Mathetreff: Lösungen der Knobelaufgaben für die Klassen 7 und 8

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Mathetreff: Lösungen zu den Knobelaufgaben
für die Klassen 7 und 8
März-April 2013
Aufgabe 1
Mathematische Kunst
a) Es sind insgesamt 11 Schülerinnen und Schüler:
602 - 322 = 280
(1. Quadrat: 322 x 322)
322 - 280 = 42
(2. Quadrat: 280 x 280)
280 - 6*42= 28
(3. bis 8. Quadrat:42 x 42)
42 - 28 = 14 (9. Quadrat: 28 x 28)
28 = 2 * 14 (10./11. Quadrat: 14 x 14)
b) Es sind insgesamt drei Farben notwendig.
c) Nehmen wir an, die Länge eines einzigen Quadrates sei a cm lang (alle Quadrate sollen
gleich groß sein).
Dann passen genau 322 : a = m Quadrate auf die kürzere, 3,22m lange Wandseite, und 602 :
a = n Quadrate auf die längere, 6,22m lange Wandseite. Insgesamt passen dann m * n
Quadrate auf die Wand.
Wir suchen also eine Zahl a, die sowohl 322 als auch 602 teilt. Gemeinsame Teiler dieser
beiden Zahlen sind 2, 7 und 14. Möglich wären also folgende Fälle:
a
2
7
14
322 : a = m
161
46
23
602 : a = n
301
86
43
m⋅ n
48461
3956
989
Die Schule hat wahrscheinlich 989 Schüler, da die anderen Schüleranzahlen für eine Schule
zu groß sind. (Der Fall a = 1, also 322 * 602= 193844 Schüler ist noch unwahrscheinlicher).
Aufgabe 2
Immun gegen „ - “, „+“, „ • “ und „ : “ ?
1
; b = − 1 , denn dann gilt:
2
1
1
1
1
−
− (− 1) = − ⋅ (− 1) = − : (− 1) =
2
2
2
2
a) Ja, es gibt solche Zahlen: a = −
b) Ja, es gibt solche Zahlen a =
1
; b = − 1 , denn dann gilt:
2
1
1
1
1
+ (− 1) = ⋅ (− 1) = : (− 1) = −
2
2
2
2
Folgende schöne Lösung lieferte uns David Wambach vom St. Ursula Gymnasium Brühl
Herzlichen Dank, David!
a) Mit den Variablen a und b kann man 2 Gleichungen aufstellen:
(1) a-b=a*b
(2) a*b=a/b | *b ( b ≠ 0 )
ab²=a | /a ( a ≠ 0 )
b²=1
b=1 oder b=-1
b=1 in (1):
a-1=a*1 | +1-a
0=1 (falsch)
Also kommt b=1 nicht als Lösung in Frage.
b=-1 in (1):
a+1=a*(-1) | -1
a=-a-1 | +a
2a=-1 | /2
a=-0.5
Probe für das Zahlenpaar a=-0.5 und b=-1
a-b=(-0.5)-(-1)=0.5
a*b=(-0.5)*(-1)=0.5
a/b=(-0.5/(-1)=0.5
Die Zahlen -0.5 und -1 sind immun gegen Subtraktion, Multiplikation und Division.
b) Mit den Variablen a und b kann man 2 Gleichungen aufstellen:
(1) a+b=a*b
(2) a*b=a/b | *b ( b ≠ 0 )
ab²=a | /a ( a ≠ 0 )
b²=1
b=1 oder b=-1
b=1 in (1)
a+1=a*1 |-a
1=0 (falsch)
Also kommt b=1 nicht als Lösung in Frage.
b=-1 in (1):
a-1=a*(-1) | +1
a=-a+1 |+a
2a=1 | /2
a=0.5
Probe für das Zahlenpaar a=0.5 und b=-1
a+b=0.5+(-1)=-0.5
a*b=0.5*(-1)=-0.5
a/b=0.5/(-1)=-0.5
Die Zahlen 0.5 und -1 sind immun gegen Addition, Multiplikation und Division.
Aufgabe 3
Aus einem mathemagischen Zauberbuch…
a) Beispiele:
1. n = 34: Q(n) = 7 ; 11 ⋅ Q(n) = 77 ; 77-34 = 43
2. n = 83: Q (n) = 11; 11 ⋅ 11 = 121 ; 121-83 = 38
3. n = 19: Q (n) = 10; 11 ⋅ 10 = 110 ; 110 – 19 = 91
Der Trick des Mathemagiers besteht darin, dass er einfach nur die Ziffern der letzten Zahl
vertauschen muss, um zur ursprünglichen Zahl zu gelangen.
b) Schreibe die Zahl n als n = 10 ⋅ a + b (a und b sind Ziffern, a ∈ {1,...,9}, b ∈ {0,...9} . Dann gilt:
Q(n) ⋅ 11 − n = ( a + b) ⋅ 11 − (10a + b) = 10b + a