os pequenos cardinais e o Axioma de Martin - PIBIC

Universidade Federal da Bahia
Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação
PI BI C
Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica UFBA
Projeto de Pesquisa do Orientador
Título do Projeto
Nome do Orientador
A Hipótese do Contínuo e algumas alternativas: os
pequenos cardinais e o Axioma de Martin
Samuel Gomes da Silva
Grupo de Pesquisa
(opcional)
Grupo de Lógica, Conjuntos e Topologia do IM-UFBA
Palavras Chave
(até 3)
Edital
Teoria dos Conjuntos, Topologia Geral, Combinatória
Infinitária
EDITAL PIBIC/UFBA 01/2011
Rua Basílio da Gama, 6/8 - 40.110-040 - Salvador-Ba.
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1. Objetivos e Justificativa
Objetivos e justificativa do projeto em termos de relevância para a pesquisa cientifica e do estado da arte.
O início do que conhecemos hoje por Teoria dos Conjuntos é amplamente reconhecido como sendo
o trabalho seminal de Cantor nas décadas de 70 e 80 do séc. XIX, ocasião na qual, inicialmente
investigando questões específicas de análise - como, por exemplo, pontos de acumulação de
subconjuntos da reta real -,ele vislumbrou a existência de diferentes "tamanhos" (cardinalidades)
para os conjuntos infinitos.
Convém lembrar que, para conjuntos infinitos, dizemos que X e Y possuem mesma cardinalidade se
existe alguma bijeção entre eles. Conjuntos infinitos que possuam a mesma cardinalidade do
conjunto N dos números naturais são chamados de conjuntos infinitos enumeráveis.
Já nos estágios iniciais de sua teoria, Cantor verificou que a cardinalidade dos conjuntos dos
naturais e dos reais era diferente: sendo aleph_0 o número cardinal de N e c (o continuum) o
cardinal de R, a partir do chamado "argumento diagonal" se estabeleceu a desigualdade estrita
aleph_0 < c. Mais geralmente, ele demonstrou que a cardinalidade do conjunto das partes de um
dado conjunto X era sempre maior do que a cardinalidade do próprio conjunto X, o que, por
argumentos combinatórios bastante conhecidos, nos dá como caso particular a desigualdade
anterior, aleph_0 < c. Surgia então a noção de não-enumerabilidade: o argumento de Cantor nos
garantiu que o conjunto dos números reais é não-enumerável.
Em seguida, Cantor passou a analisar as cardinalidades de vários "tipos especiais" de subconjuntos
da reta, e observou que esses conjuntos ou eram enumeráveis ou tinham a cardinalidade da própria
reta. Por exemplo, os subconjuntos fechados e não-enumeráveis da reta real possuem,
necessariamente, número cardinal c. Em seus estudos, Cantor não conseguia "produzir", ou "exibir",
nenhum subconjunto da reta real que tivesse um cardinalidade intermediária entre aleph_0 e c.
Motivado por essas experiências, Cantor conjecturou a chamada Hipótese do Contínuo (usualmente
denotada na literatura por CH, de Continuum Hypothesis):
CH = Não existe um subconjunto S da reta real cujo número cardinal seja maior do que aleph_0 e
menor do que c.
Colocado na linguagem de cardinais, o que CH diz é que c = aleph_1, onde aleph_1 é o menor
cardinal não-enumerável (i.e., o menor cardinal que é estritamente maior que aleph_0).
Pouco mais de 20 anos depois da apresentação da conjectura por Cantor, a Hipótese do Continuo já
entrava definitivamente para a história da matemática ao ser apresentada por Hilbert, em seu célebre
discurso em Paris em 1900, como sendo o primeiro de uma lista de 23 problemas que deveriam
guiar os rumos da matemática no século XX: com isso, resolver o chamado "Problema do
Contínuo" se tornou conhecido, para a comunidade matemática, como sendo o "primeiro problema
de Hilbert". E efetivamente, como observou di Prisco ([6]), a Hipótese do Contínuo "tem guiado o
desenvolvimento da Teoria dos Conjuntos por mais de um século".
Nos anos 20 e 30, a escola polonesa obteve alguns resultados interessantes. Sierpinski, em um texto
que hoje é considerado um clássico ([8]), mostrou que CH é equivalente à existência de uma
decomposição do plano em dois conjuntos disjuntos A e B tais que as seções verticais de A e as
seções horizontais de B são conjuntos enumeráveis: a partir desse resultado, ele deduziu várias
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outras equivalências para CH. Um colaborador da escola polonesa, o russo Luzin, na mesma época
provou que, assumindo CH, existem determinados "subconjuntos especiais da reta" que hoje são
conhecidos como Conjuntos de Luzin: subconjuntos não-enumeráveis dos reais cuja intersecção
com qualquer conjunto de primeira categoria ("magro") é enumerável. Os análogos dos conjuntos
de Luzin para a Teoria da Medida são os chamados Conjuntos de Sierpinski (subconjuntos nãoenumeráveis cuja intersecção com qualquer conjunto de medida nula é enumerável): esses
conjuntos também podem ser construídos se assumimos CH. Luzin estudou ainda várias
conseqüências da chamada "hipótese do contínuo fraca", que seria a desigualdade (2 elevado a
aleph_0) menor que (2 elevado a aleph_1).
Ainda nos anos 30, Gödel deu uma grande contribuição ao problema do continuum: ele demonstrou
que se a Teoria dos Conjuntos for consistente (i.e., não deduzir nenhuma contradição), então ela
continua consistente se acrescentarmos a Hipótese do Contínuo. Em particular, isso mostra que a
Hipótese do Contínuo não pode ser refutada. Gödel obteve esse resultado através da construção de
um determinado modelo, o chamado modelo construtível de Godel, L. O modelo construtivel
também mostrou que o Axioma da Escolha não pode se refutado.
Já em 1963 (há quase 50 anos, portanto), Cohen desenvolveu o método de forcing para obter um
modelo da Teoria dos Conjuntos no qual tanto a Hipótese do Contínuo como o Axioma da Escolha
não são válidos, o que, em conjunção com os resultados anteriores de Gödel, demonstraram que tais
princípios são independentes da axiomatização de Zermelo-Fraenkel para a Teoria dos Conjuntos.
Isso, num determinado ponto de vista (com o qual este proponente concorda), resolve
completamente o problema do continuum - exatamente por demonstrar que o mesmo é insolúvel.
Não havendo como demonstrar ou refutar a Hipótese do Contínuo, o que nos resta é encarar tanto
CH como sua negação como princípios combinatórios consistentes e estudar suas conseqüencias.
No entanto, para outros matemáticos, o que os resultados de Gödel e Cohen mostram é que os
axiomas usuais da Teoria dos Conjuntos é que são "fracos", por não terem a força suficiente para
decidir o problema do continuum. Nessa linha, vários pesquisadores vêm propondo a adoção de
novos axiomas para a Teoria dos Conjuntos (veja no texto de di Prisco, [6], comentários sobre esses
trabalhos, devidos a Foreman, Magidor e Shelah (88) e Woodin (01) ). Muito curiosamente, a
maioria dos novos axiomas que são propostos são tais que c = aleph_2. Estamos, no entanto, muito
longe de um consenso sobre quais seriam os novos "axiomas naturais" para a Teoria dos Conjuntos
que eventualmente decidiriam o Problema do Continuum. Como exemplo da polêmica que envolve
essa busca por novos axiomas, em 1986 Chris Freiling exibiu determinados axiomas que,
justificados por um argumento probabilístico, (elegantemente descrito em termos de "jogar dardos
na reta real") poderiam ser encarados como "naturais", sendo que um deles era exatamente
equivalente à negação da Hipótese do Contínuo. Neste caso também houve muita polêmica e quase
nenhum consenso.
Voltemos à época de Cohen: nos fins da década de 60, quando o método de forcing estava ainda
recente, houve uma "explosão" de resultados de consistência e independência em Teoria dos
Conjuntos. Nessa época, começaram a ser estudadas mais diretamente certas "alternativas" a CH, a
saber: os pequenos cardinais e o Axioma de Martin.
Os pequenos cardinais são cardinais não-enumeráveis que são definidos combinatorialmente a partir
de certas estruturas - ou de subconjuntos infinitos dos naturais ou de funções dos naturais nos
naturais. Com isso, cada pequeno cardinal kappa satisfaz desigualdades do tipo aleph_1 menor ou
igual a kappa menor ou igual a c. Com isso, a consistência de uma hipótese do tipo aleph_1 =
kappa, ou kappa = c, fornece uma hipótese consistentemente mais fraca que CH e que usualmente
consegue obter demonstrações para conseqüencias de CH (com isso já melhoramos o resultado, já
que enfraquecemos as hipóteses, além de obtermos mais modelos nos quais tais asserções valem).
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O Axioma de Martin é um axioma combinatório, normalmente enunciado na linguagem de ordens
parciais mas que possui um equivalente topológico que é bastante assemelhado ao Teorema de
Baire: em sua versão topológica, o Axioma de Martin declara que todo espaço topológico
compacto, Hausdorff e c.c.c. não pode ser escrito como a união de menos do que c fechados de
interior vazio (um espaço topológico é dito c.c.c. se não possuir famílias não-enumeráveis de
abertos dois-a-dois disjuntos). O Axioma de Martin (usualmente denotado MA) é consistente com a
negação de CH, e é encarado como uma "alternativa" a CH por dois motivos, que ocorrem
praticamente com a mesma freqüencia (cf. [7]):
- assim como ocorre com os pequenos cardinais, MA pode ser usado para demonstrar a validade de
certas conseqüências de CH. Como obviamente CH implica MA (note que MA, sob CH, é
simplesmente o Teorema de Baire para compactos T2 com a hipótese adicional c.c.c.), estamos
obtendo os mesmos resultados com hipotéses consistentemente mais fracas. Mais ainda: como MA
+ ¬CH (a conjunção do Axioma de Martin com a negação da Hipótese do Contínuo) é uma asserção
consistente, um resultado que seja conseqüencia de CH mas que possamos provar usando MA é,
portanto, um resultado do qual CH é independente - ou seja, tal conseqüencia com certeza não é
uma equivalência da Hipótese do Contínuo !
- por outro lado, vários resultados que são validos sob CH podem ser demonstrados não-válidos sob
MA + ¬CH: por exemplo, sob o Axioma de Martin e supondo a negação da Hipótese do Contínuo,
com certeza não podem mais existir conjuntos de Luzin e de Sierpinski, pois pode-se provar,
usando MA, que qualquer subconconjunto da reta de cardinalidade menor do que c é magro e tem
medida nula. Notar que uma conseqüencia de CH que é demonstrada não-válida sob MA + ¬CH é,
em particular, uma proposição indecidível para a matemática !
O ponto de vista moderno para o trabalho em Teoria dos Conjuntos e Combinatória Infinitária é
considerar tanto CH como MA + ¬CH como princípios combinatórios consistentes e estudar suas
conseqüencias e equivalências.
O trabalho de pesquisa do pesquisador proponente já envolve, desde o início de sua carreira, vários
tópicos que estão relacionados ao problema do continuum. A dissertação de mestrado do
proponente ([9]) versava sobre pequenos cardinais e suas aplicações na obtenção de resultados de
consistência e independência em topologia geral, tendo como referência principal o artigo de van
Douwen ([3]). Durante e depois do seu doutoramento, o proponente trabalhou diversas vezes com
estruturas combinatórias associadas a pequenos cardinais, como famílias almost disjoint ([10], [5]).
O trabalho do proponente inclui várias investigações sobre propriedades topológicas nas quais o
tamanho dos conjuntos fechados e discretos sejam de alguma forma limitadas pelo tamanho de seus
subconjuntos densos: isso envolve o estudo de um determinado teorema clássico envolvendo
combinatória e topologia, o chamado Lema de Jones. Uma aplicação imediata do Lema de Jones
nos garante que, sob CH, espaços normais e separáveis não podem conter fechados e discretos nãoenumeráveis. Já sob MA + ¬CH, existem espaços normais e separáveis com fechados e discretos
não-enumeráveis. Este é um exemplo clássico: temos aí uma questão de topologia geral que, apesar
de poder ser facilmente enunciada, possui respostas distintas dependendo do ambiente (consistente)
de Combinatória Infinitária escolhido: sob a Hipótese do Contínuo temos uma situação e sob o
Axioma de Martin em conjunção com a negação da Hipótese do Contínuo, temos outra.
Neste projeto de pesquisa, nos propomos a aprofundar nossas investigações prévias relacionadas a
estruturas combinatórias do tipo das que definem pequenos cardinais, com vistas a relacioná-las de
modo mais direto ou à Hipótese do Contínuo ou ao Axioma de Martin. Observando-se ainda que
existem determinados invariantes cardinais, relacionados aos chamados "ideais dos magros" e
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"ideais dos conjuntos de medida nula", que juntamente com outros pequenos cardinais formam o
chamado "diagrama de Cychon", nosso projeto de pesquisa se propõe, também, a estudar os
cardinais de tal diagrama. Convém destacar que um dos principais pesquisadores no mundo, no que
se refere a "combinatória de ideais e filtros" é Michael Hrusák, da Universidad Nacional Autonoma
do México, Campus Morelia. O proponente esteve no período de Maio de 2010 a Fevereiro de 2011
no México em pós-doutorado, sob a supervisão de Michael Hrusák, e portanto este projeto constitui
uma das continuações naturais do trabalho de pós-doutoramento do pesquisador proponente.
2. Metodologia
Descrição da maneira como serão desenvolvidas as atividades para se chegar aos objetivos propostos. Indicar os materiais e métodos que serão
usados.
A metodologia da pesquisa será a usual em matemática: faremos uma leitura cuidadosa dos
principais itens da bibliografia, na qual constam livros e artigos científicos, e depois os tópicos
presentes nessas publicações serão discutidos em encontros semanais com os estudantes, sendo
ainda apresentados em seminários. Os estudantes também participarão dessas leituras, após um
momento inicial de preparação, na qual apresentarei aos mesmos os aspectos fundamentais da
Teoria dos Conjuntos. O pesquisador proponente também estará em contato com colaboradores
externos: além de Michael Hrusák (UNAM/México), teremos como colaboradores a Profa. Ofélia
Teresa Alas (Profa. Titular - IME/USP), que esteve na UFBA em fevereiro de 2010 (durante a
Semana de Teoria dos Conjuntos e Topologia Geral) e apresentou uma palestra bastante motivadora
sobre a Hipótese do Contínuo ([1]). Várias partes desse projeto de pesquisa se basearam em tópicos
apresentados nessa palestra. Também destaco como colaboradores os seguinte pesquisadores:
Leandro Fiorini Aurichi (ICMC/USP São Carlos), que fez sua dissertação de mestrado sobre a
Hipótese do Contínuo, em 2005, e que portanto possui conhecimento e experiência no tópico; e
também nosso colaborador habitual Charles Morgan ([5]), da University College London, com
quem trabalhamos já há alguns anos nas interações entre a Combinatória Infinitária e a Topologia
Geral, e que comunga com o proponente de diversos interesses nos tópicos em tela.
3. Viabilidade e Financiamento
Argumentação clara e sucinta, demonstrando a viabilidade do projeto e seus financiamentos (se existentes) com fonte e período de execução.
O projeto não possui financiamento. No entanto, com a infra-estrutura oferecida pelo Instituto de
Matemática, acreditamos que se trata de um projeto perfeitamente viável.
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4. Resultados e impactos esperados
Relação dos resultados ou produtos que se espera obter após o término da pesquisa.
Esta pesquisa sobre a Hipótese do Contínuo (e suas alternativas) ocorre num excelente momento:
em 2013 comemoraremos os cincoenta anos da prova, por Cohen, da consistência da negação da
Hipótese do Contínuo com relação aos demais axiomas da Teoria dos Conjuntos (ou seja, os 50
anos da prova da indecidibilidade dessa asserção matemática). Acreditamos que, por conta disso, o
assunto estará em voga na comunidade matemática, da mesma maneira que o Axioma da Escolha
esteve em 2008, quando dos cem anos de sua publicação por Zermelo. Convém recordar que o
pesquisador proponente publicou, em co-autoria com um ex-aluno de Iniciação Científica (João
Paulo Cirineu de Jesus, que depois esteve também sob sua orientação no mestrado, em continuação
de suas pesquisas sobre o Axioma da Escolha, e atualmente está em doutoramento na USP), um
artigo na Revista Matemática Universitária (da Sociedade Brasileira de Matemática), em 2008,
como parte da comemoração dos cem anos do Axioma da Escolha: além disso tivemos a
oportunidade de ministrar diversos minicursos sobre o assunto em várias universidades do país. Em
2010, novamente em co-autoria com esse ex-aluno de Iniciação Científica, obtivemos uma
publicação internacional com uma nova equivalência para o Axioma da Escolha, a qual conseguiu
bastante impacto para a pesquisa matemática no Estado da Bahia (ver o site
http://www.ufba.br/noticias/aluno-da-ufba-conquista-equival%C3%AAncia-original-para-axiomada-escolha). Acreditamos que teremos a oportunidade, com este projeto, de procurar desenvolver
um trabalho semelhante com a Hipótese do Contínuo (e suas alternativas): os estudantes
participantes também terão a oportunidade de conhecer um assunto que é alvo de bastante pesquisa
recente e poderão, eventualmente, obter a co-autoria de artigos em revistas nacionais ou mesmo
internacionais. Isso sem contar a qualificação a ser obtida por esses estudantes, que podem em
seguida, se assim o desejarem, continuar com suas pesquisas em nível de pós-graduação.
5. Cronograma de execução
Relação itemizada das atividades previstas, em ordem seqüencial e temporal, de acordo com os objetivos traçados no projeto e dentro do período
proposto.
Agosto a Dezembro/2011 - Leitura da bibliografia. Contatos com os colaboradores externos.
Apresentação aos estudantes de aspectos básicos da Teoria dos Conjuntos, capacitando-os para a
pesquisa.
Janeiro a Fevereiro/2012 - Atividades de Verão: curso de verão de Teoria dos Conjuntos, a ser
ministrado pelo proponente e por João Paulo Cirineu de Jesus, atualmente doutorando no IME/USP
e ex-orientado do proponente tanto na Iniciação Científica como no mestrado. Os alunos
participantes deste projeto estarão matriculados nesse curso. Visita à UFBA dos colaboradores
externos (possivelmente ocorrerá no final de fevereiro/2012 a II Semana de Teoria dos Conjuntos e
Topologia Geral no Instituto de Matemática da UFBA).
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Março a Julho/2012 - Discussão circunstanciada das diversas técnicas avançadas de Teoria dos
Conjuntos que são necessárias para a atividade de pesquisa na área. Produção de textos pelos
alunos, obtenção de resultados, redação dos relatórios, discussão sobre futuros usos do material
(monografia, artigos, etc.)
6. Referências bibliográficas (máximo de 10 referências)
Relação itemizada das referências que subsidiam a proposta de pesquisa, colocando as mais importantes.
[1] Alas, O. T. Sobre a Hipótese do Contínuo. Palestra ministrada na Semana de Teoria dos
Conjuntos e Topologia Geral, Instituto de Matemática da UFBA, Salvador, 2010.
[2] Aurichi, L. F. Sobre a hipótese do contínuo, algumas aplicações e equivalências. Dissertação de
Mestrado, Instituto de Matemática e Estatística da USP, São Paulo, 2005.
[3] van Douwen, E. The Integers and Topology. In: Handbook of Set Theoretic Topology, K.
Kunen e J. Vaughan (eds.), 111-167, North-Holland, Amsterdam-NY, 1984.
[4] Freiling, C. Axioms of Symmetry: throwing darts at the real number line. Journal of Symbolic
Logic v.51 (1), 190-200, 1986.
[5] Morgan, C.J.G., da Silva, S. G. Covering properties which, under weak diamond principles,
constrain the extent of separable spaces. Acta Mathematica Hungarica, v.128 (4) , 358-368, 2010.
[6] di Prisco, C.A. Are we closer to a solution of the Continuum Problem ? Manuscrito, v.28 (2)
331-350, 2005.
[7] Rudin, M. E. Martin’s Axiom. B.6 in Handbook of Mathematical Logic, Barwise, J. (ed),
Elsevier Science, Amsterdam, 1977.
[8] Sierpinski, W. Hypothèse du Continu, 1 ère ed., Monografie Matematyczne, PWN, Varsóvia
1934.
[9] da Silva, S. G. Uma introdução aos pequenos cardinais e às suas aplicações em topologia.
Dissertação de Mestrado, Instituto de Matemática e Estatística da USP, 1998.
[10] da Silva, S. G. On the presence of countable paracompactness, normality and property (a) in
spaces from almost disjoint families. Questions Answers Gen. Topology 25 (1), no. 1, 1-18, 2007.
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