EXPLORANDO CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA: UMA

II SEMINÁRIO DE ESCRITAS E LEITURAS EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA (II SELEM)
EXPLORANDO CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA: UMA EXPERIÊNCIA
(COM) PARTILHADA
Nilvana Moreti
Universidade Federal de Lavras
[email protected]
Francilmar Andreia da Silveira
Universidade Federal de Lavras
[email protected]
Paola Vitor Firmiano
Universidade Federal de Lavras
[email protected]
Zilda Altomare
Escola Municipal Álvaro Botelho
[email protected]
Silvia Maria Medeiros Caporale
Universidade Federal de Lavras
[email protected]
Resumo
Neste trabalho apresentamos um recorte do projeto “Encaixando Ideias: a Geometria
dos Mosaicos”, cujo objetivo foi trabalhar com conteúdos de geometria na perspectiva
da resolução de problemas. Foi proposto aos alunos de uma turma de nono ano de uma
Escola Municipal da cidade de Lavras/MG, que confeccionassem um tabuleiro de
xadrez feito com ladrilhos em uma mesa circular. Apresentamos uma etapa das
atividades que contempla conteúdos relativos ao comprimento da circunferência. Esse
conteúdo era essencial para a inscrição de um quadrado (tabuleiro) na circunferência
(mesa circular). Inicialmente apresentamos a “história do número pi” com a finalidade
de que os alunos compreendessem a origem desse número e posteriormente obtivessem
a fórmula do comprimento da circunferência. Partimos de um experimento em que os
alunos utilizaram objetos circulares, barbante e régua para realizarem as medidas das
circunferências e seus respectivos diâmetros. Concluímos que o procedimento de
trabalho adotado, apoiado na perspectiva da resolução de problemas, favoreceu aos
alunos a compreensão da relação entre comprimento e diâmetro da circunferência, da
fórmula utilizada para o cálculo do comprimento da circunferência e para a confecção
das mesas.
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Palavras-chave: Matemática, geometria, círculo.
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INTRODUÇÃO
Fazemos parte do Programa Institucional de Bolsas de Iniciação à Docência(PIBID) de Matemática, da Universidade Federal de Lavras (UFLA), na cidade de
Lavras/MG. O programa visa à formação de professores, a busca pela melhoria da
qualidade na educação básica, bem como a inserção de experiências de caráter inovador
abrangendo teoria e prática.
Nosso grupo de trabalho é composto por seis alunos da graduação, uma
professora orientadora (todos estes da UFLA) e uma professora supervisora da Escola
Municipal na qual atuamos. O grupo de trabalho (GT) se reúne semanalmente na
universidade. A dinâmica dos encontros tem como ponto de partida estudo de textos, a
realização do (re) planejamento das tarefas e a avaliação dos resultados. Também temos
como prática de grupo, a elaboração de narrativas referentes ao processo de formação
vivenciado.
Para o ano de 2012 foi sugerido pela professora orientadora que trabalhássemos
com geometria a partir da perspectiva da resolução de problemas. De acordo com que
nos foi proposto a professora supervisora sugeriu a construção de mosaicos. Para isso,
fizemos um levantamento de quais conteúdos geométricos seriam contemplados e em
seguida iniciamos os trabalhos tendo como referência os livros: “A Geometria dos
Mosaicos” (IMENIS) e os capítulos 4 (Ensinando pela Resolução de Problemas) e 5
(Planejamento em uma Sala de Aula Baseada em Resolução de Problemas) do livro
“Matemática no Ensino Fundamental – Formação de Professores e Aplicação em Sala
de Aula” (VAN DE WALLE, 2009).
Durante o estudo realizado com o livro “A Geometria dos Mosaicos”
constatamos que mosaicos além de formas bonitas, estão estritamente ligados à prática
da geometria, pois além da precisão e senso estético existente por trás deles, há um
grande número de conceitos geométricos aplicados na sua construção. Logo, a partir da
construção de mosaicos pode-se ensinar geometria de forma mais atrativa e
significativa.
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Assim, iniciamos o planejamento visando trabalhar com: ângulos, polígonos,
semelhança de figuras, semelhança de triângulos, isometria, razão e proporção,
perímetro e área, ampliação e redução e conteúdos referentes a círculo e circunferência
(corda, diâmetro, raio, comprimento, área e quadrado inscrito) a partir da resolução de
problemas. Pois, de acordo com Van de Walle (2009)
Os estudantes devem resolver problemas não para aplicar
matemática, mas para aprender nova matemática. Quando
os alunos se ocupam de tarefas bem escolhidas baseadas
na resolução de problemas e se encontram nos métodos de
resolução, o que resulta são novas compreensões da
matemática embutida na tarefa. (VAN DE WALLE, 2009,
p.57).
Assim
como
o
autor
acreditamos
que
com
essa
metodologia
o
ensino/aprendizagem se torna mais eficaz na significação dos conceitos. A partir disso
fizemos o planejamento e os planos de aula e fomos para escola colocar tudo que
aprendemos em prática, com a certeza que juntos com os alunos iríamos aprender ainda
mais.
Convidamos os alunos a participarem do projeto “Encaixando Ideias: a
geometria dos mosaicos” que tinha como objetivo trabalhar os conceitos de geometria
plana e a construção de mosaicos geométricos e artísticos. Em seguida apresentamos
alguns mosaicos utilizando PowerPoint para facilitar a apresentação. Os alunos
gostaram muito das imagens, alguns se lembraram de mosaicos que já haviam visto em
revestimentos de pisos e paredes.
CONSTRUINDO O CONCEITO DE CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA
Destacamos que a professora supervisora trabalhava com três turmas de nonos
anos e uma turma de sexto ano. O 9º ano A ficou responsável por criar e revestir com
ladrilhos quadros decorativos com temas musicais; o 9º ano B, o tema de natureza; o 9º
C as mesas de jogos e o 6º ano quadros revestidos com mosaicos geométricos.
Dividimos a turma em grupos de cinco alunos e pedimos que elegessem dentro do
grupo um relator, pois o relato escrito feito pelos alunos seria importante para a
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avaliação dos trabalhos e nos ajudaria a verificar quais eram seus anseios, suas
expectativas e ainda, se estava ocorrendo aprendizagem. E como afirma Van de Walle
(2009) “O ato da escrita é um processo reflexivo. Conforme os estudantes se esforçam
para explicar seus raciocínios e defender suas respostas, eles passarão um período mais
concentrado pensando nas idéias envolvidas (WALLE, 2009, p. 73)”.
Como este foi um projeto extenso não cabe aqui descrever todas as atividades
desenvolvidas, por isso vamos nos deter apenas em algumas desenvolvidas com a turma
de 9º ano C, na qual havia vinte e oito alunos. Como ficou decidido que esta turma
trabalharia com as mesas de jogos, especificamente tabuleiro de xadrez, foi necessário
que o planejamento contemplasse os conceitos referentes a círculo e circunferência
(mesa formato circular) e a inscrição do quadrado na circunferência (tabuleiro de
xadrez).
Na primeira aula, com os alunos organizados em seus grupos, distribuímos a
primeira atividade que trazia os seguintes questionamentos: o que é círculo? O que é
circunferência? Será que existe diferença entre um e outro? Se existe, qual ou quais?
Verificamos com isso, que os alunos não sabiam diferenciar círculo de circunferência.
Então, com o auxílio de slides fizemos a introdução do conceito de círculo e
circunferência, devolvemos a atividade e pedimos para que os alunos definissem, com
suas palavras, círculo e circunferência e que socializassem suas conclusões com toda a
turma.
Figura 1: Percepção de um aluno a respeito de circulo e circunferência
Percebemos que foi produtivo esse momento, os alunos participaram ativamente,
expondo suas reflexões e com isso sentimos que suas dúvidas foram sanadas.
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Finalizamos a aula exibindo novamente em slides os conceitos formais de círculo e
circunferência.
Dando continuidade ao planejamento iniciamos a segunda aula com uma
atividade que abordava os conceitos de corda, diâmetro e raio. Propomos aos alunos que
escrevessem o que conheciam sobre o assunto. Depois de certo tempo pedimos que cada
grupo expusesse suas ideias. Alguns conseguiram fazer relações entre o raio da
circunferência e o raio da roda da bicicleta, relacionando ao conceito formal. Em
seguida fomos para a lousa e juntos construímos gradativamente os conceitos.
Depois que haviam compreendido o que era corda passamos a traçar várias
cordas de diferentes tamanhos com o objetivo de demonstrar quais poderiam ser
denominadas diâmetro. Aproveitamos o momento oportuno para formalizar o conceito
de raio. Exibimos em slides algumas tirinhas de diálogos que tratavam do conteúdo
trabalhado, para que os alunos pudessem analisar se o que estava sendo afirmado estava
correto ou não.
Figura 2: tirinhas de diálogos
Figura 3: comentário do aluno
Este momento serviu para constatarmos que os alunos haviam compreendido os
conceitos de corda, diâmetro, raio, círculo e circunferência, pois a participação dos
alunos nos trouxe a tranquilidade de que esses conceitos foram apropriados. Saímos dali
com a sensação do dever cumprido.
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Demos sequência ao planejamento, agora questionando como poderíamos
encontrar o centro de uma circunferência. Alguns alunos responderam que era somente
fixar um ponto no meio da circunferência. Mas não sabiam como precisar esse ponto,
então pedimos que procedessem da seguinte maneira:
Passo 1: Construir uma circunferência;
Passo 2: Traçar uma corda de qualquer tamanho na circunferência;
Passo 3: Encontrar o ponto médio e traçar uma segunda corda perpendicular a primeira;
Passo 4: Encontrar o ponto médio da segunda corda.
Decidimos acompanha-los passo a passo no quadro, percebemos durante esse
processo que alguns alunos apresentaram dificuldades, pois, não sabiam o que era ponto
médio, reta perpendicular, etc.. Durante este momento os auxiliamos sanando suas
dúvidas e simultaneamente encontramos o centro da circunferência.
A partir das reflexões feitas na reunião semanal do GT-PIBID percebemos a
necessidade de apresentar aos alunos outra maneira de encontrar o centro da
circunferência, uma vez que, a forma que havíamos utilizado não era a mais precisa. Ao
sermos questionados pela professora orientadora, como faríamos se a medida da corda
traçada correspondesse a um número fracionário, com certeza teríamos dificuldades de
encontrar o ponto médio com precisão.
A partir dessa reflexão decidimos utilizar um novo procedimento, para isso
disponibilizamos régua e compasso, em seguida pedimos que procedessem de acordo
com as seguintes instruções:
1- Construir uma circunferência usando o compasso;
2- Traçar uma corda qualquer;
3- Colocar a ponta seca do compasso em uma das extremidades da corda e com
uma determinada abertura construir um semicírculo;
4- Proceder da mesma maneira na outra extremidade da corda;
5- Trace uma reta passando pelas intersecções dos dois semicírculos;
6- Com esta nova corda, construa uma reta seguindo os passos 3,4 e 5.
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A intersecção das duas últimas cordas será o centro da circunferência.
Figura 4: achando o centro da circunferência
Notamos que os alunos demonstraram dificuldades em manusear o compasso e
por isso demoraram a concluir a proposta. Alguns relataram ter mais facilidade na
construção anterior, porém, argumentamos o porquê desse último método ser o mais
preciso.
Para introduzirmos o comprimento e área da circunferência, achamos que seria
interessante apresentar a história do número π a partir de alguns slides para otimizar o
tempo que tínhamos disponível. Em seguida disponibilizamos alguns objetos em forma
cilíndrica de diferentes diâmetros, pedaços de barbantes, régua e uma tabela feita em
cartolina.
Pedimos aos alunos que medissem as circunferências de três desses objetos com
o barbante, anotassem na tabela e em seguida reproduzisse-as em uma folha que lhes foi
entregue. (Figura 5). Feito isso solicitamos que encontrassem o centro dessa reprodução
para então traçar o diâmetro. Orientamos para que dividissem a medida do comprimento
pela medida do diâmetro e também anotassem na tabela.
Depois que terminaram esse procedimento, eles perceberem que os valores
encontrados eram próximos uns dos outros. Devido à flexibilidade do barbante os
valores variavam mais do que esperávamos (Figura 6).
Figura 5: Medindo circunferências
Figura 6: Tabela para encontrar π
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Mesmo assim, os alunos observaram que os valores encontrados eram próximos
do número π (3,14), com isso compreenderam a origem desse número.
Apesar da distorção dos resultados encontrados pelos alunos, acreditamos que o
uso de material manipulativo favoreceu a aprendizagem, pois
Eles funcionam como recursos didáticos auxiliares e
representativos do processo de construção dos conceitos
geométricos, em suas correlações com os aspectos
intuitivo, experimental e teórico da geometria. (SANTOS,
2006, p.24).
Retornamos à tabela com os valores da divisão do comprimento da
circunferência pelo seu diâmetro e demonstramos que se π = C/D então, C = π*D.
Como já havia sido trabalhado em aulas anteriores que o diâmetro é igual duas vezes o
raio, concluímos que C=2*π*r, esse momento foi muito tranquilo, os alunos
acompanharam a ideia de como chegamos à fórmula. Finalizando apresentamos alguns
exemplos para aplicação da fórmula do comprimento da circunferência em alguns
problemas. Os alunos interagiram bastante nesse momento.
Durante a socialização realizada com os alunos fizemos novos questionamentos
sobre como encontrar o comprimento da circunferência sem o auxilio do “barbante”.
Então expusemos alguns exemplos de como a fórmula do comprimento é utilizada para
resolver problemas matemáticos.
Dessa forma os alunos perceberam que era possível encontrar o comprimento da
circunferência substituindo o valor do raio na fórmula que havia chegado anteriormente.
Na sequência com o objetivo de demonstrar a fórmula da área do círculo,
dividimos um círculo em vários triângulos iguais, tomando cuidado para que não se
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separassem. A partir da área do retângulo associada ao comprimento da circunferência
chegamos à fórmula da área do círculo.
Figura 7: Cálculo do comprimento da circunferência das mesas
Notamos que os alunos tiveram dificuldade em compreender a demonstração
desta fórmula. Pensamos que isso aconteceu por eles não estarem acostumados a esse
tipo de procedimento, pois geralmente as fórmulas são dadas prontas.
Antes de irmos para a construção das mesas, era preciso ainda trabalhar com o
quadrado inscrito na circunferência, já que nas mesas seriam montados tabuleiros de
xadrez. Para isso, planejamos uma aula prática para inscrevermos o quadrado nas
mesas.
Antes de iniciarmos fizemos vários questionamentos a respeito do que havia sido
trabalhado até sido apropriados, aproveitamos para dizer que para um quadrado para
estar inscrito numa circunferência é necessário que seus quatro vértices pertençam a
circunferência. Essa aula aconteceu no laboratório de biologia da escola onde as mesas
que iriam ser revestidas estavam.
Para instigá-los iniciamos perguntando como poderíamos dividir uma
circunferência em quatro partes iguais.
Apresentamos algumas das respostas dos
alunos.
Aluno A: Traçar dois diâmetros um da horizontal e outro na vertical.
Aluno B: Traçando o raio.
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Aluno C: Fazendo duas retas.
Aluno D: Precisamos primeiro encontrar o centro dessa circunferência para
então traçarmos o diâmetro.
Disponibilizamos para cada grupo uma mesa circular e o passo a passo de como
inscrever um quadrado na circunferência, o qual orientava os alunos a traçarem um
diâmetro para isso precisaram encontrar o centro da circunferência. Os alunos utilizaram
a primeira maneira que ensinamos para encontrar esse centro, pois era a maneira que
acharam mais fácil e também porque não havia material adequado para que fosse feito
de outro modo.
Em seguida traçaram outro diâmetro perpendicular ao primeiro, após terem feito
isso, perceberam que a circunferência havia sido dividida em quatro partes iguais, então,
uniram as extremidades dos diâmetros construindo assim o quadrado. Nesse momento
os alunos se mostraram entusiasmados com a atividade. Devido o tamanho da mesa
solicitamos a eles que fizessem um novo quadrado interno ao inscrito para que as casas
do jogo não ficassem grandes.
Para
finalizarmos
pedimos
aos
alunos
que
respondessem
alguns
questionamentos, com o objetivo de avaliarmos os conteúdos desenvolvidos. O próximo
passo seria o revestimento das mesas com ladrilhos.
Figura 8: Revisando o conteúdo
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Percebemos que os alunos não são organizados ao resolverem problemas. Não
fizeram levantamento dos dados antes de começarem a calcular o que havia sido pedido,
tornando seu trabalho mais difícil. Eles sabiam o que fazer e como fazer, porém se
atrapalhavam por falta de organização, ou seja, não coletavam os dados previamente.
Neste momento houve uma intervenção maior dos alunos do PIBID.
A partir dos cálculos das áreas referentes à mesa de jogos efetuados por eles,
buscamos material necessário (pisos, azulejos e pastilhas) em construções e em algumas
lojas para fazermos os revestimentos. Os alunos tiveram muito presentes nesse
momento.
Esses materiais foram coletados e organizados no laboratório de biologia onde o
trabalho de revestimento foi realizado. Como o tabuleiro de xadrez é constituído por 64
quadrados, no qual havia trinta e duas peças brancas e trinta e duas peças pretas. Estes
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foram cortados por um dos integrantes do GT utilizando um instrumento denominado
riscadeira. Enquanto que a área restante da mesa seria revestida com pequenos pedaços
irregulares de pisos (cacos).
Achamos que não era conveniente a parte artística do projeto ser trabalhada no
horário de aula, por isso marcamos com os alunos para irem à escola no contra turno.
Essa parte foi muito prazerosa, pois os alunos se envolveram com muito empenho e
determinação. Houve inclusive brincadeiras entre os alunos para ver qual mesa ficaria
mais bonita.
As peças foram coladas utilizando-se cola branca. Depois de coladas as peças
foram rejuntadas com rejunte para pisos. Os alunos pintaram as bordas das mesas e seus
pés com tinta preta, para finalizar este trabalho foi realizada uma exposição de todo o
projeto na escola. Na exposição os alunos ficaram responsáveis por apresentar aos
visitantes os conteúdos que trabalharam durante o semestre.
Figuras 9, 10 e 11: Revestimento das mesas
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Considerações Finais:
Notamos
que
os
desenvolvimentos
das
atividades
atenderam
nossas
expectativas, percebemos que os alunos foram bem ativos durante a realização destas.
Apesar disso, houve pequenas diferenças encontradas pelos alunos, como por exemplo,
na atividade utilizando o barbante, devido a sua flexibilidade, para encontrar o valor de
π, este fato não prejudicou a proposta daquela atividade. O uso do material manipulativo
tornou a aula mais eficiente, despertando o interesse dos alunos pelo conteúdo,
incentivando-os a análise e a construção dos conceitos, pois o manuseio dos objetos foi
fundamental para a compreensão desses conceitos.
Destacamos que as reuniões semanais do GT foram fundamentais para o (re)
planejamento da proposta. Mesmo assim percebemos que durante as aplicações das
atividades tivemos surpresas, as quais propiciaram questionamentos dentro do GT e
também na sala de aula.
Percebemos, através da exposição, que os alunos se sentiram responsáveis e
capazes ao apresentar para os visitantes o trabalho desenvolvido. Acreditamos que a
participação dos alunos em todo o processo e na exposição possibilitou a todos nós,
integrantes do PIBID, um crescimento em nossa formação como futuros professores. De
acordo com COSTA (2004)
A participação autêntica se traduz para o jovem num
ganho de autonomia, autoconfiança e autodeterminação,
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numa fase da vida em que ele se procura e se experimenta,
empenhado que está na construção da sua identidade
pessoal e social e no seu projeto de vida.(COSTA, 2004,
p.1).
No final do trabalho, relendo alguns relatórios percebemos que havia alunos que
estavam se interessando pelo conteúdo por causa da metodologia usada e pela atenção
que dávamos a eles.
Referências Bibliográficas
COSTA, Antônio Gomes. Protagonismo Juvenil: O que é e como praticá-lo. Associação
Brasileira para o Desenvolvimento de Lideranças. Entrevista disponível em:
http://www.lead.org.br/article/view/~394/1/186. Acesso em: 08 de setembro, 2007.
IMENIS, M. L. (1996). Vivendo a Matemática: A Geometria dos Mosaicos. 9º ed.
São Paulo: editora Scipione.
SANTOS, M. R. (2006). Pavimentação do plano: Um estudo com professores de
matemática e arte. 177 p. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática). Instituto
de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, SP,
Brasil.
VAN DE WALLE, John A. Matemática no ensino fundamental: formação de
professores e aplicação em sala de aula. Porto Alegre: Artmed, 2009.
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