Aronszajn-Donoghues Theorie eindimensionaler Störungen

Aronszajn-Donoghues Theorie eindimensionaler
Störungen
Felix Dellinger
29. September 2015
Einleitung
In dieser Arbeit befasse ich mich mit Kapitel 9.1 und 9.2 aus Unbounded Self-adjoint Operators on Hilbert Space von Konrad Schmüdgen im Folgenden als [KS] bezeichnet. Darin
wird die Frage behandelt, wie sich das Spektrum eines selbstadjungierten Operators verändert, wenn ihm eine eindimensionale Störung widerfährt. Die wesentliche Idee dahinter
ist, das Spektrum in Abhängigkeit von der Verteilungsfunktion λ → EA (−∞, λ]x, x) in
einen diskreten, absolut stetigen und singulär stetigen Anteil zu zerlegen. Es lässt sich
zeigen, dass der absolut stetige Anteil unverändert unter eindimensionalen Störungen
bleibt, während der diskrete und der singulär stetige Anteil deutlich variieren können.
Im ersten Abschnitt sammle ich ein paar allgemeine Reslutate zu Operatoren auf Hilberträumen aus Kapitel 5 aus [KS].
Die Zerlegung des Spektrums wird genauer in Abschnitt 2 behandelt. Darin zitiere ich im
wesentlichen die Ergebnisse aus Kapitel 9.1 aus [KS]. In Anschnitt 3 werden die Werkzeuge entwickelt, die benötigt werden um den Satz von Aronszajin-Donoghue zu formulieren
und zu beweisen. Die Resultate aus Abschnitt 3 stammen, so wie auch die aus Abschnitt
4, aus Kapitel 9.2 aus [KS].
Im Anhang zitiere ich einige wenige Ergebnisse aus der komplexen Analysis ohne Beweis.
Diese Resultate sind aus [KS, Appendix F] entnommen.
1
1
Allgemeines zu Operatoren auf Hilberträumen
Im Folgenden werden ein paar Resultate zu Operatoren auf Hilbertäumen gebracht, die
im Beweis des Satzes von Aronszajin-Donoghue eingehen. Teilweise sind ähnliche Ergebnisse für beschränkte Operatoren aus Funktionalanalysis 1 bekannt, da sie aber eine so
wichtige Rolle im Beweis von Satz 4.1 spielen, führe ich sie in diesem Kapitel nochmal
an. Wenn nicht anders festgelegt, sei im Folgenden H immer ein Hilbertraum, A ein
selbstadjungierter Operator auf H und D(A) sein Denitionsbereich.
Denition 1.1 Der Unterraum U heiÿt reduzierender Unterraum des Operators A, wenn
Operatoren A1 auf U und A2 auf U ⊥ existieren, für die gilt: A = A1 ⊕ A2 .
Für beschränkte Operatoren sind invariante Unterräume immer reduzierende Unterräume. Diese Denition wird also erst interessant für unbeschränkte Operatoren. Aus
Funktionalanalysis 1 ist bereits bekannt, dass ein Unterraum N ⊆ H genau dann ein
invarianter Unterraum des beschränkte Operators A ist, wenn A mit der orthogonalen
Projektion PN auf N kommutiert. Für unbeschränkte Operatoren lässt sich eine ähnliche
Aussage zeigen.
Proposition 1.2 Sei N ein abgeschlossener Unterraum von H und PN die orthogonale
Projektion auf N . Dann ist N ein reduzierender Unterraum für A, genau dann wenn
PN Ax = APN x für alle x aus D(A) und PN die Menge D(A) in sich selbst abbildet.
Deniere A1 := APN auf N ∩ D(A) und A2 := A(I − PN ) auf N ⊥ ∩ D(A) und
identiziere H = N ⊕N ⊥ . Es gilt also D(A) = (D(A)∩N )⊕(D(A)∩N ⊥ ) = D(A1 )⊕D(A2 ).
Da A mit PN kommutiert, bildet A1 den Raum N ∩ D(A) und A2 den Raum N ⊥ ∩ D(A)
in sich selbst ab.
Für x ∈ D(A) gilt damit Ax = A(PN x ⊕ (I − PN )x) = A(PN x) ⊕ A((I − PN )x) =
A1 (x) ⊕ A2 (x). Nach Denition 1.1 ist N ein reduzierender Unterraum.
Beweis.
Bezeichne B(R) die Borellmengen auf R. Dann ist die Tatsache, dass die
Operatoren A und PN kommutieren, gleichbedeutend zu EA (M )PN = PN EA (M ) ∀M ∈
B(R). Da die Sigmaalgebra B(R) von den Mengen (−∞, λ] erzeugt wird, ist EA (M )PN =
PN EA (M ) ∀M ∈ B(R) äquivalent zu EA ((−∞, λ])PN = PN EA ((−∞, λ]) ∀λ ∈ R. Statt
EA ((−∞, λ]) werden wir im Folgenden EA (λ) schreiben.
Der Beweis folgt direkt aus der Spektraldarstellung selbstadjungierter Operatoren.
Bemerkung 1.3
2
Als Beispiel zur Veranschaulichung, dass reduzierende und invariante Unterräume nicht immer übereinstimmen müssen, betrachte man den Operator T = −i dxd .
Der betrachtete Hilbertraum H sei L2 (R) und der Unterraum D(T ) sei der Sobolevraum
H 1 (R). Oensichtlich ist T selbstadjungiert und N := L2 (0, 1) ein invarianter Unterraum
unter T , da T die Menge N ∩ H 1 (R) nach N abbildet.
Sei nun f ∈ H 1 (R) mit f (0) 6= 0 und PN die Projektion χ(0,1) auf N . Dann gilt
PN (f ) ∈
/ D(T ), woraus folgt, dass N kein reduzierender Unterraum ist.
Beispiel 1.4
Lemma 1.5 Für jede Teilmenge N von H ist HN := span{EA (M )x : M ∈ B(R), x ∈ N }
der kleinste reduzierende Unterraum für A, der N enthält. Der Raum HN lässt sich
auch schreiben als span{Rz (A)x : x ∈ N , z ∈ C\R}, wobei Rz die Resolvente (A − zI)−1
bezeichnet.
Als Abschluss einer lineare Hülle ist HN sicher ein Unterraum. Sei PN die orthogonale Projektion auf HN . Oensichtlich bildet für M ∈ B(R) die Projektion EA (M )
die Menge HN in sich selbst ab. Daraus folgt direkt, dass PN und EA (M ) kommutieren:
PN EA (M )y = PN y0 = y0 = EA (M )y = EA (M )PN y für y ∈ HN . Da A auf ganz HN
deniert ist, ist HN ein reduzierender Unterraum.
Sei H0 ein weiterer reduzierender Unterraum für den Operator A, der N enthält und P0 die
orthogonale Projektion auf H0 . Nach Proposition 1.2 muss EA (M )P0 = P0 EA (M ) ∀M ∈
B(R).
Da N eine Teilmenge von H0 ist, gilt EA (M )x = EA (M )P0 x = P0 EA (M )x für alle x ∈ N
und M ∈ B(R). Also gilt HN ⊆ H0 .
Um die zweite Aussage zu sehen, erinnere man sich daran, dass sich die Resolvente
R
durch das Spektralmaÿ ausdrücken lässt mit Rz (A) = (t − z)−1 dEA (t). Damit folgt
Rz (A)x ∈ HN für z ∈ C/R und x ∈ N . Durch Stone's Formel, siehe Satz 5.1, erhält man
auch die Umkehrung, dass sich das Spektralmaÿ über die Resolvente ausdrücken lässt
also
Beweis.
1
EA (λ) = lim lim
δ→0+ →0+ 2π i
Z
λ+δ
(A − (t + i)I)−1 − (A − (t − i)I)−1 dt.
(1)
−∞
Folglich gilt EA (λ)x ∈ span{Rz (A)x : x ∈ N , z ∈ C/R}. Somit sind die zwei Schreibweisen für HN gleich.
Denition 1.6 Sei A ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum H. Der
Vektor x heiÿt zyklischer Vektor, wenn die Menge span{EA (M )x : M ∈ B(R)} dicht im
Hilbertraum H ist.
3
Wenn ein Operator einen zyklischen Vektor besitzt, sagt man auch, dass er ein einfaches
Spektrum hat. Der Grund dafür ist, dass in diesem Fall jeder Eigenwert Vielfachheit 1 hat.
Aus der Existenz eines zyklischen Vektors lässt sich aber noch bedeutend mehr herleiten
wie wir in Proposition 1.9 zeigen. Diese wird auch ein essentieller Bestandteil im späteren
Beweis des Satzes von Aronszajin Donoghue sein.
Proposition 1.7 Sei µ ein positives, reguläres Borelmaÿ auf R, H = L2 (R, µ) und At
der Multiplikationsoperator deniert durch At f (t) = tf (t) für alle f ∈ D(At ) := {f :
ktf (t)kL2 < ∞}. Dann gelten folgende Aussagen:
(i) λ ∈ R ist genau dann ein Eigenwert von At , wenn µ({λ}) 6= 0.
(ii) Jeder Eigenwert hat Vielfachheit 1.
(iii) Der Operator At hat ein einen zyklischen Vektor.
Klarerweise ist der einzige Kandidat für einen Eigenvektor zum Eigenwert λ die
Indikatorfunktion χ{λ} . Diese ist aber genau dann ungleich der Nullfunktion, wenn {λ}
keine Nullmenge ist. Daraus ergeben sich (i) und (ii).
Um Punkt (iii) zu sehen, deniere man die Funktion
Beweis.
x(t) :=
∞
X
2−|k| µ [k, k + 1)
−1/2
χ[k,k+1)
k=−∞
Die Projektion EAt (M ) entspricht einer Multiplikation mit der Indikatorfunktion χM .
Daraus ergibt sich, dass man die Indikatorfunktion jedes endlichen Intervalls [a, b) durch
eine Linearkombination von Funktionen EAt (M )x darstellen kann. Da diese dicht in
L2 (R, µ) liegen, ist x ein zyklischer Vektor.
Im Fall, dass µ endlich ist, kann man obigen Beweis auch leichter führen
indem man einfach x(t) ≡ 1 wählt.
Bemerkung 1.8
Proposition 1.9 Sei x ein zyklischer Vektor für den Operator A und sei µ(·) := hEA (·)x, xi.
Dann ist die Abbildung U von H nach L2 (R, µ) deniert durch U f (A)x = f (t) ein
unitärer Operator mit A = U −1 At U und U (x) ≡ 1. Wobei hier At der Multiplikationsoperator aus Proposition 1.7 ist.
4
Da der Vektor x zyklisch ist, gibt es zu jedem y ∈ H eine Folge von Vektoren
P
der Form yk = nk=1 ck EA (Mk )x mit ck ∈ C und Mk ∈ B(R), die gegen y konvergiert.
Das ist aber gleichbedeutend dazu, dass es eine Funktion f gibt mit
Beweis.
Z
y=
f (t)dEA (t)x = f (A)x
Z
Z
2
2
kykH = |f (t)| dhEA (t)x, xi = |f (t)|2 dµ < ∞
(2)
(3)
Aus (2) erhält man, dass U auf ganz H deniert ist und aus (3) erhält man, dass U nach
L2 (R, µ) abbildet und isometrisch ist. Setzt man f (λ) ≡ 1 so ergibt sich U x(t) ≡ 1.
Sei nun g ∈ L2 (R, µ). Für den Denitionsbereich des Operators g(A) gilt D(g(A)) =
R
{x ∈ H : |g(t)|2 dhEA (t)x, xi < ∞}. Unter Berücksichtigung der Tatsache, dass sich
R
der Operator A auch schreiben lässt als Ax = tdEA (t), erhält man g(A)x ∈ D(A)
R
R
genau dann wenn |t|2 dhEA (t)g(A)x, g(A)xi = |t|2 |g(t)|2 dhEA (t)x, xi < ∞. Das ist
aber gleichbedeutend mit U g(A)x ∈ D(At ). Mit der Spektraldarstellung des Operators
R
A ergibt sich U Ag(A)x = U tg(t)dEA (t) = tg(t) = At (U g(A)x) also U A = At U . Da U
bijektiv ist, folgt A = U −1 At U .
5
2
Zerlegung des Spektrums
Um die Änderungen des Spektrums genau studieren zu können, muss zuerst das Spektrum
selbst genauer charakterisiert werden. Als Beispiel betrachte man den Multiplikationsoperator A auf L2 (R, µ) mit (Af )(x) = xf (x)
Das Spektrum von A ist der Träger von µ. Angenommen, µ ist das Lebesguemaÿ, dann
ist supp(µ) = R, aber der Operator A hat keine Eigenwerte. Ist umgekehrt µ ein positives
diskretes Maÿ auf Q, gilt ebenfalls supp(µ) = R und A hat abzählbar viele Eigenwerte.
Das Spektrum alleine ist also eine eher grobe Gröÿe zur Beschreibung von Operatoren.
Im folgenden Abschnitt werden wir eine genauere Charakterisierung des Spektrums erarbeiten, die auf einer Zerlegung des Hilbertraumes H in reduzierende Unterräume basiert.
Denition 2.1 Hp (A) = Hp sei der Abschluss der linearen Hülle aller Eigenräume von
A. Wenn A keinen Eigenwert hat, sei Hp = {0}. Weiters sei Hc (A) = Hc die Menge aller
Vektoren x ∈ H, für die die Funktion λ → hEA (λ)x, xi stetig auf R ist. Hierbei steht
wieder EA (λ) für EA ((−∞, λ]).
Proposition 2.2
(i) Ein Vektor x ∈ H liegt genau dann in Hp , wenn es eine höchstens abzählbare Menge
N ⊆ R gibt, sodass EA (N )x = x.
(ii) Ein Vektor x ∈ H liegt genau dann in Hc , wenn für jede abzählbare Menge N ⊆ R
gilt EA (N )x = 0. Das ist gleichbedeutend zu EA ({λ})x = 0 für alle λ ∈ R.
(iii) Hp und Hc sind abgeschlossene Unterräume von H und es gilt H = Hp ⊕ Hc
(i): Sei x ∈ Hp . Dann ist x der Grenzwert einer Folge (yk ), wobei sich jedes
PNk
yk schreiben lässt als yk =
nk =1k xnk , wobei Axnk = λnk xnk mit λnk ∈ R. Sei nun
S∞ SNk
N = k=1 n=1 {λnk }, mit EA ({λnk })xnk = xnk folgt
Beweis.
EA (N )x = EA (N ) lim yk = lim
k→∞
k→∞
Nk
X
EA (N )xnk = lim
k→∞
n=1
Nk
X
n=1
xnk = lim yk = x.
k→∞
Sei umgekehrt N eine abzählbare Menge paarweise verschiedener Elemente λn , so dass
EA (N )x = x. Setze nun xn := EA ({λn })x. So folgt mit Axn = λn xn sofort x = EA (N )x =
P∞
P∞
n=1 EA ({λn })x =
n=1 xn und damit x ∈ Hp .
(ii): Die monoton steigende Funktion hEA (λ)x, xi ist genau dann stetig, wenn sie keine
Sprungstellen hat, also wenn hEA ({λ})x, xi = 0. Das ist gleichbedeutend zu EA ({λ})x =
6
0∀λ ∈ R, da ja EA ({λ}) eine orthogonale Projektion ist und somit hEA ({λ})x, xi =
hEA ({λ})x, EA ({λ})xi gilt. Mit der σ -Additivität des Spektralmaÿes folgt EA (N )x = 0
für alle abzählbaren Teilmengen N ⊆ R.
(iii): Um den letzten Punkt zu zeigen, zeigt man, dass Hc = (Hp )⊥ . Dazu sei x ∈ (Hp )⊥
und xλ := EA ({λ})x. Es gilt xλ ∈ ker(A − λI) ⊆ Hp ∀λ ∈ R und damit 0 = hxλ , xi =
hEA ({λ})x, xi. Somit gilt EA ({λ})x = 0 ∀λ ∈ R. Mit (ii) folgt x ∈ Hc .
Sei nun x ∈ Hc . Für jedes beliebige y ∈ Hp existiert eine höchstens abzählbare Menge
Ny , für die gilt: EA (Ny )y = y und nach (ii) EA (Ny )x = 0. Da EA (Ny ) selbstadjungiert
ist, erhält man hx, yi = hx, EA (Ny )yi = hEA (Ny )x, yi = 0. Damit ist gezeigt, dass Hc der
Orthogonalraum von Hp ist und somit selbst ein abgeschlossener Unterraum.
Als nächstes betrachten wir eine feinere Zerlegung des Hilbertraumes H.
Denition 2.3 Hac = Hac (A) sei die Menge aller Vektoren x ∈ H, für die das Maÿ
µx (.) := hEA (.)x, xi absolut stetig bezüglich dem Lebesguemaÿ ist. Also genau jene x für
die EA (N )x = 0 für jede Lebesgue-Nullmenge N .
Denition 2.4 Weiters sei Hsing = Hsing (A) (bzw. Hsc = Hsc (A)) die Menge aller x ∈ H
(x ∈ Hc ), für die das Maÿ µx singulär bezüglich dem Lebesguemaÿ auf R ist. (Das heiÿt,
es existiert eine Lebesgue-Nullmenge N , so dass µx (R\N ) = 0. Das ist gleichbedeutend
zu EA (R\N )x = 0 beziehungsweise EA (N )x = x.
Oensichtlich gilt Hsc = Hc ∩ Hsing .
Proposition 2.5 Hac , Hsing und Hsc sind abgeschlossene Unterräume von H, wobei H =
Hac ⊕ Hsing und Hsing = Hp ⊕ Hsc .
Zuerst wird gezeigt, dass Hsing ein abgeschlossener Unterraum von H ist. Dazu
sei (xn )n∈N eine Folge in Hsing , die gegen x ∈ H konvergiert. Für jedes xn existiert eiS
ne Lebesgue-Nullmenge Nn , so dass EA (Nn )xn = xn . Sei nun N := n Nn , dann ist N
eine Lebesgue-Nullmenge und es gilt EA (N )xn = xn ∀n ∈ N. Mit n → ∞ erhält man
EA (N )x = x. Hsing ist also abgeschlossen.
Es bleibt zu zeigen, dass Hsing ein Unterraum ist. Dazu seien x1 , x2 ∈ Hsing , dann existieren Lebesgue-Nullmengen N1 , N2 , so dass EA (N1 )x1 = x1 und EA (N2 )x2 = x2 . Sei nun
N = N1 ∪ N2 , dann folgt aus EA (N )x1 = x1 und EA (N )x2 = x2 , dass EA (N )(x1 + λx2 ) =
x1 + λx2 . Das ist gleichbedeutend zu x1 + λx2 ∈ Hsing .
Als nächstes wird gezeigt, dass Hac = (Hsing )⊥ . Sei x ∈ Hac , dann existiert zu jedem
y ∈ Hsing eine Lebesgue-Nullmenge Ny , so dass EA (Ny )x = 0 und EA (Ny )y = y . Da
Beweis.
7
EA (Ny ) selbstadjungiert ist folgt hx, yi = hx, EA (Ny )yi = hEA (Ny )x, yi = h0, yi = 0 Also
ist x ∈ (Hsing )⊥ .
Sei nun x ∈ (Hsing )⊥ , und N eine Lebesgue-Nullmenge. Da die Projektion EA (N ) idempotent ist, ist EA (N )x in Hsing . Es gilt also 0 = hx, EA (N )xi = hEA (N )x, EA (N )xi,
wobei das letzte Gleichheitszeichen wieder aus den Eigenschaften der orthogonalen Projektion EA (N ) folgt. Wir sehen, dass EA (N )x = 0 für jede Lebesgue-Nullemenge N . Also
ist x in Hac . Damit ist Hac = (Hsing )⊥ gezeigt.
Da jede abzählbare Menge eine Lebesgue-Nullmenge ist, gilt Hp ⊆ Hsing . Mit Hsc =
Hc ∩ Hsing und H = Hc ⊕ Hp folgt schlieÿlich Hsing = Hp ⊕ Hsc .
Satz 2.6 Die Unterräumen Hp (A), Hc (A), Hac (A), Hsing (A) und Hsc (A) sind reduzierende Unterräume des Operators A.
Bezeichne P den Projektionsoperator von H auf Hsing (bzw. Hp ). Sei x ∈ Hsing
(bzw. Hp ), dann existiert eine Lebesgue-Nullmenge (bzw. abzählbare Menge) N , so dass
EA (N )x = x. Für jedes λ ∈ R gilt EA (N )EA (λ)x = EA (λ)EA (N )x = EA (λ)x. Daraus folgt, dass EA (λ)x ∈ Hsing (bzw. Hp ) und somit P EA (λ) = EA (λ) = EA (λ)P , also
dass A mit P kommutiert. Sei nun λ ∈ ρ(A), dann gilt ran(A − λ) = H, D(Rλ (A)) =
H und ranRλ (A) = D(A − λ) = D(A). Aus der Spektraldarstellung der Resolvente Rλ (A) folgt, dass auch Rλ (A) mit P kommutiert. Wir erhalten für alle x ∈ D(A)
P x = P Rλ (A)(A − λ)x = Rλ (A)P (A − λ)x. Daraus folgt P x ∈ ranRλ (A) = D(A) und
somit P D(A) ⊆ D(A). Mit Proposition 1.2 folgt, dass Hsing und Hp reduzierende Unterräume sind.
Da das Komplement reduzierender Unterräume reduzierend ist, sind Hc und Hac reduzierend. Mit Hsing = Hp ⊕ Hsc folgt, dass Hsc ein reduzierender Unterraum ist, da er das
Komplement von Hp im reduzierenden Raum Hsing ist.
Beweis.
Entsprechend der Zerlegung des Hilbertraumes H können nun die Einschränkungen Ap ,
Ac , Aac , Asing und Asc des Operators A auf die jeweiligen Unterräume betrachtet werden.
Man spricht auch von dem unstetigen, stetigen, absolut stetigen, singulären und singulär
stetigen Teil von A. Dementsprechend deniert man das stetige Spektrum σc , das singulär
stetige Spektrum σsc , das singuläre Spektrum σsing und das absolut stetige Spektrum σac
8
als die Spektren der jeweiligen Einschränkungen von A. Aus Proposition 2.5 folgt:
A = Ap ⊕ Asc ⊕ Aac ,
A = Asing ⊕ Aac ,
Bemerkung:
σ(A) = σ(Ap ) ∪ σsc (A) ∪ σac (A),
(4)
σ(A) = σsing (A) ∪ σac (A)
(5)
σ(Ap ) ist der Abschluss von σp (A).
Sei µ ein positives reguläres Borelmaÿ auf R. Sei
A der Multiplikationsoperator auf L (R, µ) mit (Af )(x) = xf (x). Das Maÿ µ kann geschrieben werden, als eindeutige Summe aus einem diskreten Maÿ µp , einem singulär
stetigen Maÿ µsc und einem absolut stetigen Maÿ µac . Dementsprechend gilt L2 (R, µ) =
L2 (R, µac ) ⊕ L2 (R, µsc ) ⊕ L2 (R, µp ). Nun ist Hac (A) = L2 (R, µac ), Hsc (A) = L2 (R, µsc )
und Hp (A) = L2 (R, µp ).
Beispiel 2.7 (Multiplikationsoperator)
2
9
3
Die Funktionen
F
und
G
Für die nächsten zwei Kapitel sei A ein selbstadjungierter Operator auf dem Hilbertraum
H, u ∈ H fest und α ∈ R. Der Operator Aα sei deniert als Aα := A + αh·, uiu.
Denition 3.1 Die Resolventenmenge sei deniert durch ρ(Aα ) := {λ ∈ C : (Aα −
λ) ist beschränkt invertierbar}. Die Resolvente sei deniert durch Rz (Aα ) := (Aα − z)−1
für alle z ∈ ρ(Aα ).
Denition 3.2 Sei µα das positives Borel-Maÿ auf R deniert durch
(6)
µα (∆) := hEAα (∆)u, ui, ∆ ∈ B(R).
Sei Fα die auf ρ(Aα ) denierte Funktion
Z
Fα (z) := hRz (Aα )u, ui =
R
dµα (λ)
, z ∈ ρ(Aα ).
λ−z
(7)
Statt µ0 , F0 und A0 schreibt man auch µ, F und A.
Lemma 3.3 Für α, β ∈ R und z ∈ C/R gilt 1 + (α − β)Fβ (z) 6= 0 und
Fα (z) =
Fβ (z)
,
1 + (α − β)Fβ (z)
ImFα (z) =
ImFβ (z)
|1 + (α − β)Fβ (z)|2
.
(8)
Man überlegt sich leicht, dass Fα (z) 6= 0, für z ∈ C/R, da für Im(z) > 0 auch
1
1
Im( λ−z
) > 0 und umgekehrt für Im(z) < 0 auch Im( λ−z
) < 0 gilt. Somit hat das Integral
Fα (z) in jedem Fall einen nicht verschwindenden Imaginärteil.
Durch einfache Umformungsschritte zeigt man die Gleichung
Beweis.
Rz (Aα ) − Rz (Aβ ) = (Aα − z)−1 (Aβ − z)(Aβ − z)−1 − (Aα − z)−1 (Aα − z)(Aβ − z)−1
= Rz (Aα )(Aβ − Aα )Rz (Aβ )
= Rz (Aα )((β − α)h·, uiu)Rz (Aβ )
= (β − α)Rz (Aα )uhRz (Aβ )(·), ui
(9)
10
Wendet man auf beide Seiten von (9) auf den Vektor u an, erhält man
Rz (Aα )u − Rz (Aβ )u = (β − α)Fβ (z)Rz (Aα )u.
(10)
Bildet man auf beiden Seiten das Skalarprodukt mit u erhält man schlieÿlich
Fα (z) − Fβ (z) = (β − α)Fβ (z)Fα (z).
(11)
Daraus folgt direkt Fα (z)(1 + (α − β)Fβ (z)) = Fβ (z). Da Fα (z) 6= 0 und Fβ (z) 6= 0 muss
auch 1 + (α − β)Fβ (z) 6= 0 sein. Damit erhält man die erste Gleichheit von (8). Die zweite
Gleichheit ergibt sich direkt aus der ersten.
Sei nun Hα deniert als der Abschluss der Menge Dα := span{Rz (Aα )u : z ∈ C\R}.
Aus Lemma 1.5 ergibt sich, dass Hα der kleinste reduzierende Unterraum von H ist,
der den Vektor u enthält. Aus Formel (10) folgt, dass Dα = Dβ . Also muss auch gelten
Hα = Hβ =: H0 . Damit ergibt sich folgendes Lemma:
Lemma 3.4 Für jedes α ∈ R ist H0 der kleinste reduzierende Unterraum für Aα , der u
enthält. Der Vektor u ist zyklisch für den Operator A, genau dann, wenn er zyklisch für
den Operator Aα ist.
Da die Operatoren A und Aα auf (H0 )⊥ übereinstimmen, kann man sich für das Studium
des Spektrums der Operatoren auf den Raum H0 beschränken.
Als letzte technische Vorbereitung für den Satz von Aronszajn-Donoghue wird ein Lemma über die Funktionen F = F0 , die am Beginn dieses Abschnitts deniert wurde, und
R dµ(λ)
G(t) := R (λ−t)
2 gezeigt. Lässt man für G(t) auch ∞ als Wert zu, so ist G(t) klarer Weise
auf ganz R deniert. Die Funktion F ist auf ganz C\R deniert. F lässt sich aber auf R
fortsetzen durch
F (t + i0) := lim F (t + i).
→+0
Dieser Limes existiert und ist endlich fast überall auf R; siehe Anhang Satz 5.3.
Lemma 3.5 Sei t ∈ R und G(t) < ∞. Dann existiert F (t) und
F (t) = F (t + i0),
iG(t) = lim −1 (F (t + i) − F (t)).
→+0
11
(12)
Betrachte die Funktion f (λ) := (λ − t)−1 . Da laut Voraussetzung G(t) < ∞ ist,
ist f eine L2 (R, µ)-Funktion. Da das Maÿ µ endlich ist, gilt durch die Hölderungleichung
auch f ∈ L1 (R, µ), was gleichbedeutend dazu ist, dass F (t) endlich ist.
Um die Gleichheiten zu zeigen seien für > 0 Funktionen f und g auf R deniert durch
Beweis.
f (λ) := (λ − (t + i))−1 ,
g (λ) := −1 ((λ − (t + i))−1 − (t − λ)−1 ).
(13)
Es gilt oensichtlich f → f und g → if (λ)2 fast überall für → +0. Wir zeigen nun,
dass |f (λ)| ≤ |f (λ)| und |g (λ)| ≤ |f (λ)|2 . Fast überall auf R gilt:
1
1
=p
≤ |f (λ)|
|λ − t − i|
(λ − t)2 + 2
i
1
=
≤ |f (λ)|2 .
|g (λ)| = −1 (λ − (t + i))(λ − t)
|(λ − (t + i))||(λ − t)|
|f (λ)| =
Damit lässt sich der Satz der dominierten Konvergenz anwenden und man erhält
Z
f (λ)dµ(λ) =
lim F (t + i) = lim
→+0 R
Z
Z
=
lim f (λ)dµ(λ) =
f (λ)dµ(λ) = F (t)
R →+0
R Z
lim −1 (F (t + i) − F (t)) = lim
g (λ)dµ(λ) =
→+0
→+0 R
Z
Z
=
lim g (λ)dµ(λ) =
if (λ)2 dµ(λ) = iG(t).
→+0
R →+0
R
12
4
Der Satz von Aronszajn-Donoghue
Da A und Aα auf H0⊥ übereinstimmen, genügt es die Einschränkung dieser Operatoren
auf H0 zu studieren. Im folgenden Satz wird daher angenommen, dass u zyklisch ist.
Satz 4.1 Sei u ein zyklischer Vektor für A und seien α, β , β1 , β2 ∈ R, wobei α 6= 0.
Dann gilt:
(i) Die Menge aller Eigenwerte von Aα ist gegeben durch:
Z
Pα := {t ∈ R : F (t) =
(λ − t)−1 dµ(λ) ∈ R existiert, F (t) = −α−1 , G(t) < ∞}
R
−1
= {t ∈ R : F (t) = −α , G(t) < ∞} = {t ∈ R : F (t + i0) = −α−1 , G(t) < ∞}.
Der diskrete Anteil (µα )p des Maÿes µα hat als Träger Pα .
(ii) Ist t ∈ R ein Eigenwert von A, so gilt µα ({t}) = hEAα ({t})u, ui = α−2 G(t)−1 .
(iii) Der singulär stetige Teil (µα )sc des Maÿes µα hat als Träger
Sα = {t ∈ R : F (t + i0) = −α−1 , G(t) = ∞}.
(iv) Die singulären Anteile (µβ1 )sing und (µβ2 )sing sind zueinander singulär, wenn β1 6=
β2 .
(v) Der absolut stetige Teil (µα )ac des Maÿes µα hat als Träger
L := {t ∈ R : (ImF )(t + i0) 6= 0} = {t ∈ R : (ImF )(t + i0) > 0)}.
Hier steht (ImF )(t + i0) für den Limes des Imaginärteils von F (t + i) für → +0.
(vi) Die absolut stetigen Teile (Aα )ac und Aac der Operatoren Aα beziehungsweise A
sind unitär equivalent.
(i) : Die Gleichheit der verschiedenen Schreibweisen von Pα folgt direkt aus
Lemma 3.5. Da u ein zyklischer Vektor ist, ist A nach Proposition 1.9 unitär äquivalent zum Mulitplikationsoperator (Af )λ = λf (λ) auf dem Raum H = L2 (R, µ)
mit u(λ) ≡ 1.
Sei nun t ein Eigenwert von Aα mit zugehöriger Eigenfunktion f . Dann gilt
Beweis.
(Aα f )(λ) = λf (λ) + αhf, ui = tf (λ) µ-fü auf R.
13
(14)
Zuerst zeigt man, dass hf, ui =
6 0 und µ({t}) = 0 durch einen Widerspruch. Angenommen hf, ui = 0, dann folgt aus (14), dass λf (λ) = tf (λ) also f (λ) = χ{t} . Das
impliziert insbesondere µ({t}) 6= 0. Es folgt der Widerspruch:
Z
0 = hf, ui =
χ{t} 1dµ = µ({t}) = kf k2 6= 0.
R
Also muss hf, ui =
6 0 gelten. Damit ist aber Gleichung (14) für den Singleton {t}
nicht erfüllt. Da die Gleichheit aber µ-fü gelten muss, ergibt sich µ({t}) = 0.
Die Funktion f (λ) lässt sich also explizit aus (14) µ-fü ausdrücken durch f (λ) =
−αhf, ui(λ − t)−1 . Wendet man auf diese Funktion das L2 -Skalarprodukt mit u ≡ 1
bzw. f (λ) an, erhält man:
Z
hf, ui = −αhf, ui (λ − t)−1 dµ(λ)
R
Z
2
2
2
kf k = α |hf, ui|
(λ − t)−2 dµ(λ) < ∞
R
Da hf, ui =
6 0 implizieren diese Gleichungen, dass F (t) = R (λ − t)−1 dµ(λ) existiert,
R
G(t) = R (λ − t)−2 dµ(λ) < ∞ und F (t) = −α−1 . Also ist t ein Element der Menge
Pα .
Für die Rückrichtung sei t ∈ Pα und ft (λ) := −α(λ − t)−1 . Aus G(t) < ∞ folgt,
dass ft eine L2 (R, µ)-Funktion ist und dass µ({t}) = 0. Aus F (t) = −α−1 folgt
R
Z
hft , ui = −α
(λ − t)−1 dµ(λ) = 1.
R
Damit ist gezeigt, dass ft eine Eigenfunktion des Operators Aα ist, denn
λft (λ) + αhft , ui = λf (λ) + α = tft (λ) µ-fü auf R
also Aα ft = tft in L2 (R, µ).
Der Träger des diskreten Maÿes (µα )p ist per Denition die Menge aller Atome von
µα , also genau die Menge Pα der Eigenwerte des Operators Aα .
(ii) : Nach Lemma 3.4 ist u auch ein zyklischer Vektor für Aα und somit hat mit Proposition 1.7 jeder Eigenwert Vielfachheit 1. Deswegen ist EAα ({t}) die eindimensionale
Projektion kft k−2 h·, ft ift . Unter Verwendung von hft , ui = 1 erhält man
µα {t} = hEAα {t} u, ui = kft k−2 |hft , ui|2 = α−2 G(t)−1 .
(15)
(iii) : Wenden wir Punkt (i) aus Satz 5.4 für (µα )sing an, so erhält man dass (µα )sing als
14
Träger
Sα0 := {t ∈ R : (ImFα )(t + i0) = +∞}
(16)
hat, also ist (µα )sing (R\Sα0 ) = 0. Die Elemente der Menge Pα sind Eigenwerte des
Operators Aα und somit µα -Atome, woraus (µα )sc (Pα ) = 0 folgt. Der Träger von
(µα )sc muss also eine Teilmenge von Sα0 \Pα sein. Somit reicht es für (iii) Sα0 \Pα ⊆ Sα
zu zeigen.
Aus Gleichung (8) erhält man
F (t + i) + α−1 =
Fα (t + i)
α−1
+ α−1 =
.
1 − αFα (t + i)
1 − αFα (t + i)
(17)
Sei nun t ∈ Sα0 \Pα , dann gilt |Fα (t + i)| → ∞ und somit F (t + i) + α−1 → 0 für
→ 0. Damit ist gezeigt, dass F (t + i) = −α−1 . Da aber t ∈
/ Pα , muss G(t) = +∞
gelten. Damit ist t ∈ Sα . Also gilt Sα0 \Pα ⊆ Sα und (µα )ac hat als Träger Sα .
(iv) : Das singuläre Maÿ (µα )sing lässt sich als Summe aus diskretem Maÿ und singulär
stetigem Maÿ schreiben: (µα )sing = (µα )p + (µα )sc . Daher ist der Träger von (µα )sing
eine Teilmenge von
Pα ∪ Sα = t ∈ R : F (t + i0) = −α−1 .
(18)
Das liefert direkt, dass für β1 6= β2 und β1 6= 0 sowie β2 6= 0 die Maÿe (µβ1 )sing und
(µβ2 )sing zueinander singulär sind, da sie disjunkte Träger haben.
Für den Fall, dass o.B.d.A. β1 = 0 liefert Formel (16), dass (µ0 )sing als Träger die
Menge S00 := {t ∈ R : (ImF )(t + i0) = +∞} hat, welche aufgrund von Gleichung
(18) sicherlich disjunkt zum Träger von (µβ2 )sing ist.
(v) : Aus Punkt (ii) des Satzes 5.4 aus dem Anhang folgt, dass der absolut stetige Anteil
(µβ )ac von µβ gegeben ist durch
d(µβ )ac (λ) = hβ (λ)dλ,
wobei hβ (λ) := π −1 (ImFβ )(λ + i0).
(19)
Setze Lβ := {λ ∈ R : hβ (λ) 6= 0}. Die zweite Gleichung von (8) und Satz 5.3 liefern,
dass Lβ und L0 = L µ-fü übereinstimmen. Folglich hat (µβ )ac als Träger L.
(vi) : Aus Lemma 3.4 wissen wir, dass u auch ein zyklischer Vektor für Aβ ist. Also ist Aβ
nach Satz 1.9 unitär equivalent zum Multiplikationsoperator mit der unabhängigen
Variable λ auf dem Raum L2 (R, µβ ). Wie in Beispiel 2.7 ist dadurch der absolut
stetige Anteil (Aβ )ac unitär equivalent zum Multiplikationsoperator Mβ auf dem
Raum L2 (R, (µβ )ac ). An dieser Stelle sei daran erinnert, dass diese Ergebnisse auch
15
für β = 0 gelten und wir d(µβ )ac über Gleichung (19) ausdrücken können.
Sei nun die Abbildung U von L2 (R, (µβ )ac ) nach L2 (R, µac ) deniert als (U (f ))(λ) =
1/2
(h−1
(λ)f (λ). Zu zeigen bleibt, dass U ein unitärer Isomorphismus ist. Es gilt
0 hβ )
Z
hU (f ), U (g)iL2 (R,(µ)ac ) =
U (f )U (g)h0 (λ)dλ =
R
Z
=
f (λ)g(λ)hβ (λ)dλ = hf, giL2 (R,(µβ )ac ) .
R
1/2
Oensichtlich ist U bijektiv, wobei (U −1 (f ))(λ) = (h0 h−1
(λ)f (λ) der inverse
β )
Operator zu U ist. Damit gilt für die Multiplikationsoperatoren
(20)
U Mβ U −1 = M0 .
Sie sind also unitär equivalent und somit sind auch die Operatoren Aac und (Aβ )ac
unitär equivalent.
Aus dem letzten Punkt von Satz 4.1 ergibt sich direkt folgendes Korollar, wenn man
bedenkt, dass A und Aα auf u⊥ übereinstimmen.
Korollar 4.2 1.
α ∈ R sind die absolut
gilt σac (A) = σac (Aα ).
Für beliebiges
unitär äquivalent. Insbesondere
stetige Anteile von
A
und
Aα
Abschlieÿend soll noch an zwei Beispielen eine Anwendung der eben erarbeiteten Theorie
gezeigt werden.
Sei (λn )n∈N eine monoton wachsende Folge in
R mit λn → ∞. Weiters sei A der Multiplikationsoperator mit (λn ) auf dem Raum H =
l2 (N) mit Denitionsbereich D(A) = {(xn ) ∈ l2 (N) : (λn xn ) ∈ l2 (N)}. Das zugehörige
Spektralmaÿ EA (M ) bildet die Folge (xn ) ab auf (xn χM (n)).
Wählt man einen festen Einheitsvektor u = (un ) mit un 6= 0 ∀n ∈ N, so ist oensichtlich
span EA (M )u : M ∈ B(N) dicht in H. Damit ist u ein zyklischer Vektor. Sei das Maÿ
P
µ gegeben durch µ(M ) = hEA (M )u, ui = n∈M u2n , so gilt für die Funktionen F und G
Beispiel 4.3 (Rein diskretes Spektrum.)
F (z) =
∞
X
n=1
u2n
λn − z
z ∈ C\R,
und G(t) =
∞
X
n=1
u2n
(λn − t)2
t ∈ R.
(21)
Da λn monoton wächst, ist G(t) = ∞ genau für t = λk für ein k aus N. Für t 6= λk
für alle k aus N gilt F (t + i0) = F (t) ∈ R. Für t = λk gilt ImF (t + i0) = +∞, woraus
16
folgt, dass Lα = {λn : n ∈ N}. Da Lα aber oensichtlich eine Lebesgue-Nullemnge ist,
gilt σac (Aα ) = ∅.
Aus Punkt (i) von Satz 4.1 wissen wir, dass t ∈ R genau dann ein Eigenwert ist, wenn
t 6= λk ∀k ∈ N und F (t) = −α−1 . Da die Funktion F (t) im Intervall (λk , λk+1 ) monoton
von −∞ bis +∞ geht, gibt es in jedem Intervall genau einen Eigenwert να (k) von Aα . Für
α > 0 hat die Gleichung F (t) = −α−1 keine Lösung in (−∞, λ1 ), während die Gleichung
im Fall α < 0 genau ein Lösung im Intervall (−∞, λ1 ) hat. Man erhält also
λk < ν(α)k < λk+1 für α > 0,
ν(α)k < λk < ν(α)k+1 für α < 0.
Sei H = L2 (R, µ), wobei µ die Summe aus dem
Lebesguemaÿ auf [a, b] und dem Deltamaÿ δc mit a < c < b ist. Weiters sei A der
Multiplikationsoperator (Af )(λ) = λf (λ) und u ≡ 1. Dann ergibt sich für die Funktion
Beispiel 4.4 (Eingebetteter Eigenwert)
F (z) =
R
dµ(λ)
R λ−z
λ − t + i
c − t + i dt +
=
2
2
(c − t)2 + 2
a (λ − t) + a−t
b−t
) − arctan(
)+
→
= arctan(
(c − t)2 + 2




π
a
<
t
<
b,
t
=
6
c






 0

t∈
/ [a, b]
→


π/2
t = a, b






 +∞

t=c
(ImF )(t + i) = Im
Z
b
Daraus ergibt sich L = [a, b], sodass σac (Aα ) = [a, b] für alle α ∈ R in Übereinstimmung
mit Korollar 1. Oensichtlich gilt G(t) = +∞ genau für t ∈ [a, b]. Da aber auf [a, b]
Im(F (t + i0)) 6= 0 ist sicher F (t + i0) 6= α und damit sind die Mengen Sα und σsc (Aα )
leer für alle α aus R.
Der Operator A hat genau einen Eigenwert t = c. Da F (t) auf [a, b] nicht existiert, hat Aα
keinen Eigenwert in [a, b]. Für t ∈/ [a, b] gilt G(t) < ∞ und mit dem Satz der majorisierten
Konvergenz ergibt sich leicht
F (t) = F (t + i0) = log
b−t
a−t
+ (c − t)−1 .
Also hat die Gleichung F (t) = −α−1 eine eindeutige Lösung tα auf R\[a, b]. Damit hat
Aα auch genau einen Eigenwert tα . Für α < 0 gilt tα < a und für α > 0 gilt tα > b.
17
5
Anhang
Satz 5.1 [Stone's Formel] Sei a, b aus R ∪ {−∞} ∪ {∞} und c ∈ R. Dann gilt
EA [a, b] + EA
1
(a, b) = lim
→0+ π i
Z
b
(A − (t + i)I)−1 − (A − (t − i)I)−1 dt
a
wobei der Limes bezüglich der starken Operatortopologie gebildet wird.
Denition 5.2 Sei µ ein reguläres komplexes Borelmaÿ auf R, dann ist die StieltjesTransformation von µ deniert durch
Z
Iµ (z) :=
R
1
dµ(t),
t−z
z ∈ C\R.
Satz 5.3 (Sokhotski-Plemlj Formel) Die Limiten Iµ (t±i0) := lim→±0 Iµ (t±i) existieren,
sind endlich und es gilt
dµ
Iµ (t ± i0) = ±iπ
+ CH
dt
Z
R
1
dµ(s)
s−t
f.ü. auf R. Hierbei bezeichnet CH den Cauchyschen Hauptwert.
R
Satz 5.4 Sei µ ein reguläres komplexes Borelmaÿ auf R und µ = µsing + µac die Zerlegung
in einen singulären Anteil und einen absolut stetigen Anteil bezüglich des Lebesguemaÿes.
Bezeichne (ImIµ )(t + i0) den Limes lim→0 (ImIµ )(t + i). Dann gilt:
1. Die Menge
Sµ := {t ∈ R : (ImIµ )(t + i0) = +∞}.
ist Träger des singuläre Anteils µsing
2. Der absolut stetige Anteil µac ist gegeben durch dµac (t) = π −1 (ImIµ )(t + i0)dt und
hat die Menge
Lµ := {t ∈ R : 0 < (ImIµ )(t + i0) < +∞}
als Träger.
18