Prova Definitiva 2013 – Junior e Senior

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Caderno de Questões
2013
Edição Abril 2013 – Prova para Níveis Júnior e Sênior – 7º EF à 3ª. EM
Qualquer tentativa gera alguma pontuação.
A organização das resoluções será levada em conta.
Responda cada questão em apenas uma folha.
2013
Língua Estrangeira
Questão em língua estrangeira. Deve ser respondida em Alemão, Espanhol, Francês, Inglês ou Italiano.
7 PONTOS
Q uestão 1
Trois clowns, Anatole, Michel et Thomas, ont déposé trois chapeaux rouges et deux
chapeaux verts dans leur loge.
Avant d’entrer en scène, ils doivent récupérer chacun un chapeau.
Les clowns ne trouvent pas l’interrupteur et la loge est plongée dans le noir. Chacun prend
un chapeau au hasard et le pose sur sa tête. Ils sortent de la loge et entrent en scène.
On demande à chaque clown s’il est capable de deviner la couleur de son
chapeau. Anatole regarde les deux autres et dit « Non ».
Puis Michel regarde les deux autres et dit « Non ».
Enfin Thomas, qui est aveugle, répond « Oui ».
Expliquer comment ce clown aveugle a pu déterminer la couleur de son chapeau.
Drei Clowns, Anatole, Michel und Thomas, haben drei rote Hüte und zwei grüne Hüte
in ihrer Garderobe
Vor ihrem Auftritt muss jeder der drei Clowns einen Hut holen.
Die Clowns finden den Lichtschalter nicht und in der Garderobe ist es dunkel. Jeder nimmt
zufällig einen Hut und setzt ihn auf. Sie gehen aus der Garderobe hinaus und treten auf.
2013
Língua Estrangeira
Jeder Clown wird gefragt, ob er in der Lage ist, die Farbe seines Hutes zu erraten.
Anatole schaut die beiden anderen an und sagt: „Nein“.
Dann schaut Michel die beiden anderenan und sagt: „Nein“.
Zuletzt antwortet Thomas, der blind ist: „Ja“.
Erklärt, wie der blinde Clown die Farbe seines Hutes bestimmen konnte.
7 PONTOS
Q uestão 1
Tre clown, Anatole, Michele e Tommaso hanno depositato in camerino tre cappelli rossi
e due verdi.
Prima di entrare in scena ognuno di loro deve recuperare un cappello.
I clown non trovano l’interruttore e il camerino è completamente al buio. Tutti prendono
un cappello a caso, se lo mettono, poi, escono dal camerino ed entrano sul palcoscenico.
Alla domanda se sono in grado d’indovinare il colore del proprio cappello.
Anatole guarda gli altri due e dichiara : « No ».
Michele, a sua volta, guarda gli altri due e dichiara : « No ».
Tommaso, infine, che è cieco risponde : « Sì ».
Spiegate come il clown cieco abbia potuto determinare il colore del suo cappello.
Tres payasos, Anatole, Michel y Thomas, han dejado tres sombreros rojos y dos sombreros
verdes en el camerino. Antes de salir a escena, tienen que coger un sombrero cada uno.
Los payasos no encuentran el interruptor y el camerino está a oscuras. Cada uno coge un
sombrero al azar y se lo pone en la cabeza. Salen del camerino y entran en escena.
Preguntamos a cada payaso si es capaz de adivinar el color de su sombrero.
Anatole mira los otros dos y dice “No”.
Luego Michel mira los otros dos y dice “No”.
Por fin Thomas, que es ciego, dice “Si”.
Explica cómo el payaso ciego ha podido adivinar el color de su sombrero.
Three clowns, Anatole, Michel and Thomas, keep three red hats and two green hats in their
dressing-room. Before going on stage they each need to put on a hat.
The clowns cannot find the light switch and the dressing-room is in darkness. Each clown
picks a hat at random and puts it on his head. They leave the dressing-room and go on stage.
Each clown is asked if he can work out the colour of his hat.
Anatole looks at the two others and says “No”.
Then Michel looks at the two others and says “No”.
Finally Thomas, who is actually blind, replies “Yes”.
Explain how this blind clown was able to work out the colour of his hat.
2013
Matemágica
5 PONTOS
Q uestão 2
Este é o quadrado mágico!
Escolha três números quaisquer do quadrado, desde que dois deles não estejam nem na mesma coluna,
nem na mesma fileira. Anote a soma dos três números. Escolha números diferentes seguindo a regra
acima e some seus valores novamente.
Por que dizemos que o quadrado é “mágico”?
Construa agora o seu próprio quadrado mágico contendo também 9 quadrados como
o anterior. Faça com que a soma dos três números seja igual a 40.
O quadrado mágico deve conter sempre 9 números diferentes.
2013
Abastecendo o carro
Toda vez em que completo o tanque de combustível do meu carro eu zero o odômetro (aquele
medidor da quilometragem percorrida que existe no painel).
No painel do carro o volume de combustível no tanque é indicado por seis retângulos como mostra
a figura abaixo, sendo que cada retângulo corresponde a 1/6 do volume do tanque.
7 PONTOS
Q uestão 3
Quando 1/6 do combustível é consumido, o retângulo preto se torna branco e quando o 5º.
retângulo se torna branco o painel emite um sinal sonoro e o último retângulo começa a piscar.
Costumamos dizer que nesse ponto (R) o carro começa a “rodar na reserva”.
Desde a última parada para abastecer, meu carro percorreu 252,6 km e ainda há 4 retângulos
pretos.
Calcule as distâncias - mínima e máxima - que eu posso percorrer – supondo que as condições do
trânsito continuem as mesmas até então – antes que eu precise utilizar a reserva de combustível.
2013
Triangram
Construa um quadrado utilizando os 6 triângulos retângulos indicados:



5 PONTOS
Q uestão 4
3 triângulos com catetos de medida 2 e 4 cm
2 triângulos com catetos de medida 1 e 2 cm
1 triângulo com catetos de medida 3 e 4 cm
2013
A divisão de Jacó
Jacó quer dividir um terreno de sua propriedade que tem forma de um quadrilátero em duas
áreas iguais para seus filhos Pedro e Paulo.
7 PONTOS
Q uestão 5
Pedro diz: “ Há uma maneira fácil de se fazer isso. Basta se escolher um determinado ponto P
em uma das diagonais e ligá-lo à extremidade da outra diagonal”.
Paulo acrescenta: “Está correto, mas se permitirmos que o ponto P se afaste da diagonal se
encontrará um infinito número de possibilidades para P”.
Desenhe um quadrilátero para representar o terreno de Jacó.
Mostre a posição de P que Pedro diz ser a solução e explique porque as duas áreas obtidas
são iguais.
Desenhe o intervalo completo de soluções sugerido por Paulo. Explique sua resposta.
2013
Ganhando e perdendo
5 PONTOS
Q uestão 6
Jorge, César e Roberto estão jogando para passar o tempo. Ao final de cada rodada, o
perdedor dá uma parte de suas fichas aos outros dois jogadores de modo que dobrem
seu número de fichas.
Ao final da quinta rodada, Jorge tem 10 fichas, César tem 9 e Roberto somente 8.
Descubra a quantidade de fichas que cada jogador possuía no início do jogo.
Explique a sua resposta.
2013
Verdadeiro ou Falso
Eu sou um número inteiro maior que 2.
Na lista abaixo, há sempre uma afirmação verdadeira e uma falsa sobre mim em cada par de
afirmações.
1a.
1b.
Sou um número com dois dígitos.
Sou um número par.
2a.
2b.
Sou o quadrado de um número inteiro.
Sou um número com três dígitos.
3a.
3b.
Sou um número que contém o algarismo 7.
Sou um número que possui apenas dois divisores, 1 e eu mesmo.
4a.
4b.
Sou o produto de dois números ímpares consecutivos.
Sou igual ao quadrado de um número inteiro somado com 1.
5a.
5b.
Sou divisível por 11.
Sou igual ao cubo de um número inteiro somado com 1.
7 PONTOS
Q uestão 7
Quem sou eu? Explique sua resposta.
2013
Jogando bilhar
O bilhar americano é jogado com 15 bolas numeradas de 1 a 15 e uma bola branca. O
jogo termina quando resta apenas a bola branca sobre a mesa. No fim de um jogo,
Bonnie e Clyde contam os pontos de suas bolas encaçapadas. Todas as bolas são contadas
uma a uma. Ao final da contagem Bonnie tem exatamente o dobro de pontos de Clyde, apesar
de ter encaçapado menos bolas que ele.
5 PONTOS
Q uestão 8
Descubra as diferentes maneiras de como Bonnie teria obtido seus pontos.
2013
Escalando o muro
7 PONTOS
Q uestão 9
Juliete está de férias e caminha ao longo da praia para escalar o muro de proteção contra as ondas do mar no balneário
de Malo-les-Bains na França. O muro tem 5 metros de altura. O caminho mais curto, que obviamente é o mais íngreme,
tem 10 metros de comprimento. A inclinação desse caminho é de 5 para 10, isto é, 50%.
Como ela está cansada, decide escalar por uma direção diferente que forma um ângulo de 45º com o caminho mais curto.
Determine a inclinação deste caminho em porcentagem.
Se Juliete quisesse escalar seguindo uma inclinação de 25%, q u a l s e ri a o ân g u l o en t re
e s t a d i re ç ã o e o c a m i n h o m a i s c u rt o ?
2013
Pintando o cubo
Um determinado número de pequenos cubos de 1 cm3 são empilhados de modo a formar um cubo
grande. Montado este cubo, decide-se pintar algumas de suas faces, deixando-se 48 cubos
sem receber pintura alguma.
10 PONTOS
Q uestão 10
Descubra todos os possíveis cubos que poderiam ser construídos nessas condições.
Explique sua resposta
Para cada caso, desenhe um esboço do cubo grande, mostrando claramente quais faces estão
pintadas.
2013
Assembléia Internacional
Apenas para o Ensino Médio
5 PONTOS
Q uestão 11
Durante a reunião anual do comitê da Olimpíada Internacional Mathématiques Sans
Frontières, os membros do comitê sentam-se ao longo de uma grande mesa circular. O comitê é formado
por homens e mulheres.
Sabe-se que 7 mulheres têm uma mulher à sua direita e 12 mulheres têm um homem à sua direita; e de cada 4
homens, 3 têm uma mulher sentada à sua direita.
Para controlar o tempo de fala de cada membro durante a reunião, sorteia-se um membro para essa tarefa.
Qual é a probabilidade de uma mulher ser escolhida? Explique sua resposta.
2013
Rampa escorregadia
Apenas para o Ensino Médio
10 PONTOS
Q uestão 12
A figura mostra duas rodas ligadas por um eixo. As rodas rolam sem derrapar sobre duas
canaletas inclinadas e paralelas. Um cordão que segura um peso P é enrolado ao eixo. À medida
que as rodas descem pela rampa o cordão se enrola no eixo de maneira que o peso se desloca
somente na direção horizontal. Sabe-se que as rodas têm um diâmetro de 10 cm e o eixo tem um
diâmetro de 1 cm.
Descubra qual o ângulo entre as canaletas e a horizontal.
2013
Participando do MSF!
10 PONTOS
Q uestão 13
Apenas para o Ensino Médio
Ana está participando da Olimpíada Internacional Matemática sem Fronteiras e está tentando
determinar todos os triângulos retângulos que satisfaçam simultaneamente as seguintes
condições:
•
a medida de seus lados é igual a um número inteiro de centímetros
•
o raio do círculo inscrito no triângulo é igual a 4 cm.
Para encontrar a solução ela usa seus conhecimentos de geometria para desenhar a figura abaixo.
Encontre todos os triângulos que satisfaçam as duas condições. Justifique a sua resposta.
2013