Equacionamento de Mecanismos

SEM0104 - Aula 7
Equacionamento de
Mecanismos
Prof. Dr. Marcelo Becker
SEM - EESC - USP
Sumário da Aula
• Notação Complexa
• Equacionamento de Links
• Mecanismos Simples
• Mecanismos Complexos
• Bibliografia Recomendada
EESC-USP
© M. Becker 2008
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Notação Complexa
• Formas de representação:
– Exponencial
Im
R = OP.e iθ
P
R
– Senos e Cosenos
θ
O
R = OP.(i.sin θ + cos θ)
EESC-USP
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Re
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Sumário da Aula
• Notação Complexa
• Equacionamento de Links
• Mecanismos Simples
• Mecanismos Complexos
• Bibliografia Recomendada
EESC-USP
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Equacionamento
Links Rígidos
• Derivada Primeira
– Exponencial
.
Im
.
R = OP.iθ.e iθ
.
– Senos e Cosenos
.
.
R = OP.θ.(i.cos θ - sin θ)
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R
P
R
θ
O
Re
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Equacionamento
Links Rígidos
• Derivada Segunda
– Exponencial
..
.
..
R = OP.(i2θ2.e iθ + iθ.e iθ )
..
..
Rn
Rt
– Senos e Cosenos
..
.2
R = - OP.θ
.. .(cos θ + i.sin θ)
+ OP.θ.(i.cos θ − sin θ)
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Im
..
Rt
P
R
θ
O
Re
..
Rn
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Equacionamento
Links Rígidos
..
• Determinação do Módulo de R:
..
.2
..
RRe = - OP.(θ .cos θ - θ.sin θ)
..
.2
Im
P
..
RIm = - OP.(θ .sin θ + θ.cos θ)
..
..
R =
Rt
.. 2 .. 2
RIm +RRe
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θ
β
..
R
EESC-USP
R
..
Rn
O
Re
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Equacionamento
Links Rígidos
..
• Determinação da fase de R:
Im
..
RIm
tan(β) = ..
..
RRe
Rt
P
R
θ
β
..
R
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..
Rn
O
Re
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Equacionamento
Links não Rígidos
• Formas de representação:
– Exponencial
R1 = R1.e
Im
iθ1
A
R1
θ1
– Senos e Cosenos
O
R1 = R1.(i.sin θ1 + cos θ1)
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Re
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Equacionamento
Links não Rígidos
• Derivada Primeira
– Exponencial
.
. iθ . iθ
R1 = R1.iθ1.e + R1.e
.
.
1
R1t
Im
1
R1n
.
R1t
– Senos e Cosenos
.
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R1
θ1
O
.
R1 = R
. 1.θ.(i.cos θ - sin θ)
+ R1.(cos θ + i.sin θ)
A
Re
.
R1n
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Equacionamento
Links não Rígidos
• Derivada Segunda
– Exponencial
..
Im
Rt
..
.
..
2θ 2.e iθ + i.θ .e iθ )
R1 = R
.(i
R1
1
..
..1 . 1 iθ
iθ )
+R
.(i.θ
.e
+
e
R1t
. 1 1 iθ
1
1
+ R1.i.θ1.e
1
1
θ1
1
O
Re
..
Rn
EESC-USP
A
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..
R1n
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Equacionamento
Links não Rígidos
Im
• Derivada Segunda
– Seno e Coseno
..
A
R1
R1t
θ1
O
Re
..
R1n
. 2
R = - R1.θ
.(cos
θ
+
i.sin
θ
)
+...
1
1
1
..
...+ R1..θ1.(i.cos θ1 − sin θ1) +...
...+ 2.R
.. 1.θ1.(i.cos θ1 - sin θ1) +...
..
...+ R1.(i.sin θ1 + cos θ1)
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Sumário da Aula
• Notação Complexa
• Equacionamento de Links
• Mecanismos Simples
• Mecanismos Complexos
• Bibliografia Recomendada
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Equacionamento
4 Barras - Posição
Im
R3
R4
R2
Re
R1y
R1x
R2 + R3 + R4 = R1y + R1x
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Equacionamento
4 Barras - Posição
Im
θ4
R3
R2
θ1y
R1y
θ3
θ2
R4
Re
R1x
R2.(cosθ2 + i.sinθ2) + R3.(cosθ3 + i.sinθ3) + ...
... + R4.(cosθ4 + i.sinθ4) = -i.R1y + R1x
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Equacionamento
Mecanismos Simples – 4 Barras
• 1o Determinar os ângulos
R2
O2
R3
A
θ2
θ3
B
γ
R4
δ
R1
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O4
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L2: link motor
L1: solo
L3: link acoplador
L4: link seguidor
θ2: âng. da barra motriz
δ: âng. da barra seguidora
θ3: âng. da barra acopladora
γ: âng. de transmissão
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Equacionamento
Mecanismos Simples – 4 Barras
• Aplicar Lei dos Cosenos
ABO4
R2
R3
A
γ
R4
α δ
θ2
O2
B
R1 β
EESC-USP
AO2O4
O4
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Equacionamento
Mecanismos Simples – 4 Barras
• Mecanismos “Cruzados”
• “Descruzar” o Mecanismo e seguir o
equacionamento
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Equacionamento
4 Barras - Velocidade
Im
θ4
R3
R2
θ1y
R1y
θ3
θ2
R4
Re
R1x
.
.
R2.θ2.(-sinθ
. 2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ3 + i.cosθ3) + ...
... + R4.θ4.(-sinθ4 + i.cosθ4) = 0
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Equacionamento
4 Barras - Velocidade
• Dividir em Re e Im
.
.
R2.θ2.(-sinθ
. 2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ3 + i.cosθ3) + ...
... + R4.θ4.(-sinθ4 + i.cosθ4) = 0
Re
Im
.
.
.
-R2.θ2.sinθ2 - R3.θ3.sinθ3 - R4.θ4.sinθ4 = 0
.
.
.
R2.θ2.cosθ2 + R3.θ3.cosθ3 + R4.θ4.cosθ4 = 0
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Equacionamento
4 Barras - Aceleração
Im
θ4
R3
R2
θ1y
θ3
R4
θ2
Re
R1x
R1y
..
..
R2.θ2.(-sinθ
.. 2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ
. 2 3 + i.cosθ3) + ...
... + R4.θ
. 42.(-sinθ4 + i.cosθ4) – R2.θ. 2 2.(cosθ2 + i. sinθ2) -...
... - R3.θ3 .(cosθ3 + i. sinθ3) – R4.θ4 .(cosθ4 + i. sinθ4) = 0
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Equacionamento
4 Barras - Aceleração
• Dividir em Re e Im
..
..
R2.θ2.(-sinθ
. 2 3 + i.cosθ3) + ...
.. 2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ
... + R4.θ
. 42.(-sinθ4 + i.cosθ4) – R2.θ. 2 2.(cosθ2 + i. sinθ2) -...
... - R3.θ3 .(cosθ3 + i. sinθ3) – R4.θ4 .(cosθ4 + i. sinθ4) = 0
..
Re
..
-R2.θ2.sinθ
. 2 2 - R3.θ3.sinθ
. 23 - R4.θ4.sinθ.4 –2 ...
... - R2.θ2 .cosθ2 - R3.θ3 .cosθ3 - R4.θ4 . cosθ4 = 0
..
Im
..
..
..
R2.θ2.cosθ
. 2 2 + R3.θ3.cosθ
. 2 3 + R4.θ4.cosθ
. 2 4 –...
... – R2.θ2 .sinθ2 -R3.θ3 .sinθ3 – R4.θ4 .sinθ4 = 0
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Mecanismos Simples
Biela--Manivela
Biela
• Exemplos de Aplicação: Motores de
Combustão Interna, Máquinas Ferramenta,
Compressores, etc.
Biela
• Deslocamento do Pistão
Pistão
Manivela
• Velocidades
• Aceleração
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Mecanismos Simples
Biela--Manivela
Biela
• Equacionamento
A
R3
R2
O2
EESC-USP
B
R1
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Mecanismos Simples
Biela--Manivela
Biela
• Equacionamento
θ3
A
R3
R2
O2
θ2
B
R1
R2 + R3 = R1
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Mecanismos Simples
Biela--Manivela - Posição
Biela
• Equacionamento
θ3
A
R3
R2
O2
θ2
B
R1
R2.(cosθ2 + i.sinθ2) + R3.(cosθ3 + i.sinθ3) = R1
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Mecanismos Simples
Biela--Manivela - Velocidade
Biela
• Equacionamento
θ3
A
R3
R2
O2
θ2
R1
.
.
B
.
R2.θ2.(i.cosθ2 - sinθ2) + R3.θ3.(i.cosθ3 - sinθ3) = R1
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Equacionamento
Biela--Manivela - Velocidade
Biela
• Dividir em Re e Im
.
.
.
R2.θ2.(i.cosθ2 - sinθ2) + R3. θ3.(i.cosθ3 - sinθ3) = R1
Re
Im
.
.
.
-R2.θ2.sinθ2 - R3.θ3.sinθ3 = R1
.
.
R2.θ2.cosθ2 + R3.θ3.cosθ3 = 0
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Mecanismos Simples
Biela--Manivela - Aceleração
Biela
• Equacionamento
θ3
A
R3
R2
O2
..
θ2
B
R1
..
R2.θ2.(-sinθ
. 2 2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ
. 2 3 + i.cosθ3) -... ..
...- R2.θ2 .(cosθ2 + i.sinθ2) - R3.θ3 .(cosθ3 + i.sinθ3) = R3
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Equacionamento
Biela--Manivela - Aceleração
Biela
• Dividir em Re e Im
..
..
R2.θ2.(-sinθ
. 2 2 + i.cosθ2) + R3.θ3.(-sinθ
. 2 3 + i.cosθ3) -... ..
...- R2.θ2 .(cosθ2 + i.sinθ2) - R3.θ3 .(cosθ3 + i.sinθ3) = R3
Re
Im
..
..
..
..
.
2.cosθ -...
-R2.θ2.sinθ
R
.θ
.sinθ
R
.θ
2
. 2 2 3 3.. 3 2 2
...- R3.θ3 .cosθ3 = R3
.
2.sinθ -...
R2.θ2.cosθ
+
R
.θ
.cosθ
R
.θ
3 3
3
2 2
2
.2 2
...- R3.θ3 .sinθ3) = 0
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Sumário da Aula
• Notação Complexa
• Equacionamento de Links
• Mecanismos Simples
• Mecanismos Complexos
• Bibliografia Recomendada
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Mecanismos Complexos
Mecanismo Toggle
• Sobrepujar grandes resistências com a
aplicação de pequenas forças
• Aplicações:
O2
– Prensas
– Travas de Portas
– Etc.
• Barras CB e BO4 com
Mesmo comprimento C
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A
B
O4
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Mecanismos Complexos
Mecanismo Toggle
• Equacionamento
O2
F = 2 tan α
P
α 0
F
A
oo
F
P
C
B
α
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O4
α
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Mecanismos Complexos
Mecanismo Toggle
• Equacionamento: Dividir em 2 mecanismos
Simples
O2
– 4 Barras: O2ABO4
A
– Biela-Manivela: CBO4
C
B
α
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O4
α
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Sumário da Aula
• Notação Complexa
• Equacionamento de Links
• Mecanismos Simples
• Mecanismos Complexos
• Bibliografia Recomendada
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Bibliografia Recomendada
• Shigley, JE. e Uicker, JJ., 1995, “Theory of Machines
and Mechanisms”.
• MABIE, H.H., OCVIRK, F.W. “Mecanismos e dinâmica
das máquinas”.
• MARTIN, G.H. “Cinematics and dynamics of
machines”.
• NORTON, R. “Machinery dynamics”.
• Notas de Aula
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