CAP´ITULO 4 INTEGRAIS 4.1 Antiderivadas ou Primitivas

CAPÍTULO
4
INTEGRAIS
Iniciaremos relembrando o conceito de primitivas e integrais indefinidas.
4.1
Antiderivadas ou Primitivas
Definição 4.1.1. Uma função F (x) é uma antiderivada ou primitiva de f em um intervalo I se F ′ (x) = f (x), para qualquer x em I.
Por exemplo, seja f (x) = x2 . F (x) =
f (x). Note que G(x) =
x3
, é uma primitiva de f , pois F ′ (x) = x2 =
3
x3
+ 200 é também uma primitiva de f . Assim temos
3
Teorema 4.1.1. Se F for uma primitiva de f em um intervalo I, então a primitiva mais
geral de f em I é
F (x) + C
onde C é uma constante arbitrária.
Exemplo 4.1.1. Encontre uma primitiva mais geral de cada uma das seguintes funções:
(a) f (x) = sin(x)
(b) f (x) =
1
x
(c) f (x) = xn , n 6= −1
4.1 Antiderivadas ou Primitivas
Função
xn
sin(kx)
cos(kx)
sec2 (kx)
sec(kx) tan(kx)
cossec(kx)
cossec2 (kx)
Primitiva geral
xn+1
+ C, n 6= −1
n+1
1
− cos(kx) + C
k
1
sin(kx) + C
k
1
tan(kx) + C
k
1
sec(kx) + C
k
1
− cossec(kx) + C
k
1
− cotan(kx) + C
k
36
Função
ekx
1
x
1
√
1 − k 2 xk
1
1 + k 2 xk
1
√
2
x k xk − 1
akx
Primitiva geral
1 kx
e +C
k
ln |x| + C, x 6= 0
1 −1
sin (kx) + C
k
1
tan−1 (kx) + C
k
sec−1 (kx) + C, kx > 1
1 kx
a + C, a > 0, a 6= 1
k ln a
Tabela 4.1: Fórmulas de primitivas, sendo k uma constante diferente de zero
Exemplo 4.1.2. Encontre todas as funções de g tal que
√
4
g ′(x) = 4 sin(x) − 3x6 + 6 x5 .
Exemplo 4.1.3. Encontre f se f ′ (x) = ex + 20(1 + x2 )−1 e f (0) = −2.
4.1 Antiderivadas ou Primitivas
37
Exemplo 4.1.4. Encontre f se f ′′ (x) = 12x2 + 6x − 4, f (0) = 4 e f (1) = 1.
4.1.1
Integrais Indefinidas
Um sı́mbolo especial é usado para designar o conjunto de todas as primitivas de uma
função f .
Definição 4.1.2. O conjunto de todas as primitivas de f é chamado de integral indefinida
de f em relação a x, denotado por
Z
f (x) dx.
Z
é o sinal de integral. A função f é o integrando da integral e x é a variável de
integração.
Exemplo 4.1.5. Calcule
Z
(x2 − 2x + 5) dx.
4.2 Áreas
4.2
38
Áreas
Queremos achar a área de uma região S que está sob a curva y = f (x) de a até b.
Figura 4.1: S = {(x, y)|a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f (x)}
Exemplo 4.2.1. Use retângulos para estimar a área sob a parábola y = x2 de 0 até 1.
Exemplo 4.2.2. Para o região S do Exemplo anterior, mostre que a somadas áreas dos
1
retângulos aproximantes superiores tende a ; isto é,
3
1
lim Rn = .
3
n→∞
4.2 Áreas
39
Vamos aplicar a ideia dos Exemplos 4.2.1 e 4.2.2 para regiões mais gerais S. Começamos por subdividir S em n faixas S1 , S2 , . . ., Sn de igual largura. A largura do intervalo
[a, b] é b − a; assim, a largura de cada uma das n faixas é
∆x =
b−a
.
n
Essas faixas dividem o intervalo [a, b] em n subintervalos
[x0 , x1 ], [x1 , x2 ], . . . , [xn−1 , xn ],
onde x0 = a e xn = b. Os extremos direitos dos subintervalos são
x1 = a + ∆x, x2 = a + 2∆x, x3 = a + 3∆x, . . . , xi = a + i∆x
Vamos aproximar a i-ésima faixa Si , por retângulo com largura ∆x e altura f (xi ).
Então a área do i-ésimo retângulo é f (xi ). Intuitivamente, a área de S é aproximada pela
soma
Rn = f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + . . . + f (xn )∆x.
4.3 A Integral Definida
40
Observe que, a medida que aumentamos o número de faixas (n → ∞), temos uma melhor
aproximação:
Definição 4.2.1. A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contı́nua f é
o limite das somas das áreas dos retângulos aproximantes:
A = lim Rn = lim [f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + . . . + f (xn )∆x] .
n→∞
n→∞
Observação 4.2.1. Na Definição 4.2.1 nosso xi foi escolhido para ser o extremo direito; por
outro lado, podemos escolhê-lo para ser o extremo esquerdo. De modo mais geral, podemos
tomar a altura do i-ésimo retângulo como sendo o valor de f em qualquer número x∗i o
i-ésimo subintervalo [xi−1 , xi ]. Chamamos x∗i de ponto amostral.
Frequentemente, usamos a notação somatória (notação sigma) para escrever
somas de muitos termos de maneira mais compacta. Por exemplo,
n
X
f (xi )∆x = f (x1 )∆x + f (x2 )∆x + . . . + f (xn )∆x.
i=1
4.3
A Integral Definida
Definição 4.3.1 (Integral Definida). Se f é uma função contı́nua definida por a ≤ x ≤ b,
b−a
. Seja
dividimos o intervalo [a, b] em n subintervalos de comprimentos iguais ∆x =
n
xo (= a), x1 , x2 , x3 , . . . , xn (= b) os extremos desses subintervalos e vamos escolher os pontos amostrais x∗1 , x∗2 , . . ., x∗n nesses subintervalos de tal forma que x∗i está no i-ésimo
subintervalo [xi−1 , xi ]. Então a integral definida de f é
Z b
a
f (x) dx = lim
n→∞
n
X
i=1
f (x∗i )∆x.
4.3 A Integral Definida
41
Observação 4.3.1. A integral definida ab f (x) dx é um número; não depende de x. De fato,
em vez de x podemos usar qualquer outra letra sem mudar o valor da integral:
R
Z b
Z b
f (x) dx =
a
f (t) dt =
a
Z b
f (r) dr.
a
Z
Observação 4.3.2. O sı́mbolo foi introduzido por Leibniz. a e b são chamados de limites
de integração, a é o limite inferior e b é o limite superior. O processo de calcular uma
integral é chamado de integração.
Observação 4.3.3. A soma
n
X
f (x∗i )∆x
i=1
na Definição 4.3.1 é chamada de soma de Riemann. Sabemos que se f for positiva, então a
soma de Riemann pode ser interpretada como uma soma de áreas de retângulos aproximantes.
Se f assumir valores positivos e negativos, então a soma de Riemann é a soma das
área dos retângulos que estão acima do eixo x e o negativo das áreas dos retângulos que estão
abaixo do eixo.
Observação 4.3.4. Embora tenhamos definido ab f (x) dx dividindo [a, b] em subintervalos
de igual comprimento, há situações nas quais é vantajoso trabalhar com intervalos de comprimentos diferentes. Se os comprimentos dos subintervalos forem ∆x1 , ∆x2 , . . ., ∆xn , teremos
de garantir que todos esses comprimentos tendem a 0 no processo de limite. Isso acontece
se o maior comprimento, max ∆xi , tender a 0. Portanto, nesse caso a definição de uma
integral definida fica
R
Z b
a
f (x) dx =
Exemplo 4.3.1. Expresse
lim
n→∞
n h
X
lim
max ∆xi →0
n
X
f (x∗i )∆xi .
i=1
i
x3i + xi sin(xi ) ∆xi
i=1
4.4 Cálculo de Integrais
42
como uma integral no intervalo [0, π].
4.4
Cálculo de Integrais
Exemplo 4.4.1. Calcule as integrais a seguir interpretando cada uma em termos de áreas.
(a)
Z 1
(b)
Z 3
0
4.5
0
√
1 − x2 dx
x − 1 dx
Propriedades da Integral Definida
Assumindo que a < b, então
Z b
a
f (x) dx = −
Z a
b
f (x) dx.
4.5 Propriedades da Integral Definida
43
Se a = b, então
Z b
f (x) dx = 0.
a
Sejam f e g funções contı́nuas.
1.
Z b
c dx = c(b − a), c ∈ R.
2.
Z b
[f (x) + g(x)] dx =
3.
Z b
cf (x) dx = c
Z b
[f (x) − g(x)] dx =
Z c
f (x) dx +
a
a
a
4.
a
5.
a
Z b
a
Z b
c
Z b
a
f (x) dx +
Z b
g(x) dx.
Z b
g(x) dx.
a
f (x) dx, c ∈ R.
Z b
a
f (x) dx −
f (x) dx =
Z b
a
f (x) dx, a < c < b.
a
6. Se f (x) ≥ 0, para a ≤ x ≤ b, então
Z b
f (x) dx ≥ 0.
a
7. Se f (x) ≥ g(x), para a ≤ x ≤ b, então
Z b
a
f (x) dx ≥
Z b
g(x) dx.
a
8. Se m ≤ f (x) ≤ M, para a ≤ x ≤ b, então
m(b − a) ≤
Z b
a
f (x) dx ≤ M(b − a).
4.5 Propriedades da Integral Definida
44
Exemplo 4.5.1. Use as propriedades das integrais para
(a) calcular
Z 1
(b) estimar
Z 4
0
4 + 3x2 dx
√
x dx
1
Exemplo 4.5.2. Se
Z 10
0
f (x) dx = 17 e
Z 8
0
f (x) dx = 12, ache
Z 10
8
f (x) dx.
4.6 Teorema Fundamental do Cálculo
4.6
45
Teorema Fundamental do Cálculo
O Teorema Fundamental do Cálculo estabelece uma conexão entre os dois ramos do
cálculo: o cálculo diferencial e o cálculo integral.
Teorema 4.6.1 (Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 1). Se f for contı́nua em [a, b],
então a função g definida por
g(x) =
Z x
a
f (t) dt, a ≤ x ≤ b
é contı́nua em [a, b] e diferenciável em (a, b) e g ′ (x) = f (x).
Z x√
1 + t2 dt
Exemplo 4.6.1. Ache a derivada da função g(x) =
0
Exemplo 4.6.2. Ache
d
dx
Z x4
1
sec(t) dt.
Teorema 4.6.2 (Teorema Fundamental do Cálculo - Parte 2). Se f for contı́nua em [a, b],
então a função g definida por
Z b
a
f (x) dx = F (b) − F (a),
onde F é qualquer antiderivada de f ; isto é, uma função tal que F ′ = f .
Exemplo 4.6.3. Calcular a integral
Z 3
1
ex dx.
4.6 Teorema Fundamental do Cálculo
46
Exemplo 4.6.4. Ache a área sob a parábola y = x2 de 0 até 1.
Exemplo 4.6.5. Calcule
Z 6
3
1
dx.
x
Exemplo 4.6.6. Ache a área sob a curva cosseno de 0 até b, onde 0 ≤ b ≤
Exemplo 4.6.7. O que está errado no seguinte cálculo?
Z 3
−1
"
1
x−1
dx
=
x2
−1
#3
−1
4
1
=− −1 =− .
3
3
π
.
2
4.7 A Regra da Substituição
4.7
47
A Regra da Substituição
É muito importante sermos capazes de encontrar antiderivadas. Mas nossas fórmulas
de antiderivação não mostram como calcular integrais do tipo
Z
√
2x x2 + 1 dx.
Vamos chamar u = x2 + 1, assim du = 2x dx, então podemos escrever
Z √
√
2
2x x + 1 dx =
x2 + 1 2x dx
Z √
=
u du
Z
2 3
u2 + C
3
3
2 2
(x + 1) 2 + C
=
3
=
No geral, temos a seguinte regra:
Teorema 4.7.1 (Regra da Substituição). Se u = g(x) for uma função diferenciável cuja
imagem é um intervalo I e f for contı́nua em I, então
Z
Exemplo 4.7.1. Encontre
Exemplo 4.7.2. Calcule
Exemplo 4.7.3. Ache
Z
Z
Z
√
′
f (g(x))g (x) dx =
x3 cos(x4 + 2) dx.
√
2x + 1 dx.
x
dx.
1 − 4x2
Z
f (u) du.
4.7 A Regra da Substituição
Exemplo 4.7.4. Calcule
Exemplo 4.7.5. Ache
Z
Z
√
Exemplo 4.7.6. Calcular
Z
48
e5x dx
1 + x2 x5 dx.
tan(x) dx.
4.7 A Regra da Substituição
49
Teorema 4.7.2 (Regra da Substituição para Integrais Definidas). Se g ′ for contı́nua no
intervalo [a, b] e f for contı́nua em na imagem de g(x) = u, então
Z b
′
f (g(x))g (x) dx =
a
g(a)
Exemplo 4.7.7. Calcule
Z 4
√
Exemplo 4.7.8. Calcule
Z 2
1
dx.
(3 − 5x)2
Exemplo 4.7.9. Calcule
Z e
ln x
dx.
x
0
1
1
Z g(b)
2x + 1 dx
f (u) du.