Sistemas Numéricos:

Sistemas Numéricos:
Evolução
Inscrição numa fonte
São Pedro das Águias (velhas), Granjinha
Escrita egípcia
Papiro Rhind, Museu de Londres.
Contando nas cavernas,. Foto: © Alek
Baptista/MUHPAN.
Introdução: origem dos números
1. Como surgiram os números?
2. Quais as eram as primeiras formas de contagem?
3. Como é que os números foram criados, ou, será que
eles sempre existiram?
l
Pintura Rupestre
April 1, 2010
© Celeste Duque
2
Introdução: origem dos números
– Os homens primitivos não tinham necessidade de
contar, pois o que necessitavam para a sua
sobrevivência era retirado da própria natureza - povos
recolectores, porque viviam da pesca, caça e recolha de
frutos e raízes...
l
April 1, 2010
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3
Introdução: origem dos números
– A necessidade de contar começou com o
desenvolvimento das actividades humanas, quando
deixou de ser nómada:
•
April 1, 2010
E sentiu necessidade de se fixar em determinada área
geográfica fosse pela abundância de recursos ou por
uma questão de melhor
l sobreviver aos sucessivos
ataques de tribos inimigas...
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Introdução: origem dos números
– Ao tornar-se sedentário viu-se na necessidade de efectuar
trocas de produtos.
•
•
April 1, 2010
Teve de encontrar uma forma de contar os objectos que iria
trocar por outros
Foi nessa altura que a humanidade começou a construir o
conceito de número matemático.
l
© Celeste Duque
5
Introdução: origem dos números
– As primeiras formas de agricultura de que se tem notícia,
foram criadas há cerca de dez mil anos na região que hoje
é denominada Oriente Médio.
•
A agricultura passou então a exigir o conhecimento
–
–
–
–
April 1, 2010
do tempo,
das estações do ano le
das fases da Lua e
assim começaram a surgir as primeiras formas de
calendário.
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Calendário Lunar
6
Sistemas numéricos
Diversas civilizações da Antiguidade
desenvolveram os seus próprios sistemas
de numeração.
– São inúmeros os vestígios deixados ao
longo dos tempos, por exemplo os sistemas
l
de numeração dos Egípcios, Gregos,
Romanos, Chineses...
– Alguns destes sistemas perderam
completamente a sua utilidade, outros, como
é o caso da numeração romana continuam a
ser utilizados, embora com menor
frequência.
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Mesopotâmia, a escrita cuneiforme registava
os números como conjuntos de incisões em
placas de argila: triângulos cursivos
representando as dezenas e traços em forma
de Y para as unidades
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Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade
Diversas civilizações da Antiguidade, além da egípcia, desenvolveram seus
próprios sistemas de numeração. Muitos são os vestígios deixados pelos
povos primitivos, por ex.: desenhados (pinturas rupestres, papiros), traçados
em barro, esculpidos em madeira, pedra ou metal (moedas...).
Moeda Chinesa, época Medieval
Moeda Romana com 1700 anos
Época Ptolomaica, esfinge de Alexandre “O
Grande”, 323-305 a.C - Egipto
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Calendário Maia
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Tablete mesopotâmico.
Foto: The British Museum.
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Sistemas numéricos: vestígios da Antiguidade
– Assim, por exemplo, na contagem do tempo, agrupamos segundo a
base sexagesimal (60 segundos compõem 1 minuto; e 60 minutos
compõem 1 hora) e isso é consequência da numeração desenvolvida na
Mesopotâmia, há mais de 4000 anos.
Para saber mais: http://www.biotrust-ecoenergy.com/473.html
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Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
na actualidade
– Outros vestígios de sistemas numéricos antigos - por. ex.: a
numeração Romana - podem ser observados nos mostradores
de relógios, na indicação de datas, na numeração de
capítulos de livros ou mesmo para diferenciar pessoas famosas
cujo nome é igual (reis, papas...).
Papa Benedicto XV
Papa Benedicto XVI
Relógio de fachada. Pormeno: IIII em
vez do convencional IV.
Relógio Big Ben, Palácio de Westminster, Londres, que tem
a numeração romana em minúsculas, “script” gótico. Com o
4 convencional: iv.
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Uso de sistemas numéricos da Antiguidade,
na actualidade
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Sistema numérico
Babilónico
Sítio arqueológico, cidade histórica da Babilónia
Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Babil%C3%B4nia
O Império Babilónico durou de 1950 a.C. a1200 a.C.).
Habitaram na Ásia e são um dos primeiros povos da Antiguidade a
utilizar símbolos numéricos.
– O seu sistema numérico baseava-se num sistema sexagesimal.
– Os números eram representados por caracteres cuneiformes, i.e., em
forma de cunha, que eram gravados em placas de argila que depois eram
cozidas, podendo ser reaproveitadas caso os dados nelas contidos não
fossem de extrema importância.
• A escrita cuneiforme era de difícil execução e interpretação, já que possuía
mais de 2000 sinais.
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Sistema numérico Babilónico
Os babilónios usavam seu
conhecimento de aritmética e
álgebra simples para expressar
– comprimentos e pesos,
– trocar moedas e mercadorias,
– calcular juros simples e
compostos,
– impostos, e a
– proporção de uma colheita que
deveria ir para o fazendeiro,
para a igreja e para o Estado.
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Sistema numérico Babilónico
Também usavam a matemática na
– divisão de campos e de
– heranças, e em
• projectos de canais,
• represas e
• sistemas de irrigação;
– Pensa-se que os problemas
económicos que enfrentaram foram o
estímulo para desenvolvimento da
matemática. (Kine, 1990)
Numbers on a land purchased, 2400 a.C., Babilónia
April 1, 2010
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Sistema numérico Babilónico
A grande utilidade desta escrita foi ao
nível da:
– contabilidade e administração, pois
• facilitava o registo de bens,
• marcas de propriedade,
• cálculos e transacções comerciais.
– Os símbolos numéricos utilizados eram
os que se podem observar na figura:
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Sistema numérico Babilónico
Tinham um símbolo diferente para a
– Unidade;
– Dezena;
– Mas não tinham um símbolo para o zero, assim, por
exemplo:
• O número 60 escrevia-se exactamente como o 1,
• o que para nós é muito confuso.
Detalhe, portal Ishtar
– Por exemplo, 61 escreve-se como 2.
April 1, 2010
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Sistema numérico Babilónico
– Pensa-se que os Babilónios sabiam
distinguir o número a que se referiam
de acordo com o contexto do
problema.
• Escritos Babilónicos provam que esta
civilização já possuía conhecimentos
matemáticos avançados.
• Neles aparecem uma série de
notações que se inserem num sistema
de numeração sexagesimal.
April 1, 2010
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Sistema numérico Babilónico
– O uso do número 60 como base
para contar e dos seus divisores
• como a dúzia: 12 = 60/5
– era utilizado pelos babilónios há
milhares de anos nos seus cálculos
quotidianos e também pelos
sacerdotes nos seus cálculos
astronómicos e de quem dependia a
contagem do tempo.
– Mais um exemplo:
April 1, 2010
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Símbolos Numéricos Babilónicos (1-59)
April 1, 2010
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Símbolos Numéricos Babilónicos (1-1000)
April 1, 2010
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
Por exemplo, 1,45,29,36 representam números do sistema
sexagesimal.
1x60! + 45x60" + 29x60 + 36
= 1 x 216000 + 45 x 3600 + 29 x 60 + 36
= 216000 + 162000 + 1740 + 36
A notação decimal é: 379776
April 1, 2010
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
– Exemplo:
1,45,29,36 em numerais Babilónicos
– Uma vez que não tinham o número zero, os babilónios, em
sua substituição, utilizavam um espaço em branco para
marcar a não existência de um dígito num determinado
lugar do montante.
• Exemplo:
– 4,0,8 em numerais da Babilónia
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
– Outro exemplo:
April 1, 2010
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Sistema numérico Babilónico: Exemplos
– Um exemplo muito simples:
April 1, 2010
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Sistema numérico Babilónico: Regras
Para saber mais: http://scienceray.com/mathematics/the-mayan-and-babylonian-ancient-number-systems/
April 1, 2010
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Tabela de multiplicação babilónica do 9
Para Saber mais: http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/grant.htm
April 1, 2010
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Cálculo do quadrado de números
babilónicos > 59 e do cubo de números > 32
– Entre algumas das tábuas encontradas perto do rio Eufrades, datadas
de cerca de 2000 a.C., durante o período Hamurábico. Encontram-se as
que apresentavam o cálculo do quadrado de números maiores que 59. E
o Cubo de números maiores que 32.
82 = 1,4 [(1 x 601) + (4 x 600)] até chegar a
592 = 58,1 [(58 x 601) + (1 x 600)] (ver imagem).
The famous 'root (2)' tablet from the Yale
Babylonian Collection.
Para Saber mais:
http://depts.clackamas.cc.or.us/banyan/1.2/gra
nt.htm
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia
Perdidas há séculos nas florestas tropicais e matas da
América Central, algumas dezenas de cidades mortas
ilustram um dos mais misteriosos episódios da História.
– Os historiadores e arqueólogos designaram-nas de
Civilização Maia.
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia
Os Maias tinham como base não a dezena, mas a vintena
e as potências de vinte.
Ex.: 365 representado numa base de 10
– Ao usar a vintena a cultura Maia conseguiu representar por
meio de símbolos figurativos realidades numéricas,
• foram eles quem escreveram as datas mais antigas que se
registam na história da humanidade.
Números Maia de 0 a 10
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia
Criaram um sistema
baseado na posição dos
símbolos, que incluía a
utilização do zero 0
– para indicar que não
existem unidades deste
valor,
• um símbolo ovalado que
aparece em numerosos
vestígios ou códices maias
– bastante semelhante ao
símbolo zero, da notação
científica: !.
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia
A razão, desta contagem, é
devida ao hábito que os seus
ancestrais tinham de contar não
apenas com
– os dez dedos das mãos, e
com
– os dez dedos dos pés.
• A escrita é orientada na
horizontal até ao número 19.
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia
– A partir do 20 os números eram representados considerando
a posição do algarismo, parecido com o sistema de
numeração que utilizamos,
• com uma diferença importante,
– eram escritos na vertical, o número 20 escreve-se:
(Imenes, 2002)
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Exemplos
– Se tivéssemos mais posições verticais continuaríamos a multiplicar
da mesma forma, ficamos com:
• Outro exemplo:
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Exercício
– E os números seguintes consegue dizer quais são?
(Imenes, 2002)
• Os dois pontos, podiam ser o 2... mas não é!
– Repare que na figura com números de 1 a 19 o dois é
representado com dois pontos lado a lado.
• Quais são então estes números?
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Exemplos
– Trata-se dos números 21, 25, 28 e 30:
(Imenes, 2002)
(1+1x20)
April 1, 2010
© Celeste Duque
(5+1x20)
(8+1x20)
(5+5+1x20)
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Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Os Maias tinham um vasto conhecimento de astronomia e,
para facilitar cálculos nesta área,
– fizeram uma mudança a partir da terceira casa do seu
sistema numérico, i.,e. do
• número 360 em diante os agrupamentos deixam de ser de
vinte em vinte. A terceira casa passa a ser o produto de 18
por 20 (18x20)
– que é igual a 360,
– Ao invés de 20 x 20.
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Isto porque:
– O ano Maia estava dividido em 18 meses com 20 dias cada. Então,
não consideravam as posições 200, 201, 202,... mas sim
• 200, 201, e a partir daí salta para:
• 201#18 (=360), 202#18 (=7 200), 203#18 (=144 000)
• Os numerais eram escritos verticalmente e nos lugares "vazios"
punham o sinal ovalado:
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia (para a 3ª casa: "360)
Se comparado com o nosso sistema, que é decimal, o
número
482 # 4 x 10" + 8 x 10$ + 2 x 100 = 482.
• Para os Maias a base era 20, logo, multiplica-se por uma
potência de 20.
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Curiosidades Matemáticas: Os 24 factores de 360
1 x 360 = 360
2 x 360 = 180
3 x 120 = 360
4 x 90 = 360
5 x 72 = 360
6 x 60 = 360
8 x 45 = 360
9 x 40 = 360
10 x 36 = 360
12 x 30 = 360
15 x 24 = 360
18 x 20 = 360
April 1, 2010
© DJ Jeffery, ULV, 2003 (Para saber mais: http://www.nhn.ou.edu/~jeffery/astro/astlec/lec004.html )
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Sistema numérico Maia: Exercício
Vejamos o exemplo de um número de três dígitos. Vamos
partir para a terceira ordem da numeração Maia. Dê um
palpite: como você acha que os maias escreviam 467?
– Não sabe?
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Exercício
Então vamos juntos:
– Na terceira casa, acima das duas que já vimos até aqui, os Maias
escreviam os números que eram produto da multiplicação de 20
por 20. Dessa forma, para representar o número 467, por
exemplo,
• Na casa de cima (1ª casa) colocavam um ponto, que significava
– 1x20x20, ou seja, 400.
• Na casa do meio (2ª casa), desenhavam três pontos,
– o que significava 3x20, ou seja, 60.
• E, por fim, na última casa (3ª casa), desenhavam uma barra (5) e
dois pontos (2), o que representava sete (7). Veja na figura a
seguir:
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Exercício
E este número, qual é?
• 2012
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Regra geral
Sabendo que os números se representam da seguinte
forma:
E que a regra é:
Torna-se fácil representar o número abaixo:
April 1, 2010
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Calendário Maia
A mudança de contagem a partir
da 3ª casa surgiu, provavelmente,
porque os sacerdotes –
astrónomos – quiseram que esta
tivesse um número aproximado
ao número de dias do Ano Maia.
– O uso da potência de base 20
corresponde ao factor
multiplicativo de cada casa.
Calendário Maia
Para saber mais:
http://livroenigmadosdeuses.blogspot.com/2009/
09/2012-verdade-sobre-as-profecias-e-o.html
April 1, 2010
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Espiral da Numeração Maia
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia
No desenho ao lado:
– A segunda coluna da esquerda, de cima
para baixo, contém os números 9,9,16,0,0,
que indicam
• 9 à 144.000+ 9x7.200 + 16X360+ 0 + 0 =
1.366.560.
• Na terceira coluna estão os números
9,9,9,16,0 representando 1.364.360.
Imagem original de cor preta e vermelha
(Morley, 1915, p. 266)
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Símbolos (1-7200)
April 1, 2010
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Sistema numérico Maia: Exemplos
April 1, 2010
© Celeste Duque
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Sistema numérico Maia: Exemplos
April 1, 2010
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49
Sistema numérico Maia: Exemplos
Número representado numa base de 20
5125 = 12x202 + 16x201 + 5x100
Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia
April 1, 2010
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Sistema numérico Chinês: Primitivo
“Em 1899 foi feita a maior descoberta arqueológica na aldeia de Xiao Dun,
no distrito da província de An-Yang.
Descobriram-se centenas de ossos e carapaças de tartaruga que tinham
inscrições em caracteres chineses antigos.
A localidade tinha sido a capital dos reis da última dinastia Shang (também
conhecida como dinastia Yin), do século XIV a.C..
Os últimos doze reis governaram ali até cerca de 1045 a.C. e os ossos de
tartaruga eram utilizados em rituais de cerimónias religiosas.
Eram colocadas questões num dos lados da carapaça da tartaruga e no
lado da carapaça eram então sujeitos ao calor do fogo e as rachas que
surgiam eram interpretadas como as respostas, dadas pelos antepassados,
às questões colocadas.”
(Para saber mais: http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html)
April 1, 2010
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Sistema numérico Chinês: Primitivo
A importância desta descoberta, foi
permitir um maior conhecimento sobre
o sistema numérico da antiga China.
– Muitas das inscrições eram numéricas
e registavam o número de homens
que perderam a vida na guerra, que
foram feitos prisioneiros, o número de
sacrifícios feitos, o número de animais
mortos numa caçada, etc. O sistema
numérico utilizado baseava-se no
sistema decimal e permitia a adição e
a multiplicação. Nesta imagem podem
ver-se os símbolos utilizados naquela
época.
April 1, 2010
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Sistema numérico Chinês: Primitivo -Exemplos
O número 4359 é a representação
gráfica da natureza aditiva, senão vejase, utiliza o
– símbolo que equivale a 4000;
• Adiciona-lhe
– Símbolo que equivale a 300;
4000 + 300 + 50 + 9
• Adiciona-lhe
– Símbolo que equivale a 50;
• Adiciona-lhe
– Símbolo que equivale a 9;
5000 + 80 + 10
Mas por não contemplar o zero veja
como se representa o número 5080.
April 1, 2010
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Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução
•Tal como já foi afirmado, acredita-se que este sistema de
numérico tinha uma segunda finalidade, talvez mais
profunda, ligada à religião e profecias muito utilizada pelos
sacerdotes da época.
– Em finais do séc. IV a.C. surge uma segunda forma de
escrita que visa colmatar algumas falhas em termos
numéricos,
• mas também esta não contemplava o zero.
April 1, 2010
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Sistema numérico Chinês: Primitivo - Evolução
Os Chineses Primitivos usavam numerais que escreviam em
folhas de bambu com tinta preta.
– Como se pode observar na imagem abaixo, a
• unidade é representada por um traço que tanto pode estar orientado na
horizontal como na vertical o que leva à confusão entre o 3 e o 21, ou 12
ou mesmo 111.
Numeração chinesa, séc. IV a.C.
Representação do número 1234
Representação do número 45698
Representação do número 60390
Saiba mais em : http://www.gap-system.org/~history/HistTopics/Chinese_numerals.html
April 1, 2010
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Sistema numérico Japonês/Chinês
Entre os sistemas de numeração mais antigos encontra-se
o utilizado pelos chineses e adoptado mais tarde pelos
japoneses.
– No que diz respeito às matemáticas chinesas, seria errado
considerá-las um fenómeno isolado.
April 1, 2010
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Sistema numérico Japonês/Chinês
Existiram sempre, pelo menos desde a Dinastia Han
(contemporâneo do Império Romano), relações comerciais e
culturais consideráveis com outras regiões da Ásia e mesmo com a
Europa.
– A ciência Indiana e, mais tarde, a ciência árabe tiveram influência
sobre a China e, por outro lado, a ciência chinesa deixou a sua marca
na ciência de outras sociedades.
• Considera-se, por exemplo, que o sistema decimal e os números
negativos, que podem ter vindo da China para a Índia.
April 1, 2010
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Sistema numérico Japonês/Chinês
Actualmente, o sistema decimal dos Chineses apresenta treze sinais
fundamentais, respectivamente associados às nove unidades e às
quatro primeiras potências de dez (10, 100, 1000, 10000).
– Sinais numéricos cujo traçado mais simples e mais comummente
empregue é o seguinte:
April 1, 2010
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Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
Por exemplo:
Mais exemplos:
1000
3x 100
4x 10
7
Isto é, 1347.
April 1, 2010
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Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
April 1, 2010
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Sistema numérico Japonês/Chinês: Exemplos
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61
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
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Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
April 1, 2010
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63
Sistema numérico Japonês/Chinês: Actual
April 1, 2010
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Sistema numérico Egípcio
Os Egípcios inventaram uma escrita e um sistema de
numeração escrita.
– Essa escrita foi autóctone e desprovida de qualquer
influência estrangeira.
– "Não apenas os sinais hieroglíficos que ela utiliza são todos
tirados da fauna e da flora do Nilo”;
– Tratava-se de um sistema numérico décimal.
April 1, 2010
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Sistema numérico Egípcio: Símbolos numéricos
April 1, 2010
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66
Sistema numérico Egípcio
April 1, 2010
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67
Sistema numérico Egípcio
– A origem do algarismo 1 foi
"natural": a barra é o sinal
gráfico mais elementar que o
ser humano possa imaginar
para a representação da
unidade.
– A dezena constituiu o
desenho de um cordão que,
outrora, deve ter servido para
unir os bastonetes num
pacote de dez unidades.
April 1, 2010
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Sistema numérico Egípcio
A numeração escrita egípcia foi fundada numa
base rigorosamente decimal.
April 1, 2010
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Sistema numérico Egípcio
•Outra designação para cada um dos símbolos
April 1, 2010
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70
Sistema numérico Egípcio
Mais tarde, os egípcios inventaram um sistema de
numerais, sem usar hieróglifos, que
– registavam da direita para a esquerda.
April 1, 2010
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Sistema numérico Egípcio: Potências
April 1, 2010
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Sistema numérico Egípcio: Exemplos
April 1, 2010
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Técnica de cálculo dos Egípcios
Com a ajuda deste sistema de numeração, os
egípcios conseguiam efectuar todos os cálculos que
envolviam números inteiros.
– Para isso, empregavam uma técnica de cálculo muito
especial: todas as operações matemáticas eram
efectuadas através de uma adição.
• Por exemplo, a multiplicação
– 13 x 9 indicava que o 9 deveria ser adicionado treze vezes.
13 * 9 = 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9 + 9
April 1, 2010
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Técnica de cálculo dos Egípcios
A tabela abaixo ajuda a compreender como os egípcios concluíam a
multiplicação:
– Eles procuravam na tabela um total de 13 parcelas;
• era simplesmente a soma das três colunas destacadas:
– 1 + 4 + 8 = 13
• O resultado da multiplicação 13 * 9 era a soma dos resultados desta
três colunas:
– 9 + 36 + 72 = 117
– Os egípcios eram realmente muito habilidosos e criativos nos
cálculos com números inteiros.
• Mas, em muitos problemas práticos, eles sentiam necessidades de
expressar um pedaço de alguma coisa através de um número.
– E para isso os números inteiros não serviam.
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Sistema numérico Egípcio: Fracções
April 1, 2010
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Sistema numérico Hindu
O desenvolvimento do sistema numérico actual começou
no vale Hindu.
– Encontram-se testemunhos com 2200 anos gravados em pilares.
– Existiam os nove símbolos diferentes, que não se baseavam em
letras de nenhum alfabeto nem em pictogramas.
• Tal como os restantes dígitos, o zero também foi evoluindo.
– No início era apenas um ponto que representava uma coluna
vazia num ábaco.
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Sistema numérico Hindu
Actualmente aceitamos naturalmente os números que
conhecemos. No entanto, nem sempre foi assim.
– Um milhão, um bilião, um trilião...
• Sabemos que é possível contar para além de um milhão e
que podemos exprimir qualquer número que queiramos.
Contudo, isto desconcertou os eruditos durante milhares de
anos.
– A chave consiste em usar o símbolo para o zero, 0,
• inventado pelos hindus na Índia, provavelmente, entre 400 e
800 d.C..
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Sistema numérico Hindu:
O Ábaco
Foi a partir do ábaco que os hindus desenvolveram o
sistema posicional de numeração.
– $%$& ' abax, que significa “mesa de cálculo”, pensa-se que a
sua origem provável foi na Mesopotâmia, há mais de 5.500
anos.
– Colunas imaginárias baseadas em potências de dez
representavam as colunas do ábaco
– O valor posicional permite que qualquer dos dígitos represente
um valor diferente.
• O algarismo 5 pode representar cinco unidades;
• 50 unidades (cinco dezenas),
• 500 unidades (cinco centenas), e assim sucessivamente.
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Sistema numérico Hindu: O Ábaco
– O ábaco mais antigo e sofisticado, foi usado por mercadores
babilónios. Consistia numa simples tábua onde pequenas pedras
se dispunham em colunas paralelas para representar os
números.
Ex.: Representando o número 6302715408
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Sistema numérico Hindu: O Ábaco
– O ábaco romano, mais sofisticado, era formado por uma base
em metal, com ranhuras paralelas nas metades superior e inferior
e pequenas bolas: uma em cada um das ranhuras superiores e
quatro em cada uma das ranhuras inferiores. Cada bola numa
ranhura superior valia 5 e cada bola numa ranhura inferior valia
1.
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Numeração Hindu - O Ábaco
A partir da posição inicial (a), o registo dos números era feito
deslocando-se bolas para a zona central do ábaco (b) – neste
exemplo está representado o número 5648.
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O Ábaco: alguns exemplares
Ábaco Chinês - Suan Pan
Ábaco chinês
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Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe
Foram os Hindus (do
Norte da índia) que
começaram a usar os
• símbolos numéricos
que deram origem aos
• numerais que
utilizamos,
actualmente.
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Evolução do Sistema numérico Hindu/Árabe
Numerais Brahami (fila inferior), Índia, séc. I a.C.
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Sistema numérico Hindu: Nome dos algarismos
– Cada algarismo tinha um nome:
– Quando foi criada pelos hindus a base 10, cada dezena,
cada centena e cada milhar, recebeu um nome individual:
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Sistema numérico Hindu: Evolução das técnicas
de Cálculo
Com o desenvolvimento dos nove dígitos, do zero e do
valor posicional surgiram os cálculos com os símbolos sem
o auxílio do ábaco.
– Nas suas relações comerciais com os árabes, os Hindus
terão usado esses sinais numéricos, que os árabes
adoptaram e espalharam pelo mundo, chegando à Europa.
– Contudo, no início, este sistema ainda não era perfeito.
Efectuavam cálculos facilmente, mas não tinham símbolo
para designar o zero.
• Por exemplo, o número 507 era representado por 5 7,
ficando um espaço entre o 5 e o 7 que correspondia ao
“nada” das dezenas.
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Expansão do Sistema numérico Hindu
O matemático árabe Musa Al-Khwarizmi estudou o sistema hindu e em
825 d.C. explicou-o num livro intitulado “Um livro sobre adição e
subtracção segundo o método hindu” (tradução livre).
– Contudo, este conhecimento adquirido pelos Árabes apenas
chegou à Europa ocidental trezentos anos mais tarde.
– Os primeiros símbolos dos números indianos, descobertos numa
gruta em Nasik, perto de Bombaim, na Índia, têm, pelo menos,
1800 anos. Em baixo observa-se o resultado da evolução desses
números na Europa em 1300 d.C..
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Sistema numérico Grego
Os números que usamos no nosso sistema chegaram à Europa
ocidental através da civilização árabe.
– Inicialmente os Árabes escreviam os números palavra a palavra, mesmo nos
cálculos complexos. Alguns matemáticos usavam um antigo método grego
de representação de números com letras, que puseram de lado quando
descobriram o sistema hindu de numeração.
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Panteão, Templo dedicado à deusa Atenas, Atenas - Grécia
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Sistema numérico Grego: Símbolos numéricos
Como se pode observar das figuras, o princípio de contagem é muito
similar ao utilizado pelo sistema numérico Romano.
– Os número conseguem-se por adição atribuindo-se um sinal gráfico a
cada um deles.
– Sendo a sequência a seguinte:
• a sequência é a mesma: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000, 5000, 10000,
50000.
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Sistema numérico Grego: Exemplo
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Sistema numérico Grego: Tabuada
“This is a multiplication table dating from ca.100
AD. The ancient Greek numbering system was
based on their alphabet of 24 letters plus three
other symbols borrowed from the alphabets of
trading partners.
The numbers 1 through 10 are written across the
top and down the left column in the same pattern
we often see today. They continued using
additional letters for multiples of 10 and 100.
See if you can find these examples in the table.”
Ancient greek numbers, 100 d.C. (Para saber mais:
http://curvebank.calstatela.edu/popdowns/th/th12/th12.htm))
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Sistema numérico Grego: Tabuada de Pitágoras
Trata-se da tabuada de multiplicação que permanece actual.
Pitágoras, filósofo e matemático grego, século VI antes de Cristo,inventou esta tabela, na qual é possível efetuar todas as operações de multiplicação
existentes na velha tabuada. Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
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Sistema numérico Grego: Fibonacci
O italiano Fibonacci foi o responsável pela introdução do
sistema de numeração hindu na Europa.
– Viveu entre 1170 e 1250.
– Na sua juventude viajou bastante pela África, Médio
Oriente e, provavelmente, pela Índia.
– Anos mais tarde, Fibonacci participou em vários concursos
de matemática e tornou-se famoso como matemático.
• Em 1202 Fibonacci publicou o livro “Liber abaci”. Iniciou o seu
livro demonstrando como
– "com os nove símbolos hindus e com o símbolo árabe 0 se
escreve qualquer número" e a seguir explicou como podem ser
usados na aritmética.
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Sistema numérico Grego: Fibonacci
Sequência de Fibonaci
Qual é o número?
• Fibonacci introduziu na Europa uma sequência de números
que viria a ter seu nome. Estes são alguns dos primeiros
números de Fibonacci.
– Consegue descobrir a regra de formação desta sequência?
1,
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1,
2,
3,
5,
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8,
13, ...
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Sistema numérico Romano
Os Romanos foram um povo que, em poucos séculos,
atingiu um elevado nível técnico, que foi desenvolvendo
porque ao conquistar territórios aprendia com os
colonizados. Apesar disso,
– ao nível da numeração e, durante toda a sua existência,
manteve um sistema de contagem que se revelou
profundamente complicado e pouco operacional, o que
denota um certo arcaísmo ao nível do pensamento.
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Sistema numérico Romano-Romano
– Mais antigo documento Romano que exibe a representação
da escrita de número muito grande. (Sistema RomanoRomano)
Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
• Algarismo (((I))) representava 100.000
• Sofrendo alterações
Sistema Romano Moderno
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C = 100.000
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Sistema numérico Romano: Evolução
Tanto quanto se sabe, este era o único sistema de
escrita numérica usado na antiga Roma e Europa, até
por volta de 900 d.C., altura em que a numeração
árabe, originada pelos Hindus, começou a ser usada.
Pensa-se que isso se deve ao facto de os Árabes terem
alargado as suas Rotas Comerciais e posteriormente
expandido o seu domínio territorial.
Para saber mais:
http://www.skypoint.com/members/waltzmn/Mathematic
s.html#Ancient
Para saber mais: http://bethruffo.blogspot.com/
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Sistema numérico Romano: Primórdios
Apesar destes numerais serem suficientes para escrever
qualquer número sem confusões, acontecia haver números
com um elevado uso de símbolos gráficos
• A título de exemplo apresenta-se o número: 5878
MMMMMDCCCLXXVIII.
• As multiplicações e divisões eram praticamente
impossíveis
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Sistema numérico Romano
Como a maioria dos sistemas da Antiguidade, a
numeração Romana foi regida, sobretudo, pelo princípio da
adição dos seus algarismos
1
5
10
50
100
500
1000
&
%
$
#
"
D
!
• eram independentes uns dos outros. A sua justaposição
implicava geralmente na soma dos valores correspondentes:
CLXXXVII = 100 + 50 + 10 + 10 + 10 + 5 + 1 + 1 = 187
MDCXLIX = 1000 + 500 + 100 + (50-10) + (10-1) + 1 = 1649
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Sistema numérico Romano: Regras
Sistema numérico Romano, tornou-se bastante mais complexo
quando se introduziram as regras que ainda hoje vigoram:
1. Qualquer símbolo numérico apenas se pode repetir num máximo
de três vezes.
2. Para obter um algarismo maior, deve-se adicionar à direita, os
símbolo numérico respectivo. Por ex.:
6
7
8
60
600
1100
VI
VII
VIII
#X
DC
MC
3. Pelo que tem de se subtrair (colocado à esquerda) o valor
numérico conveniente para perfazer o total pretendido. Por ex.:
4
9
40
90
400
900
IV
IX
XL
XC
CD
CM
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Regras: Numeração Romana
•
Todo símbolo numérico:
– com um traço horizontal sobre ele representa o milhar e
•
o símbolo numérico que apresenta
– dois traços sobre ele representa o milhão.
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Sistema numérico Romano: Símbolos
Os romanos usaram o alfabeto para representar números.
– Ainda hoje a numeração romana é usada.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
&
0
-
,
%
+
*
)
(
$
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
/
.
$-
$,
$%
$+
$*
$)
$(
$$
30
40
50
60
70
80
90
100
500
1000
$$$
$#
#
#$
#$$
#$$$
$"
"
'
!
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Numeração Romana: Exemplos
• Exemplos:
!!"### = 28
!!!#! = 39
$$$!$"## = 397
%&$$$!"###'= 1818
%%!'= 2010
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Numeração Romana: Cálculos
Efectuar cálculos com numeração romana, com múltiplos
dígitos, é uma árdua tarefa, extremamente trabalhosa.
• Apesar disso “o sistema de numeração romana era o
sistema predominante na Itália até o século XVIII e em
outros países da Europa Ocidental ele persistiu até o
século XVI."
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Numeração Romana: Cálculos
Os algarismos Romanos não são sinais que sirvam para
efectuar operações aritméticas.
– São abreviaturas destinadas a inscrever e reter os números.
Assim, e tal como já foi referido os Romanos utilizavam os
Ábacos para efectuar os seus cálculos.
• Introduzindo algumas alterações no formato inicial,
nomeadamente dotaram o Ábaco de um pé de suporte,
tornando-o numa mesa de cálculo ainda mais prática de
utilizar...
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Numeração Árabe versus Babilónica
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Evolução sistemas de numeração
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Sistema Numérico Hindu/Árabe: Evolução
– Na primeira linha da imagem, numerais de há
1000 anos.
– Na segunda, há 800 anos.
– Na terceira, há 600 anos.
– Na última, numeração actual.
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Evolução:
Sistema de numeração Hindu/Árabe
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Sistemas numéricos: Comparação (séc. VI- XV)
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Evolução da Numeração Árabe:
Escrita cursiva
– Na seguinte imagem podemos observar a escrita cursiva dos
algarismos de 1 a 4 e a sua respectiva explicação:
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Evolução da Numeração Árabe:
Escrita cursiva
– Na imagem abaixo apresenta-se o quadro de escrita dos algarismos
árabes de 1 a 9, incluindo o 0, onde se pode observar a contagem dos
respectivos ângulos:
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Numeração Árabe:
Representação gráfica/fonética
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Numeração Árabe:
Representação Polinomial
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Referências bibliográficas
Badiou, A. (2008). Number and Numbers. Cambridge: Polity Press.
Boye, C. B. (1915). An Introduction on the Study of Maya Hyeroglyphics.
Washington: Carnegie Institution.
Crato, N. (2008). A Matemática das Coisas. Lisboa: Gradiva.
Imenes, L. M. P. (2002). A numeração indo-arábica. Colecção “Vivendo a
matemática”. São Paulo: Scipione.
Jesus Caraça, B. (1984). Conceitos Fundamentais da Matemática. Lisboa:
Livraria Sá da Costa Editora.
Kline, M. (1990). Mathematical Thought from Ancient to Modern Times. Vol. 1.
New York: Oxford University Press.
Morley, S. G. (1915). História da Matemática.Ed. Edgard Blücher Ltda., pág.
146.
Vygodsky, M. (1972). Mathematical Handbook: Elementary Mathematics.
Moscow: MIR Publishers.
Wikipédia (2010). Maias. URL: http://pt.wikipedia.org/wiki/Civilização_maia
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