Matemática - Escola Virtual

Matemática
Geometria e medida
› Teorema de Tales e semelhança de triângulos
O Teorema de Tales permite-nos estabelecer critérios de semelhança para triângulos que, por
sua vez, nos permitem concluir que, de um modo geral, dois polígonos são semelhantes sempre
que os ângulos internos correspondentes forem iguais e o comprimento de lados
correspondentes diretamente proporcional.
› Bissecção dos lados de um triângulo por retas paralelas
Os lados de um triângulo ficam bissetados por duas retas que contêm o ponto médio de um dos
lados e são, respetivamente, paralelas a cada um dos outros dois. Por estas duas retas o
triângulo inicial fica decomposto num paralelogramo e em dois triângulos geometricamente
iguais.
› Teorema de Tales e seu recíproco
O Teorema de Tales garante que se duas retas paralelas intersetam duas retas secantes, os
triângulos obtidos têm os comprimentos dos lados correspondentes diretamente proporcionais.
Reciprocamente, se os triângulos têm os comprimentos dos lados correspondentes diretamente
proporcionais, então as duas retas são paralelas.
Sendo AB//CD, podemos estabelecer as proporções:
OC
OA
OC
AC
OA
AC



OD
OB

CD
AB
OD
BD
OB
BD
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ex. Na figura ao lado, sabe-se que:
AB//CD; OA  2 ; AC  1 e CD  4 .
Assim, podemos determinar AB :
Pelas proporções:
AB 
OC
OA

CD
AB
, temos que
2 1
4

, e portanto
2
AB
24 8

3
3
› Critérios de semelhança de triângulos
A definição de polígonos semelhantes, os critérios de congruência de triângulos e o teorema de
Tales e o seu recíproco permitem-nos estabelecer critérios para a semelhança de triângulos
considerando os seus lados e/ou a amplitude dos seus ângulos.
› Critério lado-lado-lado (LLL)
Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um são diretamente
proporcionais aos comprimentos dos lados correspondentes do outro.
Sabe-se que dois polígonos convexos são semelhantes quando (e apenas quando) se pode
estabelecer uma correspondência entre os vértices de um e do outro de tal modo que os
comprimentos dos lados e das diagonais do segundo se obtêm multiplicando os
comprimentos dos correspondentes lados e das diagonais do primeiro por um mesmo
número.
No caso particular dos triângulos, dado que não possuem diagonais, conclui-se de imediato
que dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos dos lados de um são
diretamente proporcionais aos comprimentos dos lados correspondentes do outro.
ex.
Dados os triângulos da figura seguinte, se
BC
DF

AB
EF

AC
DE
, conclui-se que estes são
semelhantes.
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› Critério lado-ângulo-lado (LAL)
Dois triângulos são semelhantes quando os comprimentos de dois lados de um são
diretamente proporcionais aos comprimentos de dois dos lados do outro e os ângulos por
eles formados em cada triângulo são iguais.
ex.
Dados os triângulos da figura seguinte, se
BC
DF

AC
DE
ˆB  ED
ˆF , conclui-se que os
e AC
triângulos são semelhantes.
› Critério ângulo-ângulo (AA)
Dois triângulos são semelhantes quando dois ângulos internos de um são iguais a dois dos
ângulos internos do outro.
ex.
ˆB  ED
ˆF , conclui-se que os dois
ˆA  DFˆE e AC
Dados os triângulos da figura seguinte, se CB
triângulos são semelhantes.
› Ângulos em triângulos semelhantes
Dois triângulos semelhantes têm os ângulos correspondentes geometricamente iguais.
ex.
ˆB  ED
ˆC  FE
ˆA  DFˆE , AC
ˆF e BA
ˆD .
Sabendo que os triângulos são semelhantes, tem-se: CB
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› Semelhança de círculos
Quaisquer dois círculos ou duas circunferências são semelhantes entre si sendo a razão de
semelhança igual ao quociente entre o raio da figura transformada e o da original.
ex.
razão de semelhança
1,5
 0,5
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› Critério de semelhança de polígonos
Dois polígonos são semelhantes quando (e apenas quando) têm o mesmo número de lados e
existe uma correspondência entre eles, tal que os comprimentos dos lados do segundo são
diretamente proporcionais aos comprimentos dos lados do primeiro e os ângulos internos
formados por lados correspondentes são geometricamente iguais.
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