Melancholie, Kupferstich von Albrecht Dürer, entstanden um 1514

M 12
Lineare Gleichungs syste m e - Anwend u nge n
Melancholie, Kupferstich von Albrecht Dürer, entstan de n um 1514
Rechts oben im Bild
findet man eine
quadr atische
Anordn u ng von
Zahlen: eine Matrix!
Diese quadratische
Matrix hat besondere,
magische,
Eigenschaften, man
nennt solche Matrizen
„Magische Quadrate“.
Aufgaben
a) Suche und benenne
möglichst viele
„magischen
Eigenschaften dieses
Magischen
Quadrates:
16 3 2 13 


 5 10 11 8 
 9 6 7 12 


 4 15 14 1 


b) Finde selbst weitere
4x4- Matrizen mit
der „magischen
Zahl“ 34.
c) Untersuche folgende
Matrix:
6 − 10 
 4


14 
 − 14 0
 10 − 6 − 4 


Magische Quadrate der Ordnung 3 sind 3x3 - Matrixen der Form
a b c


 d e f  . Für ein solches magisches Quadrat soll die Summen z a hl 12 betragen.
g h i 


Ermittle Werte für die Variablen a bis i, so dass dies erfüllt wird.
Gib dazu zuerst alle erforderlichen 8 Gleichungen für die 9 Variablen an! Was ist
schon aus dieser Tatsache zu folgern?
Stelle die zu diesem LGS gehören de Matrix auf und führe den Gauß - Algorith m u s
durch.
Gib eine der möglichen Lösungen an!
Hat man zwei magische Quadrate der Ordnu ng 3 mit den Summen z a hle n a und b,
so erhält man durch geeignete Addition der beiden Matrixen ein weiteres
magisches Quadrat der Ordnu ng 3 mit der Summen z a hl a+b. Ermittle mit Hilfe der
vorherigen Aufgabenlös u ng zwei verschiede ne magische Quadrate mit ihren
Summe n und führe eine solche Matrizen - Addition durch!
M 12
Lineare Gleichungs syste m e - Anwend u nge n
Magische Quadrate
Wie oben schon gezeigt, sind magische Quadrate quadratische
Matrizen mit Zahlen, bei denen die Summen der Zeilen gleich der
Summen der Spalten und gleich der Summen der Diagonalen ist.
2 3

M := 9 4
Beispiel eines 3x3 – Quadrates

1 5
7

-1

6
Hier beträgt die jeweilige Summe 12.
Ersetzt man die Zahlen durch Variablen, so kann man solche
magischen Quadrate mit vorgegeb en en Summen w erten
bestimm en.
a

d



g
b
e
h
c

f


i

Aufgabe 1:
Stelle das zugehörige lineare Gleichungs syste m für einen Summe nwer t von 18 auf.
Gib die zugehörige Matrixfor m an und ermittle die obere Dreiecks ma t rix.
Berechne durch Rückwärtseinse t ze n die Lösungs m e nge für die Variablen a,b,c,...,i .
Aufgabe 2:
Gib mit Hilfe der in Aufgabe 1 gefunde ne n Lösungs me nge weitere magische
Quadrate mit der Summen z a hl 18 an!
Aufgabe 3:
Was ändert sich an dem Rechengang, wenn anstelle des Summe nwer tes 18 der
Summenwer t 12 geforder t ist. Berechne die Lösungs me nge! Ermittle aus der
Lösungs me n g e das oben angegebene magische Quadrat mit dem Summenwer t 12.
Aufgabe 4:
Führe die Berechnu nge n für das 4x4 – Quadrat für einen
 a b c d


Summenwer t s durch und gib dann für verschiede ne konkrete
 e f g h
Werte von s verschiedene magische Quadrate an!
 i j k l 
m n o p


Vergleiche mit dem magischen 4x4- Quadrat
 5 14

15 12
M := 
13
4
13 16

von
11
13
17
5
Albrecht Dürer:
16

6

12
12