ (d.h. mit Plus-Vorzeichen im Zähler) in
die Berechnung verstanden werden...
Für eine Böschung unter der Annahme einer Gleitebene (nicht: zylindrischen Gleitfläche!) lässt
sich der Sicherheitsgrad gemäss Abbildung wie folgt definieren:
drainierter Zustand : F =
tan ϕ '
c'⋅L
+
tan x G ⋅ sin x
undrainierter Zustand : F =
su ⋅ L
G ⋅ sin x
Für zylindrische Gleitflächen ist ein Lamellenverfahren durchzuführen.
1.7.2 undrainierter Zustand (S. 139)
Im undrainierten Zustand ist φ = φm = 0 und c = su. Mit den Methoden von Culmann und Taylor
ergibt sich mit dem Stabilitätsfaktor Ns:
Fs =
su
s ⋅N
= u s
sum
γ ⋅H
⇒ Culmann : N s =
4 sin β
1 − cos β
;
Taylor : N s aus Diagramm
su steht dabei für die undrainierte Scherfestigkeit, sum für die undrainierte, mobilisierte
Scherfestigkeit.
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1.7.3 drainierter Zustand (S. 138/9)
Nach den Methoden von Taylor und Culmann unterscheidet man zwei Sicherheitsfaktoren: Fφ
für die Reibung, Fc für die Kohäsion. Man unterscheidet wieder zwischen dem effektiven und
dem mobilisierten Parameter (Index „m“). Beide Sicherheitsfaktoren müssen gleich gross sein:
Fϕ =
tan ϕ ' !
c'
= Fc =
tan ϕ 'm
c 'm
Gegeben sind φ’ und c’. Das Vorgehen bei den Methoden von Taylor und Culmann unterscheidet sich letztlich nur in der Bestimmung des Stabilitätsfaktors Ns. Beide Methoden sind
kinematische Methoden, welche man in homogenen Böden anwenden darf, um die obere
Grenze des Sicherheitsgrades abzuschätzen. Es sind immer beide Methoden anzuwenden!
Taylor ergibt aber meist einen besseren oberen Grenzwert (ausser bei sehr steilen Böschungen).
Vorgehen:
1) Wählen eines Sicherheitsgrades für die Reibung Fφ (z.B. 1 oder 1.2…)
2) Der mobilisierte Scherwinkel ist:
tan ϕ 'm =
tan ϕ '
Fϕ
3) Berechnen des Stabilitätsfaktors Ns:
Culmann : N s =
4 ⋅ sin β ⋅ cos ϕ 'm
1 − cos( β − ϕ 'm )
Taylor : N s aus Diagramm
4) Die mobilisierte Kohäsion c’m beträgt:
c 'm =
γ ⋅H
Ns
5) Der Sicherheitsgrad für die Kohäsion Fc ist dadurch:
Fc =
c'
c 'm
6) Bestimmen des Punktes im Fφ-Fc-Raum und verbessern der Schätzung von Fφ; weitere
Iterationen bis Fφ = Fc erreicht ist.
Wirkungsweise des Wassers:
Grundsätzlich gilt: Strömendes Wasser verringert den Sicherheitsgrad, während stehendes
Wasser diesen erhöht.
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Stabilitätsfaktoren für homogene bindige Böden nach Taylor:
Seite 9 von 28
2. Grundwasser (S. 87 – 108)
2.1 Strömungsdruck und hydraulischer Gradient (S. 93/4) [vergrösserte Abbildung: S. 24]
Strömendes Wasser übt in Strömungsrichtung einen Strömungsdruck S auf den Boden aus und
verändert dadurch den Spannungszustand:
G = γ '⋅V
i=
S = i ⋅ γ w ⋅V
∆h Piezometerhöhendifferenz [m]
=
d
Fliessstrecke [m]
Man sieht bei der linken Abbildung deutlich, dass durch eine Absenkung der Porenwasserdrücke u (Strömung nach unten) gegenüber dem hydrostatischen Druck eine Erhöhung der
effektiven Spannungen σ’v bewirkt!
2.2 Durchströmen von Schichtpaketen (S. 95/6)
Der mittlerer k-Wert kmh für die schichtparallele (horizontale) Durchströmung ergibt sich aus
der Tatsache, dass i für alle Schichten konstant ist, Q hingegen auf die verschiedenen Schichten
aufgeteilt wird. Praktisch steuert die Schicht mit dem grössten k-Wert die Wassermenge Q:
kmh =
∑ [k ⋅ d ]
∑d
i
i
Q = kmh ⋅ i ⋅ ∑ di
i
Der mittlere k-Wert kmv für eine zur Schichtung normalen Durchströmungsrichtung ergibt sich
dadurch, dass Q durch alle Schichten hindurch konstant sein muss, i aber nicht. Die Schicht mit
dem minimalen k-Wert wird ausschlaggebend für die Durchflussmenge Q:
kmv =
∑d
i
d1 d 2 d3
+
+ + ...
k1 k2 k3
Q = kmv ⋅
H
⋅ {
A
di Quer −
∑
123 schnitts −
mittlerer
Gradient
fläche
Ist das k-Wert-Verhältnis zwischen zwei normal durchströmten Schichten 10 oder grösser (z.B.
Ton – Kies), so darf angenommen werden, dass die gesamte Druckdifferenz H in der undurchlässigeren Schicht (Ton) abgebaut wird! In geschichteten Böden ist die horizontale
Durchlässigkeit im allgemeinen grösser (bis sehr viel grösser!) als die vertikale Durchlässigkeit,
auch wenn der Boden im Grossen betrachtet gleichmässig erscheint.
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2.3 Wasserdrücke auf Bauwerke im strömenden Grundwasser (S. 96 – 99)
Im homogen-isotropen Boden ist das hydraulische Gefälle überall gleich gross; im anisotropen
Boden hingegen werden die Potentialunterschiede in der undurchlässigsten Schicht resp.
vertikal abgebaut werden. Die beiden Abbildungen illustrieren diesen Sachverhalt: der
hydrostatische Druck kann nicht wirken, weil am Wandfuss links und rechts gleiche
Wasserdrücke herrschen müssen. Geht man von homogenen Schichten aus, so ergeben sich
lineare Abweichungen zur hydrostatischen Druckverteilung:
homogen-isotroper Boden:
anisotroper Boden:
Abb. 7.18 und 7.19 (mit FORMELN)
im =
H
H + 2⋅t
i≤
H
t
2.4 Hydraulischer Grundbruch und Auftrieb (S. 99 – 102, 237 – 239)
Hydraulischer Grundbruch ist eine hydraulisch bedingte Instabilität der Baugrubensohle; der
auslösende Mechanismus ist der Strömungsdruck. Die Instabilität der Baugrubensohle entsteht
durch Erosion von Bodenteilchen (nicht-bindige Böden) resp. durch das Aufbrechen von
Schichten unter der Last des Auftriebes (bindige Böden).
Für einen homogenen Boden kann die Sicherheit gegen hydraulischen Grundbruch wie folgt
definiert werden (verschiedene Ansätze, abgeleitet aus der ersten Gleichung):
FH =
ikrit γ ' / γ w
=
≥ 1.5
ivorh
ivorh
FH =
eff . Gewicht Bodenkörper
≥ 1 .5
Auftriebsüberschuss
FH =
G'
γ '⋅V
γ'
=
=
≥ 1 .5
S ivorh ⋅ γ w ⋅ V ivorh ⋅ γ w
FH =
t1 ⋅ γ 1 + t2 ⋅ γ 1' + d ⋅ γ 2'
≥ 1 .5
H ⋅γ w
(mit ∆H = 0, 0 ≤ t1 ≤ ~ 1m)
Seite 11 von 28
Der Sicherheitsfaktor von FH = 1.5 ist nur dann zulässig, wenn gute geotechnische und
hydrologisch Kenntnisse über den Baugrund vorliegen, Anisotropie angenommen werden darf,
der Baugrund nicht aus Feinsand oder Silt besteht und das Gefährdungspotential der Baugrube
klein ist. Alle Forderungen müssen gleichzeitig erfüllt sein; ansonsten ist ein grösserer
Sicherheitsfaktor (bis 4.5 und noch höher) zu wählen! Massnahmen gegen hydraulischen
Grundbruch sind: kurzfristig: Kiesfilter (Belastung), Ansteigenlassen des Wasserspiegels in die
Baugrube und langfristig: Entspannen.
Neben dem hydraulischen Grundbruch ist auch die Sicherheit gegen Auftrieb nachzuweisen:
FA =
σ Fusspunkt
u Fusspunkt
=
γ ⋅ t'
(hw + t ' ) ⋅ γ w
≥ 1 .1
Achtung : γ und nicht γ ' verwenden!
iR = 0
FA =
t w ⋅ γ + (t '−t w ) ⋅ γ g
( hw + t ' ) ⋅ γ w
≥ 1 .1
Nachweis für Grenzfall : t w = t '
Achtung : γ g verwenden !
σFusspunkt
uFusspunkt
3. Vertikale Baugrubenabschlüsse (S. 173 – 189)
3.1 Belastung der Wände (S. 177 – 179)
Von erstrangiger Bedeutung sind Belastungen aus Erddrücken, Wasserdrücken und Auflasten
neben der Baugrube (Stapellasten: 10 kN/m2, Verkehrslasten: 20 kN/m2). Der passive Erddruck
wird mit einer Partialsicherheit m versehen; meist wird m = 1.5 angesetzt, bei mehrfach
abgestützten Wänden empfiehlt sich m = 2.0. Der Sicherheitsbeiwert m deckt nicht etwa
Unsicherheiten des Kp-Werts ab, sondern berücksichtigt die Tatsache, dass auf der passiven
Seite nicht der volle passive Erddruck mobilisiert werden kann.
Es ist zu überprüfen, ob die Resultierende der vertikalen Kräfte nach unten zeigt. Eine nach
oben gerichtete Resultierende bedeutet, dass die Wandreibung auf der passiven Seite (und
damit auch der passive Erddruck!) überschätzt wurde.
Für die Wandreibungen gelten folgende Richtwerte:
2
aktive Seite : δ a = ϕ '
3
1
passive Seite : δ p = − ϕ '
2
Im Buch sind die K-Werte nach Rankine und Coulomb (und Caquot-Kérisel) für verschiedene
Annahmen der Wandreibung δ und des inneren Reibungswinkels φ’ für vertikale Wände und
horizontales Gelände berechnet: siehe Seite 178.
Seite 12 von 28
3.2 nicht abgestützte, im Boden eingespannte Wand (S. 180 – 182)
Bei der Wandbemessung ist es vernünftig, mit dem Ersatzbalkenverfahren nach Blum zu
arbeiten. Dieses Verfahren ist eine harte Modell-Vereinfachung; das Interaktionsproblem
Wandverformungen-Spannungen wird damit nicht gelöst sondern nur umgangen.
Die nachfolgenden Formeln gelten nur für homogene Verhältnisse (ohne Wasser, Auflast u.ä.):
1
⋅ ( H + z0 ) ⋅ H ⋅ γ ⋅ K ah
2
1
1

2
E p = ⋅ (t0 ) ⋅ γ ⋅  K ph − K ah 
2
m

H ⋅ K ah
BNP : z0 =
1
K ph − K ah
m
1
 2
2
H ⋅  H + z 0  + ⋅ ( z0 )
3
 3
h0 =
H + z0
Ea =
C = E p − Ea
t0 =
3 ⋅ h0 ⋅ Ea
E p − 3 ⋅ Ea
C
∆t =
2 ⋅ γ ⋅ ( H + z0 + t0 ) ⋅
1
Kp
m
t = z 0 + t 0 + ∆t
3.3 einfach abgestützte Wand (S. 182 – 187)
Die Abstützungen (Anker oder Spriessen) stellen unverschiebliche Auflager dar. Die Verteilung
des aktiven Erddrucks ist in der Regel unbekannt, weshalb er „umgelagert“ wird, d.h. man
vergrössert die (nach Coulomb) dreiecksförmige Erddruckverteilung (welche sich bei
Verkippung um den Fusspunkt ergeben würde) um 30% und formt sie zu einem Rechteck um.
Dabei sollte hf/H > 0.7 sein. Wasserdruckkräfte werden nicht umgelagert!
Die Wand kann entweder „frei aufgelagert“ oder „voll eingespannt“ sein. Bei der freien
Auflagerung ist t’ = t’min resp. C = 0; die Verformungen am Wandfuss sind nicht gleich null. Das
System ist statisch bestimmt. Bei der vollen Einspannung hingegen sind die Verformungen am
Wandfuss gleich null und es ist die grösste statisch sinnvolle Einbindetiefe erreicht: t’ = t’max.
Das System ist einfach statisch unbestimmt; deshalb geht man davon aus, dass
Belastungsnullpunkt (BNP) und Momentennullpunkt (MNP) identisch sind. Die nachfolgende
Tabelle und Grafik zeigt die Unterschiede zwischen der freien Auflagerund und der vollen
Einspannung nochmals auf:
Seite 13 von 28
t’
C
δU
ΣMU
ΣMO
ΣMBNP
∆t
freie Auflagerung
tmin
0
≠0
0
0
≠0
(0.2…0.3)t’
volle Einspannung
tmax
≠0
0
0
0
0
Für den skizzierten homogenen Boden ohne Auflasten, Grundwasser usw. gelten die Formeln:
z0 =
H ⋅ K ah
1
1

(t0 ) 3 ⋅ γ ⋅  K ph − K ah  ⇒ t 0
6
m

C
∆t =
1
2γ ⋅ ( H + z0 + t0 ) ⋅ K p
m
t = z 0 + t 0 + ∆t
t0 ⋅ B =
1
K ph − K ah
m
ea = 0.65γ ⋅ H ⋅ K ah

 daraus Ea und h0
ea' = γ ⋅ H ⋅ K ah

1
1

e p = γ ⋅ t 0 ⋅  K ph − K ah  ⇒ E p = t 0 ⋅ e p
2
m

oberer Ersatzbalken :
untererErs atzbalken :
Ea = A + B
Ea ⋅ h0 = A ⋅ ( H − H A + z0 )

 daraus A und B

hf
Seite 14 von 28


 daraus C = 2 B
1
t 0 ⋅ B = t0 ⋅ E p 
3

C + B = Ep
3.4 mehrfach abgestützte Wand (S. 187/8)
Mehrfach abgestützte Wände sind an sich Durchlaufträger auf n Stützen und Auflagern. Das
System ist dadurch mehrfach statisch unbestimmt. Wenn aber mit vorgespannten Ankern
gearbeitet wird, so ändern diese ihre Kräfte zwischen den Bauzuständen nicht allzu stark, d.h.
wenn eine Ankerkraft aus BZ I bekannt ist, so wird diese Kraft im BZ II ungefähr dieselbe
Grössenordnung haben. Anders sieht es aus bei Spriessen; diese passen sich dem Erddruck an.
Weil die Erddruckverteilung aber sowieso sehr ungenau ist und die Modellbildung nach Blum
sehr hart ist, macht es Sinn, mit groben Näherungslösungen zu arbeiten. Damit werden
Schnittkräfte berechnet, welche erheblich von den tatsächlichen differieren können, aber eine
detailierte Modellbildung würde auch nur zu Scheingenauigkeiten führen und wäre sinnlos.
A ≈ ea ⋅ h
1
ea ⋅ h 2
12
1
M S ≈ ea ⋅ h 2
10
MF ≈
4. Sohldruckverteilung unter Fundamenten (Flachfundationen) (S. 191 – 202)
4.1 Allgemeiner Grundsatz (S. 191/2)
Das Fundament ist durch die äussere Last P und den Sohldruck q(x) belastet. Daraus ergibt sich
eine Biegelinie des Fundaments y(x) und eine Setzungsmulde y (x ) . Der allgemeine Grundsatz
fordert y ( x ) ≡ y ( x ) . Die Sohlpressung q(x) soll überall positiv, d.h. eine Druckspannung, sein.
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4.2 Relative Steifigkeit K (S. 192/3)
4.3 Geeignetes Berechnungsverfahren
4.4 Spannungstrapezverfahren (S. 193/4)
Das Spannungstrapezverfahren wird für endlich steife Fundamente angewendet. Die
Sohldruckverteilung wird linear angenommen; sie wird aus Gleichgewichtsbedingungen bestimmt, ohne Verträglichkeitsbedingungen zu berücksichtigen. Dies entspricht dem Bettungsmodulverfahren für EI → ∞. Der allgemeine Grundsatz ist nicht erfüllt. Das Spannungstrapezverfahren ist gefährlich und darf nur bei gleichmässiger Steifigkeitsverteilung angewendet
werden!
Solange die Resultierende R im Kern angreift, darf mit folgenden Formeln gerechnet werden:
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Falls R nicht innerhalb des Kerns angreift, entstehen Sohlpressungen q(x) < 0, was unsinnig ist.
Dann gelten folgende Beziehungen:
qmax durch Breite b
dividieren!!!
4.5 Bettungsmodulverfahren (Bettungszifferverfahren) (S. 194 – 198)
Das Bettungsmodulverfahren erfüllt den allgemeinen Grundsatz (falls q(x) > 0). Die Grösse
p (x ) ist dabei die gesamte Belastung des Balkens, die sich zusammensetzt aus der vertikal
nach unten gerichteten äusseren Last –p(x) und dem vertikal nach oben gerichteten Sohldruck
q(x). Für den letzteren Wert kann man mit Hilfe des Bettungsmoduls ks schreiben:
Flächenlast : q ( x ) = k s ⋅ y ( x )
Linienlast : q ( x ) = k s ⋅ b ⋅ y ( x )
Für die Berechnung wird weiter die sogenannt elastische Länge benötigt:
1/ 4
 4 ⋅ EI 
L=

 ks ⋅ b 
Die Differentialgleichung 4. Ordnung für das Biegemoment unter der Flachfundation ist der
Ausgangspunkt für das Bettungsmodulverfahren:
d 4 M 4M
+ 4 = − p ' ' ( x)
dx 4
L
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4.5.1 konstante oder linear mit x variable äussere Linienlast (S. 194/5)
Falls p(x) eine konstante oder linear mit x variable Linienlast ist, wird p’’(x) = 0 und obige
Gleichung erhält die Lösung:
M = A1 ⋅ eα ⋅ cos α + A2 ⋅ eα ⋅ sin α + A3 ⋅ e −α ⋅ cos α + A4 ⋅ e −α ⋅ sin α
α=
x
L
4.5.2 Anwendungsgrenzen (S. 195)
Belastung des unendlich langen
Balkens durch eine Einzellast P:
4.5.3 Der Bettungsmodul ks (S. 196 – 198)
Das Biegemoment ist nicht sehr sensitiv bezüglich des Bettungsmoduls, da dieses unter der
vierten Wurzel in die Berechnung eingeht. Der Bettungsmodul kann aus Platten- oder
Ödometerversuchen bestimmt werden:
Plattenversuch : k s ≈
ME
f ⋅m⋅D
Ödometerversuch : k s ≈
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ME
f ⋅b
4.6 Schlaffes und starres Fundament (S. 201/2)
Die Annahme eines schlaffen Fundaments ist nicht konservativ, weil sich ein Fundament nicht
völlig biegeweich verhalten kann und eine Durchbiegung stets Biegemomente bewirkt.
Beim starren Fundament treten rechnerisch unendlich grosse Spannungsspitzen auf, welche
aber durch plastische Deformationen abgebaut werden. Die Annahme eines starren Fundaments ist deshalb in der Regel zu konservativ. Falls gemäss §4.3 aber mit einem starren Fundament gerechnet werden kann, gelten folgende Beziehungen:
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5. Tiefgründung (S. 203 – 215)
5.1 Lasttransport in Pfählen (S. 206/7)
Die vertikale Last P wird im allgemeinen durch Mantelreibung Qm und Spitzenwiderstand Qs
des Pfahls aufgenommen:
P = Qm + Qs
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Im skizzierten Beispiel wird anfänglich in allen vier
Bodenschichten Mantelreibung mobilisiert werden. Die
weichen Tonschichten 1 und 3 werden infolge der
Mantelreibung eine vertikal nach unten gerichtete
Reaktionskraft erfahren und aufgrund dieser Belastung
konsolidieren.
Die
auf
der
unteren
Tonschicht
aufliegende Sandschicht wird diese Setzung verstärken,
und die Sandschicht selber wird wegen der sich
setzenden Tonschicht ebenfalls nach unten verschoben.
Sobald sich aber Boden relativ zum Pfahl nach unten veraber der Boden relativ zum Pfahl nach unten verschiebt, kann die Mantelreibung nicht mehr
mobilisiert werden – die Mantelreibung in den Schichten 1 bis 3 wird dadurch abgebaut! Es gilt
also P = Qs + QM4.
5.2 Tragfähigkeit von Rammpfählen (S. 207 – 210)
5.2.1 Mantelreibung Qm eines Einzelpfahles
K 0 = 1 − sin ϕ '
h ist hier die Höhe, auf der die Mantelreibung wirkt und muss nicht gleich der Pfahltiefe T sein!
K = K0 ist eine konservative Annahme. Es ist zu prüfen, ob die Mobilisationssetzung tatsächlich
eintreten kann (und wird) – dies ist vor allem bei stehenden Pfählen problematisch! z ist in der
Hälfte der Schicht mit der Mantelreibung zu wählen; bei mehreren Schichten mit Mantelreibung ist die Berechnung entsprechend aufzuteilen. Gemäss [LHAP] darf für raue Pfähle mit
δ ≈ φ’ gerechnet werden.
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5.2.2 Spitzenwiderstand Qs eines Einzelpfahles
5.3 Tragfähigkeit von Bohrpfählen (S. 207 – 210)
5.3.1 Mantelreibung Qm eines Einzelpfahles
Qm = Uhτ *
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5.3.2 Spitzenwiderstand Qs eines Einzelpfahles
5.3.3 Alternative Berechnungsverfahren (S. 207/8)
Bei der oben vorgestellten Bemessung von Bohrpfählen werden Versuchsergebnisse aus
Ramm- und Drucksondierungsversuchen benötigt. Diese sind unter Umständen aber nicht
vorhanden. Dann empfiehlt es sich, den Bohrpfahl gleich wie den Rammpfahl zu berechnen,
allerdings ist der Erddruckbeiwert K eher kleiner als bei Rammpfählen, weshalb K = Ka sinnvoll
erscheint.
5.4 Sicherheitsfaktoren (S. 208)
Sowohl Qm als auch Qs sind Bruchlasten; für zulässige Werte sind Sicherheiten F einzuführen.
Der Wert von F liegt normalerweise zwischen 1.3 und 1.5, häufig fordert man aber auch:
Pd ≤
Qm + Qs
2
5.5 Pfahlsetzungen (S. 210 – 213)
5.5.1 Methode nach Cassan (S. 210 – 213)
Die Methode nach Cassan ist im Buch beschrieben. Der Vorteil der Methode Cassan liegt darin,
dass vorgängig keine Tragfähigkeitsberechnung durchgeführt werden muss.
5.5.1 Methode U.S. Army Corps of Engineers
Die einfachste Art, die Setzung von Einzelpfählen zu berechnen, ist nach der Methode U.S. Army
Corps of Engineers. Für diese Methode muss vorgängig eine Tragfähigkeitsberechnung
durchgeführt werden, weil Mantelreibung und Spitzenwiderstand in die Berechnung eingehen.
Es handelt sich um einen semi-empirischen Ansatz. Die Gesamtsetzung des Pfahlkopfs setzt
sich aus den drei Komponenten Setzung des Pfahlkopfs durch Verkürzung, Setzung der Spitze
aufgrund Spitzendruck und Setzung der Spitze aufgrund Mantelreibung zusammen.
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Setzungen des Pfahlkopfs durch Verkürzung:
Im Sinne einer konservativen Berechnung empfiehlt es sich, αm = 0.67 anzunehmen. Für T ist
hier die gesamte Pfahltiefe einzusetzen.
Setzung der Spitze aufgrund Spitzendruck:
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Setzung der Spitze aufgrund Mantelreibung:
T entspricht hier der Schichtmächtigkeit, in der Mantelreibung mobilisiert wird. Diese kann
wesentlich kleiner sein als die Pfahltiefe!
5.6 Negative Mantelreibung (S. 208 – 210)
Wird der Boden neben einem bestehenden Pfahl wesentlich zusammengedrückt (z.B. durch
eine Zusatzbelastung q oder durch eine Grundwasserspiegelabsenkung), so stellt sich eine
Relativbewegung des Bodens gegenüber dem Pfahl nach unten ein. Dadurch werden
Reibungskräfte am Pfahl erzeugt, welche nach unten gerichtet sind und den Pfahl zusätzlich
belasten. Dieses Phänomen bezeichnet man als negative Mantelreibung. Sie kann betragsmässig nie grösser sein als die maximale mobilisierbare Mantelreibung!
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5.7 horizontale Belastung von Pfählen (S. 213 – 215)
Horizontale Belastungen können durch Schrägpfähle (insbes. bei Rammpfählen) oder durch die
seitliche Stützung des Pfahles durch das Erdreich abgebaut werden. Man unterscheidet zwei
Randbedingungen: (a) der Pfahlkopf ist verschieblich und frei drehbar und (b) der Pfahlkopf ist
voll eingespannt und verschieblich. In der folgenden Grafik stellt y die Auslenkung (Deformation) des Pfahles dar (resp. kshy entspricht dem Stützdruck des Bodens), M steht für die
Momentenverteilung. Die skizzierte Lösung gilt nur für T > 3L, wobei L die elastische Länge des
Pfahles darstellt. Ksh steht für den horizontalen Bettungsmodul, einer Ableitung aus dem
horizontalen Verformungsmodul Esh und dem Pfahldurchmesser D.
k sh ≈ 1.4 ⋅
Esh
D
 4 ⋅ EI 
L=

 ksh ⋅ D 
1/ 4
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6. Anhang
6.1 Zusammenstellung typischer Globale Sicherheitsfaktoren
6.2 Porenwasserdruck u und effektive vertikale Spannungen σ’v
Seite 27 von 28
6.3 Tragfähigkeitsproblem mit exzentrischem Lastangriff auf das Fundament
6.4 Voreichenregelung für Gelände- und Wandneigungswinkel
Seite 28 von 28

Zusammenfassung Grundbau

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