MATEMÁTICA e RACIOCÍNIO LÓGICO

Transcrição

Raciocínio Lógico
Prof. Cláudio da Cunha Kidricki
MATEMÁTICA e RACIOCÍNIO LÓGICO
SUMÁRIO
1. Conjuntos, 2
2. Contagem, 7
3. Probabilidades, 21
4. Aritmética e Álgebra, 36
5. Números e Grandezas Proporcionais, 39
6. Sistema Métrico Decimal, 58
7. Geometria e Trigonometria, 64
1
Raciocínio Lógico
1. CONJUNTOS
►SUBCONJUNTOS
Conjuntos: A, B, C, ...
Elementos: a, b, c, ...
Pertinência: ∈ (símbolo usado entre um elemento e o conjunto ao qual ele pertence.
Inclusão: ⊂ (símbolo usado entre um conjunto e outro conjunto do qual ele é subconjunto).
A ⊂ B:
A
B
“Um conjunto com n elementos admite exatamente 2n subconjuntos”.
Exemplo: Determine todos os subconjuntos do conjunto A= { a, b, c }.
Solução: Ф, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c}.
Veja que o número de subconjuntos de A é 23=8.
►OPERAÇÕES COM CONJUNTOS
Intersecção (∩
∩)
A∩
∩B = {x|| x∈
∈A e x∈
∈B}
A
B
União ( ∪ )
A∪
∪B= {x|| x∈
∈A ou x∈
∈B}
A
(“ou” não exclusivo)
B
2
Raciocínio Lógico
Número de Elementos da União
Sendo:
n(A)= nº de elementos do conjunto A
n(B)= nº de elementos do conjunto B
n(A∩B)= nº de elementos do conjunto A∩B
n(A∪B)= nº de elementos do conjunto A∪B, temos
n(A∪
∪B) = n(A) + n(B) – n(A∩
∩B)
Exemplo: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6 }, B = { 5, 6, 7, 8, 9 }
n(A∪B) = 6 + 5 – 2 = 9
A
•3
1 • •2
1
•4
•5
•6
B
•7
•9
•8
Diferença ( - )
A – B = { x|x∈A e x∉B }
A
B
Observação: se A ⊂ B , então B-A é dito complementar de A em relação a B e é
representado por CBA ( A' ou A se B = conjunto universo= U).
Diferença Simétrica ( ∆)
A ∆ B = {x | ou x∈A ou x∈B }
A
(“ou” exclusivo)
B
Produto Cartesiano ( x )
AxB = { (x,y) | x∈
∈A e y∈
∈B }
Número de Elementos do Produto Cartesiano: n(AxB) = n(A). n(B)
Exemplo: Determine o número de pares ordenados do conjunto AxB, sendo
A= {a, b, c } e B = {1, 2 }.
Solução: n(AxB) = 3x2= 6
3
Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS
01) Dados os conjuntos A= { 0, 1 }, B= { 1, 2, 3 } e C= { 0, 2 }, determine:
a) A∩B
b) B∪C
c) A - B
d) B - A
e) A x B
f) B x C
g) O número de subconjuntos de A, de B e de C
h) O número de subconjuntos de A x B e de B x C
Resp.: a) {1} b) {0,1, 2, 3} c) {0} d) {2, 3} e) {(0,1), (0,2), (0,3), (1,1), (1,2) (1,3)}
f) {(1,0), (1,2), (2,0), (2,2), (3,0), (3,2)}
h) 26, 26
g) 22, 23, 22
02) Seja A um conjunto com 8 elementos. O número total de subconjuntos de A é
a) 8
b) 256
c) 6
d) 128
e) 100
Resp.: b
03) Se A e B são dois conjuntos tais que A ⊂ B e A ≠ ∅, então
a) se x∈A, então x∉B
b) se x∈B, então x∉A
c) se x∈B, então x∈A
d) se x∉B, então x∉A
e) A∩B = ∅
Resp.: d
04) Num universo de 800 pessoas é sabido que 200 delas gostam de samba, 300 de rock e 130
de samba e rock. Quantas pessoas não gostam nem de samba nem de rock?
a) 800
b) 730
c) 670
d) 560
e) 430
Resp.: e
05) Se A, B e A∩B são conjuntos com 90, 50 e 30 elementos, respectivamente, então o número
de elementos do conjunto A∪B é
a) 10
b) 70
c) 85
d) 110
e) 170
Resp. : d
06) Analisando-se as carteiras de vacinação das 84 crianças de uma creche , verificou-se que 68
receberam a vacina Sabin, 50 receberam a vacina contra sarampo e 12 não foram vacinadas.
Quantas dessas crianças receberam as duas vacinas?
a) 11
Resp. : e
b)18
c) 22
d) 23
e) 46
4
Raciocínio Lógico
07) Numa comunidade constituída de 1800 pessoas, há 3 programas de TV favoritos: Esporte
(E), Novela (N) e Humorismo (H). A tabela seguinte indica quantas pessoas assistem a esses
programas:
Programas
E
N
H
EeN
NeH
EeH
E, N e H
Nº de telespectadores
400
1220
1080
220
800
180
100
Através desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assiste a
qualquer dos 3 programas é
a) 100
b) 200
c) 900
d) 1 000
e) 1 100
Resp.: b
08) Uma empresa entrevistou 300 de seus funcionários a respeito de 3 embalagens A, B e C,
para o lançamento de um novo produto. O resultado foi o seguinte: 160 indicaram a embalagem
A; 120 indicaram a embalagem B; 90 indicaram a embalagem C; 30 indicaram as embalagens A
e B; 40 indicaram as embalagens A e C; 50 indicaram as embalagens B e C; 10 indicaram as 3
embalagens. Dos funcionários entrevistados, quantos não tinham preferência por nenhuma das 3
embalagens?
a) É impossível calcular
Resp.: d
b) 60
c) 55
d) 40
e) 80
09)(ESAF)-Numa pesquisa de opinião sobre três revistas A, B e C, foi obtido o seguinte
resultado: 700 pessoas liam a revista A, 500 liam a revista B, 400 liam a revista C, 250 liam as
revistas A e B, 180 liam as revistas A e C, 110 liam as revistas B e C, 30 liam as três revistas e
110 não liam nenhuma. Quantas pessoas foram consultadas e quantas liam apenas uma das três
revistas?
a) 1.090 e 520
b) 1.110 e 430
c) 1.200 e 610
d) 1.600 e 680
e) 1.710 e 430
Resp.: c
10) Feito exame de sangue em um grupo de 200 pessoas, constatou-se o seguinte: 80 delas têm
sangue com fator RH negativo, 65 têm sangue tipo O e 25 têm sangue tipo O com fator RH
negativo. O número de pessoas com sangue de tipo diferente de O e com fator RH positivo é
a) 40
b) 65
c) 80
d) 120
e) 135
Resp.: c
5
Raciocínio Lógico
11) Numa escola há n alunos. Sabe-se que 56 alunos lêem o jornal A, 21 lêem os jornais A e B,
106 lêem apenas um dos jornais e 66 não lêem o jornal B. O valor de n é
a) 249
b) 137
c) 158
d)127
e)183
Resp.: c
12) (ESAF)- Uma pesquisa entre 800 consumidores, sendo 400 homens e 400 mulheres,
mostrou os seguintes resultados:
• do total de pessoas entrevistadas:
500 assinam o jornal X
350 têm curso superior
250 assinam o jornal X e têm curso superior
• do total de mulheres entrevistadas:
200 assinam o jornal X
150 têm curso superior
50 assinam o jornal X e têm curso superior.
O número de homens entrevistados, que não assinam o jornal X e não têm curso superior é,
portanto, igual a
a) 50
b) 100
c) 0
d) 200
e) 25
Resp.: b
13) Numa sala de aula com 60 alunos, 11 jogam xadrez, 31 são homens ou jogam xadrez e 3
mulheres jogam xadrez. Qual o número de homens que não jogam xadrez?
Resp.: 20
14) Numa prova constituída de duas questões, 300 alunos acertaram apenas uma das questões,
260 acertaram a segunda questão, 100 acertaram as duas questões e 210 erraram a primeira
questão. Quantos alunos fizeram a prova?
Resp. 450
6
Raciocínio Lógico
2. CONTAGEM
►PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM)
“ Se um determinado evento pode ocorrer em k etapas sucessivas e independentes E1, E2,
E3,..., Ek, sendo n1, n2, n3,...,nk o número de possibilidades de ocorrer cada etapa E1, E2, E3,..., Ek,
respectivamente, então o número de possibilidades de ocorrerem todas as etapas, ou seja,
ocorrer E1 e E2 e E3 e... ...e Ek, é igual ao produto n1.n2.n3....nk “.
Exemplo
Vanessa comprou 2 calças, 2 tênis e 3 blusas . Quantas possibilidades que ela tem de vestir
uma calça, 1 tênis e uma blusa usando essas peças novas?
Solução:
O desenho acima, conhecido como a “Árvore das Possibilidades”, mostra todas as 12
possibilidades que Vanessa tem para escolher uma calça, um tênis e uma saia.
Utilizando o Princípio Multiplicativo (PM), chegamos ao mesmo resultando, sem desenhar a
árvore das possibilidades, o que é muito mais rápido e prático. Então, pelo PM, temos:
Etapa E1: escolha de uma calça: 2 possibilidades.
Etapa E2: escolha de um tênis: 2 possibilidades.
Etapa E3: escolha de uma blusa: 3 possibilidades.
Nº de possibilidades para escolher uma calça, um tênis e uma blusa:
2.2.3 = 12 possibilidades.
Obs.: O PM utiliza o conetivo e, que está associado à Intersecção de Conjuntos.
7
Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS
(CESPE) O BB oferece aos investidores do mercado financeiro vários fundos de
investimento. Alguns deles estão mostrados na tabela abaixo.
Fundo
Classificação de risco
Taxa de
administração
BB Curto Prazo mil
BB Referenciado DI mil
BB Referenciado DI LP
mil
BB Referenciado DI 10 mil
BB Referenciado DI LP 50
mil
BB Renda Fixa mil
BB Renda Fixa LP Índice
de Preço 20 mil
BB Renda Fixa Bônus
Longo Prazo
BB Renda Fixa 25 mil
BB Renda Fixa LP
Premium 50 mil
BB Multimercado
Moderado LP 10 mil
muito baixo
muito baixo
baixo
3,00%
3,00%
3,00%
muito baixo
baixo
2,50%
1,00%
baixo
alto
3,00%
1,50%
baixo
2,00%
baixo
médio
2,00%
1,00%
muito alto
1,50%
Considerando apenas os investimentos mostrados na tabela acima, julgue o item seguinte.
01. Se um investidor pretende aplicar, simultaneamente, em 3 tipos diferentes de fundo de
investimento e aceita que a taxa de administração do primeiro seja de 3%, a taxa do
segundo seja de 2% e a do terceiro seja de 1%, então ele tem mais de 15 formas diferentes
de compor suas opções de investimento.
Solução: a tabela mostra
Taxa de administração = 3%: 4 fundos;
Taxa de administração = 2%: 2 fundos;
Taxa de administração = 1%: 2 fundos.
Pelo Princípio Multiplicativo(PM), teremos um total de 4x2x2 = 16 formas diferentes de
composição.
O item está Certo.
02. Quantos números naturais de 2 algarismos diferentes podemos formar usando 4, 5, 6 e
7?
Solução
___
___
↓
↓
4
3
Etapas:
Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades (ou 4, ou 5, ou 6, ou 7).
8
Raciocínio Lógico
Escolha do 2º algarismo: 3 possibilidades (porque não podemos repetir o 1º algarismo
escolhido).
Total: de acordo com o PM, teremos um total de 4.3 = 12 números.
Observação
Acabamos de calcular o número de Arranjos simples de 4 elementos, tomados 2 a 2, que se
representa por A4,2 .
03. Quantos números naturais de 2 algarismos podem ser formados usando os dígitos 2, 3,
4 e 5?
Solução
___
___
↓
↓
4
4
Etapas:
Escolha do 1º algarismo: 4 possibilidades.
Escolha do 2º algarismo: 4 possibilidades (porque podemos repetir o 1º algarismo escolhido).
Total: de acordo com o PM, termos um total de 4.4 = 16 números.
Observação
Acabamos de calcular o número de Arranjos com Repetição de 4 elementos, tomados 2 a 2,
que é representado por (AR)4,2 .
04. Existem 5 caminhos diferentes para ir do ponto A ao ponto B. De quantas maneiras
diferentes pode-se ir de A a B e retornar, se o retorno deve ser por um caminho diferente
do utilizado na ida?
a) 9
b) 10
c) 20
d) 22
e) 24
05. Uma loteria esportiva tem 14 jogos de futebol. Cada jogo tem 3 possibilidades de
resultado: coluna 1, coluna 2 e coluna de meio. Quantos cartões diferentes posso fazer,
marcando apenas uma coluna por jogo?
06. Um retângulo é dividido em 6 quadrinhos. De quantas maneiras é possível pintar a
figura resultante, cobrindo os quadrinhos de preto ou vermelho?
07. (PUCRS) Sabendo que , num novo município, os números de telefones devem ter 6
algarismos e não podem começar por zero, então o número máximo de telefones que
podem ser instalados é
a)106
b) 9.105
c) 10.96
d) 10.95
e) 96
08. (UFRGS) Se cada placa de carro deve ter 3 letras de um alfabeto de 26 letras, seguidas
de um número de 4 algarismos, a totalidade de carros que podem ser emplacados é
9
Raciocínio Lógico
a) 3!
b) 7!
c) 26.25.24.10.9.8.7
d) 263.104
e) (26!).(10!)
09. (UFRGS) De um ponto A a um ponto B existem 5 caminhos, de B a um terceiro ponto
C existem 6 caminhos e, de C a um quarto ponto D existem também 6 caminhos. Quantos
caminhos existem para ir do ponto A ao ponto D?
a) 17
b) 30
c) 180
d) 680
e) 4080
10. Quantos são os números com quatro algarismos distintos, no sistema decimal, que tem
o algarismo das centenas igual a 5?
11. (CESPE) Em geral, empresas públicas ou privadas utilizam códigos para protocolar a
entrada e a saída de documentos e processos. Considere que se deseja gerar códigos cujos
caracteres pertençam ao conjunto das 26 letras de um alfabeto, que possui apenas 5
vogais. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
1) Se os protocolos de uma empresa devem conter 4 letras, sendo permitida a reposição de
caracteres, então podem ser gerados menos de 400.000 protocolos distintos.
2) Se uma empresa decide não usar as 5 vogais em seus códigos, que poderão ter 1, 2 ou 3
letras, sendo permitida a repetição de caracteres, então é possível obter mais de 1.000
códigos distintos.
3) O número total de códigos diferentes formados por 3 letras distintas é superior a 15.000.
Solução:
1) Cada código deve ter 4 letras, podendo haver repetição. Então, a escolha de cada uma das 4
letras tem 26 possibilidades e, pelo PM, teremos um total de : 26 × 26 × 26 × 26 = 456.976
códigos distintos .
Item 1: Errado.
2) Como não podemos usar vogais, mas é permitida a repetição de letras, podemos usar 21
letras. Então, teremos:
-códigos com 1 letra: 21 possibilidades
-códigos com 2 letras: 21 × 21 = 441 possibilidades
-códigos com 3 letras: 21 × 21 × 21 = 9.261 possibilidades.
Total: 21 + 441 + 9.261 = 9. 723 códigos distintos.
Item 2: Certo.
3) O número total de códigos diferentes, formados por 3 letras distintas é, de acordo com o
PM, igual a 26 × 25 × 24 = 15.600.
Item 3: Certo.
GABARITO – PRINCÍPIO MULTIPLICATIVO (PM)
04) c
05) 314
06) 64
07) b
08) d
09) c
10) 448
10
Raciocínio Lógico
►ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES
Dado um conjunto A com n elementos, podemos formar, basicamente, dois tipos de
subconjuntos de A:
a) Subconjuntos não ordenados de A com p elementos, ou simplesmente, subconjuntos de A
com p elementos cada um ( p ≤ n );
b) Subconjuntos ordenados de A com p elementos cada um ( p ≤ n ).
Os subconjuntos não ordenados (subconjuntos comuns) são chamados de combinações
simples dos n elementos de A, tomados p a p.
Os subconjuntos ordenados são chamados de arranjos simples dos n elementos de A,
tomados p a p.
Um permutação simples dos n elementos de A, é simplesmente um subconjunto ordenado de
A, formado por todos os elementos de A. Ou seja, uma permutação simples dos n elementos
de A, é um arranjo simples dos n elementos de A, tomados n a n.
Exemplo:
Dado o conjunto A = { a, b, c }, pede-se:
a) o número de arranjos simples de A, com 2 elementos, ou seja, A3,2 ;
b) o número de permutações simples de A, ou seja, P3;
c) o número de combinações simples de A, com 2 elementos, ou seja, C3,2 ;
d) a relação entre os números C3,2 e A3,2 ;
e) a generalização da conclusão tirada no item anterior, mostrando a relação entre C n, p e A n ,p
( Fórmula para o cálculo do número de combinações simples).
Solução:
a) Os arranjos simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos ordenados de A, com dois
elementos: (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c) e (c,b).
Veja que A3,2 = 6.
Para determinar o número A3,2 , basta usar o Princípio Multiplicativo (PM):
-Escolha do 1º elemento: 3 possibilidades;
Total : 3.2 = 6 possibilidades.
Logo, A3,2 = 6.
Regra prática
No cálculo de An,p , consideramos o produto dos números naturais decrescentes a partir de n,
tomando p fatores. Veja que p funciona aqui como um “contador”, pois ele nos indica o
número de fatores que devemos tomar.
A3,2 = 3{
.2 = 6 ; A4,3 = 4{
.3.2 = 24 ; A10,4 = 10
9.4
83
.7 = 5 040 ; etc.
1
4.2
2 fatores
3 fatores
4 fatores
b) As permutações simples de A, são os arranjos simples de 3 elementos 3 a 3: (a,b,c), (b,a,c),
(b,c,a), (c,b,a), (c,a,b) e (a,c,b).
Temos então, P3 = 6.
Para determinar o número P3 , usamos o PM novamente:
11
Raciocínio Lógico
-Escolha do 3º elemento: 1 possibilidade;
Total: 3.2.1 = 6 possibilidades.
Logo, P3 = A3,3 = 6.
c) As combinações simples de 3 elementos 2 a 2, são os subconjuntos não ordenados {a,b},
{a,c} e {b,c}.
Observe que C3,2 = 3.
Para determinar o número C3,2 , basta observar que nos subconjuntos ordenados ou arranjos
simples (a,b), (b,a), (a,c), (c,a), (b,c), (c,b), cada combinação foi contada duas vezes , pois
{a,b}={b,a}, {a,c}={c,a} e {b,c}= {c,b}.
Assim, C3,2 =
6
= 3.
2
►FATORIAL
O produto 3.2.1 é chamado de Fatorial de 3 e escreve-se 3!
Assim, P3 = 3! = 3.2.1 = 6.
De um modo geral, dado um número natural n diferente de zero, definimos Fatorial de n por:
n! = n(n-1)(n-2)(n-3)……3.2.1
d) No item anterior vimos que:
-A combinação {a,b} se desdobrou nos 2 arranjos (a,b) e (b,a);
-A combinação {a,c} se desdobrou nos 2 arranjos (a,c) e (c,a);
-A combinação {b,c} se desdobrou nos 2 arranjos (b,c) e (c,b).
Em outros termos, cada uma das 3 combinações se desdobrou em 2 arranjos , obtendo-se o
total de 6 arranjos . Mas esse “2”, é exatamente o número de permutações que podemos formar
com os dois elementos de cada combinação, pois P2 = 2.1 = 2.
Conclusão: a relação entre os números C3,2 e A3,2 é A3,2 = P2 .C3,2 ou
C3,2 =
A3, 2
P2
.
e) Generalizando a conclusão tirada no item (d) teremos:
Cn,p =
An , p
Pp
, sendo p≤ n.
A relação acima é a fórmula que usaremos para calcular o número de combinações simples de
n elementos, tomados p a p.
Observação
An,p e Pn podem ser calculados diretamente pelo Princípio Multiplicativo (PM). Mas Cn,p
não. Para calcular o número Cn,p utilizaremos a fórmula : Cn,p =
An , p
Pp
12
Raciocínio Lógico
COMBINAÇÕES COMPLEMENTARES
As combinações Cn,p e Cn,n-p são conhecidas como Combinações Complementares. Por
exemplo, C12,9 e C12,3 , C30,28 e C30,2 , C100,97 e C100,3 são combinações complementares.
Pode-se demonstrar que Cn,p = Cn,n-p , ou seja, duas combinações complementares sempre são
iguais. Assim, C12,9 = C12,3 , C30,28 = C30,2 e C100,97 = C100,3 .
Essa propriedade facilita muito o cálculo de algumas combinações. Por exemplo, para
calcularmos C30,28 , fazemos :
C30,28 = C30,2 =
30.29
= 435.
2 .1
EXERCÍCIOS
01. Calcule:
a) A5,2
b) A10,3
c) A8,1
d) P5
e) P2
f) P1
g) P0
h) Pn
i) C4,2
j) C8,3
k) C5,5
l ) C20,2
02. Dado o conjunto A= { 1,2,3,4,5,6} , determine :
a) o número de subconjuntos de A com 3 elementos;
b) o número de subconjuntos ordenados de A com 3 elementos;
c) o número de subconjuntos de A com zero elementos;
d) o número de subconjuntos ordenados de A com zero elementos.
03. (ESAF) Em um campeonato de padel participam 10 duplas, todas com a mesma
possibilidade de vencer. De quantas maneiras diferentes podemos ter a classificação para os 3
primeiros lugares?
Solução:
A10,3 = 10.9.8= 720.
04. Dez competidores disputam um torneio de natação, em que apenas os 4 primeiros colocados
classificam-se nas finais. Quantos resultados possíveis existem para os 4 primeiros lugares?
Solução
A10,4 = 10.9.8.7 = 5 040.
05. Com os algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 podemos formar x números pares com 4 algarismos
distintos. O valor de x é
a) 420
b) 240
c) 120
d) 80
e) 60
Solução
13
Raciocínio Lógico
Os números pares formados com 4 dos algarismos dados terminam em 0, 2, 4 ou 6:
_ _ _ 0 ⇒ A6,3
_ _ _ 2 ⇒ A6,3
_ _ _ 4 ⇒ A6,3
_ _ _ 6 ⇒ A6,3
e são em número de 4A6,3 = 4(6.5.4)= 480.
Mas nos números pares que terminam em 2, 4 e 6, estão incluídos os números que começam
por 0, que são números com 3 algarismos:
0 _ _ 2 ⇒ A5,2
0 _ _ 4 ⇒ A5,2
0 _ _ 6 ⇒ A5,2
e que são em número de 3A5,2 = 3(5.4) =60.
Descontando esses números, teremos 480 – 60 = 420 números pares com 4 algarismos
distintos.
A alternativa correta é (a).
Observação: Um outro caminho (bem mais curto!) é usar o PM. Tente.
06. (CESGRANRIO) Os clientes de um banco contam com um cartão magnético e uma senha
pessoal de 4 algarismos distintos entre 1000 e 9999. A quantidade de senhas, em que a diferença
positiva entre o 1º algarismo e o último algarismo é 3, é igual a
a) 936
b) 896
c) 784
d) 768
e) 728
07. (ESAF) Quantas comissões compostas de 4 pessoas cada uma podem ser formadas com 10
funcionários de uma empresa?
Solução
C10,4 =
10.9.8.7
= 210 comissões.
4.3.2.1
08. Quantas diagonais tem um octógono?
09. (ESAF) Uma empresa possui 20 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 são mulheres.
Desse modo, o número de comissões de 5 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2
mulheres é ?
a) 1.560
b) 1.650
c) 5.830
d) 5.400
e) 5.600
10. Quantas comissões de 4 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 10 pessoas, de
modo que duas pessoas A e B estejam presentes em todas as comissões?
Solução
14
Raciocínio Lógico
Cada comissão deve ter 4 pessoas. Como as duas pessoas A e B devem estar em todas as
comissões, restam apenas duas vagas para completar cada comissão. Basta eliminar as pessoas
A e B do grupo das 10 pessoas e calcular C8,2 : C8,2 =
8.7
= 28 comissões.
2.1
11. Quantas comissões de 3 pessoas podem ser formadas a partir de um grupo de 12 pessoas, de
modo que duas pessoas A e B não estejam presentes em nenhuma comissão?
Solução
Para garantir que as pessoas A e B não estejam em nenhuma comissão, basta eliminar as
pessoas A e B do grupo de 12 pessoas e calcular C10,3 :
C10,3 =
10.9.8
= 120 comissões.
3.2.1
12.(FGV) Uma empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de 5 pessoas poderão
ser formadas, contendo, no mínimo, 1 diretor?
Solução
Como cada comissão deve conter no mínimo 1 diretor, devemos calcular quantas são as
comissões com 1, 2 ou 3 diretores.
Comissões:
-com 1 diretor e 4 gerentes ⇒ C3,1 × C5,4 ;
-com 2 diretores e 3 gerentes ⇒ C3,2 × C5,3 ;
-com 3 diretores e 2 gerentes ⇒ C3,3 × C5,2 .
Total: C3,1 × C5,4 + C3,2 × C5,3 + C3,3 × C5,2 = 55 comissões.
Outro método (“Atalho”):
3 diretores + 5 gerentes = 8 pessoas.
Basta calcular o total de comissões com 5 pessoas (C8,5) e subtrair deste total o número de
comissões com nenhum diretor (C5,5). A diferença nos dará o número de comissões que contém
pelo menos um diretor:
C8,5 – C5,5 = 56 – 1 = 55 comissões.
Notas
a) Cuidado! Este “atalho” só pode ser aplicado a problemas que falam em“no mínimo um”.
Para problemas que falam em “no mínimo dois”,” no mínimo três”, etc, o raciocínio não se
aplica.
b) Para calcular C8,5 use combinações complementares:
C8,5 = C8,3 =
8.7.6
= 56 .
3.2.1
13. (ESAF) Em uma empresa existem 10 supervisores e 6 gerentes. Quantas comissões de 6
pessoas podem ser formadas de maneira que participem pelo menos 3 gerentes em cada uma
delas?
14. Num encontro de 12 cientistas, 3 são matemáticos. Quantas comissões de cinco elementos
podem ser formadas, tendo cada comissão no mínimo um matemático?
15
Raciocínio Lógico
15. Determine o valor de A7,2 – C7,2.
16. O valor de n na equação An,2 = 3Cn,3 é
a) 4
b) 5
c) 7
d) 10
e) 12
Solução
An,2 = n(n-1) e Cn,3 =
n(n − 1)(n − 2) n(n − 1)(n − 2)
=
.
3.2.1
6
Substituindo na igualdade dada, teremos:
n(n-1) = 3 .
n(n − 1)(n − 2)
n(n − 1)(n − 2)
⇒ n(n-1) =
⇒
2
6
2n(n-1) = n(n-1)(n-2) ⇒ 2 = n-2 ⇒ n = 4.
Resposta: a
Obs.: Outro método é testar as respostas (substituir n por 4, 5, etc na equação An,2 = 3Cn,3).
17. Se Cn, 2 = 28, então n é igual a
a) 4
b) 8
c) 16
d) 24
e) 40
18. (FCC) Oito processos deverão ser distribuídos entre três juízes de modo que o primeiro juiz
receba 4 processos, o segundo 2 e o terceiro também 2. O número de maneiras em que a
distribuição poderá ser feita é
a) 124
b) 250
c) 380
d) 400
e) 420
19. Marcamos 8 pontos sobre uma reta r e 5 pontos sobre uma reta s, paralela a r. Quantos
triângulos podemos obter unindo 3 quaisquer desses pontos?
CESPE/ UnB
Julgue os itens que se seguem quanto a diferentes formas de contagem.
20. Considere que o BB tenha escolhido alguns nomes de pessoas para serem usados em uma
propaganda na televisão, em expressões do tipo Banco do Bruno, Banco da Rosa, etc. Suponha
também, que a quantidade total de nomes escolhidos para aparecer na propaganda seja 12 e que,
em cada inserção da propaganda na TV,sempre apareçam somente dois nomes distintos. Nesse
caso, a quantidade de inserções com pares diferentes de nomes distintos que pode ocorrer é
inferior a 70.
21. Há exatamente 495 maneiras diferentes de se distribuírem 12 funcionários de um banco em
3 agências, de modo que cada agência receba 4 funcionários.
16
Raciocínio Lógico
CESPE/UnB
O número de países representados nos Jogos Pan-Americanos realizados no Rio de
Janeiro foi 42, sendo 8 países da América Central, 3 da América do Norte, 12 da América
do Sul e 19 do Caribe. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem.
22. Se determinada modalidade esportiva foi disputada por apenas 3 atletas, sendo 1 de cada
país da América do Norte participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de
possibilidades diferentes de classificação no 1º, 2º e 3º lugares foi igual a 6.
Solução:
-Classificação em 1º lugar: 3 possibilidades
-Classificação em 2º lugar: 2 possibilidades
-Classificação em 3º lugar: 1 possibilidade.
Pelo PM, teremos um total de 3.2.1 = 6 possibilidades.
Resposta: Certo.
23. Considerando-se que, em determinada modalidade esportiva, havia exatamente 1 atleta de
cada país da América do Sul participante dos Jogos Pan-Americanos, então o número de
possibilidades distintas de dois atletas desse continente competirem entre si é igual a 66.
Solução:
Como temos 12 atletas da América do Sul, basta calcular C12,2 .
C12,2 =
12.11
= 66 .
2 .1
Resposta: Certo.
24. Há, no máximo, 419 maneiras distintas de se constituir um comitê com representantes de 7
países diferentes participantes dos Jogos Pan-Americanos, sendo 3 da América do Sul, 2 da
América Central e 2 do Caribe.
Solução:
-Comitês com 3 representantes da América do Sul: C12,3
-Comitês com 2 representantes da América Central: C8,2
-Comitês com 2 representantes do Caribe: C19,2
De acordo com o PM, teremos um total de:
C12,3 x C8,2 x C19,2 = 220 x 28 x 171 > 419 e a resposta é Errado.
Observação:
Essa questão é uma “pegadinha”, pois 220 + 28 +171 = 419. Nem precisamos fazer a
multiplicação para ver que 220 × 28 × 171 > 419. Na verdade, 220 × 28 × 171 = 1.053.360,
que é bem maior do que 419.
25. Considerando-se apenas os países da América do Norte e da América Central participantes
dos Jogos Pan-Americanos, a quantidade de comitês de 5 países que poderiam ser constituídos
contendo pelo menos 3 países da América Central é inferior a 180.
Solução:
-América do Norte: 3 países participantes
-América Central: 8 países participantes.
Como cada comitê tem que ter representantes de 5 países, sendo pelo menos 3 países da
América Central, teremos um total de :
17
C8,3 × C3,2 + C8,4 × C3,1 + C8,5
Resposta: Errado.
Raciocínio Lógico
× C3,0 = ...= 287 > 180.
26.(ESAF) Quer-se formar um grupo de dança com 9 bailarinas, de modo que 5 delas tenham
menos de 23 anos, que uma delas tenha exatamente 23 anos , e que as demais tenham idade
superior a 23 anos. Apresentaram-se, para a seleção, quinze candidatas, com idades de 15 a 29
anos, sendo a idade, em anos, de cada candidata, diferente das demais. O número de diferentes
grupos de dança que podem ser selecionados a partir deste conjunto de candidatas é igual a:
a) 120
b)1220
c) 870
d) 760
e) 1120
27. Permutando os algarismos 1, 2, 3 e 4 de todos os modos possíveis, obtemos números com 4
algarismos. Colocando esses números em ordem crescente, constatamos que o lugar ocupado
pelo número 3 214 é o
a) 15º
b) 17º
c) 20º
d) 34º
e) 40º
28. Se colocarmos em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos, obtidos com
1, 3, 4, 6 e 7, a posição do número
61. 473 será a
a) 74ª
b) 76ª
c) 78ª
d) 80ª
e) 82ª
29. Calcule o valor de:
9! + 8!
7!
(n + 1)! (n + 2)
30. Simplificando a expressão
obtemos:
(n − 1)!
a)
10!
8!
b)
20.18!
20!
c)
a) (n+1)
b) (n+1)(n+2)
c) n(n+2)
d) n(n+1)(n+2)
e)
(n + 1)(n + 2)
n −1
31. Considerando os anagramas da palavra LIVRO, pergunta-se:
a) O número total deles;
b) Quantos começam com R?
c) Quantos têm a sílaba LI ?
d) Quantos têm as letras L e I juntas ?
32. Quantos anagramas da palavra ”VESTIBULAR” têm as letras “V”, “E” e “S”
a) Juntas e nessa ordem?
b) Juntas e em qualquer ordem?
18
Raciocínio Lógico
33. (ESAF) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e desejam sentar-se, os cinco, lado a lado,
na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se nos assentos, de
modo que as duas moças fiquem sempre juntas, uma ao lado da outra, é igual a:
a) 2
b) 4
c) 24
d) 48
e) 120
34. Tenho 4 livros de matemática, 5 de física e 3 de química. De quantos modos diferentes
posso colocar esses livros numa prateleira de uma estante, de modo que os livros de uma mesma
matéria fiquem sempre juntos?
35. Quatro pares de casais estão sentados em uma fileira de 8 cadeiras. De quantas maneiras elas
podem sentar, se:
a) não existir nenhuma restrição;
b) sentarem homens juntos e mulheres juntas;
c) sentarem homens juntos;
d) sentarem pares de casais juntos.
36. (ESAF) Quatro casais compram ingressos para oito lugares contíguos em uma mesma fila de
teatro. O número de diferentes maneiras em que podem sentar-se de modo que a) homens e
mulheres sentem-se em lugares alternados e que b) todos os homens sentem-se juntos e que
todas as mulheres sentem-se juntas, são, respectivamente:
a) 1.112 e 1.152
b) 1.152 e 1.100
c) 1.152 e 1.152
d) 384 e 1.112
e) 112 e 384
37. (ESAF) Chico, Caio e Caco vão ao teatro com suas amigas Biba e Beti, e desejam sentar-se ,
os cinco, lado a lado na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem distribuir-se
nos assentos de modo que Chico e Beti fiquem sempre juntos, um ao lado do outro, é igual a
a) 16
b) 24
c) 32
d) 46
e) 48
38. (FCC) Considere todos os números de 3 algarismos distintos, escolhidos entre os elementos
do conjunto A = {1,2,3,4,5}. Em quantos desses números a soma dos algarismos é ímpar?
a) 8
b) 12
c) 16
d) 24
e) 48
39.(ESAF) De quantas maneiras podem sentar-se três homens e três mulheres em uma mesa
redonda, isto é, sem cabeceira, de modo a se ter sempre um homem entre duas mulheres e uma
mulher entre dois homens?
a) 72
b) 36
c) 216
d) 720
e) 360
40.(ESAF) O departamento de vendas de uma empresa possui 10 funcionários, sendo 4 homens
e 6 mulheres. Quantas opções possíveis existem para se formar uma equipe de vendas de 3
funcionários, havendo na equipe pelo menos um homem e pelo menos uma mulher?
a) 192
b) 36
c) 96
d) 48
e) 60
19
Raciocínio Lógico
41.(ESAF) Sabe-se que os pontos A, B, C, D, E, F e G são coplanares, ou seja, estão localizados
no mesmo plano. Sabe-se, também, que destes sete pontos, quatro são colineares, ou seja, estão
numa mesma reta. Assim, o número de reta que ficam determinadas por estes sete pontos é igual
a:
a) 16
b) 28
c) 15
d) 24
e) 32
GABARITO- ARRANJOS, PERMUTAÇÕES E COMBINAÇÕES SIMPLES
02) a) 20 b) 120 c) 1
08) 20
09) d
13) 3.136
14) 666
15) 21
17) b
18) e
19) 220
20) Certo
21) Errado
26) e
27) a
28) b
29) a) 90
b) 1/19
30) d
31) a) 120
b) 24
32) a) 8!
b) 8!.3!
33) d
34) 3!.4!.5!.3!
35) a) 8!
b) 2!.4!.4!
36) c
37) e
38) d
39) b
40) c
41) a
d) 1
c) 80
c) 24
c) 5!.4!
d) 48
d) 4!.2!.2!.2!.2!
20
Raciocínio Lógico
3. PROBABILIDADES
CONCEITOS
EXPERIMENTOS ALEATÓRIOS são experimentos que, mesmo realizados repetidas vezes,
nas mesmas condições, apresentam resultados diferentes, sendo impossível uma previsão lógica
dos resultados.
ESPAÇO AMOSTRAL (OU CONJUNTO UNIVERSO) é o conjunto de todos os resultados
possíveis de um experimento aleatório.
Exemplo
Determine o número de elementos do Espaço Amostral ou Conjunto Universo (U), isto é, n(U),
nos seguintes experimentos:
01. Jogar um dado e ler o número da face voltada para cima.
U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
n(U) = 6
02. Jogar uma moeda e ler a figura da face voltada para cima.
U = {Cara, Coroa}
n(U) = 2
03. Jogar dois dados e ler os números das faces voltadas para cima.
U = {(1,1), (1,2),..., (6,6), (2,1), (2,2),..., (3,1), (3,2), ... (6,6)}
n(U)= ?
Para determinar n(U) usamos o PM:
1°dado = 6 possibilidades

2°dado = 6 possibilidades
Total = 6 . 6 = 36 possibilidades. Logo, n(U) = 36 .
03. Jogar um dado e uma moeda e ler as faces voltadas para cima.
U = {(1,C),(1,K), (2,c), (2,K), ..., (6,C), (C,K)}, onde C=cara e K=coroa.
 Dado = 6 possibilidades

Moeda = 2 possibilidades
Total = 6 . 2 = 12 possibilidades. Logo, n(U) = 12.
04.Um casal planeja ter 3 filhos. Considerando o sexo (M ou F) dos futuros filhos, quantas são
as possibilidades?
U = {(M, M, M), (M, M, F), ... , (F, F, F)}.
1° filho = 2 possibilidades

2° filho = 2 possibilidades
3° filho = 2 possibilidades

Total = 2. 2. 2 = 8 possibilidades. Logo, n(U) = 8.
21
Raciocínio Lógico
EVENTO é qualquer subconjunto do espaço amostral.
A seguir, vamos definir os principais eventos utilizados na teoria das probabilidades dando um
exemplo de cada. Em todos os exemplos dados, consideraremos o experimento aleatório
lançamento de um dado e leitura do número na face voltada para cima. Neste caso, o
espaço amostral ou conjunto universo será U = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Evento certo é o próprio espaço amostral.
Exemplo:
Evento C: ocorrência de um número menor que 9
C = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = U
Evento impossível é o subconjunto vazio.
Exemplo:
Evento I: ocorrência de um número maior que 7
I=∅
Evento união é a união de dois eventos.
Exemplo:
Evento A: ocorrência de um número maior que 3:
A = {4, 5, 6}
Evento B: ocorrência de um número ímpar:
B = {1, 3, 5}
Evento A ∪ B: ocorrência de um número maior que 3 ou ímpar:
A ∪ B = {1, 3, 4, 5, 6}.
Evento intersecção é a intersecção de dois eventos.
Exemplo:
Evento A: ocorrência de um número par:
A = {2, 4, 6}
Evento B: ocorrência de um número múltiplo de 3:
B = {3, 6}
Evento A ∩B: ocorrência de um número par e múltiplo de 3:
A ∩B = {6}.
Eventos mutuamente exclusivos são dois eventos que têm intersecção vazia.
Exemplo:
Evento P: ocorrência de um número par:
P = {2, 4, 6}
evento I: ocorrência de um número ímpar:
I = {1, 3, 5}
P∩I= ∅
Eventos complementares (ou contrários) são dois eventos mutuamente exclusivos cuja união
é igual ao espaço amostral. Ou seja, são dois eventos A e B tais que A ∩B = ∅ e A ∪ B = U.
Exemplo:
Evento A: ocorrência de um número par:
A = {2, 4, 6};
Evento B: não ocorrência de um número par (ou seja, ocorrência de um número ímpar):
B = {1,3,5}
Vemos que A ∩B = ∅ e A ∪ B = U.
22
Raciocínio Lógico
PROBABILIDADE DE UM EVENTO
Supondo que num experimento aleatório, o número de elementos do espaço amostral é n(U) e o
número de elementos do evento A é n(A), a probabilidade de ocorrer o evento A é o número
real P(A) dado por
P(A) =
n ( A)
n (U )
Notas:
a) Na definição acima supomos que todos os elementos do espaço amostral sejam
eqüiprováveis, isto é, tenham a mesma chance de ocorrer;
b) É óbvio que P ( ∅ ) = 0 e P(U) = 1;
c) 0 ≤ P(A) ≤ 1;
d) Em termos de porcentagem, temos 0% ≤ P(A) ≤ 100%.
EXEMPLOS
01. Numa urna há 10 bolas pretas e 30 bolas brancas. Qual a probabilidade de sortearmos
a) uma bola preta?
b) uma bola branca?
10 1
= ou 25%
40 4
30 3
b) P(B) =
= ou 75%.
40 4
a) P(P) =
02. Num baralho com 52 cartas, há 13 cartas de cada naipe. Qual a probabilidade de tirarmos
uma carta do naipe copas?
P(C) =
13 1
= ou 25%
52 4
03. Jogando-se dois dados, um vermelho e outro azul, qual a probabilidade de obtermos soma
igual a 10?
U = {(1,1), (1,2),..., (6,5), (6,6)}
n(U) = 6 . 6 = 36
Evento E = {(4,6), (5,5), (6,4)}
n(E) = 3
P(E) =
3
1
=
ou 8,33%
36 12
04. Um casal planeja ter 3 filhos. Qual a probabilidade de terem 2 homens e 1 mulher?
n(U) = 2 . 2. 2 = 8
Evento E = {(H, H, M), (H, M, H), (M, H, H)}
n(E) = 3
P(E) =
3
8
23
Raciocínio Lógico
05. Um cartão da Quina é composto por 80 dezenas (de 01 a 80). Qual a probabilidade do sr.
Hazharad fazer a quina num cartão com 8 números?
n(U) = C 80,5
n(E) = C 8,5
P(E) =
C 8,5
C 80,5
►PROBABILIDADE DA UNIÃO DE EVENTOS (REGRA DO “OU”)
Dados dois eventos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que ocorram A ou
B é dada por
P(A ∪B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
Nota: se A e B são eventos mutuamente exclusivos, ou seja, A∩B=∅, então
P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Exemplos
1) Numa urna há 10 bolas numeradas de 1 a 10. Retirando-se uma bola ao acaso, qual a
probabilidade de retirarmos uma bola com número par ou maior que 4?
n (U) = 10
A = bola com número par

B = bola com número maior que 4
n(A) = 5, n(B) = 6, n (A ∩ B) = 3
P (A ou B) =
5
6
3
8 4
+
−
=
=
10 10 10 10 5
2) Retirando-se aleatoriamente uma carta de um baralho com 52 cartas, qual a probabilidade da
carta escolhida ser um 4 ou um 9?
n(U) = 52
A = carta número 4 ⇒ n(A) = 4

B = carta número 9 ⇒ n(B) = 4
n (A ∩ B) = 0
P(A ou B) =
4
4
8
2
+
−0=
=
52 52
52 13
3) Jogando-se dois dados não viciados, qual a probabilidade de que a soma dos pontos obtidos
seja 4 ou 5?
24
Raciocínio Lógico
n(U) = 6 . 6 = 36
A = {(1,3), (2,2), (3,1)} ⇒ n(A) = 3

B = {(1,4), (2,3), (3,2), (4,1)} ⇒ n(B) = 4
n (A ∩ B) = 0
3
4
7
+
−0=
P(A ou B) =
36 36
36
►PROBABILIDADE DA INTERSECÇÃO DE EVENTOS (REGRA DO “E”)
Dados dois eventos sucessivos A e B de um mesmo espaço amostral, a probabilidade de que
ocorram A e B é dada por
P(A ∩ B) = P(A).P(B/A)
onde P(B/A) é a probabilidade de ocorrer B após ter ocorrido A.
Notas:
a) o número P(B/A) é chamado probabilidade de B condicionada a A;
b) se os eventos A e B são independentes, ou seja, a ocorrência de A não afeta a probabilidade
da ocorrência de B, temos P(B/A) = P(B) e a expressão acima fica
P(A ∩ B) = P(A).P(B)
Exemplos
1) Uma urna contém 10 bolas brancas e 20 bolas pretas. Se sortearmos 2 bolas, uma de cada
vez, repondo a primeira na urna, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser
preta?
P(B e P) =
10 20 2
.
=
30 30 9
2) Considerando a mesma situação do exemplo anterior, mas sem reposição da primeira bola
sorteada, qual a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?
P(B e P) =
10 20 20
=
.
30 29 87
3) Um lote de peças para automóveis contém 60 peças novas e 10 usadas. Uma peça é escolhida
ao acaso e, em seguida, sem reposição da primeira, uma outra peça é retirada. Qual a
probabilidade de as duas peças retiradas serem usadas?
P(u e u) =
10 9
3
.
=
70 69 161
4) Uma moeda é lançada duas vezes. Qual a probabilidade de sair coroa nos dois lançamentos?
P(K e K) =
1 1 1
. =
2 2 4
5) Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de sair cara nas 5 vezes?
5
1
1
P(C, C, C, C, e C) =   =
32
2
25
Raciocínio Lógico
6) Tira-se 3 cartas ao acaso, com reposição, de um baralho com 52 cartas. Qual a probabilidade
de ser a primeira de paus, a segunda de ouros e a terceira de espadas?
3
3
13 13 13  13 
1
1
P(p, o, e) =
. .
=  =  =
52 52 52  52 
64
4
7) Temos 3 caixas: caixa 1 com 5 bolas brancas e 5 bolas pretas; caixa 2 com 10 bolas azuis e
40 bolas verdes; caixa 3 com 16 bolas amarelas e 4 bolas vermelhas. Sorteando uma bola de
cada caixa, qual a probabilidade de sair branca da caixa 1, verde da caixa 2 e amarela da caixa
3?
P(B, V, A) =
5 40 16 8
. .
=
ou 32%
10 50 20 25
►PROBABILIDADE DO EVENTO COMPLEMENTAR
Se A e B são dois eventos complementares (contrários) do mesmo espaço amostral U, temos:
B
P(A) + P(B) = 1 ou
A
P(B) = 1 – P(A)
Exemplos
1) Qual a probabilidade de sair um número diferente de 2 no lançamento de um dado?
A = sair o número 2

B = não sair o número 2
1
1
5
a) P(A) =
b) P(B) = 1 - =
6
6
6
2) No lançamento de um dado não viciado, qual a probabilidade de:
a) sair um múltiplo de 3;
b) não sair um múltiplo de 3.
A = sair o número 3

B = não sair o número 3
2
2 1
1
a) P(A) = =
b) P(B) = 1 - =
3
6 3
3
3) São lançados dois dados. Calcule a probabilidade de
a) se obter uma soma de 7 pontos;
b) não se obter uma soma de 7 pontos.
a) P(A) =
6 1
=
36 6
b) P(B) = 1 -
1 5
=
6 6
26
Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS
01. (OSECSP) Foram preparadas 90 empadinhas de camarão, sendo que, a pedido, 60
delas deveriam ser bem mais apimentadas. Por pressa e confusão de última hora, foram
todas colocadas ao acaso, numa mesma travessa para serem servidas. A probabilidades de
alguém retirar uma empadinha mais apimentada é
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/60
d) 2/3
e) 1/90
Resp.: d
02. (OSECSP)-A probabilidade de uma bola branca aparecer, ao se retirar uma única bola
de uma urna contendo 4 bolas brancas, 3 vermelhas e 5 azuis, é
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/4
d) 1/12
e) nra
Resp.: a
03. (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a
probabilidade de que ele seja primo é
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/5
e) 1/6
Resp.: c
04. (CESGRANRIO) A probabilidade de um inteiro n, 1 ≤ n ≤ 999, ser um múltiplo de 9 é
a) 1/ 909
b) 1/10
c) 2/9
d) 1/3
e) 1/9
Resp.: e
05. (UFRGS) Em uma gaveta, cinco pares diferentes de meia estão misturados.
Retirando-se ao acaso duas meias, a probabilidade de que elas sejam do mesmo par é
a) 1/10
b) 1/9
c) 1/5
d) 2/5
e) 1/2
Resp.: b
06. (FAMECA) Dois prêmios devem ser sorteados entre 25 alunos de escolas superiores,
entre os quais 5 cursam Medicina. Qual é a probabilidade de 2 dos futuros médicos serem
contemplados?
a) 1/5
b) 2/25
c) 1/30
d) 2/5
e) 9/25
Resp.: c
07. (UNIRIO) As probabilidades de 3 jogadores marcarem um gol cobrado um pênalti são,
respectivamente, 1/2, 2/5 e 5/6. Se cada um bater um único pênalti, a probabilidade de
todos errarem é
a) 3%
b) 5%
c) 17%
d) 20%
e) 25%
Resp.: b
08. (FAC. OBJETIVO-SP) Um dado honesto tem seis faces numeradas de 1 a 6. Joga-se
este dado duas vezes consecutivas. A probabilidade de obter um número par no primeiro
lançamento e um número maior ou igual a 5 no segundo lançamento é
a)1/4
b)1/12
c)1/8
d)2/5
e)1/6
Resp.: e
09. (FCC) Uma rifa, em que apenas um número será sorteado, contém todos os números
de 1 a 100. Os funcionários de um cartório compraram todos os números múltiplos de 8 ou
10. A probabilidade de que um desses funcionários seja premiado no sorteio da rifa é de
27
a) 12%
b) 18%
Raciocínio Lógico
c) 20%
d) 22%
e) 30%
Solução
n(U) = 100;
Evento A: ser múltiplo de 8;
Evento B: ser múltiplo de 10;
A = { 8, 16, 24, ..., 96} ⇒ n(A) = 96/8 = 12 múltiplos de 8;
B = {10, 20, 30, ..., 100} ⇒ n(B) = 100/10 = 10 múltiplos de 10;
n(A∩ B) = ?
Para obter n(A∩B) temos que determinar os múltiplos comuns (múltiplos de 8 e de 10) entre 1
e 100. Para isso, calculamos mmc(8,10) = 40 e temos 2 múltiplos comuns entre 1 e 100: 40 e
80. Daí:
P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) =
12
10
2
20
+
=
, ou seja, 20%.
100
100 100
100
Resposta: c
10. Lançando-se um dado três vezes, a probabilidade de se obter o número 3 nas duas
últimas jogadas, mas não na primeira, é
a) 1/216
b) 3/216
c) 5/216
d) 7/216
e) 9/216
Resp.: c
11. (UFRGS) Dentre um grupo formado por dois homens e quatro mulheres, três pessoas
são escolhidas ao acaso. A probabilidade de que sejam escolhidos um homem e duas
mulheres é de:
a) 25%
b) 30%
c) 33%
d) 50%
e) 60%
Resp.: e
12. (UFRGS) – Considere dois dados, cada um deles com seis faces, numeradas de 1 a 6. Se
os dados são lançados ao acaso, a probabilidade de que a soma dos números sorteados seja
5 é:
a) 1/15
b) 2/21 c) 1/12
d) 1/11
e) 1/9
Resp.: e
13. (UFRGS) – Numa maternidade, aguarda-se o nascimento de três bebês. Se a
probabilidade de que cada bebê seja menino é igual à probabilidade de que cada bebê seja
menina, a probabilidade de que os três bebês sejam do mesmo sexo é:
a) 1/2
b) 1/3
c) 1/4
d) 1/6
e) 1/8
Resp.: c
14. (UFRGS) – Uma parteira prevê, com 50% de chance de acerto, o sexo da cada criança
que vai nascer. Num conjunto de três crianças, a probabilidade de acertar pelo menos
duas previsões é de
a) 12,5%
b) 25%
c) 37,5%
d) 50%
e) 66,6%
Resp.: d
28
Raciocínio Lógico
15. (PUCSP) O jogo da loto consiste em sortear 5 dezenas em 100 dezenas possíveis.
Alguém, querendo jogar nessa loteria, pode escolher de 5 até 10 dezenas. Se alguém que
escolhe 5 dezenas tem probabilidade x de ganhar, então quem escolhe 7 dezenas tem que
probabilidade de ganhar?
a) 7x
b) 14x
c) 21x
d) 28x
e) 35x
Resp.: c
16. (ESAF) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro delas de prata e cinco de ouro.
Maria ganhou de Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de ouro. Maria
guarda todas essas pulseiras - e apenas essas - em sua pequena caixa de jóias. Uma noite,
arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com João, Maria retira, ao acaso, uma
pulseira de sua pequena caixa de jóias. Ela vê, então, que retirou uma pulseira de prata.
Levando em conta tais informações, a probabilidade de que a pulseira de prata que Maria
retirou seja uma das pulseiras que ganhou de João é igual a
a) 1/3
b) 1/5
c) 9/20
d) 4/5
e) 3/5
Resp.: a
17. (UFRGS) As máquinas A e B produzem o mesmo tipo de parafuso. A porcentagem de
parafusos defeituosos produzidos, respectivamente, pelas máquinas A e B é de 15% e de
5%. Foram misturados , numa caixa, 100 parafusos produzidos por A e 100 produzidos
por B. Se tirarmos um parafuso ao acaso e ele for defeituoso, a probabilidade de que tenha
sido produzido pela máquina A é de
a) 10%
b) 15%
c) 30%
d) 50%
e) 75%
Resp.: e
18. (ESAF) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão matriculados em Francês, 110 em
Inglês e 40 não estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. Seleciona-se, ao acaso,
um dos 200 estudantes. A probabilidade de que o estudante selecionado esteja matriculado
em pelo menos uma dessas disciplinas (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a
a) 30/200
b) 130/200
c) 150/200
d) 160/200
e) 190/200
Resp.: d
29
Raciocínio Lógico
CESPE (Banco do Brasil)
Em uma loteria, com sorteio duas vezes por semana, são pagos milhões de reais para quem
acerta os seis números distintos sorteados. Também há premiação para aqueles que
acertarem cinco ou quatro dos números sorteados. Para concorrer, basta marcar entre
seis e quinze números dos sessenta existentes no volante e pagar o valor correspondente ao
tipo de aposta, de acordo com a tabela abaixo. Para o sorteio de cada um dos seis números,
são utilizados dois globos, um correspondente ao algarismo das dezenas e o outro, ao
algarismo das unidades. No globo das dezenas, são sorteadas bolas numeradas de zero a
cinco e, no das unidades, de zero a nove. Quando o zero é sorteado nos dois globos,
considera-se, para efeito de premiação, que o número sorteado foi o 60. Além disso, após o
sorteio de cada número, as bolas sorteadas retornam aos seus respectivos globos.
Quantidade de números
escolhidos no volante
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
Tipos de aposta Valor (emR$)
A6
A7
A8
A9
A10
A11
A12
A13
A14
A15
1,00
7,00
28,00
84,00
210,00
462,00
924,00
1.719,00
3.003,00
5.005,00
Internet: <http://www.caixa.com.br.Acesso em jul./2003(com adaptações)
Acerca do texto e das informações nele contidas, julgue os itens subseqüentes.
19. Para efeito de premiação, os números passíveis de serem sorteados são todos os inteiros
positivos compreendidos no intervalo [1, 60].
20. Para o primeiro número que é sorteado, a probabilidade de que seu algarismo das
dezenas seja igual a 3 é igual à probabilidade de que seu algarismo das unidades seja igual
a 5.
21. Em determinado concurso, a probabilidade de que o primeiro número sorteado seja o
58 é superior a 0,02.
22. Fazendo-se uma aposta do tipo A6, a probabilidade de se errar todos os seis números
sorteados é igual a
54 x53 x52 x51x50 x 49
.
60 6
23. Considerando que a população da região Nordeste, em 2003, seja de 50 milhões de
habitantes, é correto concluir que, na loteria descrita, a probabilidade de se acertar os seis
números com apenas 1 aposta do tipo A6 é menor que a de ser contemplado em um
sorteio do qual participem, com igual chance, todos os habitantes da região Nordeste.
Solução
19. Representando por D o algarismo das dezenas e por U o algarismo das unidades, teremos
D = 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 e U = 0, 1, 2, 3, ..., 8 ou 9.
30
Raciocínio Lógico
Podem ser sorteados 6.10 = 60 pares : {00, 01, 02, 03, ..., 58, 59} ou {01, 02, ..., 58, 59 ,60} ,
substituindo 00 por 60 como diz no enunciado. Este conjunto é igual ao intervalo fechado
formado por todos os inteiros de 1 a 60, e o item está Certo.
20. A probabilidade do algarismo das dezenas ser igual a 3 é P(3) =
A probabilidade do algarismo das unidades ser igual a 5 é P(5) =
1
;
6
1
.
10
Assim, vemos que P(3) ≠ P(5) e o item está Errado.
21. P(58) =
1
.
60
2
1
=
(Para não fazer cálculos desnecessários).
100 50
1
1
Agora é fácil ver que
<
, ou seja, P(58) < 0,02 e o item está Errado.
60
50
Observe que 0,02 =
22. Evento E:” errar todos os seis números sorteados”.
P(E) =
C 54,6
C 60,6
=
A54,6 / P6
A60,6 / P6
=
A54,6
A60, 6
=
54.53.52.51.50.49
.
60.59.58.57.56.55
Vemos que o item está Errado.
23. Evento A: “acertar os seis números com apenas uma aposta do tipo A6”;
Evento S: “ser contemplado em um sorteio do qual participem, com igual chance, todos os
habitantes da região Nordeste”.
P(A) =
P(S) =
C 6 ,6
C 60,6
=
A6,6 / P6
A60,6 / P6
=
1
1
=
.
60.59.58.57.56.55
50.063.860
1
.
50.000.000
Como P(A) < P(S), o item está Certo.
24. (CESGRANRIO) Joga-se N vezes um dado comum, de seis faces, não viciado, até que
se obtenha 6 pela primeira vez. A probabilidade de que N seja menor do que 4 é
a) 25/216
b) 5/216
c) 75/216
d) 91/216
e) 150/216
Resp.: d
25. (ESAF) Quando Lígia pára em um posto de gasolina, a probabilidade de ela pedir para
verificar o nível de óleo é 0,28; a probabilidade de ela pedir para verificar a pressão dos
pneus é 0,11 e a probabilidade de ela pedir para verificar ambos, óleo e pneus, é 0,04.
Portanto, a probabilidade de Lígia parar em um posto de gasolina e não pedir nem para
verificar o nível de óleo e nem para verificar a pressão dos pneus é igual a :
31
Raciocínio Lógico
a) 0,25
b) 0,35
c) 0,45
d) 0,15
e) 0,65
Resp.: e
26. (ESAF) Os registros mostram que a probabilidade de um vendedor fazer uma venda
em uma visita a um cliente potencial é 0,4. Supondo que as decisões de compra dos clientes
são eventos independentes, então a probabilidade de que o vendedor faça no mínimo, uma
venda em três visitas é igual a:
a) 0,624
b) 0,064
c) 0,216
d) 0,568
e) 0,784
Resp.: e
27. (ESAF) A probabilidade de um gato estar vivo daqui a 5 anos é 3/5. A probabilidade
de um cão estar vivo daqui a 5 anos é 4/5. Considerando os eventos independentes, a
probabilidade de somente o cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
a) 2/25
b) 8/25
c) 2/5
d) 3/25
e) 4/5
Resp.: b
28. (ESAF) Paulo e Roberto foram indicados para participarem de um torneio de
basquete. A probabilidade de Paulo ser escolhido para participar do torneio é 3/5. A
probabilidade de Roberto ser escolhido para participar do mesmo torneio é 1/5. Sabendo
que a escolha de um deles é independente da escolha do outro, a probabilidade de somente
Paulo ser escolhido para participar do torneio é igual a :
a) 4/25
b) 10/25
c) 12/25
d) 3/5
e) 4/5
Resp.: c
29. (ESAF) Em uma sala de aula, estão 4 meninas e 6 meninos. Três das crianças são
sorteadas para constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as três crianças
escolhidas serem do mesmo sexo é:
a) 0,10
b) 0,12
c) 0,15
d) 0,20
e) 0,24
Resp.: d
30. (CESPE) Considere que a tabela abaixo mostra o número de vítimas fatais em
acidentes de trânsito ocorridos em quatro estados brasileiros, de janeiro a junho de 2003.
Estado em que
Total de vítimas fatais
ocorreu o acidente Sexo masculino Sexo feminino
Maranhão
225
81
Paraíba
153
42
Paraná
532
142
Santa Catarina
188
42
32
Raciocínio Lógico
A fim de fazer um estudo de causas, a PRF elaborou 1.405 relatórios, um para cada uma
das vítimas fatais mencionadas na tabela acima, contendo o perfil da vítima e as condições
em que ocorreu o acidente. Com base nessas informações, julgue os itens que se seguem,
acerca de um relatório escolhido aleatoriamente entre os citados acima.
1) A probabilidade que esse relatório corresponda a uma vítima de um acidente ocorrido
no Estado do Maranhão é superior a 0,2.
2) A chance de que esse relatório corresponda a uma vítima do sexo feminino é superior a
23%.
3) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo masculino, a
probabilidade de que o acidente nele mencionado tenha ocorrido no estado do Paraná é
superior a 0,5.
4) Considerando que o relatório escolhido corresponda a uma vítima de um acidente que
não ocorreu no Paraná, a probabilidade de que ela seja do sexo masculino e de que o
acidente tenha ocorrido no Estado do Maranhão é superior a 0,27.
5) A chance de que o relatório escolhido corresponda a uma vítima do sexo feminino ou a
um acidente ocorrido em um dos estados da região Sul do Brasil listados na tabela é
inferior a 70%.
Solução:
Vamos adotar na resolução de todos os itens, a simbologia seguinte:
n(U)= nº de elementos do conjunto Universo (espaço amostral);
n(E)= nº de elementos do Evento E.
1) n(U) = 1. 405
n(E) = 225 + 81 = 306
P(E) =
n( E )
306
=
≅ 0,22 > 0,2 e o item está Certo.
n(U ) 1.405
2) n(U) = 1.405
n(E) = 81 + 42 + 142 + 42 = 307
P(E) =
n( E )
307
=
≅ 0,22, ou seja, 22% < 23% e o item está Errado.
n(U ) 1.405
3) n(U) = 225 + 153 + 532 + 188 = 1. 098
n(E) = 532
P(E) =
n( E )
532
=
≅ 0,48 < 0,5 e o item está Errado.
n(U ) 1.098
4) n(U) = 225 + 81 + 153 +42 + 188 + 42 = 731
n(E) = 225
33
Raciocínio Lógico
P(E) =
n( E ) 225
=
≅ 0,31 > 0,27 e o item está Certo.
n(U ) 731
5) n(U) = 1.405
Evento A: “ a vítima é do sexo feminino” .
n(A) = 81+42+142+42=307.
Evento B:“o acidente ocorreu em um dos estados da região Sul do Brasil” .
n(B) = 532+142+188+42 = 904.
Evento (A ∩ B): “a vítima é do sexo feminino e o acidente ocorreu em um dos estados da
região Sul do Brasil”.
n(A ∩ B)= 142+42 = 184.
307
1405
904
P(B) =
1405
P(A) =
P(A e B ) =
184
1405
Como P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B), teremos:
P(A ou B) =
307
904
184
307 + 904 − 184 1027
+
=
=
≅ 0,73, ou seja, 73%.
1405
1405 1405
1405
1405
73% > 70% e o item está Errado.
31. (CESPE) Um baralho comum contém 52 cartas de 4 tipos (naipes) diferentes: paus,
espadas, copas e ouros. Em cada naipe, que consiste de 13 cartas, 3 dessas cartas contêm
as figuras do rei, da dama e do valete, respectivamente. Com base nessas informações,
julgue os itens subseqüentes.
1) A probabilidade de se extrair aleatoriamente uma carta de um baralho e ela conter uma
das figuras citadas no texto é igual a 3/13.
2) Sabendo que há 4 ases em um baralho comum, sendo um de cada naipe, conclui-se que
a probabilidade de se extrair uma carta e ela não ser um ás de ouros é igual a 1/52.
3) A probabilidade de se extrair uma carta e ela conter uma figura ou ser uma carta de
paus é igual a 11/26.
Solução:
1) n(U) = 52 (Universo)
n(E) = 12 (Evento).
P(E) = 12 / 52 = 3 / 13 e o item está Certo.
2) n(U) = 52
n(E) = 51 ( só tem 1 ás de ouros no baralho).
P(E) = 51 / 52 e o item está Errado.
34
Raciocínio Lógico
3) n(U) = 52
Evento A: “a carta contém uma figura” ⇒ n(A) = 12 ;
Evento B: “a carta é de paus” ⇒ n(B) = 13 ;
Evento (A ∩ B): “a carta contém uma figura e é de paus” ⇒
⇒ n(A ∩ B) = 3.
P(A ou B ) = P(A) + P(B) – P(A e B), ou seja:
P(A ou B) =
12 13 3 22 11
+
−
=
=
52 52 52 52 26
e o item está Certo.
32. (ESAF) Ao se jogar um dado honesto três vezes, qual o valor mais próximo da
probabilidade de o número 1 sair exatamente uma vez?
a) 35%
b) 17%
c) 7%
d) 42%
e) 58%
Resp.: a
33. (ESAF) Beatriz, que é muito rica, possui cinco sobrinhos: Pedro, Sérgio, Teodoro,
Carlos e Quintino, Preocupada com a herança que deixará para seus familiares, Beatriz
resolveu sortear, entre seus cinco sobrinhos, três casas. A probabilidade de que Pedro e
Sérgio, ambos, estejam entre os sorteados , ou que Teodoro e Quintino, ambos, estejam
entre os sorteados é igual a:
a) 0,8
b) 0,375
c) 0,05
d) 0,6
e) 0,75
Resp.: d
35
Raciocínio Lógico
4. ARITMÉTICA E ÁLGEBRA
“Dica” para os testes : 01 e 02
Algoritmo de Euclides
Sendo q o quociente e r o resto na divisão entre os inteiros positivos a e b, tem-se sempre
0 ≤ r < b.
01) Em uma divisão com números naturais em que o resto é 7 e o divisor tem apenas um algarismo,
os divisores possíveis são
a) 1, 2, 3, 4, 5, 6
b) 4, 5, 6
c) 7
d) 7, 8, 9
e) 8, 9
Resp.: e
02) (UFMG) Considerem-se todas as divisões de números inteiros positivos por 17, cujo resto é
igual ao quadrado do quociente. A soma dos quocientes dessas divisões é?
Resp.: 10
03) (FCC) Em um dado momento em que Ari e Iná atendiam ao público nos guichês de dois
caixas de uma Agência do Banco do Brasil, foi observado que a fila de pessoas à frente do
guichê ocupado por Ari tinha 4 pessoas a mais que aquela formada frente ao guichê que Iná
ocupava. Sabendo que, nesse momento, se 8 pessoas da fila de Ari passassem para a fila de Iná,
esta última ficaria com o dobro do número de pessoas da de Ari, então, o total de pessoas das
duas filas era:
a) 24
b) 26
c) 30
d) 32
e) 36
Resp.: e
04)(FCC) A expressão N / 0,0125 é equivalente ao produto de N por
a) 1,25
b) 12,5
c) 1/80
d) 80
e) 125/100
Resp.: d
05) (FCC) O valor da expressão
entre
a) -2 e 1
b) 1 e 4
c) 4 e 7
d) 7 e 9
e) 9 e 10
Resp.: b
A2 − B 3
, para A=2 e B=-1, é um número compreendido
AB + B A
36
Raciocínio Lógico
06) (FCC) Para percorrer um mesmo trajeto de 72.900 metros, dois veículos gastaram: um, 54
minutos, e o outro, 36 minutos. A diferença positiva entre as velocidades médias desses
veículos, nesse percurso, em quilômetros por hora, era
a) 11,475
b) 39,25
c) 40,5
d) 42,375
e) 45,5
Resp.: c
07) Há 19 anos, uma pessoa tinha 1/4 da idade que terá daqui a 14 anos. A idade da pessoa, em
anos está hoje entre
a) 22 e 26
b) 27 e 31
c) 32 e 36
d) 37 e 41
e) 42 e 46
Resp.: b
08) (FCC) Certo dia um técnico judiciário foi incumbido de digitar um certo número de páginas
de um texto. Ele executou essa tarefa em 45minutos, adotando o seguinte procedimento:
- nos primeiros 15 minutos, digitou a metade do total das páginas e mais meia página;
- nos 15 minutos seguintes, a metade do número de páginas restantes e mais meia página;
Nos últimos 15 minutos, a metade do número de páginas restantes e mais meia página.
Se dessa forma, ele completou a tarefa, o total de páginas do texto era um número
compreendido entre
a) 5 e 8
b) 8 e 11 c) 11 e 14 d) 14 e 17 e) 17 e 20
Resp.: a
09) (ESAF) A idade atual de Carlos é a diferença entre a metade da idade que ele terá daqui a 20
anos e a terça parte da que teve 5 anos atrás. Qual é a idade atual de Carlos?
Resp.: 14 anos
10) (ESAF) Que horas são, se 4/11 do que resta do dia é igual ao tempo decorrido?
Resp.: 6h24min
11) (FCC) Num mesmo instante, dois automóveis começam a rodar em uma estrada, um em
direção ao outro, quando a distância entre eles é de 480 km. Se a velocidade de um deles é de
105 km/h e a do outro é de 95 km/h, após quanto tempo da partida eles se cruzarão nessa
estrada?
a) 1 hora e 40 minutos
b) 1 hora e 55 minutos
c) 2 horas
d) 2 horas e 20 minutos
e) 2 horas e 24 minutos
Solução:
d1= distância percorrida pelo 1º automóvel até o ponto de encontro;
d2= distância percorrida pelo 2º automóvel até o ponto de encontro.
Supondo que o tempo para se cruzarem seja t horas, teremos:
d1= 105t e d2= 95t.
37
Raciocínio Lógico
Como d1 + d2 = 480, vem que 105t + 95t = 480 e daí t=
12
h ou 2h24min.
5
Resp.: e
12) (ESAF) Em um laboratório, duas velas que têm a mesma forma e a mesma altura são acesas
simultaneamente. Suponha que:
- as chamas das duas velas ficam acesas, até que seja consumidas totalmente;
- ambas as velas queimam em velocidades constantes;
- uma delas é totalmente consumida em 5 horas, enquanto a outra o é em 4 horas.
Nessas condições, após quanto tempo do instante em que foram acesas, a altura de uma vela
será o dobro da altura da outra?
a) 2 horas e minutos
b) 2 horas e 30 minutos
c) 3 horas e 10 minutos
d) 3 horas e 20 minutos
Solução: Seja t o tempo pedido (em horas) e H a altura inicial das velas. Para simplificar,
tomemos H= 1 (uma unidade qualquer de comprimento). Então:
1) Após 1 h:
1ª vela: queimou 1/5 de H= 1/5 e sua altura será 4/5;
2ª vela: queimou 1/4 de H= 1/4 e sua altura será 3/4.
2) Após t horas:
5−t
;
5
4−t
2ª vela queimou t/4 de h = t/4 e sua altura será 1 – t/4 =
.
4
5−t
10
4−t
Fazendo-se
h, ou seja, t = 3h20min.
= 2
 obteremos t =
5
3
 4 
1ª vela queimou t/5 de H= t/5 e sua altura será 1 – t/5 =
13) (ESAF) Um avião XIS decola às 13:00 horas e voa a uma velocidade constante de x
quilômetros por hora. Um avião YPS decola às 13:30 horas e voa na mesma rota de XIS, mas a
uma velocidade constante de y quilômetros por hora. Sabendo que y > x, o tempo, em horas,
que o avião YPS , após sua decolagem, levará para alcançar o avião XIS é igual a
a) 2 / (x+y) horas
b) x / (y-x) horas
c) 1 / 2x horas
d) 1 / 2y horas
e) x / 2(y-x) horas
Solução: Os dois aviões percorrerão a mesma distância até se encontrarem. O avião YPS
levará t horas e o avião XIS levará t+1/2 horas até o encontro (pois XIS decolou meia hora
antes de YPS).
Como a distância percorrida por YPS em t horas é igual à distância percorrida por XIS em
t+1/2 horas, teremos:
y t = x (t +
1
x
)⇒ yt=xt+ ⇒
2
2
38
Raciocínio Lógico
⇒ (y-x)t =
x
x
⇒ t=
horas.
2
2( y − x )
Resp. : e
5. NÚMEROS E GRANDEZAS PROPORCIONAIS
►RAZÕES
Dados dois números racionais a e b, com b ≠ 0, chama-se razão entre a e b ao quociente
Na razão
a
.
b
a
(ou a : b) a é o primeiro termo ou antecedente e b é o segundo termo ou
b
consequente.
Exemplos:
1.Tiago tem 10 anos de idade e Rodrigo tem 14 anos. A razão entre as idades de Tiago e de
10 5
= .
14 7
2
3
2. A razão entre
e
é
5 10
2
5 = 2 x 10 = 4
3
5 3 3
10
Rodrigo é
3. A razão entre um trimestre e um ano é
1
.
4
4. A razão entre um minuto e vinte e quatro segundos é
60 5
=
24 2
►PROPORÇÕES
Proporção é a igualdade entre duas ou mais razões.
Uma proporção com duas razões é representada por
a c
= ou a : b : : c : d
b d
(lê-se “a está para b assim como c está para d”), sendo a e d os extremos e b e c os meios.
Propriedade Fundamental
O produto dos meios é igual ao produto dos extremos.
Isto é:
a c
= ⇒ ad = bc
b d
39
Raciocínio Lógico
Aplicação: Calcular x na proporção
3 x +1
=
.
5
20
Pela propriedade fundamental, temos
5 (x+1) = 20.3 ⇒ 5 (x+1) = 60 ⇒ x+1 = 12 ⇒ x = 11.
• Nota: Como consequência da propriedade fundamental, temos que, se
a)
a b
d c
=
e
= (troca dos meios ou dos extremos);
c d
b a
b)
b d
= (inversão das razões).
a c
a c
=
então:
b d
EXERCÍCIOS
01) Num jogo de basquete, André fez 60 arremessos, obtendo 50 pontos e Paulo, em 30
arremessos, obteve 20 pontos. Quem tem a maior razão de pontos por arremessos?
Resp.: André
02) Se a razão entre o valor bruto e o valor líquido de certo salário é de 6/5, que
fração do salário líquido foi descontada? E que fração do salário bruto?
Resp.: 1/5 e 1/6
03) Numa razão, o consequente excede o antecedente em 3 unidades. Adicionando-se 11
unidades ao consequente, a razão fica igual a 3/4. A razão original é
a) 54/57
b) 30/33
c) 33/36
d) 42/45
e) 18/21
Resp.: d
04) (FCC) As cidades R e S são ligadas por uma rodovia. Num mesmo instante partem dois
veículos dessas cidades, um de R para S e outro de S para R. Sem paradas, eles mantêm
velocidades constantes e cruzam-se em um ponto localizado a 3/7 do percurso de R para S. Se a
velocidade do que saiu de R era de 60 km/h, a velocidade do outro era de
a) 85 km/h
b) 80 km/h
c) 75 km/h
d) 70 km/h
e) 65 km/h
Resp.: b
05) (FCC) Álvaro e José são seguranças de uma empresa e recebem a mesma quantia por horaextra de trabalho. Certo dia, em que Álvaro cumpriu 2 horas-extras e José cumpriu 1 hora e 20
minutos, Álvaro recebeu R$ 11,40 a mais do que José. Logo, as quantias que os dois receberam,
pelas horas-extras cumpridas nesse dia, totalizavam
40
Raciocínio Lógico
a) R$ 60,00
b) R$ 57,00
c) R$ 55,00
d) R$ 54,50
e) R$ 53,80
Resp.: b
06) (FCC) Os salários de dois funcionários A e B, nessa ordem, estão entre si assim como 3 está
para 4. Se o triplo do salário de A somado com o dobro do salário de B é igual a R$ 6 800,00,
qual é a diferença positiva entre os salários dos dois?
a) R$ 200,00
b) R$ 250,00
c) R$ 300,00
d) R$ 350,00
e) R$ 400,00
Solução: resolvendo o sistema de equações abaixo
A 3
 =
B 4
3 A + 2 B = 6800
obteremos A= 1200, B=1600 e daí 1600-1200= 400.
Resp.: e
07) (FCC) Uma certa mistura contém álcool e gasolina na razão de 1 para 5, respectivamente.
Quantos centímetros cúbicos de gasolina há em 162 litros dessa mistura?
a) 135 000
b) 32 400
c) 1 350
d) 324
e)135
Solução: Supondo-se uma mistura com 6 litros(1 l de álcool + 5 l de gasolina, a razão entre
1
5
e a razão entre a gasolina e o total da mistura é
. Assim, podemos
5
6
5
x
escrever a proporção:
=
, donde tiramos x = 135 l = 135 dm3 = 135.000 cm3.
6 162
álcool e gasolina é
Obs.: Essa questão também pode ser resolvida pelo método mostrado na questão 06.
08) (FCC) Um peso de papel, feito de madeira maciça, tem a forma de um cubo cuja aresta
mede 0,8 dm. Considerando que a densidade da madeira é 0,93 g/cm3, quantos gramas de
madeira foram usados na confecção desse peso de papel ?
a) 494,18
b) 476,16
c) 458,18
d) 49,418
e) 47,616
Solução:
1) O volume do cubo com aresta = 0,8 dm = 8 cm é V = 83 = 512 cm3 ;
2)
0,93
x
=
⇒ x = 476,16 g.
1
512
Resp.: b
09) (FCC) Para estabelecer uma relação entre os números de funcionários de uma unidade do
TRT, que participaram de um curso, foi usada a expressão:
41
Raciocínio Lógico
h
= 3−
m
1
, em que h=nº de homens e m=nº de mulheres. Sabendo que o total de
1
3−
3−
1
3
participantes do curso era um número entre 100 e 200, é correto afirmar que :
a) h+m=158
Resp.: b
b) h-m=68
c) 70<h<100
d) 50<m<70
e) m.h<4000
►ESCALAS
Escala é a razão entre a medida da figura no desenho e a sua medida real, ou seja,
e=
d
r
Temos 3 tipos de escala:
a) Escala Natural: quando d = r (Escala 1:1)
b) Escala de Redução: quando d < r (Escala 1 : 50, por exemplo)
c) Escala de Ampliação: quando d > r (Escala 100 : 1, por exemplo).
EXERCÍCIOS
01) Um segmento com 15 cm de tamanho real é representado, na escala 1:1, por um segmento
de ... cm.
Resp.: 15
02) Um segmento de 3,50 m de tamanho real é representado, na escala 1:50, por um segmento
de ... cm.
Resp.: 7
03) Um segmento com 4cm de tamanho real é representado, na escala 10:1, por um segmento
de ... cm .
Resp.: 40
04) Dadas as medidas reais e as respectivas escalas para a transformacão, indicar a medida do
desenho, nos casos seguintes:
Medida Real
Escala
a) 2,00 m ......................... 1:50
b) 7,35m ………………… 1:100
c) 92cm ........................ 1:10
d) 17 mm ........................ 1:1
e) 6mm ........................ 10:1
f) 0,4 mm ........................ 20:1
Resp.: a) 4cm b) 7,35cm c) 9,2 cm
d) 17 mm
e) 60 mm
f) 8 mm
05) Um triângulo cujos lados medem 2cm, 64mm e 0,3dm, representa, num desenho feito na
escala de 1:50, um terreno que deve ser cercado por uma tela. Determine o comprimento da tela,
em metros, necessário para cercar todo o terreno .
42
Raciocínio Lógico
Resp.: 5,7
06)(FAURGS) Um mapa está na escala de 1 por 20.000 . Uma distância representada no mapa
por um segmento de 5 cm, corresponde a uma distância real, no terreno, igual a
a) 100 m
b) 250 m
c) 1 km
d) 2 km
e) 10 km
Resp.: c
07)(FAURGS) Numa planta, um terreno de 320 m2 é representado por um desenho de 20 cm2. A
escala dessa planta é
a) 1:1,6
b) 1:16
c) 1:40
d) 1:160
e) 1:400
Resp.: e
►DIVISÃO PROPORCIONAL
01) Calcule a, b, c e d supondo que as sucessões (2,a,6,c,10) e (1,2,b,4,d) são sucessões de
números
a) diretamente proporcionais;
b) inversamente proporcionais.
Solução:
a) Os números serão diretamente proporcionais se
2 a 6 c 10
= = = =
= k ( no caso, k=2).
1 2 b 4 d
A partir daí, obtemos a=4, b=3, c=8, d=5.
b) Os números serão inversamente proporcionais se
2.1 = a.2 = 6.b = c.4 = 10.d = k (no caso, k=2).
A partir daí, obtemos a=1, b=1/3, c=1/2, d=1/5.
02) Decomponha 92 em partes diretamente proporcionais a 9,8 e 6.
Solução:
1) x = 9k, y = 8k, z = 6k.
2) Substituindo em x + y + z = 92, obtemos k = 4. Daí, x = 9.4=36, y= 8.4=32 e
Resp.: 36, 32 e 24.
z=6.4=24.
03) Decomponha o número 169 em partes inversamente proporcionais a 2, 3 e 4.
Solução:
1) x =
k
k
k
, y= , z= ;
2
3
4
2) Substituindo em x + y + z = 169, obtemos k = 156. Daí, x=78, y= 52 e z=39.
Resp.: 78, 52 e 39
43
Raciocínio Lógico
04) (ESAF) Três números são proporcionais a 3, 4 e 6. Determine o maior deles, sabendo
a diferença entre triplo do menor e o número do meio é 60.
Solução: substituíndo
 x = 3k

 y = 4k
 z = 6k

que
em 3x – y = 60, obtemos k = 12. Daí, z = 6.12 = 72.
Resp.: 72
05) Os ângulos internos de um quadrilátero são proporcionais aos números 2, 3, 4 e 6. Calcule
esse ângulos, sabendo que a sua soma é igual a 360°.
Resp.: 48°, 72°, 96° e 144°.
06) (FCC) Três técnicos judiciários – Alberico, Benivaldo e Corifeu – devem arquivar 340
processos e, para executar essa tarefa, decidiram dividir o total entre si, em partes diretamente
proporcionais às suas respectivas idades. Sabe-se que:
-Alberico tem 36 anos;
-Benivaldo é o mais velho dos três e sua idade excede a de Corifeu, o mais jovem em 12 anos;
-caberá a Corifeu arquivar 90 processos.
Nessas condições, é correto afirmar que
a) as idades dos três somam 105 anos.
b) Benivaldo deverá arquivar 110 processos.
c) Corifeu tem 28 anos.
d) Alberico deverá arquivar 120 processos.
e) Benivaldo tem 35 anos.
Resp.: d
07) (FCC) Sejam x, y e z três números inteiros e positivos, tais que x<y<z. Sabe-se que o maior
é a soma dos outros dois, e que o menor é um sexto do maior. Nessas condições, x, y e z são,
nesta ordem, diretamente proporcionais a
a) 1, 3 e 6.
b) 1, 4 e 6.
c) 1, 5 e 6.
d) 1, 6 e 7.
e) 1, 7 e 8.
Resp.: c
08) (FCC) Certo dia, Amaro, Belisário, Celina e Jasmin foram incubidos de digitar 150 páginas
de um texto. Para executar essa tarefa, o total de páginas foi dividido entre eles, de acordo com
o seguinte critério:
- Amaro e Jasmin dividiram 3/5 do total de páginas entre si, na razão direta de suas respectivas
idades: 36 e 24 anos;
- Belisário e Celina dividiram entre si as páginas restantes, na razão inversa de suas respectivas
idades: 28 e 32 anos.
Nessas condições, aquele que digitaram a maior e a menor quantidade de páginas foram,
respectivamente,
a) Amaro e Celina
b) Belisário e Celina
c) Amaro e Belisário
d) Celina e Jasmin
e) Jasmin e Belisário
Resp.: a
44
Raciocínio Lógico
“Dica” : Se x é um número
1) diretamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x = ab.k ;
2) inversamente proporcional a a e b, ao mesmo tempo, escrevemos x =
k
;
ab
3) diretamente proporcional a a e inversamente proporcional a b, ao mesmo tempo, escrevemos
x=
ak
.
b
09) (FAURGS) Duas pessoas formaram uma sociedade, tendo uma delas participado com R$
11.000,00 e trabalhado 2 dias por semana e a outra participado com R$ 9.000,00 e trabalhado 3
dias por semana. Após algum tempo, obtiveram R$ 9.800,00 de lucro que foi dividido entre elas
proporcionalmente ao capital e ao tempo de trabalho de cada uma.
Dos valores abaixo, o que representa o lucro do sócio que entrou com o maior capital é
a) R$ 2.200,00
b) R$ 4.400,00
c) R$ 5.400,00
d) R$ 6.600,00
e) R$ 7.400,00
Solução:
 x = 11000.2.k = 22 000 k

 y = 9000.3 .k = 27 000 k
Substituíndo em x + y = 9 800 obteremos k =
1
1
e daí, x = 22 000. = 4.400,00.
5
5
10) Dividir 360 em partes que sejam, ao mesmo tempo, diretamente proporcionais a 5, 8 e 10 e
inversamente proporcionais a 6,3 e 4.
Solução: x =
5k
8k
10k 5k
=
. Substituindo em x + y + z = 360, obtemos k = 60.
, y=
, z=
6
3
4
2
A partir daí, vem que x= 50, y= 160 e z= 150.
Resp.: 50,160 e 150.
11) (FCC) Considere que a carência de um seguro-saúde é inversamente proporcional ao valor
da franquia e diretamente proporcional à idade do segurado. Se o tempo de carência para um
segurado de 20 anos, com uma franquia de R$ 1.000,00 é 2 meses, o tempo de carência para um
segurado de 60 anos com uma franquia de R$ 1.500,00 é
a) 4 meses
b) 4 meses e meio
c) 5 meses
d) 5 meses e meio
e) 6 meses
Resp.: a
12) (FCC) No quadro abaixo, têm-se as idades e os tempos de serviço de dois técnicos
judiciários do Tribunal Regional Federal de uma certa circunscrição judiciária.
45
Raciocínio Lógico
João
Maria
Idade(em anos) Tempo de serviço(em anos)
36
8
30
12
Esses funcionários foram incumbidos de digitar as laudas de um processo. Dividiram o total de
laudas entre si, na razão direta de suas idades e inversa de seus tempos de serviço no tribunal. Se
João digitou 27 laudas, o total de laudas do processo era
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43
e) 44
Resp.: c
13) (FCC) Dois funcionários de uma Repartição Pública foram incumbidos de arquivar 164
processos e dividiram esse total na razão direta de suas respectivas idades e inversa de seus
respectivos tempos de serviço público.
Se um deles tem 27 anos e 3 anos de tempo de serviço e o outro 42 anos e está há 9 anos no
serviço público, então a diferença positiva entre os números de processos que cada um arquivou
é
a) 48
b) 50
c) 52
d) 54
e) 56
Resp.: c
►REGRAS DE TRÊS
São usadas para resolver problemas que envolvem grandezas proporcionais.
Duas grandezas são direta ou inversamente proporcionais (GDP ou GIP) quando os valores
numéricos assumidos por elas são, respectivamente, números direta ou inversamente
proporcionais.
Exemplos:
1) As grandezas A e B abaixo são diretamente proporcionais. Determine x e y:
A
B
20
4
30
6
40
x
A
B
10
2,5
8
x
14
y
Resp.: x = 8
Resp.: x=2, y=3,5
2) As grandezas A e B abaixo são inversamente proporcionais.
Determine x:
A
B
6
24
12
x
Resp.:x=12
A
B
8
10
x
16
Resp.: x=5
REGRA DE TRÊS
Simples
Direta: envolve duas GDP
Inversa: envolve duas GIP
Composta: envolve mais de duas grandezas
46
Raciocínio Lógico
Exemplos
1) Paguei $ 600 por 5m de um tecido. Quanto pagaria por 8m desse tecido?
5m  600
8m 
x
Temos aqui duas GDP (veja o sentido das setas). Logo:
5 600
8.600
= 960
=
⇒x=
8
x
5
Resp.: $ 960
2) Um carro, com a velocidade de 80km/h, percorre um trajeto em 4h. Em quanto tempo esse
mesmo trajeto seria percorrido se a velocidade do carro fosse de 64km/h?
80km/h  4h
64km/h  x
Agora temos duas GIP (veja o sentido das setas). Logo:
80 x
80.4
=5
= ⇒x=
64 4
64
Resp.: 5 horas
3) Numa indústria, quatro máquinas trabalhando 8 dias produzem 600 peças. Em quantos dias
duas máquinas produziriam 900 peças?
GIP
GDP
4 máquinas

8 dias

600 peças
2 máquinas

x dias

900 peças
Relacionamos a grandeza que contém a incógnita, isoladamente, com cada uma das outras.
Vemos que “tempo” e “máquinas” são GIP e “tempo” e “peças” são GDP. Assim, temos:
8 2 600
= ⋅
⇒ x = 24
x 4 900
Resp.: 24 dias
4. Um operário levou 10 dias de 8 horas para fazer 1000m de fazenda. Quantos dias de 6 horas
levaria para fazer 2000m de outra fazenda que apresenta uma dificuldade igual aos 3/4 da
primeira?
47
Raciocínio Lógico
10d

8h

1000 m
 dif. 4
xd

6h

2000 m
 dif. 3
10 6 1000 4
= ⋅
⋅ ⇒ x = 20
x 8 2000 3
Resp.: 20 dias
EXERCÍCIOS
01. Com 100 kg de trigo pode-se fazer 85 kg de farinha. Qual a quantidade de farinha que se
obtém com 480 kg de trigo?
Resp.: 408 kg
02. A sombra de uma chaminé mede 4,5 m e a de uma vara vertical, no mesmo instante, é 0,9
m. Calcule a altura da chaminé sabendo-se que a vara tem 2 m de comprimento.
Resp.: 10m
03. Um parafuso avança 33 mm em cada 6 voltas. Qual o número de voltas para avançar 77
mm?
Resp.: 14
04. Uma torneira despeja em meia hora 600 litros de água. Quantos litros são escoados em 8
minutos?
Resp.: 160
05.(FDRH) Em cada 3m2 de uma fazenda são plantadas 15 sementes. O número de hectares
necessários para se plantar 200 mil sementes é...
Resp.: 4
06. (CESGRANRIO) O faxineiro A limpa certo salão em 4 horas. O faxineiro B faz o mesmo
serviço em 3 horas. Se A e B trabalharem juntos, em quanto tempo, aproximadamente, espera-se
que o serviço seja feito?
a)2h7min
b)2h5min
c)1h57min
d)1h43min
e)1h36min
Solução:
1) Em 1h, A e B limpam juntos:
2)
1 1 7
+ =
do salão.
4 3 12
7

1h..........
12

 x............1
48
Raciocínio Lógico
Como as grandezas são diretamente proporcionais (GDP) teremos x =
1.1 12
= h, ou seja,
7 / 12 7
x= 1h43min aproximadamente.
Resp.: d
07. (FCC) Trabalhando individualmente, o funcionário A é capaz de cumprir certa tarefa em 8
horas, o funcionário B em 6 horas e o funcionário C em 5 horas. Nessas condições, se
trabalharem juntos na execução dessa tarefa, o esperado é que ela seja cumprida em,
aproximadamente,
a) 1 hora e 40 minutos
b) 2 horas, 2 minutos e 2 segundos
c) 2 horas e 20 minutos
d) 2 horas, 22 minutos e 30 segundos
Resp.: b
08. (ESAF) Existem duas torneiras para encher um tanque vazio. Se apenas a primeira torneira
for aberta, ao máximo, o tanque encherá em 24 horas. Se apenas a segunda torneira for aberta,
ao máximo, o tanque encherá em 48 horas. Se as duas torneiras forem abertas ao mesmo tempo,
ao máximo, em quanto tempo o tanque encherá?
a) 12 horas
b) 30 horas
c) 20 horas
d) 24 horas
e) 16 horas
Resp.: e
09. (FCC) Pretendendo fazer uma viagem à Europa, Mazza foi certo dia a uma agência do
Banco do Brasil comprar euros e dólares. Sabe-se que ela usou R$ 6 132,00 para comprar € 2
800,00 e que, com R$ 4 200,00 comprou
US$ 2 500, 00. Com base nessas duas transações, é correto afirmar que, nesse dia, a cotação do
euro em relação ao dólar, era de 1 para
a) 1,3036
b) 1,3606
c) 1,3844
d) 1,4028
e) 1,4204
Resp.: a
10. (FAURGS) Uma comunicação veiculada na televisão dura 9 segundos. O número de horas
correspondente a esse tempo é
a) 0,25.10-3
b) 2,5.10-3
c) 25.10-3
d) 2,5.10-1
e) 0,25.10
Resp.: b
49
Raciocínio Lógico
11 .(FCC) Certa máquina gasta 20 segundos para cortar uma folha de papelão de formato
retangular em 6 pedaços iguais. Assim sendo, quantos segundos essa mesma máquina gastaria
para cortar em 10 pedaços iguais outra folha igual à primeira se, em ambas as folhas, todos os
cortes devem ter o mesmo comprimento?
a) 36
b) 35,5
c) 34
d) 33,3
e) 32
Resp.: a
12. Uma roda com 50 dentes engrena com outra de 40. Qual o número de voltas da primeira,
quando a segunda dá 600 voltas por minuto?
Solução:
40dentes.........600v / min

50dentes..........x
Como as grandezas são inversamentes proporcionais (GIP), escrevemos
40
x
e daí
=
50 600
obtemos x = 480 v/min.
Resp.: 480
13. (CESGRANRIO) Uma pessoa x pode realizar uma certa tarefa em 12 horas. Outra pessoa y,
é 50% mais eficiente que x. Nessas condições, o número de horas necessárias para que y realize
essa tarefa é
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
Resp.: e
14. (UFRGS) A quantidade de água que deve ser evaporada de 300g de uma solução salina(água
e sal) a 2%(sal) para se obter uma solução salina a 3%(sal) é
a) 90g
Resp.: e
b) 94g
c) 97g
d) 98g
e) 100g
15. Um livro tem 300 páginas com 25 linhas em cada uma. Para reimprimí-lo, empregando os
mesmos caracteres, quantas páginas de 30 linhas são necessárias?
Resp.: 250
16. Para transportar certo volume de areia para uma construção, foram
necessários 20
caminhões de 4m3 de areia cada um. Se cada caminhão pudesse conter 5m3 de areia, quantos
caminhões seriam necessários para fazer o mesmo serviço?
Resp.: 16
17.(ESAF) Floriano e Peixoto são funcionários do Ministério Público da União e, certo dia,
cada um deles recebeu um lote de processos para arquivar. Sabe-se que :
50
Raciocínio Lógico
-
os dois lotes tinham a mesma quantidade de processos;
-
ambos iniciaram suas tarefas quando eram decorridos
37
do dia e trabalharam juntos
96
ininterruptamente até concluí-la;
Floriano gastou 1hora e 45 minutos para arquivar todos os processos de seu lote;
Nas execuções das respectivas tarefas, a capacidade operacional de Peixoto foi 60% da
de Floriano.
Nessas condições, Peixoto completou a sua tarefa às
-
a)
b)
c)
d)
e)
11 horas e 15 minutos.
Solução:
1º) Início das tarefas:
37
37
× 24 =
h = 9h15min ( ou 555 min );
96
4
2º) Tempo gasto por Peixoto para realizar sua tarefa:
Cap.Operacional 100 (Floriano).........105 min
Cap.Operacional 60 (Peixoto)............x min
Como as grandezas são inversamente proporcionais ( GIP), escrevemos
100
x
=
⇒ x = 175 min ( ou 2h 55min );
60 105
3º) 9h 15min + 2h 55min = 12h 10 min (ou 555min + 175 min= 730 min= 12h10min).
Resp.: d
18. Vinte homens podem arar um campo em 6 dias, trabalhando 9 horas por dia. Quanto tempo
levarão para arar o mesmo campo 12 homens trabalhando 5 horas por dia?
Resp.: 18 dias
19. (CESGRANRIO) Em 3 dias, 72.000 bombons são embalados, usando-se 2 máquinas
embaladoras funcionando 8 horas por dia. Se a fábrica usar 3 máquinas iguais às primeiras,
funcionando 6 horas por dia, em quantos dias serão embalados 108.000 bombons?
a) 3
b) 3,5
c) 4
d) 4,5
e)5
Resp.: c
20. (ESAF) Com 50 trabalhadores, com a mesma produtividade, trabalhando 8 horas por dia,
uma obra ficaria pronta em 24 dias. Com 40 trabalhadores, trabalhando 10 horas por dia, com
uma produtividade 20% menor que os primeiros, em quantos dias a mesma obra ficaria pronta?
a) 24
b) 16
c) 30
d) 15
e) 20
Resp.: c
51
Raciocínio Lógico
21. Um ciclista percorreu 150 km em 2 dias, pedalando 3 horas por dia. Em quantos dia faria
uma viagem a 400 km pedalando 4 horas por dia?
Resp.: 4
22. Se
2
de uma obra foi realizada em 5 dias por 8 operários, trabalhando 6 horas por dia, o
3
restante da obra será feito, agora com 6 operários, trabalhando 10 horas por dia em...
Resp.: 2 dias
23. Um livro tem 300 páginas, cada página 40 linhas e cada linha 54 letras. Utilizando-se os
mesmos caracteres na reimpressão do livro, quantas páginas ele terá com 45 linhas por página e
50 letras por linha?
Resp.: 288
24. Para construir um canal de 104m de comprimento por 5m de profundidade e 7m de largura,
100 operários, trabalhando 7 horas por dia levaram 2 meses e meio. Aumentando de 400 o
número de operários e fazendo-os trabalhar 10 horas por dia, em quanto tempo os operários
construiriam um outro canal com o mesmo comprimento, porém de profundidade e largura
dupla do primeiro?
Resp.: 42 dias
25. Quinze operários, com capacidade 5, abriram uma vala de 300 metros de comprimento,
trabalhando 10 horas por dia, num terreno de dificuldade 3. Vinte operários, com capacidade 4,
trabalhando 12 horas por dia, num terreno de dificuldade 2, abririam uma vala de quantos
metros de comprimento?
Resp.: 576m
26. Uma firma construtora preparou 20 km de leito da estrada contratada em 200 dias e 8 horas
de jornada de trabalho, utilizando 9 máquinas e empre gando 45 homens. Em quantos dias de
trabalho concluirá a preparação de outros 24 km, da mesma estrada, se utilizar na obra 10
máquinas e 48 homens em jornada diária de 9 horas, sabendo-se que a dificuldade deste trecho é
4
da do trecho concluído?
5
Resp.: 144 dias
27. Um gato e meio come uma sardinha e meia em um minuto e meio. Em quanto tempo 9 gatos
comerão uma dúzia e meia de sardinhas?
Solução:
1,5 gatos...........1,5 sardinhas.........1,5 min
9 gatos..............18 sardinhas.......... x min
1,5 9 1,5
=
.
e daí, obtemos x = 3.
x 1,5 18
Resp.: 3 minutos
28. Se 100 raposas comem 100 galinhas em 100 minutos, uma raposa come uma galinha em
quantos minutos?
a) 20
b) 40
c) 60
d) 80
e) 100
Resp.: e
52
Raciocínio Lógico
►PORCENTAGEM
Uma porcentagem é uma razão na qual o consequente é 100.
Simbologia: %
Exemplos:
5

1
)
5
%
=
= 0,05

100

27

= 0,27
2) 27% =
100

147

3)147% = 100 = 1,47

a) Aumento (acréscimo)
Vo = valor inicial

Vf = valor final
i =taxa de aumento

⇒
Vf = Vo (1 + i) , onde 1 + i = fator de aumento.
Exemplo:
Vo = $ 50
i = 35% (aumento)
Vf = ?
⇒
Vf = 50 x 1,35 = 67,50
b) Diminuição (desconto)
Vo = valor inicial

Vf = valor final
i =taxa de desconto

Exemplo:
Vo = $ 120
i = 10% (desconto)
Vf= ?
⇒
⇒
Vf= Vo (1 - i) , onde 1 - i = fator de desconto.
Vf = 120 x 0,90 = 108
c) Aumentos sucessivos
Vf = Vo (1 + i1) (1 + i2)... (1 + in)
Exemplo:
Uma mercadoria de valor $ 100 sofre dois aumentos sucessivos de 10%. Qual o valor final da
mercadoria?
Vf= 100 x 1,10 x 1,10 = 100 x 1,21 = $ 121
d) Descontos sucessivos
Vf = Vo (1 - i1) (1 - i2)... (1 - in)
Exemplo: Sobre uma fatura de valor igual a $ 200 incidiram os descontos sucessivos de 30% e
5%. Qual o valor líquido da fatura?
Vf = 200 x 0,70 x 0,95 = $ 133
53
Raciocínio Lógico
EXERCICIOS
01) (ESAF) De todos os empregados de uma grande empresa, 30% optaram por realizar um
curso de especialização. Esta empresa tem sua matriz localizada na capital. Possui também duas
filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. Na matriz trabalham 45% dos
empregados e na filial de Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. Sabendo-se que 20% dos
empregados da capital optaram pela realização do curso e que 35% dos empregados da filial de
Ouro Preto também o fizeram, então a percentagem dos empregados da filial de Montes Claros
que não optaram pelo curso é igual a ?
Resp.: 60 %
02) (PUCRS)- Se x% de y é igual a 20, então y% de x é igual a
a) 2
b) 5
c) 20
d) 40
e) 80
Resp.: c
03) Um banco ia emprestar a 15 clientes. Na última hora chegaram mais 5. De quantos por
cento variou o empréstimo a cada um, se todos receberam por igual?
a) 5%
b) 10%
c) 15%
d) 20%
e) 25%
Resp. : e
04) (FCC) Um técnico judiciário arquivou 20% do total de processos de um lote. Se 35% do
número restante corresponde a 42 processos, então o total existente inicialmente no lote era
a) 110
b) 120
c) 140
d) 150
e) 180
Resp.: d
05) (FCC) Na venda de um certo produto, um vendedor consegue um lucro de 20% sobre o
preço de custo. Portanto, a fração equivalente à razão entre o preço de custo e o preço de venda
é
a) 1/5
b) 2/5
c) 2/3
d) 3/4
e) 5/6
Solução: supondo Preço de Custo C= 100 teremos Preço de Venda V = 120. Daí:
C 100 5
=
=
V 120 6
Resp.: e
06) (FAURGS) Uma mistura contém apenas duas substâncias, x e y, que apresentam, entre si, a
razão de 7 para 9 respectivamente. A porcentagem de y nessa mistura é
a) 43,75% b) 47,55% c) 56,25% d) 65,25%
e) 87,53%
Resp.: c
07) (CESGRANRIO) Em uma agência bancária trabalham 40 homens e 25 mulheres. Se, do
total de homens, 80% não são fumantes e, do total de mulheres, 12% são fumantes, então o
número de funcionários dessa agência que são homens ou fumantes é
a) 42
b) 43
c) 45
d) 48
e) 49
Resp.: b
54
Raciocínio Lógico
08) (ESAF) Em uma repartição, 3/5 do total dos funcionários são concursados, 1/3 do total dos
funcionários são mulheres e as mulheres concursadas correspondem a 1/4 do total do total dos
funcionários dessa repartição. Assim, qual entre as opções abaixo, é o valor mais próximo da
porcentagem do total dos funcionários dessa repartição que são homens não concursados?
a) 21%
b) 19%
c) 42%
d) 56%
e) 32%
Resp.: e
09) (FCC) Dos funcionários concursados lotados em certa repartição pública, sabe-se que a
razão entre o número de homens e o de mulheres, nesta ordem, é 1,20. Se 88% dos funcionários
dessa repartição são concursados, então, relativamente ao total de funcionários, a porcentagem
de funcionários concursados do sexo
a) feminino é maior que 42%.
b) masculino está compreendida entra 45% e 52%.
c) feminino é menor que 35%.
d) masculino é maior que 50%.
e) masculino excede a dos funcionários do sexo feminino em 6%.
Resp.: b
10) (FCC) Paulo digitou 1/5 das X páginas de um texto e Fábio digitou 1/4 do número de
páginas restantes. A porcentagem de X que deixaram de ser digitadas é
a) 20%
b) 25%
c) 45%
d) 50%
e) 60%
Resp.: e
11) (ESAF) Em uma universidade, 56% dos alunos estudam em cursos da área de ciências
humanas e os outros 44% estudam em cursos da área de ciências exatas, que incluem
matemática e física. Dado que 5% dos alunos da universidade estudam matemática e 6% dos
alunos da universidade estudam física e que não é possível estudar em mais de um curso na
universidade, qual a proporção dos alunos que estudam matemática ou física entre os alunos que
estudam em cursos de ciências exatas?
a) 20,00%
b) 21,67%
c) 25,00%
d) 11,00%
e) 33,33%
Resp.: c
12) (ESAF) Em um determinado curso de pós-graduação, 1/4 dos participantes são graduados
em matemática, 2/5 dos participantes são graduados em geologia, 1/3 dos participantes são
graduados em economia, 1/4 dos participantes são graduados em biologia e 1/3 dos
participantes são graduados em química. Sabe-se que não há participantes do curso com outras
graduações além dessas, e que não há participantes com três ou mais graduações. Assim, qual é
o número mais próximo da porcentagem de participantes com duas graduações?
a) 40%
b) 33%
c) 57%
d) 50%
e) 25%
Resp.: c
55
Raciocínio Lógico
13) A produção de trigo num dado ano foi de 80 t e no ano seguinte aumentou 5%. A nova
produção de trigo foi de?
Solução: Vf = Vo(1+i) ⇒ Vf = 80(1,05) =84 t
14) Numa competição,um nadador cujo tempo era de 50s, diminui em 10% o seu tempo. O seu
novo tempo é de?
Solução: Vf = Vo(1-i)⇒ Vf = 50 (0,9) = 45 s
15) Ao pagar a conta de um restaurante, paguei $ 165,00 já incluindo 10% de gorjeta para o
garçom. O valor da conta, sem a gorjeta, foi de?
Solução:
Vf=Vo(1+i)⇒ 165 = Vo(1,1) ⇒ Vo =
165
= 150
1,1
Resp.: $ 150,00
16) (FCC) Considere que, do custo de produção de determinado produto, uma empresa gasta
25% com mão de obra e 75% com matéria-prima. Se o gasto com a mão de obra subir 10% e o
de matéria-prima baixar 6%, o custo do produto
a) baixará de 2%.
b) aumentará de 3,2%.
c) baixará de 1,8%.
d) aumentará de 1,2%.
e) permanecerá inalterado.
Resp.: a
17) (FAURGS) João vendeu dois terrenos por $ 12.000,00 cada um. Um deles deu 20% de lucro
em relação ao custo. O outro, 20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de ambos, João
a) ganhou $1.000,00
b) perdeu $ 1.000,00
c) não perdeu nem ganhou
d) perdeu $ 400,00
e) ganhou $ 400,00
Resp.: b
18) No 1º dia de um certo mês ,uma ação estava cotada a $20,00. Do dia 1º até o dia 15 do
mesmo mês, ela sofreu um aumento de 15%. Do dia 15 até o dia 25, sofreu uma queda de 7%.
Qual a cotação da ação no dia 25 ?
Solução: Vf = 20 x 1,15 x 0,93 = $21,39.
19) (UFRGS) Num semestre a inflação foi de 32% e, ao final dele, um trabalhador teve
reposição salarial de 20%. Para que o poder de compra desse trabalhador fosse mantido no
mesmo patamar do início do semestre, o salário já reajustado em 20 % deveria, ainda, sofrer
um reajuste de
a) 10%
b) 12%
c) 16%
d) 20%
e) 32%
Solução:
(1,20)(1+i) = 1,32 ⇒ 1+i =
1,32
= 1,1 ⇒ i = 0,1 ou 10%.
1,20
20) (FCC) Duas lojas têm o mesmo preço de tabela para um mesmo artigo e ambas oferecem
dois descontos sucessivos ao comprador: uma, de 20% e 20%; e a outra, de 30% e 10%. Na
escolha da melhor opção, um comprador obterá, sobre o preço de tabela, um ganho de
a) 34%
b) 36%
c) 37%
d) 39%
e) 40%
Resp.: c
56
Raciocínio Lógico
21) (FCC) Certo mês, um comerciante promoveu uma liquidação em que todos os artigos de sua
loja tiveram os preços rebaixados em 20%. Se, ao encerrar a liquidação o comerciante pretende
voltar a vender os artigos pelos preços anteriores aos dela, então os preços oferecidos na
liquidação devem, ser aumentados em
a) 18,5%
b) 20%
c) 22,5%
d) 25%
e) 27,5%
Resp.: d
22) (FAURGS) Certa empresa projeta um aumento anual de 50% em sua produção. Se, em
determinado ano, ela produz 1.000 unidades de determinado produto, então, 3 anos após, o
número de unidades desse produto produzido pela empresa é estimado em
a) 50%(1000)3
b) 3(0,5)1000
c) 1,5(1000.3)
d) 1000(1,5)3
e) 1000(0,50)3
Solução: Vf = 1000(1,5)(1,5)(1,5) = 1000(1,5)3
Resp.: d
23) (FCC) Em dezembro de 2007, um investidor comprou um lote de ações de uma empresa por
R$ 8.000,00. Sabe-se que: em 2008 as ações dessa empresa sofreram uma valorização de 20%;
em 2009, sofreram uma desvalorização de 20% em relação ao seu valor no ano anterior; em
2010, se valorizaram em 20% em relação ao seu valor em 2009. De acordo com essas
informações, é verdade que, nesses três anos, o rendimento percentual do investimento foi de:
a) 20%
b) 18,4%
c) 18%
d) 15,2%
e) 15%
Resp.: d
24) (ESAF) Uma estranha clínica veterinária atende apenas cães e gatos. Dos cães hospedados,
90% agem como cães e 10% agem como gatos. Do mesmo modo, dos gatos hospedados 90%
agem como gatos e 10% agem como cães. Observou-se que 20% de todos os animais
hospedados nessa estranha clínica agem como gatos e que os 80% restantes agem como cães.
Sabendo-se que na clínica veterinária estão hospedados 10 gatos, o número de cães hospedados
nessa estranha clínica é
a) 10
b) 20
c) 40
d) 50
e) 70
c = nº de cães

Solução:  g = n º de gatos = 10
total de animais = c + 10

1º) 90% de c =
9
1
c agem como cães e 10% de c = c agem como gatos
10
10
2º) 90% de g = 9 agem como gatos e 10% de g = 1 age como cão;
3º) Como 20% de todos os animais da clínica agem como gatos, temos:
20
1
(c + 10) = c + 9 e a partir daí, obtemos c = 70.
100
10
Resp.: e
57
Raciocínio Lógico
7. SISTEMA MÉTRICO DECIMAL
Os múltiplos e submúltiplos de uma unidade de medida são dados através de prefixos que
indicam quantas vezes eles são maiores ou menores que a unidade fundamental.
Listamos a seguir os prefixos mais utilizados, com os seus respectivos símbolos e valores no
Sistema Internacional de Unidades (SI):
u = unidade fundamental
deca = da = 10u
hecto = h = 100u = 102u
quilo = k = 1000u = 103u
mega = M = 106u
giga = G = 109
tera = T = 1012u
deci = d = 0,1u = 10-1u
centi = c = 0,01u = 10-2u
mili = m = 0,001u = 10-3u
micro = µ = 10-6u
nano = n = 10-9u
pico = p = 10-12u
Medidas de Comprimento
A unidade fundamental é o metro (m). Um metro é igual a
1
da distância de
10.000.000
um pólo ao equador, medida sobre um meridiano. Esse comprimento está indicado entre dois
traços feitos numa barra de platina-irídio que se encontra no Museu Internacional de Pesos e
Medidas, na França.
Múltiplos
quilômetro
U.F.
hectômetro
km
decâmetro
hm
Submúltiplos
metro
decímetro
centímetro
milímetro
m
dm
cm
mm
dam
Cada unidade de comprimento é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as
unidades variam de 10 em 10 (de uma em uma casa).
Exemplo: Efetue a operação abaixo, dando o resultado em metros:
0,52km + 2,46dm + 0,005hm + 247,5dam.
Solução: basta fazer a tabela abaixo
0,52km
2,46dm
0,005hm
247,5dam
Total:
Resp.: 2995,746m
km
0
hm
5
dam
2
2
2
0
4
9
0
7
9
m
0
0
0
5
5
dm
cm
mm
2
5
4
6
7
4
6
58
Raciocínio Lógico
Perímetro de polígono: É a soma da medida dos lados do polígono.
Exemplo: As medidas dos lados de um triângulo são 2,5m, 0,15dam e 400cm. Qual o perímetro,
em dm?
2,5m = 25dm; 0,15dam = 15dm; 400cm = 40dm
Logo, o perímetro é P= 25dm + 15dm + 40dm = 80dm
Comprimento da circunferência: Retificando-se uma circunferência de raio r obtém-se um
segmento de comprimento igual a 2π , onde π ≅ 3,14 . Assim, o comprimento da
circunferência é dado por
C = 2π r
Exemplo: A circunferência de raio r = 3 cm
C = 2π.3 = 6π cm.
tem comprimento
Medidas de Superfície (Áreas)
A unidade fundamental é metro quadrado (m²), que é a área de um quadrado com 1m de lado:
1m
1m
1m²
Múltiplos
km²
hm²
dam²
U.F.
m²
Submúltiplos
dm²
cm²
mm²
1m
● Cada unidade de superfície é 100 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é, as
unidades variam de 100 em 100 (de duas em duas casas).
Exemplo: Efetue a operação 20cm² + 0,9dm² + 1,8dam² dando o resultado em m².
km²
hm²
dam²
m²
dm²
cm²
mm²
20cm²
20
0,9dm²
00
90
1,8dam²
01
80
Total:
01
80
01
10
Resp.: 180,0110m²
Medidas Agrárias
1 hectare (ha) = 1hm²
1 are (a) = 1dam²
1 centiare (ca) = 1m²
59
Raciocínio Lógico
Exemplo: Quantos m² há em 1.537ha?
km²
hm² (ha)
dam²(a)
m² (ca)
15
37
00
00
Resp.: 15.370.000m²
Medidas de Volume
A unidade fundamental de volume é o metro cúbico (m³), que é o volume de um cubo
com 1m de aresta.
km³
•
Múltiplos
hm³
dam³
U.F.
m³
dm³
Submúltiplos
cm³
mm³
Cada unidade de volume é 1.000 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é,
as unidades variam de 1.000 em 1.000 (de três em três casas).
Exemplo: Efetuar a operação 0,002dam³ + 3.000dm³ dando o resultado em m³.
Solução:
km³
hm³
0,002dam³
3.000dm³
Total:
dam³
0
m³
002
003
005
dm³
cm³
mm³
000
000
Resp.: 5m³
Nota: 1 estéreo = 1st = 1m³ (usado para medir lenha)
Medidas de Capacidade
As unidades de capacidades servem para medir o volume de líquidos e gases. A unidade
fundamental é o litro ( l ), que equivale a 1dm³.
kl
•
Múltiplos
hl
U.F.
da l
l
dl
Submúltiplos
cl
ml
Cada unidade de capacidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, isto é,
as unidades variam, de 10 em 10 (de uma em uma casa).
Exemplo: Converter 45,73d l em h l
Pela tabela, vemos que 45,73d l = 0,04573h l
60
Raciocínio Lógico
Medidas de Massa
Apesar da unidade fundamental ser o quilograma (kg), usa-se na prática o grama (g) como
unidade básica.
kg
Múltiplos
hg
dag
U.F.
g
dg
Submúltiplos
cg
mg
Aqui também, cada unidade é 10 vezes maior que a unidade imediatamente inferior, ou
seja, as unidades variam de 10 em 10 (de uma em uma casa).
Exemplo: 0,0025 hg = 25 cg
•
Unidades especiais de massa:
1 tonelada (t) = 1.000 kg = 103 kg
1 megaton = 1.000.000 t = 106 t
1 quilate = 0,2g (usado p/medir a massa de pedras e metais preciosos)
1 arroba = 15 kg
Relação Fundamental (Volume x Capacidade x Massa)
Para a água pura, a 4°C vale a seguinte relação:
1 dm³ = 1 l = 1 kg
Com base na relação acima temos a tabela (incompleta):
kl
t
m³
3
hl
-
da l
-
l
kg
dm³
dl
hg -
cl
dag
-
ml
g
cm³
• Observação
A relação 1dm = 1 l = 1kg vale só para a água a 4ºC e pressão de 1 atmosfera.
Mas 1dm3 = 1 l
vale para qualquer líquido.
Exemplos:
1 – A massa de água contida em um tanque cheio é de 1,8t. Qual é a capacidade do tanque, em
ml ?
Ora, 1,8t = 1.800kg = 1.800 l = 1.800.000m l (pode-se também resolver esse problema pela
tabela anterior).
2 – A massa de um diamante é 243 quilates. Qual a sua massa em dg?
243 quilates = 243 x 0,2 = 48,6g = 486dg
61
Raciocínio Lógico
EXERCÍCIOS
01) Converter:
a) 3,125 km em dam
b) 15,21 dam em dm
c) 6,2 m em cm
d) 12,3 km em m
e) 0,0002 hm em cm
Resp.: a) 312,5
b) 152l
c) 620
02) Converter:
a) 2,48 ha em ca
b) 0,0015 ha em a
c) 2,53 dam2 em a
d) 2345,9 dm2 em ca
e) 20000 ca em km2
Resp.: a) 24800
b) 0,15
c) 2,53
03) Converter:
a) 2.5 dm3 em m3
b) 15,8 cm3 em dm3
c) 5 hm3 em km3
d) 1 000 000 mm3 em m3
e) 1758,42 mm3 em cm3
Resp.: a) 0,0025 b) 0,0158
c) 0,005
04) Converter:
a) 1,52 dl em ml
b) 0,002 kl em dal
c) 2l em ml
d) 0,002 dal em ml
e) 8,302 hl em ml
Resp.: a) 152 b) 0,2
d) 20
05) Converter:
a) 1,25 hg em g
b) 3,18g em mg
c) 0,0025 hg em cg
d) 2 g em dag
e) 0,5g em hg
Resp.: a) 125 b) 3180
c) 2000
c) 25
d) 0,2
d) 12300
d) 23,459
d) 0,001
e) 2
e) 0,02
e) 1,75842
e) 830200
e) 0,005
06) Um tanque, quando cheio, contém 3,6t de água. Qual a sua capacidade, em ml?
Solução: 3,6 t = 3,6 x 1000 = 3.600 kg que equivalem a 3.600 litros = 3.600.000 ml.
Resp.: 3.600.000
07) Um caminhão transporta 10 caixas idênticas que contém 20 hl de água cada uma. Qual é a
massa total, em kg, da água contida nessas caixas?
Resp.: 20 000
08) 100 dm x 0,1 dam x 100 mm = .......... m3
Resp.: 1
62
Raciocínio Lógico
09) Um vidro de xarope contém 21 doses de 3ml. A quantidade de xarope, em litros, que o vidro
contém é ?
Resp.: 0,063
10) Um quadrado de 1 km de lado, tem área, em ha, igual a?
Resp.: 100
11) Uma indústria possui em seu reservatório 0,25 dam3 + 150 m3 + 22 000 dm3+3 000 000 cm3
de óleo de soja. A empresa pretende embalar o produto em latas de 900 ml. Sabendo-se que no
processo de embalagem há uma perda de 1% do líquido, o número de latas de soja que a
indústria produzirá é?
Resp.: 467.500
12) O lado de um quadrado mede 0,05 m. Qual a sua área em cm2 ?
Resp.: 25
13) As dimensões de um paralelepípedo retângulo são 0,08 dam, 400 mm e 0,0003 km, O seu
volume, em dm3, é?
Resp.: 96
14) O lado de um pentágono regular mede 40 dm. O seu perímetro, em mm, é?
Resp.: 20.000
15) (FCC) Para o transporte de valores de certa empresa são usados dois veículos, A e B. Se a
capacidade de A é de 2,4 toneladas e a de B é de 32 000 quilogramas, então a razão entre as
capacidades de A e B, nessa ordem, equivale a
a) 0,0075 % b) 0,65 % c) 0,75 % d) 6,5 % e) 7,5 %
Solução:
A = 2,4 t = 2.400 kg; B = 32.000 kg.
A 2.400
3
3
=
=
e
x 100 = 7,5%
B 32.000 40
40
Resp.: e
63
Raciocínio Lógico
8. GEOMETRIA E TRIGONOMETRIA (NO ∆ RETÂNGULO)
► MEDIDA DE UM ÂNGULO
Na geometria, um arco AB e o ângulo central correspondente são medidos com a mesma
unidade, ou seja, med (AB) = med(AÔB) = θ .
UNIDADES
As unidades usuais para medir ângulos são o GRAU ( ° ) e o RADIANO (rad).
GRAU: um ângulo mede 1 ° quando o seu comprimento é igual a 1/360 da circunferência que
o contém.
Obs.: Para ângulos menores que 1° são usados o MINUTO (‘) e o SEGUNDO ( “).
1° = 60 ‘
1 ‘= 60 “
RADIANO: um ângulo mede 1 rad quando o seu comprimento é igual ao raio da circunferência
que o contém.
De um modo geral, obtemos a medida de um ângulo em radianos, dividindo-se o comprimento
do arco ( s ) pelo raio da circunferência ( r ):
θ (em rad ) =
s
r
CONVERSÃO DE UNIDADES
Uma circunferência tem 360 ° e 2πr / r = 2π rad. Então :
360° ⇔ 2π rad ou 180° ⇔ π rad .
Assim, para converter um ângulo de grau para radiano ou vice-versa, basta fazer uma regra de
três simples e direta, utilizando a equivalência acima.
Exercícios
01) Converta em graus os ângulos de
a)
4π
rad
3
b)
Resp.: a) 240°
π
8
rad
c)
b) 22,5°
5π
rad
3
c) 300°
02) Converta em radianos os ângulos de
a) 45°
b) 120°
c) 210°
Resp.: a)
π
4
b)
2π
3
c)
7π
6
64
Raciocínio Lógico
A – TRIÂNGULOS
65
Raciocínio Lógico
66
Raciocínio Lógico
67
Raciocínio Lógico
68
Raciocínio Lógico
69
Raciocínio Lógico
70
Raciocínio Lógico
71
Raciocínio Lógico
72
Raciocínio Lógico
Exercício(ESAF-AFRFB) Considere um retângulo formado por pequenos quadrados iguais,
conforme a figura abaixo. Ao todo, quantos quadrados de quaisquer tamanhos podem ser
contados nessa figura?
a) 128
b) 100
c) 64
d) 32
e) 18
Resposta: d
73
Raciocínio Lógico
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Raciocínio Lógico
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Raciocínio Lógico
76
Raciocínio Lógico
77

MATEMÁTICA e RACIOCÍNIO LÓGICO

Transcrição

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