Wavelets

Hélio Magalhães de Oliveira, [email protected]
Departamento de Eletrônica e Sistemas
Universidade Federal de Pernambuco
Cidade Universitária Recife - PE
URL: http://www.ee.ufpe.br/codec/deOliveira.html
http://www.ee.ufpe.br/codec/WEBLET.html
1
Wavelets:
Uma Evolução na Representação de Sinais
• A análise espectral constitui uma das ferramentas clássicas
mais poderosas.
• Uma teoria mais potente e geral foi introduzida nos anos 80: A
Transformada de Wavelet
• Ela inclui: Série de Fourier, a Transformada de Fourier, a
Transformada de Gabor de Tempo Curto, Espectrogramas.
• Wavelets constituem hoje uma das ferramentas potentes em
PDS.
2
ORIGEM- Escola Francesa
(Morlet, Grossmann, Meyer, Battle, Lemarié, Cohen, Mallat,
Coifman, Rioul, etc.)
... Pacotes de ondas acústicas sísmicas.
Em 1909, a primeira menção: tese de doutorado de Alfred Haar,
análise escalonada.
As Wavelets de Haar, embora de suporte compacto não são
continuamente diferenciáveis.
Década de 80, Alex Grossmann (Université de Marseille) e Jean P.
Morlet (Elf Acquitaine) introduziram o conceito de wavelets
Morlet recebeu o prêmio Reginald Fessenden Award 1997.
3
Em 1985, Stéphane Mallat (França) estabeleceu a ligação desta
teoria com o processamento digital de sinais.
Yves Meyer (França) construiu uma das primeiras Wavelets não
triviais, continuamente diferenciáveis.
Ingrid Daubechies (Bélgica) construiu o mais usado conjunto de
wavelets ortogonais de suporte compacto (tempo-limitada).
Jean Morlet.
(ecce homo!)
4
Gama de aplicações:
geologia sísmica
visão computacional e humana
radar e sonar
computação gráfica
predição de terremotos e maremotos
turbulência
distinção celular (normais vs patológicas)
modelos para trato auditivo
compressão de imagens
descontaminação de sinais (denoising)
detecção de rupturas e bordas
5
análise de tons musicais
neurofisiologia
detecção de curtos eventos patológicos
análise de sinais médicos
espalhamento em banda larga
modelagem de sistemas lineares
óptica
modelagem geométrica
caracterização de sinais acústicos
reconhecimento de alvos
transitório e falhas em linhas de potência
Metalurgia (rugosidade de superfícies)
visualização volumétrica
6
Telecomunicações
previsão em mercados financeiros
Estatística
solução de eq. dif. ordinárias& parciais
Jean-Baptiste-Joseph Fourier 1822:
"La Théorie Analytique de la Chaleur":
Ondas senoidais como elementos de vibrações e ondas periódicas ⎯
verdadeiros átomos das flutuações e do fluxo.
Os sinais passaram a ser analisados no domínio de Fourier, i.e., no
domínio da freqüência.
7
Definição (ANÁLISE DE FOURIER):
A
transformada
F ( w) :=
∫
+∞
−∞
de
Fourier
de
um
sinal
f(t),-∞<t<+∞
é
f (t )e − jwt dt , denotada algumas vezes ℑ[ f (t )] , se a integral
imprópria existe.
Conhecendo-se F(w), é possível voltar ao domínio temporal (SÍNTESE
DE FOURIER):
1
f (t ) =
2π
∫
+∞
−∞
F ( w)e jwt dw .
par transformada: f(t) ↔ F(w).
8
TEOREMA DE PARSEVAL.
Seja f(t) ↔ F(w) um sinal real, de energia finita. Então a energia
do sinal pode ser calculada em qualquer dos domínios, i.e,
∫
+∞
−∞
+∞
f (t ) dt = ∫ | F ( f ) | 2 df .
−∞
2
Por que wavelets? Em que esta ferramenta pode ser mais potente
que a análise espectral clássica de Fourier? De onde surgiram as
wavelets?
Análise Espectral P/ Sinais Não-Estacionários
Os sinais devem ser tratados não no domínio t ou domínio f,
mas em ambos (espaço conjunto tempo-freqüência)!
9
Conceito de estacionaridade
Uma das deficiências da análise de Fourier é que ela não apresenta
um caráter local.
Todo o sinal, desde o começo dos tempos (-∞) até o fim dos tempos
(+∞) é levado em consideração.
A transformada de Fourier representa um "comportamento global
médio" do sinal.
10
(a)
(b)
Figura. (a) Ilustração de um trecho de um sinal estacionário,
(b) Ilustração de um trecho de um possível sinal não estacionário.
A transformada de Fourier analisa a contribuição de cada
componente harmônica no sinal como um todo.
11
O sinal estacionário apresenta um comportamento "mais ou
menos" semelhante em qualquer trecho analisado...
Evolução na TF clássica:
(STFT) Transformada de Gabor, ou transformada de janela
(transformada de Fourier de tempo curto).
Esta transformada introduz um caráter local e passa a
depender fortemente do instante de tempo analisado.
12
Primeiro passo na direção das wavelets: a introdução de um
caráter local.
Sinal "fatiado" em trechos, e em cada trecho, a contribuição espectral
fosse analisada, resultando em um espectro local.
seqüência de "fotos" do espectro:
... F(w,t-1), F(w, t0), F(w,t1), F(w,t2) .... evoluindo temporalmente.
13
Sinais práticos "bem comportados" com relação à estacionaridade:
sinais periódicos.
Não é a toa que a análise clássica de Fourier é freqüentemente
restrita a esta classe de sinais.
FOTOS:
• Representar o rosto por fotos (5 anos, 10 anos, 15, 20, 25 e 30
anos).
14
• Uma única foto representativa do indivíduo, uma "foto média".
Essa foto média representa o espectro de Fourier.
• Um caráter local (no tempo) => trabalhar com mais fotos, =>
maior
complexidade,
capacidade
de
armazenamento/
processamento
A classe de sinais cujo espectro permanece relativamente
independente no tempo é referida como aquela dos sinais estacionários.
Os não-estacionários trazem variações substanciais e significativas
de padrão e comportamento, dependendo do instante de tempo
considerado.
15
É como se, "de repente", no meio de uma seqüência de fotos 3×4 de
fotos humanas semelhantes, surgisse uma foto de algum animal
completamente diferente (e.g., girafa).
Diferentes níveis de "estacionaridade":
¾seqüência de fotos sempre de uma mesma pessoa em diferentes
tempos;
¾seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém
de uma mesma raça (origem);
¾seqüência de fotos de pessoas diferentes em tempos diferentes, porém
de origens diferentes;
16
¾ seqüência de fotos de diferentes animais em tempos diferentes
(levando em conta algum aspecto da classificação de Lineu);
¾seqüência de fotos arbitrárias diferentes em tempos diferentes,
incluindo objetos, paisagens etc.
Quando o espectro de Fourier passa a não ter sentido? A resposta
não é fechada.
Depende do que se deseja e quanto se pode "pagar".
17
A Transformada de Gabor
Embora capaz de determinar o conteúdo de freqüências presentes em
um sinal, não há noção de quando (em que intervalo de tempo) elas
ocorrem.
A transformada de Fourier não fornece uma análise temporal, apenas
freqüencial.
Transformada de Fourier de Tempo Curto (STFT – Short Time
Fourier Transform) também conhecida como a Transformada de Gabor.
18
A idéia da STFT é introduzir um parâmetro de freqüência local
(local no tempo) como se a "Transformada de Fourier Local" observasse
o sinal através de uma curta "janela" dentro da qual o sinal permanece
aproximadamente estacionário.
A transformada local observa f(t) "através" de uma janela W(t)
centrada no instante de tempo τ e de extensão "limitada", antes do
cálculo do espectro.
19
Formalmente,
STFT(w ,τ ) := ∫
+∞
−∞
f( t)W * (t − τ) e − jwt dt .
Representação bidimensional F(w,τ,) do sinal f(t), composta por
características espectrais dependentes do tempo.
As próximas perguntas:
‰
Por que a STFT não é suficiente?
‰
O que seria mais apropriado, além de um transformada local
(wavelets também são locais)?
20
A Guisa de uma Análise de Wavelets
Alternativa para abordar o plano conjunto tempo-freqüência :
A análise visualizada como um banco de filtros.
resolução no tempo deveria aumentar com o aumento da freqüência
central dos filtros, ou ∆f/f=cte (ou fator de qualidade Q constante).
Q constante: as resoluções t e f mudam com a freqüência central,
satisfazendo ainda o princípio da Incerteza de Gabor-Heisenberg (célula
básica).
21
FOTOS NOVAMENTE:
Deve-se usar uma representação para um indivíduo de meia-idade com
uma meia dúzia de fotos
(0 ano, 5 anos, 10 anos 15 anos, 20 anos, 25 anos).
(1 ano, 2 anos, 4 anos, 8 anos, 16 anos e 32 anos).
O comportamento das respostas ao impulso dos filtros de análise,
oscilatório (rápido) e amortecido, gerando "ondinhas".
22
Figura. Exemplo de uma ondinha:
ondelette de Morlet (Matlab®).
As wavelets podem ser interpretadas como as transformadas
lineares locais geradas por um banco de filtros de fator de
qualidade constante.
domínios tempo e freqüência (f × t)
domínios escala e deslocamento (a × b).
23
Interpretação: "mapas".
Uma mudança de escala pode permitir, numa escala maior,
ter uma visão mais global, mas com menor precisão. Já em uma
escala menor, vê-se detalhes, mas perde-se em estudar o
comportamento global.
1: 15.000.000 idéia do Brasil como um todo
1: 3.500.000, analisar Pernambuco, perdendo-se a noção do
Brasil como um todo.
24
Quem já usou mapas sabe que depende fundamentalmente
do que se quer investigar! A análise via wavelets permite, por
assim dizer, visualizar tanto a floresta quanto as árvores.
Na Transformada Contínua de Wavelet CWT, todas as
respostas ao impulso no banco de filtros são versões (expandidas ou
comprimidas) da mesma ψ(t), chamada de Wavelet básica.
25
Banda passante constante (STFT)
f
2f
0
0
3f
0
4f
0
f
...
Banda passante relativa (Q) constante (WT)
f
0
2f
0
4f
0
8f
0
....
f
Figura. Análise Espectral com banco de Filtros:
(a) STFT e (b) WT.
Todos os filtros são da mesma família (e.g., filtros BPFs Gaussianos,
centrados em freqüências distintas, porém todos com o mesmo fator de
qualidade Q).
26
Wavelets Contínuas
Introdução a Transformada Contínua de Wavelet
A Transformada de Wavelet foi desenvolvida como uma
alternativa à STFT para solucionar o problema da resolução.
Fixada a janela para a STFT, as resoluções no tempo (t) e na
freqüência (f) permanecem constantes em todo o plano t-f.
CWT:
ƒ Alta resolução temporal e baixa freqüêncial para freqüências mais altas
ƒ Alta resolução freqüêncial e baixa resolução temporal para freqüências
mais baixas.
27
Freqüência
Freqüência
Tempo
(a)
Tempo
(b)
Figura . Resolução no plano t-f pela análise
(a) STFT (b) Transformada de Wavelet.
28
A Transformada de Wavelet Contínua CWT
ψ(t) wavelet-mãe
+∞
ψ(t) ∈ L (ℜ). ∫−∞ψ 2 (t)dt < +∞
2
Operações:
1
⎛t⎞
a) escalonamento ψ a (t ) = | a | ψ ⎜⎝ a ⎟⎠ , a≠0.
b) deslocamento ψ b (t ) = ψ (t − b) .
c) deslocamento com escalonamento
ψ a , b (t ) = ψ a (t − b ) =
⎛t −b⎞
⎟.
|a| ⎝ a ⎠
1
ψ⎜
29
{ψ (t )} → {ψ a ,b (t )} (∀a, a≠0) (∀b∈ℜ).
versão:
Comprimida da wavelet mãe, se a<1;
Dilatada da wavelet mãe, se a>1.
O ajuste na amplitude do sinal escalonado foi introduzido visando
garantir a isomeria: todas as ondelettes têm a mesma energia!
|| ψ (t ) || 2 =|| ψ a ,b (t ) || 2 .
30
⎛t −b⎞
⎟
a
|a| ⎝
⎠
1
Portanto, a escolha das wavelets como sendo versões
ψ⎜
garante a mesma energia para qualquer wavelet!
Define-se
+∞
CWT(a,b):= ∫− ∞
f (t )ψ *a , b (t ) dt =< f(t),ψa,b>.
Analogia com Fourier:
F(w)=
∫
+∞
−∞
f (t )e − jwt dt =< f(t),ejwt >.
31
¾ Fourier F(w), em cada w:
Projeção de f(t) na direção das ondas {e }
jwt
w∈ℜ
que constituem
uma "base" do espaço de sinais.
Esta "base" de Fourier é composta por sinais oscilatórios perpétuos
- traduzindo o fato que Fourier está associado a um comportamento nãolocal no tempo, mas de -∞ a +∞.
¾ Wavelets:
decomposição de f(t) em sinais {ψ a ,b (t )}a∈ℜ*+ b∈ℜ que constitui um
novo conjunto de análise do espaço de sinais.
Esta nova "base" é composta por sinais oscilatórios de curta
duração - e não sinais ab aeterno.
32
A combinação oscilatório (daí o termo onda) e de curta duração
(inha) gera o termo ondinhas, ondeletas, ondelettes no original, ou
de forma já consagrada, wavelets.
Critério para definir wavelets:
• Oscilatória (onda=wave), ou melhor, que seu valor médio no
domínio temporal é nulo.
∫
+∞
−∞
ψ (t )dt = 0
• Condição de admissibilidade,
Dado o par transformada de Fourier:
∞
∫
−∞
Ψ (ω )
ω
ψ (t ) ↔ Ψ (ω ) ,
2
dω < + ∞
33
| Ψ (ζ ) | 2
lim Ψ (ζ ) = 0
Cψ = ∫
dζ < +∞
−∞
=> ζ → 0
.
|ζ |
+∞
Ψ(0) = 0 =>
∫
+∞
−∞
ψ (t )dt = 0 .
Caráter passa-faixa das wavelets interpretadas como um banco de filtros,
note os seguintes fatos:
Ψ (0) = 0 (pela admissibilidade)
Ψ (±∞) = 0 (pois ψ é de energia finita).
Dado ε >0 arbitrário, ∃ α, β ∈ ℜ, 0 < α < β < +∞ tal que
34
|Ψ(w)| < ε para |w| < α e |w| > β.
Existe uma banda passa-faixa na qual o espectro Ψ pode ser
essencialmente não nulo.
Figura. Comportamento de Ψ (w) tipo passa-faixa.
35
O escalonamento é o processo de compressão e dilatação
do sinal. O parâmetro de escala "a" usado em Wavelets tem
interpretação grosso modo idêntica à escala empregada em
mapas cartográficos.
-1/2
O termo |a|
ψ a ,b (t ) =
é um fator de normalização da energia do sinal e
1 ⎛t −b⎞
ψ⎜
⎟, a ≠ 0 é uma transformada afim.
a ⎝ a ⎠
36
Uma wavelet ψ a ,b (t ) é definida por um mapeamento afim unitário.
Esta Wavelets são versões transladadas (b) e dilatadas/comprimidas (a)
de uma mesma onda protótipo, chamada wavelet-mãe ψ(t).
Figura. A Wavelet-mãe Symmlet 8 em diferentes escalas e localizações.
37
Uma Transformada inversa de Wavelet pode ser obtida via
1
f (t ) =
Cψ
t − b ⎫ dadb
⎧ 1
CWT
(
a
,
b
)
ψ
(
)⎬ 2
⎨
∫−∞ ∫− ∞
a
a
⎭ a .
⎩
+∞ +∞
A Transformada Inversa (CWT-1)
Sejam f(t)∈ L2(ℜ) e ψa,b(t) ∈ L2(ℜ-{0}× ℜ). Sob que condições é
possível "pegar uma onda"? (catch the wave...)
Escolher uma wavelet protótipo tal que
| Ψ( ζ ) |2
Cψ = ∫
dζ < +∞
−
∞
ψ(t) ↔ Ψ(w) e
.
|ζ |
+∞
38
Exemplos: Um mar de Wavelets
Existe um grande número de funções que podem ser eleitas como
wavelets mãe.
Nome da família de Wavelets
'haar'
'db'
'sym'
'coif'
'bior'
'rbio'
'meyr'
'dmey'
Haar wavelet.
Daubechies wavelets.
Symlets.
Coiflets.
Biorthogonal wavelets.
Reverse biorthogonal wavelets.
Meyer wavelet.
Discrete approximation of Meyer wavelet.
39
'gaus'
'mexh'
'morl'
'cgau'
'shan'
'deO'
'beta'
'legd'
'cheb'
'mth'
'Gegen'
'fbsp'
'cmor'
Gaussian wavelets.
Mexican hat wavelet.
Morlet wavelet.
Complex Gaussian wavelets.
Shannon wavelets.
de Oliveira wavelets.
beta wavelets.
Legendre wavelets.
Chebyshev wavelets.
Mathieu wavelets.
Gegenbauer wavelets.
Frequency B-Spline wavelets.
Complex Morlet wavelets.
40
Wavelet de Haar
Por simplicidade, considera-se um sinal constante por partes. Bases
de sinais constantes por partes (e.g. Haar) podem ser mais adequadas.
⎧ 1
⎪− 2
-1 < t ≤ 0
⎪
⎪ 1
ψ ( H ) (t ) := ⎨
0 < t ≤1
⎪ 2 caso contrário .
⎪ 0
⎪⎩
Estas são versões do tipo "wavelet digital".
41
Figura. As Wavelets de Haar (oito wavelets).
Figura. sinal 1-D de teste, constante por partes.
42
Wavelet Sombrero
Assumindo uma ρ(t) Gaussiana, segue-se que ψ (t ) = − ρ ' ' (t ) é a
wavelet sombrero (chapéu mexicano), por razões óbvias.
ψ ( Mhat ) (t ) =
−t 2 / 2
2(t − 1)e
π1/ 4 3
2
.
Figura. Wavelet Sombrero. Matlab®.
43
Wavelet densidade Gaussiana
Uma wavelet simples derivada da função densidade gaussiana
(gaus1) é dada por:
ψ
0.644
( fdG )
( t ) = gaus1 :=
2te
−t 2 / 2
π1/ 4
.
1
0.5
ψ ( x)
0
0.5
− 0.644
1
10
−8
5
0
x
5
10
8
Figura. Wavelet derivada da densidade de probabilidade gaussiana:
gaus1 e gaus8.
44
Wavelet complexa de Morlet
Morlet propôs uma das primeiras wavelet de interesse na análise de
sinais. Em sua investigação de sinais geofísicos (exploração de petróleo),
empregou a wavelet complexa:
ψ
( Mor )
(t ) =
1
π
1/ 4
e
− t 2 / 2 − jw0 t
e
.
Figura. Wavelet complexa de Morlet. (parte real e parte imaginária).
45
Wavelet de Shannon
A análise correspondente aos filtros passa-faixa ideais define uma
decomposição usando wavelets conhecidas como wavelets de Shannon.
Espectro da Wavelet real:
⎛ w − 3π / 2 ⎞
⎛ w + 3π / 2 ⎞
Ψ ( w) = ∏ ⎜
⎟ + ∏⎜
⎟.
π
π
⎝
⎠
⎝
⎠
Tomando a transformada inversa:
⎛ πt ⎞ ⎛ 3πt ⎞
⎟ cos⎜
⎟.
⎝2⎠ ⎝ 2 ⎠
ψ ( Sha ) (t ) = Sa⎜
46
Assumindo t=2x+1,
2 sen(2π ( x + 1)) − sen(2πx)
.
π
2x + 1
No
caso
da
wavelet
complexa,
ψ (CSha ) (t ) = Sinc(t )e − j 2πt .
ψ ( Sha ) ( x) =
(a)
pode-se
usar
(b)
Figura. (a) Wavelet de Shannon. (b) A wavelet complexa de Shannon
(Matlab®).
47
Constata-se facilmente que esta wavelet tem suporte infinito (i.é.,
∃/ M tal que |ψ(t)|=0 ∀|t|>M).
Wavelet de Meyer
A wavelet de Meyer é definida no domínio freqüencial como:
⎧ 1
⎡π ⎛ 3 | w | ⎞⎤ jw / 2
− 1⎟⎥ e
2π/3 ≤| w |≤ 4π/3
sen ⎢ υ ⎜
⎪
⎠⎦
⎣ 2 ⎝ 2π
⎪ 2π
⎪ 1
⎡π ⎛ 3 | w | ⎞⎤ jw / 2
− 1⎟⎥ e
Ψ ( w) = ⎨
cos ⎢ υ ⎜
4π/3 ≤| w |≤ 8π/3
π
2
4
⎠⎦
⎣ ⎝
⎪ 2π
0
caso contrário.
⎪
⎪
⎩
.
48
Figura. Wavelet de Meyer:
(a) função de escala (b) wavelet. Matlab®.
49
Wavelets de Daubechies
Atrativos da análise de Fourier: ondas usadas na decomposição são
ortogonais.
As 1as wavelets ortogonais obtidas, (Meyer, Battle-Lemarié), não
apresentam suporte compacto.
Haar são ortogonais e de suporte compacto, porém não são
diferenciáveis.
Um dos maiores desafios da teoria de wavelets foi a construção de
uma família de wavelets ortogonais de suporte compacto.
50
Figura. Wavelets dbN de Daubechies (N=2,3,4, ...):
As Daublets Matlab®.
51
Figura. Diversas versões de uma db2.
Estas formas de onda são ortogonais (!).
52
Wavelet Symmlets e Wavelet Coiflets
Coiflets e Symmlets são wavelets mais simétricas as quais foram
projetadas para garantir momentos nulos tanto na função de escala φ (t )
quanto na wavelet-mãe ψ (t ) .
Elas foram criadas Daubechies sob demanda de R. Coifman em
1989. São também wavelets de suporte compacto.
53
Figura. Coiflets e Symmlets (coifn e symn); n é número de momentos
nulos.
54
Wavelet de "de Oliveira"
Nova família de wavelets ortogonais complexas.
Possuem espectro típico passa-faixa ideal (plano), com regiões de
"rolamento" assimétricas, porém mantendo a filosofia básica da análise a
Q-constante.
Basta escolher Φ( w ) (raiz de cosseno elevado).
⎧
⎪
⎪
1
⎪ 1
Φ ( w) = ⎨
cos
4α
⎪ 2π
⎪
⎪⎩
1
2π
(| w | −(1 − α )π )
0
0 ≤| w |< (1 − α )π
(1 − α )π ≤| w |< (1 + α )π
| w |> (1 + α )π
.
55
• não são de suporte compacto.
A característica da função φ(t) no domínio frequencial:
−(1+α)π −(1−α)π
(1−α)π (1+α)π
Figura. Característica frequencial da AMR ortogonal "de Oliveira" .
A função pulso cossenoidal PCOS desempenha um papel importante
na AMR cosseno elevado.
56
Definição. A função pulso cossenoidal de parâmetros t0, θ0,w0 e B é
definida por
⎛ w − w0
PCOS (w; t 0 ,θ 0 , w0 , B ) := cos( wt 0 + θ 0 )∏ ⎜
⎝ 2B
⎞
⎟ ,t ,θ ,w ,B∈ℜ, 0<B<w .
0
⎠ 0 0 0
a sua transformada inversa é:
pcos(t ; t 0 ,θ 0 , w0 , B ) := ℑ −1 PCOS (w; t 0 ,θ 0 , w0 , B ) .
57
Separando as partes real e imaginária, denota-se
pcos(t ; t 0 ,θ 0 , w0 , B ) = rpc(t ) + j. ipc(t ) em que
rpc(t ) := ℜe( pcos(t ; t 0 ,θ 0 , w0 , B )) e
ipc (t ) := ℑm( pcos (t ; t 0 ,θ 0 , w0 , B )) .
Mostra-se que:
φ ( deO ) (t ) =
1
2π
.(1 − α ).Sa[(1 − α )πt ] +
1
2π
.
4α
1
{cos π (1 + α )t + 4αt. sen π (1 − α )t}
π 1 − ( 4αt ) 2
.
58
0.435
0.5
0.4
φ( t , 0.1)
0.3
φ( t , 0.2)
⎛
⎝
φ⎜ t ,
1⎞
3⎠
0.2
0.1
0
− 0.087 0.1
4
−5
alpha=0.1
alpha=0.2
alpha=0.3
2
0
2
4
t
5
Figura. Função escala de "de Oliveira".
(esboço para α=0,1, 0,2 e 0,3).
59
Mostra-se que a wavelet complexa de "de Oliveira" é dada por
Ψ ( deO ) ( w) = e − jw / 2 S ( deO ) (w). ,
( deO )
( w) |= S ( deO ) (w) .
em que | Ψ
⎧0
⎪ 1
1
(w − π (1 + α ) )
cos
⎪
4α
⎪ 2π
1
⎪
S ( deO ) ( w) = ⎨
2π
⎪
⎪ 1 cos 1 (w − 2π (1 − α ) )
⎪ 2π
8α
⎪0
⎩
se w < π (1 - α )
se π (1 - α ) < w < π (1 + α )
se π (1 + α ) < w < 2π (1 − α )
se 2π (1 − α ) < w < 2π (1 + α )
se w > 2π (1 + α )
60
Figura. Módulo da Wavelet de "de Oliveira"
61
Figura. Wavelet ψ
( deO )
(t )
: Parte real
62
Figura. Wavelet ψ
( deO )
(t )
: parte imaginária.
63
Wavelets Discretas
A CWT essencialmente mapeia um sinal unidimensional (no
tempo) em uma representação bidimensional (tempo, escala) que
é altamente redundante.
As wavelets agora não são transladadas nem escalonadas
continuamente, mas sim em intervalos discretos.
64
Isto pode ser feito com uma pequena modificação na wavelet
contínua.
ψ a ,b (t ) =
⎛t -b⎞
ψ⎜
⎟ ⇒ ψ m,n (t ) =
a ⎝ a ⎠
1
1
a0
m
⎛ t − nbo a 0 m
ψ ⎜⎜
m
a
0
⎝
⎞
⎟
⎟
⎠
em que m e n são inteiros, a0 >1 é um parâmetro de dilatação fixo, b0
é o fator de translação fixo e b depende agora do fator de dilatação.
65
A Transformada Discreta de Wavelets:
As Séries Wavelet de tempo contínuo (CTWS)
Formas discretas são atraentes do ponto de vista:
i) implementação e ii) computacional.
A discretização da WT
1) ocorre apenas no domínio dos parâmetros (variáveis de
escala e translação),
2) não na variável independente do sinal a ser analisado
(tempo ou espaço).
66
Retículado 2D no plano escala-translação:
A grade é indexada por dois inteiros m e n:
m => passos na escala discreta
n => passos das translações discretas.
Fixam-se dois valores dos passos, a0 e b0.
Escala discreta (logarítmica):
Translações discretas:
a=a0m m=1,2,3,...
b=nb0a0m n=1,2,3,... dado m.
67
Assim
WT (a, b) = CTWS (m, n) :=
1
a0m
∫
+∞
−∞
⎛ t − nb0 a0m ⎞
⎟⎟dt
f (t )ψ ⎜⎜
m
⎝ a0
⎠ .
Note que:
f(t) e a wavelet-mãe são tempo contínuo,
coeficientes discretos CTWS(m,n) são discretos.
68
Diferentemente da CWT(a,b), as CTWS(m,n) são definidas apenas
para valores positivos de escala (a0>0), porém esta restrição não é
severa.
Assim, a DWT consiste em um mapeamento do tipo
CTWS: L2(ℜ) → l2(Ζ+ -{0} × Ζ)
f(t) |→ CTWS(m,n)
Enunciado de outra forma: sinais contínuos de energia finita são
mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes de wavelet.
69
Interessante observar que a DWT é mais análoga à uma
representação em série de Fourier ao invés de uma DFT:
+∞
• Série
jnw0t
F
e
∑ n
n = −∞
representação de tempo contínuo, com coeficientes
discretos
N −1
• DFT
∑ f ( k )e
k =0
j
2πnk
N
representação em tempo discreto, com espectro
discreto.
70
Reticulado: A escolha da grade.
Os coeficientes da CWTS correspondem a pontos num retículo no
domínio escala-translação.
A grade é indexada por dois inteiros m e n, controlando a
discretização da escala e translado.
O reticulado uniforme no plano escala-deslocamento é expresso por:
∆ a 0 , b0 = {(ma0 , nb0 )}m , n∈Z .
71
Já o reticulado definido pelas wavelets no plano escala deslocamento
é o reticulado hiperbólico
{
m
m
}
∆ a0 ,b0 = (a0 , na0 b0 ) m, n∈Z
{
}
m
m
∆
=
(
2
,
n
2
)
Caso diádico: a0=2 e b0=1 e 2,1
m , n∈Z
.
m (escala)
72
n (deslocamento)
Figura. Resolução de transformadas wavelets:
plano translação-escala.
73
A Transformada Discreta de Wavelets:
Séries Wavelets de Tempo Discreto (DTWS)
Além da discretização do plano “escala-translação”, a variável
independente do sinal pode também ser discretizada.
Neste caso, define-se:
WT (a, b) = DTWS (m, n) :=
+∞
1
∑
m
0 k = −∞
a
⎛ k − nb0 a0m ⎞
⎟⎟
f (k )ψ ⎜⎜
m
.
a0
⎠
⎝
74
Assim, as DTWS consistem em um mapeamento do tipo
DTWS: l2(Ζ) → l2(Ζ+ -{0} × Ζ)
f(k) |→ DTWS(m,n).
Enunciado de forma alternativa: sinais discretos de energia finita são
mapeados em uma grade bidimensional de coeficientes.
Interessante observar que a DTWS é mais análoga à uma
representação do tipo DFT que em série de Fourier.
75
O menor passo inteiro para a escala é a0=2. Usa-se então este fator de
escalonamento, o que é referido como escalonamento diádico. O menor
passo inteiro de translação temporal é b0=1.
Wavelets diádicas:
DTWS (m, n) = 2
−m / 2
+∞
∑
k = −∞
(
f (k )ψ 2 −m k − n
).
76
Em resumo:
CWT(a,b)=
a
−1 / 2
CTWS (m, n) = 2
∫
+∞
−∞
−m / 2
DTWS (m, n) = 2
∫
t −b
f (t )ψ * (
)dt
a
+∞
−∞
−m / 2
+∞
∑
(
)
f (t )ψ 2 − m t − n dt
k = −∞
(
f (k )ψ 2 − m k − n
).
77
A Análise de Multirresolução
Introdução à Multirresolução
A Função de Escala
A função de escala (LPF), denotada aqui por φ (t ) , foi introduzida
por Mallat em 1989.
O princípio fundamental é analisar o sinal através de uma
combinação de uma função de escala φ (t ) e wavelets ψ (t ) .
78
Análise de Multirresolução Ortonormal
Método de construção de wavelets ortogonais, (Mallat e Meyer): a
análise de multirresolução.
Este método permite construir a maioria das wavelets ortogonais.
Notação:
closU Am
m
denota a união dos conjuntos Am , incluindo todos
2
os pontos limites em L (ℜ).
(∀m ∈Z), cria-se um subespaço fechado Vm ⊂ L (ℜ) formado por sinais
aproximados na escala 2m.
2
Formalmente: Definição (AMR).
79
2
Uma análise de multirresolução em L (ℜ) consiste numa seqüência de
2
subespaços fechados Vm⊂L (ℜ), m∈Z, satisfazendo as relações:
(AMR1) Vm ⊂ Vm-1 (∀m).
(AMR2) f(t) ∈ Vm ⊂ L2(ℜ) ⇔ f(2t) ∈ Vm-1.
Vm = 2
(AMR3) clos mU
L (ℜ).
∈Z
(AMR4)
IV
m
m∈Z
= {0} .
(AMR5) ∃ φ (t ) ∈ V0 tal que {φ (t − n)}n∈Z é uma base ortonormal para V0.
80
Equação Básica de Dilatação (refinamento)
Considerando como espaço de referência V0 ⊂ V-1, qualquer sinal
nele contido pode ser decomposto em termos das funções de uma base de
V-1.
Em particular, isto deve ser válido para a função de escala φ (t ) ∈ V0.
Subespaço
V0
V-1
Base
{φ (t − n)}n∈Z
{ 2φ (2t − n)}
n∈Z
.
Assim, existe uma seqüência {hn} tal que
81
φ (t ) = 2 ∑ hnφ (2t − n)
n∈Z
com
2
|
h
|
∑ n < +∞
n∈Z
.
Esta é a principal equação da AMR.
Ela tem solução única, de forma que os coeficientes {hn} podem ser
usados para determinar univocamente a função de escala φ (t ) .
Os coeficientes {hn} são chamados de "coeficientes do filtro passabaixa", ou coeficientes do filtro de escala.
82
Um Estudo de Caso: Decomposição via db2 para ECG
ECG
83
A decomposição explicita visualmente, no nível 6, a wavelet mãe db2.
Lembra decomposição em série de Fourier: Os "harmônicos" aqui não
são senoidais perpétuas, mas versões de uma wavelet (e.g., ondas não
perpétuas).
Uma característica diferente: A6=S6 (versão grosseira ou passa-baixa), a
qual devem ser adicionados detalhes (versão wavelet ou passa-faixa)
para compor a aproximação.
84
Maior grau de liberdade é conferido à análise, pois o
mesmo sinal pode ser decomposto via um grande número
de diferentes wavelets, ao invés de sempre ser
decomposto em componentes senoidais.
85
Filtragem, Wavelets e
Análise de Multirresolução
Filtros suavizador e de detalhes (H e G)
2
2
|
h
|
<
+∞
|
g
|
< +∞ )
{
h
}
{
g
}
∑
n
∑
n
As seqüências
n n∈Z e
,
n n∈Z , (
n∈Z
n∈Z
podem ser exploradas como definindo um processo de filtragem.
Condições de normalização:
∫
+∞
−∞
∫
φ (t )dt = 1
+∞
−∞
ψ (t )dt = 0
⇒
⇒
∑h
n∈Z
n
∑g
n∈Z
= 2
n
=0
;
.
86
{hn} Filtro suavizador ou filtro de escala
{gn} Filtro de detalhe ou filtro wavelet.
Condições sobre os coeficientes que resultam em MRA ortogonal:
(aide mémoire).
hn = 2
C1. n∑
∈Z
C2.
∑g
n∈Z
n
=0
(condição passa-faixa)
C3. gn=(-1)n h1-n.
C4.
∑h h
n∈Z
n n + 2m
(condição passa-baixa)
(condição QMF)
= δ 0, m
.
87
A relação de escala dupla estabelece que
φ (t ) = 2 ∑ hnφ (2t − n)
n∈Z
.
Aplicando-se Fourier em ambos os membros, com φ (t ) ↔ Φ ( w) , temse:
1
− jwn / 2
Φ ( w) = 2 ∑ hn ℑφ (2t − n) = 2 ∑ hn Φ ( w / 2)e
.
2
n∈Z
n∈Z
Assim,
Φ (w) =
1 ⎛
⎞
⎜ ∑ hn e − jwn / 2 ⎟Φ ( w / 2)
.
2 ⎝ n∈Z
⎠
Definindo o "espectro" do filtro {hn} pela relação:
88
⎞
⎛
H ( w) := ⎜ ∑ hn e − jwn ⎟
⎝ n∈Z
⎠.
Φ( w) =
1 ⎛ w⎞ ⎛ w⎞
H ⎜ ⎟Φ ⎜ ⎟ .
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
De modo análogo, partindo-se de:
ψ (t ) = 2 ∑ g nφ (2t − n)
n∈Z
,
Definindo o "espectro" do filtro {gn} pela relação:
⎛
⎞
G ( w) := ⎜ ∑ g n e − jwn ⎟ ,
⎝ n∈Z
⎠
chega-se a
89
Ψ ( w) =
1 ⎛ w⎞ ⎛ w⎞
G ⎜ ⎟Φ ⎜ ⎟ .
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
As duas equações centrais da AMR no domínio freqüencial
são portanto (Equações de escala dupla):
Φ( w) =
1 ⎛ w⎞ ⎛ w⎞
H ⎜ ⎟.Φ⎜ ⎟ ,
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
Ψ ( w) =
1 ⎛ w⎞ ⎛ w⎞
G⎜ ⎟Φ⎜ ⎟
2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠.
90
Construção de AMR Ortogonal - QMF
A construção de uma AMR ortogonal pode ser estabelecida
impondo as condições de ortogonalidade:
{φ (t )}n∈Z
⊥ {φ (t − n)}n∈Z ⇔ < φ (t ),φ (t − n) >= δ 0, n
{φ (t − n)}n∈Z ⊥ {ψ (t )}n∈Z
⇔ < φ (t − n),ψ (t ) >= δ 0, n
{ψ (t )}n∈Z ⊥ {ψ (t − n)}n∈Z ⇔ < ψ (t ),ψ (t − n) >= δ 0, n
em que δ 0, n representa o símbolo de Kronecker.
91
Estas condições podem ser "versadas" para o domínio Fourier,
permitindo estabelecer:
Proposição 1. A Função de Transferência H(w) verifica a relação
(∀w)
| H ( w) |2 + | H ( w + π ) |2 = 2 .
Proposição 2. A Função de Transferência G(w) verifica a relação
| G ( w) |2 + | G ( w + π ) |2 = 2 .
(∀w)
Proposição 3. As Funções de Transferência H(w) e G(w) verificam a
relação
*
*
(∀w) H ( w ).G ( w ) + H ( w + π ).G ( w + π ) = 0 .
92
Note que em w=0, tem-se:
| H (0) |2 + | H (π ) |2 = 2
| G (0) |2 + | G (π ) |2 = 2 .
Como H (0) = 2 segue-se H (π ) = 0 ;
e G (0) = 0 implica em G (π ) = 2 .
93
Lema (AMR).
Uma condição (necessária) sobre a função de escala de uma AMR
ortogonal, obtida como passo intermediária na demonstração das
proposições acima corresponde a:
+∞
2
π
Φ
w
+
n
=
|
(
2
)
|
∑
n = −∞
1
2π .
Proposição. (Escolha QMF):
H ( w ) = −e − jw .G * ( w + π )
G ( w) = e − jw .H * ( w − π ) .
94
Um par de filtros G(w) e H(w) verificando condições acima (filtros
espelhados
em
quadratura
Quadrature
Mirror
Filters)
=>
ortogonalidade.
95
Tabela. Relações Básicas
Wavelets e Funções Escala.
Escala
φ(t)
φ (t ) ↔ Φ ( w)
∫
+∞
−∞
Φ ( w) =
φ (t )dt = 1
1 ⎛ w⎞ ⎛ w⎞
H ⎜ ⎟.Φ⎜ ⎟
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
∞
1 ⎛ w⎞
Φ ( w) = ∏
H⎜ m ⎟
2 ⎝2 ⎠
m =1
| H ( w) |2 + | H ( w + π ) |2 = 2
H ( 0) =
2
H (π ) = 0
Wavelet
ψ(t)
ψ (t ) ↔ Ψ ( w)
∫
+∞
ψ (t )dt = 0
−∞
Ψ ( w) =
1 ⎛ w⎞ ⎛ w⎞
G⎜ ⎟.Φ⎜ ⎟
2 ⎝2⎠ ⎝2⎠
1 ⎛ w⎞ ∞
Ψ ( w) =
G⎜ ⎟.∏
2 ⎝ 2 ⎠ m =1
1 ⎛ w⎞
H⎜ m ⎟
2 ⎝2 ⎠
| G ( w) |2 + | G ( w + π ) |2 = 2
G (0) = 0
G (π ) = 2
H * ( w ).G( w ) + H * ( w + π ).G( w + π ) = 0
96
As condições de ortogonalidade sobre os filtros correspondem a:
H (0) = 0 e H (π ) = 2
| H ( w) |2 + | H ( w + π ) |2 = 2 ,
H ( w) = −e − jwG * ( w + π ) .
Estas condições podem ser convertidas para o domínio do tempo,
obtendo as relações sobre os coeficientes {hn }n∈Z e {g n }n∈Z .
*
h
h
∑ 2m+ n n = δ m,0
n∈Z
.
*
g
g
∑ 2 m+ n n = δ m,0
n∈Z
gn=(-1)n h1-n.
97
A wavelet-mãe pode ser determinada empregando:
Ψ ( w) = e − jw / 2 .
1
⎛w
⎞ ⎛ w⎞
.H * ⎜ − π ⎟.Φ⎜ ⎟ .
2
⎝2
⎠ ⎝2⎠
98
Codificação em Sub-Bandas
wavelets discretas => uma série de coeficientes wavelet, também
chamada de Série de Decomposição de Wavelet.
É possível implementar uma WT sem implementar explicitamente as
wavelets!
As translações são limitadas à duração do sinal, logo existe um limite
superior. Resta então analisar o escalonamento. "Quantas escalas serão
necessárias para se analisar um sinal?" - Infinitas!
99
A solução para este obstáculo é simplesmente não cobrir o espectro
até a origem! Com este valor calcula-se o limite inferior para o
escalonamento, único parâmetro restante.
Figura. Compressão no tempo gera uma expansão do espectro da
wavelet.
A idéia de se analisar um sinal via um banco de filtros é conhecida
como Codificação em Sub-bandas (Subband Coding).
100
O modo de análise para wavelets discretas consiste em projetar filtros
passa-alta (HPF) e passa-baixa (LPF) de tal modo que “particione” o
espectro do sinal exatamente ao meio.
Figura. Banco de filtros / Codificação em Sub-bandas.
A Codificação em sub-bandas.
101
Mudança de notação (apropriada p/ filtragem digital)
dm[n]:=dm,n e cm[n]:=cm,n;
h[l]:=hl.
n Avaliação dos coeficientes de escala cm[n]
c N +1 [ n ] = ∑ h[ k − 2n ].c N [ k ]
k∈Z
.
Os coeficientes da decomposição (versão aproximada) podem ser
obtidos iterativamente ⎯ uma filtragem discreta; sem necessitar uma
fórmula explicita para φ(.).
102
Apenas os coeficientes do filtro suavizador {hk} são requeridos.
o Avaliação dos coeficientes de escala dm[n].
Os coeficientes da decomposição wavelet (detalhes), i.e., os
coeficientes da transformada de wavelets, são obtidos via:
d N +1 [ n ] = ∑ g [ k − 2n ].c N [ k ]
k∈Z
.
Assim, os coeficientes da decomposição (versão detalhada) podem
ser obtidos iterativamente ⎯ uma filtragem discreta; sem necessitar uma
fórmula explicita para ψ(.).
103
Apenas os coeficientes do filtro de detalhes {gk} são requeridos.
A expressão de filtragem de sub-banda requer uma sub-amostragem
por 2 (down-sampling), processo conhecido por Dizimação (ou
decimação).
O tamanho da seqüência cai para metade!
104
Figura.
Procedimento de codificação em sub-banda:
Decomposição de uma escala para a próxima.
105
Figura. Cálculo dos coeficientes da Transformada Discreta de Wavelet
por filtragem e sub-amostragem.
106
Os valores de g[n] e h[n] correspondem a LPF e HPF, respectivamente.
¾ Wavelets de suporte infinito (e.g. wavelets de Meyer, Battle-Lemarié
...) possuem infinitos valores não nulos de h[n] e g[n] ⎯ implementada
com IIR.
¾ Já wavelets de suporte finito (e.g., Haar, Daubechies) só possuem um
número finito de coeficientes de filtros não nulos ⎯ implementada
com FIR.
107
Aplicações de Wavelets
Provocações... (!)
Wavelets em Descontaminação de Sinais
Infelizmente, descontaminação é um problema difícil ⎯ não há
fronteiras de distinção entre o sinal e o ruído.
Métodos de descontaminação: suprimir "algumas" componentes
"incoerentes" com o sinal de informação.
108
As wavelets tem se mostrado como ferramentas importantes no combate
e remoção de ruído.
• sinal original fk
• ruído aditivo nk v.a. - ruído branco gaussiano.
• observações yk = f k + σnk , k=0,1,2,...,K-1,
Matricialmente, y=f+σn .
Aplicando-se
a
transformada
de
wavelets,
obtém-se
DWT (y ) = DWT (f ) + σDWT (n) .
Os coeficientes wavelet do ruído superpõem-se aos coeficientes
wavelets do sinal.
109
SNR alta:
Eliminam-se as contribuições para a reconstrução do sinal em que o
ruído é "comparável" ao sinal, mantendo apenas coeficientes wavelets
onde a contribuição do sinal é "importante".
É comum o uso de um limiar abrupto (hard threshold),
⎧0
C ( x) = ⎨
⎩x
se | x |≤ T
caso contrário .
110
Algoritmo Waveshrink
~
P1. Fixe um nível m≥1 e normalize as observações via yk = yk / K m .
P2. Calcule a DWT da observações normalizadas.
P3. Aplique o operador C(x) nos coeficientes wavelet obtidos.
O operador de encurtamento (shrinkage), C(x), é definido por:
⎧| x | −Tm se | x |> Tm
C( x ) = Sgn( x ).⎨
⎩ 0 caso contrário ,
em que Tm é um limiar.
P4. Efetue a transformada inversa de wavelet para obter uma estimativa
descontaminada do sinal original.
111
Figura. Waveshrink: descontaminação de sinais usando wavelets.
112
Compressão via wavelets
A título de destacar a relevância das wavelets como mecanismos de
compressão:
¾ Inclusão no padrão internacional JPEG 2000.
¾ padrão do FBI (Federal Bureau of Investigations) para o
armazenamento de impressões digitais.
113
114
Wavelets em Localização de Faltas em Linhas de Transmissão
Wavelets constituem uma ferramenta poderosa na detecção de faltas em
linhas de transmissão, inclusive na análise de faltas de difícil detecção
(e.g.,
faltas
de
alta
impedância,
faltas
em
linhas
com
compensação série e faltas em linhas com acoplamento mútuo).
A implementação de algoritmos de identificação ou localização de
faltas em linhas de transmissão está baseada na configuração do sistema
de monitoramento dos sinais de tensão e/ou corrente na linha de
transmissão, através do uso de registradores digitais de perturbação.
115
Identificação de Faltas
Um Método Baseado nos Sinais de Fase
Solanki e colaboradores apresentaram um método para detectar e
classificar faltas em linhas de transmissão de extra-alta tensão, para
aplicação em relés de proteção de alta velocidade.
Tempo real => MRA foi considerada.
Escolha da wavelet mãe: Entre Daubechies, Haar, Coiflet, Symmlet e
Biortogonal a wavelet escolhida foi a Sym2.
116
Um Método Baseado nas Componentes Modais
Magnago e Abur propuseram o uso da teoria das ondas viajantes e da
transformada de wavelet na localizar faltas em linhas de transmissão.
Silveira et al. também considera a decomposição dos sinais de fase
em suas componentes modais, porém faz uso de redes neurais para
promover a identificação das faltas.
117
LOCALIZAÇÃO DE FALTAS EM LTs
Os algoritmos utilizados para localizar faltas em LTs podem ser
classificados:
1) aqueles baseados nas componentes na freqüência fundamental;
2) aqueles que fazem uso das componentes de alta freqüência dos
sinais transitórios relacionados à falta.
¾Determinação da reatância aparente da linha de transmissão
durante a falta.
¾Determinação do tempo de viagem da onda e da velocidade de
propagação da onda viajante na linha de transmissão.
118
Yibin e colaboradores apresentaram um método que faz uso das
componentes da faixa de freqüência incluindo a freqüência fundamental
do sistema de potência, 60 Hz, para prover a localização da falta.
119