Mecânica Quântica I

Mecânica Quântica I
Exercícios – Sakurai, “Modern Quantum Mechanics”.
Capítulo 5, 1a Parte (Teoria de Perturbação Estacionária):
1)
Resolva o problema do Hamiltoniano para um sistema de dois níveis (5.1.6) de forma exata, obtendo os autovalores
dados em 5.1.11.
2)
Trate agora os termos não diagonais em 5.1.6 como perturbação e obtenha novamente os autovalores de energia
até segunda ordem na perturbação. Compare com as expansões dos autovalores exatos (5.1.11) em séries de
potências.
3)
Resolva o problema do oscilador harmônico com constante de mola modificada (5.1.52) utilizando teoria de
perturbação estacionária (potencial perturbativo dado em 5.1.51). Encontre as correções em energia até segunda
ordem e nas funções de onda até primeira ordem e compare com os resultados exatos.
4)
Verifique a Eq. 5.1.49.
5)
Obtenha as regras de seleção 5.1.65 partindo do cálculo dos comutadores
6)
Mostre que o momento de dipolo elétrico induzido em um átomo de hidrogênio (inicialmente no estado fundamental)
sob ação de um campo elétrico uniforme é dado por
[ Z , Lz ] e  L2 ,  L2 , Z   .
pdip = α E , sendo a constante de polarizabilidade α
por 5.1.68. Para fazer esse cálculo, determine o autoestado corrigido em primeira ordem,
Hamiltoniano e da perturbação dados em 5.1.62 e, a seguir, use a definição
7)
n (1)
pdip = n(1) eX n (1)
dada
, sob ação do
.
Efetue as integrações que levam ao resultado 5.2.19, utilizando as expressões das funções de ondas do átomo de
hidrogênio.
8)
Calcule o momento de dipolo elétrico permanente associado aos estados dados em 5.2.21.
9)
Detalhe as passagens que levam ao Hamiltoniano para a interação spin-órbita dado em 5.3.5.
10) Mostre que o operador
L⋅S
comuta com
L2 , S 2
e
J 2 , mas não com Lz
e
Sz .
11) Mostre que a separação entre os níveis 2p3/2 e 2p1/2 no átomo de hidrogênio é igual a
apenas o efeito da interação spin-órbita, onde
α=
me c 2α 4
32
, considerando
e2
1
=
.
c 137
12) Detalhe todos os passos que levam à Eq. 5.3.25.
j = l ± 1 2 ; m′ S z j = l ± 1 2 ; m = ±
13) Mostre explicitamente que
m
δ m′m , para um átomo de um elétron sob
2l + 1
ação do efeito Zeeman.
14) Use o teorema da projeção (3.10.40) para obter o fator g de Landé:
definido
a
partir
da
expressão
para
o
desdobramento
em
g = 1+
energia
∆E = − µ ⋅ B = µB Bgm j .
15) Use o teorema da projeção (3.10.40) para obter o resultado 5.3.31.
16) Obtenha os resultados 5.3.34 e 5.3.37, para o efeito Paschen-Back.
Consulte também: Cohen-Tannoudji, Diu, Laloë, “Quantum Mechanics”, Capítulos XI e XII.
j ( j + 1) + s ( s + 1) − l (l + 1)
,
2 j ( j + 1)
devido
ao
efeito
Zeeman,