Achilles 1 und die Schildkröte
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Achilles 1 und die Schildkröte
STICH NWF I - Mathematik Achilles 1 Analysis WS 2009/2010 Anhang B5.1 und die Schildkröte Zur Vereinfachung lassen wir alle Überlegungen über Start und Beschleunigung bei Seite und nehmen an, dass Achilles 10 m pro Sekunde laufen kann, die Schildkröte 10 cm pro Sekunde zurücklegt. Der Vorsprung der Schildkröte betrage 50 m. Nach 5 Sekunden hat Achilles die Schildkröte erreicht. Beinah. Die Schildkröte ist ja inzwischen 50 cm weiter gekrochen. Diese 0,5 m durcheilt Achilles in 5 · 10−2 Sekunden, nur ist die Schildkröte dann schon wieder 5 · 10−3 m weiter. Und das geht immer so weiter (Vers über Achilles und die Schildkröte). Immer ist die Schildkröte dem Achilles voraus. Zwar nicht viel, aber den griechischen Mathematikern ging es ums Prinzip. Achilles kann eigentlich nach diesen Überlegungen die Schildkröte nie einholen. Da dies der Realität widerspricht, wurde dieses Beispiel ein Paradoxon genannt. Der Fehler der Griechen lag in der plausiblen Annahme, dass kein Mensch unendliche Summen aufaddieren kann. Das stimmt natürlich. Aber unendliche Summen können trotzdem sinnvoll sein; wenn die Summanden schnell genug klein werden, kann man einer unendlichen Summen einen eindeutig bestimmten Wert zuordnen (siehe Definition in der Vorlesung). Was passiert nun bei der Geschichte von Archilles und der Schildkröte aus unserer Sicht? Schritt 0 1 2 3 .. . Achilles 0m 50 m +5 · 10−1 m +5 · 10−3 m .. . Zeit 0s 5s +5 · 10−2 s +5 · 10−4 s .. . Schildkröte 50 m +5 · 10−1 m +5 · 10−3 m +5 · 10−5 m .. . ...m ...s ... m n Mit der Formel für die geometrische Reihe kann man nun die Werte der unendlichen Reihen berechnen. 1) Für die Zeit erhält man ··· 2) Für den Weg der Schildkröte erhält man ··· 3) Für den Weg des Achilles erhält man ··· Nach welcher Zeit und bei welchem Meterstand wird die Schildkröte von Achilles überholt? 1 Griechischer Held beim Kampf um Troja; war nach der Sage nur an der Ferse verwundbar → Achillesferse.