X Escola de Verão em Matemática MINICURSO

X Escola de Verão em Matemática
MINICURSO
Título do minicurso: Introdução às representações de grupos finitos.
Professor: F_abio Xavier Penna ([email protected]) - UNIRIO
1. Introdução e Objetivos
Considerando os propósitos deste minicurso, a Teoria de Representação
pode ser definida como o estudo das ações de um grupo em um espaço vetorial,
ou seja, a caracterização das formas como um grupo pode agir num espaço vetorial
e dos efeitos dessas ações. Apesar da definição simples, a teoria é rica em
resultados e tanto estes como as técnicas empregadas em suas demonstrações são
muito usadas em várias áreas da matemática, sendo a mais conhecida Álgebra de
Lie, e mesmo na química e na física atuais. Esse minicurso pretende ser uma breve
introdução à teoria e por esta razão restringe-se a abordar representações de
grupos finitos em espaços vetoriais de dimensão finita. Contudo, como dito por
Fulton e Harris em [2], “muitas ideias, conceitos e construções que
apresentaremos [para grupos finitos], são aplicadas no estudo de grupos de Lie e
álgebras de Lie”. Outrossim, este minicurso não tem apenas caráter didático e
como exemplos de aplicação da teoria de representações para grupos finitos
descrevemos as ações de grupos de simetria em sólidos de Platão. Portanto este
texto introdutório à Teoria de Representações também exemplifica como a teoria
pode ser aplicada em outras áreas da matemática.
O minicurso é voltado para alunos de graduação e suas notas seguem a
estrutura proposta por Serre em [3], com pré-requisitos modestos: álgebra linear
e teoria básica de grupos. Como é possível observar no item 3, as notas do
minicurso estão divididas em quatro capítulos que serão lecionados um por dia. O
primeiro capítulo apresenta definições básicas da teoria de representações. O
segundo descreve, de forma sucinta, a teoria de caracteres desenvolvida por
Frobenius no início do século XX e contém, dentre os resultados apresentados, o
importante Lema de Schur. O terceiro capítulo usa a teoria de caracteres para
determinar o número de representações irredutíveis de uma representação. No
último capítulo usamos esta decomposição para estudar eixos de simetria em
sólidos. O texto é permeado de exemplos com exercícios que convidam o leitor a
participar da construção da teoria e também o auxiliam na compreensão da
mesma. Além de apresentar a teoria de representações de grupos finitos de forma
simples e acessível ao aluno de graduação, o minicurso visa despertar no estudante
o gosto pela teoria e o desejo de continuar o seu estudo. Tendo em vista a utilidade
em áreas diversas da matemática como Teoria dos números, Geometria Algébrica,
Probabilidade e Análise Harmônica, além da já citada Álgebras de Lie, um curso
de introdução à Teoria de Representações faz-se importante mesmo para
estudantes que não sigam nesta linha de pesquisa matemática.
2. Pré-requisitos
Álgebra linear: matrizes, multiplicação de matrizes, traço, espaços vetoriais,
subespaços, soma direta, base, dimensão, dependência linear, transformações
lineares, isomorfismo, Teorema do Núcleo e da Imagem, produto interno, norma,
ortogonalidade.
Teoria básica de grupos: grupos, subgrupos, classes laterais, subgrupos normais,
grupo quociente, Teoria de Homomorfismos, Teorema de Lagrange, produto
direto, ações de grupos, órbitas, estabilizadores.
3. Distribuição de capítulo e seções.
1. Representações de grupos
a)
b)
c)
d)
Representações
Sub-representações
Homomorfismo de representações
Representações irredutíveis
2. Caracteres
a)
b)
c)
d)
Caracter de uma representação
Propriedades dos caracteres
Lema de Schur
Ortogonalidade de caracteres
3. Estrutura de uma representação
a)
b)
c)
d)
e)
Decomposição da representação regular
Função classe
Número de representações irredutíveis
Tabela de caracteres de um grupo
Decomposição Canônica
4. Simetrias em sólidos de Platão
a) Grupos de rotações
b) Eixos de simetria
Referências
[1] C. J. Bradley e A. P. Cracknell. The Mathematical Theory of Symmetry in Solids.
Oxford University Press, 1972.
[2] W. Fulton e J. Harris. Representation Theory, a first course. Graduate Texts in
Mathematics. Springer – Verlag, 1991.
[3] J. P. Serre. Linear Representations of Finite Groups. Graduate Texts in Mathematics.
Springer – Verlag. 1977.
[4] B. Simon. Represantations of Finite and Compact Groups. Graduate Studies in
Mathematics. MAS, 1996.