Mathematik für Klasse 6 Bruchrechnung Teil 1 Friedrich W

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Mathematik für Klasse 6
Bruchrechnung
Teil 1
5 Trainingseinheiten zum Unterricht
Datei Nr. 10220
Friedrich W. Buckel
Stand 12. Januar 2006
INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK
Inhalt
Vorwort
1. Training:
Bruchteile von Schokolade und Pizza
1
2. Training:
Erweitern von Brüchen
4
3. Training:
Kürzen von Brüchen
12
4. Training:
Bruchteile von Maßeinheiten
15
5. Training:
Gemischte Zahlen
24
Lösungsteil für alle Aufgaben
27 - 37
10220 Klasse 6
Einführung Brüche – Erweitern und Kürzen
1
Vorwort
Das Lesen und Verstehen eines solchen Textes ist für Schüler der Klassenstufe 6
oftmals noch zu schwer. Und da meine Hilfe gerne von Eltern in Anspruch
genommen wird, deren Kinder Probleme in Mathematik haben, ist hier ein Vorwort
notwendig.
Wenn ein Kind in dieser Altersstufe sich in Mathematik schwer tut, kann es viele
Ursachen haben.
Das Kind hat zu wenig Grundlagen: Es beherrscht das „Einmal-Eins“ nicht
und hat zu wenig Übung im Kopfrechnen.
Das Abstraktionsvermögen des Kindes ist noch nicht so weit entwickelt,
dass es Transferleistungen erbringen kann. Dann kann man ihm zwar an
einem Beispiel klar machen, wie man rechnen soll, aber bei anderen
Aufgaben, vor allem, wenn sie eine andere Gestalt haben, weiß das Kind
damit nichts mehr anzufangen. Es kann die gelernte Methode noch nicht
vom einen Beispiel auf das andere transferieren ! Dann aber erkennt das
Kind auch nicht den Hintergrund einer solchen Rechnung. Es klammert
sich eben an die gesehenen Beispiele und sein Rechnen ist ein
Nachahmen.
Hier stoßen wir an das generelle Problem des Mathematikunterrichts in dieser
Altersstufe (Klasse 5 bis 7). In der Regel stoßen Herleitungen auf Unverständnis, und
die, um so abstrakter sie geführt werden. Kinder leben in diesem Alter vom
Erkennen und vom Aha-Effekt. An einfachen und sich wiederholenden Beispielen
merken die Kinder, dass es Analogien gibt, die man dann zu einer Regel fassen
kann. Der Mathematiklehrer sollte dann auch den Mut besitzen und manche
Sonderfälle einfach ignorieren. Viele Kinder machen dann zu, wenn man mit zu
vielen „ja-aber“ und „wenn-dann“ kommt. Man kann ja andeuten, dass es
Ausnahmen gibt. Hier ist der Drang nach Vollständigkeit Grund vielen Übels.
Perfekte Mathematiker werden hier zu schlechten Pädagogen ! Der geschickte
Lehrer findet gute Beispiele und fördert so das Entdecken der Kinder. Aber bitte
langsam und nicht zu viele Varianten auf einmal. Sonst bremst man die Entwicklung
eher als man sie zur Entfaltung bringt!
Was also können Eltern tun, wenn Sie mit diesem Text Hilfe suchen ?
Meine Texte sind eher für Eltern gedacht. Sie können nachvollziehen, welche
Methoden es gibt, und was man beachten kann. Rechnen Sie dann einzelne
Beispiele mit Ihrem Kind durch und zeigen Sie Methoden auf. Nur wenige Kinder
werden diese Texte alleine durcharbeiten können. Die Aufgabenseiten hieraus sind
durchaus für Kinder selbst geeignet. Doch ich bringe auch anspruchsvolle Aufgaben,
denn ich will vieles abdecken, was so möglich ist.
10220 Klasse 6
2
1. Training: Bruchteile von Schokolade und Pizza
Beispiel 1
Eine Tafel „Mathe-Schoko“ hat vier Vertiefungen
zum Auseinanderbrechen. Sie wird dadurch in vier
Teile aufgeteilt.
Jedes dieser Teile nennt man ein Viertel, oder eine
Viertels-Tafel. Dies schreibt man so: 41 Tafel .
Nimmt man zwei Teile, also 2 Viertel, dann hat man die
halbe Tafel: 21 Tafel .
Und dann gibt es noch drei Viertel:
3
4
Tafel
Und wie man sieht sind 4 Viertel wieder die ganze
Tafel: 44 Tafel = 1Tafel
Beispiel 2
Eine Pizza zerschneidet man meist in 8
gleich große Teile:
1
8
Jedes einzelne Stück bezeichnet man als ein
Achtel und schreibt 81 Pizza
5
8
Die nächste Abbildung zeigt drei Achtel schraffiert:
3
Pizza . Der nicht schraffierte Teil sind 58 Pizza .
8
Zusammen ergeben sie eine ganze Pizza:
3
+ 58 = 88 = 1
8
3
8
Man kann durch Abzählen herausfinden:
Nimmt man vier Achtel, hat man die Hälfte:
4
Pizza = 21 Pizza .
8
Nimmt man zwei Achtel, hat man ein Viertel:
ja und alle 8 Achtel ergeben die ganze Pizza:
Wichtig:
2
8
8
8
Pizza = 41 Pizza ,
Pizza = 1Pizza .
Will man mit Bruchteilen rechnen, müssen alle
gleichartigen Teile gleich groß sein:
Alle Achtel müssen gleich groß sein, alle Viertel,
teilt man einen Liter Wasser in 6 Teile, müssen alle
6 Teile gleich groß sein, sonst darf man sie nicht
„Sechstel“ nennen !
10220 Klasse 6
3
Es gibt Brüche, die verschieden sind, aber gleich viel bedeuten!
Beispiel 3
Diese Schokoladentafel besteht aus 8 gleich großen
Stücken.
Klaus zerbricht ihre Tafel in 8 Teile und isst davon 2, Maria zerteilt in 4 Teile und isst
davon 1 Teil. Man sieht, dass beide dieselbe Menge Schokolade gegessen haben:
2
8
Wir schreiben daher:
ACHTUNG:
Schokolade = 41 Schokolade oder kurz:
2
8
= 41 .
Die Schreibweise 82 = 41 heißt nicht, dass dies dieselben Brüche
sind. Es sind verschiedene Brüche mit gleichem Wert !
Wie man sieht, sind auch
4
8
= 42 =
1
2
!
Wir werden später lernen, wie man solche Brüche ineinander umrechnen kann.
Beispiel 4
Diese Tafel Schokolade kann man in 6 gleiche Reihen oder in 12 Stücke zerbrechen:
Man erkennt:
2
12
= 61 und darunter:
4
12
= 62 = 31
Dabei ist es egal, welche Teile man markiert. Auch das sind
4
12
:
Ja, und wer ein scharfes Messer hat, kann gar 24 Teile daraus machen, indem er
jedes Stückchen nochmals zerteilt. Damit man aber selbst die 124 Schokolade
behält, muss man sich nun das Doppelte nehmen, also haben wir
8
24
4 = 2 = 1.
= 12
6
3
10220 Klasse 6
4
Bitte Nachdenken:
Wir haben gesehen, dass man ein Stück (Schokolade oder Pizza oder was
auch immer) immer weiter zerteilen kann, man muss nur gleichzeitig immer
mehr Stücke nehmen, damit man dieselbe Menge behält.
Schauen wir uns als letztes Beispiel dieses an;
Eine Tafel Edelsahne mit Himbeeraroma hat
4 Rippen und kann daher
leicht in 5 Teile zerlegt werden.
Ich gönne mir davon 2 Rippen, besitze also
2
dieser Tafel.
5
Zerteilt man die Tafel zusätzlich nochmals
quer durch die Mitte, ergibt dies 10 Teile,
und ich besitze nun 4 davon also: 104 .
Ich könnte nun weiter zerbröseln und
Jedes der 10 Teile nochmals in der Länge
halbieren, dann komme ich auf 20 Teile.
Und bin stolzer Besitzer von 8 jetzt deutlich
kleineren Teilen : 208 .
Ja, und wer meint, er habe noch eine Idee,
könnte die ursprüngliche Tafel 2 mal quer
durchschneiden, dann komme ich auf 156 .
Es ist klar, dass mein Besitz an Schleckereien
immer derselbe bleibt, sehen wir vom zerbröselnden Abfall ab.
Also gilt:
2
4
6
8
=
=
=
= ....
5 10 15
20
Entdeckst Du auch, was rechnerisch passiert ?
Multipliziert man im ersten Bruch Zähler und Nenner mit 2, entsteht der 2. Bruch.
Wie müsste folglich der Zähler heißen:
2
?
=
5
50
Hier wird der Nenner mit 10 multipliziert, also müsste dies auch im Zähler
2
20
geschehen:
.
=
5
50
Oder: Wie muss der Nenner heißen ?
3
24
=
7
?
Der Zähler wurde mit 8 multipliziert, also rechnen wir genau so im Nenner:
Was wir hier tun, nennt man ERWEITERN eines Bruches !
3
24
.
=
7
56
10220 Klasse 6
2. Training: Erweitern von Brüchen
MERKE:
Man erweitert einen Bruch, indem man Zähler
und Nenner mit derselben Zahl multipliziert.
Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht!
Mit der Zahl 0 darf man nicht erweitern.
Erweitern von
3
7
mit 5 ergibt
3
3 ⋅ 5 15
=
=
7
7⋅5
35
Erweitern von
5
mit 4 ergibt
12
5
5⋅ 4
20
=
=
12 12 ⋅ 4
48
Erweitern von
150
mit 2 ergibt
39
150 150 ⋅ 2
300
=
=
39
39 ⋅ 2
78
Erweitern von
1
mit 30 ergibt
512
1
1⋅ 30
30
=
=
.
512
512 ⋅ 30 15360
Grundaufgabe: Brüche auf denselben Nenner bringen !
Erweitere beide Brüche so, dass sie denselben Nenner erhalten.
Warum gibt es viele Lösungen ?
2
4
und
.
3
5
Wenn man den ersten Bruch mit 5 erweitert und den zweiten mit 3,
dann folgt.
2
2 ⋅ 5 10
4
4 ⋅ 3 12
=
=
=
=
und
3
3 ⋅ 5 15
5
5 ⋅ 3 15
Man kann auch mit dem Doppelten davon erweitern, also mit 10 und 6:
2
2 ⋅ 10
20
4
4⋅6
24
=
=
=
=
und
3
3 ⋅ 10
30
5
5⋅ 6
30
Man kann auch mit dem Dreifachen davon erweitern, also mit 15 und 9:
2
2 ⋅ 15
20
4
4⋅9
36
=
=
=
=
und
3
3 ⋅ 15
45
5
5⋅9
45
usw.
5
10220 Klasse 6
Berechnung der kleinsten gemeinsamen Nenners
(=Hauptnenner)
Beispiel
Erweitere die Brüche
5
11
und
so, dass sie den kleinsten gemeinsamen
12
20
Nenner erhalten.
Zwischenüberlegung
Schüler neigen dazu, das Produkt der beiden Nenner als kleinsten
gemeinsamen Nenner zu verwenden. Das stimmt nur in manchen Fällen.
Würde man hier als Hauptnenner 12 ⋅ 20 = 240 verwenden, dann sähe
das Ergebnis so aus:
5
5 ⋅ 20
100
11
11⋅ 12
132
.
=
=
und
=
=
12 12 ⋅ 20
240
20
20 ⋅ 12
240
Aber bereits 120 ist ein gemeinsamer Nenner von 12 und 20.
Man muss dazu den ersten Bruch mit 10 und den zweiten mit 6 erweitern:
5
5 ⋅ 10
50
11
11⋅ 6
66
=
=
und
=
=
.
12 12 ⋅ 10 120
20
20 ⋅ 6 120
Der kleinste gemeinsame Nenner, also das, was man als den Hauptnenner
bezeichnet, ist jedoch nur 60. Dazu muss man den ersten Bruch mit 5 und
den 2. mit 3 erweitern:
5
5⋅5
25
11
11⋅ 3
33
=
=
=
=
und
12 12 ⋅ 5
60
20
20 ⋅ 3
60
Wenn man bedenkt, dass ein gemeinsamer Nenner ja ein Vielfaches der
beiden gegebenen Nenner ist, denn man muss ja jeden von ihnen durch
Multiplikation in diesen Hauptnenner überführen, dann wird klar, dass der
Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner ist !
Die Berechnung dieses kgV wurde in der Datei 10216 „Teilbarkeit“
besprochen. Hier gibt es dazu nochmals einige Beispiele.
MERKE:
Unter dem Hauptnenner von Brüchen versteht
man den kleinsten gemeinsamen Nenner, also
das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der
Einzelnenner.
6
10220 Klasse 6
7
Beispiele zur Grundaufgabe
Erweitern zum Hauptnenner
Methode 1
Bringe
2
5
und
auf den Hauptnenner.
7
3
Merkmal: Die Nenner 7 und 3 haben keine gemeinsamen Teiler.
Damit ist das kleinste gemeinsame Vielfache ihr Produkt: 21
2
2⋅ 3
6
=
=
7
7⋅3
21
Hinweis:
Methode 2:
Bringe
und
5
5⋅7
35
=
=
3
3⋅7
21
Alle Zahlen haben den gemeinsamen Teiler 1, doch der
ist hier stets unbrauchbar und wird weggelassen.
2
5
und
7
14
Merkmal: Der große Nenner 14 ist ein Vielfaches des kleineren.
Damit ist der größere das kleinste gemeinsame Vielfache: 14
2
2⋅ 2
4
5
=
=
und
(bleibt so).
7
7 ⋅ 2 14
14
Methode 3:
a)
Bringe
2
5
und
21
14
Merkmal: Die Nenner 7 und 3 haben gemeinsamen Teiler.
Damit ist das kgV kleiner als ihr Produkt!
Methode:
Man zerlegt die beiden Nenner in
Primfaktoren:. Man schreibt aber stets
nur gleiche untereinander.
21 = 7 ⋅ 3 ⋅
14 = 7 ⋅ ⋅ 2
EZ = 2
EZ = 3
kgV = 7
⋅ 3 ⋅ 2 = 42
N
21
Das Produkt aller Spalten ist das kgV.
Die fehlenden Zahlen bilden die Erweiterungszahlen.
Also ist der Hauptnenner 42, und den Bruch mit dem Nenner 21
muss man mit 2, den mit dem Nenner 14 mit 3 erweitern:
2
2⋅ 2
4
5
5⋅3
15
=
=
=
=
und
.
21 21⋅ 2
42
14 14 ⋅ 3
42
Diese drei Methoden muss man auswendig lernen:
Man muss zuerst erkennen, welches Merkmal vorliegt,
dann wird die passende Methode angewandt !
10220 Klasse 6
b)
Bringe
8
11
5
und
54
81
Merkmal: Die Nenner 54 und 91 haben gemeinsamen Teiler.
Primfaktorzerlegung:
54 = 2 ⋅ 27 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅
81 = 3 ⋅ 27 = ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3
EZ = 3
EZ = 2
HN = kgV = 2 ⋅ 3
⋅ 3
⋅ 3
⋅ 3 = 162
81
Ich zeige hier, wie man zuerst beide Nenner in ein Produkt
„zerkleinert“ um dann daraus die Primfaktoren aufzuspüren.
Man kann aber auch zuerst ein anderes Produkt entdecken, etwa,
dass beide Zahlen Vielfache von 90 sind, dann sieht die PFZ so aus:
Man achte stets darauf,
dass immer nur gleiche
Primfaktoren untereinander
stehen !
54 = 9 ⋅ 6 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅
81 = 9 ⋅ 9 = 3 ⋅ 3 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 3
EZ = 3
EZ = 2
HN = kgV = 3
⋅ 3
⋅ 2
⋅ 3 ⋅ 3 = 162
54
Jetzt ist zwar die Reihenfolge der Primfaktoren anders, aber das
Ergebnis ist davon unabhängig.
Abkürzende Methode
Für gute Rechner (Schüler der Klasse 6 sind damit oft überfordert)
kann man diese Methode der PFZ abkürzen. Ich zeige hier die
Kurzform einmal richtig und einmal falsch:
54 = 2 ⋅ 27
81 = 3 ⋅ 27
EZ = 3
EZ = 2
HN = 2 ⋅ 3
⋅ 27 = 1 62
N
81
54 = 6 ⋅ 9
81 = 9 ⋅ 9
EZ = 9
EZ = 6
HN = 6 ⋅ 9
⋅ 9 = 48 6
N
81
Im ersten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von 27
zerlegt, und die Faktoren zu 27 sind 2 und 3 und damit teilerfremd.
Daher ist der HN ihr Produkt also 2 ⋅ 3 ⋅ 27 .
Im zweiten Kasten habe ich beide Nenner in Vielfache von 9
zerlegt, und die Faktoren zu 9 sind 6 und 9. Diese haben aber
den gemeinsamen Teiler 3, daher darf man nicht ihr Produkt
verwenden. 6 ⋅ 9 ⋅ 9 ist nicht der Hauptnenner.
Ich zeige im Anschluss noch drei Beispiele für PFZ, einmal ausführlich und einmal
mit der Kurzmethode, die ich älteren Schülern nahe lege !
10220 Klasse 6
c)
Bringe
9
7
13
und
24
56
Schnellmethode:
24 = 4 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅
EZ = 7
56 = 7 ⋅ 8 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ ⋅ 7 EZ = 3
HN = kgV = 2
⋅ 2
⋅ 2
⋅ 3 ⋅ 7 = 168
24 = 3 ⋅ 8
EZ = 7
56 = 7 ⋅ 8
EZ = 3
HN = 3 ⋅ 7 ⋅ 8 = 168
24
Bei der Schnellmethode muss ich den größten gemeinsamen Teiler finden: 8,
so dass seine Vielfachen 3 und 7 teilerfremd sind. Dann ist deren Produkt
zusammen mit der 8 der HN !
7
7⋅7
49
13
13 ⋅ 3
19
und
=
=
=
=
24
24 ⋅ 7 168
56
56 ⋅ 3 168
d)
Bringe
49
7
und
108
60
108 = 9 ⋅ 12 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅
60 = 5 ⋅ 12 =
⋅3⋅ 2⋅ 2⋅5
Schnellmethode:
EZ = 5
EZ = 9
HN = kgV = 3
⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 540
108 = 9 ⋅ 12
60 = 5 ⋅ 12
EZ = 5
EZ = 9
HN = 9 ⋅ 5 ⋅ 12 = 540
108
In der Schnellmethode verwendet man den ggT 12 und hat dann die teilerfremden Faktoren 9 und 5!
Es folgt:
e)
Bringe
49
49 ⋅ 5
245
7
7⋅9
63
und
.
=
=
=
=
108 108 ⋅ 5
5 40
60
60 ⋅ 9
5 40
49
25
und
72
96
Schnellmethode:
72 = 9 ⋅ 8 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅
EZ = 4
96 = 8 ⋅ 12 = ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 EZ = 3
HN = kgV = 3
⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 288
72 = 3 ⋅ 24
96 = 4 ⋅ 24
EZ = 4
EZ = 3
HN = 3 ⋅ 4 ⋅ 24 = 288
72
In der Schnellmethode verwendet man den ggT 24 und hat dann die teilerfremden Faktoren 3 und 4!
Es folgt:
49
49 ⋅ 4
196
25
25 ⋅ 3
75
und
.
=
=
=
=
72
72 ⋅ 4
28 8
96
96 ⋅ 3
2 88
10220 Klasse 6
Anwendung:
10
Vergleichen von Brüchen
Musteraufgabe:
Welcher Bruch ist größer :
Überlegung:
17
36
23
42
oder
?
Stellen wir uns eine große Schokoladetafel vor.
Zerteilen wir sie in 36 Teile, dann sind diese sicher größer,
als bei einer Zerteilung in 42 Teile. Denn mehr Teile bedeutet,
dass sie kleiner werden. Dafür nehmen wir aber statt 17 dann 23.
Wo hat man mehr: Bei 17 von 36Teilen oder bei 23 von 42 Teilen ?
Methode:
Um vergleichen zu können, bringen wir beide Brüche auf den
Hauptnenner!
Lösung:
Schnellmethode:
36 = 9 ⋅ 4 = 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅
EZ = 7
42 = 6 ⋅ 7 = 3 ⋅ ⋅ 2 ⋅ ⋅ 7 EZ = 6
HN = kgV = 3
⋅ 3
⋅ 2
⋅ 2 ⋅ 7 = 252
36 = 6 ⋅ 6
42 = 7 ⋅ 6
EZ = 7
EZ = 6
HN = 6
⋅ 7 ⋅ 6 = 252
N
42
36
In der Schnellmethode verwendet man den ggT 6 und hat dann die teilerfremden Faktoren 6 und 7, also ist der Hauptnenner das 42-fache von 6.
17
17 ⋅ 7
119
23
23 ⋅ 6 138
Nun die Lösung der Aufgabe:
,
.
=
=
=
=
36
36 ⋅ 7
25 2
42
42 ⋅ 6
252
17 138
Ergebnis:
!
<
36
42
Erweiterte Aufgabenstellung:
Hauptnenner von 3 Brüchen
Musteraufgabe:
Ordne diese Brüche der Größe nach:
17
21
13
,
und
64 80
48
Methode:
Um vergleichen zu können, bringen wir alle Brüche auf den
Hauptnenner!
Lösung:
64 = 26 (! ) = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 3
80 = 8 ⋅ 10 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 3
48 = 8 ⋅ 6 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 3
HN = kgV = 2
⋅ 2
⋅ 2
⋅ 2 ⋅ 2
⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 3 = 9 60
Schnellmethode:
EZ = 15
EZ = 12
E Z = 20
64 = 4 ⋅ ⋅ 16
80 = 5 ⋅ 16
48 =
3 ⋅ 16
⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 16 = 960
HN = 4
64
17 ⋅ 15
255
21⋅ 12
252
13 ⋅ 20
260
,
und
.
=
=
=
64 ⋅ 15
960 80 ⋅ 12
960
48 ⋅ 20
960
Ergebnis:
21
80
<
17
65
<
13
48
!
EZ = 15
EZ = 12
EZ = 20
60
10220 Klasse 6
11
Aufgabenblatt
Aufgabe 1
Erweitere und ergänze den fehlenden Zähler bzw. Nenner
a)
5
?
=
8
48
b)
5
?
=
36 180
c)
7
?
=
15 135
d)
5
85
=
12
?
e)
21 105
=
25
?
f)
27
81
=
17
?
Aufgabe 2
Bringe diese Brüche auf den kleinsten gemeinsamen Nenner (Hauptnenner)
a)
3
1
und
8
3
b)
1
3
und
2
5
c)
3
11
und
11
12
d)
3
11
und
4
36
e)
7
1
und
9
144
f)
17
15
und
64
16
g)
3
1
und
4
6
h)
3
5
und
8
12
i)
9
12
und
14
35
j)
8
2
und
27
45
k)
7
7
und
4
22
l)
4
7
und
9
42
Aufgabe 3
Welcher Bruch ist größer ?
Berechne die Hauptnenner ausführlich !
a)
17
19
oder
36
42
b)
7
47
oder
48
108
c)
25
45
oder
32
52
d)
57
81
oder
125
175
e)
14
23
oder
135
180
f)
131
101
oder
240
168
Aufgabe 4
Ordne diese Brüche der Größe nach:
a)
5
7
11
,
und
8 12
18
b)
13 19
27
,
und
10 15
20
c)
11 13
19
,
und
24 30
40
d)
25 39
59
,
und
54 81
135
10220 Klasse 6
12
3. Training: Kürzen von Brüchen
MERKE:
Man kürzt einen Bruch, indem man Zähler
und Nenner mit derselben Zahl dividiert.
Dabei ändert sich der Wert dieses Bruches nicht!
Mit der Zahl 0 kann man nicht kürzen.
Kürzen ist die Umkehrung des Erweiterns !
Erweitern:
Erweitern von
ergibt
Kürzen von
ergibt
5
mit 4
12
ergibt
150
mit 2
39
1
mit 30
512
ergibt
20
durch 4
48
300
durch 2
78
300
300 : 2 150
=
=
78
78 : 2
39
Kürzen von
1
1⋅ 30
30
=
=
512
512 ⋅ 30 15360
durch 5
20
20 : 4
5
=
=
48
48 : 4 12
Kürzen von
ergibt
15
35
15
15 : 5
3
=
=
35
35 : 5
7
Kürzen von
150 150 ⋅ 2
300
=
=
39
39 ⋅ 2
78
Erweitern von
ergibt
mit 5
5
5⋅ 4
20
=
=
12 12 ⋅ 4
48
Erweitern von
ergibt
3
7
3
3 ⋅ 5 15
=
=
7
7⋅5
35
Erweitern von
ergibt
Umkehrung: Kürzen:
30
durch 30
15360
30
30 : 30
1
=
=
15360 15360 : 30
512
Kürzen verkleinerst also Zähler und Nenner eines Bruches (wenn man nicht
den sinnlosen Versuch unternimmt, durch 1 zu kürzen, was ja gar nichts
verändert). Das zeigen noch einmal folgende Grafiken:
durch16
48 ⎯⎯
3
kürzen
⎯⎯
⎯⎯
⎯
→
←⎯mit16
⎯
⎯
32
2
erweiten
durch 7
28 ⎯⎯
4
kürzen
⎯⎯
⎯⎯
⎯
→
←⎯mit
⎯
⎯
7
35
9
erweiten
durch 13
51 ⎯⎯
3
kürzen
⎯⎯
⎯⎯
⎯
→
←⎯mit
⎯
⎯
13
68
4
erweiten
10220 Klasse 6
13
Was die Erfahrung zeigt:
Man erkennt oft nicht, durch welche Zahl man kürzen kann. Daher beginnt man
mit kleinen Zahlen und kürzt mehrfach nacheinander:
72
2 ⋅ 36
4 ⋅9
3 ⋅3
3
=
=
=
=
96
4
2 ⋅ 48
4 ⋅ 12
3 ⋅4
Manche können dies schneller und rechnen vielleicht so:
72
6 ⋅ 12
2 ⋅3
3
=
=
=
96
4
2 ⋅4
8 ⋅ 12
Es gibt weitere Möglichkeiten. Das Ziel ist es auf jeden Fall, immer so weit
wie möglichst zu kürzen. Da man immer nur durch gemeinsame Teiler
von Zähler und Nenner kürzen kann, ist es natürlich optimal, den ggT, also
den größten gemeinsamen Teiler zu bestimmen und durch ihn zu kürzen.
Wiederholung aus 10210 (Teilbarkeit):
Berechnung des ggT durch Primfaktorzerlegung:
72 = 8 ⋅ 9 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅
⋅ 3⋅ 2⋅ 2
96 = 8 ⋅ 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2
ggT
= 2⋅ 2⋅ 2⋅
F=3
F=4
3 = 8 ⋅ 3 = 24
Man zerlegt Zähler und Nenner in Primfaktoren, schreibt aber
nur gleich untereinander. Und genau diese gemeinsamen Primzahlen
bilden den GGT, durch den man kürzt.
Die Primzahlen, die nicht zum ggT gehören (in
), ergeben den Faktor
F , der nach dem Kürzen in Zähler bzw. im Nenner stehen bleibt!
Musterbeispiele für das optimale Kürzen bei größeren Zahlen
Beispiel 1
540
378
540
540 : 54 10
=
=
378
378 : 54
7
540 = 10 ⋅ 54 = 10 ⋅ 9 ⋅ 6 = 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 3
⋅3⋅3
⋅3⋅ 7
378 = 2 ⋅ 189 = 2 ⋅ 9 ⋅ 21 = 2
ggT
= 2⋅
3⋅3
F = 10
F=7
3 = 2 ⋅ 27 = 54
Der neue Nenner, der aus 378 durch Kürzen mit 54 entsteht, ist die markierte 7
und der neue Zähler, der aus 540 durch Kürzen entsteht, ist die markierte 10.
Beispiel 2
192
216
Rechne selbst !
10220 Klasse 6
14
192 = 2 ⋅ 96 = 2 ⋅ 8 ⋅ 12 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅
216 = 2 ⋅ 108 = 2 ⋅ 9 ⋅ 12 = 2 ⋅
⋅ 2⋅ 2⋅ 3⋅ 3⋅ 3
=2
ggT
Also ist
F=8
F=9
⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 8 ⋅ 3 = 24
192
192 : 24
8
=
= .
216
216 : 24
9
Beispiel 3
252
420
252 = 2 ⋅ 126 = 2 ⋅ 9 ⋅ 14 = 2 ⋅ ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅
420 = 10 ⋅ 42 = 10 ⋅ 6 ⋅ 7 = 2 ⋅ 5 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 7 ⋅
252
252 : 84
3
=
=
420
420 : 84
5
Beispiel 4
=2
ggT
136
306
F=3
F=5
⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 7 = 12 ⋅ 7 = 84
136 = 2 ⋅ 68 = 2 ⋅ 2 ⋅ 34 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 17
306 = 2 ⋅ 153 = 2 ⋅ 9 ⋅ 17 = 2 ⋅
⋅ 17 ⋅ 3 ⋅ 3
136
136 : 34
4
=
=
306
306 : 34
9
=2
ggT
⋅ 17 = 34
AUFGABE 5
Kürze auf einfache Weise:
a)
26
39
b)
24
40
c)
42
84
d)
81
45
e)
72
54
f)
81
54
g)
42
56
h)
63
108
i)
75
225
j)
48
102
k)
49
84
l)
96
128
AUFGABE 6
Kürze durch den ggT wie in Beispiel 1 bis 4.
a)
126
216
b)
126
168
c)
140
196
d)
162
153
e)
180
84
f)
108
180
g)
336
192
h)
343
245
F=4
F=9
10220 Klasse 6
15
4. Training: Bruchteile von Maßeinheiten
1. GRUNDWISSEN
Masseneinheiten :
1
10
1kg = 1000 g, d.h.
kg = 100 g ,
1
10
1 t = 1000 kg , d.h.
1
10
1 g = 1000 mg, d.h.
1
100
kg = 10 g , und
1
1000
1
t = 100 kg , 100
t = 10 kg , und
t = 1kg
1
1000
1
g = 100 mg , 100
g = 10 mg , und
1kg = 1.000.000 mg , d.h.
kg = 1g
1
1000
g = 1mg
kg = 1 mg usw.
1
1.000.000
Volumen :
1hl = 100 l , d.h.
1l = 1000 ml , d.h.
1
10
1
10
hl = 10 l ,
1
100
hl = 1l
1
l = 100 ml , 100
l = 10 ml , und
1l = 100 ml , d.h.
1
10
l = 10 dl und
1l = 1 dm3 , 1m3 = 1000 dm3 = 1000 l ⇒
1
10
Daher ist auch 1ml = 1cm3 und
1
100
1
1000
l = 1dg
m3 = 100 l und
1
1.000.000
l = 1ml
1
100
m3 = 10 l
m3 = 1cm3 = 1ml
Längeneinheiten :
1
10
1km = 1000 m, d.h.
1
10
1 m = 1000 mm , d.h.
1 m = 100 cm, d.h.
1
10
km = 100 m ,
1
100
km = 10 m , und
1
m = 100 mm , 100
m = 10 mm , und
1
m = 10 cm , 100
m = 1cm , und
1 dm = 10 cm = 100 mm ⇒
1
10
dm = 1cm und
Zeiteinheiten :
1h = 60 min , d.h.
1min = 60 s d.h.
1h = 3600 s, d. h.
1
60
1
60
h = 1min
min = 1 s
1
3600
h = 1s
1
100
1
10
1
1000
km = 1m
1
1000
m = 1mm
cm = 1mm
dm = 1mm ,
10220 Klasse 6
2.
(1)
Mengen:
1
2
kg = 1000 g : 2 = 500 g ,
1
4
kg = 1000 g : 4 = 250 g
1
8
kg = 1000 g : 8 = 125 g
1
4
t = 1000 kg : 4 = 250 kg
g = 1000 g : 10 = 100 mg
1
10
1
8
(2)
(3)
t = 1000 kg : 8 = 125 kg
1
100
g = 1000 kg : 100 = 10 mg
1
10.000
t = 1.000.000 g : 10.000 = 100 g
Volumen
1
4
l = 1000 ml : 4 = 250 ml
1
8
1
8
m3 = 1000 l : 8 = 125 l
1
20
l = 1000 ml : 8 = 125 ml
l = 100 dl : 20 = 5 dl = 50 ml
Längeneinheiten
1
4
1
2
(4)
Einstufige Rechnungen:
km = 1000 m : 4 = 250 m
cm = 5 mm
dm = 5 cm
1
km = 100 m
10.000
1
2
Zeiteinheiten
1
3
von 1h = 60 min : 3 = 20 min
1
30
1
100
von 1h = 60 min : 30 = 2 min
von 1h = 3600 s : 100 = 36 s
1
6
von 1h = 60 min : 6 = 10 min
1
4
von 1min = 60 s : 4 = 15 s
1
72
von 1h = 3600 s : 72 = 50 s
Diese Aufgaben sind die Grundlagen für die nun folgenden schwereren Aufgaben.
Man sollte sie im Kopf lösen können !
16
10220 Klasse 6
3.
(1)
17
Zweistufige Rechnungen:
Mengen
3
4
kg = 3 ⋅ 41 kg = 250
Ng ⋅ 3 = 750 g
1 kg
4
kg = 5 ⋅ 81 kg = 125
Ng ⋅ 5 = 675 g
5
8
1 kg
8
t = 7 ⋅ t = 125 kg ⋅ 7 = 875 kg
7
8
1
8
In der ersten Stufe wird bei
zuerst
1
4
berechnet.
In der zweiten Stufe nimmt man
dann davon das dreifache.
t = 9 ⋅ 81 kg = 125 kg ⋅ 9 = 1125 kg
1t
8
g = 7 ⋅ 101 g = 100 mg ⋅ 7 = 700 mg
7
10
1
10
(2)
g
1
g = 3 ⋅ 100
g = 10 mg ⋅ 3 = 30 mg
3
100
Volumen
l = 125 ml ⋅ 3 = 375 ml
3
8
1l
8
3
10
hl = 10
Nl ⋅ 3 = 30 l
1 l
10
3
1000
6
10
hl = 100 l : 10 ⋅ 6 = 60 l
l = 9⋅
9
25
(3)
m3 = 3 dm3 = 3 l
l = 1000 ml : 100 ⋅ 3 = 30 ml
3
100
1
25
l = 9 ⋅ 40 ml = 360 ml
Längeneinheiten:
7
8
m = 125 mm ⋅ 7 = 875 mm
1m
8
3
4
km = 250 m ⋅ 3 = 750 m
9
125
(4)
1
m = 9 ⋅ 125
m = 9 ⋅ (1000 mm : 125) = 9 ⋅ 8 mm = 72 mm !!
Zeiteinheiten
5
12
h = 5 ⋅ 121 h = 5 ⋅ 5 min = 25 min
17
20
min = 17 ⋅
11
90
h = 11⋅ 901 h = 11⋅ (3600 s : 90) = 11⋅ 40 s = 440 s !!
1
20
kg
kg = 1000 g : 4 = 250 g
1t
8
9
8
3
4
min = 17 ⋅ 3 s = 51s
10220 Klasse 6
4.
(1)
a)
18
Dreistufige Rechnungen:
Mengen
3
4
von 5 kg ( Oberer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne 41 von 1kg = 41 von 1000 g = 250 g
2. Stufe: Dann sind
3
4
von 1kg = 3 ⋅ 250 g = 750 g
3. Stufe: Dann sind
3
4
von 5 kg = 5 ⋅ 750 g = 3750 g = 3 kg 750 g
ACHTUNG: Man kann die 2. und 3. Stufe auch vertauschen:
3
4
von 5 kg
( Unterer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne
1
4
von 1kg =
2. Stufe: Dann sind
1
4
von 5 kg = 5 ⋅ 250 g = 1250 g
3. Stufe: Dann sind
3
4
von 5 kg = 3 ⋅ 1250 g = 3750 g = 3 kg 750 g
1
4
von 1000 g = 250 g
Ablaufschema für eine dreistufige Rechnung :
3
4
1
4
1kg
750 g
also ⋅ 3
5 kg also ⋅ 5
3750 g
250 g
5 kg also ⋅ 5
1250 g
3
4
also ⋅ 3
Grundprinzip ist es auf jeden Fall, die Aufgabe zuerst doppelt zu vereinfachen:
Man geht zurück auf 41 von 1 kg und gleicht dies am Ende dadurch aus,
dass man für 34 das Dreifache und für 5 kg das Fünffache verwendet.
Daher kann man dann die Rechnung so in einem Schritt durchführen:
3
4
von 5 kg = ( 41 von 1kg) ⋅ 3
⋅ 5 = 250 g ⋅ 15 = 3750 g = 3 kg 750 g
N
15
10220 Klasse 6
b)
5
8
von 30 g
19
( Oberer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne
1
8
von 1g =
2. Stufe: Dann sind
5
8
von 1g = 5 ⋅ 125 mg = 625 mg
3. Stufe:
5
8
1
8
von 1000 mg = 125 mg
von 30 g = 30 ⋅ 625 mg = 18750 mg = 18 g 750 mg
ACHTUNG: Man kann die 2. und 3. Stufe auch vertauschen:
( Unterer Weg im Ablaufschema )
1. Stufe: Berechne
1
8
von 1g =
2. Stufe: Dann sind
1
8
von 30 g = 30 ⋅ 125 g = 3750 g
3. Stufe:
5
8
1
8
von 1000 mg = 125 mg
von 30 g = 5 ⋅ 3750 mg = 18750 mg = 18 g 750 mg
5
8
1g
1
8
625mg
30 g
18750 mg
125 mg
30 g
5
8
3750mg
Auch gehen wir so vor, dass wir zunächst zweimal vereinfachen:
Wir berechnen 81 von 1 g und multiplizieren dann mal 5 für 58 und mit 30
für 30 g. Damit kann man die Rechnung in einem Rutsch so durchführen:
5
8
von 30 g = ( 81 von 1g) ⋅ 5
⋅ 30 = (125 mg) ⋅ 150 = 18750 mg = 18 g 750 mg
N
150
c)
7
20
von 11 t :
7
20
1t
1
20
350kg
11 t
3850 kg
50 kg
11 t
550kg
7
20
Kurzlösung:
7
20
von 11 t = ( 201 von 1 t ) ⋅ 7
⋅ 11 = 50 kg ⋅ 77 = 3850 kg = 3 t 850 kg
N
77
10220 Klasse 6
(2)
a)
20
Volumen
von 5 l = ( 81 von 1l) ⋅ 3 ⋅ 5 = 125 ml ⋅ 15 = 1875 ml = 1l 875 ml
3
8
Oder in zwei Schritten:
3
8
1l
1
8
(3)
a)
7
20
5l
1875 ml
125 ml
5l
b)
375 ml
3
8
625 ml
von 5 m3 = ( 201 von 1m3 ) ⋅ 7 ⋅ 5 = 50 dm3 ⋅ 35 = 1750 dm3
Streckenlängen
von 3 km = ( 41 von 1km) ⋅ 7 ⋅ 3 = 250 m ⋅ 21 = 5250 m = 5 km 250 m
7
4
oder bei Berechnung in zwei Schritten:
7
8
1km
1
4
1750m
3 km
5250 m
250 m
3 km
7
8
750 m
b)
(4)
3
25
von 8 m = ( 251 von 1m) ⋅ 3 ⋅ 8 = 4 cm ⋅ 24 = 96 cm
Zeiteinheiten:
a)
2
3
von 7 h = ( 31 von 1h) ⋅ 2 ⋅ 7 = 20 min⋅ 14 = 280 min
b)
2
5
von 9 min = ( 51 von 1min) ⋅ 2 ⋅ 9 = 12 s ⋅ 18 = 216 s
2
5
1min
1
5
24 s
9 min
216 s
12 s
9 min
108 s
2
5
10220 Klasse 6
21
5. Dreistufige Rechnungen mit Zahlenvorteil
ES GIBT AUFGABEN, BEI DENEN MAN EINE STUFE AUSLASSEN KANN !
(1)
a)
Mengen
5
8
von 200 g
Hier muss man nicht zuerst 81 von 1 g berechnen ! Da man 200 ohne Rest
durch 8 teilen kann, lässt sich 81 von 200 g sofort berechnen: 25 g.
Daher geht die Rechnung z. B. so:
1. Stufe: Berechne
1
8
von 200 g = 25 g
2. Stufe: Dann sind
5
8
von 200 g = 5 ⋅ 25 g = 125 g
Kurzrechnung:
b)
7
4
von 12 kg
a)
von 200 g = ( 81 von 200 g) ⋅ 5 = 25 g ⋅ 5 = 125 g
Man kann 12 durch 4 teilen, also:
1. Stufe: Berechne
1
4
von 12 kg = 3 kg
2. Stufe: Dann sind
7
4
von 12 kg = 7 ⋅ 3 kg = 21kg
Kurzrechnung:
(2)
5
8
!!!
7
4
von 12 kg = ( 41 von 12 kg) ⋅ 7 = 3 km ⋅ 7 = 21kg
Strecken
5
6
von 30 km
Da man 30 ohne Rest durch 6 teilen kann, lässt sich 61 von 30 km sofort
berechnen: 5 km ! Daher geht die Rechnung z. B. so:
5
6
b)
c)
7
15
von 450 m Man kann 450 durch 15 teilen, also rechnet man so:
7
15
von 450 m = ( 151 von 450 m) ⋅ 7 = 30 m ⋅ 7 = 210 m
7
30
von 6 m
7
30
d)
von 30 km = ( 61 von 30 km) ⋅ 5 = 5 km ⋅ 5 = 25 km
5
12
5
12
Man kann 6 nicht durch 30 teilen, also wandelt man 6 m in
600 m um. Nun kann man aber 600 m durch 30 teilen:
von 6 m = ( 301 von 600 cm) ⋅ 7 = 20 cm ⋅ 7 = 140 cm = 1m 40 cm
von 7 km 200 m
Man kann 7200 m durch 12 teilen:
Toll !
1. Stufe: Berechne
1
12
von 7200 m = 600 m
2. Stufe: Dann sind
5
12
von 7200 m = 5 ⋅ 600 m = 3000 m = 3 km
von 7 km 200 m = ( 121 von 7200 m) ⋅ 5 = 600 m ⋅ 5 = 3000 m = 3 km
10220 Klasse 6
(3)
a)
Zeiteinheiten
8
13
von 26 h
Hier muss man nicht zuerst 131 von 1 h berechnen ! Da man 26 ohne Rest
durch 13 teilen kann, lässt sich 131 von 26 km sofort berechnen: 2 h !
Daher geht die Rechnung z. B. so:
Kurz:
d)
4
5
1. Stufe: Berechne
1
13
von 26 h = 2 h
2. Stufe: Dann sind
8
13
von 26 h = 8 ⋅ 2 h = 16 h !!!
8
13
von 26 h = ( 131 von 26 h) ⋅ 8 = 2 h ⋅ 8 = 16 h
von 40 min
Man stellt zuerst fest, dass 40 : 5 = 8 ist:
4
5
e)
11
15
von 40 min = ( 51 von 40 min) ⋅ 4 = 8 min ⋅ 4 = 32 min
von 3 h
Jetzt muss man erkennen, dass 3 h = 180 min durch 15 teilbar ist:
f)
11
15
von 3 h = ( 151 von 180 min) ⋅ 11 = 12 min ⋅ 11 = 132 min
29
30
von 5 min
29
30
von 5 min = ( 301 von 300 s) ⋅ 29 = 10 s ⋅ 29 = 290 s = 4 min 50 s
22
10220 Klasse 6
Aufgabe 7
Berechne in einer kleineren Einheit
a)
7
4
kg
b)
17
25
t
c)
23
50
e)
2
5
von 13 kg
f)
11
8
von 4 t
g)
3
4
Aufgabe 8
a)
2
3
g
d)
b)
4
7
von 280 kg
c)
5
9
von 12 km
b)
11
8
d)
4
7
von 140 m
e)
3
4
g)
5
13
von 2 m 60 cm
h)
3
16
von 2 km (in m)
i)
13
40
von 10 km
j)
7
30
von 6 m (in cm)
von 2 m
c)
17
20
von 3 dm
von 500 km
f)
2
9
von 81cm
b)
5
12
d)
1
600
h
von 20 min
b)
7
6
von 14 min
von 2 h
d)
3
4
von 3 h 24 min
Aufgabe 10
c)
5
30
von 36 t
Verkürzte Rechnungen
4
5
5
3
t
von 17 g (e bis g mit 3 Stufen !!!)
a)
a)
3
1000
Berechne in derselben Einheit
von 600 g
Aufgabe 9
23
h
h
min
Aufgabe 11
a)
4
15
c)
17
20
e)
7
10
von 8 h
f)
3
11
von 121h
g)
5
18
von 30 min
h)
4
27
von 9 h
10220 Klasse 6
24
5. Training: Gemischte Zahlen
Einführung:
Wir können Ganze und Brüche zusammenfassen:
Unser Rechenwerkzeug ist wieder die Bruchschokolade von der Firma
Mathegut:
Das sind 1 Tafel und eine halbe
Man könnte dies so schreiben:
1
1
oder kürzer 1 .
1+
2
2
Und hier haben wir
1
1
2+ = 2
4
4
Dann 4 +
3
3
=4 .
4
4
Ganze in Brüche zerteilen:
1
Tafeln.
2
Zerteilen wir die ganze Tafel
2
1
3
in 2 halbe Tafeln: 1 = , dann besitzen wir insgesamt 1 =
2
2
2
Hier haben wir 1
Tafeln !
1
Tafeln.
4
Zerlegen wir jede ganze
Tafel in 4 Viertel, dann ergeben die 2 ganzen Tafeln zusammen 8 Viertel,
1
8 1
9
also gilt: 2 = + =
4
4 4
4
Oder diese 2
Wir rechnen; 2 ⋅ 4 + 1, also ausführlich:
5
Tafeln auf dem Tisch.
8
Wir zerlegen jede Tafel in Achtel;
Dann erhalten wir insgesamt
4 ⋅ 8 + 4 = 32 + 5 = 37 Achtel!
5
4⋅8 + 5
37
4 =
=
8
8
8
Jetzt liegen 4
2
1
2⋅ 4 +1 9
=
= .
4
4
4
10220 Klasse 6
Hier noch vier Beispiele ohne Abbildungen:
a)
7
5
7 ⋅ 12 + 5
84 + 5
89
,
=
=
=
12
12
12
12
denn wenn ein Ganzes aus 12 Teilen besteht, dann bestehen 7 ganze
aus 7 ⋅ 12 = 84 Teilen. Dazu kommt der der Rest 5 Zwölftel.
4
3 ⋅ 11+ 4
37
=
=
11
11
11
b)
3
c)
12
19
12 ⋅ 25 + 19
300 + 19
319
=
=
=
25
25
25
25
d)
14
5
14 ⋅ 14 + 5 196 + 5
201
=
=
=
14
14
14
14
Merke: Ist der Zähler eines Bruches größer als sein Nenner, dann
Spricht man von einem unechten Bruch.
Die Umkehrung:
Unechte Brüche enthalten zerbrochene Ganze !
Wir sollen den unechten Bruch in eine gemischte Zahl
zurückverwandeln:
35
enthalten 3 ganze (Tafeln Schokolade oder was auch immer), nämlich
8
4⋅8
32
3
, bleiben als Rest
. Daraus erkennt man die
aufgeteilt in
=
8
8
8
Rechenmethode
35
3
=4 ,
8
8
denn 35 : 8 = 4 (Ganze) Rest 3 (Achtel)
41
5
,
=3
12
12
denn 41 : 12 = 3 (Ganze) Rest 5 (Zwölftel)
64
4
= 12 ,
5
5
denn 64 : 5 = 12 (Ganze) Rest 4 (Fünftel)
153
10
, denn 153 : 13 = 11 ( 11⋅ 13 = 143 ) Rest 10 (Dreizehntel)
= 11
13
13
25
10220 Klasse 6
26
Noch eine Bemerkung:
Bei manchen Rechnungen können Ergebnisse auftreten, die so aussehen,
5
23
oder 7
. Hier steht hinter der ganzen Zahl ein unechter Bruch.
wie 3
4
8
Wenn dies passiert, muss man aus dem unechten Bruch noch die
Ganzen herausziehen:
Beispiele:
3
5
5
1
1
= 3 + = 3 +1 = 4
4
4
4
4
7
23
23
7
7
=7+
= 7+2 = 9
8
8
8
8
8
12
2
2
= 8 + 2 = 10
5
5
5
Die Zwischenschritte darf man weglassen, also so:
4
3
1
=5
2
2
Aufgabe 12
oder
2
7
1
=4
3
3
oder
12
14
1
= 13
.
13
13
Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche:
a)
7
3
4
b)
11
1
2
c)
6
3
5
d)
11
e)
4
13
25
f)
12
7
15
g)
8
2
9
h)
9
Aufgabe 13
7
8
25
27
Verwandle die gemischten Zahlen in unechte Brüche:
a)
13
4
b)
51
2
c)
13
5
d)
57
8
e)
413
25
f)
75
15
g)
92
9
h)
245
27
Aufgabe 14
7
4
a)
7
e)
24
13
5
Schreibe die gemischten Zahlen korrekt an:
b)
21
5
2
c)
7
11
5
f)
12
27
15
g)
48
18
9
d)
14
15
8
h)
19
100
27
10220 Klasse 6
27
10220 Klasse 6
Lösung der Aufgaben
Nur auf der Mathe-CD
28

Mathematik für Klasse 6 Bruchrechnung Teil 1 Friedrich W

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