Capítulo 6 Estimativa Bayesiana de Propriedades Acústicas em

Capítulo 6
Estimativa Bayesiana de
Propriedades Acústicas em Tubos de Kundt
Mario Olavo Magno de Carvalho∗, Marcus Vinicius Girão de Morais
e Alberto Carlos Guimarães Castro Diniz
Resumo: Por meio de uma abordagem Bayesiana, resolve-se o problema da identificação das propriedades
de absorção de amostras de material submetidas à ondas unidimensionais de pressão acústica em tubos
de Kundt. Aplica-se um método de Monte Carlo via cadeia de Markov, em um algorı́tmo de MetropolisHastings, para a solução do problema inverso. As soluções são buscadas em um espaço de funções Splines,
acelerando a convergência sem perda de generalidade. Sinais de pressão independentes foram simulados
para construir o modelo a priori. Apresentam-se os conceitos fundamentais da metodologia proposta; que
é analisada quanto a sua precisão e estabilidade em um experimento simulado.
Palavras-chave: Modelagem estocástica, Funções splines, Otimização, Tubo de impedância.
Abstract: A Bayesian approach was applied to solve an identification problem of some absorption
properties of material samples subjected to one-dimensional acoustic pressure waves in a Kundt’s Tube.
A Markov Chain Monte Carlo sampling approach, implemented in the form of the Metropolis-Hastings
algorithm, was used to solve the inverse problem. The solutions were searched in a spline functions space,
accelerating the convergence without loss of generality. Pressure signals were simulated to construct the
prior model. The fundamental concepts of the proposed methodology are presented, and it is analysed to
its accuracy and stability in a simulated experiment.
Keywords: Stochastic modeling, Spline functions, Optimization, Impedance tube.
Conteúdo
1
2
Introdução ................................................................................................................................
Abordagem Bayesiana na solução de problemas inversos.........................................................
2.1 Estimativas usando métodos de Monte Carlo via cadeia de Markov ...............................
3 O Modelo Matemático do Tubo de Impedância.......................................................................
3.1 Formulação teórica...........................................................................................................
4 Processo de Otimização e Implementação Numérica ...............................................................
4.1 Otimização usando aproximação ponto-a-ponto ..............................................................
4.2 Otimização utilizando funções splines .............................................................................
4.3 Simulação do problema direto..........................................................................................
4.4 Implementação numérica .................................................................................................
5 Resultados Obtidos ..................................................................................................................
5.1 Tubo excitado por uma função impar..............................................................................
5.2 Tubo excitado por uma função Gaussiana .......................................................................
6 Conclusão .................................................................................................................................
∗ Autor
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para contato: [email protected]
Lobato et al. (Ed.), (2014)
DOI: 10.7436/2014.tica.06
ISBN 978-85-64619-15-9
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Carvalho et al.
1. Introdução
O tubo de Kundt, também chamado de tubo de impedância, é muito usado em ensaios para a
determinação das propriedades acústicas de materiais (coeficiente de absorção, impedância acústica,
etc). É constı́tuido por um tubo com um autofalante posicionado em uma de suas extremidades e
um corpo de prova na outra. Microfones são usados para medir a pressão acústica das ondas que se
propagam dentro do tubo. As ondas medidas pelos microfones são a combinação da onda incidente
(emitida pelo autofalante) e da onda refletida pela amostra testada. Conhecendo-se os sinais medidos
pelos microfones é possı́vel determinar as caracterı́sticas das ondas incidente e refletida e, assim,
determinar as propriedades do material testado.
A determinação das propriedades de absorção de materiais testados em tubos de Kundt a partir
dos sinais medidos nos microfones é um problema de identificação de parâmetros, que está incluı́do
em uma classe, mais geral, de problemas inversos. Para resolver este problema inverso, foi utilizado
um método estatı́stico com base na abordagem Bayesiana, que apresenta uma maior estabilidade
no tratamento de dados incompletos e sujeitos a incertezas, do que os métodos determinı́sticos
tradicionais. Utilizar uma abordagem estocástica para resolver um problema inverso envolve a
otimização de uma função (ou parâmetro) que minimiza a dispersão dos resı́duos no problema direto
associado, e exige métodos eficientes para amostragem. Um algoritmo que se adapta muito bem
aos problemas de otimização estatı́sticos é o algoritmo de Metropolis-Hastings, usando o método de
Monte Carlo via cadeia de Markov (MCMC, do inglês Markov Chain Monte Carlo) para realizar a
amostragem. A utilização dos métodos MCMC permite, naturalmente, uma análise mais robusta da
solução, e um cálculo mais preciso das estimativas de erro.
Este trabalho propõe uma estratégia de otimização que faz uso de aproximação por funções splines,
que são muito adequadas para a solução de problemas de engenharia, tanto por suas caracterı́sticas,
como pelo seu baixo custo computacional, em um algoritmo de otimização de Metropolis-Hastings,
para resolver o problema inverso estocástico. Para comparação é usada uma otimização com
aproximação ponto-a-ponto dos sinais de interesse.
Um programa, desenvolvido na plataforma Matlab, resolve o problema inverso para os dados
simulados e analisa o desempenho da otimização usando funções splines; comparando os resultados
obtidos àqueles obtidos pelo método tradicional de aproximação ponto-a-ponto.
Na sequência são apresentados a modelagem do problema da medição de propriedades acústicas
em tubos de Kundt, a metodologia e o algoritmo desenvolvido, bem como os resultados obtidos.
Esses são analisados e discutidos, com ênfase na qualidade da representação das ondas incidente e
refletida e na capacidade de reconstrução dos sinais dos microfones.
2. Abordagem Bayesiana na solução de problemas inversos
A identificação de sinais faz parte dos chamados problemas inversos. De acordo com uma definição
suficientemente ampla (Engl et al., 1996), “resolver um problema inverso é determinar causas
desconhecidas a partir de efeitos observados ou desejados”. Problemas inversos são matematicamente
classificados como mal postos por não atenderem uma das três condições de Hadamard, que definem
os problemas bem postos (Isakov, 2006).
A solução de um problema bem posto deve satisfazer as condições de existência, unicidade e
estabilidade no que diz respeito aos dados de entrada. Quanto aos problemas inversos, a existência
de uma solução pode, em muitos casos, ser assegurada com base em argumentos fı́sicos. Por outro
lado, a unicidade da solução pode ser matematicamente demonstrada apenas para alguns casos
especiais de problemas inversos e, em geral, as técnicas convencionais, são extremamente instáveis
em relação aos dados de entrada, exigindo técnicas especiais para garantir a estabilidade da solução.
Existem várias metodologias para se resolver problemas inversos, que podem ser divididas em
dois grupos principais (Kirsch, 2011): regularização clássica e abordagem por inversão estatı́stica.
Métodos de regularização clássicos visam basicamente a minimização da norma dos mı́nimos
quadrados dos resı́duos do modelo. Nesses métodos busca-se uma solução aproximada que seja suave
(regular) e compatı́vel com os dados observados para um determinado nı́vel de ruı́do. Dois tipos de
regularização são mais frequentemente utilizados: a técnica de regularização de Tikhonov (Tikhonov
& Arsenin, 1977) e o método de máxima entropia (Jaynes, 1957), que procura uma regularidade
global, produzindo reconstruções suaves para os mesmos dados observados.
A inversão estatı́stica baseia-se na abordagem Bayesiana em que modelos (distribuição de
probabilidade) das medições e das incógnitas são construı́dos separadamente e de forma explı́cita.
O objetivo geral da inversão estatı́stica é atualizar a distribuição de probabilidade (modelo) a priori
em uma distribuição (modelo) posterior, quando novas informações (dados observados) tornam-se
Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt
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disponı́veis. A solução do problema inverso é reformulada na forma de inferência estatı́stica da
densidade da probabilidade a posteriori , a qual é o modelo para a distribuição de probabilidade
condicional dos parâmetros desconhecidos dadas as medições. O modelo de medição incorporando os
erros de medição e as incertezas associadas é chamado de verossimilhança, ou seja, a probabilidade
condicional das medições, dados os parâmetros desconhecidos (Kirsch, 2011). O modelo para as
incógnitas que reflete toda a incerteza dos parâmetros, sem a informação veiculada pelas medições,
é chamado modelo anterior. O mecanismo formal para combinar a nova informação (medições) com
a informação previamente disponı́vel (a priori) é conhecido como Teorema de Bayes (Lee, 2004).
2.1 Estimativas usando métodos de Monte Carlo via cadeia de Markov
Os métodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) são versões iterativas do tradicional
método de Monte Carlo (Robert & Casella, 2004). A ideia básica é a obtenção de uma amostra da
distribuição a posteriori e cálculo de estimativas amostrais de caracterı́sticas dessa distribuição (Lee,
2004). A amostragem baseada nos métodos de Monte Carlo via Cadeia de Markov é a técnica mais
viável para o cálculo das estimativas, especialmente nos casos em que o número de incógnitas não é
muito grande. Neste trabalho fazemos uso de um método MCMC para a solução do problema inverso.
O algoritmo MCMC mais comum é o algoritmo de Metropolis-Hastings (Kaipio & Somersalo, 2004).
Uma Cadeia de Markov é um processo estocástico {P0 , P1 , ..., Pn } tal que a distribuição de Pt ,
dados todos os valores prévios {P0 , P1 , ..., Pt−1 }, depende apenas do valor imediatamente anterior
Pt−1 . Assim, para um subconjunto A:
P (Pt ∈ A | P0 , P1 , ..., Pt−1 ) = P (Pt ∈ A | Xt−1 )
(1)
O Algoritmo de Metropolis-Hasting satisfaz as condições dadas pela Equação 1 e é um dos mais
utilizados para inferência Bayesiana. A ideia básica do algoritmo de Metropolis-Hasting é simular
um caminho aleatório no espaço P que converge para uma distribuição estacionária na qual se está
interessado (Kaipio & Somersalo, 2004).
A inferência Bayesiana incorpora informações a priori sobre os parâmetros e as medições na
formulação do problema.
Os métodos MCMC de estimativa por inferência Bayesiana implicam necessariamente no uso
de técnicas de amostragem de funções densidade de probabilidade e de um critério de avaliação de
máxima verossimilhança. Esses métodos permitem obter uma grande amostragem de combinações
para o vetor de parâmetros a partir de uma função densidade de probabilidade. Estas amostras são
testadas, aceitas ou rejeitadas em um algoritmo, a exemplo do de Metropolis-Hastings (Gamerman &
Lopes, 2006). Com uma amostragem suficientemente grande a sequência {P0 , P1 , ..., Pn } converge
para a solução do problema inverso.
É importante notar que, com esse método, o problema direto precisa ser resolvido para
cada amostra do vetor de parâmetros, exigindo um grande número de cálculos. Assim, apenas
recentemente, com o aumento da capacidade e velocidade de cálculo dos computadores é que a
aplicação prática desses métodos em problemas mais complexos tornou-se viável.
3. O Modelo Matemático do Tubo de Impedância
O tubo de impedância é um método padronizado para a determinação da impedância acústica e do
coeficiente de absorção de um material especı́fico. Este aparato experimental consiste de um longo
tubo conectado a uma fonte acústica (alto-falante). A geometria tubular serve como guia de ondas
para suportar a propagação de uma onda plana para uma banda de frequência entre a frequência
de corte da fonte acústica e a primeira frequência transversal da cavidade. Para essa banda de
frequências, as ondas planas incidem sobre o material acústico localizado na extreminada do tubo
oposta a fonte acústica. As condições de contorno podem ser simplificadas sobre a superfı́cie do
material através de uma impedância especı́fica z = p/v onde p é a pressão acústica e v é a velocidade
acústica.
Existem vários métodos para determinar os coeficiente de absorção por meio de ondas
estacionárias dentro de um tubo. Podemos citar o método da razão de onda estacionária, definido
pela norma ISO 10534-1:1996 (ISO, 1996), e o método de função de transferência, definido pela
norma ISO 10534-2:1998 (ISO, 1998).
O método de função de tranferência, primeiramente formulado por Chung e Blaser (Chung &
Blaser, 1980a,b), desacopla os campos acústicos incidentes e refletidos a partir da hipótese de ondas
planas. Assim, a partir da função de transferência da pressão acústica de dois pontos, ele permite
determinar a razão entre as ondas refletida e incidente no material.
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Carvalho et al.
A Figura 1 ilustra um esquema experimental para determinar o coeficiente de absorção acústica e
impedância acústica pelo método de função de transferência. Diversos laboratórios no paı́s possuem
ou desenvolveram aparatos experimentais para a determinação do coeficiente de absorção pelo
método de função de transferência. Melo Filho (2010) desenvolveu uma bancada experimental para
determinar o coeficiente de absorção acústica de materiais usando uma variante do método de função
de transferência para um único microfone (Chu, 1986).
Figura 1. Esquema geométrico do tubo de impedância aplicando o método de função de transferência.
3.1 Formulação teórica
A Figura 2 apresenta um esquema simplificado da geometria do tubo de impedância aplicando o
método de função de transferência.
O modelo fı́sico propõem, através da hipótese de ondas planas, que a informação é composta por
duas ondas: a onda incidente pi propagando-se na direção-x positiva e a onda refletida pr progando-se
na direção-x negativa ao longo do tubo.
As pressões acústicas referentes a cada uma das componente incidentes e refletidas são indicadas
por: p1,i (t) e p2,i (t) para as ondas incidentes, e p1,r (t) e p2,r (t) para as ondas refletidas. Desta
forma, a pressão acústica pi em cada microfone (i = 1, 2) é dada pelas expressões:
p1 (t) = p (x, t)cx=−(L+s) = p1,i (t) + p1,r (t)
e,
(2)
p2 (t) = p (x, t)cx=−L = p2,i (t) + p2,r (t)
Figura 2. Pressões incidentes e refletidas nos microfones do tubo de Kundt.
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Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt
A função de transferência no domı́nio da frequência pode ser definida para a pressão total entre
dois pontos em termos da transformada de Fourier, bem como para as componentes incidentes e
refletidas:
H12 (f ) =
p2,i (f ) + p2,r (f )
p2 (f )
=
,
p1 (f )
p1,i (f ) + p1,r (f )
(3)
e,
H12i (f ) =
p2,i (f )
p1,i (f )
e, H12r (f ) =
p2,r (f )
p1,r (f )
(4)
sendo p(f ), com os subscritos apropriados, a Transformada de Fourier da pressão acústica temporal.
Além disso, os coeficientes de reflexão (no domı́nio da frequência) em cada ponto podem ser definidos
como:
R1 (f ) =
p1,r (f )
p1,i (f )
e, R2 (f ) =
p2,r (f )
p2,i (f )
(5)
neste caso,
H12 (f ) = H12i (f )
1 + R2 (f )
1 + R1 (f )
(6)
O coeficiente de reflexão no ponto 2 pode ser escrito em termos do ponto 1,
H12,r (f )
R1 (f )
R2 (f ) =
H12,i (f )
e, então, a equação (6) pode ser resolvida para R1 (f ),
H12 (f ) − H12,i (f )
R1 (f ) =
H12,r (f ) − H12 (f )
(7)
(8)
Ao assumir o tubo sem perdas, a função de transferência entre os microfones é facilmente
determinada por um delay de propagação. No microfone #1, a pressão acústica incidente e refletida
são descritas, respectivamente, como,
p1,i (t) = po exp (ıωt) exp (−ık[−(L + s)])
(9)
p1,r (t) = R po exp (ıωt) exp (−ık(L + s)) .
(10)
e,
Então, no microfone #2, a pressão acústica é descrita como,
p2,i (t) = po exp (ıωt) exp (−ık[−L]) = p1,i (t)exp (−ıks)
(11)
p2,r (t) = R po exp (ıωt) exp (−ıkL) . = p1,r (t)exp (ıks)
(12)
H12i (f ) = exp (−ıks)
(13)
e,
Então,
e,
H12r (f ) = exp (ıks)
Por esta mesma razão, estas expressões podem ser extendidas para permitir a expressão do
coeficiente de reflexão R(f ) na superfı́cie da amostra em termos de R1 (f ), ou seja,
R (f ) = R1 (f ) exp [ı 2k(L + s)]
(14)
Finalmente, usando (8), (13), e (14),
H12 (f ) − exp(−ıks)
R (f ) = exp [ı 2k(L + s)]
H12 (f ) − exp(+ıks)
O coeficiente de absorção de incidência normal é então dado por αn = 1 − |R(f )|2 , ou ainda,
H12 (f ) − exp(−ıks) 2
αn (f ) = 1 − H12 (f ) − exp(+ıks) (15)
(16)
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Carvalho et al.
4. Processo de Otimização e Implementação Numérica
A busca de convergência da Cadeia de Markov, no problema descrito, constitui-se, claramente, em
um processo de otimização de funções. Como a otimização exige a solução do problema direto
um grande número de vezes, tem-se um elevado custo computacional associado. Assim, diferentes
estratégias de otimização podem ser adotadas. A seguir são apresentadas duas estratégias que foram
usadas para resolver o probelma inverso para determinação das ondas incidentes e refletidas no tubo
de Kundt: o método tradicional, usando aproximação ponto-a-ponto, e um método com aproximação
por funções splines. Em ambos os casos é usada a abordagem estocástica bayesiana.
4.1 Otimização usando aproximação ponto-a-ponto
O número de passos requerido para a convergência de um problema inverso cresce diretamente com
a dimensão do espaço de solução procurado. Em um processo de otimização usando aproximação
ponto-a-ponto muitos pontos devem ser considerados a fim de atingir uma solução mais precisa,
aumentando o tamanho do vetor da função tentativa e, consequentemente, o número de passos
necessários para a convergência do problema inverso.
Como critério de aceleração da convergência pode-se afirmar que, a qualquer tempo, ao longo de
um processo de otimização, a perturbação aleatória imposta à melhor aproximação disponı́vel até
o momento em questão deve guardar uma relação direta com a dispersão (avaliação de máxima
verossimilhança) apresentada por essa solução. Assim, para dispersões grandes, que aparecem
nos primeiros passos da Cadeia de Markov (que se encontra longe da convergência), convém se
utilizar perturbações grandes, que devem ser reduzidas à medida que se aproxima da convergência
(solução procurada). Contudo, mesmo adotando-se esta estratégia para a evolução da perturbação,
o custo computacional da otimização utilizando a técnica tradicional de aproximação ponto-a-ponto
permanece elevado.
4.2 Otimização utilizando funções splines
Tendo em vista a grande incerteza envolvida nos primeiros passos da Cadeia de Markov, além
da estratégia de se evoluir com a amplitude das perturbações aplicadas ao longo do processo de
otimização, aplicou-se também uma técnica de modificação da dimensão do espaço de solução.
Inicialmente adota-se uma aproximação mais grosseira da solução buscada, de forma a se ter
um espaço vetorial de menor dimensão e, portanto, uma convergência mais rápida. Garantida a
convergência inicial (no espaço reduzido), inicia-se a etapa seguinte pesquisando uma solução mais
refinada num espaço maior (o espaço da solução procurada). Assim, o processo de convergência no
espaço da solução desejada é mais rápido, pois se inicia com uma solução já próxima da procurada.
Para tornar esse processo mais eficaz, busca-se uma representação utilizando um espaço de funções
splines (ou funções polinomiais por partes) da classe C 2 , que se mostram mais convenientes para
representação de problemas fı́sicos reais.
Inicialmente desenvolvidas para a modelagem de formas suaves utilizadas na indústria naval, com
a evolução dos recursos computacionais, as aplicações das funções splines se expandiram para outras
áreas da computação cientı́fica devido à sua simplicidade, precisão e flexibilidade para representar
geometrias complexas (Schumaker, 2007). Autores como Biloti et al. (2001) e Steffens (2005), dentre
outros, exploraram as propriedades das funções splines em algoritmos de interpolação e de otimização.
Do ponto de vista matemático uma spline é uma função polinomial definida por intervalos. Dentre as
famı́lias de curvas splines, a mais difundida é a Spline Cúbica Natural (Natural Cubic Splines - NCS)
de grau 3 e de continuidade C 2 (Biloti et al., 2003; Mota et al., 2010). É conveniente interpretar as
funções splines como formando um subespaço vetorial de <, frequentemente designado por Snr (p),
onde p é o vetor dos nós, definidos pelas extremidades dos intervalos de interpolação; n é o grau do
polinômio de interpolação (n = 3 para o caso de splines cúbicas) e o vetor r indica a suavidade da
spline ou o grau de continuidade das derivadas nos pontos definidos pelo vetor p (Schumaker, 2007).
Assim, este trabalho usa uma estratégia de otimização, com aproximação por Splines, que além
de evoluir com a amplitude da perturbação, aplicada a cada passo de aproximação, de acordo com a
Cadeia de Markov, evolui também com a classes da função spline, adotando classes mais completas
à medida que a dispersão identificada, pelo critério de máxima verossimilhança, vai sendo reduzida.
4.3 Simulação do problema direto
O problema direto foi modelado considerando a propagação de ondas unidimensionais em tubos, onde
a solução clássica é composta de duas ondas que se propagam em sentidos opostos ao longo de todo
Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt
73
o tubo. Adotando como origem a superfı́cie da amostra testada, temos a propagação de uma onda
incidente, no sentido da direita para a esquerda, e uma onda refletida, da esquerda para a direita,
conforme Figura 2. A amplitude da onda refletida diferere da amplitude da onda incidente de um
fator R, que caracteriza as propriedades de absorção do material da amostra no tubo. Assumindo a
hipótese de linearidade, essas duas ondas são adicionadas. O resultado dessa composição de ondas é
assumido conhecido no modelo proposto e simula a medição dos microfones no domı́nio do tempo.
Apesar de que, no presente caso, foram usados dois microfones, não há limitação para a avaliação
da resposta quanto ao número ou a posição dos microfones. Se um número maior de microfones
for utilizado existirá mais informação disponı́vel e a solução do problema inverso será mais eficiente
(seguindo o princı́pio bayesiano), embora isso implique em um maior custo experimental.
Uma vez conhecidas as ondas incidente e refletida, o valor das propriedades de absorção (R) do
material da amostra testada pode ser estimada.
4.4 Implementação numérica
Ambas as estratégias de otimização, por aproximação ponto-a-ponto e por funções splines usam uma
aproximação estatı́stica para obter uma solução para o problema inverso do tubo de impedância. A
Figura 3 mostra o fluxograma do algoritmo computacional desenvolvido para ambas as estratégias.
A diferença entre estas estratégias está limitado apenas à classe de funções admissı́veis utilizadas.
O algoritmo proposto arbitra uma função teste inicial para resolver o problema direto. Então, a
dispersão da resposta é estimada e a função teste é modificada até que a dispersão seja menor que um
valor especificado. Nos primeiros passos, utiliza-se como função teste uma spline de baixa ordem
(pertencente a um espaço de dimensão reduzida). Com a nova etapa proposta para o algoritmo, é
possı́vel implementar um segundo teste que aumenta a classe da função spline quando a dispersão
aproxima-se do valor , aumentando a qualidade da representação (Figura 3).
Figura 3. Fluxograma para solução do problema inverso do tubo de Kundt.
Foi implementado, em linguagem Matlab, um programa que, usando o algoritmo proposto, avalia
e compara o erro para o ajuste das funções que representam as ondas de pressão incidente e refletida.
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Carvalho et al.
Foram realizadas duas otimizações para diferentes casos (considerando-se diferentes tipos de ondas
incidentes), usando aproximação por funções ponto-a-ponto e aproximação por funções splines.
5. Resultados Obtidos
Apresenta-se a seguir a comparação dos resultados obtidos, aplicando-se o algoritmo proposto para
os dois tipos de aproximação: ponto-a-ponto e por funções splines, em condições equivalentes. São
considerados dois casos tı́picos: um primeiro com uma onda incidente impar e um segundo com uma
onda incidente par (função Gaussiana).
5.1 Tubo excitado por uma função impar
O primeiro caso considera uma onda incidente do tipo impar em um tubo de 1 m, com dois microfones
posicionados a 0,1 m e 0,8 m da extremidade onde está fixada a amostra testada.
Na Figura 4(a) é apresentado o sinal incidente, simulando a onda emitida pelo autofalante.
Considerando um coeficiente de absorção uniforme igual a R = 0, 5, espera-se que o sinal refletido
seja como o mostrado na Figura 4(b). Usando, então, esses dois sinais foi resolvido o problema direto
e gerado os sinais que teoricamente seriam medidos pelos microfones, como mostra a Figura 5. Estes
sinais serão usados como referência para a verificação da qualidade da solução do problema inverso.
(a) onda incidente
(b) onda refletida
Figura 4. Sinais simulados no tubo de impedância - onda impar.
Figura 5. Composição dos sinais capturados pelos microfones (simulação).
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Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt
A aplicação do algoritmo, apresentado na Seção 4.4, implica em se arbitrar funções que tentem
representar os sinais incidente e refletido existentes no tubo para, resolvendo o problema inverso,
reconstruir os sinais “medidos” pelos microfones (mostrados na Figura 5). Partindo das funções
arbitradas para os sinais incidente e refletido, o algoritmo procede a aplicação de uma perturbação
aleatória sobre essas funções até atingir aquelas que melhor representam os sinais compostos,
“medidos” pelos microfones. Ao se atingir o nı́vel de qualidade de aproximação exigido para a
representação dos sinais dos microfones, usa-se as funções representativas dos sinais incidente e
refletido para determinar o coeficiente de absorção da amostra testada.
As Figuras 6(a) e 6(b) mostram a qualidade da aproximação dos sinais incidente e refletido após
500 iterações (após um tempo de cálculo de 7 s). Nas figuras podemos ver a função de partida
(indicada pelo tracejado verde), a função aproximada (tracejado azul) e a solução esperada (linha
vermelha).
Deve-se notar que nestas figuras as soluções esperadas são mostradas apenas a tı́tulo de
comparação, visto que o algoritmo considera, para verificar a convergência, a qualidade da
aproximação dos sinais nos dois microfones, mostrada na Figura 6(c), onde a aproximação numérica
é mostrada pelo tracejado azul e a solução esperada (“medida” pelo microfone) em vermelho.
(a) onda incidente
(b) onda refletida
(c) Sinais recuperados nos microfones
Figura 6. Evolução da aproximação dos sinais após 500 iterações.
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Carvalho et al.
Transcorridos 13,12 min. de simulação, o algoritmo convergiu para os resultados resumidos
na Figura 7, que foram obtidos com 10.000 iterações. Na Figura 7 pode-se ver a qualidade da
aproximação dos sinais “medidos” nos microfones, os quais permitem determinar com exatidão os
sinais incidente e refletido no tubo e com estes é possı́vel calcular a coeficiente de absorção do material
testado.
Figura 7. Resultado da aproximação dos sinais nos microfones após 10.000 iterações, usando funções splines.
A tı́tulo de comparação, repetiu-se o mesmo procedimento adotando agora uma aproximação
ponto-a-ponto. Foram repetidas as mesmas condições de simulação e usado o mesmo algoritmo,
contudo sem o passo de refinamento da função de aproximação.
De forma a abreviar o texto, a Figura 8 resume o resultado final da otimização (após 10.000
iterações) mostrando as ondas incidente e refletida, bem como a aproximação dos sinais nos
microfones. As aproximações numéricas são apresentadas em linhas tracejadas azuis e as soluções
esperadas em linhas vermelhas.
Figura 8. Identificação numérica de um sinal de entrada impar usando aproximação ponto-a-ponto.
Estimativa Bayesiana de propriedades acústicas em tubos de Kundt
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5.2 Tubo excitado por uma função Gaussiana
Neste segundo caso considera-se uma onda incidente do tipo Gaussiana (onda par). São adotados
os mesmos valores para as dimensões do tubo e para o posicionamento dos microfones. Considera-se
também o mesmo valor para o coeficiente de absorção da amostra: R = 0, 5.
Adotando-se o mesmo procedimento do caso anterior, o algoritmo foi inicialmente aplicado
considerando uma aproximação por funções splines e, em seguida, repetido usando aproximação
ponto-a-ponto. De forma a evitar repetições e alongar o texto, apresentam-se apenas os resultados
finais das simulações.
A Figura 9 mostra, em sua parte superior, o resultado obtido para a identificação das ondas
incidente e refletida no tubo de impedância e, na parte inferior, a aproximação dos sinais nos
microfones. As aproximações são mostradas pelas linhas tracejadas azuis e as soluções exatas pelas
linhas vermelhas. Para um resı́duo quadrático inferior a 0, 3%, a solução por splines converge em
274 iterações após 12,0 segundos, em média. Enquanto, para o mesmo resı́duo quadrático inferior
a 0, 3%, a solução ponto-a-ponto converge em 29566 iterações após 125,2 segundos, em média. As
simulações foram efetuadas em um computador Pentium Core2 1, 86GHz 1Gb RAM, WindowsXP
2002 SP3 e MatLab 7.6.0 (R2008a).
Figura 9. Identificação numérica de um sinal de entrada gaussiano usando aproximação por funções splines.
Os resultados para a aproximação ponto-a-ponto são resumidos na Figura 10, onde, como nas
demais, o tracejado azul mostra o resultado da simulação e o tracejado vermelho a solução exata.
6. Conclusão
A identificação de propriedades acústicas de coeficiente de absorção e impedância acústica de uma
amostra testada em um tubo de impedância (Tubo de Kundt) caracteriza um problema inverso em
acústica.
O problema bem posto foi adequadamente modelado. A aplicação de uma abordagem estocástica
por meio de um método de Monte Carlo via Cadeia de Markov (MCMC) resultou numa solução
adequada, robusta e estável. As ondas incidente, emitida pela fonte sonora, e refletida pela amostra
testada, foram recuperadas a partir dos sinais de saı́da obtidos por dois microfones (simulando dados
medidos).
A abordagem de aproximação por funções splines mostrou-se mais adequada, considerando a
forma e suavidade das curvas das ondas procuradas. Deve-se atentar para o nı́vel de discretização
das funções splines usadas.
78
Carvalho et al.
Figura 10. Identificação numérica de um sinal de entrada gaussiano usando aproximação ponto-a-ponto.
Uma vez que as ondas incidente e refletida são conhecidas é possı́vel calcular o coeficiente de
absorção α do material testado no tubo de impedância. A despeito de que este trabalho objetive
apenas uma aplicação da metodologia de otimização MCMC a um problema de acústica, vislumbra-se
a aplicação alternativa a norma ISO 10534-1:1996 (ISO, 1996). Por exemplo, dado um coeficiente de
absorção α(f ) para uma determinada faixa de frequência, compara-se a simulação do sinal acústico
dos microfones com relação ao sinal experimental obtido por tubo de impedância. Utiliza-se a
metodologia de otimização MCMC a fim de aprimorar o resultado numérico até um limite preestabelecido.
Deve-se notar ainda que o coeficiente de absorção acústica α das amostras testadas depende
do espectro de frequência escolhido. Sinais incidentes com diferentes espectros conduzirão à
determinação do coeficiente de absorção para diferentes bandas de frequência.
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