Baixar - Departamento de Matemática - PUC-Rio

Iniciação Cientı́fica
Análise em uma Variável Complexa
Aluna: Gisela Marino
Orientador: Julio Rebelo
2004/2 - 2005/1
1
Este relatório foi escrito como resultado de um projeto de iniciação cientı́fica
orientado pelo professor Julio Rebelo do Departamento de Matemática da
PUC-Rio, em que tivemos o auxı́lio de uma bolsa de iniciação cientı́fica do
CNPq.
2
1
1.1
Números Complexos
A Álgebra dos Números Complexos
Sejam x = a + ib e y = c + id números complexos. Podemos definir a soma
e o produto de números complexos da seguinte forma:
x + y = (a + c) + i(b + d)
x.y = (ac − bd) + i(ad + bc)
(1)
(2)
A divisão de números complexos também está definida. Para ver isto, basta
verificar que xy = w onde w = α + iβ é um número complexo e y 6= 0. Ou
seja verificar que existe w complexo tal que x = yw
(a + ib) = (c + id)(α + iβ)
(a + ib) = (αc − βd) + i(αd + βc)
½
Logo β =
bc−ad
d2 +c2
a = (αc − βd)
b = (αd + βc)
eα=
ac+bd
,
d2 +c2
½
−ad = −αcd + βd2
bc = αcd + βc2
donde concluimos que w ∈ C.
Na prática, podemos calcular a divisão utilizando o seguinte artifı́cio:
x
x ȳ
(ac + bd) + i(bc − ad)
= . =
y
y ȳ
c2 + d2
1.2
Raı́zes Quadradas
Os números complexos possuem uma propriedade singular que é a de que a
sua raı́z quadrada sempre pode ser escrita explicitamente.
√
z = (x + iy)
3
Ou seja, se z = a + ib, temos:
a + ib = (x + iy)2
a + ib = (x2 − y 2 ) + i(2xy)
½
a = x2 − y 2
b = 2xy
Observe que:
a2 + b2 = (x2 − y 2 )2 + 4x2 y 2
= x4 + 2x2 y 2 + y 4
= (x2 + y 2 )2
Logo:
√
x2 + y 2 = a2 + b2 ≥ 0
½ 2
√
x + y 2 = a2 + b2
x2 − y 2 = a
Donde obtemos:
√
1
x2 = (a + a2 + b2 ) ≥ 0
2
√
1
y 2 = (−a + a2 + b2 ) ≥ 0
2
Observe que temos duas opções para x e y de forma que temos que escolher
x e y a satisfazerem xy = b.
1.3
Justificativa
Devemos agora verificar a existência do corpo C dos números complexos.
Começamos supondo que existe um corpo F que tem R como subcorpo tal
que x2 + 1 = 0 tenha solução em F . Vamos denotar a solução de x2 + 1 = 0
de i. Seja C o subcorpo de F dos elementos da forma: α + iβ, com α, β ∈ R.
4
Vamos definir o corpo dos complexos como sendo o subcorpo C de um F
arbitrário. Temos agora que mostrar que F de fato existe.
Considere expressões do tipo: α + iβ, onde + e i são apenas sı́mbolos. Estas
expressões são elementos de um corpo F , em que a adição estão definidas
conforme (1) e (2).
Elementos da forma α + i0 formam um subcorpo isomorfo a R, além disso,
o elemento 0 + i1 satisfaz equação x2 + 1 = 0.
Assim, o corpo F possui as propriedades de que necessitamose coincide com
o subcorpo C, pois podemos escrever:
α + iβ = (α + i0) + β(0 + i1)
como isso provamos a existência de C.
1.4
Conjugação e Valor Absoluto
Observe que ao deduzirmos a adição e multiplicação de um número complexo,
apenas usamos o fato de que i2 = −1, como (−i)2 = −1, as regras continuam
valendo se substituirmos i por −i.
Assim, podemos definir a conjugação complexa. Ou seja,
α + iβ = α − iβ
Exemplo: Seja ξ uma raı́z da equação:
c0 z n + c1 z n−1 + . . . + cn−1 z + cn = 0
¯ é raı́z de :
Então está claro que xi
c̄0 z n + c̄1 z n−1 + . . . + c̄n−1 z + c̄n = 0
Em particular, se ci ∈ R, então ξ e ξ¯ são raı́zes conjugadas da mesma equação.
√
Definição: O módulo ou valor absoluto de a é dado por: |a| = aā.
5
Vejamos agora algumas igualdades importantes:
1)|a + b|2 = |a|2 + |b|2 + 2Re(ab̄)
2)|a − b|2 = |a|2 + |b|2 − 2Re(ab̄)
3)|a + b|2 + |a − b|2 = 2(|a|2 + |b|2 )
1.5
Desigualdades
Está claro que
½
−|a| ≤ Re(a) ≤ |a|
−|a| ≤ Im(a) ≤ |a|
Obtemos assim,
|a + b|2 ≤ |a|2 + |b|2 + 2|ab|
≤ (|a| + |b|)2
Assim, obtemos a desigualdade triangular;
|a + b| ≤ |a| + |b|
Por indução, temos:
|a1 + . . . + an | ≤ |a1 | + . . . + |an |
Também obtemos facilmente que:
|a − b| ≥ ||a| − |b||
e
|α + iβ ≤ |α| + |β|
Temos ainda a Desigualdade de Cauchy, que não será demonstrada:
X
X
X
|
ai bi |2 ≤
|ai |2
|bi |2
6
2
2.1
Funções Complexas
Limites e Continuidade
Definição 1 Uma função tem limite A quando x tende a a se e somente se
para todo ² > 0 existe um δ > 0 tal que |f (x) − A| < ² para todo x sempre
que |x − a| < δ e x 6= a.
Definição 2 Dizemos que f (x) é contı́nua em a se e somente se lim f (x) =
x→a
f (a).
Diremos que uma função é real (respectivamente, complexa) se assume valores reais (complexos). Assim, temos quatro tipos diferentes de funções, são
elas:
1) funções reais com a variável x real;
2) funções complexas com variável x real;
3) funções reais com a variável z complexa e
4) funções complexas com a variável z complexa.
Estamos interessados em estudar os casos em que a função é derivável. O
primeiro caso é estudado em Análise Real, logo não será abordado neste
texto.
Vamos ao segundo caso. Observe que podemos escrever z(t) = x(t) + iy(t)
onde t ∈ R. Donde concluimos que a derivada z’(t) existe se e somente se as
derivadas das funções reais com variáveis reais existirem simultaneamente.
No caso de uma função real com variável complexa temos o seguinte:
f (a + h) − f (a)
logo f 0 (a) é real
h→0
h
f (a + ih) − f (a)
f 0 (a) = lim
logo f 0 (a) é imaginário puro
h→0
ih
⇒ f 0 (a) = 0
f 0 (a) = lim
7
O último caso é de fato o mais interessante. A diferenciabilidade deste tipo
de função terá uma série de consequências que serão abordadas nas seções
seguintes.
2.2
Funções Holomorfas
Definição 3 Dizemos que uma função complexa com variável complexa é
holomorfa se ela é diferenciável em todo o seu domı́nio de definição.
Mais tarde veremos que funções holomorfas são, de fato analı́ticas. Ou seja,
podem ser representadas pela série de Taylor. Por esse motivo, é comum em
alguns textos de Análise Complexa o uso de ambos os termos, holomorfa e
analı́tica, com o mesmo sentido.
Proposição 1 Toda função holomorfa é contı́nua.
Considere f (z) = u(z) + iv(z), onde z = x + iy.
f (z + h) − f (z)
h→0
h
f 0 (z) = lim
O limite do quociente tem que ser o mesmo independentemente de como h
se aproxima de 0. Então, aproximando por números reais, obtemos:
u(z + h) + iv(z + h) − u(z) − iv(z)
h→0
h
∂u
∂v
=
+i
∂x
∂x
f 0 (z) = lim
Aproximando por imaginários puros, temos:
u(z + ik) + iv(z + ik) − u(z) − iv(z)
k→0
ik
∂u ∂v
= −i
+
∂y ∂y
f 0 (z) = lim
8
Assim se f (z) é holomorfa a função deve satisfazer as seguintes condições,
denominadas Equações de Cauchy-Riemann.
½ ∂u
∂v
= ∂y
∂x
∂v
= − ∂u
∂x
∂y
Resumindo, funções holomorfas podem ser encaradas simplesmente como
funções de R2 em R2 com a propriedade adicional de satisfazerem as Condições
de Cauchy-Riemann. Conforme veremos ao longo do relatório, esta condição
adicional é, de fato, essencial a fim de se obter alguns resultados importantes.
Resultados estes que não se aplicam em se tratando de funções reais quaisquer. Por isso este conjunto particular de funções reais é estudado como um
caso à parte e seus elementos são denominados funções holomorfas.
3
3.1
3.1.1
Integração Complexa
Teoremas Fundamentais
Integrais de Linha
A generalização mais imediata da integral real é a integral definida de uma
função complexa sobre um intervalo real. Assim, podemos definir:
Z b
Z b
Z b
f (t)dt =
u(t)dt + i
v(t)dt
a
a
a
onde u(t) e v(t) são funções reais.
Cosidere agora uma curva diferenciável por partes γ dada pela equação z =
z(t) com a ≤ t ≤ b. Se f (z) está definida em γ então f (z(t)) também é
contı́nua e obtemos:
Z
Z b
f (z)dz =
f (z(t))z 0 (t)dt
γ
a
É fácil verificar que a integral é invariante por mudanças de parâmetros.
9
Se definirmos −γ como z(−t) com −b ≤ t ≤ −a obtemos que
Z
Z
f (z)dz = − f (z)dz
−γ
γ
Ainda, se γ = γ1 + . . . + γn , temos:
Z
Z
Z
f (z)dz + . . . +
f (z)dz =
γ
f (z)dz
γn
γ1
Uma integral de linha essencialmente diferente é integrar em relação ao comprimento de arco.
Z
Z
Z
f ds = f |dz| = f (z(t))|z 0 (t)|dt
3.1.2
γ
γ
γ
Integrais de Linha como Funções de arcos
Uma classe importante de integrais é caracterizada pela propriedade de que
a integral sobre a curva depende somente dos seus pontos inicial e final.
Z
Z
f (z)dz =
u(z) + iv(z)dz
Z
Z
=
(u + iv)dx + i u + ivdy
γ
γ
Z
=
p dx + q dy
γ
γ
γ
Ou seja, se γ1 e γ2 possuem os mesmos pontos extremos, exigimos que:
Z
Z
p dx + q dy =
p dx + q dy
γ1
γ2
Proposição 2 A integral sobre uma curva fechada é zero se e somente se a
integral depende somente dos pontos extremos.
10
Prova: Em se tratando de uma curva fechada, temos que:
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz = − f (z)dz
γ
−γ
Logo
γ
Z
2
f (z)dz = 0
γ
Reciprocamente, se γ1 e γ2 possuem os mesmos pontos extremos, então γ1 −γ2
é uma curva fechada.
γ1
b
a
γ2
Então por hipótese, temos que:
Z
Z
Z
f (z)dz =
f (z)dz −
f (z)dz
γ1 −γ2
γ1
γ2
Z
Z
⇒
f (z)dz =
f (z)dz
γ1
¥
γ1
Observe que f (z) pode ser encarada como uma 0-forma (veja Anexo), de
modo que estamos integrando a 1-forma f (z)dz ao longo de uma curva diferencial (dimensão 1). Assim sendo iremos demonstrar o seguinte
R
Teorema 1 A integral de linha γ f (z)dz, definida em um aberto Ω depende
dos pontos extremos se, e somente se a 1-forma w = f (z)dz = pdx + qdy é
exata.
Prova: Fixando um ponto p qualquer, podemos definir a função:
Z ξ
F (ξ) =
f (z)dz
p
11
Observe que esta integral está bem definida, já que por hipótese a integral
não depende do caminho que liga p a ξ. Assim, o Teorema Fundamental do
Cálculo nos dá que:
dF (ξ) = f (ξ)dξ
Ou seja w é uma 1-forma exata, já que a diferencial exterior de uma função
coincide com a própria derivada da função.
Reciprocamente, se w é uma forma exata, existe uma 0-forma (i.e, uma
função) F tal que w = dF . Novamente, pelo Teorema Fundamental do
Cálculo, obtemos:
Z ξ
Z ξ
w=
dF = F (ξ) − F (p)
p
p
Ou seja, a integral só depende dos pontos inicial e final.
¥
Observe que se existir uma tal função F ela será holomorfa.
De fato,
w = f (z)dz = f (z)dx + if (z)dy
Por outro lado,
dF (x, y) =
Donde concluimos que
Ou seja,
½
∂F
∂x
∂F
∂y
∂F
∂F
dx +
dy
∂x
∂y
= f (z)
= if (z)
∂F
∂F
= −i
∂x
∂y
Esta EDP nos dá as condições de Cauchy-Riemann, garantindo assim, que
F é holomorfa.
12
3.1.3
Teorema de Cauchy em um Disco Circular
A integral de uma função analı́tica sobre uma curva fechada NEM SEMPRE
é zero!
De fato, considere o cı́rculo C em torno de um ponto a. Observe que
Z
dz
= 2πi
C z−a
Para que efetivamente a integral dê zero, temos que fazer uma suposição
especial relativa a região em que f é analı́tica e em que a curva γ está definida.
É na realidade uma questão topológica, que será tratada mais adiante.
Por enquanto, vamos estudar o que acontece em um disco circular.
Teorema 2 Se f é holomorfa em um disco circular aberto ∆, então
Z
f (z)dz = 0
(3)
γ
para toda curva fechada γ em ∆.
Prova: O Teorema 1 nos dá uma condição suficiente e necessária para que
(3) aconteça. Isto é, que a 1-forma f (z)dz seja exata.
Podemos verificar facilmente que uma função é holomorfa se e só se f (z)dz
é fechada.
De fato, como f (z)dz = [u(x, y) + iv(x, y)]dx + [−v(x, y) + iu(x, y)]dy, temos:
∂u
∂v
∂v
∂u
d(f (z)dz) =
dy ∧ dx + i dy ∧ dx −
dx ∧ dy + i dx ∧ dy = 0
∂y
∂y
∂x
∂x
µ
¶
µ
¶
∂v
∂u
∂u
∂v
+i
+i
dx ∧ dy = −
dx ∧ dy
∂y
∂y
∂x
∂x
Sabemos que toda forma exata é fechada, porém, nem toda forma fechada é
exata. Assim, a integral de linha de uma função analı́tica será igual a zero
sempre que a 1-forma f (z)dz fechada for exata.
13
No entanto, o Lema de Poincaré nos garante que toda forma fechada é localmente exata. Assim, como podemos cobrir qualquer curva fechada no disco
por abertos, temos que neste caso especı́fico, a 1-forma fechada f (z)dz é, de
fato globalmente exata. Com isso, o Teorema 1 conclui a demonstarção. ¥
Teorema 3 Seja f (z) uma função holomorfa na região ∆0 , obtida omitindose um número finito de pontos ξi de um disco aberto ∆. Se f (z) satisfaz a
condição:
lim (z − ξi )f (z) = 0
∀j
z→ξi
Então
R
γ
f (z)dz = 0 para toda curva fechada γ em ∆0 .
Estas são duas formulações topologicamente diferentes para o Teorema de
Cauchy.
3.2
Fórmula Integral de Cauchy
Uma simples aplicação do Teorema de Cauchy nos permite representar uma
função holomorfa por uma integral de linha. Como veremos a seguir, esta
representação possui muitas aplicações de extrema utilidade. Em particular,
seremos capazes de verificar que uma função holomorfa é, de fato analı́tica,
como havia sido afirmado anteriormente.
3.2.1
O ı́ndice de um ponto em relação a uma curva fechada
Precisamos de um meio preciso para indicar quantas vezes uma curva fechada
se enrola em torno de um ponto que não está na curva. Vamos começar com
um
Lema 1 Se uma curva fechada suave por partes γ não passa pelo ponto a,
então o valor de
Z
dz
γ z −a
é um múltiplo de 2πi.
14
Definição 4 O ı́ndice de um ponto em relação a uma curva γ é dado pela
expressão:
Z
dz
1
n(γ, a) =
2πi γ z − a
3.2.2
A Fórmula Integral
Teorema 4 Sejam f (z) holomorfa em um disco aberto ∆ e γ uma curva
fechada em ∆. Para qualquer ponto a que não pertença a γ, vale:
Z
1
f (z)
dz
n(γ, a)f (a) =
2πi γ z − a
onde n(γ, a) é o ı́ndice do ponto a em relação a γ.
Prova: Considere a função:
F (z) =
f (z) − f (a)
z−a
Como f (z) é holomorfa por hipótese, F (z) é uma função holomorfa para todo
z 6= a em ∆. Observe que apesar de F (z) não estar definida em z = a, ela
satisfaz:
lim F (z)(z − a) = lim f (z) − f (a) = 0
z→a
z→a
Esta condição nos permite aplicar o Teorema 3 à F (z). Donde concluimos
que
Z
f (z) − f (a)
dz = 0
z−a
γ
Z
Z
dz
f (z)
dz − f (a)
γ z−a
γ z−a
Z
Z
f (z)
dz
dz = f (a)
γ z−a
γ z −a
15
1
2πi
Z
γ
f (z)
dz = n(γ, a)f (a)
z−a
¥
Observação 1: Esta fórmula é válida em qualquer região em que se possa
aplicar o Teorema 3, desde que nenhum dos pontos excepcionais coincida
com a.
Observação 2: Se a 6∈ ∆ então n(γ, a) = 0, e pelo Teorema de Cauchy sendo
R f (z)
f (z)
holomorfa
em
∆,
temos
que
dz = 0. Observe que este resultado
z−a
γ z−a
coincide com o do Teorema 4, conforme esperado.
A aplicação mais comum deste teorema é para o caso em que n(γ, a) = 1
para todo a ∈ ∆ e f (z) holomorfa. Nestas condições, fazendo a variar em ∆,
podemos obter:
Z
f (ξ)
1
f (z) =
dξ
2πi γ ξ − z
Esta forma de representar uma função holomorfa f (z) é conhecida como
Fórmula Integral de Cauchy.
3.2.3
Derivadas mais altas
Usaremos a Fórmula Integral de Cauchy nesta seção para provar que funções
holomorfas admitem derivadas de todas as ordens.
Seja f (z) holomorfa em Ω. Dado a ∈ Ω vamos determinar uma δ-vizinhança
∆ contida em Ω e um cı́rulo C em torno de a em ∆.
∆
C
Ω
a
16
Assim, aplicando diretamente o Teorema 4 à função f (z) em ∆, para todo z
no interior do cı́rculo C, vale:
Z
1
f (ξ)
f (z) =
dξ
2πi C ξ − z
Vamos então verificar que as derivadas de f (z) podem ser representadas por:
Z
n!
f (ξ)
(n)
f (z) =
dξ
(4)
2πi C (ξ − z)(n+1)
Para isso, provemos o seguinte
Lema 2 Seja ϕ(ξ) contı́nua ao longo do arco γ. Então a função
Z
ϕ(ξ)
Fn (z) =
n dξ
γ (ξ − z)
é holomorfa em cada região determinada por γ, e sua derivada é:
Fn0 (z) = nFn+1 (z)
Prova: Vamos primeiramente mostrar que F1 (z) é contı́nua.
Seja z0 um ponto que não pertença à curva γ. Escolha uma vizinhança em
torno de z0 que não encontre γ.
|z − z0 | < δ
Restringindo z a:
|z − z0 | <
Obtemos |ξ − z| >
δ
2
∀ξ ∈ γ
17
δ
2
Assim,
Z
ϕ(ξ)
ϕ(ξ)
−
dξ
(ξ − z) (ξ − z0 )
Z
(ξ − z0 − ξ + z)ϕ(ξ)
=
dξ
(ξ − z)(ξ − z0 )
Z
ϕ(ξ)
= (z − z0 )
dξ
(ξ − z)(ξ − z0 )
F1 (z) − F1 (z0 ) =
Observe que pela desigualdade triangular:
|ξ − z0 | ≤ |z0 − z| + |ξ − z|
≤ δ + |ξ − z|
⇒ |ξ − z0 | > δ
|ξ − z| ≥ |ξ − z0 | − |z − z0 |
δ
≥ δ−
2
δ
⇒ |ξ − z| >
2
Obtemos então:
Z
|ϕ(ξ)|
|dξ|
|ξ − z||ξ − z0 |
Z
2
< |z − z0 | 2 |ϕ(ξ)||dξ|
δ
|F1 (z) − F1 (z0 )| < |z − z0 |
Donde F1 é contı́nua em z0 .
Continuaremos a prova por indução. Devemos então mostrar que F10 (z) =
F2 (z).
F1 (z) − F1 (z0 )
=
z − z0
Z
18
ϕ(ξ)
dξ
(ξ − z)(ξ − z0 )
Z
F1 (z) − F1 (z0 )
lim
=
z→z0
z − z0
ϕ(ξ)
dξ
(ξ − z)(ξ − z0 )
ϕ(ξ)
dξ
F10 (z0 ) =
(ξ − z0 )2
F10 (z0 ) = F2 (z0 )
lim
z→z0
Z
Vamos supor que provamos que
0
Fn−1
(z) = (n − 1)Fn (z)
Devemos mostrar que Fn0 (z) = (n)Fn+1 (z).
Fn (z) − Fn (z0 ) =
Z
ϕ
ϕ
=
−
dξ
n
(ξ − z)
(ξ − z0 )n
Z
1
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
=
(
−
)+
−
dξ
n−1
n−1
(ξ − z)
(ξ − z) (ξ − z0 )
(ξ − z) (ξ = z0 ) (ξ − z0 )n
Z
Z
Z
ϕ
ϕ
ϕ
=
dξ
−
dξ
+
(z
−
z
)
dξ
0
(ξ − z)n−1 (ξ − z0 )
(ξ − z0 )n
(ξ − z)n (ξ − z0 )
Donde obtemos que Fn é contı́nua.
lim
z→z0
=
=
lim
z→z0
lim
Z
z→z0
Fn (z) − Fn (z0 )
=
(z − z0 )
R
R
ϕ
dξ
−
n−1
(ξ−z)
(ξ−z0 )
Z
1
(
ξ − z0
(z − z0 )
ϕ
−
(ξ−z)n−1
ϕ
dξ
(ξ−z0 )n
Z
+ lim
z→z0
ϕ
(ξ−z0 )n−1
(z − z0 )
19
(ξ −
)dξ + Fn+1 (z0 )
1
F 0 (z0 )dξ + Fn+1 (z0 )
ξ − z0 n−1
Z
1
= (n − 1)
Fn (z0 )dξ + Fn+1 (z0 )
ξ − z0
=
ϕ
z)n (ξ
− z0 )
dξ
Z
ϕ
dξ + Fn+1 (z0 )
(ξ − z0 )n+1
= (n − 1)Fn+1 (z0 ) + Fn+1 (z0 )
= nFn+1 (z0 )
= (n − 1)
Donde concluimos que Fn0 (z0 ) = nFn+1 (z0 )
¥
Antes de nos encaminharmos para a verificação de que funções holomorfas
são analı́ticas, veremos dois teoremas como aplicações da Fórmula Integral
de Cauchy.
Teorema 5 (Teorema de Morera) Se f (z) é contı́nua em uma região Ω
e se
Z
f dz = 0
γ
para toda curva fechada γ em Ω então f (z) é holomorfa em Ω.
R
Prova: Observe que pelo Teorema 1, a hipótese de γ f dz = 0 implica que
a 1-forma f (z)dz é exata. Ou seja, existe uma função holomorfa F (z) tal
que f (z) = F 0 (z). Usando o Lema 2 obtemos que a derivada de uma função
holomorfa ainda é holomorfa, donde segue o resultado.
¥
Teorema 6 (Teorema de Liouville) Uma função holomorfa limitada em
todo o plano se reduz a uma constante.
Prova: Vamos usar a equação (4). Seja r o raio de um cı́rculo C em torno
de a. Supondo que |f (z)| ≤ M em C, temos:
Z
n!
|f (ξ)|
(n)
|f (a)| ≤
|dξ|
2π C |ξ − a|n+1
n!
≤
M r−n−1 2πr
2π
≤ M n!r−n
Fixando n = 1 e como f (z) é limitada em qualquer cı́rculo, podemos tomar
r → ∞. Obtemos assim que f 0 (a) = 0 para todo a, donde f é constante. ¥
20
3.3
3.3.1
Propriedades Locais de Funções Holomorfas
Teorema de Taylor
Teorema 7 Suponha que f (z) seja holomorfa na região Ω0 , obtida retirandose um ponto de uma região Ω. Uma condição suficiente e necessária para que
exista uma função holomorfa em Ω que coincida com f (z) em Ω0 é que
lim (z − a)f (z) = 0
z→a
Além disso, a extensão é unicamente determinada.
Prova:
I) Se existe uma função holomorfa em Ω que coincide com f (z) em Ω0 então
limz→a (z − a)f (z) = 0
Segue diretamente da continuidade da extensão.
II) Se limz→a (z − a)f (z) = 0 então existe uma função holomorfa em Ω que
coincide com f (z) em Ω0
Pela Fórmula Integral de Cauchy, temos:
Z
f (ξ)
1
f (z) =
dξ
2π C ξ − z
∀z 6= a ∈ C
A integral do lado direito representa uma função holomorfa de z no interior
de C. Então a função que coincide com f (z) para todo z 6=a e tem o valor
R f (ξ)
1
dξ para z = a é holomorfa em Ω.
¥
2π C ξ−a
Teorema 8 (Teorema de Taylor) Se f (z) é holomorfa em uma região Ω,
contendo a, tem-se:
f (z) = f (a)+
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n−1) (a)
(z−a)+
(z−a)2 +. . .+
(z−a)n−1 +fn (z)(z−a)n
1!
2!
n − 1!
onde fn (z) é holomorfa em Ω.
21
Prova: Considere a seguinte função:
F (z) =
f (z) − f (a)
z−a
Observe que F (z) não está definida para z = a, mas
lim (z − a)F (z) = lim f (z) − f (a) = 0
z→a
z→a
lim F (z) = f 0 (a)
z→a
Assim, pelo Teorema 7, existe uma função analı́tica que coincide com F (z)
para z 6= a e igual a f 0 (a) para z = a, que é analı́tica. Vamos denotá-la por
f1 (z). Repetindo o processo, obtemos f2 (z) analı́tica tal que:
½
f2 (z) =
f1 (z)−f1 (a)
z−a
f10 (a)
se z 6= a
se z = a
Por indução, definimos fn (z) para todo n.
f (z) = f (a) + (z − a)f1 (z)
f1 (z) = f1 (a) + (z − a)f2 (z)
..
.
fn−1 (z) = fn−1 (a) + (z − a)fn (z)
Reescrevendo, obtemos ainda:
f (z) = f (a) + (z − a)f1 (a) + (z − a)2 f2 (a) + . . . + (z − a)n−1 fn−1 (a)
+(z − a)n fn (z)
f 0 (z) = f1 (a) + 2(z − a)f2 (a) + . . . + n(z − a)n−1 fn (z)
..
.
(n)
f (z) = n!fn (z)
22
Donde concluimos que
f
(n)
(a) = n!fn (a)
f (n) (a)
fn (a) =
n!
⇒
¥
Observamos ainda que fn (z) possui uma expressão explı́cita como uma integral de linha.
De fato, como fn (z) é holomorfa no cı́rculo C, podemos escrever:
Z
1
fn (ξ)
fn (z) =
dξ
2π1 C ξ − z
Pelo Teorema 8, temos:
f (ξ) = f (a)+
f 0 (a)
f 00 (a)
f (n−1) (a)
(ξ−a)+
(ξ−a)2 +. . .+
(ξ−a)n−1 +fn (ξ)(ξ−a)n
1!
2!
n − 1!
Divindo ambos os lado da equação por (ξ − a)n , obtemos:
fn (ξ) =
Z
C
f (ξ)
f (a)
f 0 (a)(ξ − a)
f (n−1) (a)(ξ − a)n−1
−
−
−
.
.
.
−
(ξ − a)n (ξ − a)n
(ξ − a)n
(n − 1)!(ξ − a)n
fn (ξ)
=
ξ−z
Z
Z
f (ξ)
dξ
− f (a)
− ...
n
n−1
(ξ − z)
C (ξ − a) (ξ − z)
C (ξ − a)
Z
f (n−1) (a)
dξ
−
(5)
(n − 1)! C (ξ − a)(ξ − z)
Seja
Z
Fν (a) =
C
dξ
(ξ − a)ν (ξ − z)
ν≥1
Observe que
Z
F1 (a) =
C
1
dξ
=
(ξ − a)(ξ − z)
z−a
23
Z
(
C
1
1
−
)dξ
ξ−z ξ−a
Se z pertence ao disco delimitado
R 1 pela curva C, temos que n(C, z) = n(C, a) =
1. Além disso, o fato de C ξ−z = n(C, z)2πi, implica que F1 (a) = 0.
Pelo Lema 2 temos que
Fν0 (a)
F10 (a)
F100 (a)
..
.
(ν)
F1 (a)
= νFν+1 (a)
= F2 (a)
= F20 (a) = 2F3 (a)
= ν!Fν+1 (a)
Assim se F1 (a) = 0, Fν (a) = 0 para todo ν ≥ 1, donde obtemos, por (5) que:
Z
fn (ξ)
1
fn (z) =
dξ
2πi C ξ − z
Z
1
f (ξ)
=
dξ
2πi C (ξ − a)n (ξ − z)
(6)
Como decorrência imediata do Teorema 8 e da observação acima, obtemos o
importante resultado a seguir:
Teorema 9 Se f (z) é uma função holomorfa em uma região Ω, contendo a,
então a representação
f (z) = f (a) +
f 0 (a)
f 00 (a)
f n (a)
(z − a) +
(z − a)2 + . . . +
(z − a)n + . . .
1!
2!
n!
é válida no maior disco aberto com centro em a contido em Ω.
Prova: Seja C um cı́rculo |z − a| = ρ tal que o disco fechado |z − a| ≤ ρ
esteja contido em Ω.
Seja M o máximo de |f (z)| em C. Podemos obter uma estimativa para (6).
24
Ω
C
z
a
ρ
Pela desigualdade triangular, temos
|ξ − z| ≥ ρ − |z − a|
Donde
|fn+1 (z)| ≤
ρn+1 (ρ
Logo
|fn+1 (z)(z − a)n+1 | ≤
ρM
− |z − a|)
M |z − a|n+1
ρn (ρ − |z − a|)
Conseqüentemente, o resto da expansão de Taylor, dado por |fn+1 (z)(z −
a)n+1 | tende uniformemente a zero em todo disco |z − a| ≤ r < ρ. Por
outro lado, podemos escolher ρ arbitrariamente próximo do valor da menor
distância entre a e a fronteira de Ω. Isso demonstra o Teorema. ¥
Com isso fica claro que uma função holomorfa é analı́tica, isto é, pode ser
representada pela série de Taylor.
3.3.2
Princı́pio do Máximo
Teorema 10 Se f (z) é holomorfa e não constante em uma região Ω, então
o seu valor absoluto |f (z)| não tem máximo em Ω.
Prova: Por absurdo, suponha que existe a ∈ Ω tal que |f (a)| = max |f (z)|.
z∈Ω
25
Considere um cı́rculo C centrado em a de raio ρ. Seja M = max |f (z)|. Pela
z∈C
Fórmula Integral de Cauchy, temos:
Z
1
f (z)
f (a) =
dz
2πi C z − a
Z
1
|f (z)|
|f (a)| ≤
dz
2π C |z − a|
2πρM
≤
2πρ
Logo |f (a)| ≤ M . Por outro lado, como |f (a)| = maxz∈Ω |f (z)|, temos
|f (a)| ≥ M . Está claro que se a última desigualdade for estrita teremos
uma contradição. Assim concluimos que f (a) = f (z) para todo z ∈ C.
Como C é arbitrário, |f (z)| é constantemente igual a |f (a)| para todo z em
uma vizinhança de a. Conseqüentemente, f (z) seria constante em Ω, o que
contradiz as hipóteses do teorema.
¥
3.4
Forma Geral do Teorema de Cauchy
Uma vez demonstrado o Teorema de Cauchy para regiões delimitadas por
um cı́rculo, desejamos agora estudar o caso geral.
3.4.1
Definições Preliminares
Definição 5 Considere dois caminhos, C1 e C2 , com Ci : [0, 1] → Ω. C1 e C2
são ditos homotópicas se existe uma aplicação contı́nua H : [0, 1]X[0, 1] → Ω
tal que H(0, t) = C1 (t) e H(1, t) = C2 (t). Neste caso, escreve-se C1 ' C2 .
Ainda, a aplicação H(s, t) é dita uma homotopia entre os caminhos C1 e C2 .
Definição 6 Dizemos que uma região é simplemente conexa se ela for conexa
por caminhos e se dois caminhos quaisquer com as mesmas extremidades
forem homotópicos (com extremidades fixas).
Observamos ainda que em uma região simplesmente conexa, todo caminho
pode ser transformado homotopicamente em um ponto.
26
C1
C1
C2
C2
Ω
Ω
Figura 1: Exemplo de uma região
simplesmente conexa
Figura 2: Exemplo de uma região
que não é simplesmente conexa
3.4.2
O Teorema de Cauchy (Geral)
Teorema 11 Se f (z) é holomorfa em uma região simplesmente conexa Ω,
então para toda curva fechada em Ω vale:
Z
f (z)dz = 0
γ
Prova: Já foi visto na demonstração do Teorema 2 que se f (z) é uma função
holomorfa então a 1-forma w = f (z)dz é fechada, i.e, dw = 0.
Em se tratando de uma região simplesmente conexa, duas curvas fechadas
quaisquer em Ω com mesma extremidade, são homotópicas. Assim, podemos
aplicar o Teorema de Stokes à superfı́cie S, que tem como fronteira a curva
C1 − C2
Z
Z
w =
∂S
Z
dw
ZS
w =
C1 −C2
Z
Z
w−
C1
0
S
w = 0
C2
27
C1
S
C2
Ω
Sabemos ainda, pela observação final da seção 3.4.1, que
Z
Z
Z
f (z)dz =
w= w=0
C1
C1
onde p é um ponto em Ω.
3.5
3.5.1
p
¥
Funções Harmônicas
Definição e Propriedades Básicas
Definição 7 Uma função real u(x, y) definida em uma região Ω é dita harmônica
se for contı́nua, assim como as derivadas parciais das suas duas primeiras
ordens e se satisfaz a equação de Laplace:
∆u =
∂ 2u ∂ 2u
+
=0
∂x2 ∂y 2
Observe que se u é harmônica, então a função
f (z) =
∂u
∂u
−i
∂x
∂y
é holomorfa. Isso se deve ao fato de que se U =
∂U
∂x
= −
∂2u
∂V
=
∂y 2
∂y
28
∂u
,
∂x
V = − ∂u
, temos
∂y
∂U
∂y
∂u2
∂V
=−
∂x∂y
∂x
=
Assim sendo, podemos escrever
µ
¶
µ
¶
∂u
∂u
∂u
∂u
f dz =
dx +
dy + i −
dx +
dy
∂x
∂y
∂y
∂x
(7)
A parte real corresponde a du. Se u possui uma função harmônica conjugada,
isto é, se existir uma função v harmônica tal que f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y)
seja holomorfa, então a parte imaginária de (7) corresponde a dv. Como em
geral não existe uma função conjugada, escrevemos
∗
du = −
∂u
∂u
dx +
dy
∂y
∂x
e diremos que ∗ du é a diferencial conjugada de du.
R
Pelo Teorema de Cauchy, sabemos que γ f dz = 0 em uma região simplesR
mente conexa. Por outro lado, γ du = 0. Temos então que
Z
Z
∗du =
γ
−
γ
∂u
∂u
dx +
dy = 0
∂y
∂x
Outra interpretação de ∗ du é a seguinte. Seja γ uma curva parametrizada
por z(t). O vetor tangente a γ é dado por α = arg z 0 (t).
½
dx = |dz| cos α
dy = |dz| sin α
Seja w normal a γ. A direção de w é dada por β = α − π2 . A derivada norma
em relação a γ é dada por:
∂u
∂u
∂u
=
cos β +
sin β
∂n
∂x
∂y
29
Assim sendo, temos que
∗
∂u
∂u
dx +
dy
∂y
∂x
∂u
∂u
= |dz|(− cos α +
sin α)
∂y
∂x
∂u
∂u
= |dz|( sin β +
cos β)
∂y
∂x
∂u
= |dz|
∂n
du = −
∗
du =
∂u
|dz|
∂n
(8)
Teorema 12 Se u1 e u2 são harmônicas em uma região simplesmente conexa
Ω, então
Z
γ
3.5.2
u∗1 du2 − u∗2 du1 = 0
(9)
Propriedade do Valor Médio
Teorema 13 A média aritmética de uma função harmônica sobre cı́rculos
concêntricos |z| = r é dada por
Z
1
udθ = α log r + β
2π |z|=r
e se u é harmônica em um disco α = 0 e a média aritmética é constante.
Prova: Aplicando o Teorema 12 com u1 = log e u2 igual a uma função u
harmônica em |z| < ρ. Seja Ω o disco 0 < |z| < ρ. Seja γ C1 − C2 onde Ci
é o cı́rculo |z| = ri < ρ, no sentido positivo. Pela equação (8), a equação (9)
pode ser escrita como:
Z
log r1
∂u
r1 dθ −
∂r
C1
Z
Z
udθ = log r2
C1
30
∂u
r2 dθ −
∂r
C2
Z
udθ
C2
Ou seja, a expressão
Z
Z
udθ − log r
|z|=r
r
|z|=r
∂u
dθ
∂r
é constante. Da mesma forma,
Z
r
|z|=r
∂u
dθ
∂r
é constante no caso do anel e zero se u for harmônica em todo o disco. Daı́
segue o resultado.
¥
Teorema 14 (Princı́pio do Máximo) Uma função harmônica não constante não possui máximo ou mı́nimo em sua região de definição. Conseqüentemente o máximo e mı́nimo em um conjunto fechado limitado são atingidos
na fronteira.
4
4.1
Aplicações Conformes
Introdução
Considere uma curva γ dada pela equação z(t) com α ≤ t ≤ β, contido em
uma região Ω. Seja f (z) uma funçao holomorfa em Ω. Sejam w(t) = f (z(t))
a imagem de γ, dada por γ 0 e z0 = z(t0 ). Vamos supor ainda que z 0 (t0 ) 6= 0
e f 0 (z0 ) 6= 0. Assim, como
w0 (t0 ) = f 0 (z0 )z 0 (t0 )
temos que w0 (t0 ) 6= 0. Logo γ 0 admite uma tangente em w0 = f (z0 ), com
direção
arg w0 (t0 ) = arg f 0 (z0 ) + arg z 0 (t0 )
Observamos que o ângulo formado entre as tangentes de γ em z0 e γ 0 em
w0 é dado por arg f 0 (z0 ). Conseqüentemente, independente da curva γ. Por
31
isso, curvas tangentes em z0 são levadas em curvas tangentes em w0 . Ainda,
curvas que formam um determinado ângulo entre si são mapeadas em curvas
formando o mesmo ângulo.
Definição 8 A aplicação holomorfa f (z) em Ω é dita conforme se f 0 (z) 6= 0
para todo z ∈ Ω.
A fim de demonstrar o Teorema de Aplicação de Riemann iremos precisar de
algumas definições e teoremas relacionados com seqüencias de funções.
Definição 9 Uma famı́lia F de funções fn é dita equicontı́nua, se para cada
² > 0, existir δ > 0 tal que d(f (z), f (z0 )) < ² sempre que |z − z0 | < δ,
simultaneamente para toda função f ∈ F .
Definição 10 Uma famı́lia F é dita normal se toda seqüência fn de funções
em F, contem uma subseqüência que converge uniformemente em todo subconjunto compacto de Ω.
Teorema 15 (Ascoli-Arzela) Toda famı́lia eqüicontı́nua e simplesmente
limitada de funções definidas em um compacto K ⊂ C, admite uma subseqüência uniformemente convergente.
Corolário 1 Toda famı́lia eqüincontı́nua e simplesmente limitada de funções
definidas em um aberto Ω ⊂ C possui uma subseqüência que converge uniformemente em cada parte compacta de Ω.
Teorema 16 Seja fn (z) analı́tica em Ωn . Suponha que a seqüência fn (z)
converge uniformemente em todo conjunto compacto de Ω. Então f (z) é
analı́tica em Ω. Além disso, fn0 (z) converge uniformemente para f 0 (z) em
todo subconjunto compacto de Ω.
Teorema 17 (Hurwitz) Se as funções são analı́ticas e não-nulas em uma
região Ω e se fn (z) converge para f (z), uniformemente em cada subconjunto
compacto de Ω, então ou f (z) é identicamente nula ou nunca se anula em
Ω.
32
4.2
Teorema de Apliacação de Riemann
Será demonstrado que o disco unitário pode ser aplicado conformalmente em
qualquer região simplesmente conexa do plano que não seja o prórpio plano.
Teorema 18 Dada uma região simplesmente conexa Ω do plano, que não
seja o próprio plano , e um ponto z0 ∈ Ω, existe uma única função analı́tica
f (z) em Ω, normalizada pelas condições f (z0 ) = 0, f 0 (z0 ) > 0, tal que f (z)
define uma aplicação bijetiva de Ω no disco D dado por |w| < 1.
Prova:
Unicidade: Suponha que existam duas funções f1 e f2 com estas propriedades. Assim, f1 [f2−1 ] define uma aplicação injetiva do disco |w| < 1
em si mesmo. Uma tal aplicação pode ser dada por uma tranformação linear
S. As condições S(0) = 0 e S 0 (0) > 0 implicam que S(w) = w logo f1 = f2 .
Existência: Vamos considerar uma famı́lia F formada por todas as funções
g com as seguintes propriedades:
1) g é analı́tica e injetiva em Ω;
2) |g(z)| ≤ 1 em Ω;
3) g(z0 ) = 0 e g 0 (z0 ) > 0.
A prova será feita em 3 partes:
Parte I: Mostrar que a famı́lia F é não vazia;
Parte II: Mostrar que existe f com derivada maximal;
Parte III: Mostrar que f tem as propriedades desejadas.
Parte I
√
Sendo Ω simplesmente conexo, podemos definir um ramo de z − a em Ω.
Vamos denotá-lo por h(z). A imagem de Ω por h cobre o disco |w−h(z0 )| < ρ,
conseqüentemente não se encontra com o disco |w + h(z0 )| < ρ. Ou seja,
|h(z) + h(z0 )| ≥ ρ para z ∈ Ω, e em particular 2|h(z0 )| ≥ ρ. Podemos então
verifiar que a função
g0 (z) =
ρ|h0 (z0 )| h(z0 ) h(z) − h(z0 )
.
.
4|h(z0 )|2 h0 (z0 ) h(z) + h(z0 )
33
pertence à famı́lia F. Primeiramente, g0 é injetiva já que é obtida de h
por uma transformação linear. Ainda, é fácil verificar que g0 (z0 ) = 0 e
|h0 (z0 )|
g 0 (z0 ) = ( ρ8 ) |h(z
2 > 0. Finalmente, a estimativa
0 )|
¯
¯
¯
¯
¯
¯ 4|h(z0 )|
¯ h(z) − h(z0 ) ¯
2
¯ = |h(z0 )|.¯ 1 −
¯
¯
¯ h(z0 ) h(z) + h(z0 ) ¯ ≤
¯ h(z) + h(z0 ) ¯
ρ
mostra que |g0 (z)| ≤ 1 em Ω.
Parte II
As derivadas g 0 (z0 ), g ∈ F têm uma menor cota superior, B, que a princı́pio
poderia ser infinita. Então existe uma seqüencia gn ∈ F tal que gn0 (z0 ) → B.
Afirmação 1: As derivadas das funções gn são uniformemente limitadas nas
partes compactas de Ω.
Seja C um cı́rculo de raio r em um compacto de Ω. Como a imagem de gn
está em D, |gn (z)| < 1. Além disso, as funções gn são analı́ticas, logo pela
equação ( 4) temos
Z
1
gn (ξ)
0
gn (z) =
dξ
2πi C (ξ − z)2
1
|gn0 (z)| ≤
r
Assim segue que no disco compacto de raio 0 < r < 1 as derivadas são
uniformemnte limitadas.
Não é difı́cil mostrar que uma seqüência de funções com derivadas uniformemente limitadas é eqüicontı́nua.
Aplicando o Corolário do Teorema de Ascoli-Arzelá, obtemos que gn é uma
famı́lia normal. O Teorema 16 nos garante então que a função limite f : Ω →
D é analı́tica.
Parte III
Está claro que |f (z)| ≤ 1 em Ω, f (z0 ) = 0 e f 0 (z0 ) = B, logo B é finito.
Devemos mostrar ainda que f é injetiva.
34
Primeiramente, f não é constante, já que f 0 (z) = B > 0. Dado z1 ∈ Ω,
considere as funções g1 (z) = g(z) − g(z1 ) onde g ∈ {. As funções g1 (z) são
diferentes de 0 na região obtida omitindo-se o ponto z1 de Ω. Aplicando o
Teorema de Hurwitz, temos que a função limite f (z) − f (z1 ) não é identicamente nula. Logo f (z) 6= f (z1 ) para z 6= z1 . Como z1 é arbitrário, mostramos
que f (z) é injetiva.
Ainda nos resta mostrar que f (z) é sobrejetiva. Por absurdo, vamos supor
que existe |w0 | < 1 tal que f (z) 6= w0 . Como Ω é simplesmente conexo,
podemos definir um ramo de:
s
f (z) − w0
F (z) =
1 − w̄0 f (z)
Lembrando que em uma região simplesmente conexa toda curva é homotópica
0 (z)
a um ponto. Se ϕ(z) 6= 0 em Ω podemos definir log ϕ(z) integrando ϕϕ(z)
,e
p
1
ϕ(z) = exp( 2 log ϕ(z)).
Está claro que F é injetiva e |F | ≤ 1. A fim de normalizá-la usamos
G(z) =
|F 0 (z0 )| F (z) − F (z0 )
.
¯ 0 )F (z)
F 0 (z0 ) 1 − F (z
Está claro que G(z0 ) = 0 e por uma conta obtemos
G0 (z0 ) =
|F 0 (z0 )|
1 + |w0 |
p
=
B>B
1 − |F (z0 )|2
2 |w0 |
Isso gera uma contradição, logo f (z) assume todos os valores w, |w| < 1.
Completando assim a demonstração.
¥
5
5.1
Anexo - Formas Diferenciáveis
Definições Básicas
Definição 11 Um k-tensor é uma função real T em V p = V × V × . . . × V
(k vezes), multilinear.
35
Exemplos:
1-tensor - funcionais lineares
2-tensor - produto interno
k-tensor - determinante
Definição 12 Um tensor T é alternado se
T (v1 , . . . , vi , . . . , vj , . . . , vk ) = −T (v1 , . . . , vj , . . . , vi , . . . , vk )
para quaisquer i, j.
Seja T p (V ∗ ) o espaço vetorial de todos os k-tensores.
Observe que T 1 (V ∗ ) = V ∗ .
Seja Λp (V ∗ ) o subespaço de T 1 (V ∗ ) de todos os k-tensores alternados.
Definição 13 Seja M uma variedade suave. Uma k-forma em M é uma
função w que associa a cada ponto x ∈ M um k-tensor alternado w(x) no
espaço tangente de M em x; w(x) ∈ Λp ((Tx M )∗ )
Observe que a partir desta definição, temos que uma 1-forma em M é uma
seção de (T M )∗ , já que
w : M → Λ1 ((T M )∗ ) = (T M )∗
x 7→ w(x)
e
π ◦ w : M → (T M )∗ → M
x 7→ w(x) 7→ x
Seja φ : M → R uma função suave e dφ : Tx M → R um mapeamento linear
em cada x. Assim, associando x 7→ dφx definimos a 1-forma dφ em M ,
chamada diferencial de φ.
36
Em particular, as funções coordenadas x1 , . . . , xk em R geram 1-formas
dx1 , . . . , dxk em Rk .
Para cada z ∈ Rk ,
dxi (z)(a1 , . . . , ak ) = ai
Assim, para cada z ∈ Rk , os funcionais lineares dx1 (z), . . . , dxk (z) são a base
de (Rk )∗ .
5.2
Motivação
Considere uma transformação linear T do espaço vetorial E1 em E2 .
T : E1 → E2
v 7→ T (v)
Observe que dado v em E1 conseguimos encontrar T (v) em E2 . Mas, a priori,
dado u em E2 , não sabemos como “transportá-lo” de volta para E1 .
Isso porque campos de vetores “funcionam” naturalmente com o push-forward.
Ou seja, dado um campo X definido em E1 e uma aplicação injetiva f : E1 →
E2 podemos encontrar o campo Y definido em E2 da seguinte forma:
Y (q) = f∗ X(f −1 (q))
= Dff −1 (q) .X(f −1 (q))
Em contra partida, formas diferenciáveis “funcionam” naturalmente com o
pull-back. Sejam f como antes, w uma k-forma definida em E2 , v1 , . . . , vk
campos definidos em E1 .
f : E1 → E2
v1 , . . . , vk 7→ Dp f.v1 , . . . , Dp f.vk
f ∗ w(p)(v1 , . . . , vk ) ← w
onde f ∗ w(p)(v1 , . . . , vk ) = wf (p) (Dp f.v1 , . . . , Dp f.vk )
37
5.3
Diferencial Exterior
Como vimos, uma 1-forma em Rk pode ser escrita na base dx1 , . . . , dxk , ou
seja,
w(x) = c1 (x)dx1 + . . . + ck (x)dxk
Podemos definir agora a seguinte operação, denominada produto wedge ou
produto exterior, da seguite forma:
µ
¶
dxi .v1 dxi .v2
dxi ∧ dxj (v1 , v2 ) := det
dxj .v1 dxj .v2
Assim, podemos escrever uma 2-forma da seguinte maneira:
X
cij (x)dx1 ∧ dxj
Sejam w1 e w2 1-formas diferenciáveis.
µ
w1 ∧ w2 (v1 , v2 ) = det
w =
dw :=
k
X
i=1
k
X
w1 (v1 ) w1 (v2 )
w2 (v1 ) w2 (v2 )
¶
ci (x)dxi
dci (x) ∧ dxi
i=1
onde dci =
k
X
i=1
∂
c
∂x1 i
dx1 + . . . +
dci (x) ∧ dxi =
∂
c
∂xk i
dxk
∂
∂
dx1 ∧ dxi + . . . +
dxk ∧ dxi à 2-forma
∂x1
∂xk
Se w é uma 2-forma temos:
X
w =
cij dxi ∧ dxj
X
dcij ∧ dxi ∧ dxj à 3-forma
dw =
i,j
38
Exemplo: Seja w a 1-forma em R3 dada por:
w = 3xydx + z 2 dy + 7dz
dw = (3ydx + 3xdy + 0dz) ∧ dx + (0dx + 0dy + 2zdz) ∧ dy +
(0dx + 0dy + 0dz)dz
= −3xdx ∧ dy − 2zdy ∧ dz
µ
2
dwp (2z, xyz, 1)(0, 5x , yz) = −3x det
2z
0
xyz 5x2
¶
µ
− 2z det
xyz 5x2
1
yz
¶
= −30x3 z − 2xy 2 z 3 + 10x2 z
No ponto (1, 0, 1), dwp (2z, xyz, 1)(0, 5x2 , yz) = −20.
5.4
Propriedades Básicas
1) d(w + η) = dw + dη
2) Se w é uma k-forma e η é uma l-forma, então d(w∧η) = dw∧η+(−1)k w∧dη
3) d(dw) = 0
4) Se w é uma k-forma em Rm , f : Rn → Rm é diferenciável, então f ∗ (dw) =
d(f ∗ w)
Definição 14 Se dw = 0, dizemos que w é fechado.
OBS: O pull-back leva formas fechadas em formas fechadas.
Definição 15 Se w = dη dizemos que w é exata.
OBS: O pull-back leva formas exatas em formas exatas.
39
6
Referências
1) AHLFORS, L.V. Complex Analysis. Third Edition. Singapore: McGrawHill, 1979. 331p.
2) LIMA, E.L. Grupo Fundamental e Espaços de Recobrimento. Rio de
Janeiro, 1977. 263p.
3) Notas do curso de Equações Diferencias Parcias ministrado pelo Professor
Julio Rebelo no Departamento de Matemática da PUC-Rio em 2004/2.
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