Diplomarbeit Modellierung elektromagnetischer

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Diplomarbeit
Modellierung elektromagnetischer
Linearaktuatoren als Ventiltrieb
Studiengang Elektrotechnik
Studienrichtung Antriebs-/Automatisierungstechnik
Fachbereich Automatisierung und Informatik
bearbeitet von:
Kai Lehmann
1. Betreuer:
2. Betreuer:
Prof. Dr. Steven Liu
Dr. Paolo Mercorelli
Abgabetermin:
30. September 2002
Zusammenfassung
Die vorliegende Arbeit stellt die Modellierungsprozesse zweier Linearaktuatoren
für die Verwendung als Ventiltrieb vor. Diese Aktuatoren sind der Linearmotor
und der Elektromechanische Ventiltrieb. Ihre Verwendung ist vorzugsweise für den
Gaswechselbetrieb in Ottomotoren vorgesehen. Ausgehend von der Herleitung der
Systemgleichungen aus den theoretischen Grundlagen werden die elektrischen, die
magnetischen und die mechanischen Komponenten der Aktuatoren identifiziert.
Nach einer Abschätzung der thermischen Einflüsse werden die erörterten Zusammenhänge schließlich in einer dynamischen SIMULINK Simulation umgesetzt.
Feldberechnungsprogramme dienen der Verifizierung der Simulationsergebnisse.
Abschliessend folgt eine Darstellung der Regelungsstrategien und Regelungsprobleme beider Aktuatoranordnungen.
Abstract
This paper investigates the modelling process of two linear actuators designed for
acting as valve trains. These actuators are the linear motor and the electromechanical spring-mass system. Their application is primarily found in the valve train
of the Otto engine. After defining the systems’ equations based on theoretical
analysis, the electrical, the magnetic and the mechanical components are identified. The systems are implemented as dynamic SIMULINK models after their
thermal characteristics have been estimated. Finite Element programs are used
to validate the simulation results. Finally control technics and control problems
of both geometries are shown.
INHALTSVERZEICHNIS
I
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische Grundlagen
5
2.1
2.2
2.3
Mathematische Beschreibungsmöglichkeiten dynamischer Systeme
5
2.1.1
Systembeschreibung mit Übertragungsfunktion . . . . . . .
6
2.1.2
Systembeschreibung mit Zustandsgrößen . . . . . . . . . .
8
2.1.3
Die Begriffe Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit . . . . . .
11
Grundlagen Magnetismus
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.2.1
Übersicht der feldbeschreibenden Größen . . . . . . . . . .
14
2.2.2
Krafterzeugung im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.2.3
Permanentmagnetismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
21
Vorgehensweise beim Modellierungsprozess von Ventilaktuatoren .
22
3 Der Linearmotor als Ventiltrieb
25
3.1
Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
3.2
Berechnung des elektrischen Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
3.3
Berechnung des magnetischen Kreises . . . . . . . . . . . . . . . .
33
3.4
Das mechanische System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
37
3.5
Simulation des SIMULINK Modells . . . . . . . . . . . . . . . . .
40
3.6
Wärmebetrachtungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
3.7
Regelungsansätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
44
3.7.1
Entkopplung der Zustandsvariablen . . . . . . . . . . . . .
44
3.7.2
Sensorlose Regelung mit einem Beobachter . . . . . . . . .
46
INHALTSVERZEICHNIS
4 Der elektromechanische Ventiltrieb
II
50
4.1
Wirkungsweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
50
4.2
Berechnung des elektrischen Kreises . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.3
Berechnung des magnetischen Kreises . . . . . . . . . . . . . . . .
54
4.4
Das mechanische System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.5
Simulation des SIMULINK Modells . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.6
Regelungskonzepte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
4.6.1
Flatness Based Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.6.2
Sliding Mode Controller . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
65
5 Zusammenfassung und Ausblick
68
A Aufbau des Linearmotors
71
A.1 Daten der Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73
A.2 Daten der Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
A.3 Mechanische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
B Induktivitätsmessung im Linearmotor
75
B.1 Automatisierte Flussmessung mit L simlin.m . . . . . . . . . . . .
75
B.2 BH-Sättigungskennlinie get mur.m . . . . . . . . . . . . . . . . .
81
B.3 Induktivitätsberechnung mit L post.m . . . . . . . . . . . . . . .
82
C Elektrischer Kreis des Linearmotors
83
D Magnetkreis des Linearmotors
85
D.1 Bestimmung der magnetischen Widerstände und Spannungsquellen 86
D.2 Berechnung des Magnetkreises nach dem Superpositionsprinzip . .
87
D.3 Umrechnung der Streureluktanz aus der
FEMLAB Messung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E Kraftkennlinienbestimmung Linearmotor
89
91
E.1 Automatisierte Kraftmessung mit F simlin.m . . . . . . . . . . . .
91
E.2 BH-Sättigungskennlinie get mur.m . . . . . . . . . . . . . . . . .
96
INHALTSVERZEICHNIS
E.3 Visualisierung mit F post.m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F SIMULINK Modell des Linearmotors
F.1 Quellcode der Initialisierungsdatei init.m . . . . . . . . . . . . . .
III
97
98
98
F.2 Der elektrische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
F.3 Das mechanische System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
F.4 Der magnetische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
F.5 Das Gesamtmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
G Systemgleichung des Linearmotors
104
H Aufbau des EMV
106
H.1 Mechanische Daten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
H.2 Daten der Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
I
S-Function des EMV RL-Netzwerkes
J Magnetischer Kreis des EMV
109
111
J.1 Bestimmung der magnetischen Widerstände und Spannungsquellen 112
J.2 Bestimmung der magnetischen Flüsse und Feldstärken . . . . . . . 113
K SIMULINK Modell des EMV
114
K.1 Der elektrische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
K.2 Der magnetische Kreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
K.3 Das mechanische System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
K.4 Das Gesamtmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
Literaturverzeichnis
118
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
IV
Abbildungsverzeichnis
2.1
Strukturbild einer Übertragungsfunktion . . . . . . . . . . . . . .
7
2.2
Blockschaltbild der Zustandsdarstellung . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
SIMULINK Simulation des Beispielsystems . . . . . . . . . . . . .
10
2.4
Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Beispielsystems . . . . . .
13
2.5
Magnetfeld um einen Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.6
Darstellung eines einfachen Magnetkreises . . . . . . . . . . . . .
15
2.7
Beispiele von B-H Kennlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.8
Entstehung der Lorentzkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.9
Kraftwirkung eines Hubmagneten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20
2.10 Strukturierung elektromagnetischer Aktuatoren . . . . . . . . . .
23
3.1
Linearmotor als abgewickelte Rotationsmaschine . . . . . . . . . .
25
3.2
Aufbau des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3
Feldlinienverlauf im Linearmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
3.4
Elektrisches Ersatzschaltbild des Linearmotors . . . . . . . . . . .
29
3.5
FEMLAB Simulation des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . .
34
3.6
Magnetisches Modell des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . .
35
3.7
Kraftberechnungen im Linearmotor mit FEMLAB und SIMULINK 38
3.8
SIMULINK Simulation des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . .
41
3.9
Struktur des Entkopplungsmechanismus . . . . . . . . . . . . . .
45
3.10 Zustandsrekonstruktion mit einem Beobachter . . . . . . . . . . .
47
3.11 Polstellen des Linearmotormodells . . . . . . . . . . . . . . . . . .
47
3.12 Struktur der sensorlosen Regelung des Linearmotors . . . . . . . .
48
3.13 Regelungsergebnisse des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . . .
49
V
4.1
Aufbau und Wirkungsweise des EMV . . . . . . . . . . . . . . . .
51
4.2
Vereinfachtes Modell des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
52
4.3
Elektrisches Ersatzschaltbild des EMV . . . . . . . . . . . . . . .
53
4.4
Magnetisches Modell des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
55
4.5
FEMLAB Simulation des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
56
4.6
Hubkraftkennlinien im Vergleich . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
57
4.7
Simulation des EMV in SIMULINK . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.8
Trajektorien des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
4.9
Sliding Mode Regelung des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
4.10 Gesamte Reglerstruktur des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
4.11 Regelungsergebnisse des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67
A.1 Längen- und Flächenangaben des Linearmotors . . . . . . . . . .
71
A.2 Aufbau des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72
A.3 Eigenschaften der Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . . .
73
A.4 B-H Kennlinie der Permanentmagnete . . . . . . . . . . . . . . .
73
A.5 Eigenschaften der Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
A.6 B-H Kennlinie des Eisens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
74
A.7 Mechanische Daten des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . . .
74
D.1 Magnetisches Ersatzschaltbild des Linearmotors . . . . . . . . . .
85
F.1 Das elektrische Modell des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . 101
F.2 Das mechanische Modell des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . 101
F.3 Das magnetische Modell des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . 102
F.4 Das Gesamtmodell des Linearmotors . . . . . . . . . . . . . . . . 103
H.1 Längen- und Flächenangaben des EMV . . . . . . . . . . . . . . . 106
H.2 Aufbau des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
H.3 Mechanische Daten des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
H.4 Eigenschaften der Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
H.5 B-H Kennlinien der Eisenmaterialien . . . . . . . . . . . . . . . . 108
VI
J.1 Magnetisches Ersatzschaltbild des EMV . . . . . . . . . . . . . . 111
K.1 Das elektrische Modell des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
K.2 Das magnetische Modell des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
K.3 Das mechanische Modell des EMV
. . . . . . . . . . . . . . . . . 116
K.4 Das Gesamtmodell des EMV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
ABKÜRZUNGSVERZEICHNIS
VII
Abkürzungsverzeichnis
ANSYS
Bezeichnung eines Feldsimulationsprogrammes
EMV
Elektromechanischer Ventiltrieb
FEMLAB
Bezeichnung eines Feldsimulationsprogrammes
MATLAB
Mathematische Entwicklungssoftware
NdFeB
Seltenerdmetall bestehend aus Neodym(Nd), Eisen(Fe) und Bor(B)
SIMULINK
Simulationstool für MATLAB
A
Flächeninhalt, Systemmatrix
a
Beschleinigung
B
Flussdichte, Eingangsmatrix
Br
Remanenzflussdichte
Bg
Flussdichte im Luftspalt
C
Federkonstante, Ausgangsmatrix
D
Durchgangsmatrix
e
Fehlerfunktion
F
Kraft
G
Übertragungsfunktion
H
Feldstärke
Hg
Feldstärke im Luftspalt
Hc
Koerzitivfeldstärke
h
Längenangabe
I, i
Strom
Km
Maschinenkonstante
kd
Reibungskonstante
L
Laplacetransformierte
L
Induktivität
l
Längenangabe
lg
Größe des Luftspaltes
M
Magnetisierung
m
Masse
N
Windungszahl
PCu
Kupferverlustleistung
Q̇
Wärmestrom
QB
Beobachtbarkeitsmatrix
Qs
Steuerbarkeitsmatrix
R
elektrischer Widerstand
RCu
Kupferwiderstand
Rm
magnetischer Widerstand (Reluktanz)
RmAir
magnetischer Widerstand im Luftspalt
Rmσ
Streureluktanz
T
Temperatur
t
Zeit
U
Spannung
Uin
Eingangsspannung
Uq
Induktionsspannung
u
Eingangsfunktion
V
magnetische Spannung
v
Geschwindigkeit
W
Arbeit, Energie
Wm
magnetische Energie
w
Längenangabe
x
Position, Zustandsvariable
y
Ausgangsfunktion
yd
Solltrajektorie
VIII
αk
Wärmeübergangszahl
αs
Strahlungsaustauschkoeffizient
β
Temperaturkoeffizient
Θ
magnetische Urspannung
ΘCoil
magnetische Urspannung einer Spule
ΘM
magnetische Urspannung eines Permanentmagnetes
λ
Wärmeleitfähigkeit
µ
Permeabilität
τ
Zeitkonstante
Φ
magnetischer Fluss
Φg
magnetischer Fluss im Luftspalt
Φσ
Streufluss
Ψ
verketteter Fluss
IX
KAPITEL 1. EINLEITUNG
1
Kapitel 1
Einleitung
Jahr für Jahr werden weltweit Klimaveränderungen beobachtet, die nach Ansicht
von Experten geologischer und metereologischer Anstalten auf den hohen Grad
der Industrialisierung zurückzuführen sind. Schon seit vielen Jahren versuchen
die Industrieländer, insbesondere die am Treibhauseffekt beteiligten CO2 Emissionen zu reduzieren. Aufgrund der Dringlichkeit der Lage hat das Europäische
Parlament eine CO2 Reduzierung von 25% bis zum Jahr 2008 gegenüber dem
Stand des Jahres 1995 gefordert. Ein weiteres aktuelles Schlagwort ist die Ressourcenknappheit der Erde. Viele natürliche Rohstoffe wie Holz, Öle, Gase und
auch Sauerstoff werden unermüdlich von der Industrie verzehrt und in verschmutzende Rückstände umgewandelt. Man schätzt, dass die Erdölreserven der Erde,
der Rohstoff aller Kunst- und Treibstoffe, in zirka 200 Jahren aufgebraucht sein
werden.
Neben dem vermehrten Einsatz regenerativer Energien, wie Wind- und Wasserkraftanlagen, sind vor allem die Automobilhersteller bemüht, die Abgaswerte
und den Treibstoffverbrauch ihrer Fahrzeuge zu reduzieren. Besonderer Schwerpunkt liegt bei den Ottomotoren, da diese derzeit noch den Hauptteil der Antriebstechnik in Automobilen repräsentieren. Saugrohreinspritzung, 4-Ventiltechnik und
Restgasrückführung sind nur einige Erfolgskonzepte, mit denen es in der Vergangenheit gelungen ist, den Verbrauch und die Emissionen von Ottomotoren zu
2
senken. Beim Dieselmotor wurden durch neue Technologien wie Common-Rail
und Pumpe-Düse zusammen mit der bewährten Direkteinspritzung drastische
Verbrauchseinsparungen realisiert.
Ein enormes Potenzial wird der innovativen Gestaltung der Gaswechselventilantriebe zugeordnet. Die Treibstoff-Luft-Zufuhr basiert bei Ottomotoren derzeit auf Drosselsteuerung. Eine Drosselklappe, die durch das Gaspedal im Fahrzeug gesteuert wird, bestimmt mit ihrer Öffnung das Volumen an Treibstoff-LuftGemisch, das in den Brennraum gelangt. An der Drosselklappe entstehen unerwünschte Verwirbelungen, die zu so genannten Drosselverlusten führen. Durch
die Verwendung vollvariabler Ventiltriebe, die präzise Ventilbewegungen unabhängig
von der Drehzahl durchführen können, wird die Verwendung der Drosselklappe
überflüssig. Es kann ein optimales Volumen des Treibstoff-Luft Gemisches ohne
Drosselverluste in den Verbrennungsraum transportiert werden, was nicht nur
weniger Treibstoffverbrauch zur Folge hat, sondern auch weniger Emissionen verursacht. Klüting [18, S.130] schätzt, dass auf diese Weise Verbrauchseinsparungen
von bis zu 20% realisierbar sind. Da die vollvariable Ventilsteuerung eine optimale
Treibstoff-Luft Mischung gewährleisten kann, ist ihre Anwendung auch für den
Dieselmotor interessant.
Derzeit werden von allen renommierten Automobilherstellern verschiedenartige Ventiltriebkonzepte untersucht. BMW verfolgt mit dem Valvetronic System
das mechanische Konzept der Ventilsteuerung, welches auf dem Prinzip des Phasenstellers beruht. META schlägt das Zwei-Nockenwellen-System VVH vor, welches durch Verändern der Phasenlagen beider Wellen zueinander einen variablen Ventilhub ermöglicht. Fiat versucht, die variable Ventilsteuerung durch ein
elektro-hydraulisches System zu realisieren. Als derzeit aussichtsreichste Lösung
hat sich der elektromechanische Ventiltrieb erwiesen, ein Feder-Masse Schwinger
mit kraftunterstützenden Elektromagneten. Er wird in dieser Arbeit näher analysiert. Eine noch nicht bzw. nur sehr wenig untersuchte Variante ist die Verwendung von Linearmotoren als Ventiltrieb. Linearmotoren bieten den Vorteil, auf
3
dem gesamten Ventilweg vollelektronisch steuerbar zu sein. Zusätzlich bieten neuwertige Magnetwerkstoffe ein hohes Potenzial für erfolgsträchtige Entwicklungen
des Linearmotors als Ventiltrieb. Sowohl der Linearmotor als auch der elektromechanische Ventiltrieb benötigen keine Nockenwelle für die Ventilbewegung. Ihre
Ansteuerung erfolgt vollelektronisch und vollvariabel. Die Analyse des Linearmotors ist ebenfalls Gegenstand dieser Arbeit.
Beim Entwurf alternativer Ventiltriebkonzepte müssen Randbedingungen berücksichtigt werden, welche die Wahl des optimalen Aktuatordesigns entscheidend
beeinflussen können. Wie bei der konventionellen Nockenwellentechnik, müssen
Ventilhübe von zirka 8-10mm in zirka 3-4ms realisiert werden können. Zusätzlich muss beim Öffnen eine Kraft von ungefähr 800N zur Verfügung stehen, um
eventuellen Gasgegendrücken vom Motorbrennraum entgegenwirken zu können.
Um die Dauerfestigkeit der Ventile zu gewährleisten, darf die Aufsetzgeschwindigkeit des Ventils auf den Zylinderkopf den Wert von 0.2m/s nicht überschreiten.
Für hydraulische und elektrische Systeme können zudem die hohen Temperaturen am Gaswechselventil kritisch sein. Die Konstruktion der Ventilaktuatoren
muss einen platz- und gewichtssparenden Einbau im Motorraum ermöglichen. Der
Energieverbrauch der Aktuatoren muss minimiert werden und die Ankopplung an
das bestehende 24V Bordnetz ermöglichen. Nicht zuletzt sollten die finanziellen
Kosten alternativer Ventilantriebe akzeptabel sein.
Die vorliegende Diplomarbeit stellt den Modellierungsprozess zweier ausgewählter Linearaktuatorkonzepte für den Einsatz als Ventiltrieb vor. Sie ist im Rahmen
eines Praxissemesters im Institut für Automatisierung und Informatik in Wernigerode entstanden. Die vorgestellten Modellierungskonzepte betrachten den Linearmotor und den elektromechanischen Ventiltrieb.
In Kapitel 2 werden die theoretischen Grundlagen zum Verständnis der Modellierungsschritte erarbeitet. Nach einer Darstellung der mathematischen Beschreibungsmöglichkeiten dynamischer Systeme werden die physikalischen Grundlagen
4
des Magnetismus dargestellt. Erläuterungen zur Herangehensweise der Modellfindung schliessen das Kapitel ab.
Aufbauend auf die Erkenntnisse der theoretischen Grundlagen werden in den
Kapiteln 3 und 4 die konkreten Modellierungsschritte des Linearmotors und des
elektromechanischen Ventiltriebs vorgestellt. Für die Modellierungen werden die
elektrischen, die magnetischen und die mechanischen Komponenten der Aktuatoren analysiert, modelliert und schließlich in eine Simulation eingebettet. Die
Feldsimulatoren FEMLAB und ANSYS werden zur Verifizierung der theoretischen Modellbildung verwendet. Neben der Darstellung der Modellierungsschritte
werden auch Regelungsansätze der Aktuatoren vorgestellt, die einen realistischen
Einsatz unter den genannten Randbedingungen überhaupt erst ermöglichen.
In Kapitel 5 werden die Ergebnisse dieser Arbeit zusammengefasst und ausgewertet. Die Charakteristika des Linearmotorkonzeptes werden mit dem Konzept
des elektromechanischen Ventiltriebs verglichen und bewertet. Ein Ausblick in
zukünftige Entwicklungen der Ventilsteuerung schliesst diese Arbeit ab.
KAPITEL 2. THEORETISCHE GRUNDLAGEN
5
Kapitel 2
Theoretische Grundlagen
2.1
Mathematische Beschreibungsmöglichkeiten
dynamischer Systeme
Für die Abbildung realer Prozesse mit Hilfe von mathematischen Modellen spielen
Differentialgleichungen eine essentielle Rolle. Ihre Bedeutung liegt vor allem in der
Eigenschaft, nicht nur Beziehungen zwischen Eingangs- und Ausgangsgrößen darzustellen, sondern auch den zeitlichen Verlauf von Ereignissen, also dynamische
Betrachtungen in die Systemmodellierung mit einzubeziehen. Der wichtigste und
meist auch schwierigste Schritt einer Systembeschreibung ist immer das Finden
von Differentialgleichungen, die das Systemverhalten in ausreichender Genauigkeit beschreiben.
In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie aus einer Darstellung mit gewöhnlichen
Differentialgleichungen1
y m (t) = f (t, y(t), ẏ(t), ÿ(t), . . . , y (m−1) (t))
(2.1)
Übertragungsfunktionen und Zustandsdarstellungen modelliert werden können.
Nach einem Vergleich der vorgestellten Methoden werden Analysemethoden zur
1
gewöhnliche Differentialgleichungen haben nur eine unabhängige Variable im Gegensatz zu
partiellen Differentialgleichungen, Vgl. auch [26]
6
Systemuntersuchung vorgestellt.
Als Beispiel für die nächsten Abschnitte sei das Gleichungssystem
ẋ1 = x1 + 2x2 + u
(2.2)
ẋ2 = x1
y = x1 − 2x2
gegeben. Es handelt sich um ein fiktives System aus gewöhnlichen, linearen Differentialgleichungen erster Ordnung.
2.1.1
Systembeschreibung mit Übertragungsfunktion
Das analytische Lösen der systembeschreibenden Differentialgleichungen kann
sehr aufwendig sein2 , weshalb in der Regel numerische Methoden zur Lösung herangezogen werden. Doch auch hier bereiten unstetige Eingangsfunktionen und die
oft unklaren Anfangsbedingungen Schwierigkeiten. Um dieses Problem zu umgehen, kann durch eine Laplace-Transformation der Form
F (s) = L{f (t)} =
∞
f (t)e−st dt
(2.3)
0
das Differentialgleichungssystem in den Laplace-Bereich überführt werden. Diese
Darstellung bietet den Vorteil, dass die differentiellen Ableitungen durch komplexe Variablen s = σ +jω ersetzt werden können, wodurch das Gleichungssystem in
ein algebraisches System konvertiert wird. Im Laplace-Bereich kann dieses System
mit Methoden der linearen Algebra gelöst werden. Durch Rücktransformation mit
σ+j∞
1 f (t) = L {F (s)} =
F (s)est ds
2πj
−1
(2.4)
σ−j∞
erhält man schließlich die Lösung des Differentialgleichungssystems im Zeitbereich. Die Laplacetransformation hat starke Ähnlichkeit mit der Fouriertransformation3 und bildet physikalisch ebenfalls den Frequenzbereich eines Systems ab.
2
3
Vgl. [31, S.58]
Vgl. [31, S.84]
7
Überträgt man die Eingangsgröße u(t) und die Ausgangsgröße y(t) des Systemmodells im Zeitbereich nach U (s) und Y (s) in den Laplacebereich, so kann die Beziehung zwischen diesen Größen durch die Übertragungsfunktion G(s) beschrieben
werden.
Y (s) = G(s)U (s)
(2.5)
G(s) ist genau die durch Gleichung 2.3 transformierte Systembeschreibung aus
Differentialgleichungen. Abbildung 2.1 verdeutlicht bereits die Problematik, die
mit der Übertragungsfunktion entsteht. Das System kann nur als ’Black Box’ untersucht werden, die interne Struktur von G(s) ist nach außen hin nicht sichtbar.
U (s)
-
G(s)
Y (s)
-
Abbildung 2.1: Strukturbild einer Übertragungsfunktion
Dennoch können durch die Modellbeschreibung mittels Übertragungsfunktion
komplizierte Abhängigkeiten im Zeitbereich mit einfachen algebraischen Methoden im Frequenzbereich behandelt werden. Die einfache Multiplikation in Gleichung 2.5 beispielsweise entspricht einer Faltung im Zeitbereich, welche dort nur
sehr aufwendig lösbar wäre.
Ein weiterer Vorteil in der Darstellung als Übertragungsfunktion liegt in der
Möglichkeit, Pol- und Nullstellen des Systems unmittelbar aus den Zähler- und
Nennerpolynomen von G(s) ablesen zu können. Durch die Kenntnis der Pol- und
Nullstellen können Aussagen über die Stabilität und die Dynamik eines Systems
getroffen werden.
Die Übertragungsfunktion von Gleichungssystem 2.2 lautet
G(s) =
(s − 2)
1
=
.
(s − 2)(s + 1)
s+1
Die Polstelle dieses Systems liegt bei -1, d.h. das System ist stabil.
(2.6)
2.1.2
8
Systembeschreibung mit Zustandsgrößen
Die Methodik und die Einfachheit der Übertragungsfunktionen sind seit Anfang
der 40er Jahre, also seit dem Beginn der Regelungstechnik als eigenständige Disziplin, bekannt. Eine Übertragungsfunktion beschreibt trotz ihrer Vorteile jedoch
immer nur das Eingangs-Ausgangs-Verhalten eines Systems, ohne die inneren
Zustände zu betrachten. Soll eine Regelung für ein System entwickelt werden,
so können eventuell auftretende innere Instabilitäten des Systems nicht erkannt
werden. Eine elektronische Schaltung beispielsweise könnte insgesamt stabil sein,
doch intern zu Zuständen führen, die die Zerstörung von Bauelementen mit sich
führen. Ziel der Systembeschreibung mit Zustandsgrößen ist es, nicht nur das
Eingangs- und Ausgangsverhalten, sondern auch die internen Zustandsgrößen eines Systemes zu modellieren und Kriterien für dessen Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit zu definieren. Die Zustandsmethodik wurde Anfang der 60er Jahre im
Wesentlichen durch Rudolph Kalman entwickelt. Bei der Beschreibung mit Zustandsgrößen wird keine Systemtransformation durchgeführt, stattdessen bleibt
man im Zeitbereich. Indem das Gleichungssystem 2.1 in die Form
ẋ = Ax + Bu
(2.7)
y = Cx + Du
überführt wird, kann der Zustandsvektor ẋ eingeführt werden, der die Beziehungen zwischen den Eingangs- und Ausgangsgrößen herstellt. Abbildung 2.2 zeigt
die äquivalente Struktur der Zustandsform mit Blockschaltbildern.
- D
x(t0 )
u(t)
- B
ẋ(t)
-
6
-
t
t0
-
?x(t)
- C
-
?
A Abbildung 2.2: Blockschaltbild der Zustandsdarstellung
-
y(t)
9
Der Vektor ẋ stellt die Zustände des Systems dar. Die Eingangsgrößen werden
durch den Vektor u und die Ausgangsgrößen durch den Vektor y repräsentiert. Die
Matrizen A, B, C und D beschreiben die Zusammenhänge der Zustandsvariablen
und deren Verknüpfungen zu den Eingangs- und Ausgangsgrößen. Das eigentliche
Systemmodell wird durch die Systemmatrix A beschrieben, welche die Zustandsgrößen untereinander verknüpft. Die Eingangsmatrix B und die Ausgangsmatrix
C stellen die externen Verknüpfungen zu den Eingangs- und Ausgangsgrößen dar.
Da es kein reales System gibt, das auf ein Eingangssignal ohne Verzögerung und
mit unendlicher Flankensteilheit reagieren könnte, kommt der Durchgangsmatrix
D keine physikalische Bedeutung zu. Differentialgleichung 2.2 ergibt sich in der
Zustandsdarstellung zu




 ẋ1 








ẋ2



 1

= 






2 
  x1 


1 0



x2


 1 


+
u
 

 

1 −2
(2.8)
0


y =



 x1 


.





x2
Die Lösung eines Systems mit Zustandsgrößen könnte ebenfalls mit Hilfe der
Laplace-Transformation erfolgen. Wie jedoch später noch gezeigt wird, ist das
numerische Lösen des Systems im Zeitbereich vorteilhafter.
Zur Untersuchung der Stabilität des Systems aus Gleichung 2.8 müssen die
Eigenwerte der Systemmatrix A untersucht werden. Liegen diese links der imaginären j-Achse, so ist das System stabil4 . Die Eigenwerte von A




 2 



λ=




(2.9)
−1
erfüllen dieses Kriterium nicht. Folglich sind Instabilitäten vorhanden, die näher
untersucht werden müssen. Abbildung 2.3a) zeigt die Sprungantwort der Über4
für eine umfassende Darstellung der Stabilitätsuntersuchungen siehe [29, S.425ff]
10
tragungsfunktion aus Gleichung 2.6 und der äquivalenten Zustandsdarstellung
aus Gleichung 2.8. Die Graphiken liegen exakt übereinander, denn es liegt dasselbe Gleichungssystem 2.2 für die Modellbildung zu Grunde. Abbildung 2.3b)
verdeutlicht die Verläufe der Zustandsvariablen x1 und x2 , welche extern, also in
der Sprungantwort, nicht sichtbar sind. Die nichtlinearen Zustände können signifikante Einflüsse innerhalb eines realen Prozesses bewirken, wie z.B. das Überhitzen
von Bauelementen. Mit Übertragungsfunktionen, die nur das Eingangs-AusgangsVerhalten eines Systems, nicht jedoch dessen innere Zustände darstellen können,
werden solche Nichtlinearitäten nicht erfasst.
7
18
1
x 10
x1
x2
Übertragungsfunktion
Zustandsdarstellung
0.9
16
0.8
14
0.7
12
0.6
10
2
x and x
1
y
0.5
8
0.4
6
0.3
4
0.2
2
0.1
0
0
1
2
3
4
5
time in s
6
7
8
9
10
0
0
a)
1
2
3
4
5
time in s
6
7
8
9
10
b)
Abbildung 2.3: Simulation des Beispielsystems aus Gleichung 2.2
a) Sprungantworten der Systeme aus Gleichungen 2.6 und 2.8
b) interne Zustandsvariablen x1 und x2 aus Gleichung 2.8
Neben dem Vorteil der Darstellung innerer Zustandsgrößen besitzt die Zustandsdarstellung noch weitere Vorteile gegenüber der Übertragungsfunktion, also der Darstellung im Frequenzbereich [29][33]:
• Die Zustandsdarstellung beschreibt auch nichtlineare, zeitvariante Systeme
• Da die Übertragungsfunktion im Frequenzbereich definiert ist, gehen alle
Zeitinformationen und somit auch die Anfangswertbedingungen des Systems
verloren. Bei der Zustandsdarstellung hingegen bleiben diese Informationen
erhalten.
11
Die Kürzung des Terms (s − 2) in Gleichung 2.6 bedeutet einen Informationsverlust. Durch Rücktransformation des gekürzten Ausdrucks mit Gleichung 2.4
ergibt sich das Differentialgleichungssystem zu
ẋ1 = −x1 + u
(2.10)
y = x1 .
Vergleicht man Gleichung 2.10 mit Gleichung 2.2, so wird der Informationsverlust
offensichtlich. Das Eingangs-Ausgangs Verhalten ist nach wie vor vollständig beschrieben, jedoch sind diejenigen Systeminformationen, die die inneren Zustände
beschreiben, verloren gegangen. In Wirklichkeit existieren die herausgekürzten
Terme weiterhin und beeinflussen das System. Mit der Übertragungsfunktion ist
dieser Unterschied allerdings nicht mehr erfassbar. Bleibt man im Zeitbereich,
beschreibt man also das System mit der Zustandsdarstellung, so bleibt der volle Informationsgehalt erhalten. Aus diesem Grunde wird, trotz der Einfachheit
der Laplace-Transformation, häufig eine numerische Lösung im Zeitbereich angestrebt.
2.1.3
Die Begriffe Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit
Den Begriffen Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit kommt in der Zustandstheorie
eine große Bedeutung zu, denn sie stellen für viele Reglerentwurfsverfahren die
notwendigen bzw. hinreichenden Bedingungen dar. Zusätzlich veranschaulichen
sie, in welcher Weise Interaktionen mit dem System durchgeführt werden können.
Das Zustandssystem 2.7 wird vollständig steuerbar genannt, wenn durch eine
geeignete Wahl des Steuervektors u in endlicher Zeit jeder beliebige Betriebszustand xB im Zustandsraum angefahren werden kann. Bildlich kann man sich
vorstellen, dass es einen Vektor u gibt, der das durch die Zustandsvektoren aufgespannte Koordinatensystem vollständig aussteuern kann.
Die vollständige Steuerbarkeit ist definiert als
!
!
Rang(B, AB, A2 B, . . . , An−1 B) = Rang(Qs ) = n,
(2.11)
12
wobei n die Anzahl der Zustände und A und B die System- und Eingangsmatrizen
des Systems 2.7 spezifizieren. Qs wird Steuerbarkeitsmatrix genannt. Der Rang
der Steuerbarkeitsmatrix des Beispielsystems 2.8


 

 

 1   1 


 
 = 2
Rang(B, AB) = Rang   ,  

 


 

0
(2.12)
1
ergibt 2 und ist somit gleich der Anzahl der Zustände, nämlich x1 und x2 . Das
System ist somit steuerbar. Abbildung 2.4a) visualisiert die Steuerbarkeit im
Zustandsraum. Durch eine geeignete Kombination der Vektoren der Steuerbarkeitsmatrix Qs ist jeder beliebige Betriebspunkt, z.B. xB , im Zustandsraum ansteuerbar. In der Literatur werden die durch die Vektoren aufgespannten Räume
häufig auch als Unterräume oder Subspaces bezeichnet[29][31].
Das Zustandssystem 2.7 wird vollständig beobachtbar genannt, wenn mit
Kenntnis der Eingangsgröße u und der Messgröße y Aussagen über die inneren
Zustände und über die Anfangszustände x(t0 ) getroffen werden können. Analog
zur Steuerbarkeit gilt für die Beobachtbarkeit das Kriterium









Rang 








C
CA
..
.
CAn−1







!
 !
 = Rang(QB ) = n,







(2.13)
wobei n wiederum die Anzahl der Zustände und A und C die System- und Ausgangsmatrizen des Systems 2.7 spezifizieren. Die Matrix QB wird Beobachtbarkeitsmatrix genannt. Das Beispielsystem 2.8 ist nicht vollständig beobachtbar,
denn es gibt nur einen unabhängigen (beobachtbaren) Vektor in QB aber zwei
13
steuerbare Zustände x1 und x2 .








=





CA

 C
Rang 





1 −2
−1 2



 = 1 = 2



(2.14)
Abbildung 2.4b) verdeutlicht dieses Ergebnis. Durch die Vektoren QB wird lediglich ein eindimensionaler Unterraum aufgespannt. Alle Zustände außerhalb dieses
Raumes sind nicht beobachtbar. Unter Verwendung der Eingangs- und Ausgangsgrößen können demzufolge keine Aussagen über die inneren Zustände getroffen
werden.
6
6
xB
1 ....................
..
...
...
...
-.. 1
a)
.........
...
2
...]
...
...
1..
.
...
-1
...
...
..
^
.
.
.
.
.
.
.
.
-2
-
b)
Abbildung 2.4: Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit des Beispielsystems 2.8
a) Steuerbarkeit, xB ist ein beliebig angesteuerter Betriebspunkt
b) Beobachtbarkeit
Mit Hilfe der Steuerbarkeit und der Beobachtbarkeit ist eine erste Charakterisierung eines Systems möglich. Für weitergehende Analysemethoden mathematischer Modelle in der Zustandsform sei auf [29] und [32] verwiesen.
Die Erkenntnisse dieses Abschnittes haben gezeigt, dass die Zustandsdarstellung viele Vorteile gegenüber der Übertragungsfunktion aufweist. Aus diesem
Grunde wird die Zustandsdarstellung in den folgenden Kapiteln bevorzugt verwendet.
2.2
14
Grundlagen Magnetismus
In diesem Abschnitt werden die physikalischen Grundlagen des Magnetismus
erläutert, die zum Verständnis der Modellierungsschritte dieser Arbeit notwendig
sind. Die Parameter des magnetischen Kreises stehen in enger Analogie zu denen
der elektrischen Kreise. Auch im magnetischen Kreis gibt es Spannungsquellen,
Widerstände und Ströme. Die Berechnung und die physikalische Bedeutung dieser Parameter wird im Folgenden erläutert.
2.2.1
Übersicht der feldbeschreibenden Größen
Wird ein Leiter mit Strom durchflossen, so bildet sich um diesen Leiter ein Magnetfeld aus. Abbildung 2.5 zeigt einen möglichen Feldlinienverlauf.
I
H
H
Abbildung 2.5: Magnetfeld um einen Leiter
Die entstehende Feldstärke H berechnet sich nach dem Durchflutungsgesetz
als Ringintegral zu
I=
Hdl = Θ
(2.15)
und bildet die magnetische Urspannung Θ aus, die mit einer Spannungsquelle im
elektrischen Stromkreis vergleichbar ist. Die Durchflutung Θ kann durch Wickeln
des Leiters vervielfacht werden zu
Θ=
I = IN,
(2.16)
15
wobei N die Anzahl der Windungen repräsentiert. Wird anstelle des Ringintegrals aus Gleichung 2.15 ein Integral mit definierten Intervallgrenzen verwendet,
so kann die magnetische Spannung V in einem beliebigen Abschnitt, beispielsweise in einem bestimmten Material, ermittelt werden.
Anhand von Abbildung 2.6 werden nachfolgend weitere magnetische Parameter erläutert. Es handelt sich um einen einfachen magnetischen Kreis mit einem
Luftspalt. Es seien homogene magnetische Bedingungen ohne Streueffekte angenommen. Kapitel 3 und Kapitel 4 dieser Arbeit untersuchen den Einfluss von
Streueffekten und Inhomogenitäten am konkreten Beispiel elektromagnetischer
Aktuatoren.
RmF e
Eisen
<
Luftspalt ?
6
∧
∨
Spule
Θ
Φ
>
ΘCoil
RmAir
Φ
>
a)
b)
Abbildung 2.6: Darstellung eines einfachen Magnetkreises
a) Geometrie
b) magnetischer Ersatzschaltkreis
Die magnetische Urspannung Θ der Spule verursacht im Eisenteil mit dem
magnetischen Widerstand RmF e einen magnetischen Fluss Φ. Die Richtung dieses Flusses ist abhängig von der Bestromung der Spule. An den Kanten des Luftspaltes tritt der Fluss in das Medium Luft über, welches neben dem Eisen einen
weiteren Widerstand RmAir im Magnetkreis darstellt. Der Fluss Φ ist im Eisen
und im Luftspalt konstant, da homogene Bedingungen angenommen wurden.
16
Wie im elektrischen Stromkreis auch verursacht die magnetische Urspannung
einen Stromfluss, dessen Wert von den Widerständen im Kreis abhängig ist. Analog zum ohmschen Gesetz elektrischer Netzwerke gilt für den magnetischen Kreis
Rm =
V
.
Φ
(2.17)
Der Parameter Rm bezeichnet den magnetischen Widerstand oder auch Reluktanz. V repräsentiert die magnetische Spannung über Rm und Φ den durch Rm
hindurchtretenden magnetischen Fluss. Unter Verwendung von Gleichung 2.17
und unter Annahme homogener Bedingungen kann Gleichung 2.15 umformuliert
werden zu
H=
ΦRm
l
(2.18)
und stellt somit eine weitere Berechnungsmöglichkeit der Feldstärke dar.
Die Reluktanz kann zusätzlich aus der Geometrie ermittelt werden
Rm =
l
,
µA
(2.19)
wobei l die Länge des Materials und A dessen Querschnitt angeben. Die Permeabilität µ ist ein Ausdruck für die magnetische Leitfähigkeit eines Materials und
berechnet sich aus der magnetischen Feldkonstante µ0 und der relativen Permeabilität µr
µ = µ 0 µr .
(2.20)
Die relative Permeabilität µr wiederum ist für die meisten Materialien eine nichtlineare Kenngröße und wird in Form von Flussdichte-Feldstärke Kennlinien hinterlegt. Die Flussdichte B drückt analog der Stromdichte im elektrischen Kreis
das Verhältnis des Materialquerschnittes A und dem durch diesen Querschnitt
hindurchtretenden Fluss Φ aus.
Φ=
BdA
(2.21)
Bei bekannter Permeabilität und Feldstärke kann die Flussdichte und somit auch
der Fluss aus der B-H Kennlinie ermittelt werden
B = µH.
(2.22)
17
Auf diese Weise können Sättigungseffekte in magnetischen Materialien berücksichtigt werden.
Abbildung 2.7 zeigt Beispiele für B-H Kennlinien und macht den Zusammenhang zwischen B, H und µ deutlich. Ab einen bestimmten Knickpunkt in der B-H
Kennlinie des Eisenmaterials (siehe Abbildung 2.7a) ist der Sättigungsbereich erreicht und die Flussdichte ändert sich nur noch sehr unwesentlich mit steigender
Feldstärke. Der Anstieg der Kennlinie ab diesem Knickpunkt ist genau die magnetische Feldkonstante µ0 .
1.4
2.5
2
1.2
1.5
1
1
0.8
B in T
B in T
0.5
0
0.6
−0.5
−1
0.4
−1.5
0.2
−2
−2.5
−4
−3
−2
−1
0
H in A/m
1
2
3
0
−9
4
−8
−7
4
x 10
a)
−6
−5
−4
H in A/m
−3
−2
−1
0
5
x 10
b)
Abbildung 2.7: Beispiele von B-H Kennlinien
a) nichtlineare Kennlinie eines Eisenmaterials
b) lineare Kennlinie eines Permanentmagneten
Eine weitere Kenngröße magnetischer Kreise ist der verkettete Fluss Ψ. Der
verkettete Fluss einer Spule mit N Windungen entspricht der Summe aller Flüsse Φ
innerhalb dieser Spule.
Ψ=
Φ = NΦ
(2.23)
Aus dem verketteten Fluss kann die Induktivität einer Spule ermittelt werden.
Die Induktivität stellt die Beziehung des erzeugten Flusses zum flusserzeugenden
Strom her.
L=
Ψ
I
(2.24)
18
Unter Beachtung von Gleichungen 2.16 und 2.17 kann Gleichung 2.24 umformuliert werden zu
L=
N2
Rm
(2.25)
und stellt somit eine geometriebasierte Alternative zur Induktivitätsbestimmung
dar.
Die magnetische Energiedichte des magnetischen Kreises ist das Produkt aus
Feldstärke und Flussdichte
Wmv =
HdB.
(2.26)
Mit ihrer Kenntnis kann die magnetische Energie eines Volumenelementes dV
ermittelt werden
Wm =
Wmv dV,
(2.27)
welche Aufschluss über den Energiebeitrag einzelner Magnetkreiskomponenten
zum Gesamtkreis liefert.
2.2.2
Krafterzeugung im Magnetfeld
Ziel vieler magnetischer Anordnungen ist die Erzeugung von Bewegung, beispielsweise in elektrischen Maschinen. Es gibt eine Vielzahl von Mechanismen, wie
durch Magnetfelder Kräfte entstehen werden können. Nachfolgend seien diejenigen Mechanismen erläutert, die für die Aktuatoranordnungen dieser Arbeit relevant sind. Eine umfassende Darstellung sämtlicher physikalischer Prozesse, die
ausgehend von einem Magnetfeld Kräfte erzeugen, ist in [1] und [3] gegeben.
Eine Variante zur Erzeugung von Kraft besteht in der Ausnutzung der Lorentzkraft. Abbildung 2.8 verdeutlicht dessen Entstehung. Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter der Länge l in einem Magnetfeld der Flussdichte B, so wirkt
auf diesen Leiter die Lorentzkraft
.
F = l i × B
(2.28)
Uq
_+
19
i
B
F
Abbildung 2.8: Entstehung der Lorentzkraft
Der Kraftvektor steht senkrecht zur Flussdichte und zum Strom. Das Erregerfeld
B muss dabei nicht zwangsweise von einem Permanentmagneten erzeugt werden,
wie es in Abbildung 2.8 dargestellt ist. Es könnte beispielsweise auch von einer
Spule generiert werden. Abhängig von der Stärke und von dem Vorzeichen des
Stromes i kann die Bewegung des Leiters variiert werden. Durch Wicklung des
Leiters kann dessen Länge und somit auch die resultierende Lorentzkraft vervielfacht werden. Gleichung 2.28 gilt ebenfalls für das Generatorprinzip. In diesem
Fall wird aus der mechanisch zugeführten Kraft F der Strom i erzeugt. Die in
einer Konfiguration mit bewegtem Leiter wirkende Induktionsspannung lässt sich
nach Gleichung 2.29 berechnen.
Uq = lvB
(2.29)
Für eine detailliertere Darstellung des Induktionsgesetzes sei auf [3, S.44ff.] verwiesen. Das Konzept der Lorentzkraft wird im Linearmotor ausgenutzt.
Hubmagnete hingegen basieren auf einem anderen physikalischen Prinzip. Abbildung 2.9 zeigt eine mögliche Anordnung. Das Prinzip beruht auf der Ausnutzung der anziehenden Kräfte ferromagnetischer Materialien in einem Magnetfeld.
Diese Anziehungskräfte bilden sich aus, wenn der magnetische Fluss von einem
Material mit der Permeabilität µ1 (beispielsweise Luft) in ein Material mit der
Permeabilität µ2 (beispielsweise Eisen) übergeht. Die Kraft wirkt senkrecht zur
Grenzfläche beider Materialien in Richtung des Stoffes mit der kleineren Permeabilität. Dieser Vorgang ist mit der Brechung von Licht an den Grenzflächen
verschiedener Materialien vergleichbar.
20
Spule
Fluss
Kraft
Luftspalt
Eisen
Abbildung 2.9: Kraftwirkung eines Hubmagneten
Die an der Oberfläche der ferromagnetischen Materialien entstehende Kraft
kann aus der magnetischen Energie bestimmt werden
F =
∂Wm
,
∂lg
(2.30)
wobei lg die Länge des Luftspaltes angibt. Diese Gleichung wird auch als Maxwellsche Zugkraftformel bezeichnet. Sie kann laut [3, S.23] vereinfacht werden
zu
B2A
.
F =
2µ0
(2.31)
Der Parameter A spezifiziert die Grenzfläche des ferromagnetischen Materials.
Melbert [24] gibt eine weitere Näherungsgleichung zur Bestimmung der Zugkraft
an:
F =
i2 N 2 Aµ0
.
4lg2
(2.32)
Gleichungen 2.31 und 2.32 werden in Kapitel 4 dieser Arbeit verglichen und den
Ergebnissen eines Feldberechnungsprogrammes gegenübergestellt.
2.2.3
21
Permanentmagnetismus
Permanentmagnete sind hochferromagnetische Materialien, die eine leistungslose Erzeugung eines Erregerfeldes ermöglichen. Sie bestehen oftmals aus SeltenErd-Metallen und sind sehr empfindlich gegenüber Temperatureinwirkungen und
mechanischen Belastungen. Vor dem Einsatz im technischen Magnetkreis werden
sie in einem aufwendigen Prozess unter Aufwendung hoher Feldstärken magnetisiert. Nach Abschalten des Magnetisierungsfeldes bleibt die Remanenzflussdichte Br im Permanentmagneten erhalten. Abbildung 2.7b) zeigt die B-H Kennlinie eines Permanentmagneten. Die Remanenzflussdichte ist bei einer Feldstärke
von H = 0A/m vorhanden, wenn kein äußeres Feld auf den Magneten einwirkt
und er sich im Kurzschluss befindet. In einem elektromechanischen Magnetkreis,
beispielsweise in einer elektrischen Maschine, wird sich immer auch ein Luftspalt befinden. Über diesen Luftspalt fällt durch den Fluss des Permanentmagneten ein magnetischer Spannungsabfall ab, der den Arbeitspunkt des Magneten von H = 0A/m in Richtung negative Feldstärkewerte verschiebt. Negative
Feldstärke bedeutet Energieabgabe, denn die magnetische Energie des Permanentmagneten wird nach Gleichung 2.26 ebenfalls negativ. Im Anwendungsfall
ist eine größtmögliche Energieausbeute des Permanentmagneten dann gegeben,
wenn auch der Betrag des Energieproduktes BH aus Gleichung 2.26 maximal
wird.
Die Koerzitivfeldstärke Hc im Punkt B = 0T der B-H Kennlinie aus Abbildung 2.7b) kennzeichnet diejenige Feldstärke, die notwendig ist, um den Permanentmagneten vollständig zu entmagnetisieren. Bei Temperaturerhöhung verschiebt sich die Kennlinie des Magneten parallel in Richtung des Nullpunktes
des Koordinatensystems. Folglich kann der Punkt Hc schon mit geringerer äußerer Feldstärke erreicht werden, wodurch sich der Permanentmagnet eher entmagnetisieren würde. Oberhalb einer so genannten Curietemperatur5 ist der Per5
bezeichnet den Temperaturpunkt, in dem Materialien vom ferromagnetischen Zustand in den
paramagnetischen Zustand wechseln
22
manentmagnet dann vollständig entmagnetisiert. Für Selten-Erd-Magnete liegt
diese Temperatur bei etwa 300 Grad Celsius. Für Anwendungen mit Permanentmagnete ist die Temperaturumgebung deshalb äußerst kritisch zu betrachten.
Die Entmagnetisierung eines Permanentmagneten ist nicht vollständig reversibel.
Nach Abschalten des Entmagnetisierungsfeldes können möglicherweise nur noch
geringe Flussdichten erzeugt werden, siehe [4] und [6].
Der magnetische Widerstand eines Permanentmagneten lässt sich nach Gleichung 2.19 berechnen. Die relative Permeabilität von Permanentmagneten liegt
im Bereich µr = 1 . . . 1.2, wodurch sie einen sehr hohen magnetischen Widerstand
aufweisen. Unter Anpassung von Gleichung 2.15 zu
ΘM = Hc hM
(2.33)
können Dauermagnete als Ersatzschaltkreiselemente in magnetischen Kreisen modelliert werden, wobei hM die Höhe des Magneten in Magnetisierungsrichtung
angibt. Die Magnetisierung M eines Dauermagneten lässt sich berechnen nach
M=
B
− H.
µ0
(2.34)
Die Magnetisierung wird häufig als Parameter für Feldberechnungsprogramme
benötigt.
2.3
Vorgehensweise beim Modellierungsprozess
der Ventilaktuatoren
In diesem Abschnitt wird die Herangehensweise zur Identifikation der Aktuatormodelle erläutert. Die zentrale Frage ist, was überhaupt modelliert werden
soll. Ziel der Modellierungen sind SIMULINK Modelle, welche ausgehend von einer realistischen Ansteuergröße, wie beispielsweise der Spannung, Informationen
über die Zustände des Aktuators liefern. Diese Informationen sind im Wesentlichen mechanische Größen wie Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung.
Aber auch weitere, für einen denkbaren Regelalgorithmus benötigte Parameter
23
wie Flussdichte- oder Feldstärkewerte sollen von der Simulation berechnet werden.
Die Systembeschreibung in SIMULINK erfolgt anhand analytischer Gleichungen
und Differentialgleichungen. Parallel zur Entwicklung der Systemgleichungen dienen die Finite-Elemente Programme FEMLAB und ANSYS zur Validierung der
ermittelten Zusammenhänge.
Für den Modellierungsprozess ist die Strukturierung der Aktuatoren in logische Komponenten sinnvoll. Abbildung 2.10 zeigt, wie das Gesamtsystem Aktuator in Teilkomponenten untergliedert werden kann.
Abbildung 2.10: Strukturierung der elektromagnetischen Aktuatoren
Die Unterteilung erfolgt in einen elektrischen, einen magnetischen und einen
mechanischen Kreis. Im elektrischen Kreis erzeugt die Eingangsgröße Uin durch
die Widerstände R und die Induktivitäten L einen dynamischen, zeitabhängigen
Strom i. Die durch diesen Stromfluss entstehende Energiequelle wird im magnetischen Kreis durch die magnetische Urspannung Θ repräsentiert. Sie verursacht
einen magnetischen Fluss Φ in den Komponenten des Kreises. Die magnetischen
Eigenschaften der Materialien werden durch die Ersatzschaltelemente Rm beschrieben. Zwischen dem Erreger und dem eigentlichen Aktuator muss sich ein
24
Luftspalt RmAir befinden, damit sich der Aktuator bewegen kann. In diesem Luftspalt findet die Energieübertragung zum beweglichen Teil der Anordnung statt.
Dort wird eine Kraft F erzeugt, die schließlich die Bewegung des Aktuators verursacht. Die beschreibenden Größen dieser Bewegung (x, v, a) stellen die Ausgangsgrößen der Simulation dar. Die mechanischen Eigenschaften der Anordnung wie
Reibungskraft, Dämpfung und Trägheit sind durch das Element Rmech symbolisiert. Abhängig vom konkreten Aufbau des Aktuators ergeben sich verfeinerte
Strukturen der drei logischen Kreise. Für die Untersuchungen des Linearmotors
und des elektromechanischen Ventiltriebs wird eine Strukturierung gemäß Abbildung 2.10 vorgenommen.
KAPITEL 3. DER LINEARMOTOR ALS VENTILTRIEB
25
Kapitel 3
Der Linearmotor als Ventiltrieb
In diesem Kapitel werden die physikalischen Zusammenhänge des Linearmotorkonzeptes für die Verwendung als Ventiltrieb untersucht. Anhand einer ausgewählten Topologie wird der Modellierungsprozess für eine dynamische Simulation vorgestellt. Anschließende Wärmebetrachtungen und Regelungskonzepte
verdeutlichen Realisierungsprobleme und Einsatzmöglichkeiten.
Das Prinzip des Linearmotors entspricht im Allgemeinen dem der elektrischen
Rotationsmaschine. Linearmotoren besitzen ebenfalls einen Stator und einen Läufer
und können in Gleichstrom-, Asynchron- und Synchronvarianten ausgeführt sein.
Linearmotoren sind als abgewickelte Variante der Rotationsmaschine zu verstehen, wie Abbildung 3.1 verdeutlicht.
Abbildung 3.1: Linearmotor als abgewickelte Rotationsmaschine in
Flach- und Röhrenkonfiguration, Quelle [5, S.35]
26
Während Drehstrom-Linearmotoren meist nur bei langen Verfahrwegen und
hohen Anzugsmomenten eingesetzt werden, wie beispielsweise bei der Magnetschwebebahn, finden Gleichstromlinearmotoren bei kleineren Geometrien Anwendung. Wie auch bei den Rotationsmaschinen weisen Gleichstromlinearmotoren
meist einen schlechteren Wirkungsgrad als die Drehstromvarianten auf.
Z.Q.Zhu [10] stellt einen Linearmotor-Prototypen vor, der den geforderten
Kraftanforderungen1 als Ventiltrieb im Automobil gerecht wird. Motiviert durch
seine Untersuchungen wird in diesem Kapitel die Geometrie eines permanentmagneterregten Gleichstromlinearmotors für die elektromagnetische Analyse herangezogen. Ziel ist die Erstellung einer dynamischen Simulation der Aktuatoranordnung in SIMULINK. Für die detaillierte Analyse der magnetischen Verhältnisse
und für die Verifizierung der verwendeten Analysis zur Modellbeschreibung wird
der Feldsimulator FEMLAB verwendet. Die Geometriedaten des Linearmotors
stammen aus den Arbeiten von Zhu. Die Daten und Kennlinien der Permanentmagnete sind aus [4, S.25] entnommen. Abbildung 3.2 zeigt den Aufbau des Linearmotors. In Anhang A ist dieser Aufbau nochmals mit allen Parameterangaben
dargestellt. Die Spulen sind in der Abbildung grün, die Permanentmagnete blau
und die Eisenstücke grau gekennzeichnet.
3.1
Wirkungsweise
Die NdFeB2 Permanentmagnete des Linearmotors sind in Abbildung 3.2 angegebener Richtung polarisiert und treiben einen magnetischen Fluss in Magnetisierungsrichtung. Abbildung 3.3 zeigt den Feldlinienverlauf der Permanentmagnete
als Ergebnis einer Feldsimulation mit FEMLAB. Die Feldlinien verlaufen durch
den Luftspalt, über die Spule und das äußere Eisenstück und schließen sich über
die gegenüberliegende Spule, dem gegenüber liegenden Luftspalt und dem inneren Eisenstück.
1
2
siehe Einleitung, Kapitel 1
NdFeB ist ein Seltenerdmetall, das aus Neodym (Nd), Eisen (Fe) und Bor (B) besteht
a)
27
b)
Abbildung 3.2: Aufbau des Linearmotors
a) Frontsicht, b) Seitenansicht
Der dominierende Vorteil der Permanentmagnete liegt in der erzielbaren Flussdichte von zirka 0.8 Tesla im Luftspalt, was mit einer vergleichbaren Spulenanordnung nicht realisierbar wäre. Die Permanentmagnete stellen das Magnetfeld
der Flussdichte B bereit, so dass die stromdurchflossenen Leiter (Spulen) die
für die Bewegung erforderliche Lorentzkraft erzeugen können3 . Durch die hohe
Flussdichte der Permanentmagnete ist nur ein sehr geringer Strom der Spulen
erforderlich, um eine hohe Kraftwirkung zu erzielen. Der Hauptanteil der magnetischen Energie wird den Permanentmagneten entzogen.
Die Spulen führen Strom, der senkrecht zum Feld der Permanentmagnete gerichtet ist. Daraus resultiert Lorentzkraft und es kommt zu einer linearen Bewegung des Läufers. Abhängig von der Richtung des Stromes kann die Bewegungsrichtung des Läufers invertiert werden. Die inneren Spulen müssen unabhängig
davon stets entgegengesetzt der äußeren Spulen betrieben werden, da die inneren
Permanentmagnete entgegengesetzt der äußeren Permanentmagnete magnetisiert
sind. Nur so kann die gleiche Kraftrichtung der gesamten Anordnung erzielt werden.
3
siehe im Folgenden auch Abschnitt 2.2.2 dieser Arbeit
28
Abbildung 3.3: Feldlinienverlauf im Linearmotor
Eine Besonderheit der verwendeten Geometrie ist die Anordnung der inneren
Permanentmagnete. Durch die lückenlose Montage der inneren Magnete können
sich zwischen deren Grenzflächen keine Streufelder ausbreiten, wie es zum Beispiel im Luftspalt der Fall ist. Die Gesamtstreuung im Motor kann somit reduziert
werden.
Die dynamische Beschreibung des Linearmotors ähnelt stark der Beschreibung
von Gleichstrommaschinen4 . Für den Linearmotor kann das Spulenersatzschaltbild aus Abbildung 3.4 angenommen werden, wodurch der Spulenstrom i bestimmbar wird. Die im Magnetfeld der Permanentmagnete angeordneten, stromdurchflossenen Leiter der Spulen verursachen die Lorentzkraft
F = liBg
(3.1)
welche auf die Leiter wirkt. Durch die Bewegung des Läufers wird die Induktionsspannung
Uq = lvBg
(3.2)
in der Spule induziert und wirkt der extern angelegten Versorgungsspannung Uin
4
siehe [2, S.260ff.]
29
entgegen5 . Der Strom i und die Flussdichte Bg sind dynamische Größen. Ihre
Berechnung wird in den nächsten Abschnitten erläutert. Da die Flussdichte Bg
gemäß der Geometrie des Linearmotors senkrecht zum Strom i und zum Geschwindigkeitsvektor v steht, ist die skalare Formulierung der Lorentzkraft und
der Induktionsspannung zulässig. Der Ausdruck
Km = lBg
(3.3)
wird auch als Maschinenkonstante des Linearmotors bezeichnet. Für exakte Berechnungen ist zu beachten, dass die Flussdichte Bg von den nichtlinearen Widerständen in den Eisenstücken, vom Strom und von der Position des Läufers
abhängig ist, wodurch Km nicht als konstant angenommen werden kann.
3.2
Berechnung des elektrischen Kreises
RCoil
LCoil
Uq
Uin
i
<
Abbildung 3.4: Elektrisches Ersatzschaltbild des Linearmotors
Abbildung 3.4 zeigt das Ersatzschaltbild einer Spule des Linearmotors. Bei bekannten Spannungsverhältnissen kann der Strom i nach Gleichung 3.4 berechnet
werden6 .
Uin = RCoil i + LCoil i̇ + Uq
5
6
(3.4)
Für eine detaillierte Darstellung des Induktionsgesetzes siehe [3, S.44ff.]
Gleichung 3.4 repräsentiert die bekannte Spannungsgleichung von Gleichstrommaschinen, Vgl.
[3, S.44]
30
Die Bewegung des Läufers generiert die Induktionsspannung
Uq = lvBg ,
(3.5)
die der extern angelegten Versorgungsspannung Uin entgegen arbeitet. Uq wird
gerade so groß, so dass die Summe der Spannungsabfälle und Spannungsquellen
im elektrischen Kreis Null ergibt. Es stellt sich ein Gleichgewichtszustand gemäß
Gleichung 3.4 ein, wie es aus der Theorie der Gleichstrommaschine bekannt ist7 .
Die Induktivitäten der Spulen des Linearmotors können auf effiziente Weise
mit Hilfe von FEMLAB ermittelt werden. Die analytische Bestimmung allein aus
der Geometrie ist verhältnismäßig aufwendig, da der Kern der Spulen aus einer
komplizierten Anordnung aus Eisenteilen und Permanentmagneten besteht. Die
durch die Spulen erzeugten Flüsse sind zudem abhängig von der Position des
Läufers und von der Aktivierungsreihenfolge der flusserzeugenden Spulen.
Die Induktivität stellt den Zusammenhang zwischen dem verketteten Fluss
und dem flusserzeugendem Strom her8 .
L=
Ψ
I
(3.6)
Der verkettete Fluss9 wiederum ist abhängig von der Flussdichte, die in FEMLAB
direkt ermittelt werden kann.
Ψ = NΦ = N
BdA
(3.7)
In FEMLAB müssen nun die erforderlichen Arbeitspunkte n abhängig vom Strom
In der Spulen und von der Position Xn des Läufers eingestellt werden. Für jeden
dieser Arbeitspunkte wird je eine Spule einzeln aktiviert, um die Flussdichte Bn
innerhalb einer jeden Spule, also im Eisenkern, ermitteln zu können. Die Messung
innerhalb der aktiven Spule liefert Rechenwerte für die Bestimmung der Selbstinduktivität, wogegen die Messungen innerhalb der inaktiven Spulen Rechenwerte
7
Vgl. [2, Kap.C]
siehe Abschnitt 2.2.1 dieser Arbeit
9
8
31
für die Bestimmung der Gegeninduktivitäten10 zur Verfügung stellen. Anhang B
zeigt ein Makro zur automatischen Durchführung der Induktivitätsmessung in
FEMLAB. Das Makro stellt selbständig alle erforderlichen Arbeitspunkte ein,
misst die Flussdichten und errechnet im Anschluss daran die Selbst- und Gegeninduktivitäten der Spulen.
Die auf diese Weise ermittelten Induktivitätswerte zeigen, dass die Veränderung der Position des Läufers Induktivitätsänderungen von bis zu 10% mit sich
zieht. In der SIMULINK Simulation des Linearmotors wird der Mittelwert der Induktivitätswerte bezüglich der Position verwendet. Es wäre aber auch der Einsatz
eines SIMULINK Kennlinienfeldes zur Nutzung der exakten Messwerte denkbar.
Da die Induktivität in Beziehung zum magnetischen Fluss steht (Gleichung 3.6),
ist sie auch an die nichtlineare B-H Kennlinie der Eisenmaterialien gebunden und
unterliegt folglich ebenfalls deren Sättigungseffekten. In der SIMULINK Simulation des Linearmotors ist dieser Einfluss nicht berücksichtigt, stattdessen wird
nur der lineare Bereich der Induktivitätskennlinie verwendet.
Weiterhin kann festgestellt werden, dass sich die Induktivitätswerte an den inneren Spulen des Linearmotors, gemäß der Symmetrie der Anordnung, spiegeln.
Die Induktivitätswerte können somit in das vereinfachte SIMULINK Modell (Abbildung 3.6) integriert werden, welches im nächsten Abschnitt vorgestellt wird.
Die Induktivitäten der beiden äußeren Spulen unterscheiden sich zusätzlich von
denen der Inneren, wodurch unterschiedliche Dynamiken bezüglich Strom und
gemäß Gleichung 3.1 auch zur Kraft entstehen. Zur Berücksichtigung der verschiedenen Dynamiken enthält das SIMULINK Modell zwei Pfade für die Stromund für die Kraftberechnung für je eine äußere und eine innere Spule. Die somit
entstehende Struktur ist in Abbildung F.4 ersichtlich.
10
Die ausführliche Begriffserklärung und Berechnung der Gegeninduktivität kann [27, S.84ff.]
und [1, S.23] entnommen werden.
32
Der elektrische Kreis kann mit den durch die Induktivitätsmessungen gewonnenen Daten vervollständigt werden. Tatsächlich befindet sich in diesem Kreis
nicht nur die Selbstinduktivität, wie in Abbildung 3.4 dargestellt, sondern auch
die Koppelinduktivitäten zu den anderen Spulen. Diese Kopplungen, hervorgerufen durch die magnetischen Flüsse der anderen Spulen, erzeugen Induktionsspannungen, die sich den Komponenten des Spulenersatzschaltbildes 3.4 überlagern.
Unter Berücksichtigung der Symmetrie der Anordnung ergeben sich die Spannungsgleichungen zu
Uin1 − Uq1 = i1 RCoil + L11 i̇1 + L21 i̇2 + L31 i̇2 + L41 i̇1
(3.8)
Uin2 − Uq2 = i2 RCoil + L22 i̇2 + L12 i̇1 + L32 i̇2 + L42 i̇1
wobei L11 und L22 die Selbstinduktivitäten von Spule 1 und Spule 2 und die
restlichen Induktivitäten die Kopplungen zwischen den Spulen repräsentieren.
Anhang C zeigt, wie Gleichungssystem 3.8 in die Zustandsdarstellung11




 i̇1 








i̇2






 i1 
 Uin1 − Uq



+B
= A






Uin2 − Uq
i2

y







(3.9)



 i1 



= C




i2
überführt werden kann, um den elektrischen Kreis mit einem State-Space Block
in SIMULINK implementieren zu können. Mit Gleichung 3.9 ist das Verhalten
des elektrischen Kreises des Linearmotors vollständig beschrieben.
11
3.3
33
Berechnung des magnetischen Kreises
In diesem Abschnitt werden die magnetischen Zusammenhänge des Linearmotors
erörtert. Es sei im Folgenden auf die physikalischen Grundlagen des Abschnittes
2.2.1 dieser Arbeit verwiesen.
Die Feldberechnungen von Zhu [10, S.111] zeigen, dass durch die besondere
Anordnung zweier in gleicher Polarität ausgerichteter Dauermagnete in der Mitte
des Linearmotors jeweils ein Teil des Motors entkoppelt betrachtet werden kann.
Durch Abstoßung der Feldlinien in diesem Teil des Motors kann eine Auftrennung
des magnetischen Kreises vorgenommen werden. Eigene Felduntersuchungen (Abbildungen 3.3 und 3.5) bestätigen dieses Ergebnis. Simulationen in FEMLAB zeigen, dass die Flussdichten und Feldstärken in den entkoppelt betrachteten Hälften
nahezu identisch sind. Die maximale Abweichung zur vollständigen Geometrie beträgt 5% abhängig von der Position des Läufers.
Der Beitrag der Spulen zum gesamten magnetischen Fluss ist verhältnismäßig
gering. Er beträgt zirka 5% des Gesamtflusses bei einem Spulenstrom von 6A.
Auch bei einer höheren Bestromung oder sogar Umpolung ändert sich das Feldlinienbild des Linearmotors nicht. Dieser Effekt ist gewünscht, denn die Permanentmagnete sind zur Bereitstellung des Hauptanteils der magnetischen Energie
bestimmt12 .
Der separat betrachtete Teil des Linearmotors aus Abbildung 3.6a kann durch
das magnetisches Ersatzschaltbild Abbildung 3.6b angenähert werden. Die doppelt auftretenden Elemente (Spule, Permanentmagnet und Luftwiderstand) sind
im Schaltbild durch ein einzelnes Symbol gekennzeichnet.
Das Ersatzschaltbild stellt allerdings nur eine Näherung des Modells dar.
Tatsächlich wären eine Vielzahl von Streuwiderständen Rmσ zwischen den ein12
siehe Abschnitt 3.1 dieser Arbeit
a)
34
b)
Abbildung 3.5: FEMLAB Simulation des Linearmotors mit I=2.5A
a) Flussdichteverlauf, b) Feldstärkeverlauf
zelnen Komponenten des Kreises integrierbar. Hier soll ein einzelner Streuwiderstand als Zusammenfassung aller auftretenden Streuungen genügen. Dieser
Streuwiderstand ist im Ersatzschaltbild zwischen den Kanten der Permanentmagnete platziert, da diese den Hauptteil der magnetischen Energie tragen und
somit auch den Hauptteil des Streuflusses verursachen. Der Streuwiderstand Rmσ
des Ersatzschaltbildes kann mit Hilfe von FEMLAB gemessen werden. Dazu wird
zunächst der Aufbau aus Abbildung 3.6a in FEMLAB implementiert und simuliert. Im nächsten Schritt wird ein geeigneter Wert für Rmσ in der SIMULINK
Simulation eingestellt, so dass sich die Flussdichten und Feldstärken im Mittelwert denen der FEMLAB Simulation angleichen13 . Da das Ersatzschaltbild des
Linearmotors nur eine Näherung des Systems darstellt, muss vorzugsweise der
Bereich um die Spulen betrachtet werden, da die in diesem Bereich entstehende Flussdichte an der Krafterzeugung beteiligt ist14 . Da sich die 2d FEMLAB
Berechnungen auf eine z-Tiefe von 1m beziehen, muss der Streuwiderstand noch
auf die tatsächliche z-Tiefe des Modells übertragen werden (siehe Anhang D).
Der Wert des auf diese Weise ermittelten Streuwiderstandes beträgt 2.07e7 H −1 .
13
Die Angleichung kann dabei nur im Mittelwert erfolgen, da das SIMULINK Modell keine
inhomogene Feldverteilung berücksichtigt.
14
Vgl. Gleichung 3.1
35
RmF eo
ΘCoil
RmCoil
RmAir
∨ ΦF eo
>
Φσ ∨ ΦF ei
Rmσ
RmM
ΘM
a)
RmF ei
b)
Abbildung 3.6: Magnetisches Modell des Linearmotors
a) vereinfachte Geometrie, b) magnetisches Ersatzschaltbild
Mit FEMLAB ist lediglich eine geringe Abhängigkeit des Streuwiderstandes zum
Strom der Spulen nachweisbar (zirka 3%), weshalb der Streuwiderstand in der Simulation als konstant angenommen wird. Die Streureluktanz kann vergleichsweise
analytisch bestimmt werden. Unter der Annahme einer kreisförmigen Flussbahn
des Streuflusses an den Grenzflächen zwischen den Permanentmagneten ergibt
sich die Streureluktanz15 zu
Rmσ =
lσ
πlp /2
=
= 1.87e7 H −1 .
µ0 Aσ
µ0 hm wm
(3.10)
Obgleich dieses Ergebnis im Vergleich zu FEMLAB eine realistische Lösung darstellt, wird die FEMLAB Lösung bevorzugt, da der genaue Bahnverlauf des
Streuflusses unbekannt ist.
Für die Berechnung der Lorentzkraft ist die Kenntnis der Flussdichte im Luftspalt von Bedeutung. Laut Ersatzschaltbild gilt Φg = ΦF eo und somit
Bg = BCoil =
ΦF eo
,
ACoil
(3.11)
wobei Φg den magnetischen Fluss im Luftspalt und Bg die Flussdichte im Luftspalt bezeichnen. Die Berechnung der Flüsse Φ erfolgt gemäß Abschnitt 2.2.1
15
Vgl. Gleichung 2.19
36
nach dem Prinzip der Superposition. In einem Berechnungszyklus der Simulation
werden folgende magnetische Parameter16 sukzessive berechnet und verarbeitet:
Rm , Θ ⇒ Φ ⇒ B ⇒ H ⇒ µ ⇒ R m
(3.12)
Die einzelnen Berechnungsschritte des magnetischen Kreises sind Anhang D zu
entnehmen. Für die Berechnung der nichtlinearen Widerstände RmF eo und RmF ei
gilt17
µrF eo/F ei =
BF eo/F ei
µ0 HF eo/F ei
(3.13)
wobei die Werte BF eo/F ei und HF eo/F ei in einem Kennlinienfeld in SIMULINK
hinterlegt sind18 . Nach der Berechnung der magnetischen Widerstände Rm setzt
obiger Simulationszyklus von neuem ein, bis das Simulationsende erreicht ist. Mit
Kenntnis dieser Feldparameter ist der magnetische Kreis des Linearmotors hinreichend beschreibbar.
Abbildung 3.2a) zeigt, dass der Magnetkreis des Ersatzschaltbildes insgesamt
vierfach auf das innere Eisenstück wirkt und somit einen Fluss von 4ΦF ei im
Läufer verursacht. Dementsprechend schneller gerät das Eisenstück in den Sättigungsbereich der B-H-Kennlinie. Simulationen der vollständigen Geometrie des
Linearmotors in FEMLAB bestätigen die Überlagerung der magnetischen Flüsse
im inneren Eisenstück zu 4ΦF ei .
Wie bei der Gleichstrommaschine entstehen auch im Linearmotor Ankerrückwirkungen durch die Überlagerung des Feldes der Permanentmagnete und der
Spulen. Diese Rückwirkungen führen dazu, dass sich das Feld im Luftspalt und im
Spulenbereich verzerrt. Es können erhöhte Sättigungseffekte eintreten, wodurch
das Feld insgesamt geschwächt wird19 . Abbildung 3.5b) zeigt, wie sich das Feld
im Bereich der Spulen verschiebt. Die Folge der Ankerrückwirkungen ist die Verzerrung der Kraftentwicklung. Während sie sich in einem Teil des Spulenbündels
16
Die Berechnung der hier aufgeführten magnetischen Parameter wurde in Abschnitt 2.2.1 erarbeitet.
17
siehe Gleichung 2.22
18
siehe auch B-H Kennlinie Abbildung A.6
19
Vgl. [3, S.55]
37
konzentriert entwickelt, wird sie im anderen Teil reduziert. Unter Vernachlässigung der Feldschwächung durch Sättigung kann jedoch angenommen werden, dass
die insgesamt in der Spule erzeugte Kraft gleich bleibt, auch wenn sie sich lokal
verzerrt20 . Auf die Berechnung der Ankerrückwirkung sei deshalb hier verzichtet.
3.4
Das mechanische System
In den vorangegangenen Abschnitten wurde gezeigt, wie aus der Eingangsspannung der Strom in den Spulen und somit auch die Flussdichte im Luftspalt des
Linearmotors bestimmt werden kann. Aus dieser Flussdichte kann die erzeugte
Kraft und schließlich auch die Bewegung des Motors ermittelt werden.
Die im Linearmotor erzeugte Lorentzkraft
FL = liBg
(3.14)
wird in allen vier Spulen gleichzeitig erzeugt und wirkt der Massenbeschleunigung
Fa = ma
(3.15)
Ff ric = kd v
(3.16)
0 = FL − Fa − Ff ric − F0 ,
(3.17)
und der Reibungskraft
entgegen. Die Kräftebilanz lautet
wobei F0 die Störgröße repräsentiert, welche vom Verbrennungsraum her wirkt.
Die Position und die Geschwindigkeit des Läufers ergeben sich aus der Theorie
der Mechanik21 zu
FL − Ff ric − F0
= a = v̇ = ẍ.
m
(3.18)
Für die Verifizierung der in SIMULINK ermittelten Lorentzkraft kann ebenfalls ein Makro implementiert werden, welches repräsentative Arbeitspunkte des
20
21
Vgl. [2, S.276]
Vgl. [28, S.63]
38
Linearmotors in einem Feldberechnungsprogramm anfährt und die erzeugte Kraft
ermittelt. Anhang E zeigt ein Makro, das in Abhängigkeit des Stromes und der
Position des Läufers Kraftkennlinien des Linearmotors in FEMLAB generiert.
Abbildung 3.7 stellt die Kraftberechnungsergebnisse der SIMULINK Simulation
denen der Feldberechnungen in FEMLAB gegenüber. Erkennbar ist die Abhängigkeit der Kraft von der Position des Läufers. Wie die Abbildung zeigt, nimmt dieser
Einfluss mit größer werdendem Strom zu. Die SIMULINK Simulation berücksichtigt die Positionsabhängigkeit der Kraft nicht.
Abbildung 3.7: Kraftberechnungen im Linearmotor mit
FEMLAB und SIMULINK
Zusätzlich ist zu beachten, dass das SIMULINK Modell des Linearmotors nur
solange Gültigkeit besitzt, wie sich die Spulen innerhalb des homogenen Feldes
der Permanentmagnete befinden. Treten die Flächen ACoil der Spulen aus dem
Bereich der Flächen Am der Dauermagnete heraus22 , so verringert sich die Lorentzkraft, da weniger Leiterlänge l im Magnetfeld Bg zur Verfügung steht.
Mit den Kenntnissen über das Verhalten des elektrischen, des magnetischen
und des mechanischen Kreises des Linearmotors kann das komplette SIMULINK
Modell aufgebaut werden. Die Struktur der realisierten Simulation ist ebenfalls
22
siehe Abbildungen A.1 und A.2
39
in die drei logischen Komponenten elektrisches, magnetisches und mechanisches
System unterteilt. Das komplette Modell ist in Anhang F dargestellt.
Die Systemgleichungen des Linearmotormodells setzen sich aus Gleichung 3.9
des elektrischen Kreises, aus Gleichung 3.14 des magnetischen Kreises und aus
Gleichung 3.18 des mechanischen Kreises zusammen. Gleichungssystem 3.19 bis
3.21 fasst die Systemgleichungen des Linearmotors zusammen.







 i̇1 
 a11




 = 






a21
i̇2



 
a12 
  i1   b11 b12

 

+

 

 
a22
i2
b21 b22



  Uin1 − Uq1










Uin2 − Uq2
ẋ = v
v̇ = −
(3.19)
(3.20)
kd v − F0
2l
+
m
mACoil
N (i21
−
i22 )
RmRes1
+
Rmσ Φσ2 (i1 − i2 )
(3.21)
RmAir + RmCoil + RmF eo
Gleichung 3.19 repräsentiert das elektrische System des Linearmotors. Ihre
Herleitung wurde bereits in Abschnitt 3.2 erläutert. Gleichungen 3.21 und 3.21
beschreiben die magnetischen und mechanischen Komponenten des Aktuators.
Ihre Herleitung wird in Anhang G dargestellt. Die Abhängigkeit F ∼ i2 aus
Gleichung 3.21 verdeutlicht, dass der Linearmotor ein nichtlineares System repräsentiert. Auf die Auswirkung der nichtlinearen Zusammenhänge in Hinblick
auf die Regelung des Linearmotors wird in Abschnitt 3.7 eingegangen.
3.5
40
Simulation des SIMULINK Modells
Sowohl die SIMULINK Simulation als auch die FEMLAB Simulationen des Modells bestätigen die von Zhu berechneten Kraft- und Flussdichtewerte23 . Bei einer
Bestromung von 3A weichen die Flussdichte- und Kraftberechnungsergebnisse bis
zu 10% von Zhus Resultaten und bis zu 5% zwischen SIMULINK und FEMLAB
ab. Da die von Zhu eingesetzten ferromagnetischen Materialien unbekannt sind,
ist eine genauere Fehlerinterpretation der Simulationsergebnisse nicht möglich.
Die Masse des Läufers beträgt zirka 9kg und ist somit zu schwer für die praktische Anwendung als Ventiltrieb. In dem geforderten Zeitfenster von drei Millisekunden bewegt sich der Läufer nur 0.3mm anstatt der geforderten 8mm24 . Für
einen Ventilhub von 8mm und einer Zeitdauer von 3ms ergibt sich die benötigte
Beschleunigung zu
a=
2 ∗ 8mm
2s
=
= 1.77e3 m/s2 .
2
2
t
3ms
(3.22)
Dabei ist der Zeitverlust durch die Induktivitäten der Spulen noch nicht berücksichtigt. Das maximal zulässige Gewicht des Läufers darf bei einer angenommenen
Lorentzkraft von 850N die Masse
m=
F
850N
≈ 0.5kg
=
a
1.77e3 m/s2
(3.23)
nicht überschreiten. Soll diese Geometrie tatsächlich realisierbar werden, so muss
das Design des Linearmotors unter Berücksichtigung der zulässigen Höchstmasse
des Läufers optimiert werden.
Ein weiteres Problem verdeutlicht Abbildung 3.8a). Die Abbildung zeigt den
Verlauf der Eingangsspannung UinCoil1 von Spule 1 und die dazugehörige Bewegung des Läufers. Die Eingangsspannung UinCoil2 von Spule 2 verläuft der Eingangsspannung UinCoil1 invers. Erkennbar ist die unsymmetrische Bewegung des
Läufers mit einem Offset in positive x Werte.
23
24
Vgl. [10, S.109 und S.112]
Bei einer Eingangsspannung von 42V für alle Spulen
41
−3
2.5
x 10
2500
Uin Coil1
Theta
Coil1
Theta
Coil2
Theta
+Theta
Position x
2
2000
Coil1
1
1000
0.5
500
0
0
−0.5
−500
−1
−1000
−1.5
−1500
−2
−2000
−2.5
Coil2
1500
Theta in A
U in 1/20000*m/s; x in m
1.5
0
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
t in s
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
−2500
0
0.005
a)
0.01
0.015
0.02
0.025
t in s
0.03
0.035
0.04
0.045
0.05
b)
Abbildung 3.8: SIMULINK Simulation des Linearmotors mit Uin = 42V
a) Spannung U und Position x
b) Entstehung der Bewegungsunsymmetrie im Linearmotor
Diese Unsymmetrie in der Bewegung ist auf die Unsymmetrie der Induktivitäten der Spulen zurückzuführen (Abschnitt 3.2). Durch die verschiedenen Induktivitäten von Spule 1 und Spule 2 werden zwei verschiedene Ströme und somit
auch zwei verschiedene magnetische Urspannungen ΘCoil1 = i1 N und ΘCoil2 = i2 N
im Motor erzeugt, wie Abbildung 3.8b) verdeutlicht. Die resultierende magnetische Urspannung der Spulen ist gemäß Ersatzschaltbild 3.6b) die Überlagerung der einzelnen Urspannungen der Spulen. Das Ergebnis der Überlagerung
ΘCoil1 + ΘCoil2 ist ebenfalls in Abbildung 3.8b) dargestellt. Die Ansteuerung der
Spulen muss aufgrund der Polarisierung der Permanentmagnete invers erfolgen,
siehe Abschnitt 3.1. Ohne Berücksichtigung der unterschiedlichen Induktivitäten
würde die resultierende magnetische Urspannung der Spulen nach der Überlagerung Null ergeben. Tatsächlich bilden sich aber Minima und Maxima heraus, wie
in Abbildung 3.8b) dargestellt. Die Urspannungen der Spulen wiederum überlagern sich den konstanten Urspannungen der Permanentmagnete (siehe Abbildung
3.6b). Die resultierende Urspannung aller Energiequellen enthält dann ebenfalls
ausgeprägte Minima und Maxima. Für den magnetischen Kreis bedeutet dies,
dass die Flussdichte im Luftspalt abhängig von der Bestromungsrichtung der
Spulen ebenfalls Minima und Maxima aufweist. In diejenige Richtung, in der
42
die Flussdichte dem Minimum unterliegt, kann sich aufgrund des Einflusses der
Flussdichte auf die Lorentzkraft weniger Kraft ausbilden25 . Im anders gepolten
Zustand, mit dem Maximum in der Flussdichte, steht folglich mehr Kraft zur
Verfügung. Im Falle des größeren Kraftreservoirs bewegt sich der Läufer weiter
als im umgepolten Zustand und es kommt ein Offset zu Stande, wie es in Abbildung 3.8a) dargestellt wird.
Für eine kontrollierte Ansteuerung des Linearmotors muss eine Stromregelung
entworfen werden, so dass die Spulenströme symmetrisch verlaufen und somit
auch die symmetrische Bewegung des Läufers möglich wird. In Abschnitt 3.7
wird eine Möglichkeit zur Kompensation der Unsymmetrien dargestellt.
3.6
Wärmebetrachtungen
In Abschnitt 3.1 wurde bereits erläutert, dass die Permanentmagnete den Hauptteil der magnetischen Energie im Linearmotor tragen. Der Nachteil in der Verwendung von Permanentmagnete liegt in der hohen Temperatursensibilität der
Anwendung. Die verwendeten NdFeB Dauermagnete reduzieren ihre Magnetisierung bereits bei einer Temperatur von zirka 150 Grad Celsius drastisch26 . Oberhalb der Curietemperatur von etwa 300 Grad Celsius sind die verwendeten Permanentmagnete vollständig entmagnetisiert. Der Entmagnetisierungsvorgang bei
NdFeB Werkstoffen ist irreversibel und führt dazu, dass der Linearmotor funktionsuntüchtig wird. Aus diesen Gründen ist die Temperaturumgebung des vorgestellten Linearmotors sehr kritisch zu betrachten. Der Motorbrennraum leitet
Temperaturen bis zu 800 Grad Celsius27 in den Bereich des Ventilaktuators, wodurch die Permanentmagnete ohne Kühlung überhitzen und ihre Magnetisierung
verlieren. Aber auch die Spulen des Linearmotors selbst erzeugen Wärme, die sich
im Spiel des Läufers staut und die Dauermagnete erwärmt. Diese Argumente zeigen, dass eine Erwärmungsberechnung des Linearmotors unabdingbar ist, wenn
25
Vgl. den Einfluss von B auf die Lorentzkraft in Gleichung 3.14
siehe im Folgenden auch Abschnitt 2.2.3 dieser Arbeit
27
siehe Basshuysen [13, S.6]
26
43
ein realistischer Ventiltrieb entworfen werden soll. Prinzipiell kann ein Wärmeersatzschaltbild ähnlich Abbildung 3.6 entworfen werden, um die Wärmequellen
und Wärmesenken der Anordnung zu erfassen und die Erwärmungsberechnung
durchzuführen.
Die Spulen des Linearmotors stellen neben dem Motorbrennraum die Hauptwärmequelle dar. Ihr Einfluss wird durch die Kupferverlustleistung
PCu = i2 R
(3.24)
R = R20 (1 + β20 ∆T )
(3.25)
mit
ausgedrückt. Die Wärmeenergie der Spulen und des Motorbrennraumes breitet
sich über drei Mechanismen im Linearmotor aus:
• Wärmeleitung innerhalb von Materialien
∆T
Q˙L = λA
l
(3.26)
• Konvektion an den Grenzflächen von Materialien
Q̇k = αk A∆T
(3.27)
• und Strahlung, die nicht an stoffliche Träger gebunden ist
Q̇s = αs A∆T
(3.28)
In der Praxis stellt die Ermittlung der Wärmeleitfähigkeit λ, der Wärmeübergangszahl αk und des Strahlungsaustauschkoeffizienten αs jedoch erhebliche Schwierigkeiten dar, da diese Parameter stark geometrieabhängig sind. Oftmals können
nur so genannte Ähnlichkeitszahlen und empirische Werte gefunden werden, die
die tatsächlichen Temperaturbedingungen nur annähernd beschreiben. Die Kenntnis exakter Temperaturparameter ist aufgrund des schnellen Erreichens der Curietemperatur der Permanentmagnete entscheidend. Deshalb ist die Verwendung eines Finite-Elemente Programmes hoher Genauigkeit empfehlenswert. Die Wärmeberechnung des Linearmotors ist jedoch nicht Bestandteil dieser Arbeit.
3.7
44
Regelungsansätze
Für den Einsatz des Linearmotors als Ventiltrieb unter den geforderten Kriterien28
ist eine Regelung notwendig. Die Zeitkonstanten der Spulen des Linearmotormodells ergeben sich ohne Berücksichtigung der Koppelinduktivitäten zu
L11
0.0124H
=
= 8.17e−4 s
RCu
15.13Ω
L22
0.0254H
=
=
= 17e−4 s
RCu
15.13Ω
τCoil1 =
(3.29)
τCoil2
(3.30)
und sind damit zu träge, die Spulenfelder für die Bewegung des Läufers innerhalb
eines Zeitrahmens von 3ms aufzubauen. Im Folgenden wird erarbeitet, wie eine
Positionsregelung des Aktuators entworfen werden kann, die den Anforderungen
als Ventiltrieb entspricht29 .
3.7.1
Entkopplung der Zustandsvariablen
In Abschnitt 3.5 wurde gezeigt, dass die Bewegung des Linearmotors aufgrund
der unterschiedlichen Induktivitäten unsymmetrisch verläuft. Um eine Positionsregelung realisieren zu können, müssen diese Unsymmetrien beseitigt werden.
Symmetrie ist dann gegeben, wenn mit den Eingangsspannungen Uin1 und Uin2
unabhängig voneinander auf die Spulenströme i1 und i2 Einfluss genommen werden kann, d.h. wenn die Zustandsvariablen des Systems entkoppelt voneinander
angesteuert werden können. Systemgleichung 3.19 macht deutlich, dass die Spulenströme untereinander durch die Koeffizienten a12 und a21 beziehungsweise b12
und b12 gekoppelt sind. Ziel der Entkopplung ist das Finden geeigneter Matrizenoperationen, so dass diese Koeffizienten den Wert Null annehmen. Ist dies der
Fall, so wird der Spulenstrom i1 nur noch durch die Spannung Uin1 und der Spulenstrom i2 nur noch durch die Spannung Uin2 beeinflusst.
Mit Hilfe des geometrischen Ansatzes ’Subspaces Theory Control’ [38] [39]
können die genannten Koeffizienten voneinander entkoppelt werden.
28
29
siehe Einleitung, Kapitel 1
vorausgesetzt, dass die Masse des Läufers durch Optimierungsmethoden reduziert werden kann.
45
Abbildung 3.9 zeigt die Struktur einer möglichen Entkopplungsvariante. Durch
die Vorsteuerung, realisiert durch die Matrizenmultiplikation Gain1, können die
Koeffizienten b12 und b12 zu Null gesetzt werden. Eine Vorsteuerung ist deshalb
möglich, da mit den Eingangsspannungen Uin1 und Uin2 laut Gleichung 3.19 direkter Einfluss auf die Koeffizienten b12 und b12 genommen werden kann. Die
Nullsetzung der Systemkoeffizienten a12 und a21 wird durch Rückkopplung mit
dem Matrizenmultiplikator Gain2 realisiert. Eine direkte Einflussnahme mit den
Eingangsspannungen ist hier nicht möglich, wie auch Gleichung 3.19 zeigt. Die
Matrizenmultiplikatoren Gain1 und Gain2 werden durch den geometrischen Ansatz der ’Subspaces Theory Control’ gefunden.
Gain2
i1 , i2
Uin1 , Uin2
Vorsteuerung
-
Gain1
+?
+
-
-
SYSTEM
-
x, Φ, B, . . .
Abbildung 3.9: Struktur des Entkopplungsmechanismus
Das Resultat der Entkopplung ist die Erzeugung einer bestimmten Kombination der Eingangsspannungen Uin1 und Uin2 , so dass die Spulenströme i1 und
i2 entkoppelt voneinander wirken. Folglich kann eine symmetrische Bewegung
erzielt werden. Abbildung 3.13a) zeigt die Symmetrie der Spulenströme i1 und
i2 nach einer Entkopplung der Zustandsvariablen als Ergebnis einer Simulation in SIMULINK. Problematisch wirken sich ungenaue Multiplikatoren Gain1
und Gain2 aus. Wird deren Wert durch Rundungsfehler oder Störungseinflüsse
verfälscht, so wird das System wieder unsymmetrischer, abhängig vom Grad der
Verfälschung. Gegebenenfalls muss ein robusteres Verfahren zur Entkopplung der
Spulenströme gefunden werden.
46
Ein wichtiger Effekt der Entkopplung ist die Beseitigung der Nichtlinearität
F ∼ i2 (Gleichung G.8) des Linearmotormodells. Verlaufen die Spulenströme i1
und i2 exakt symmetrisch, so wird der nichtlineare Term N (i21 − i22 ) aus Gleichung
3.21 gleich Null, wodurch Gleichung 3.21 annähernd30 linearisiert wird. Ein linearer Regler ist zur Positionsregelung ausreichend, was im nächsten Abschnitt noch
gezeigt wird. Da die Matrizenmultiplikatoren Gain1 und Gain2 Rundungsfehler
enthalten können, ist die Realisierung einer idealen Symmetrie möglicherweise
nicht gewährleistet. Simulationen des Regelkreises zeigen, dass die Spulenströme
i1 und i2 ohne Entkopplung kleiner als 1A sein sollten, um die Nichtlinearität
N (i21 − i22 ) einzuschränken.
3.7.2
Sensorlose Regelung mit einem Beobachter
Als Ausgangspunkt für viele Regelungsverfahren werden die Zustandsgrößen des
Modells benötigt. Der Zustandsvektor ist in den meisten Fällen nicht messbar.
Ebenfalls sind auch weitere benötigte Parameter wie beispielsweise der Streufluss
oder die Feldstärke nicht oder nur mit hohem Aufwand messbar. Die benötigten
Parameter können jedoch mit Hilfe eines Beobachters rekonstruiert werden. Ein
Beobachter repräsentiert im Wesentlichen das mathematische Modell eines Systems in der Zustandsform. Abbildung 3.10 zeigt, wie mit Hilfe eines Beobachters
die Zustandsgrößen eines Systems berechnet werden können. Der Parameter x̂˙
bezeichnet den geschätzten Zustandsvektor des Systems. Er kann zusätzlich eine
Schätzung der Störgrößen enthalten. Da es sich um ein mathematisches Modell
handelt, können weitere Parameter des Systems berechnet werden. Das in diesem
Kapitel ermittelte Modell des Linearmotors stellt bereits einen Beobachter dar.
Die Rückführmatrix L in Abbildung 3.12 sorgt zusätzlich für die Minimierung
des Schätzfehlers e, der durch unbekannte Anfangswertzustände und Ungenauigkeiten im Modell entsteht. Um die benötigten Zustände des Systems durch einen
Beobachter ermitteln zu können, muss das Zustandssystem des Modells beob30
Die nichtlinearen Sättigungseffekte im Eisen beeinflussen das System weiterhin.
47
achtbar sein31 . Dann können auch die Parameter des Systems, ausgehend von
den Messsignalen, identifiziert werden. Tiefergehende Analyse- und Entwurfsmethoden für Beobachter sind in [29, S.501ff.] dargestellt.
Abbildung 3.10: Zustandsrekonstruktion eines linearen Systems mit
einem linearen Beobachter, Quelle [29, S.501]
Als Entwurfsgrundlage für die Regelung des Linearmotors wird der Positionssensor durch einen Beobachter ersetzt, der parallel zum Betrieb des Aktuators
die Position des Läufers aus dem Modell ermittelt. Da das System durch die Entkopplung der Zustände annähernd linearisiert wurde32 , kann ein linearer Regler
erster Ordnung für die Positionsregelung verwendet werden.
j
sigma
x
-2516
x
-262
x
-0.045
x
0
Abbildung 3.11: Polstellen des Linearmotormodells
In Abbildung 3.11 werden die Polstellen des linearisierten Linearmotormodells
dargestellt. Da eine der Polstellen im Koordinatenursprung liegt, ist das System
31
32
siehe Grundlagen, Abschnitt 2.1.3 dieser Arbeit
die nichtlinearen Sättigungseffekte im Eisen sind weiterhin präsent
48
marginal instabil. Durch Kompensation des langsamen Pols bei σ = −0.045 mit
einer Nullstelle, welche ebenfalls bei σ = −0.045 plaziert wird, kann das System stabilisiert werden. Ein Regler bestehend aus nur einer Nullstelle ist nicht
realisierbar33 , weshalb eine weitere Polstelle hinzugefügt wird, beispielsweise bei
σ = −800. Die Verstärkung des Reglers wird so eingestellt, dass eine schnelle Sprungantwort erreicht wird aber dennoch keine komplexen Pole entstehen.
Komplexe Pole habe ein Überschwingen zur Folge, was beim Ventilhub zu einem
Aufschlag auf das Gehäuse führen könnte. Durch reale Pole wird ein Überschwingen vermieden, wodurch ein ’Soft-Landing’ realisiert werden kann.
Abbildung 3.12 zeigt die resultierende Gesamtstruktur der Regelung mit den
bereits vorgestellten Entkopplungskomponenten aus Abbildung 3.9.
Feedback
Decoupling
Matrix
Disturbance
Controller
Position
set
Point
+
(I_1, I_2)
_
Internal
model (k/s^h)
Linear
Controller
System
Input
Decoupling
Matrix
+
+
Electrical
System
Magnetic
System
Mechanical
System
_
x,F,...
Uq
U_1, U_2
U*_q
(I_1, I_2)
NON-LINEAR
MODEL
x*
+
L
I*_1, I*_2
_
Non-Linear Observer and Estimator
Abbildung 3.12: Struktur der sensorlosen Regelung des Linearmotors
Die mechanische Störgröße (Disturbance) wirkt sich auf die Bewegung des
Läufers und somit auf die Induktionsspannung Uq aus34 . Die Induktionsspannung
bewirkt zusammen mit der Eingangsspannung Uin die Ausbildung des Spulenstromes i, der schliesslich gemessen und dem Beobachter zugeführt werden kann.
Auf diese Weise wird die Berücksichtigung der Störeinflüsse realisiert.
33
34
Vgl. [29]
siehe Gleichung 3.5
49
Abbildung 3.13 zeigt das Ergebnis der Regelung als Resultat einer SIMULINK Simulation. Auffällig ist die Symmetrie der Spulenströme i1 und i2 . Sie
wird durch die Entkopplung der Zustände des Modells erreicht. Die noch nicht
optimierte Masse des Läufers (9kg) hat eine Ventilbewegungszeit von zirka 50ms
zur Folge. Für den realen Einsatz als Ventiltrieb ist diese Bewegungsdauer jedoch
zu langsam.
−3
9
3
i1
i
2
x 10
8
2
7
6
Position in mm
Current in A
1
0
5
4
3
−1
2
−2
1
−3
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
time in sec.
0.12
0.14
0.16
0.18
0
0
a)
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
time in sec.
0.12
0.14
0.16
b)
Abbildung 3.13: Regelungsergebnisse des Linearmotors mit xsoll = 8mm
a) Spulenströme i1 und i2
b) Bewegung des Läufers zu xsoll = 8mm
0.18
KAPITEL 4. DER ELEKTROMECHANISCHE VENTILTRIEB
50
Kapitel 4
Der elektromechanische
Ventiltrieb (EMV)
Als Alternative zum Linearmotor wird in diesem Kapitel das Konzept des elektromechanischen Ventiltriebs (EMV) untersucht. Wie auch im vorangegangenem
Kapitel wird der Modellierungsprozess für eine dynamische Simulation erläutert.
Im Anschluss werden Regelungsansätze des EMV dargestellt.
Die Geometriedaten der untersuchten Anordnung stammen aus Beobachtungen an einem realen Ventiltrieb. Ziel der Untersuchungen dieses Kapitels ist
ebenfalls die Erstellung eines dynamischen SIMULINK Modells. Zur Verifizierung der SIMULINK Simulationsergebnisse werden die Feldsimulationsprogramme ANSYS und FEMLAB verwendet.
4.1
Wirkungsweise
Abbildung 4.1 zeigt den Aufbau einer EMV Einheit. Die Anordnung besteht aus
einer oberen und einer unteren Spule, die in einem Eisenpaket untergebracht sind.
Wird eine der Spulen mit Strom gespeist, so wirkt auf die Eisenplatte zwischen
den Spulen eine Anziehungskraft und der Anker bewegt sich. Die Anziehungskraft
des Elektromagneten beruht auf den in Abschnitt 2.2.2 erläuterten Prinzipien.
51
Abbildung 4.1: Aufbau und Wirkungsweise des EMV,
Quelle [14]
Da die vom Elektromagneten erzeugte Kraft bei einer Entfernung von 8mm
vom Anker zu gering ist, sind unterstützende Federn angebracht, die den Anker innerhalb der Anordnung oszillieren lassen und ihn in den Wirkungsbereich
der Spulen bewegen. Die Federn sind so dimensioniert, dass ein kompletter Bewegungsvorgang des Aktuators innerhalb von 3ms durchgeführt werden kann1 .
Ohne Reibung und ohne Störeinflüsse wäre keine weitere Kraft der Spulen notwendig, um die Eisenplatte zur jeweiligen Endlage schwingen zu lassen. In der
Praxis sind diese Störgrößen jedoch vorhanden und beeinflussen die Flugbahn
des Ankers. Die Spulen liefern steuerbare Magnetkräfte, um die Störeinflüsse zu
kompensieren. Die Hauptenergie für die Bewegung des Ankers wird dennoch aus
den Federn gewonnen. Erst wenn der Anker sehr nahe an die Spule herantritt,
kann diese eine ausreichende Kraft zur Anziehung der Eisenplatte erzeugen. Auf
den Elektromagneten sind Antiklebschichten aufgebracht, welche die Resthaltekräfte2 zwischen Spule und Anker im stromlosen Zustand verhindern und somit
1
Damit entspricht die natürliche Trajektorie der Federn bereits den zeitlichen Anforderungen
als Ventiltrieb, siehe Kapitel 1 dieser Arbeit.
2
Für eine tiefergehende Klärung des Begriffs ’Resthaltekraft’ siehe [1, S.58].
52
eine schnelle Schwingbewegung des Ventils ermöglichen. Befindet sich der Anker
an der Oberfläche der Antiklebschicht, so ist aufgrund der hohen Magnetkräfte
nur noch ein sehr geringer Haltestrom notwendig, um dessen Position zu halten.
Bei Abschalten des Stromes wird der Anker durch die Spannung der Federn zur
gegenüberliegenden Seite beschleunigt, bis er durch das Magnetfeld der anderen
Spule angezogen wird.
Abbildung 4.2 zeigt die Konfiguration des elektromechanischen Ventiltriebs,
wie sie in der Simulation verwendet wird.
Abbildung 4.2: Vereinfachtes Modell des EMV (farbiger Teil)
Unter der Annahme einer symmetrischen Aufteilung der Kräfte innerhalb einer Spule und unter Vernachlässigung von Streueffekten außerhalb der Spulen
kann ein vereinfachtes Modell für die Hälfte des Elektromagneten entworfen werden (rechter, farbiger Teil in Abbildung 4.2). Simulationen in FEMLAB bestätigen, dass sich die Kräfte symmetrisch verhalten und eine Hälfte des Elektromagneten entkoppelt betrachtet werden kann. Im Vergleich zur gesamten Anordnung
beträgt die Abweichung der Kraft 0.5% und die Abweichung der Flussdichten 1%.
Anhang H zeigt die verwendete Topologie nochmals mit allen Längen- und Materialangaben.
4.2
53
Berechnung des elektrischen Kreises
Abbildung 4.3 zeigt das aus den Grundlagen der Elektrotechnik bekannte Ersatzschaltbild einer Spule3 .
RCoil
LCoil
Uin
i
<
Abbildung 4.3: Elektrisches Ersatzschaltbild des EMV
Die Spannungsgleichung des elektrischen Kreises lautet
Uin = RCoil i + LCoil i̇.
(4.1)
Die Induktivität der Spule ist nicht konstant sondern abhängig vom Luftspalt der
Anordnung und stellt somit eine zeit- beziehungsweise ortsabhängige Größe dar.
Die Bestimmung der Induktivität wird in Abschnitt 4.3 erörtert, da sie aus dem
magnetischen Kreis abgeleitet wird.
Da SIMULINK keinen Funktionsblock für zeitabhängige Parameter bereitstellt, muss eine S-Function4 verwendet werden, um den veränderlichen Einfluss
der Induktivität zu berücksichtigen. Gleichung 4.1 wird dafür in die Zustandsdarstellung5
i̇Coil = −
RCoil
Uin
iCoil +
LCoil
LCoil
(4.2)
y = iCoil
überführt. Diese Darstellung ermöglicht die Berechnung des elektrischen Systems
in den Derivative- und Output Segmenten der S-Function, welche den Wert der
3
Vgl [27, S.160]
siehe SIMULINK Handbuch [41]
5
4
54
Induktivität vor jedem Berechnungsschritt aktualisiert. Anhang I zeigt den Quellcode der implementierten S-Function.
In den Betrachtungen des elektrischen Netzwerkes der EMV Einheit sind die
Koppelinduktivitäten zwischen der unteren und oberen Spulen vernachlässigt, da
sie sich in einer Distanz befinden, in der die Magnetfelder nicht mehr effektiv
interagieren können. Feldsimulationen mit FEMLAB zeigen, dass der eingekoppelte Fluss in die gegenüberliegende Spule nicht mehr als 4% des Erregerflusses
beträgt. Die Einkopplung dieses Flusses ist abhängig von der Position des Ankers
und nimmt zu, wenn sich der Anker zur gegenüberliegenden Spule bewegt. In einem realistischen Ansteuerverfahren werden die Spulen jedoch erst zugeschaltet,
wenn sich der Anker sehr nahe an der zu aktivierenden Spule befindet, da die erzielte Kraftwirkung sonst zu gering wäre. Bei einer Distanz des Ankers von 1mm
beträgt die Flusseinkopplung weniger als 1%. Die Koppelwirkung der Spulen kann
deshalb vernachlässigt werden.
4.3
Berechnung des magnetischen Kreises
Das magnetische System des elektromechanischen Ventilaktuators kann ähnlich
dem Linearmotor in ein magnetisches Ersatzschaltbild überführt werden. Abbildung 4.4 zeigt dieses Ersatzschaltbild und die dazugehörige Geometrie.
Die magnetischen Widerstände der Luftspalte sind zu einem Ersatzschaltelement RmAir zusammengefasst. In Abschnitt 3.3 wurde bereits erläutert, dass die
Verwendung eines Ersatzschaltbildes bereits Fehler impliziert, da die Feldverteilung nur homogen betrachtet werden kann. Auch für den elektromechanischen
Ventiltrieb gilt, dass die magnetischen Flüsse und Feldstärken inhomogen sind.
Weiterhin wären auch im Ersatzschaltbild des EMV eine Vielzahl von Streureluktanzen integrierbar6 . Das Hauptstreufeld bildet sich jedoch im Luftspalt zwischen den Kanten des Elektromagneten und dem Anker aus. Abbildung 4.5 zeigt
6
Vgl. Linearmotor, Abschnitt 3.3 dieser Arbeit
55
ΘCoil
RmF e1
ΦCoil ∨
Rmσ
>
ΦAir ∨ Φσ
RmAir
RmF e2
a)
b)
Abbildung 4.4: Magnetisches Modell des EMV
a) vereinfachte Geometrie
b) magnetisches Ersatzschaltbild
die Feldverteilung innerhalb des Aktuators als Ergebnis einer Simulation mit
FEMLAB.
Die Berechnung des magnetischen Ersatzschaltkreises erfolgt nach den Prinzipien elektrischer Netzwerke. In Abschnitt 2.2.1 wurden die physikalischen Grundlagen für die Berechnung magnetischer Kreise vorgestellt. Anhang J zeigt, wie
diese Gleichungen verwendet werden können, um die magnetischen Flüsse und
Feldstärken des Kreises zu berechnen.
Die Streureluktanz ist zwischen Anker und Elektromagnet definiert. Sie ist
abhängig vom Luftspalt und kann laut Butzmann/Melbert [24] mit k0 = 1220
ermittelt werden zu
Rmσ =
RmF e2 + RmAir
.
k0 lg
(4.3)
Die Berechnung der übrigen magnetischen Widerstände und der Flussdichten erfolgt analog dem Linearmotor7 . Ergebnis der Berechnungen sind die magnetischen
Parameter der Ersatzschaltelemente. Die Simulation bestimmt dazu zyklisch die
7
a)
56
b)
Abbildung 4.5: FEMLAB Simulation des EMV mit I=3A
a) Flussdichteverlauf b)Feldstärkeverlauf
Feldgrößen8
Rm , Θ ⇒ Φ ⇒ B ⇒ H ⇒ µ ⇒ R m
(4.4)
und verarbeitet diese für den nächsten Simulationsschritt. Für die Berechnung der
nichtlinearen Widerstände RmF e1 und RmF e2 gilt analog dem Linearmotormodell
µrF e1/F e2 =
BF e1/F e2
,
µ0 HF e1/F e2
(4.5)
wobei die Werte BF e1/F e2 und HF e1/F e2 ebenfalls in einem Kennlinienfeld in
SIMULINK hinterlegt sind9 . Zusätzlich wird die Gesamtreluktanz RmSum des
magnetischen Ersatzschaltbildes bestimmt, aus der die Induktivität der Spule
ermittelt werden kann10 :
L=
N2
RmSum
.
(4.6)
Der magnetische Kreis des elektromechanischen Ventilaktuators ist mit den ermittelten Parametern 4.4 hinreichend beschrieben und kann als Grundlage für die
Bestimmung der mechanischen Charakteristika des Aktuators verwendet werden.
8
siehe Anhang J und Abschnitt 2.2.1 für die Berechnungsgleichungen der Feldgrößen
siehe B-H Kennlinie Abbildung H.5
10
Vgl. Gleichung 2.25
9
4.4
57
Die elektrischen und magnetischen Beziehungen des EMV wurden in den vorangegangen Abschnitten analysiert. Um den Modellierungsprozess abzuschließen,
muss nun das mechanische System des EMV identifiziert werden.
Die von einer Hälfte des Elektromagneten (siehe Abbildung 4.4a) erzeugte
Kraft lässt sich nach der Maxwellschen Zugkraftformel
FCoil =
Bg2 AF e1
2µ0
(4.7)
bestimmen. Gleichung 4.7 stellt lediglich eine Näherung des Zugkraftintegrals
aus Gleichung 2.30 dar. In einer exakten Feldberechnung kann die Genauigkeit
der Kraftberechnungsgleichung überprüft werden. Abbildung 4.6 zeigt das Ergebnis einer Feldberechnung mit ANSYS im Vergleich zu den Ergebnissen aus
Gleichung 4.7.
1000
Maxwellsche Zugkraftformel
Zugkraft laut Butzmann/Melbert
Zugkraftberechnung mit ANSYS 3d
900
800
700
F in N
600
500
400
300
200
100
0
0
1
2
3
4
x in mm
5
6
7
8
Abbildung 4.6: ANSYS Hubkraftkennlinie im Vergleich zu
analytischen Bestimmungsmethoden
Zum Vergleich stellt die Abbildung ebenfalls die Ergebnisse einer weiteren
Zugkraft-Berechnungsmöglichkeit dar11 , welche anfänglich in der SIMULINK Simulation verwendet wurde:
FCoil =
11
Vgl. Melbert [24, S.1204]
i2 N 2 AF e1 µ0
4lg2
(4.8)
58
Da die Vergleichsberechnungen mit ANSYS zeigen, dass mit der Maxwellschen
Zugkraftformel (Gleichung 4.7) im Bereich kleiner Luftspalte genauere Rechenwerte als mit der Variante von Melbert (Gleichung 4.8) erzielt werden können, verwendet die SIMULINK Simulation ausschließlich Gleichung 4.7 zur Hubkraftberechnung. Es wäre aber auch die Verwendung eines Kraft-Strom-Kennlinienfeldes
aus der ANSYS Simulation denkbar. Die Hubkraftwerte der ANSYS Simulation
beziehen sich auf eine exakte 3d Geometrie mit Sättigungs- und Streueffekten. Die
SIMULINK Simulation berücksichtigt lediglich die Streueffekte am Anker12 . Da
in ANSYS alle auftretenden Streuungen exakt modelliert werden, ist der resultierende magnetische Fluss im Luftspalt kleiner als in der idealisierten SIMULINK
Simulation. Folglich ist auch die mit ANSYS berechnete Hubkraft kleiner als die
der SIMULINK Simulation.
Die resultierende Kraft für einen gesamten Elektromagneten ergibt sich unter
Vernachlässigung von Streuungen zur nicht berücksichtigten Hälfte des Magneten
zu13
FCoilRes = 2FCoil .
(4.9)
Die Kräftebilanz im EMV lautet unter Einbezug der Reibungskraft Ff ric , der
Spannkraft der Federn Fspring und der Störgröße F0
FCoilRes + Fspring = Fa + Ff ric + F0
(4.10)
Fspring = Cx
(4.11)
Fa = mẍ
(4.12)
Ff ric = kd ẋ,
(4.13)
mit
wobei x = lg und C = C1 + C2 . Die Parameter C1 und C2 bezeichnen die Federkonstanten von Feder 1 und Feder 2, siehe Abbildung 4.1. F0 repräsentiert den
Gasgegendruck, der vom Motorbrennraum her wirkt.
12
Da die Simulation nur eine Hälfte des Elektromagneten modelliert, ist die Gesamtkraft durch
Multiplikation mit 2 zu bestimmen, siehe Abbildung 4.2.
13
59
Die Übertragungsfunktion14 des mechanischen Systems lautet
G(s) =
x(s)
FCoilRes (s)
=
ms2
1
.
+ kd s + C
(4.14)
In der äquivalenten Zustandsdarstellung ergibt sich das mechanische System zu
Gleichungssystem 4.15.





 ẋ 





 = 






v̇
y =





 
 x   0

 

+

 


 
−1
−1
Cm
v
m−1
−kd m


0
1 0
1




 FCoilRes


(4.15)


 x 








v
Gleichungen 4.2 und 4.15 bilden die Systemgleichungen des EMV. Sie lauten
i̇Coil = −
RCoil
Uin
iCoil +
LCoil
LCoil
ẋ = v
1
v̇ =
(Cx − kd v + FCoilRes ) .
m
(4.16)
(4.17)
(4.18)
Die Systemgleichungen selbst sind linear, doch die stark nichtlinearen Abhängigkeiten der substituierten Terme FCoilRes (Gleichung 4.7) und L (Gleichung 4.6)
zeigen, dass es sich um ein nichtlineares System handelt.
Die verwendeten Materialien des EMV sind relativ robust gegenüber Temperatureinflüsse [1, S.40]. Der Wärmeübergang vom Motorbrennraum und die Wärmeentwicklung der Spulen sind deshalb weniger kritisch zu betrachten als beim Linearmotor. Dennoch muss für den Dauerbetrieb eine exakte Wärmeberechnung
erfolgen, um das optimale Design des Aktuators entwickeln zu können. Prinzipiell können die analytischen Schritte aus Abschnitt 3.6 für die Erwärmungsberechnung angewendet werden. Es empfiehlt sich jedoch die Verwendung eines
Finite-Elemente Programmes. Die Erwärmungsberechnung des EMV ist nicht
Gegenstand dieser Arbeit.
14
4.5
60
Simulation des SIMULINK Modells
Abbildung 4.7 zeigt das Ergebnis einer Simulation in SIMULINK. Die Simulation
startet in der oberen Endlage des Ventils bei x=8mm. Die Federn der Anordnung
sind in dieser Position maximal vorgespannt. Nach einer Zeit von 4ms wird der
Anker aus der oberen Endlage gelöst und bewegt sich nach unten. Er wird dabei
allein durch die Federkraft getrieben. Die Spulen sind noch ausgeschaltet. Der
Anker wird bis zum Mittelpunkt der Anordnung beschleunigt, den er bei x=4mm
nach einer Zeit von 1.5ms erreicht. Im Mittelpunkt sind beide Federn entspannt.
Durch die Trägheit des Ankers wird die Bewegung jedoch fortgeführt. Die Federn
werden zur anderen Seite hin gespannt und nehmen die mechanische Energie des
Ankers auf, wodurch sich dessen Geschwindigkeit verringert. Die untere Spule
ist jetzt bereits zugeschaltet, doch der Anker ist zu weit entfernt, als dass eine
wirksame Kraft beobachtet werden könnte. Erst wenn der Anker sehr dicht an die
Spule herantritt (zirka 0.4mm) wird die Wirkung der Magnetkraft offensichtlich.
Sie steigt überproportional mit kleiner werdendem Luftspalt an und beschleunigt
den Anker, bis er mit einer Geschwindigkeit von zirka 2.6m/s auf den Elektromagneten aufprallt.
8
Position x
Geschwindigkeit v
6
x in mm; v in m/s
4
2
0
−2
−4
0
0.002
0.004
0.006
0.008
0.01
0.012
t in s
Abbildung 4.7: Simulation des EMV in SIMULINK mit UCoil = 42V
(ohne Störeinflüsse, ohne Reglung)
61
Das Simulationsergebnis verdeutlicht, dass der elektromechanische Ventiltrieb
ohne Regelung nicht einsetzbar ist, da die hohen Magnetkräfte einen harten Aufprall des Ankers auf die Spule zur Folge haben.
Feldsimulationen mit ANSYS zeigen, dass die SIMULINK Simulation des
EMV korrekte Feldstärke und Flussdichtewerte berechnet. Die Ergebnisse der
Flussdichte- und Feldstärkeberechnungen beider Simulationen weichen bis zu 20%
voneinander ab. Die Validierung der in SIMULINK berechneten Hubkraft der
Elektromagnete erfolgte bereits im vorigen Abschnitt. Unter Verwendung der
Maxwellschen Zugkraftformel 4.7 ergibt sich eine maximale Abweichung von 20%
im Vergleich zu ANSYS.
4.6
Regelungskonzepte
Der elektromechanische Ventiltrieb kann ohne Regelung nicht effizient betrieben
werden. Abbildungen 4.6 und 4.7 zeigen, dass sich die Kraft des Elektromagneten
erst bei sehr kleinem Abstand des Ankers bemerkbar macht, dann aber überproportional bei kleiner werdendem Luftspalt steigt. Die hohe Anzugskraft am
Auftreffpunkt des Ankers auf den Elektromagneten hat einen harten Aufprall
zur Folge. Es muss eine Regelungsstrategie entwickelt werden, die den Anker im
Wirkungsbereich des Elektromagneten abfängt und ihn sanft auf die Oberfläche
des Elektromagneten aufsetzt15 . Zusätzlich soll die Flugbahn des Ventils einer
energie- und flugzeitoptimierten Trajektorie des Aktuators folgen. Die Regelung
gestaltet sich aus folgenden Gründen sehr schwierig:
• Der effektive Wirkungsbereich des Elektromagneten liegt unter 1mm Luftspalt und stellt somit einen sehr kleinen Aktionsraum für die Regelung dar.
• In diesem kleinen Aktionsraum bleibt nur sehr wenig Zeit, den Anker auf
die gewünschte Geschwindigkeit zu bremsen, da sich der Anker mit einer
hohen Geschwindigkeit nähert.
15
In der Literatur wird diese Bewegung auch als ’Soft-Landing’ bezeichnet.
62
• Die Zugkraft der Elektromagnete kann nur in eine Richtung aufgebaut werden. Die Umpolung des Spulenstromes bewirkt nicht die Umkehrung der
Zugkraftwirkung. Eine übersteuerte Flugbahn des Ankers kann möglicherweise nicht mehr korrigiert werden.
• Das System ist sehr stark an die natürliche Trajektorie der Federn gebunden. Erst bei Erreichen des wirksamen Aktionsradius von unter 1mm kann
die Flugbahn des Ankers effektiv variiert werden. Störungen, die vorher
auftreten, können erst in diesem Bereich kompensiert werden.
• Die Anordnung stellt mit der Abhängigkeit F ∼ B 2 bzw. F ∼ i2 aus
Gleichungen 4.7 und 4.8 ein stark nichtlineares System dar. Zusätzliche
Nichtlinearitäten entstehen durch die Sättigung des Eisens und durch die
Abhängigkeit der Induktivität vom Luftspalt.
• Weitere Randbedingungen wie maximale Stromaufnahme, Energieeffizienz
und Geschwindigkeitsvorgaben erschweren den Reglerentwurf zusätzlich.
Der Reglerentwurf nichtlinearer Systeme ist besonders aufwendig, da keine
der klassischen Entwurfsmethoden linearer Systeme anwendbar sind16 . In nichtlinearen Systemen können keine Polstellen definiert werden, an denen man die
Stabilität und Güte eines Regelkreises bewerten könnte. Für eine detaillierte
Einführung in die nichtlineare Systemtheorie sei auf [29][33][35] verwiesen.
Die Regelung muss für ein nichtlineares System ausgelegt werden und hohen dynamischen Anforderungen gerecht werden. Die Zeitkonstante der Spule
bestimmt sich bei einer mittleren Induktivität Lmean zu
τCoil =
Lmean
2e−3 H
=
= 4.5e−3 s
RCu
0.44Ω
(4.19)
Da für die gesamte Ventilbewegung nur zirka 3ms vorgesehen sind17 , müssen Vorkehrungen zur Kompensation der hohen Zeitkonstante der Spule getroffen werden.
16
17
siehe [32] [29]
siehe Zeitanforderungen in Kapitel 1 dieser Arbeit
63
Die natürliche Trajektorie der Federn ist so dimensioniert, dass ein Bewegungsvorgang des Ventils in 3ms realisiert werden kann. Wird diese Trajektorie als
Ausgangspunkt für die Entwicklung der Solltrajektorie des Regelsystems genutzt,
so kann die Energiezufuhr für das Verfolgen der Flugbahn minimiert werden. Solange die Sollflugbahn des Ankers und die natürliche Trajektorie der Federn identisch sind, ist kein Spulenstrom zur Flugbahnkorrektur notwenig. Abbildung 4.8
zeigt die natürliche Trajektorie der Federn und die optimierte Solltrajektorie der
Regelung.
desired trajectory xd
natural trajectory of the springs xnatural
7
6
Position in mm
5
4
3
2
1
0
2.5
3
3.5
4
time in sec.
4.5
5
−3
x 10
Abbildung 4.8: Trajektorien des EMV
Die optimierte Solltrajektorie betrachtet zusätzlich eine Aufsetzgeschwindigkeit des Ankers von nicht mehr als 0.2m/s. Ziel der Regelung ist, dieser Solltrajektorie mit minimalem Fehler zu folgen. Im Folgenden wird ein mehrstufiges
Regelungskonzept für den EMV vorgestellt. Ausgehend von einer Regelung auf
dem Prinzip der Flachheit wirkt ein Sliding Mode Regler zur Kompensation von
Störeinflüssen.
4.6.1
Flatness Based Control
Eine Methode zur Regelung nichtlinearer Systeme beruht auf dem Prinzip der
Flachheit. Die Idee der Regelung auf Flachheit basiert auf der Invertierung der
Systemgleichungen, so dass eine Eingangsfunktion abhängig vom gewünschten
64
Ausgang berechnet werden kann. Dieses Prinzip ist nur dann anwendbar, wenn
das Systemmodell selbst Kriterien der Flachheit erfüllt. Ein System wird als flach
definiert, wenn gilt
!
dim(u) = dim(y)
(4.20)
x = f (y, ẏ, ÿ, . . . , y q )
(4.21)
u = f (y, ẏ, ÿ, . . . , y q ),
(4.22)
d.h. wenn das System genauso viele Ausgänge wie Eingänge aufweist und die
Zustands- und Eingangsvektoren vollkommen durch den Ausgangsvektor darstellbar sind. Durch diese Bedingung kann geprüft werden, ob das System invertierbar
ist. Sind die Beziehungen der Zustände durch die Systemgleichungen bekannt und
ist auch die gewünschte Ausgangsfunktion yd bekannt, so gibt es auch eine eindeutige Eingangsfunktion, die den Sollausgang yd erzeugt.
Folgendes Beispiel erläutert die Vorgehensweise. Gegeben sei das nichtlineare
Gleichungssystem
ẋ = x3 + u
(4.23)
y = x,
(4.24)
wobei u den Eingang und y den Ausgang des Systems repräsentiert. Die Invertierung des Systems gemäß den Kriterien aus Gleichungen 4.20 bis 4.22 führt
zu
x = y = f (y)
(4.25)
u = ẏ − y 3 = f (y, ẏ).
(4.26)
Soll der Ausgang die Trajektorie yd = cos(t) annehmen, so ergibt sich der Steuervektor u zu
u = y˙d − yd3 = −sin(t) − cos3 (t).
(4.27)
Mit diesem Steuervektor ist das System in einem gewünschten Zustand, im übertragenen Sinne im geregelten Zustand. Damit dieser Mechanismus funktioniert,
65
müssen die in Gleichungen 4.20 bis 4.22 geforderten Kriterien sichergestellt sein.
Für den elektromechanischen Ventiltrieb stellt die Solltrajektorie xd aus Abbildung 4.8 den gewünschten Ausgangsvektor dar. Durch Invertierung der Systemgleichungen 4.16 bis 4.18 und Einsetzen der Solltrajektorie xd kann ein Steuervektor u ermittelt werden, so dass das System der gewünschten Trajektorie folgt.
Die Regelung auf Flachheit ist streng genommen nur eine Steuerung, d.h. es
gibt keine Rückführung von Messsignalen (Abbildung 4.10). Aus diesem Grund ist
die Regelung basierend auf Flachheit nur solange wirkungsvoll, wie die Anfangswertbedingungen bekannt sind und keine Störeinflüsse existieren. In der Praxis
sind immer Störeinflüsse vorhanden. Diese lassen den Ausgang y des Systems
vom gewünschten Ausgang yd abweichen. In einer weiteren Regelstufe müssen
diese Abweichungen kompensiert werden.
4.6.2
Sliding Mode Controller
Ausgehend von der Vorsteuerung des EMV durch den Flachheitsregler kompensiert der Sliding-Mode Regler Störabweichungen von der Solltrajektorie. Das Sliding Mode Konzept ist im Wesentlichen eine Zweipunktregelung hoher Frequenz,
die einer vorgegebenen Trajektorie folgt. Abbildung 4.9a) zeigt, wie der Sliding
Mode Regler die Bestromung der Spule des EMV in einem vorgegebenen Intervall
bu − bl einstellen könnte, um der Solltrajektorie xd zu folgen.
Für den Sliding Mode Regler muss eine so genannte Sliding Surface entwickelt
werden. Diese ergibt sich aus der gewünschten Trajektorie xd und der Fehlerfunktion e = xd − x sowie deren Ableitungen, wobei x den tatsächlichen Zustand des
Systems repräsentiert. Eine mögliche Sliding Surface ist in Abbildung 4.9b) dargestellt. Ziel der Regelung ist, von einem beliebigen Zustandspunkt x0 so schnell
wie möglich zur Sliding Surface zu gelangen. Solange sich das System auf dieser
Oberfläche befindet, ist der Fehler e gleich Null. Das System soll der gewünschten Trajektorie mit minimalem Fehler auf der stabilen Bahn der Sliding Surface
66
.
x
x,i
Sliding Surface
i_sliding
x_0
x_d
b_u
t
b_l
a)
x_stationär
x
b)
Abbildung 4.9: Sliding Mode Regelung des EMV
a) Zweipunktregelverhalten
b) Sliding Surface
folgen, bis der stationäre, stabile Punkt xstationaer erreicht wird. Im stationären
Punkt, bei ẋ = 0, ist der komplette Bewegungsvorgang abgeschlossen und das System hat seine Endlage erreicht, im Falle des EMV beispielsweise die geschlossene
Ventilposition. Tatsächlich wandert das System nicht gleichmäßig auf der Sliding
Surface wie in Abbildung 4.9b) dargestellt, sondern bildet eine Zweipunktcharakteristik wie in Abbildung 4.9a) aus.
Die resultierende Reglerstruktur ist in Abbildung 4.10 dargestellt. Erkennbar
ist der Vorsteuercharakter des Flachheitsreglers. Durch die Rückkopplung des
Ausgangssignals zum Sliding Mode Regler kann ein robustes Regelungsverhalten
bezüglich Störungen geschaffen werden.
Abbildung 4.11 zeigt die Trajektorie und die Bewegung des Ankers als Resultat einer Simulation des Regelkreises in SIMULINK. Die Amplitude der simulierten Störkraft beträgt 500N. Bei einer maximalen Schaltfrequenz von nicht mehr
als 10kHz setzt der Anker mit einer Geschwindigkeit von zirka 0.2m/s auf den
Elektromagneten auf.
67
Störung
x_d
Flatness
Control
i
+
+
System
x
Sliding
Mode
+
_
Abbildung 4.10: Gesamte Reglerstruktur des EMV
In einer zukünftigen Weiterentwicklung kann der Geschwindigkeitsverlauf des
Ankers durch Variationen der Sliding Surface geglättet werden. Mercorelli [40]
schlägt zusätzlich die Untersuchung der Regelungsverfahren ’Adaptive Pole Assignment’ und ’Nonlinear Model Predictive Control’ vor.
−3
8
8
6
x 10
desired trajectory
achieved trajectory
vreal
vdesired
xreal
7
5
Position in m
Position x in mm, Velocity v in m/s
6
4
2
0
4
3
−2
2
−4
−6
1
2
2.5
3
3.5
4
time in sec.
4.5
5
5.5
0
2
2.5
−3
x 10
a)
3
3.5
4
time in sec.
b)
Abbildung 4.11: Regelungsergebnisse des EMV
a) gewünschte und tatsächliche Ankerbewegung
b) gewünschte und tatsächliche Trajektorie
4.5
5
5.5
−3
x 10
KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
68
Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
Ziel dieser Arbeit war die Untersuchung von Modellierungskonzepten für die Modellbildung elektromagnetischer Ventiltriebe. In den vorangegangenen Kapiteln
wurden zwei verschiedene Linearantriebskonzepte vorgestellt. Bei diesen Konzepten handelt es sich um einen Linearmotor und um einen elektromechanischen
Ventilaktuator. Anhand von ausgewählten Topologien wurden die Modellierungsschritte für eine dynamische Simulation der Aktuatoren gezeigt. Dazu wurden die
elektrischen, die magnetischen und die mechanischen Komponenten untersucht
und modelliert. Zusätzlich wurden zu jedem der vorgestellten Aktuatoren Regelungsstrategien erläutert, denn nur durch effiziente Regelungskonzepte können
industrielle Vorgaben, wie beispielsweise das Verfolgen einer bestimmten Flugbahn, eingehalten werden. Durch die Verwendung von Feldberechnungsprogrammen wurden die Modelle verifiziert und optimiert. Mit Hilfe der Simulationsmodelle können zukünftig Optimierungen durchgeführt und Regelungsstrategien
getestet werden.
Die vorgestellte Linearmotor-Topologie hat gezeigt, dass der Läufer mit einer Masse von zirka 9kg zu schwer für den Einsatz im Automobil ist1 . Soll die
verwendete Geometrie dennoch verwendet werden, so muss eine Gewichtsoptimierung des Läufers erfolgen. Eine Variante wäre beispielsweise die Platzierung
1
Vgl. Abschnitt 3.5 dieser Arbeit
69
der Spulen auf den Läufer und die Verwendung der Permanentmagnete als Stator. Möglicherweise muss eine Drehstromanordnung entwickelt werden, um die
geforderten Kräfte mit weniger Materialaufwand zu erreichen.
Abschnitt 3.6 hat gezeigt, dass der Linearmotor sehr stark an eine bestimmte Temperaturumgebung gebunden ist. Die Überhitzung der Permanentmagnete führt unweigerlich zu einer Zerstörung des Motors. Da zur Erzeugung der
erforderlichen Kräfte hohe Stromdichten notwendig sind, muss in weitergehenden Untersuchungen die maximale Schaltfrequenz unter Berücksichtigung der
Erwärmung des Motors ermittelt werden. Beim EMV ist die Temperaturumgebung weniger kritisch. Da die energiespeichernden Federn den Hauptanteil der
kinetischen Energie tragen, wird nur wenig elektromagnetische Energie benötigt,
um die Reibungsverluste auszugleichen. Folglich wird weniger Kupferverlustleistung und somit weniger Wärme in den Spulen umgesetzt. Die Verwendung der
Federn zieht jedoch auch die Gebundenheit an deren natürliche Trajektorien mit
sich. Eine Variation der vorgegebenen Flugbahn ist nur begrenzt möglich, da der
Wirkungsbereich der Elektromagneten sehr klein ist (siehe Abschnitt 4.4). Das
Anfahren eines bestimmten Punktes außerhalb dieses Wirkungsbereiches ist ausgeschlossen. Der Linearmotor hingegen bietet diese Möglichkeit und kann seine
Flugbahn schneller und auch sporadischer ändern als der EMV. Störungen auf
der Flugbahn können sofort und mit hoher Effizienz ausgeglichen werden. Beim
EMV kann erst im Wirkungsbereich der Spulen Einfluss auf die Flugbahn genommen werden. Für zyklische Bewegungen ist dennoch der EMV vorteilhaft, da er
die Energiespeicherung der Federn ausnutzt. Die Untersuchungen von Lequesne
[12, S.167] unterstützen diese Aussage.
Ein weiteres Problem stellt die Inbetriebnahme des EMV dar. Befindet sich der
Anker in der Gleichgewichtslage, also genau in der Mitte der beiden Federwege,
so reicht die Kraft der Elektromagnete nicht aus, um ihn zu einer Seite der Anordnung zu ziehen. Eine extern bereitgestellte Kraft müsste den Anker zunächst
in eine Endlage transportieren, um die Federn vorzuspannen. Beim Linearmotor
70
existiert dieses Problem nicht. Er kann aus jeder Position heraus genügend Kraft
für eine definierte Bewegung entwickeln.
Ein wichtiges Kriterium für die Fertigung der Aktuatoren sind die Herstellungskosten. Hier ist der EMV mit seinem verhältnismäßig simplen Aufbau aus
Federn, Eisen und Spulen dem Linearmotor überlegen. Der Linearmotor benötigt
Selten-Erd Metalle zur Erzeugung der hohen Flussdichten. Diese Materialien sind
sehr teuer, da deren Beschaffung und Aufbereitung aufwendig sind. Wird eine
Drehstromvariante des Linearmotors notwendig, so steigt zusätzlich der Aufwand
in der Leistungselektronik.
Durch den Wegfall der Drosselsteuerung beim Ottomotor werden bis zu 20%
Kraftstoffeinsparungen und weitere Reduktionen der Schadstoffemissionen prognostiziert. Mit innovativen Ventiltriebkonzepten werden Kraftfahrzeuge in der
Zukunft umweltfreundlicher, sparsamer und effizienter angetrieben werden können.
Zukünftige Forschungspläne sehen die Entwicklung neuer Ventiltriebkonzepte sowie die Optimierung bereits vorhandener Geometrien vor. Ebenfalls werden innovative Regelungsstrategien zur Entwicklung eines effizienten Ventilsteuerkonzeptes beitragen. Durch die Kenntnis von effizienten Modellierungskonzepten, wie in
dieser Arbeit vorgestellt, kann die Dynamik zukünftiger Aktuatoranordnungen
bereits in der Planungsphase simuliert und bewertet werden.
ANHANG A. AUFBAU DES LINEARMOTORS
Anhang A
Aufbau des Linearmotors
Alle Maßangaben entsprechen denen der SIMULINK Simulation.
Längenbezeichnung
wi
wm
hm
hc
hi
lg
wo
l phi Feo
l phi Fei
lc
lm
lp
l mag
l act
Wert in mm
56
50
20
9.5
10
0.5
136
65
106
25
35
15
160
200
Flächenbezeichnung
A Feo=h i*w m
A Fei=h i*h i
A Coil=A g=l c*w m
A m=w m*l m
Wert in m2
0.01
0.056
0.025
0.035
Abbildung A.1: Längen- und Flächenangaben des Linearmotors
71
l_Phi_Fei
l_g
w_m
w_i
h_m
h_c h_i
w_o
l_m
l_c
l_p
l_phi_Feo
Abbildung A.2: Aufbau des Linearmotors (Spulen grün, Permanentmagnete blau, Eisenstücke grau)
72
A.1
73
Daten der Permanentmagnete
Nachfolgend sind die physikalischen Eigenschaften der verwendeten NdFeB Permanentmagnete aufgelistet, die von der Simulation benötigt werden. Die Kennwerte der Materialien sind aus [4, S.25] entnommen.
Wert
Einheit
Remanenzflussdichte Br
1.2 T
relative Permeabilität µM
1.07
Koerzitivfeldstärke Hc = Br/(µ0 µM ) 8.9246e+005 A/m
Dichte ρp
7400 kg/m3
Abbildung A.3: Eigenschaften der Permanentmagnete
1.4
1.2
1
B in T
0.8
0.6
0.4
0.2
0
−9
−8
−7
−6
−5
−4
H in A/m
−3
−2
−1
0
5
x 10
Abbildung A.4: B-H Kennlinie der Permanentmagnete
A.2
74
Daten der Spulen
Die Geometriedaten der Spulen des Linearmotors sind aus [10] entnommen. Das
Eisenmaterial besteht aus dem Werkstoff VM111-35 und wurde frei gewählt.
Wert
Einheit
Windungszahl N
500
Fuellfaktor
0.5
spezifischer elektrischer Widerstand rhoCu
0.0175 Ωmm2 /m
Leiterquerschnitt ACuLeiter = (lc hc F uellf aktor)/N
2.375e-007 m2
Kupferwiderstand RCu = rhoCu lCu /(ACuLeiter 10002 )
15.695 Ω
Abbildung A.5: Eigenschaften der Spulen
2.5
2
1.5
1
B in T
0.5
0
−0.5
−1
−1.5
−2
−2.5
−4
−3
−2
−1
0
H in A/m
1
2
3
4
4
x 10
Abbildung A.6: B-H Kennlinie des Eisens
A.3
Mechanische Daten
Wert
Masse des Läufers m
Reibungskonstante kd
Einheit
8.9kg
4.5 kg/s
Abbildung A.7: Mechanische Daten des Linearmotors
ANHANG B. INDUKTIVITÄTSMESSUNG IM LINEARMOTOR
75
Anhang B
Quellcode der
Induktivitätsmessung im
Linearmotor
B.1
Automatisierte Flussmessung mit L simlin.m
%*****************************************************************************************
%This macro’s purpose is to provide flux density data for a linear motor in order to
%obtain information about the inductivity of the motor’s coils. Therefore, the mean flux
%density in the iron part within the coil area is measured. The macro also stores
%the FEMLAB flux density figures to the specified path (FigFolder)
%
%FEMLAB is used to simulate the motor with different current and displacement setting.
%The iron’s BH characteristics are taken from function ’get_mur(Bx,By)’ (same folder)
%
%The solution structure:
%
%
Solution.Ivector
-->
contains the current settings used for the simulation
%
(represents y-dimension of CoilBI Arrays)
%
Solution.Xvector
-->
contains the displacement settings used for the simulation
%
(represents z-dimension of CoilBI Arrays)
%
%
Solution.Coil1BI
represent flux densities for the coils in the x-dimension
%
...
-->
(each column stands for one coil, from left to right)
%
Solution.Coil1BI
Solution.Ivector represents y-dimension,
%
Solution.Xvector represents z-dimension
%
%
Use L_post.m to determine the inductivities for the coils
%
%Author: Kai Lehmann
%Date: 25.6.2002
%*****************************************************************************************
%++++++++++++++++++++++
%Constants
FigFolder=’’;
%Geometry data
Br=1.2;
mu0=4*pi*1e-7;
Simulation Inits
++++++++++++++++++++++++++++
%storage folder for figures, this folder must exist already!
%empty string writes figures to current directory
%remanence permanent magnet in T
%permeability constant
N=500;
w_c=25e-3;
l_c=1;
h_c=9.5e-3;
%windings
%coil width in m (x-dimension)
%coil length in m (z-dimension)
%coil height in m (y-dimension)
Acoil_xy=w_c*h_c;
%area of the coil in xy direction in m^2
A_iron_coil_part=0.0014 %m^2, specifies area of iron part within coil which is required in
%order to obtain the mean flux
%Simulation Parameters
%*****************************************************************************************
%The simulation will go through these current and displacement settings in order to obtain
%the flux densities in the coils. Change only these parameters for refinement and leave all
%the others as they are.
%vector I specifies current list. Each coil will be supplied by each of the currents
I=0:0.5:5%[1];
%current flow list for the 4 coils, enter 1 for positive or -1 for negative currents
Iflow=[1 -1 -1 1];
%default configuration
%displacements of the moving part, may vary from 0 (most right position)
%via -0.005 (center position) to -0.01 (most left position) of the moving part
%other values than these could cause FEMLAB to use other subdomain numbering which
%would raise errors in this simulation configuration
displacements=0:-0.0005:-0.01%[-0.005];
%magnetisation settings of
%
%When using magnetisations
%magnets only and subtract
%in order to calculate the
the permanent magnet, (alternative settings in comments)
not equal to zero, run another simulation with the permanent
that result from the first (which includes the active coils)
coils’ influence only!
PM=[-Br/mu0 Br/mu0 Br/mu0 -Br/mu0];
%PM=[0 0 0 0];
%specify whether or not figures should be saved (each figure may use disk space of up to
%16MB, each simulation step creates one figure leading to a huge disk space consumtpion)
%specify ’true’ for saving figures and ’false’ for not saving
SaveFigures=’false’;
%*****************************************************************************************
mid_point=-0.005;
CoilActStart=1;
CoilActEnd=4;
%in m, center position of the moving part, required for
%FEMLAB domain name compensation, see further below
%activated coils from ... to,
MIN value 1, MAX value 4!
%decreasing order e.g. from 4 to 2 will raise errors
%create solution data-structure
clear Solution;
Solution.Ivector=I;
Solution.Xvector=displacements;
Solution.Coil1BI=[];
%++++++++++++++++++++++++++
Inits End
+++++++++++++++++++++++++++++++
%++++++++++++++++++++++
Simulation Start
++++++++++++++++++++++++++++
for x=1:size(displacements,2)
%sweep through displacements
% FEMLAB Model of the linear motor
flclear fem
% FEMLAB Version
clear vrsn;
vrsn.name=’FEMLAB 2.3’;
vrsn.major=0;
vrsn.build=119;
fem.version=vrsn;
% Recorded command sequence
76
% New geometry 1
fem.sdim={’x’,’y’};
% Geometry
clear s c p
Fei=rect2(-0.09+displacements(x),0.09+displacements(x),-0.031,0.025,0);
PM2=rect2(-0.035+displacements(x),0+displacements(x),0.025,0.045,0);
PM1=rect2(-0.085+displacements(x),-0.05+displacements(x),0.025,0.045,0);
Coil1=rect2(-0.085,-0.06,0.0455,0.055,0);
Coil2=rect2(-0.03,-0.005,0.0455,0.055,0);
Feo=rect2(-0.1,0.09,0.055,0.065,0);
PM3=rect2(0+displacements(x),0.035+displacements(x),0.025,0.045,0);
PM4=rect2(0.05+displacements(x),0.085+displacements(x),0.025,0.045,0);
Coil3=rect2(-0.005,0.02,0.0455,0.055,0);
Coil4=rect2(0.05,0.075,0.0455,0.055,0);
Air=rect2(-0.11,0.1,-0.04,0.075,0);
objs={Fei,PM2,PM1,Coil1,Coil2,Feo,PM3,PM4,Coil3,Coil4,Air};
names={’Fei’,’PM2’,’PM1’,’Coil1’,’Coil2’,’Feo’,’PM3’,’PM4’,’Coil3’,’Coil4’,’Air’};
s.objs=objs;
s.name=names;
objs={};
names={};
c.objs=objs;
c.name=names;
objs={};
names={};
p.objs=objs;
p.name=names;
drawstruct=struct(’s’,s,’c’,c,’p’,p);
fem.draw=drawstruct;
fem.geom=geomcsg(fem);
clear appl
% Application mode 1
appl{1}.mode=flcemqap(’dim’,{’Az’},’sdim’,{’x’,’y’},’submode’,’t2’,’tdiff’,’on’);
appl{1}.dim={’Az’};
appl{1}.form=’coefficient’;
appl{1}.border=’off’;
appl{1}.name=’qap’;
appl{1}.var={’epsilon0’,’8.854187817e-12’,’mu0’,’4*pi*1e-7’,’omega’,’0’};
appl{1}.assign={’Bx’;’Bx’;’By’;’By’;’Dz’;’Dz’;’Ez’;’Ez’;’Hx’;’Hx’;’Hy’;’Hy’; ...
’Jez’;’Jez’;’Jiz’;’Jiz’;’Jvz’;’Jvz’;’Jz’;’Jz’;’Mx’;’Mx’;’My’;’My’;’Poxav’; ...
’Poxav’;’Poyav’;’Poyav’;’Pz’;’Pz’;’Qav’;’Qav’;’Qiav’;’Qiav’;’Qvav’;’Qvav’; ...
’Wav’;’Wav’;’Weav’;’Weav’;’Wm’;’Wm’;’Wmav’;’Wmav’;’eMx’;’eMx’;’eMy’;’eMy’; ...
’ePz’;’ePz’;’epsilon’;’epsilon’;’epsilon0’;’epsilon0’;’mu’;’mu’;’mu0’;’mu0’; ...
’muxx’;’muxx’;’muxy’;’muxy’;’muyx’;’muyx’;’muyy’;’muyy’;’nPoav’;’nPoav’; ...
’normB’;’normB’;’normE’;’normE’;’normH’;’normH’;’normJ’;’normJ’;’omega’; ...
’omega’;’sigma’;’sigma’;’tH’;’tH’;’vx’;’vx’;’vy’;’vy’};
appl{1}.elemdefault=’Lag2’;
appl{1}.shape={’shlag(2,’’Az’’)’};
appl{1}.sshape=2;
fem.appl=appl;
% Initialize mesh
fem.mesh=meshinit(fem,...
’Out’,
{’mesh’},...
’jiggle’, ’mean’,...
’Hcurve’, 0.29999999999999999,...
’Hgrad’, 1.3,...
’Hpnt’,
{10,[]});
% Differentiation simplification
fem.simplify=’on’;
77
% Material library
clear lib
lib.Iron.name=’Iron’;
lib.Iron.E=’210e9’;
lib.Iron.rho=’7870’;
lib.Iron.alpha=’11.7e-6’;
lib.Iron.sigma=’1.031e7’;
lib.Iron.epsilonr=’1’;
lib.Iron.mur=’700’;
lib.Iron.type=’material’;
lib.Copper.name=’Copper’;
lib.Copper.E=’110e9’;
lib.Copper.nu=’0.35’;
lib.Copper.rho=’8700’;
lib.Copper.alpha=’17e-6’;
lib.Copper.C=’385’;
lib.Copper.k=’400’;
lib.Copper.sigma=’5.998e7’;
lib.Copper.epsilonr=’1’;
lib.Copper.mur=’1’;
lib.Copper.type=’material’;
fem.lib=lib;
% Boundary conditions
clear bnd
bnd.H={{{’0’},{’0’}},{{’0’},{’0’}}};
bnd.Js={{{’0’}},{{’0’}}};
bnd.A={{{’0’}},{{’0’}}};
bnd.type={’A0’,’tH0’};
bnd.gporder={{0},{0}};
bnd.cporder={{0},{0}};
bnd.shape={0,0};
bnd.ind=[1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1];
fem.appl{1}.bnd=bnd;
...
for Activecoil=CoilActStart:CoilActEnd
%...sweep through activated coils
for Currentcount=1:size(I,2)
%...width specific currents
switch Activecoil
case 1
JCOIL=[I(Currentcount)*Iflow(Activecoil)*N/(Acoil_xy) 0 0 0];
case 2
JCOIL=[0 I(Currentcount)*Iflow(Activecoil)*N/(Acoil_xy) 0 0];
case 3
JCOIL=[0 0 I(Currentcount)*Iflow(Activecoil)*N/(Acoil_xy) 0];
case 4
JCOIL=[0 0 0 I(Currentcount)*Iflow(Activecoil)*N/(Acoil_xy)];
end
% PDE coefficients
clear equ
equ.sigma={{{’0’}},{{’Iron_sigma’}},{{’0’}},{{’Copper_sigma’}},{{’0’}}, ...
{{’Copper_sigma’}},{{’Copper_sigma’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’Copper_sigma’}}};
equ.mur={{{’1’}},{{’get_mur(Bx,By)’}},{{’mu_M’}},{{’Copper_mur’}},{{’mu_M’}}, ...
{{’Copper_mur’}},{{’Copper_mur’}},{{’mu_M’}},{{’mu_M’}},{{’Copper_mur’}}};
equ.murtensor={{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}}, ...
{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’, ...
’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}}};
equ.M={{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’PM1’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’PM2’}}, ...
{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’PM3’}},{{’0’,’PM4’}},{{’0’,’0’}}};
equ.Jext={{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’J_coil1’}},{{’0’}},{{’J_coil2’}}, ...
{{’J_coil3’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’J_coil4’}}};
equ.v={{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’, ...
’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}}};
equ.epsilonr={{{’1’}},{{’Iron_epsilonr’}},{{’1’}},{{’Copper_epsilonr’}}, ...
{{’1’}},{{’Copper_epsilonr’}},{{’Copper_epsilonr’}},{{’1’}},{{’1’}}, ...
{{’Copper_epsilonr’}}};
equ.P={{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}}, ...
{{’0’}},{{’0’}}};
equ.mutype={’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’};
78
79
equ.gporder={{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4}};
equ.cporder={{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2}};
equ.shape={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
equ.init={{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}}, ...
{{’0’}},{{’0’}}};
equ.usage={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
%compensate FEMLAB auto numbering of subdomains which changes in the center-position
%of the moving part
if (displacements(x)<=mid_point)
equ.ind=[1 2 2 3 4 5 6 8 7 9 10];
else
equ.ind=[1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
end
fem.appl{1}.equ=equ;
% Internal borders
fem.appl{1}.border=’off’;
% Application scalar variables
fem.appl{1}.var={’epsilon0’,’8.854187817e-12’,’mu0’,’4*pi*1e-7’,’omega’,’0’};
% Shape functions
fem.appl{1}.shape={’shlag(2,’’Az’’)’};
% Geometry element order
fem.appl{1}.sshape=2;
% Differentiation rules
fem.rules={};
% Define constants
fem.const={...
’Br’,
1.2,...
’mu_0’,
1.2566370614359173e-006,...
’mu_M’,
1.0700000000000001,...
’I’,
1,...
’A_cu’,
2.375e-007,...
’J_coil1’,JCOIL(1),...
’PM1’,
PM(1),...
’PM2’,
PM(2),...
’PM3’,
PM(3),...
’PM4’,
PM(4)};
% Multiphysics
fem=multiphysics(fem);
% Extend the mesh
fem.xmesh=meshextend(fem,’context’,’local’,’cplbndeq’,’on’,’cplbndsh’,’on’);
% Evaluate initial condition
init=asseminit(fem,...
’context’,’local’,...
’init’,
fem.xmesh.eleminit);
%workspace status message
disp(strcat(’...simulating coil ’,num2str(Activecoil),’ active, current: ’,...
num2str(I(Currentcount)),’A @ x-displacement: ’,num2str(displacements(x)),’m’))
% Solve problem
fem.sol=femlin(fem,...
’jacobian’,’equ’,...
’out’,
{’sol’},...
’init’,
init,...
’sd’,
’off’,...
’nullfun’,’flnullorth’,...
80
’blocksize’,5000,...
’solcomp’,{’Az’},...
’linsolver’,’matlab’,...
’method’, ’eliminate’,...
’uscale’, ’auto’);
% Save current fem structure for restart purposes
fem0=fem;
%++++++++++++++++++++++
Flux Determination Sequence
++++++++++++++++++++++++++++
% ... by determining mean flux in all coils and writing to solution structure
B=[0 0 0 0];
%init
%again, compensate auto numbering of subdomains when geometry changes
DomainlistCoils=[5 7 9 11];
else
end
%Measurement of mean B for all 4 coils
%...by integrating B in the each coil subdomain and dividing that value by the coils’
%area (which can be obtained by integrating expression ’1’)
for CoilMeasure=1:4
B(CoilMeasure)=postint(fem,’normB’,’Dl’,DomainlistCoils(CoilMeasure))/Acoil_xy;
end
switch Activecoil
case 1
Solution.Coil1BI(Currentcount,:,x)=B;
case 2
case 3
case 4
end
%++++++++++++++++++++++ End Flux Determination Sequence
if (SaveFigure <> ’false’)
%create new figure for postplot
figure
% Plot solution
postplot(fem,...
’geomnum’,1,...
’tridata’,{’normB’,’cont’,’internal’},...
’trifacestyle’,’interp’,...
’triedgestyle’,’none’,...
’trimap’, ’jet’,...
’trimaxmin’,’off’,...
’tribar’, ’on’,...
’arrowdata’,{’Bx’,’By’},...
’arrowcolor’,[1 0 0],...
’arrowscale’,’auto’,...
’arrowstyle’,’proportional’,...
’arrowxspacing’,15,...
’arrowyspacing’,15,...
’arrowmaxmin’,’off’,...
’geom’,
’on’,...
’geomcol’,’bginv’,...
’refine’, 3,...
’contorder’,2,...
’phase’, 0,...
’title’, ’’,...
’renderer’,’zbuffer’,...
’solnum’, 1,...
’axisvisible’,’on’)
++++++++++++++++++++++++++++
81
%save and close current figure
title(strcat(’Surface: magnetic flux density(normB) Arrow: magnetic flux density ’,...
’ Current I: ’,num2str(I(Currentcount)),’A @ X-displacement: ’,...
num2str(displacements(x)),’m’));
saveas(gcf,strcat(FigFolder,’Coil’,num2str(Activecoil),’Current’,...
num2str(I(Currentcount)*1000),’mA_X’,num2str(abs(displacements(x))*1000000),’um’))
close
end
end
end
%++++++++++++++++++++++
B.2
Simulation End
++++++++++++++++++++++++++++
BH-Sättigungskennlinie get mur.m
function mur=get_mur(Bx,By)
%FEMLAB function to specify nonlinear mur-functionality (based on B-H curve)
%for materials
%
%since no further functionality is supported by FEMLAB, B and mu_r vectors
%must be supplied rather than evaluating the formula: mur=B/(H*mu0)
%
%Date: 4.6.2002
mu0=1.2566e-6;
%B-mur data
Bkenn_Fe=[0 0.5 1 1.2 1.28 1.35 1.4 1.43 1.48 1.5 1.51 1.53 1.55 1.7 2];
mur_kenn_Fe=[2000 1989.4 1989.4 1591.5 1273.2 1074.3 742.72 568.98 392.58 ...
298.42 240.32 202.92 176.21 1 1];
%determine mur
B=sqrt(Bx.^2+By.^2);
mur=interp1(Bkenn_Fe,mur_kenn_Fe,B,’linear’);
B.3
Induktivitätsberechnung mit L post.m
%*****************************************************************************************
%Macro for post evaluation of flux density data obtained by L_simlin.m
%
%determines the inductivities of each coils according to:
%
L=Psi/I=N*Phi/I=B*A*N/I
%
%the mean inductivities over the current and over the displacement are also
%processed.
%
% -The data Solution.CoilXL represents 3d inductivity data, which can be used for
%
a 3d lookup table
% -Solution.CoilXMeanI represents mean current data
% -Solution.CoilXMeanIDIS represents mean current and displacement data
%
%Date: 28.6.2002
%*****************************************************************************************
%calculate inductivity
for i=1:size(I,2)
Solution.Coil1L(i,:,:)=Solution.Coil1BI(i,:,:)*w_c*l_c*500/I(i);
end
%mean L over current
for i=1:size(displacements,2)
for j=1:4
%4 coils in a row
Solution.Coil1MeanI(:,j,i)=mean(Solution.Coil1L(:,j,i));
end
end
%mean L also over displacement
for j=1:4
%4 coils in a row
Solution.Coil1MeanIDIS(j)=mean(Solution.Coil1MeanI(1,j,:))
end
82
ANHANG C. ELEKTRISCHER KREIS DES LINEARMOTORS
83
Anhang C
Berechnung des elektrischen
Kreises des Linearmotors
Die Spannungsgleichungen der simulierten Spulen ergeben sich unter Berücksichtigung der Symmetrie des Linearmotors1 zu
U1 = Uin1 − Uq1 = i1 R + L11 i̇1 + L21 i̇2 + L31 i̇2 + L41 i̇1
(C.1)
U2 = Uin2 − Uq2 = i2 R + L22 i̇2 + L12 i̇1 + L32 i̇2 + L42 i̇1
L11 und L22 repräsentieren die Selbstinduktivitäten von Spule 1 und Spule 2.
Die restlichen Induktivitäten spezifizieren die Koppelinduktivitäten zwischen den
Spulen. Gleichungssystem C.1 kann umformuliert werden zu
U1 = i1 R + i̇1 (L11 + L41 ) + i̇2 (L21 + L31 )
(C.2)
U2 = i2 R + i̇1 (L12 + L42 ) + i̇2 (L22 + L32 )
und wiederum zu
L21 + L31
Lers2
U1
i1 R
U1
i1 R
−
− i̇2
=
−
− i̇2
L11 + L41 L11 + L41
L11 + L41
Lers1 Lers1
Lers1
U2
i2 R
U2
i2 R
L12 + L42
Lers4
−
− i̇1
=
−
− i̇1
i̇2 =
L22 + L32 L22 + L32
L22 + L32
Lers3 Lers3
Lers3
i̇1 =
1
Vgl. Abschnitt 3.2
(C.3)
ANHANG C. ELEKTRISCHER KREIS DES LINEARMOTORS
84
mit
Lers1 = L11 + L41
(C.4)
Lers2 = L21 + L31
(C.5)
Lers3 = L22 + L32
(C.6)
Lers4 = L12 + L42
(C.7)
Substituiert man nun
Lers5 = 1 −
Lers2 Lers4
Lers1 Lers3
(C.8)
und setzt Gleichungen C.3 paarweise ineinander ein, so dass nur noch eine differentielle Größe pro Gleichung übrig bleibt, so entstehen die Zustandsgleichungen
U1
U2 Lers2
i1 R
i2 RLers2
−
−
+
Lers1 Lers5 Lers1 Lers3 Lers5 Lers1 Lers5 Lers1 Lers3 Lers5
U2
U1 Lers4
i2 R
i1 RLers4
i̇2 =
−
−
+
Lers3 Lers5 Lers1 Lers3 Lers5 Lers3 Lers5 Lers1 Lers3 Lers5
i̇1 =
(C.9)
oder in vektorieller Form





 i̇1 





 = 






i̇2








y


− Lers1RLers5
RLers2
Lers1 Lers3 Lers5
RLers4
Lers1 Lers3 Lers5
− Lers3RLers5
− Lers1 LLers4
ers3 Lers5




 1 0   i1 





= 






0 1
i2


  i1 



+




(C.10)
i2




− Lers1 LLers2
  U1 
ers3 Lers5  



1
Lers1 Lers5


1
Lers3 Lers5


U2


ANHANG D. MAGNETKREIS DES LINEARMOTORS
85
Anhang D
Berechnung des magnetischen
Kreises des Linearmotors
Die Berechnung des magnetischen Kreises erfolgt durch Superposition. Die Berechnungen beziehen sich auf untenstehendes Ersatzschaltbild, wobei die Bezeichnungen denen der SIMULINK Simulation entsprechen.
RmF eo
ΘCoilRes
RmCoil
RmAir
∨ΦF eo
Rmσ
>
Φσ
∨ΦF ei
RmM
ΘM
RmF ei
Abbildung D.1: Magnetisches Ersatzschaltbild des Linearmotors
D.1
86
Bestimmung der magnetischen Widerstände
und Spannungsquellen
Die Reluktanzen des Ersatzschaltkreises lassen sich gemäß Gleichung 2.19 berechnen. Die magnetischen Widerstände der Eisenstücke ergeben sich zu
lphiF eo
µ0 µr AF eo
lphiF ei
=
µ0 µr AF ei
RmF eo =
(D.1)
RmF ei
(D.2)
Die doppelt auftretenden Reluktanzen der Spulen, der Luft und der Permanentmagnete sind zu je einem Ersatzschaltelement zusammengefasst.
hc
µ0 ACoil
lg
= 2
µ0 ACoil
hm
= 2
µ0 µM AM
RmCoil = 2
(D.3)
RmAir
(D.4)
RmM
(D.5)
Die Streureluktanz wurde mit Hilfe von FEMLAB gemessen, siehe Abschnitt 3.3,
und beträgt
Rmσ = 2.07e7 H −1
(D.6)
Unter Vernachlässigung thermischer Störeinflüsse kann die magnetische Urspannung ΘM der Permanentmagnete als konstant angenommen werden. Die magnetischen Urspannungen der Spulen sind abhängig von den Spulenströmen und somit
auch von den unterschiedlichen Induktivitäten in den Spulen1 .
ΘCoil1 = i1 N
(D.7)
ΘCoil2 = i2 N
(D.8)
ΘCoilRes = ΘCoil1 + ΘCoil2
ΘM = 2Hc hm
1
siehe Abschnitt 3.2
(D.9)
(D.10)
D.2
87
Berechnung des Magnetkreises nach dem
Superpositionsprinzip
Es ist zu beachten, dass Superposition nur auf lineare Systeme anwendbar ist.
Im nichlinearen Bereich der Eisenmaterialien liefert die Superposition ungültige
Rechenwerte. In der Simulation werden jedoch zunächst die Feldstärkewerte in
den Eisenteilen berechnet, aus denen die Parameter µr (auf Grundlage von BHKennlinien) abgeleitet werden. Da die Berechnung der magnetischen Flüsse auf
die nichtlinearen Permeabilitäten der Eisenmaterialien basiert, ist die Berücksichtigung von Sättigungseffekten gewährleistet. Die Rückkopplung der Permeabilitäten µ sorgt für eine ständige Aktualisierung der Sättigungsverhältnisse im
Aktuator.
1. Für die Berechnung des Ersatzschaltkreises D.1 durch Superposition wird
zunächst die Spannungsquelle ΘM der Permanentmagnete kurzgeschlossen.
Es entstehen Zwischenergebnisse, die mit dem Index 1 gekennzeichnet sind.
Die resultierende Gesamtreluktanz des Schaltbildes bestimmt sich zu
RmRes1 = RmF eo + RmCoil + RmAir +
Rmσ (RmM + RmF ei )
.
Rmσ + RmM + RmF ei
(D.11)
Die magnetischen Flüsse ΦF ei1 und ΦF eo1 in den Eisenstücken und der
Streufluss Φσ1 berechnen sich gemäß
ΦF ei1 = Φσ1 + ΦF eo1 =
ΘCoilRes
RmRes1
RmM + RmF ei
=
ΦF eo1 .
RmM + RmF ei + Rmσ
ΦF eo1 =
Φσ1
RmM
Rmσ
ΦF eo1
+ RmF ei + Rmσ
(D.12)
(D.13)
(D.14)
(D.15)
88
2. Im nächsten Schritt wird die Spannungsquelle ΘCoilRes der Spulen kurzgeschlossen, ΘM ist jedoch wieder aktiv. Die Rechenwerte werden jetzt mit
dem Index
2
gekennzeichnet. Die Berechnung erfolgt analog dem erstem
Schritt der Superposition.
Rmσ (RmAir + RmCoil + RmF eo )
Rmσ + RmAir RmCoil + RmF eo
ΘM
= Φσ2 + ΦF eo2 =
RmRes2
Rmσ
=
ΦF ei2
RmAir + RmCoil + RmF eo + Rmσ
=
ΦF ei2
RmAir + RmCoil + RmF eo + Rmσ
RmRes2 = RmM + RmF ei +
ΦF ei2
ΦF eo2
Φσ2
(D.16)
(D.17)
(D.18)
(D.19)
3. Die Überlagerung der entkoppelt berechneten Rechenwerte liefert die tatsächlichen magnetischen Verhältnisse.
ΦF ei = ΦF ei1 + ΦF ei2
(D.20)
ΦF eo = ΦF eo1 + ΦF eo2
(D.21)
Φσ = Φσ1 + Φσ2
(D.22)
Die Flussdichten und Feldstärken in den Komponenten des Ersatzschaltbildes
ergeben sich gemäß Gleichungen2.18 und 2.21 zu
ΦF ei
AF ei
ΦF eo
=
AF eo
BF ei =
(D.23)
BF eo
(D.24)
Bg1 = −Bg2 =
ΦF eo
ACoil
ΦF ei RmF ei
lphiF ei
ΦF eo RmF eo
=
lphiF eo
ΦF eo RmAir
=
lg
(D.25)
HF ei =
(D.26)
HF eo
(D.27)
Hg
(D.28)
Die Ausdrücke Bg und Hg kennzeichnen die Flussdichte und die Feldstärke im
Luftspalt. Die Flussrichtung unter der ersten Spule verläuft invers der Flussrich-
89
tung der zweiten Spule, siehe Abbildung 3.5. Dieser Zusammenhang wird in Gleichung D.25 mit der Beziehung Bg1 = −Bg2 gekennzeichnet.
Die relative Permeabilität µr der Eisenstücke unterliegt Sättigungseffekten.
Wenn die Permeabilitäten der Materialien in Form von BF eo /HF eo bzw. BF ei /HF ei
Kennlinien gegeben sind, so können mit Kenntnis von HF ei und HF eo unter Verwendung von
BF eo
µ0 HF eo
BF ei
=
µ0 HF ei
µrF eo =
(D.29)
µrF ei
(D.30)
die Sättigungseffekte im Eisen berücksichtigt werden. Die errechneten Permeabilitäten µr sind dann für den nächsten Berechnungsschritt in Gleichungen D.1 und
D.2 einzusetzen.
D.3
Umrechnung der Streureluktanz aus der
FEMLAB Messung
Die analytische Bestimmung der Streureluktanz erfolgt gemäß
Rmσ =
lσ
,
µ0 Aσ
(D.31)
jedoch sind der Streuweg lσ und die Streufläche Aσ unbekannt. Die Streureluktanz
kann ebenfalls mit Hilfe von FEMLAB gemessen werden, siehe Abschnitt 3.3.
Da die Feldberechnungen mit FEMLAB eine Tiefe lz von 1m implizieren, kann
die Streufläche approximiert werden zu Aσ = ly lz(1m) , wobei der Parameter ly
ebenfalls unbekannt ist. Der in FEMLAB gemessene Wert der Streureluktanz
beträgt
RmσM eas = 1.035e6 H −1 =
lσ
.
µ0 ly lz(1m)
(D.32)
Durch Umformung zu
µ0 ly
1
1
=
=
6
−1
lσ
1.035e H lz(1m)
RmσReal lzReal
(D.33)
90
wird die tatsächliche Streureluktanz im Linearmotormodell ermittelt. RmσReal
kennzeichnet die reale Streureluktanz und lzReal die tatsächliche Tiefe der Geometrie. Somit ergibt sich die tatsächliche Streureluktanz zu
RmσReal
1.035e6 H −1
1.035e6 H −1
=
=
= 2.07e7 H −1 .
lzReal
wm
(D.34)
ANHANG E. KRAFTKENNLINIENBESTIMMUNG LINEARMOTOR
91
Anhang E
Quellcode der
Kraftkennlinienbestimmung des
Linearmotors
E.1
Automatisierte Kraftmessung mit F simlin.m
%*****************************************************************************************
%This macro’s purpose is to provide Lorentz force data for a linear motor depending
%on the current and the position of the moving part.
%The macro also stores the FEMLAB flux density figures to the specified path (FigFolder)
%
%FEMLAB is used to simulate the motor with different currents at different displacements.
%The iron’s BH characteristics are taken from function ’get_mur(Bx,By)’ (same folder)
%
%The solution structure:
%
%
Solution.Ivector
-->
contains the current settings used for the simulation
%
(represents y-dimension of Force Array)
%
Solution.Xvector
-->
contains the displacement settings used for the simulation
%
(represents x-dimension of Force Array)
%
%
Solution.Force(:,:) -->
represents force data in x-direction
%
Solution.Ivector represents y-dimension,
%
Solution.Xvector represents x-dimension
%
%Date: 1.7.2002
%*****************************************************************************************
%++++++++++++++++++++++
%Constants
FigFolder=’’;
%Geometry data
Br=1.2;
mu0=4*pi*1e-7;
N=500;
w_m=50e-3;
w_c=25e-3;
h_c=9.5e-3;
Simulation Inits
++++++++++++++++++++++++++++
%storage folder for figures, this folder must exist already!
%empty string writes figures to current directory
%remanence in T
%permeability constant
%windings
%coil depth in m (z-dimension)
%coil width in m (x-dimension)
%coil height in m (y-dimension)
Acoil_xy=w_c*h_c;
%area of the coil in xy direction in m^2
%Simulation Parameters
%*****************************************************************************************
%The simulation will go through these current and displacement settings in order to obtain
%the Lorentz forces. Change only these parameters for refinement and leave all
%the others as they are.
%vector I specifies current list. Each coil will be supplied by each of the currents
I=[2 4]%0:0.25:5%[3];
%current flow list for the 4 coils, enter 1 for positive or -1 for negative currents
Iflow=[1 -1 -1 1];
%displacements of the moving part, may vary from 0 (most right position)
%via -0.005 (center position) to -0.01 (most left position) of the moving part
%other values than these could cause FEMLAB to use other subdomain numbering which
%would raise errors in this simulation configuration
displacements=[0]%0:-0.0005:-0.01%[0 -0.005 -0.01];
%magnetisation settings of the permanent magnet, (alternative settings in comments)
PM=[-Br/mu0 Br/mu0 Br/mu0 -Br/mu0];
%PM=[0 0 0 0];
%specify whether or not figures should be saved (each figure may use disk space of up to
%16MB, each simulation step creates one figure leading to a huge disk space consumtpion)
%specify ’1’ for saving figures and ’0’ for not saving
SaveFigures=1;
%*****************************************************************************************
mid_point=-0.005;
%in m, center position of the moving part, required for
%FEMLAB domain name compensation, see further below
%create solution data-structure
clear Solution;
Solution.Ivector=I;
Solution.Xvector=displacements;
%++++++++++++++++++++++++++
Inits End
+++++++++++++++++++++++++++++++
%++++++++++++++++++++++
Simulation Start
++++++++++++++++++++++++++++
for x=1:size(displacements,2)
%sweep through displacements
% FEMLAB Model of the linear motor
flclear fem
% FEMLAB Version
clear vrsn;
vrsn.name=’FEMLAB 2.3’;
vrsn.major=0;
vrsn.build=119;
fem.version=vrsn;
% Recorded command sequence
% New geometry 1
fem.sdim={’x’,’y’};
% Geometry
clear s c p
Fei=rect2(-0.09+displacements(x),0.09+displacements(x),-0.031,0.025,0);
PM2=rect2(-0.035+displacements(x),0+displacements(x),0.025,0.045,0);
PM1=rect2(-0.085+displacements(x),-0.05+displacements(x),0.025,0.045,0);
Coil1=rect2(-0.085,-0.06,0.0455,0.055,0);
Coil2=rect2(-0.03,-0.005,0.0455,0.055,0);
Feo=rect2(-0.1,0.09,0.055,0.065,0);
PM3=rect2(0+displacements(x),0.035+displacements(x),0.025,0.045,0);
PM4=rect2(0.05+displacements(x),0.085+displacements(x),0.025,0.045,0);
92
Coil3=rect2(-0.005,0.02,0.0455,0.055,0);
Coil4=rect2(0.05,0.075,0.0455,0.055,0);
Air=rect2(-0.11,0.1,-0.04,0.075,0);
objs={Fei,PM2,PM1,Coil1,Coil2,Feo,PM3,PM4,Coil3,Coil4,Air};
names={’Fei’,’PM2’,’PM1’,’Coil1’,’Coil2’,’Feo’,’PM3’,’PM4’,’Coil3’,’Coil4’,’Air’};
s.objs=objs;
s.name=names;
objs={};
names={};
c.objs=objs;
c.name=names;
objs={};
names={};
p.objs=objs;
p.name=names;
drawstruct=struct(’s’,s,’c’,c,’p’,p);
fem.draw=drawstruct;
fem.geom=geomcsg(fem);
clear appl
% Application mode 1
appl{1}.mode=flcemqap(’dim’,{’Az’},’sdim’,{’x’,’y’},’submode’,’t2’,’tdiff’,’on’);
appl{1}.dim={’Az’};
appl{1}.form=’coefficient’;
appl{1}.border=’off’;
appl{1}.name=’qap’;
appl{1}.var={’epsilon0’,’8.854187817e-12’,’mu0’,’4*pi*1e-7’,’omega’,’0’};
appl{1}.assign={’Bx’;’Bx’;’By’;’By’;’Dz’;’Dz’;’Ez’;’Ez’;’Hx’;’Hx’;’Hy’;’Hy’; ...
’Jez’;’Jez’;’Jiz’;’Jiz’;’Jvz’;’Jvz’;’Jz’;’Jz’;’Mx’;’Mx’;’My’;’My’;’Poxav’; ...
’Poxav’;’Poyav’;’Poyav’;’Pz’;’Pz’;’Qav’;’Qav’;’Qiav’;’Qiav’;’Qvav’;’Qvav’; ...
’Wav’;’Wav’;’Weav’;’Weav’;’Wm’;’Wm’;’Wmav’;’Wmav’;’eMx’;’eMx’;’eMy’;’eMy’; ...
’ePz’;’ePz’;’epsilon’;’epsilon’;’epsilon0’;’epsilon0’;’mu’;’mu’;’mu0’;’mu0’; ...
’muxx’;’muxx’;’muxy’;’muxy’;’muyx’;’muyx’;’muyy’;’muyy’;’nPoav’;’nPoav’; ...
’normB’;’normB’;’normE’;’normE’;’normH’;’normH’;’normJ’;’normJ’;’omega’; ...
’omega’;’sigma’;’sigma’;’tH’;’tH’;’vx’;’vx’;’vy’;’vy’};
appl{1}.elemdefault=’Lag2’;
appl{1}.shape={’shlag(2,’’Az’’)’};
appl{1}.sshape=2;
fem.appl=appl;
% Initialize mesh
fem.mesh=meshinit(fem,...
’Out’,
{’mesh’},...
’jiggle’, ’mean’,...
’Hcurve’, 0.29999999999999999,...
’Hgrad’, 1.3,...
’Hpnt’,
{10,[]});
% Differentiation simplification
fem.simplify=’on’;
% Material library
clear lib
lib.Iron.name=’Iron’;
lib.Iron.E=’210e9’;
lib.Iron.rho=’7870’;
lib.Iron.alpha=’11.7e-6’;
lib.Iron.sigma=’1.031e7’;
lib.Iron.epsilonr=’1’;
lib.Iron.mur=’700’;
lib.Iron.type=’material’;
lib.Copper.name=’Copper’;
lib.Copper.E=’110e9’;
lib.Copper.nu=’0.35’;
lib.Copper.rho=’8700’;
lib.Copper.alpha=’17e-6’;
lib.Copper.C=’385’;
93
lib.Copper.k=’400’;
lib.Copper.sigma=’5.998e7’;
lib.Copper.epsilonr=’1’;
lib.Copper.mur=’1’;
lib.Copper.type=’material’;
fem.lib=lib;
% Boundary conditions
clear bnd
bnd.H={{{’0’},{’0’}},{{’0’},{’0’}}};
bnd.Js={{{’0’}},{{’0’}}};
bnd.A={{{’0’}},{{’0’}}};
bnd.type={’A0’,’tH0’};
bnd.gporder={{0},{0}};
bnd.cporder={{0},{0}};
bnd.shape={0,0};
bnd.ind=[1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1];
fem.appl{1}.bnd=bnd;
...
%specify current densities in coils
for Currentcount=1:size(I,2)
JCOIL=[I(Currentcount)*Iflow(1)*N/(Acoil_xy),I(Currentcount)*Iflow(2)*N/(Acoil_xy),...
I(Currentcount)*Iflow(3)*N/(Acoil_xy),I(Currentcount)*Iflow(4)*N/(Acoil_xy)];
% PDE coefficients
clear equ
equ.sigma={{{’0’}},{{’Iron_sigma’}},{{’0’}},{{’Copper_sigma’}},{{’0’}}, ...
{{’Copper_sigma’}},{{’Copper_sigma’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’Copper_sigma’}}};
equ.mur={{{’1’}},{{’get_mur(Bx,By)’}},{{’mu_M’}},{{’Copper_mur’}},{{’mu_M’}}, ...
{{’Copper_mur’}},{{’Copper_mur’}},{{’mu_M’}},{{’mu_M’}},{{’Copper_mur’}}};
equ.murtensor={{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}}, ...
{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’, ...
’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}},{{’1’,’0’;’0’,’1’}}};
equ.M={{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’PM1’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’PM2’}}, ...
{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’PM3’}},{{’0’,’PM4’}},{{’0’,’0’}}};
equ.Jext={{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’J_coil1’}},{{’0’}},{{’J_coil2’}}, ...
{{’J_coil3’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’J_coil4’}}};
equ.v={{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’, ...
’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}},{{’0’,’0’}}};
equ.epsilonr={{{’1’}},{{’Iron_epsilonr’}},{{’1’}},{{’Copper_epsilonr’}}, ...
{{’1’}},{{’Copper_epsilonr’}},{{’Copper_epsilonr’}},{{’1’}},{{’1’}}, ...
{{’Copper_epsilonr’}}};
equ.P={{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}}, ...
{{’0’}},{{’0’}}};
equ.mutype={’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’,’iso’};
equ.gporder={{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4},{4}};
equ.cporder={{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2},{2}};
equ.shape={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
equ.init={{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}},{{’0’}}, ...
{{’0’}},{{’0’}}};
equ.usage={1,1,1,1,1,1,1,1,1,1};
%compensate FEMLAB auto numbering of subdomains which changes in the center-position
%of the moving part
equ.ind=[1 2 2 3 4 5 6 8 7 9 10];
else
equ.ind=[1 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10];
end
fem.appl{1}.equ=equ;
% Internal borders
fem.appl{1}.border=’off’;
% Application scalar variables
fem.appl{1}.var={’epsilon0’,’8.854187817e-12’,’mu0’,’4*pi*1e-7’,’omega’,’0’};
% Shape functions
fem.appl{1}.shape={’shlag(2,’’Az’’)’};
94
% Geometry element order
fem.appl{1}.sshape=2;
% Differentiation rules
fem.rules={};
% Define constants
fem.const={...
’Br’,
1.2,...
’mu_0’,
1.2566370614359173e-006,...
’mu_M’,
1.0700000000000001,...
’I’,
1,...
’A_cu’,
2.375e-007,...
’PM1’,
PM(1),...
’PM2’,
PM(2),...
’PM3’,
PM(3),...
’PM4’,
PM(4)};
% Multiphysics
fem=multiphysics(fem);
% Extend the mesh
fem.xmesh=meshextend(fem,’context’,’local’,’cplbndeq’,’on’,’cplbndsh’,’on’);
% Evaluate initial condition
init=asseminit(fem,...
’init’,
fem.xmesh.eleminit);
%workspace status message
disp(strcat(’...simulating current: ’,num2str(I(Currentcount)),...
’A @ x-displacement: ’,num2str(displacements(x)),’m’))
% Solve problem
fem.sol=femlin(fem,...
’jacobian’,’equ’,...
’out’,
{’sol’},...
’init’,
init,...
’sd’,
’off’,...
’nullfun’,’flnullorth’,...
’blocksize’,5000,...
’solcomp’,{’Az’},...
’linsolver’,’matlab’,...
’method’, ’eliminate’,...
’uscale’, ’auto’);
% Save current fem structure for restart purposes
fem0=fem;
%++++++++++++++++++++++
Force Determination Sequence
% ... by determining the Lorentz force on the coils
++++++++++++++++++++++++++++
%again, compensate auto numbering of subdomains when geometry changes
else
end
%Force determination F=JxB (surface integral) in N/m
%...multiply force integral by 4 in order to involve full motor geometry
%
(only a quarter) is modelled here
%...multiply also by depth of the coils in order to obtain N rather than N/m
Solution.Force(Currentcount,x)=postint(fem,’-Jez*By’,’dl’,DomainlistCoils)*4*w_m;
95
%++++++++++++++++++++++
End Force Determination Sequence
96
++++++++++++++++++++++++++++
if (SaveFigures == 1)
%create new figure for postplot
figure
% Plot solution
postplot(fem,...
’geomnum’,1,...
’tridata’,{’normB’,’cont’,’internal’},...
’trifacestyle’,’interp’,...
’triedgestyle’,’none’,...
’trimap’, ’jet’,...
’trimaxmin’,’off’,...
’tribar’, ’on’,...
’arrowdata’,{’Bx’,’By’},...
’arrowcolor’,[1 0 0],...
’arrowscale’,’auto’,...
’arrowstyle’,’proportional’,...
’arrowxspacing’,15,...
’arrowyspacing’,15,...
’arrowmaxmin’,’off’,...
’geom’,
’on’,...
’geomcol’,’bginv’,...
’refine’, 3,...
’contorder’,2,...
’phase’, 0,...
’title’, ’’,...
’renderer’,’zbuffer’,...
’solnum’, 1,...
’axisvisible’,’on’)
%save and close current figure
title(strcat(’Surface: magnetic flux density(normB) Arrow: magnetic flux density’,...
’ Current I: ’,num2str(I(Currentcount)),’A @ X-displacement: ’,...
num2str(displacements(x)),’m’));
saveas(gcf,strcat(FigFolder,’CurrentSetting’,num2str(Currentcount),’XSetting’,...
num2str(x)))
close
end
end
end
%++++++++++++++++++++++
E.2
Simulation End
++++++++++++++++++++++++++++
BH-Sättigungskennlinie get mur.m
function mur=get_mur(Bx,By)
%FEMLAB function to specify nonlinear mur-functionality (based on B-H curve)
%for materials
%
%since no further functionality is supported by FEMLAB, B and mu_r vectors
%must be supplied rather than evaluating the formula: mur=B/(H*mu0)
%
%Date: 4.6.2002
mu0=1.2566e-6;
%B-mur data
Bkenn_Fe=[0 0.5 1 1.2 1.28 1.35 1.4 1.43 1.48 1.5 1.51 1.53 1.55 1.7 2];
mur_kenn_Fe=[2000 1989.4 1989.4 1591.5 1273.2 1074.3 742.72 568.98 392.58 ...
298.42 240.32 202.92 176.21 1 1];
%determine mur
B=sqrt(Bx.^2+By.^2);
mur=interp1(Bkenn_Fe,mur_kenn_Fe,B,’linear’);
E.3
97
Visualisierung mit F post.m
%macro to postevaluate Solution structure created by F_simlin.m
%Date: 3.7.2002
%------ change the follwing data to adjust F_post.m --------------------%specify current settings which are supposed to be used for the F-x plot
%(Iplt contains indices of Ivector)
Iplt=[5 9 13];
%1A,2A,3A
%specify position settings which are supposed to be used for the F-I plot
%(Xplt contains indices of Xvector)
Xplt=[1 11 21];
%--------------------------- Plot macro --------------------------------%colour vector for data plot
color=[’b’ ’g’ ’r’ ’c’ ’y’ ’m’ ’k’];
%F-x plot
figure;
hold;
for CurCount=1:size(Iplt,2)
plot(Solution.Xvector,Solution.Force(Iplt(CurCount),:),color(CurCount));
axis([min(Solution.Xvector) max(Solution.Xvector) 0 max(Solution.Force(Iplt(CurCount),:))+30]);
end
grid;
title(’Displacement-Force graph of the linear motor’);
xlabel(’Displacement in m’);
ylabel(’Force in N’);
%F-I plot
figure;
hold;
for XCount=1:size(Xplt,2)
plot(Solution.Ivector,Solution.Force(:,Xplt(XCount)),color(XCount));
axis([min(Solution.Ivector) max(Solution.Ivector) 0 max(Solution.Force(:,Xplt(XCount)))+30]);
end
grid;
title(’Current-Force graph of the linear motor’);
xlabel(’Current in A’);
ylabel(’Force in N’);
ANHANG F. SIMULINK MODELL DES LINEARMOTORS
98
Anhang F
SIMULINK Modell des
Linearmotors
Nachfolgend sind die Initialisierungsroutine und die SIMULINK Struktur des
modellierten Linearmotors dargestellt. Das Modell ist in ein elektrisches, ein magnetisches und ein mechanisches System unterteilt. Abbildung F.4 zeigt das zusammengesetzte Gesamtmodell des Linearmotors.
F.1
Quellcode der Initialisierungsdatei init.m
%Initialisierungsroutine Linearmotor
%Autor: Kai Lehmann
%Datum: 15.7.2002
%global
mu_0=1.256637e-6;
I=0;
ts=1e-6;
vers_FEMLAB=0;
%(Vs)/(Am)
%A
%step size in s
%FEMLAB 2-d verwendet z-Tiefe von 1m; 0-keine FEMLAB Version
%
1-FEMLAB Version
if vers_FEMLAB==1
’veränderte Geometriedaten für FEMLAB:’
Rm_sigma=1.035e6 %1/H
else
Rm_sigma=2.07e7; %1/H
end
%-------------------------------------------------------------------%Geometriedaten
%-------------------------------------------------------------------l_g=0.5e-3;
%m
h_c=9.5e-3;
%m
h_m=20e-3;
%m
w_i=56e-3;
%m
if vers_FEMLAB==1
w_m=1
%m
else
w_m=50e-3;
%m
end
w_o=136e-3;
%m
w_c=116e-3;
%m
w_Fe_m=106.5e-3;
%m
h_i=10e-3;
%m
l_c=25e-3;
%m
l_m=35e-3;
%m
l_mag=0.16;
%m
l_act=0.20;
%m
l_phi_Feo=55e-3+h_i;%m
l_phi_Fei=50e-3+w_i;%m
mittlerer Eisenweg magnetisch im äusseren Eisenstück
mittlerer Eisenweg magnetisch im inneren Eisenstück
A_Feo=h_i*w_m;
%m^2
if vers_FEMLAB==1
A_Fei=w_i
%m^2
else
A_Fei=w_i^2;
%m^2
end
%-------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------%Daten Permanentmagnet sintered NdFeB
%-------------------------------------------------------------------%Constants
Br=1.2;
%T
mu_M=1.07;
Hc=Br/(mu_0*mu_M);
%A/M
rho_p=7400;
%Dichte kg/m^3
A_m=w_m*l_m;
%m^2
%Berechne B-H curve (linearisiert)
Hkenn_p=0:-100:-Hc;
Bkenn_p=Br/Hc*Hkenn_p+Br;
%maximale Energiedichte des bei H_m*B_m -> max
EnergyPMMax=0;
EnergyPMMax_new=0;
for i=2:size(Hkenn_p,2)
EnergyPMMax_new=-Hkenn_p(i)*Bkenn_p(i);
if (EnergyPMMax>EnergyPMMax_new)
break
else
EnergyPMMax=EnergyPMMax_new;
EnergyPMMax_H=Hkenn_p(i);
end
end
clear EnergyPMMax
clear EnergyPMMax_new
%-------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------%Daten Spule
%-------------------------------------------------------------------N=500;
Fuellfaktor=0.5;
rho_Cu=0.0175;
%Leitwert Ohm*(mm^2)/m
d_leiter=0.56e-3;
%m, Durchmesser eines Leiters
L=4e-4;
%Startwert
%Calculations
A_coil=l_c*w_m;
%A_Cu_leiter=l_c*h_c*Fuellfaktor/N;
A_Cu_leiter=d_leiter^2*pi/4;
l_Cu=4*w_Fe_m*N;
R_Cu=rho_Cu*l_Cu/(A_Cu_leiter*1000^2);
%Kennlinie B-H Kurve
%H_VM111_35
%m^2 Luftspalt und Spule
%m^2
%m^2
%m
%Ohm
99
%Hkenn_Fe_raw=[0 1000 2000 5000 10000 14000 20000 25000];
%Bkenn_Fe_raw=[0 1.8000 1.8500 1.9300 1.9800 2.0000 2.0000 2.0000];
%Armco steel
%Hkenn_Fe_raw=[1e-6 200 400 600 800 1000 1500 2000 3000 4000 5000 6000 7000 200000];
%Bkenn_Fe_raw=[1e-6 0.5 1 1.2 1.28 1.35 1.4 1.43 1.48 1.5 1.51 1.53 1.55 1.8013];
load BHKennlinie
%mu_r-B Kennlinie generieren für FEMLAB
%mur_kenn_Fe=B_Fe./(H_Fe*mu_0);
%Kennlinie interpolieren
%H_Fe=linspace(min(Hkenn_Fe_raw),max(Hkenn_Fe_raw)+200000,500);
%B_Fe=interp1(Hkenn_Fe_raw,Bkenn_Fe_raw,Hkenn_Fe,’linear’);
%Daten der Induktivitäten für den elektrischen Kreis aufbereiten
L11=0.01236442563135;
%Selbstinduktivität Spule1
L12=0.01141968238945;
%Koppelinduktivität Spule1-Spule2, Spule1
L21=0.01132937364628;
L22=0.02541060416818;
%Selbstinduktivität Spule2
L31=0.00882326903479;
L32=0.02276060188295;
L41=0.00335923117999;
L42=0.00888762696111;
%folgende Koeffizenten werden vom State-Space Block des elektr.Kreises
%benötigt
a=L11+L41;
b=L21+L31;
c=L22+L32;
d=L12+L42;
e=1-b*d/(a*c);
%-------------------------------------------------------------------%-------------------------------------------------------------------%Daten Mechanik
%-------------------------------------------------------------------k_d=4.5;
%Ns/m
rho_Fe=7900;
%Dichte kg/m^3
%Masse Läufer gesamt:
m_p=rho_p*l_m*h_m*w_m; %Masse 1 Permanentmagnet in kg
m_Fe=rho_Fe*(w_i^2*l_mag+w_m^2*(l_act-l_mag)); %kg
m_act=m_Fe+16*m_p;
%--------------------------------------------------------------------
aktiv
aktiv
aktiv
aktiv
aktiv
aktiv
100
F.2
Der elektrische Kreis
Abbildung F.1: Das elektrische Modell des Linearmotors
F.3
Abbildung F.2: Das mechanische Modell des Linearmotors
101
Abbildung F.3: Das magnetische Modell des Linearmotors
H_Fei
V_Rm_air
H_Rm_air
0
u(1)/2*u(2)
H_g
1/l_g
0
Rm_M
H_Feo
2*h_m/(mu_0*mu_M*A_m)
0
Verh. Div 0
Verh. Div O
B-H Kennlinie
Fei
B-H Kennlinie
Feo
Kennlinie
PM
Rm_air
H_RmFeo
1/l_phi_Feo
H_RmFei
1/l_phi_Fei
Phi_Fei_I
f(u)
Phi_Feo_II
f(u)
PMEnergy
2*l_g/(mu_0*A_coil)
Rm_sigma
Rm_res_II
Rm_coil
Rm_res_I
f(u)
f(u)
Memory1
Memory
Theta_coil1
N
2*h_c/(mu_0*A_coil)
Rm_Feo
l_phi_Feo/(u(2)/u(1)*A_Feo)
Rm_Fei
l_phi_Fei/(u(2)/u(1)*A_Fei)
N
Theta_coil2
V_RmFeo
u(1)*u(2)
V_RmFei
u(1)*u(2)
Phi_sigma_I
u(2)-u(1)
Phi_sigma_II
u(1)-u(2)
Phi_Fei_II
u(1)/u(2)
Phi_Feo_I
u(1)/u(2)
Theta_M
Hc*h_m*2
0
Phi_Fei
(u(1)+u(2))*4
Phi_sigma
u(1)+u(2)
Phi_Feo
u(1)+u(2)
Graph2
Graph1
0
Gain2
-K-
Gain1
1
Gain
-K-
-1
0
0
0
Phi_Fei
B_Fei
0
0
Phi_sigma1
B_Feo
Phi_Feo
2
B_g2
1
B_g1
PMs sind gegensinnig installiert
B_g
1/A_coil
B_g_Graph
0
F.4
1
i_1
2
i_2
102
Der magnetische Kreis
F.5
Das Gesamtmodell
Abbildung F.4: Das Gesamtmodell des Linearmotors
103
ANHANG G. SYSTEMGLEICHUNG DES LINEARMOTORS
104
Anhang G
Herleitung der Systemgleichung
des Linearmotors
Nachfolgend wird die Herleitung der magneto-mechanischen Systemgleichung 3.21
des Linearmotors erläutert.
Wie in Abschnitt 3.4 gezeigt wurde, lautet das mechanische Modell des Linearmotors
ẍ =
FL − Ff ric − F0
m
(G.1)
FL = liBg ,
(G.2)
Fa = ma
(G.3)
Ff ric = kd v
(G.4)
mit der Lorentzkraft
die gegen die Massenträgheit
und die Reibungskraft
arbeitet. Die Flussdichten in den modellierten Spulen verlaufen invers, siehe Gleichung D.25, wodurch sich die insgesamt im Linearmotor erzeugte Kraft nach
Gleichung G.5 berechnen läßt.
FL = 2l(i1 Bg1 + i2 Bg2 )
(G.5)
ANHANG G. SYSTEMGLEICHUNG DES LINEARMOTORS
105
Werden die Ausdrücke Bg1 und Bg2 durch Gleichungen D.25, D.21 und D.13
substituiert1 , so entsteht
2l
FL =
ACoil
N (i22 + i1 i2 )
N (i21 + i1 i2 )
+ i1 ΦF eo2 −
− i2 ΦF eo2 .
RmRes1
RmRes1
(G.6)
Die Zusammenfassung der Ströme führt zu
FL =
2l
ACoil
N (i21 − i22 )
+ ΦF eo2 (i1 − i2 ) .
RmRes1
(G.7)
Nach Einsetzen von Gleichung D.19 in Gleichung D.18 und Subtstituierung
des entstehenden Ausdruckes mit ΦF eo2 aus Gleichung G.7 entsteht die Kräftegleichung
FL =
2l
ACoil
Rmσ Φσ2 (i1 − i2 )
N (i21 − i22 )
+
.
RmRes1
(G.8)
Nach Einsetzen von Gleichung G.8 in Gleichung G.1 des mechanischen Systems entsteht die magneto-mechanische Systemgleichung
v̇ = −
1
kd v F0
2l
−
+
m
m ACoil m
in dieser Reihenfolge
Rmσ Φσ2 (i1 − i2 )
N (i21 − i22 )
+
.
RmRes1
(G.9)
ANHANG H. AUFBAU DES EMV
106
Anhang H
Aufbau des EMV
Alle Maßangaben entsprechen denen der SIMULINK Simulation.
Längenbezeichnung
Wert in mm
wo
6
wm
6
wu
8
wp
18
lg
0 . . . 8mm
lo
24
lp
5
lz
30
l phi Fe1
52
l phi Fe2
12
Flächenbezeichnung
Wert in mm2
A Fe1=w o*l z
180
A Fe2=l p*l z
150
Abbildung H.1: Längen- und Flächenangaben des EMV
107
w_p
w_p
l_z
w_o
l_Phi_Fe2
l_g
w_m
l_o
w_u
l_Phi_Fe1
l_p
Abbildung H.2: Aufbau einer Hälfte des Elektromagneten in
Draufsicht und Querschnitt
H.1
108
Mechanische Daten
Wert
Einheit
Masse m
0.2kg
Federkonstante C
160 N/mm
Reibungskonstante kd
4 kg/s
Abbildung H.3: Mechanische Daten des EMV
H.2
Daten der Spule
Wert
Einheit
Windungszahl N
110
spezifischer elektrischer Widerstand rhoCu
0.0175 Ωmm2 /m
Kupferwiderstand RCu
0.44 Ω
Abbildung H.4: Eigenschaften der Spule
Abbildung H.5: B-H Kennlinien der Eisenmaterialien
Stator: VM111-35, Anker: Stahl St3
ANHANG I. S-FUNCTION DES EMV RL-NETZWERKES
Anhang I
Quellcode der S-Function des
EMV RL-Netzwerkes
function [sys,x0,str,ts] = RL_SFUNCTION(t,x,u,flag)
% S-Function as representation of the RL network
%
%
U=Ri+Ldi/dt
%
%
or in state-space
%
%
%
i’ = -R/L*i + 1/L*u
%
y = i
%
% with time-dependant parameters R and L
%
%Date: 30.05.2002
%-------------------------------------------------------------%
% Dispatch the flag.
%
switch flag,
case 0
[sys,x0,str,ts]=mdlInitializeSizes; % Initialization
case 1
sys = mdlDerivatives(t,x,u); % Calculate derivatives
case 3
sys = mdlOutputs(t,x,u); % Calculate outputs
case { 2, 4, 9 } % Unused flags
sys = [];
otherwise
error([’Unhandled flag = ’,num2str(flag)]); % Error handling
end
% End of csfunc.
%==============================================================
% mdlInitializeSizes
% Return the sizes, initial conditions, and sample times for the
% S-function.
%==============================================================
%
function [sys,x0,str,ts] = mdlInitializeSizes
%
% Call simsizes for a sizes structure, fill it in and convert it
109
ANHANG I. S-FUNCTION DES EMV RL-NETZWERKES
% to a sizes array.
%
sizes = simsizes;
sizes.NumContStates = 1;
sizes.NumDiscStates = 0;
sizes.NumOutputs
= 1;
sizes.NumInputs
= 3;
sizes.DirFeedthrough = 0;
% Matrix D is empty.
sizes.NumSampleTimes = 1;
sys = simsizes(sizes);
%
% Initialize the initial conditions.
%
x0 = 0;
%
% str is an empty matrix.
%
str = [];
%
% Initialize the array of sample times; in this example the sample
% time is continuous, so set ts to 0 and its offset to 0.
%
ts = [0 0];
% End of mdlInitializeSizes.
%
%==============================================================
% mdlDerivatives
% Return the derivatives for the continuous states.
%==============================================================
function sys = mdlDerivatives(t,x,u)
R=u(1);
L=u(2);
A=-R/L;
B=1/L;
sys = A*x + B*u(3);
% End of mdlDerivatives.
%
%==============================================================
% mdlOutputs
% Return the block outputs.
%==============================================================
%
function sys = mdlOutputs(t,x,u)
C=1;
sys = C*x;
% End of mdlOutputs.
110
ANHANG J. MAGNETISCHER KREIS DES EMV
111
Anhang J
Berechnung des magnetischen
Kreises des EMV
Die Berechnungen des magnetischen Kreises des EMV beziehen sich auf unten
stehendes Ersatzschaltbild.
ΘCoil
RmF e1
ΦCoil
∨
Rmσ
>
ΦAir
∨
Φσ
RmAir
RmF e2
Abbildung J.1: Magnetisches Ersatzschaltbild des EMV
J.1
112
Bestimmung der magnetischen Widerstände
und Spannungsquellen
Die magnetischen Widerstände der Eisenmaterialien und der Luftspalte lassen
sich analog dem Linearmotor gemäß Gleichung 2.19 bestimmen. Der doppelt auftretende Luftspalt ist zu einem Ersatzschaltelement RmAir zusammengefasst.
lphiF e1
µ0 µr AF e1
lphiF e2
=
µ0 µr AF e1
2lg
=
.
µ0 AF e1
RmF e1 =
(J.1)
RmF e2
(J.2)
RmAir
(J.3)
Die Streureluktanz ist abhängig vom Luftspalt und kann laut Butzmann/Melbert
[24] mit k0 = 1220 ermittelt werden.
Rmσ =
RmF e2 + RmAir
k0 lg
(J.4)
Für weitere Berechnungsschritte wird zusätzlich die Gesamtreluktanz
RmSum = RmF e1 + Rp
(J.5)
der Anordnung benötigt. Diese setzt sich aus RmF e1 und dem Parallelwiderstand
Rp =
Rmσ (RmF e2 + RmAir )
Rmσ + RmF e2 + RmAir
(J.6)
zusammen. Die magnetische Urspannung der Spule erbibt sich aus
Θcoil = iN.
(J.7)
J.2
113
Bestimmung der magnetischen Flüsse und
Feldstärken
Die magnetischen Flüsse des Ersatzschaltbildes können gemäß Abschnitt2.2.1 berechnet werden.
ΘCoil
= Φσ + ΦAir
RmSum
RmF e2 + RmAir
= ΦCoil
RmF e2 + RmAir + Rmσ
Rmσ
= ΦCoil
RmF e2 + RmAir + Rmσ
ΦCoil =
Φσ
ΦAir
(J.8)
(J.9)
(J.10)
Die Flussdichte- und Feldstärkewerte der Komponenten des Ersatzschaltbildes
ergeben sich zu
ΦCoil
AF e1
ΦAir
AF e2
ΦAir
AF e1
ΦCoil RmF e1
lphiF e1
ΦAir RmF e2
lphiF e2
ΦAir RmAir
lg
BF e1 =
BF e2 =
Bg =
HF e1 =
HF e2 =
Hg =
Der Index
g
(J.11)
(J.12)
(J.13)
(J.14)
(J.15)
(J.16)
kennzeichnet die magnetischen Parameter der Luftspaltes. Unter
Verwendung von
BF e1
µ0 HF e1
BF e2
=
µ0 HF e2
µrF e1 =
(J.17)
µrF e2
(J.18)
können die Sättigungseffekte in den Eisenteilen berücksichtigt werden. Die Wertepaare BF e1 /HF e1 und BF e2 /HF e2 sind als Kennlinienfelder in SIMULINK gegeben.
ANHANG K. SIMULINK MODELL DES EMV
114
Anhang K
SIMULINK Modell des EMV
Nachfolgend ist die SIMULINK Struktur des elektromechanischen Ventiltriebs
dargestellt. Das Modell ist in ein elektrisches, ein magnetisches und ein mechanisches System unterteilt. Abbildung K.4 zeigt das zusammengesetzte Gesamtmodell des Aktuators.
K.1
Der elektrische Kreis
Abbildung K.1: Das elektrische Modell des EMV
K.2
Der magnetische Kreis
Abbildung K.2: Das magnetische Modell des EMV
115
K.3
Abbildung K.3: Das mechanische Modell des EMV
116
K.4
Das Gesamtmodell
Abbildung K.4: Das Gesamtmodell des EMV
117
LITERATURVERZEICHNIS
118
Literaturverzeichnis
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Teubner-Verlag
Stuttgart,
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Erklärung
Ich versichere eidesstattlich, dass ich die vorliegende Diplomarbeit
selbstständig und ohne Benutzung unzulässiger Hilfsmittel angefertig habe. Wörtliche oder sinngemäße Übernahmen aus anderen
Veröffentlichungen sind als solche gekennzeichnet. Mir ist bewusst,
dass eine falsche Versicherung rechtliche Konsequenzen hat.
Wernigerode, 30. September 2002
..............................
(Kai Lehmann)

Diplomarbeit Modellierung elektromagnetischer

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