Exercícios de Electromagnetismo - FCT

Universidade do Algarve
Departamento de Fı́sica
Exercı́cios
de Electromagnetismo
Compilados por
Robertus Potting, Paulo Seara de Sá
e Orlando Camargo Rodrı́guez
Faro, 12 de Setembro de 2005
1
Cálculo Vectorial Elementar
Ao longo desta secção r representa o vector-posição:
r = xex + yey + zez .
1.1
Gradiente, divergência e rotacional
Exercı́cio 1 Calcule:
a) o gradiente de r.
b) a divergência de r.
c) o rotacional de r.
Exercı́cio 2 Calcule a divergência dos seguintes vectores:
a) r/r.
b) ex (x2 + yz) + ey (y 2 + xz) + ez (z 2 + xy).
c) r × (ex y + ey z + ez x).
Exercı́cio 3 Calcule o gradiente de uma função escalar Ψ, tal que Ψ(x, y, z) = Ψ(r).
Exercı́cio 4 Calcule a divergência do gradiente da função Ψ(x, y, z) = ex+y+z .
Exercı́cio 5 Calcule o rotacional dos seguintes vectores:
a) (r · A) r, onde A = ex + ey + ez .
b) (r · A) B, onde A = ex + ey + ez e B = ex − ey − ez .
Exercı́cio 6 Calcule (A · ∇) r, onde A = A(x, y, z).
1.2
Identidades
Exercı́cio 7 Demonstre as seguintes identidades para quaisquer funções Ψ, Φ, A e B:
i. ∇ (ΨΦ) = Φ∇Ψ + Ψ∇Φ.
ii. ∇ · (ΨA) = Ψ∇ · A + ∇Ψ · A.
iii. ∇ × (ΨA) = Ψ∇ × A + ∇Ψ × A.
iv. ∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B).
v. ∇ × (A × B) = (B · ∇)A − (A · ∇)B − B(∇ · A) + A(∇ · B).
Exercı́cio 8 Calcule ∇ · (rn−1 r) (sugestão: aplique a identidade 7.ii).
Exercı́cio 9 Calcule ∇ × (Ψ(r)r) (sugestão: aplique a identidade 7.iii).
1
1.3
Aplicações sucessivas de ∇
Exercı́cio 10 Calcule ∇2 Ψ(r).
Exercı́cio 11 Calcule ∇ × (Ψ∇Ψ) (sugestão: aplique a identidade 7.iii).
Exercı́cio 12 Verifique as seguintes identidades:
a) ∇ × ∇Ψ = 0.
b) ∇ · ∇ × A = 0.
c) A × (∇ × A) = 12 ∇(A2 ) − (A · ∇)A.
d) ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − (∇ · ∇)A.
e) ∇2 (ΨΦ) = Φ∇2 Ψ + Ψ∇2 Φ + 2∇Ψ · ∇Φ.
1.4
Gradiente, divergência e rotacional em coordenadas cilı́ndricas
Exercı́cio 13 Demonstre que em coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z)
ex = er cos φ − eφ sin φ
.
ey = er sin φ + eφ cos φ
Exercı́cio 14 Mostre que em coordenadas cilı́ndricas
∇Ψ = er
∂Ψ
1 ∂Ψ
∂Ψ
+ eφ
+ ez
,
∂r
r ∂φ
∂z
onde Ψ = Ψ(r, φ, z).
Exercı́cio 15 Mostre que
∇·A=
1 ∂
1 ∂Aφ ∂Az
(rAr ) +
+
,
r ∂r
r ∂φ
∂z
onde A = Ar er + Aφ eφ + Az ez .
Exercı́cio 16 Calcule div A e rot A, onde A = rer + zez .
Exercı́cio 17 Mostre que rot A só tem componente z se A(r, φ) = er Ar (r, φ)+eφ Aφ (r, φ).
1.5
Gradiente, divergência e rotacional em coordenadas esféricas
Exercı́cio 18 Demonstre que em coordenadas esféricas (r, θ, φ)
ex = er sin θ cos φ − eφ sin φ + eθ cos θ cos φ
ey = er sin θ sin φ + eφ cos φ + eθ cos θ sin φ
ez = er cos θ
− eθ sin θ
(sugestão: projecte os versores er , eφ e eθ sobre os versores ex , ey e ez , determine a matriz
de projecção e calcule a respectiva inversa).
2
Exercı́cio 19 Mostre que
∇Ψ = er
∂Ψ
1 ∂Ψ
1 ∂Ψ
+ eθ
+ eφ
,
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
onde Ψ = Ψ(r, θ, φ).
Exercı́cio 20 Calcule grad (rn ).
Exercı́cio 21 Calcule div (rn er ).
Exercı́cio 22 Calcule ∆(rn ).
1.6
Integrais de volume, de superfı́cie e de linha
Exercı́cio 23 Escreva em coordenadas cartesianas: (a) O elemento de volume dV ; (b) O
elemento de área nos planos XY , Y Z e XZ; (c) As normais correspondentes aos elementos
de área, dS; (d) O elemento de comprimento, dl, ao longo dos eixos X, Y e Z.
Exercı́cio 24 Demonstre que em coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z) o elemento de volume
corresponde a
dV = r dr dφ dz .
Use dV para demonstrar que os volumes de um cilı́ndro e de um cone, de raio R na base
e altura h, correspondem respectivamente a
Vcilı́ndro = π R2 h
e
Vcone =
1
π R2 h .
3
Exercı́cio 25 Escreva em coordenadas cilı́ndricas o elemento de área da base de um
cilindro, cuja base está apoiada na plano XY . Indique a normal correspondente.
Exercı́cio 26 Escreva em coordenadas cilı́ndricas o elemento de área da superfı́cie lateral
de um cilindro, cuja base está apoiada na plano XY . Indique a normal correspondente.
Exercı́cio 27 Escreva em coordenadas cilı́ndricas o elemento de comprimento, dl, ao
longo da coordenada r e ao longo do perı́metro de um cı́rculo de raio r.
Exercı́cio 28 Demonstre que em coordenadas esféricas (r, θ, φ) o elemento de volume
corresponde a
dV = r2 sin θ dr dθ dφ .
Use dV para demonstrar que o volume de uma esfera de raio R corresponde a
V =
4
π R3 .
3
Exercı́cio 29 Escreva em coordenadas esféricas o elemento de área da superfı́cie de uma
esfera e a normal a esse elemento de área. Mostre que a área de uma esfera de raio R
corresponde a 4πR2 .
3
Exercı́cio 30 Calcule o integral de volume
Z
rdV , onde V é o volume delimitado por
V
uma esfera de raio R.
Exercı́cio 31 Calcule o integral de superfı́cie
Z
F · dS, onde S é a superfı́cie
S
n
o
(x, y, z)|x2 + y 2 + z 2 = 4, z ≥ 0
e F = F0 ez (F0 = constante).
1I
Exercı́cio 32 Calcule o integral de superfı́cie
r · dS, onde S corresponde à área do
3
S
cubo unitário definido pelos pontos (0, 0, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1).
Exercı́cio 33 A força que actua sobre um oscilador harmónico em duas dimensões pode
ser descrita através da relação
F(x, y) = −k (ex x + ey y) ,
onde k é uma constante. Compare o trabalho realizado por esta força ao longo dos
percursos (1, 1) → (4, 1) → (4, 4), (1, 1) → (1, 4) → (4, 4) e (1, 1) → (4, 4) ao longo da
recta x = y. Resolva este exercı́cio usando coordenadas cartesianas e coordenadas polares.
Exercı́cio 34 Determine o trabalho realizado pelo campo de força
F(x, y) = −ex
x2
y
x
+ ey 2
2
+y
x + y2
ao longo do cı́rculo unitário no plano XY :
a) no sentido contrário do ponteiro do relógio de 0 a π;
b) no sentido do ponteiro do relógio de 0 a −π.
4
2
Electrostática
2.1
Lei de Coulomb, campo e potencial electrostáticos
Exercı́cio 35 Duas cargas pontuais q1 = 2e e q2 = −5e encontram-se separadas por uma
distância a = 2 m. Determine o ponto (ou pontos) do plano onde o campo electrostático
e o potencial são nulos.
Exercı́cio 36 Nos vértices de um quadrado de lado L encontram-se quatro cargas, Q1 =
Q3 = + |q| e Q2 = Q4 = − |q|; cargas do mesmo sinal encontram-se em vértices opostos.
Calcule:
a) a força que as cargas Q1 , Q2 e Q3 exercem sobre a carga Q4 ;
b) o campo electrostático criado pelas quatro cargas no ponto médio de um dos lados do
quadrado;
c) o potencial electrostático no mesmo ponto da alı́nea anterior.
Exercı́cio 37 Três cargas eléctricas iguais são colocadas nos vértices de um triângulo
equilátero de lado l. Calcule:
a) a força de cada carga como resultado das interacções com as outras;
b) o campo electrostático no centro do triângulo;
c) o potencial electrostático no centro do triângulo.
Exercı́cio 38 Dois protões estão separados por uma distância 2a = 4 fm, como mostra
a Fig.1 (os dois protões encontram-se fixos nos pontos P1 e P2 ).
a) Qual é a direcção do campo electrostático em qualquer ponto do plano a tracejado
indicado na figura?
b) Suponha que se substitui um dos protões por um electrão.
1 - Qual seria agora a resposta à alı́nea a)?
2 - Qual o valor do potencial no plano a tracejado? Como se chama a esse plano?
3 - Qual é o trabalho que é necessário realizar para deslocar uma carga q de P3 para
P4 ?
Exercı́cio 39 Mostre que a um campo electrostático E0 , uniforme numa região de espaço,
corresponde o potencial Φ(r) = Φ(0) − E0 · r.
Exercı́cio 40 Um fio, de comprimento l, está uniformemente carregado com uma carga
total q. Determine o campo electrostático e o potencial, num ponto P situado ao longo
do eixo do fio, a uma distância a do seu extremo mais próximo (ver Fig.2).
5
P3
·
+e
P1
+e
a
a
P2
P4
·
Figura 1
Y
P
X
a
l
Figura 2
Exercı́cio 41 Considere um fio de comprimento infinito, orientado ao longo do eixo Z
e carregado com uma densidade linear de carga λ (ver Fig.3). Determine o campo e o
potencial electrostáticos num ponto P de coordenadas (x, y, z). Qual é a simetria do
campo?
Exercı́cio 42 Considere um arco circular de raio R no plano XY (ver Fig.4), definido
pelas coordenadas polares φ1 e φ2 , e carregado com uma densidade linear de carga λ.
Determine o campo e o potencial electrostáticos no ponto de coordenadas (0, 0, 0). Indique
o valor do campo e do potencial para φ1 = 0 e φ2 = π, e para φ1 = 0 e φ2 = 2π.
Exercı́cio 43 Considere um cı́rculo de raio R no plano XY (ver Fig.5(a)), carregado
com uma densidade linear de carga λ. Determine o campo e o potencial electrostáticos
no ponto P com coordenadas (0, 0, z). Considere igualmente o caso em que metade do
cı́rculo tem uma densidade de carga λ, enquanto que a outra metade tem uma densidade
de carga −λ.
Exercı́cio 44 Determine o campo e o potencial electrostáticos no ponto P com coordenadas (0, 0, z), criados por dois cı́rculos concêntricos de raios R1 e R2 , localizados no
plano XY (ver Fig.5(b)), e carregados com densidades lineares de carga λ1 e λ2 , respectivamente.
6
z
λ
◦(x, y, z)
r
y
Y
x
X
Figura 3
Y
λ
φ2
R
φ1
X
Figura 4
Exercı́cio 45 Considere um disco circular de raio R no plano XY , e com densidade
superficial de carga σ (ver Fig.6). Determine o campo e o potencial electrostáticos no
ponto P de coordenadas (0, 0, z). Determine igualmente o campo de um plano infinito
considerando um disco de raio infinito, assim como o campo criado por dois planos infinitos
paralelos, com densidades de carga opostas e separados por uma distância d .
Exercı́cio 46 Mostre que o valor médio do potencial dentro de uma carga esférica com
distribuição uniforme é
6 Q
Φ̄ =
.
5 4π0 R
Exercı́cio 47 Um cilindro longo de raio R está orientado ao longo do eixo dos Z, perpendicularmente a um campo eléctrico uniforme E0 = (E0 , 0, 0). A superfı́cie do cilindro
tem uma carga −4π0 E0 R por unidade de comprimento uniformemente distribuı́da.
a) Mostre que no ponto (2R, 0) o campo electrostático é nulo.
7
Z
P
Z
P
·
r
·
R1
R
R2
λ2
λ
Y
X
λ1
Y
X
(a)
(b)
Figura 5
Z
P
·
R
y
x
X
❑dq
Y
Figura 6
b) Mostre que o potencial fora do cilindro (negligenciando os efeitos dos extremos do
cilindro) é
!#
"
√ 2
x + y2
.
Φ(x, y) = E0 −x + 2R ln
R
Exercı́cio 48 A densidade da carga num átomo de hidrogénio no seu estado fundamental
é
!
e
2r
ρel = − 3 exp −
,
πa0
a0
onde r é a distância ao protão e a0 o raio de Bohr. Mostre que o potencial electrostático
total é dado por
e
1
1
2r
+
exp −
.
Φ(r) =
4π0 r a0
a0
2.2
Lei de Gauss
Exercı́cio 49 Use a lei de Gauss para calcular a intensidade do campo electrostático de
um fio de comprimento infinito.
Exercı́cio 50 Uma superfı́cie esférica de carga uniforme tem raio R e carga total Q.
Utilizando a lei de Gauss, mostre que:
8
a) E = 0 no interior da superfı́cie esférica;
b) no exterior da superfı́cie esférica o campo eléctrico é igual àquele criado por uma carga
pontual com carga Q situada no centro da esfera.
Exercı́cio 51 Utilize a lei de Gauss para obter expressões para o campo electrostático
nos pontos dentro e fora de uma distribuição esférica e uniforme de carga (a carga total
é Q).
Exercı́cio 52 Uma esfera de raio R1 , com carga q0 uniformemente distribuı́da, está
rodeada por uma camada esférica de raio interior R2 e raio exterior R3 , com carga −2q0
também uniformemente distribuı́da (q0 > 0). Utilizando a lei de Gauss, obtenha expressões para o campo electrostático em r < R1 , R1 < r < R2 , R2 < r < R3 e r > R3 .
Exercı́cio 53 Uma carga q encontra-se distribuı́da no interior de uma esfera sólida de
raio R, de acordo com a distribuição de densidade de carga volúmica:
ρ(r) =
C
,
r2
onde C é uma constante. Determine o valor de C a partir da condição
q=
Z
ρdV .
V
Seguidamente aplique a lei de Gauss para determinar o campo electrostático no interior
e no exterior da esfera.
Exercı́cio 54 Numa esfera, uniformemente carregada com densidade de carga volúmica
ρ, é feita uma cavidade esférica, o centro da qual se encontra à distância d do centro da
esfera (ver Fig.7). Determine o campo electrostático no interior da cavidade.
R2
d
R1
Figura 7
Exercı́cio 55 Determine o potencial electrostático dentro e fora de um cilindro infinito
de raio R, uniformemente carregado com densidade de carga volúmica ρ. O potencial na
superfı́cie do cilindro é Φ(R) = Φ0 .
9
Exercı́cio 56 Um cilindro oco, infinitamente longo, está carregado uniformemente. O
raio interior é R e o raio exterior é 2R.
a) Determine o campo electrostático em todo o espaço.
b) Sabendo que o potencial na superfı́cie exterior do cilindro é Φ0 , determine o potencial
na superfı́cie interior.
Exercı́cio 57 Dois condutores longos, paralelos, situados à distância L um do outro,
encontram-se carregados uniformemente com carga por unidade de comprimento igual a
q e −q. Por aplicação da lei de Gauss para cada um dos condutoress, determine o campo
electrostático no ponto P , situado à distância H do plano que contém os dois condutores.
2.3
Energia electrostática
Exercı́cio 58 Um núcleo atómico contém N neutrões e Z protões. Considere que o
núcleo é construı́do adicionando um nucleão após outro e suponha ainda que os núcleos
são distribuı́dos uniformemente sobre uma esfera de raio R. Mostre que a contribuição
electroestática para a energia do sistema é
3 Z (Z − 1) e2
.
5 4π0 R
Exercı́cio 59 Suponha que um electrão em repouso não é pontual, mas uma camada
esférica de carga com raio a. Qual será o valor de a, supondo que toda a massa do
electrão é electrostática na origem, de modo a que a energia do campo possa ser igualada
a mc2 ?
2.4
Dipolos
Exercı́cio 60 Mostre que o momento do dipolo eléctrico de uma distribuição de carga
globalmente neutra (Q = 0) é independente da origem do sistema de coordenadas.
Exercı́cio 61 No interior de um cubo de aresta L está distribuı́da, uniformemente, uma
carga Q. Escolhendo a origem do sistema de coordenadas no centro do cubo, mostre que
o momento dipolar da distribuição é nulo.
Exercı́cio 62 Uma distribuição de carga é dada, em coordenadas esféricas, pela seguinte
densidade volumétrica:

 ρ0 sin2 θ , r < R
ρ =  R2
.
0,
r>R
Calcule os momentos monopolar e dipolar da distribuição.
Exercı́cio 63 Mostre que a intensidade do campo eléctrico de um dipolo eléctrico é
p √
E=
1 + 3 cos2 θ ,
4π0 r3
onde p é o momento do dipolo, R e θ são, respectivamente, as coordenadas radial e polar.
O centro do dipolo está situado na origem do sistema de coordenadas e orientado na
direcção θ = 0. O potencial do dipolo é
p·r
Φ(r) =
.
4π0 r3
10
Exercı́cio 64 Qual a energia potencial de dois dipolos p1 e p2 com distância relativa r?
Exercı́cio 65 Uma molécula de água (considerada como um dipolo eléctrico com |p| =
6, 17 × 10−30 C.m) está à distância de 2,5 Å de um catião com carga +e.
a) Qual é a configuração em que a energia potencial da molécula de água no campo do
ião é mı́nima?
b) Nessa configuração, a força é atractiva ou repulsiva?
c) Qual é a energia necessária para inverter a orientação da molécula?
2.5
Método das imagens
Exercı́cio 66 Uma carga Q está à distância a da superfı́cie de uma placa condutora
infinita (ver Fig.8).
a) Mostre que a densidade superficial de carga é
Q
a
σ=−
.
2
2π (a + r2 )3/2
b) Mostre que a carga total induzida na placa é igual a −Q.
c) Mostre que a força de atracção entre a carga Q e a placa é igual à força de atracção
entre duas cargas Q e −Q, situadas à distância 2d uma da outra.
Q
·
a
r
Figura 8
Exercı́cio 67 Determine a intensidade da força que actua numa carga pontual Q, que se
encontra situada sobre a bissectriz do ângulo recto formado por dois planos condutores e
à distância a da aresta (ver Fig.9(a)).
Exercı́cio 68 Duas cargas +Q e −Q estão à distância a uma da outra e à distância b de
um plano condutor infinito (ver Fig.9(b)). Sabendo que a = 2b determine a intensidade
da força que actua na carga −Q.
Exercı́cio 69 Utilizando o método das imagens, determine a força de atracção entre uma
carga Q e uma esfera metálica de raio R. A carga e o centro da esfera estão à distância
L e a esfera está ligada à terra (ver Fig.10).
11
Q
a
−Q
·
Q
·
·
b
a
θ
(a)
(b)
Figura 9
R
Y
Q
·
X
L
Figura 10
2.6
Condutores
Exercı́cio 70 Uma esfera condutora de raio a é colocada num campo eléctrico uniforme
E0 . Mostre que
σ(θ) = 30 E0 cos θ e que pind = 4π0 a3 E0 .
2.7
A equação de Laplace
Exercı́cio 71 Utilizando coordenadas cilı́ndricas, (r, φ, z), verifique quais dos seguintes
campos potenciais são soluções da equação de Laplace:
a) Φ = ln r ; b) Φ = r2 tan φ ; c) Φ = r cos φ ; d) Φ = ln r/z ; e) Φ = (cos φ) /r .
Exercı́cio 72 Um fio condutor longo de raio a, com carga por unidade de comprimento
igual a λ, é colocado ao longo do eixo Z num campo eléctrico uniforme E = E0 ex . Mostre
que o potencial resultante é
a2
λ
r−
cos φ −
ln r + constante (r ≥ a) .
r
2π0
!
Φ(r, φ, z) = −E0
12
2.8
Condensadores
Exercı́cio 73 Um fio, de raio a e carga Q, é colocado ao longo do eixo de um condutor
cilı́ndrico oco, de raio interior b e raio exterior c, ligado à terra. Negligenciando os efeitos
de fronteira, determine a capacidade do sistema.
Exercı́cio 74 Dois fios condutores infinitos, de raio a, encontram-se à distância d um do
outro. A carga por unidade de comprimento de um fio é Q, no outro é −Q. Sabendo que
d a, obtenha uma expressão aproximada para a capacidade do sistema.
13
3
3.1
Magnetostática
Densidade de corrente e campo magnético
Exercı́cio 75 A densidade de portadores de carga no cobre corresponde a 8,47×1028
m−3 . Um fio de cobre, com um diâmetro de 1 mm, transporta uma corrente de 10 A.
Determine a velocidade média dos portadores de carga.
Exercı́cio 76 Suponha que entre duas placas condutoras com espessura ∆, colocadas
paralelamente ao plano XY , uma entre z = 0 e z = ∆, a outra entre z = a e z = a + ∆,
existe um campo magnético uniforme e constante (B0 , 0, 0). Dentro das placas o campo
varia linearmente:

zB0



,
0,
0
se 0 < z < ∆

∆
!
B=
.
(z − a) B0



B
−
,
0,
0
se
a
<
z
<
a
+
∆
0

∆
Fora das placas (z < 0 e z > a + ∆) o campo é nulo. Qual a distribuição de corrente que
produz tal campo?
3.2
Propriedades do campo magnético
Exercı́cio 77 Mostre que um campo magnético radial, B(r) = B(r)er , não pode existir.
Exercı́cio 78 Um campo magnético B (r) é desprezável a grandes distâncias. Determine
um potencial vector A(r), tal que Az (r) = 0 (gauge axial).
Exercı́cio 79 Determine um potencial vector A(r) tal que B = ∇ × A = B0 ez , onde B0
é constante.
3.3
Força de Lorentz
Exercı́cio 80 Um electrão tem uma velocidade inicial perpendicular a um campo magnético
uniforme B = (0, 0, B). Mostre que o electrão se move em cı́rculos com uma frequência
angular ωc = eB/m. Mostre também que a trajectória do electrão é helicoidal, no caso de
uma orientação arbitrária da velocidade inicial em relação ao campo magnético uniforme.
Exercı́cio 81 Uma partı́cula com carga e e massa m move-se numa região com um campo
eléctrico uniforme E = (E, 0, 0) e um campo magnético B = (0, 0, B). Qual a trajectória
da partı́cula?
Exercı́cio 82 A equação do movimento para uma carga que se move num campo electromagnético estável é
dv
= Q (E + v × B) .
m
dt
Mostre que a equação da energia se escreve
1 2
mv + QΦ = constante ,
2
sendo Φ(r) o potencial electrostático.
14
3.4
Lei de Biot-Savart
Exercı́cio 83 Considere um fio condutor de comprimento infinito, orientado ao longo do
eixo Z, e percorrido no sentido positivo do eixo por uma corrente I (ver Fig.11). Determine
o campo magnético num ponto P de coordenadas (x, y, z). Com base na solução obtida
indique qual é o valor do campo no ponto de coordenadas (0, 0, z).
z
I
◦(x, y, z)
r
y
Y
x
X
Figura 11
Exercı́cio 84 Dois fios infinitos paralelos estão separados por uma distância a (ver
Fig.12). Determine o campo magnético entre os dois condutores quando eles são percorridos por correntes no mesmo sentido (Fig.12.a) ou em sentidos opostos (Fig.12.b).
a
a
I
a
I
a
I
(a)
I
(b)
Figura 12
Exercı́cio 85 Usando a lei de Biot-Savart, determine o campo magnético (intensidade e
direcção) criado por um laço circular de raio R, percorrido por uma corrente I,
15
a) no centro do laço;
b) no ponto P com coordenadas (0, 0, z) (ver Fig.13).
Z
P
·
r
R
I
I
Y
X
Figura 13
Exercı́cio 86 Uma bobina cilı́ndrica é composta por fios circulares de raio a, cada um
atravessado por uma corrente I, havendo n fios por unidade de comprimento (ver Fig.14).
Mostre que o módulo do campo magnético no eixo da bobina é
1
B = nIµ0 (sin θ2 − sin θ1 ) ,
2
com os ângulos θ1 e θ2 indicados na figura. Qual o valor de B no limite quando o
comprimento da bobina tende para infinito?
θ1
a
θ2
z0
z1
z2
a
××××××××
×××× ××××
Figura 14
16
Z
Exercı́cio 87 Dois laços de raio a, com os centros sobre o eixo dos Z e contidos em
planos paralelos ao plano XY , estão situados à distância a (ver Fig.15). Sabendo que os
laços são percorridos por correntes com a mesma intensidade I e o mesmo sentido, mostre
que o campo magnético é aproximadamente constante na região entre os laços.
Z
I
a
a/2
I
a/2
X
a
Y
Figura 15
Exercı́cio 88 Um condutor é enrolado em torno de uma esfera de madeira de raio R, de
tal modo que as espiras descrevem cı́rculos máximos que se intersectam nos extremos do
diâmetro AB (ver Fig.16). O número de espiras é 6, e os planos que as contêm formam
ângulos de 30◦ entre si. O condutor é percorrido por uma corrente de intensidade I.
Determine a intensidade do campo magnético no centro da esfera.
Exercı́cio 89 Um condutor fino é enrolado em torno de uma esfera isoladora de raio
R, de tal modo que N espiras cobrem metade da esfera, ficando paralelas e igualmente
espaçadas entre si (ver Fig.16). Sabendo que o condutor é percorrido pela corrente I,
determine a intensidade do campo magnético no centro da esfera. Sugestão: Para valores
grandes de N , as espiras podem ser consideradas, numa boa aproximação, como tendo a
forma de anéis.
3.5
Lei de Ampère
Exercı́cio 90 Um condutor cilı́ndrico, de comprimento infinito e de raio R, é percorrido
por uma corrente eléctrica I. Sabendo que a densidade de corrente eléctrica é uniforme
no condutor, determine o campo magnético dentro e fora deste condutor.
Exercı́cio 91 Um cabo coaxial consiste num condutor cilı́ndrico de raio a, envolto num
outro cilindro condutor de raio interno b1 e de raio externo b2 . O espaço entre os 2
condutores é preenchido por um material isolante. Uma corrente de intensidade I flui
através do condutor interior e retorna pelo condutor exterior. Use a lei de Ampère para
determinar o campo magnético nos condutores e na região entre eles. Assuma que a
densidade de corrente é constante.
17
A
1
2
3
4
5
I
6
R
N
N-1
...
B
12
(a)
(b)
Figura 16
Exercı́cio 92 Um condutor cilı́ndrico infinito, percorrido por uma corrente eléctrica I,
é constituı́do por dois cilindros coaxiais: um cilindro central de raio r1 , com resistividade
ρ1 , e outro cilindro oco de raio interior r1 e raio exterior r2 , com resistividade ρ2 (ver
Fig.17).
a) Mostre que que o cilindro interior é percorrido pela corrente
ρ2 r12
I1 = I
,
ρ1 (r22 − r12 ) + ρ2 r12
e o cilindro exterior é percorrido pela corrente
I2 = I
ρ1 r12 (r22 − r12 )
.
ρ1 (r22 − r12 ) + ρ2 r12
b) Determine o campo magnético para r ≤ r1 , r1 ≤ r ≤ r2 e r ≤ r2 .
r2
r1
ρ1
ρ2
Figura 17
18
3.6
Dipolos magnéticos
Exercı́cio 93 Mostre que o campo magnético B(r) associado ao momento magnético m
é dado pela expressão
"
#
µ0 3 (m · r) r
B(r) =
−m .
4πr3
r2
19
4
Campos dependentes do tempo
Exercı́cio 94 Considere um laço plano com área S, rodando num campo magnético
uniforme B em volta de um eixo no plano com velocidade angular ω, perpendicular a B.
Supondo que no instante t = 0 o plano que contém o laço é perpendicular a B, mostre
que o fluxo magnético através do laço é BS cos(ωt) e que a f.e.m. é BSω sin(ωt).
Exercı́cio 95 Uma esfera de raio 1 cm emite 1010 electrões por segundo, de tal modo
que a densidade de corrente fora da esfera é radial e tem simetria esférica.
a) Há campo magnético?
b) Como é que a equação de Maxwell que contém o termo é satisfeita neste caso?
Exercı́cio 96 Um campo magnético dependente do tempo, B = B(r, t)ez , tem simetria
cilı́ndrica em relação ao eixo Z. Mostre que o campo eléctrico é dado por
E=−
1 dF
eφ ,
2πr dt
onde F (r, t) é o fluxo magnético.
Exercı́cio 97 Considere o cabo coaxial do Exercı́cio 91.
a) Mostre que a energia magnética por unidade de comprimento na região entre os condutores é
!
µ0 I 2
b1
ln
.
4π
a
b) Se a b1 e b2 −b1 b1 , mostre que a indutância própria por unidade de comprimento
é, aproximadamente
!
µ0
b1
ln
.
2π
a
Exercı́cio 98 Dois solenóides longos, com raios a e b (a < b), têm cada um n espiras por
unidade de comprimento. Uma parte (com comprimento L) do solenóide mais fino é introduzida dentro do outro solenóide. Mostre que a indutância mútua é aproximadamente
L12 = µ0 n2 πa2 L .
Exercı́cio 99 Mostre que a indutância mútua entre dois laços circulares concêntricos, de
raios R1 e R2 , é aproximadamente
R12 R22
µ0 π
.
2 (R2 − R1 )3
20
5
Propriedades eléctricas da matéria
Exercı́cio 100 Encontre a relação entre os ângulos com a normal para um campo eléctrico
que passa pela superficie entre dois dieléctricos com permitividades relativas ε1 e ε2 , respectivamente.
Exercı́cio 101 Um filme de meio dieléctrico condutor (εr = 3,25, σ = 10−16 Ω−1 m−1 ),
com espessura de 25µm, é envolvido entre dois filmes de alumı́nio de largura 1 cm e comprimento 1 m. Qual a capacidade do condensador assim constituı́do? Qual a resistência
entre os filmes de alumı́nio? Quanto electrões passam entre os filmes de alumı́nio se a
diferença de potencial for 1 V?
Exercı́cio 102 Um condensador de placas paralelas está semi-preenchido com um lı́quido
isolante cuja constante dieléctrica é εr . Se Vh e Vv são as diferenças de potencial entre as
placas quando elas estão na horizontal e na vertical, respectivamente, mostre que
Vh
(1 + εr )2
=
.
Vv
4εr
Exercı́cio 103 Considere dois condensadores planos, contendo dois dieléctricos entre as
suas placas, tal como se mostra na figura Fig.18(a). A superfı́cie e a espessura dos
condensadores são, respectivamente, S e d; as constantes dieléctricas são ε1 e ε2 . Qual
dos dois condensadores, A e B, tem maior capacidade?
Exercı́cio 104 O espaço entre as placas de um condensador plano é preenchido com um
material dieléctrico cuja permitividade relativa é dada por
1
x
ε1 + (ε2 − ε1 )
ε0
D
εr =
(ver Fig.18(b).) As placas do condensador, de área S, estão carregadas com as cargas Q e
−Q, e encontram-se à distância d uma da outra. Calcular a capacidade do condensador.
X
ε1
ε1
ε2
Condensador A
-Q
ε2
D
+Q
Condensador B
(a)
(b)
Figura 18
Exercı́cio 105 Considere um condensador de placas paralelas quadradas de lado L, cuja
distância entre placas é d L. Um dieléctrico também de lado L e espessura ligeiramente
inferior a d é inserido no condensador até uma distância b d. Se o condensador está
21
isolado e contém uma carga Q, mostre que a energia eléctrica é aproximadamente dada
por
d
Q2
.
2
2ε0 L + (εr − 1) bL
Qual a força exercida sobre o dieléctrico?
Exercı́cio 106 Uma placa isoladora com constante dieléctrica ε e espessura L2 é introduzida num condensador, cujas placas se encontram à distância L1 + L2 uma da outra
(ver Fig.19). A superfı́cie da placa isoladora e das placas do condensador é S. A diferença
de potencial entre as placas do condensador é V . Determine a força de atracção entre as
placas do condensador.
Figura 19
22
6
Constantes fı́sicas
Significado
Sı́mbolo
Valor
Unidades
Aceleração da gravidade
Constante gravı́tica
Velocidade da luz no vácuo
Carga elementar
Constante de Coulomb
g
G, γ
c
e
K
(4πε0 )−1
ε0
µ0
α = e2 /2hcε0
h
h̄ = h/2π
µB = eh̄/2me
a0
Ry
µN
µe
9,80665
6, 67259 × 10−11
2, 99792458 × 108
1, 6021892 × 10−19
9 × 109
8,9876×109
8, 85418782 × 10−12
12, 5663706144 × 10−7
≈ 1/137
6, 6260755 × 10−34
1, 0545727 × 10−34
9, 2741 × 10−24
0, 52918
13,595
5, 0508 × 10−27
9, 2847701 × 10−24
m/s2
m3 /(kg·s2 )
m/s
C
N·m2 /C2
N·m2 /C2
F/m
H/m
1, 41060761 × 10−26
A·m2
2, 2463 × 10−12
1, 3214 × 10−15
m
m
1, 3195909 × 10−15
m
2, 817938 × 10−15
9, 109534 × 10−31
1, 6726485 × 10−27
1, 674954 × 10−27
1, 6605656 × 10−27
m
kg
kg
kg
kg
Constante eléctrica
Constante magnética
Constante da estructura fina
Constante de Planck
Constante de Dirac
Magnetão de Bohr
Ráio de Bohr
Constante de Rydberg
Magnetão nuclear
Momento magnético
do electrão
Momento magnético
µp
do protão
c.d.o de Compton
λCe = h/ (me c)
c.d.o de Compton
λCp = h/ (mp c)
para o protão
c.d.o de Compton
λCn = h/ (mn c)
para o neutrão
Raio do electrão
re
Massa do electrão
me
Massa do protão
mp
Massa do neutrão
mn
1
u.m.a.
mu = 12
m(126 C)
c.d.o = comprimento de onda
u.m.a = unidade de massa atómica, ou unidade elementar de massa
23
J·s
J·s
Am2
Å
eV
J/T
A·m2
7
Apêndice Matemático
7.1
Alfabeto grego
A
B
Γ
∆
E
Z
H
Θ
I
K
Λ
M
7.2
α
β
γ
δ
, ε
ζ
η
θ, ϑ
ι
κ
λ
µ
alfa
beta
gama
delta
epsilon
zeta
eta
teta
iota
kapa
lambda
miu
N
Ξ
O
Π
P
Σ
T
Υ
Φ
X
Ψ
Ω
ν
ξ
o
π, $
ρ, %
σ, ς
τ
υ
φ, ϕ
χ
ψ, ϕ
ω
niu
csi
omicron
pi
ró
sigma
tau
upsilon
fi
qui
psi
omega
Mudanças de Sistemas de Coordenadas
1. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z):
r=
q
x2 + y 2 , tan φ = y/x .
2. De coordenadas cilı́ndricas (r, φ, z) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ , y = r sin φ .
3. De coordenadas cartesianas (x, y, z) para coordenadas esféricas (r, θ, φ):
√ 2
tan θ =
x + y 2 /z
q
ou
r = x2 + y 2 + z 2 ,
, tan φ = y/x .
√
cos θ = z/ x2 + y 2 + z 2
4. De coordenadas esféricas (r, θ, φ) para coordenadas cartesianas (x, y, z):
x = r cos φ sin θ , y = r sin φ sin θ , z = r cos θ .
24
8
Sistemas de coordenadas
Z
(x, y, z)
◦
ez
ey
ex
z
Y
x
y
X
Coordenadas cartesianas
(x, y, z)
Z
Z
θ
(r, φ, z)
◦
ez
(r, θ, φ)
◦
r
z
er
Y
r
φ
er
Y
eθ
φ
eφ
eφ
X
X
Coordenadas cilı́ndricas
(r, φ, z)
Coordenadas esféricas
(r, θ, φ)
25
9
Limites notáveis
ln (1 + x)
=1.
x→0
x
1. lim
10
Séries
N
X
N (N + 1)
2
i=
i=1
N
X
,
N
X
i=1
i2 =
N (N + 1) (2N + 1)
6
,
N
X
i=1
i3 =
N 2 (N + 1)2
,
4
N h
i
X
1
m+1
i =
(N + 1)
−1−
(i + 1)m−1 − im+1 − (m + 1) im
m+1
i=1
i=1
11
)
.
Integrais indefinidas
dx
Z
1.
3.
(
m
(x2 +
Z
√
a2 )3/2
x
= 2√ 2
+C
a x + a2
2.
√
dx
2 + a2 + C
=
ln
x
+
x
x 2 + a2
26
Z
x
(x2 +
a2 )3/2
dx = − √
1
+C
+ a2
x2
12
Gradiente, divergência e rotacional
1. Em coordenadas cartesianas:
∂Ψ
∂Ψ
∂Ψ
+ ey
+ ez
,
∂x
∂y
∂z
(1)
∂Ax ∂Ay ∂Az
+
+
,
∂x
∂y
∂z
(2)
grad Ψ ≡ ∇Ψ = ex
divA ≡ ∇ · A =
rotA ≡ ∇ × A = ex
ey
ez ∂
∂x
∂
∂y
Ax
Ay
∂ ,
∂z Az (3)
onde Ψ = Ψ(x, y, z) e A(x, y, z) = Ax (x, y, z)ex + Ay (x, y, z)ey + Az (x, y, z)ez .
2. Em coordenadas cilı́ndricas:
∂Ψ
1 ∂Ψ
∂Ψ
+ eφ
+ ez
,
∂r
r ∂φ
∂z
(4)
1 ∂
1 ∂Aφ ∂Az
(rAr ) +
+
,
r ∂r
r ∂φ
∂z
(5)
∇Ψ = er
∇·A=
1 ∇×A= r
er
∂
∂r
reφ
∂
∂φ
Ar rAφ
ez ∂ ,
∂z Az (6)
onde Ψ = Ψ(r, φ, z) e A(r, φ, z) = Ar (r, φ, z)er + Aφ (r, φ, z)eφ + Az (r, φ, z)ez .
3. Em coordenadas esféricas:
∇Ψ = er
∂Ψ
1 ∂Ψ
1 ∂Ψ
+ eθ
+ eφ
,
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
"
(7)
#
1
∂ 2
∂
∂
∇·A= 2
r sin θAr +
(r sin θAθ ) +
(rAφ ) ,
r sin θ ∂r
∂θ
∂φ
1 ∇×A= 2
r sin θ er
∂
∂r
reθ
∂
∂θ
r sin θeφ ∂
∂φ
Ar rAθ r sin θAφ
,
onde Ψ = Ψ(r, θ, φ) e A(r, θ, φ) = Ar (r, θ, φ)er + Aθ (r, θ, φ)eθ + Aφ (r, θ, φ)eφ .
27
(8)
(9)
13
O Laplaciano
Para funções escalares Ψ:
div grad Ψ ≡ ∆Ψ = ∇ · ∇Ψ = ∇2 Ψ .
(10)
1. Em coordenadas cartesianas (Ψ = Ψ(x, y, z)):
∆Ψ =
∂2Ψ ∂2Ψ ∂2Ψ
+
+
.
∂x2
∂y 2
∂z 2
(11)
2. Em coordenadas cilı́ndricas (Ψ = Ψ(r, φ, z)):
1 ∂
∂Ψ
1 ∂2Ψ ∂2Ψ
∆Ψ =
r
+ 2 2 +
.
r ∂r
∂r
r ∂φ
∂z 2
!
(12)
3. Em coordenadas esféricas (Ψ = Ψ(r, θ, φ)):
∂2Ψ
1 ∂
∂Ψ
1
∂
∂Ψ
1
∆Ψ = 2
r2
+ 2
sin θ
+ 2 2
.
r ∂r
∂r
r sin θ ∂θ
∂θ
r sin θ ∂φ2
!
!
(13)
Para funções vectoriais A:
∆A = grad div A − rot rot A = ∇ (∇ · A) − ∇ × (∇ × A) .
14
(14)
O teorema de Stokes
Z
(∇ × A) · dS =
S
I
A · dl ,
L
onde L corresponde à fronteira da área S, dS representa a normal à superfı́cie S e dl é
o vector de deslocamento elementar ao longo da curva fechada L. A direcção de dl deve
estar relacionada com a direcção de dS pela regra da mão direita.
15
O teorema da divergência
Z
(∇ · A) dV =
V
I
A · dS ,
S
onde S corresponde à área exterior do volume V . A normal à superfı́cie, dS, dever estar
orientada para o exterior da superfı́cie fechada S.
28