Métodos Computacionais para Solução do FPO, Parte I

Transcrição

Métodos Computacionais para Solução do FPO
Parte 1/2
Métodos de Barreira Logarítmica
Antonio Simões Costa
GSP - Labspot
A. Simões Costa (GSP-Labspot)
Métodos Computacionais para FPO (1/2)
1 / 24
Métodos disponíveis para a solução de problemas de FPO:
Métodos do tipo Lagrange-Newton: utilizam o método de Newton
para resolver as condições de KKT obtidas a partir da função
Lagrangeana. Podem ser de dois tipos:
2 / 24
Métodos que utilizam Função-Barreira;
2 / 24
Métodos baseados em funções de penalidades;
2 / 24
Métodos baseados em Programação Linear Sucessiva: empregam
linearização iterativa do problema de otimização e técnicas de
Programação Linear (PL) para resolver o problema linearizado;
2 / 24
Métodos baseados em Programação Linear Sucessiva: empregam
linearização iterativa do problema de otimização e técnicas de
Programação Linear (PL) para resolver o problema linearizado;
Metodos de Programação Quadrática Seqüencial: utilizam
linearização iterativa das restrições, aproximação do Lagrangeano de
problema como uma função quadráica e técnicas de Programação
Quadrática (PQ).
2 / 24
Métodos que utilizam Função Barreira Logaritmica
As quatro etapas principais destes métodos são:
3 / 24
1
Cálculo da direção de Newton;
3 / 24
1
2
Escolha do tamanho do passo para o método de Newton;
3 / 24
1
2
3
Ajuste do parâmetro de barreira a cada iteração, e
3 / 24
1
2
3
4
Teste de convergência baseado na veri…cação das condições de
Karush-Kuhn-Tucker.
3 / 24
1
2
3
4
Karush-Kuhn-Tucker.
Etapas 2 a 4 coincidem com as etapas similares da aplicação do
método primal-dual de pontos interiores ao problema de Despacho
Econômico;
3 / 24
1
2
3
4
Karush-Kuhn-Tucker.
Econômico;
Etapa 1 é signi…cativamente diferente e será tratada em detalhes a
seguir, considerando:
3 / 24
1
2
3
4
Karush-Kuhn-Tucker.
Econômico;
Modelo linearizado (“DC”) para a rede, e
3 / 24
1
2
3
4
Karush-Kuhn-Tucker.
Econômico;
Modelo linearizado (“DC”) para a rede, e
Modelo não-linear para a rede.
3 / 24
Método da Função Barreira Logarítmica - Modelo “DC”
para a Rede (I)
Formulação do Problema
min
s. a:
c (θ, pg ) = c0 + c T pg + 12 pTg Q pg
^^
B
θ + Ag pg
pg +sg
pg +sg
T A^
θ+st
^
T A θ+st
=
=
=
=
=
pL
pg
pg
t
t
4 / 24
para a Rede (II)
Função Lagrangeana aumentada pela adição das funções barreira logarítmica
L(θ, u, λ, π ) = c0 + c T pg + 12 pgT Q pg + λT (pL + B θ
+ π̄ Tg (pg + s̄g
+π̄ Tt (T A θ + s̄t
ng
p̄g ) + π Tg ( pg + s g + p g )
t̄ ) + π Tt ( T A θ + s t + t )
µ ∑ (ln s̄gi + ln s gi )
i =1
Ag pg )
nl
µ ∑ (ln s̄ti + ln s ti )
i =1
5 / 24
para a Rede (III)
Agrupando os π 0 s e variáveis de folga:
L = c0 + c T pg + 12 pgT Q pg + λT (pL + B θ
Ag pg )+
+ π̄ Tg π Tg π̄ Tt π̄ Tt
8
>
>
2
>
>
>
>
<6
6
4
>
>
>
>
>
>
:
ng
I
I
I
TA
TA
i =1
2
6
6
76
76
56
6
I 4
I
3
I
pg
θ
s̄g
sg
s̄t
st
nl
3
7
7
7
7
7
7
5
9
>
3>
>
>
p̄g
>
>
6 p 7=
g 7
6
4 t̄ 5>
>
>
>
>
t
>
;
2
i =1
6 / 24
para a Rede (IV)
De…nindo-se:
s
= [ s̄gT s Tg s̄tT s Tt ]T
π
= [π̄ Tg π Tg π̄ Tt π Tt ]T
Fu
2
= 4
Ing
Ing
02nl
ng
2
3
5
Fθ
3
02ng nl
= 4 TA 5
TA
L
=
h
p̄g
pg
t̄
t
iT
7 / 24
para a Rede (V)
A função Lagrangeana pode então ser re-escrita como:
L(θ, u, λ, π ) = c0 + c T pg + 12 pgT Q pg + λT (pL + B θ
8
<
3
pg
+ π T [ Fu F θ I ] 4 θ 5
:
s
nl
2
L
9
=
;
Ag pg )
ng
i =1
i =1
8 / 24
para a Rede (VI)
Condições de KKT:
ru L =
rθ L
=
rλ L =
rπ L =
c + Q pg
ATg λ + FuT π = 0
B T λ + FθT π
pL + B θ
= 0
Ag pg
3
pg
[ Fu F θ I ] 4 θ 5
s
2
= 0
L
Sπ
= 0
= µe
9 / 24
para a Rede (VII)
Método de Newton aplicado às condições de KKT:
Q ∆ pg
(k )
ATg ∆λ + FuT ∆π = bu
(k )
B T ∆λ + FθT ∆π = bθ
B ∆θ
(k )
Ag ∆ pg
= bλ
Fu ∆ pg + Fθ ∆θ + ∆s
= bπ
S ∆π + Π ∆s
= bs
(k )
(k )
10 / 24
para a Rede (VIII)
Elementos do vetor do lado direito:
(k )
bu
=
(k )
bθ
=
(k )
bλ
=
(k )
bπ
(k )
bs
=
(k )
c Q pg + ATg λ(k )
B T λ(k ) FθT π (k )
(k )
pL B θ (k ) + Ag pg
2
(k )
3
FuT π (k )
pg
6
7
[ Fu F θ I ] 4 θ ( k ) 5 + L =
s (k )
= µe
2
(k )
pg
(k )
s̄g
+ p̄g
pg
6 (k )
(k )
6 pg
sg
6
6
(k )
4 Γ A θ (k ) s̄t + t̄
(k )
Γ A θ (k ) s t
t
3
7
7
7
7
5
S (k ) π (k )
11 / 24
para a Rede (IX)
Sistema linear na forma matricial:
2
Q
6
6
6 0
6
6
6
6 Ag
6
6
6
6 Fu
6
4
0
0
ATg
FuT
0
BT
FθT
B
0
0
Fθ
0
0
0
0
S
0
3 2
7
7
0 7
7
7
7
0 7
7
7
7
I 7
7
5
Π
∆pg
6
6
6 ∆θ
6
6
6
6 ∆λ
6
6
6
6 ∆π
6
4
∆s
3
2
(k )
bu
6
7
6
7
6 (k )
7
6 bθ
7
6
7
6
7
6
7 = 6 b (k )
7
6 λ
7
6
7
6
7
6 (k )
7
6 bπ
6
5
4
(k )
bs
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
12 / 24
para a Rede (X)
Observações …nais:
Variáveis “não-nodais” ∆pg , ∆π e ∆s podem ser eliminadas, o que é
facilitado pelo fato de que as matrizes Q, S e Π são diagonais;
13 / 24
para a Rede (X)
Sistema resultante envolverá apenas variáveis nodais, ∆θ e ∆λ;
13 / 24
para a Rede (X)
Matriz resultante pode ter suas linhas e colunas re-ordenadas por
barra:
T
∆θ 1 , ∆λ1 ∆θ 2 , ∆λ2 . . . ∆θ N , ∆λN
13 / 24
para a Rede (X)
barra:
T
∆θ 1 , ∆λ1 ∆θ 2 , ∆λ2 . . . ∆θ N , ∆λN
Matriz Hessiana assim reordenada terá mesma estrutura que a matriz
YBarra da rede, desde que se considere cada bloco 2 2 associado a
uma barra como um macro-elemento.
13 / 24
Método da Função Barreira Logarítmica - Modelo
Não-Linear para a Rede (I)
Formulação generalizada para o problema:
min c (x, u)
µ ∑ni =f 1 ln si
sujeito a: g(x, u) = 0
f (x, u) + s = 0
14 / 24
Não-Linear para a Rede (II)
Função Lagrangeana:
L(x, u, λ, π ) = c (x, u)
nf
µ ∑ ln si
i =1
+λT g(x, u) + π T (f (x, u) + s)
15 / 24
Não-Linear para a Rede (III)
Condições de KKT:
ru L
= ru c (x, u) + GuT λ + FuT π = 0
rx L
= rx c (x, u) + GxT λ + FxT π = 0
g(x, u) = 0
f (x, u) + s = 0
rs i L =
µ/si + π i
= 0, i = 1, . . . , nf
16 / 24
Não-Linear para a Rede (III)
Condições de KKT:
ru L
= ru c (x, u) + GuT λ + FuT π = 0
rx L
= rx c (x, u) + GxT λ + FxT π = 0
g(x, u) = 0
f (x, u) + s = 0
rs i L =
µ/si + π i
= 0, i = 1, . . . , nf
Última equação pode ser re-escrita como:
ΠS e = µe
16 / 24
Não-Linear para a Rede (IV)
As matrizes Jacobianas que aparecem nas condições de KKT são
de…nidas como:
∆
Gu = ru g(x, u)
∆
Gx = rx g(x, u)
∆
Fu = ru f (x, u)
∆
Fx = rx f (x, u)
17 / 24
Não-Linear para a Rede (IV)
As matrizes Jacobianas que aparecem nas condições de KKT são
de…nidas como:
∆
Gu = ru g(x, u)
∆
Gx = rx g(x, u)
∆
Fu = ru f (x, u)
∆
Fx = rx f (x, u)
Se x e g(x, u) são vetores n 1, u é nu 1, e f (x, u) é nf 1, então
as condições de KKT formam um conjunto de (2 n + nu + 2 nf )
equações envolvendo o mesmo número de incógnitas.
17 / 24
Não-Linear para a Rede (V)
Aplicando-se o método de Newton às condições de KKT, obtém-se:
(k )
Wuu ∆u + Wux ∆x + GuT ∆λ + FuT ∆π = bu
(k )
Wxu ∆u + Wxx ∆x + GxT ∆λ + FxT ∆π = bx
(k )
Gu ∆u + Gx ∆x
= bλ
Fu ∆u + Fx ∆x + ∆s
= bπ
S ∆π + Π ∆s
= bs
(k )
(k )
18 / 24
Não-Linear para a Rede (VII)
Matrizes W são de…nidas como:
n
Wuu
= r2uu c (x, u) + ∑
∂2 g pi
∂u 2
λpi +
n
∂2 g pi
∂u∂x
λpi +
∂2 g pi
∂x 2
λpi +
i =1
Wux
= r2ux c (x, u) + ∑
i =1
Wxu
T
= Wux
Wxx
= r2xx c (x, u) + ∑
n
i =1
nf
∂2 g qi
∂u 2
λqi + ∑
∂2 g qi
∂u∂x
λqi + ∑
∂2 g qi
∂x 2
λqi + ∑
i =1
nf
i =1
nf
i =1
∂2 f i
∂u 2
πi
∂2 f i
∂u∂x
∂2 f i
∂x 2
πi
πi
19 / 24
Não-Linear para a Rede (VIII)
Componentes do vetor do lado direito:
(k )
=
r u c ( x (k ) , u (k ) )
GuT λ(k )
FuT π (k )
(k )
=
r x c ( x (k ) , u (k ) )
GxT λ(k )
FxT π (k )
(k )
=
g ( x (k ) , u (k ) )
(k )
=
f ( x (k ) , u (k ) )
(k )
= µe
bu
bx
bλ
bπ
bs
s (k )
ΠS e
20 / 24
Não-Linear para a Rede (IX)
Sistema linear na forma matricial:
2
Wuu
6
6
T
6 Wux
6
6
6
6 Gu
6
6
6
6 Fu
6
4
0
GuT
FuT
Wxx
GxT
FxT
Gx
0
0
Fx
0
0
0
0
S
Wux
0
3 2
7
7
0 7
7
7
7
0 7
7
7
7
I 7
7
5
Π
3
2
(k )
bu
∆u
6
6
7
6
6
7
6 (k )
6 ∆x 7
6 bx
6
7
6
6
7
6
6
7
6
6 ∆λ 7 = 6 b (k )
6
7
6 λ
6
7
6
6
7
6
6 ∆π 7
6 (k )
6
7
6 bπ
6
4
5
4
∆s
(k )
bs
3
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
7
5
21 / 24
Não-Linear para a Rede (X)
Redução do Sistema (1)
As variáveis incrementais de folga podem ser eliminadas do problema,
a partir da última equação do sistema linear, que fornece:
∆s = Π
1
(k )
S ∆π )
(bs
O sistema reduzido torna-se:
2
onde
Wuu
T
6 Wux
6
4 Gu
Fu
Wux
Wxx
Gx
Fx
GuT
GxT
0
0
3 2
3
2
∆u
6
7 6 ∆x 7
6
7 6
7 = 6
6
5
4
5
∆λ
0
4
1
∆π
Π S
FuT
FxT
(k )
(k )
b
bπ = bπ
Π
1
(k )
bs
(k )
bu
(k )
bx
(k )
bλ
(k )
b
bπ
3
7
7
7
7
5
22 / 24
O sistema linear pode ainda sofrer redução através da eliminação de
∆π, obtido da equação:
∆π =
S
1
(k )
Π(b
bπ
Fu ∆u
Fx ∆x )
Esta última redução fornece …nalmente o sistema reduzido:
2 (k ) 3
2
3 2
3
b
cuu W
cux GuT
bu
W
∆u
6
(k ) 7
T
T
4 W
cux W
cxx Gx 5 4 ∆x 5 = 4 b
bx 5
(k )
∆λ
Gu
Gx
0
bλ
onde:
cuu
W
cux
W
cxx
W
= Wuu + FuT S 1 Π Fu
= FuT S 1 Π Fx + Wux
= Wxx + FxT S 1 Π Fx
(k )
(k )
b
bu
= bu + FuT S
(k )
(k )
b
bx
= bx + FxT S
(k )
1Π b
bπ
(k )
1Π b
bπ
23 / 24
Variáveis de controle ∆u poderiam igualmente ser eliminadas;
24 / 24
Sistema resultante envolverá apenas variáveis nodais, ∆x e ∆λ;
24 / 24
barra:
∆θ 1 , ∆V1 , ∆λP1 , ∆λQ 1
∆θ 2 , ∆V2 , ∆λP2 , ∆λQ 2
...
...
∆θ N , ∆VN , ∆λPN , ∆λQ N
T
24 / 24
barra:
∆θ 1 , ∆V1 , ∆λP1 , ∆λQ 1
∆θ 2 , ∆V2 , ∆λP2 , ∆λQ 2
...
...
∆θ N , ∆VN , ∆λPN , ∆λQ N
T
Matriz Hessiana assim reordenada terá mesma estrutura que a matriz
YBarra da rede, desde que se considere cada bloco 4 4 associado a
uma barra como um macro-elemento.
24 / 24

Métodos Computacionais para Solução do FPO, Parte I

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