DECAIMENTO-β E CAPTURA DE NEUTRINOS EM AMBIENTE DE

Transcrição

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ
PROFÍSICA - Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
DISSERTAÇÃO DE MESTRADO
DECAIMENTO-β E CAPTURA DE
NEUTRINOS EM AMBIENTE DE
SUPERNOVA
AUDILÚCIO SANTOS DE OLIVEIRA
Ilhéus-BA
2015
i
AUDILÚCIO SANTOS DE OLIVEIRA
DECAIMENTO-β E CAPTURA DE
NEUTRINOS EM AMBIENTE DE
SUPERNOVA
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Fı́sica
da Universidade Estadual de Santa
Cruz, como pré-requisito para obtenção do tı́tulo de Mestre em
Fı́sica, na Área de Fı́sica Nuclear.
Orientador: Prof. Dr. Alejandro
Javier Dimarco
Co-Orientador: Prof. Dr. Arturo
Rodolfo Samana
Ilhéus-BA
2015
ii
FICHA CATALOGRÁFICA
iii
iv
DEDICATÓRIA.
À minha mãe Ana Lúcia, que
sempre acreditou no meu potencial.
v
AGRADECIMENTOS
Ao Programa de Pós-Graduação em Fı́sica da Universidade Estadual de Santa
Cruz e à CAPES, pela oportunidade da realização do Curso.
Ao Prof. Dr. Alejandro Javier Dimarco, pela orientação, pela amizade e pelo
apoio.
Ao professor co-orientador, Dr. Arturo Rodolfo Samana, pelas valiosas contribuições para o presente trabalho.
Aos colegas do curso, pelas amizades, experiências e ideias compartilhadas. Em
especial aos amigos Leandro e Cleiton.
Ao Núcleo de Atendimento Educacional Especializado, em especial à Meire Lúcia,
pelo apoio e dedicação ao longo desta caminhada.
À minha esposa Polliane, pelo companheirismo em todos os momentos.
À todos que, direta ou indiretamente, me ajudaram no desenvolvimento deste
trabalho.
vi
RESUMO
O processo-r (captura rápida de nêutrons) e o decaimento-β são os responsáveis, durante
a fase de supernova de uma estrela, pela sintetização da maioria dos elementos pesados.
Há indicativos de que a captura de neutrinos também contribua com esse processo, uma
vez que, segue a mesma direção do decaimento-β no sentido do vale de estabilidade beta e
tem neste ambiente astrofı́sico, rico em neutrinos, condições favoráveis de temperatura e
pressão. Nessa perspectiva, o presente trabalho tem por objetivo investigar a contribuição
da captura de neutrinos na sintetização de elementos pesados durante a fase de supernova
do processo de evolução estelar. Para isso, foram calculadas as taxas de decaimento-β, utilizando o modelo completo da Teoria Grossa, e as taxas de captura de neutrinos, usando
uma versão simplificada deste modelo. Dentre os resultados encontrados, constatou-se
que a Teoria Grossa se mostrou eficiente para calcular as taxas de decaimento-β para
núcleos par-par, assim como para núcleos com massa entre 150 e 200. Além disso, os
resultados para as taxas de decaimento-β apresentaram bons resultados, estando mais de
80% dos núcleos dentro do intervalo [1, −1], isto é, com diferença de no máximo uma ordem de grandeza, para mais ou para menos, em relação aos dados experimentais. Quanto
a captura de neutrinos, constatou-se que,dentre as temperaturas testadas, a temperatura
mais propı́cia para que ela ocorra é de 4 MeV. Por outro lado, resolvendo as equações
de Bateman, foi identificado que o tempo gasto para que todos os núcleos dada famı́lia
isobárica atinjam seu isótopo (ou isótopos) estável (ou estáveis) é bem menor ao considerar a captura de neutrinos se comparado com o tempo gasto só considerando as taxas
de decaimento-β. Este fato pode ser interpretado como um indicativo da influência da
captura de neutrinos na formação de elementos pesados.
Palavras-chave: Decaimento Beta e Captura de Neutrinos, Processo-r, Teoria Grossa,
Supernova.
vii
ABSTRACT
The r-process (rapid neutron capture) and beta-decay are responsible, during the supernova phase of a star, by the synthesis of the major part of heavy elements. There are
indications that the neutrino-capture also contributes with this process, since it follows
the same direction as the beta-decay towards the valley of beta stability and have in
this astrophysical environment, rich in neutrino, favorable conditions of temperature and
pressure. In this perspective, the present study aims to investigate the contribution of the
neutrino-capture on synthesis of heavy elements during the supernova phase of the stellar
evolution process. For this, the rates of beta-decay were calculated, using the complete
model of the Gross Theory, and the neutrino-capture rates, using a simplified version of
this model. Among the results, it was verified the efficiency of Gross Theory to calculate
the rates of beta-decay for even-even nuclei, similarly for nuclei with mass between 150
and 200. In addition, the results for the rates of beta-decay have presented good results,
with more than 80% nuclei being within the interval [1, -1], that is, with difference of
no more than one order of magnitude, for more or for less, in comparison with the experimental data. With respect of the neutrino capture, it was found that, among the
tested temperatures, the temperature more favorable for it to occur is 4 MeV. However,
solving the Bateman’s equations, it was observed that the elapsed time for all nuclei of
the isobaric family to reach their stable isotope is much smaller when considering the
neutrino-capture, in comparison with the elapsed time when considering only the rates
of beta-decay. This fact can be interpreted as an indicative of the influence of neutrino
capture in the formation of heavy elements.
Keywords: Beta decay and neutrino capture, r-process, Gross Theory, Supernova.
Lista de Figuras
2.1
2.2
2.3
Energia de ligação por núcleo. Extraı́do de [1]. . . . . . . . . . . . . . . . . 9
Estrutura de camadas de uma estrela massiva (M > 8M ). Extraı́do de [1]. 10
As capturas de nêutrons em ambientes de baixa densidade de nêutrons (linhas horizontais de esquerda para direita) são seguidas de decaimentos (linhas diagonais ascendentes) e fazem crescer o A em escalas de tempo muito
longas (processo-s). As capturas sucessivas sem decaimentos (já que as primeiras são muito rápidas) produzem os núcleos do processo-r, os decaimentos desde N >> que aquele do vale de estabilidade leva alguns núcleos até
lugares como os indicados, à direita do equilı́brio. Note-se que as flechas
diagonais à direita indicam os decaimentos, não as capturas sucessivas. As
capturas de prótons levam os núcleos até a parte superior, aumentando o Z,
mas devem vencer barreiras coulombianas crescentes (processo-p. Extraı́do
de [1].) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.1
3.2
3.3
Gráfico das probabilidades de transição. Fonte: [2]. . . . . . . . . . . . .
Esquema ilustrativo dos operadores transição de Fermi e Gamow-Teller. .
Ilustração esquemática do estado do núcleon independente em uma superfı́cie plana aproximada para o decaimento β − . Fonte: [3]. . . . . . . .
Ilustração esquemática dos diferentes nı́veis de energia no decaimento β −
do nucleon independente. Fonte: [3]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 24
. 25
Ressonâncias de Fermi e Gamow-Teller para nı́quel (28,72) . . . . . . . .
Relação entre σ e σN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Logaritmo entre a razão da meia vida teórica e da meia vida experimental
em função do número de massa para núcleos par-par . . . . . . . . . . .
em função do número de massa para núcleos ı́mpar-ı́mpar . . . . . . . . .
em função do número de massa para núcleos par-ı́mpar . . . . . . . . . .
em função do número de massa para núcleos ı́mpar-par . . . . . . . . . .
. 34
. 36
3.4
4.1
4.2
4.3
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viii
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LISTA DE FIGURAS
4.7
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
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4.14
4.15
4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
4.23
4.24
em função do número de massa para 150 ≤ A ≤ 200 . . . . . . . . . . . .
Vida média teórica e vida média experimental em função do número de
massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vida média teórica e vida média experimental em função do número de
massa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre os resultados encontrados aqui, utilizando o modelo da
Teoria Grossa no Decaimento Beta (TGDB), e na literatura [4], utilizando
a Aproximação Tamm-Dancoff (TDA), em função do número de massa .
Fluxo de neutrinos em função da energia . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre o comportamento do fluxo de neutrinos e da seção de
choque para o núcleo Cu(29,70) para T=2 MeV . . . . . . . . . . . . . .
choque para o núcleo Cu(29,70)para T=3 MeV . . . . . . . . . . . . . . .
choque para o núcleo Cu(29,70) para T=4 MeV . . . . . . . . . . . . . .
choque para o núcleo Br(35,90) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
choque para o núcleo In(49,131) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
choque para o núcleo Pb(82,215) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos parpar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos parı́mpar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos
ı́mpar-par) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos
ı́mpar-ı́mpar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ix
. 39
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. 41
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LISTA DE FIGURAS
4.25
4.26
4.27
4.28
4.29
4.30
4.31
4.32
4.33
4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
Valor médio da seção de choque com temperatura de 2 MeV . . . . . . .
Taxa de captura de neutrinos com temperatura de 2 MeV . . . . . . . . .
Taxa de captura de neutrino com temperatura de 2 MeV para a famı́lia
isobárica A=75 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Taxas de captura de neutrinos para diferentes temperaturas . . . . . . .
Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ge (32,70) (último ele70
70
70
70
70
mento da famı́lia isobárica 70
27 Co →28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge)
obtida com as taxas aqui calculadas e obtida com as taxas experimentais
sem levar em consideração a captura de neutrinos . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ge (32,70) (último ele70
70
70
70
70
27 Co →28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge)
considerando a captura de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre a abundância isotópica do núcleo As (33,75) (último ele75
75
75
75
75
28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge →33 As)
sem levar em consideração a captura de neutrinos . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre a abundância isotópica do núcleo As (33,75) (último ele75
75
75
75
75
28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge →33 As)
considerando a captura de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ru (44,100) (último
100
Zr →100
elemento da famı́lia isobárica 100
Sr →100
Y →100
37 Rb →38
39
40
41
100
100
100
N b →42 M o →43 T c →44 Ru) obtida com as taxas aqui calculadas e
obtida com as taxas experimentais sem levar em consideração a captura de
neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ru (44,100)(último ele100
100
100
100
100
37 Rb →38 Sr →39 Y →40 Zr →41 N b →42
100
M o →100
43 T c →44 Ru) obtida com as taxas aqui calculadas e obtida com
as taxas experimentais considerando a captura de neutrinos . . . . . . . .
x
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49
50
50
51
51
52
. 52
. 53
. 54
. 55
. 55
. 56
. 56
. 57
Lista de Tabelas
3.1
Reações nucleares com troca de carga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
Valor de σN em MeV para distintas paridades . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Meia vida do decaimento-β para os núcleos par-par em s . . . . . . . . . . 58
Meia vida do decaimento-β para os núcleos par-ı́mpar em s . . . . . . . . . 61
Meia vida do decaimento-β para os núcleos ı́mpar-par em s . . . . . . . . . 65
Meia vida do decaimento-β para os núcleos ı́mpar-ı́mpar em s . . . . . . . 69
Valor médio da seção de choque para captura de neutrinos (núcleos par-par) 72
Valor médio da seção de choque para captura de neutrinos (núcleos parı́mpar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
Valor médio da seção de choque para captura de neutrinos (núcleos ı́mparpar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
Valor médio da seção de choque para captura de neutrinos (núcleos ı́mparı́mpar) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
Taxa de captura de neutrino para os núcleos par-par em s−1 . . . . . . . . 96
Taxa de captura de neutrinos para os núcleos par-ı́mpar em s−1 . . . . . . 102
Taxas de captura de neutrinos para os núcleos ı́mpar-par em s−1 . . . . . . 108
Taxas de captura de neutrinos para os núcleos ı́mpar-ı́mpar em s−1 . . . . 114
4.8
4.9
4.10
4.11
4.12
4.13
xi
Sumário
1 INTRODUÇÃO
2 EVOLUÇÃO ESTELAR
2.1 Formação Estelar . . . . . . . .
2.2 Evolução Estelar . . . . . . . .
2.2.1 Processo-α . . . . . . . .
2.2.2 Processo-e . . . . . . . .
2.2.3 Fase de pré-supernova .
2.2.4 Mecanismos de implosão
2.2.5 Processo-s . . . . . . . .
2.2.6 Processo-r . . . . . . . .
1
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3 FUNDAMENTOS TEÓRICOS
3.1 Taxas de decaimento-β . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 A Teoria Grossa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Teoria Grossa no decaimento-β - (TGDB) . . .
3.2.2 Taxa de captura de neutrinos . . . . . . . . . .
3.3 Processo-r em equilı́brio das reações durante a explosão
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4
4
6
8
9
9
11
11
12
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. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
de uma supernova
15
15
22
23
32
32
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4 RESULTADOS E DISCUSSÕES
34
4.1 Seção de choque e taxas de captura de neutrinos . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.2 Aplicação das equações de Bateman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5 CONCLUSÕES
120
xii
Capı́tulo 1
INTRODUÇÃO
Para o estudo da estrutura e do interior estelar dispomos, principalmente, de duas
informações: a luminosidade (potência irradiada) e a temperatura superficial, as quais
exibem certos padrões regulares de variação ao longo do tempo. Podemos concluir, então,
que as estrelas devem passar por certos estágios evolutivos, ao longo da sua existência. O
programa da astrofı́sica nuclear teórica e estabelecer em base as leis, aos modelos e aos
dados experimentais da fı́sica nuclear, os processos fı́sicos subjacentes a tais padrões de
variação e as correspondentes etapas evolutivas de uma estrela [5, 6, 7, 8]. Na análise e
classificação das estrelas e usado amplamente um dispositivo chamado diagrama HR (em
homenagem a Hertzsprung e Russel, seus criadores). Num diagrama HR cada estrela é
representada por um ponto que como abscissa tem a temperatura superficial (ı́ndice de
cor) e a ordenada esta correlacionada com a luminosidade (magnitude). Assim, o diagrama
HR permite que possamos classificar as estrelas segundo o seu estágio evolutivo. O que
se observa e que a maioria das estrelas representadas no diagrama situa-se ao longo da
diagonal. E por isso que a fase evolutiva que caracteriza essas estrelas ficou sendo chamada
de sequência principal. Como exemplo de uma estrela na fase de sequência principal temos
o Sol. As gigantes vermelhas são estrelas que se encontram acima da sequência principal.
Elas são muito luminosas, com temperaturas superficiais da ordem de 103 K , de grandes
dimensões e cujos raios são da ordem de 1012 cm. Já abaixo da sequência principal
encontramos a região das anãs brancas, estrelas de baixa luminosidade, pouco massivas,
com temperaturas superficiais da ordem 104 K e muito compactas, com raios da ordem de
109 cm. Uma estrela fica a maior parte da sua vida na sequência principal e, dependendo
do valor de sua massa, após esse perı́odo, pode-se deslocar rapidamente para a região da
gigantes vermelhas ou para a região das anãs brancas. Entretanto, estrelas suficientemente
massivas, após se tornarem gigantes podem explodir violentamente como supernovas. A
Astrofı́sica Nuclear Teórica estabelece esses três estágios como os fundamentais na vida
de uma estrela, e busca esclarecê-los com base no conhecimento que adquirimos sobre
o comportamento da matéria que compõe o interior estelar. Em particular, temos que
estrelas massivas (8 − 10 < M/M < 70) passam a maior parte da sua vida criando
1
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
2
elementos cada vez mais pesados via reações termonucleares. O processo começa com a
queima de hidrogênio para dar lugar ao He , assim que a estrela se contrai, por causa
da auto-gravitação, a temperatura e a densidade aumentam e começa ocorrer a fusão
de elementos mais pesados, como o 12 C , 16 O , 20 Ne , 28 Si , até a formação do 56 Fe ,
a espécie nuclear com a maior energia de ligação por núcleon. Todos os cálculos destes
processos mostram que a estrela evolui até desenvolver um caroço composto basicamente
de elementos do grupo de 56 Fe [9]. A massa do caroço ( ∼ 1,5 M ) é sustentada pela
pressão do gás de elétrons degenerado presente no meio. Desde que a fonte de energia
nuclear e interrompida o caroço se contrai usando a energia gravitacional disponı́vel,
evoluindo dessa forma, para uma estrutura altamente instável que da origem ao colapso
gravitacional. E o começo do fim para a estrela. Nesta fase começam a ocorrer processos
fortemente endotérmicos, como a fotodissociacão do 56 Fe e a captura de elétrons, levando
a uma brusca queda da pressão e da energia térmica do gás de elétrons. Dessa forma o
equilı́brio hidrostático e rompido e o caroço de ferro entra em colapso gravitacional, ou
seja, implode. Por razões que ainda não estão bem esclarecidas, a implosão e bruscamente
invertida numa violenta expansão, dando origem a um evento da explosão da supernova.
Nesse processo de implosão e explosão é formada uma região de vácuo entre o caroço e
as camadas subsequentes (formadas por elementos mais leves) que colidem com o caroço
em uma colisão elástica. As ondas de choque provocadas pela explosão de uma supernova
geram um ambiente rico em nêutrons com temperatura e densidade elevadas. A densidade
de nêutrons envolvida nesse processo é da ordem de 1020 nêutrons/cm3 Nessas condições,
inicia-se o denominado processo-r, em que ocorre a captura e fotoemissão de nêutrons
rápida. O processo-r leva os núcleos para longe do vale de estabilidade-β tornando-os
cada vez mais instáveis e suscetı́veis a um decaimento. É graças a esse processo que boa
parte dos elementos pesados são sintetizados, pois o núcleo terá que decair várias vezes
consecutivas via decaimento beta para se aproximar novamente ao vale de estabilidade-β.
É importante salientar que existem dois processos de captura de nêutrons bem distintos
que dominam a produção dos núcleos pesados: o processo-s e o processo-r. Comentários
do processo-s pode ser achado na referência [10]. Trabalhos anteriores sobre o processo-r
incluem [10, 11].
No que concerne ao processo-r, trata-se de um importante mecanismo de nucleossı́ntese, uma vez que:
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
3
(1) é responsável pela produção de aproximadamente metade de
todos os núcleos estáveis observados na natureza, na região de elementos pesados A > 60; (2) é o mecanismo de nucleossı́ntese que
forma os importantes cronômetros nucleares galácticos de longa
duração 232 Th, 235 U, 238 U e 244 Pu; (3) serve para fornecer dicas
úteis e restrições sobre as propriedades nucleares dos núcleos pesados ricos em nêutrons; (4) fornece uma sonda importante das
condições de temperatura e densidade em eventos explosivos que
contêm matéria altamente neutronizada. (COWAN; THIELEMANN; TRURAN, 1991, p. 270)
Destaca-se ainda que, o processo-r contribui para a formação de núcleos com
excesso de nêutrons, ou seja, longe da linha de estabilidade-β. O mecanismo usado pelos
núcleos para tentar retornar à linha de estabilidade-β é, basicamente, decaimento-β − .
Através do mecanismo usado pelos núcleos para tentar voltar ao vale de estabilidade-β
vão sendo sintetizados novos elementos, pois o decaimento-β − é dado por (Z, A) −→
(Z + 1, A) + e− + νe . Sendo que a captura de neutrinos, dada pela reação νe + (A, Z) −→
(A, Z + 1) + e− , segue a mesma direção do decaimento-β − , ou seja, nos aproximando ao
vale de estabilidade-β, é interessante pensar que essa reação também pode contribuir com
a formação de núcleos pesados. Nessa perspectiva, o presente trabalho estuda a relevância
da captura de neutrinos nesta fase da evolução estelar por meio do cálculo da taxa de
captura de neutrinos por núcleo.
O trabalho está estruturado da seguinte forma: no Capı́tulo 1 é apresentada
uma breve introdução e contextualização do problema de pesquisa; no Capı́tulo 2 são
abordados aspectos relacionados a formação estelar, evolução estelar, sintetização dos
primeiros elementos da tabela periódica e morte da estrela; no Capı́tulo 3 apresentamos a
parte metodológica do decaimento-β e da captura de neutrinos usando o modelo proposto
por Takahashi e Yamada [3]; no Capı́tulo 4 são apresentados os resultados para as taxas de
decaimento-β e captura de neutrinos; e no Capı́tulo 5 as considerações finais do presente
trabalho.
Capı́tulo 2
EVOLUÇÃO ESTELAR
2.1
Formação Estelar
As estrelas são formadas quando moléculas de H2 e poeira galáctica condensam,
originando uma gigantesca nuvem de Laplace [1]. A medida que o tempo evolui a densidade da nuvem aumenta devido à interação gravitacional entre as moléculas de hidrogênio.
O desenvolvimento deste processo pode gerar as condições favoráveis para o nascimento
de uma estrela, onde a densidade é alta e a temperatura é baixa o suficiente para dar
inicio a uma contração gravitacional associada à instabilidade de Jeans [10].
Um fator preponderante na formação de uma estrela é a massa total da nuvem
e a sua distribuição espacial. Para uma estrela se formar é necessário que a massa seja
maior que 0,08 M , caso contrário, essa nuvem, possivelmente, se transformará em um
planeta ou outro objeto.
As estrelas começam a se formar quando há um desequilı́brio entre a energia interna e energia gravitacional da nuvem. Neste caso, a energia gravitacional se sobrepõe a
energia interna, gerando um aumento da densidade local. À medida que a densidade e,
consequentemente, a temperatura aumentam, as colisões entre as moléculas de hidrogênio
vão se tornando mais frequentes. Dessa forma, a energia cinética das partı́culas aumenta,
até chegar ao ponto em que torna-se suficientemente grande para vencer a repulsão coulombiana entre os núcleos de hidrogênio. Esta fase, em que o processo de fusão nuclear
começa, é chamada de sequência principal da estrela e corresponde a cerca de 80 % do
tempo de vida da estrela.
A sequência principal ou queima de hidrogênio, é igual para todas as estrelas. é
nessa fase que os elementos mais pesados do que o hidrogênio começam a ser sintetizados
através do seguinte mecanismo, conhecido como primeiro ciclo pp ou ciclo ppI:
p + p −→ d + e+ + νe
(2.1)
d + p −→ 3 He + γ
(2.2)
4
CAPÍTULO 2. EVOLUÇÃO ESTELAR
3
He + 3 He −→ 4 He + 2p
5
(2.3)
à medida que o processo de fusão dos núcleos de hidrogênio acontece, a temperatura do
núcleo estelar aumenta o suficiente para que um novo ciclo comece, o ciclo ppII:
3
He + 4 He −→ 7 Be + γ,
(2.4)
Be + e− −→ 7 Li + νe ,
(2.5)
7
7
Li + p −→ 24 He.
(2.6)
O 7 Be pode tanto capturar um elétron como um próton, constituindo uma cadeia alternativa de decaimento, a cadeia ppIII, cujas três primeiras reações são as da cadeia ppI e
as três restantes são:
7
Be + p −→ 8 B + γ,
(2.7)
8
B −→ 8 Be + e+ + νe ,
8
Be −→ 24 He.
(2.8)
(2.9)
Em cada uma destas cadeias de fusão libera-se uma quantidade de energia extremamente
grande (∼ 25 MeV), cerca de 1% da massa do hidrogênio reagente [12].
Outro conjunto de reações é capaz de processar a queima de hidrogênio, o ciclo
CNO, definido pelo seguinte conjunto de reações:
12
13
C + p −→ 13 N + γ
(2.10)
N −→ 13 C + e+ + νe
(2.11)
13
C + p −→ 14 N + γ
(2.12)
14
N + p −→ 15 O + γ
(2.13)
O −→ 15 N + e+ + νe
(2.14)
N + p −→ 12 C + 4 He
(2.15)
15
15
e com menor probabilidade o ciclo pode se estender através das reações:
15
N + p −→ 16 O + γ
15
O + p −→ 17 F + γ
(2.17)
F −→ 17 O + e+ + νe
(2.18)
O + p −→ 14 N + 4 He
(2.19)
17
17
(2.16)
é importante ressaltar que, as cadeias pp e o ciclo CNO operam simultaneamente na
6
maioria das estrelas durante a fase da sequência principal. As abundâncias relativas de
hidrogênio, de nitrogênio e de carbono, juntamente com a temperatura, vão determinar
o processo dominante.
Esse processo, em algumas estrelas, cessa quando a maioria dos núcleos do caroço
são de 56 F e , nesse estágio a fusão é energeticamente inviável, porque esse núcleo é o núcleo
com maior energia de ligação por núcleon, e a estrela cessa o processo de fusão nuclear.
Logo após, a estrela inicia o processo final da sua vida quando explode em uma supernova,
esse processo será melhor explicado na seção seguinte.
2.2
Evolução Estelar
O tempo total gasto para que a nuvem de Laplace colapse gravitacionalmente e
forme o núcleo de uma estrela depende de sua massa inicial, assim como, o processo de
evolução estelar. No que tange à evolução, a classificação leva em consideração parâmetros
do diagrama H-R. Num diagrama H-R, cada estrela é representada por um ponto que tem
como abscissa a temperatura superficial (ı́ndice de cor) e como ordenada a luminosidade
(magnitude), permitindo classificar as estrelas de acordo com seu processo evolutivo.
O processo de evolução estelar ocorre mediante a quantidade de matéria disponı́vel, se ela for menor do que 0,08 M a interação gravitacional não gera pressão
suficiente para que a temperatura chegue a 107 K e o processo de fusão nuclear entre os
núcleos de hidrogênio torna-se inviável. Essa estrela recebe o nome de anã marrom (ou
estrela fracassada). A próxima fase desse tipo de estrela é o seu resfriamento que pode
levar cerca de milhões de anos.
As estrelas que conseguem chegar a sequência principal, ou queima de hidrogênio
– processo descrito na seção anterior – são estrelas com massa superior a 0,08 M , esse
processo é igual para todas as estrelas.
As estrelas com massa entre 0,1 e 0,5 M são denominadas anãs vermelhas, não
há muito o que falar sobre elas, pois se estima que seu processo evolutivo levaria trilhões
de anos na fase da sequência principal, e o nosso universo tem apenas cerca de 13,7 bilhões
de anos. Para saber mais sobre o processo evolutivo dessas estrelas foram criados modelos
computacionais que nos dão uma boa estimativa do que vem a acontecer no final da vida
dessas estrelas. As estrelas com 0,5 M nunca chegarão ao ciclo do hélio, pois, depois
que queimam todo o hidrogênio do seu interior vão se resfriando até chegar a uma anã
marrom. Aquelas com 0,1 M levam cerca de 6 × 1012 anos na fase da sequência principal
e após esse perı́odo se transformam em uma anã branca.
As gigantes vermelhas são estrelas que encerram a sequência principal do processo
evolutivo com massa maior do que 0,5 M . O processo da queima do hidrogênio no núcleo
chega ao fim no interior da estrela quando a temperatura e a densidade chegam à ordem
de 108 K e 106 g/cm3 , respectivamente. Com isso, inicia-se um novo ciclo no interior
7
da estrela, a fusão entre os núcleos de hélio torna-se energeticamente viável e a estrela
continua seu processo na fabricação de elementos cada vez mais pesados. No entanto, nas
camadas subsequentes, onde ainda existe muito hidrogênio pra ser queimado, o processo
de fusão do hidrogênio continua. O ciclo a seguir mostra o mecanismo usado pela estrela
para fundir núcleos de hélio:
4
He +4 He ←→8 Be,
(2.20)
e
8
Be +4 He ←→12 C ∗ −→12 C + γ,
(2.21)
que em notação compacta fica
34 He ←→12 C + γ,
(2.22)
conhecida com o nome de reação 3 − α, cuja energia média liberada é 7,65 MeV. No
primeiro estágio da reação 3 − α, dado pela equação (2.20), duas partı́culas α combinamse durante um intervalo de tempo muito curto (da ordem de 10−6 s) para formarem o
isótopo instável 8 Be, mas que devido as condições do meio, ainda pode interagir com
outra partı́cula α, obtendo-se desse modo a reação (2.21). Após ter sido produzida uma
quantidade suficiente de carbono, o hélio poderá ser consumido pela reação:
12
C +4 He ←→16 O + γ,
(2.23)
iniciando a sı́ntese do oxigênio.
Encerrando o ciclo da queima do hélio no núcleo da estrela, composto agora
basicamente de carbono e oxigênio, há uma nova contração das camadas centrais, enquanto
que a envoltória se expande. A temperatura da envoltória cai, cessando também a queima
de hidrogênio nas camadas mais externas, começando assim a fase de gigante vermelha ou
supergigante vermelha. Caso a massa do caroço seja maior que o limite de Chandrasekhar
[13], ocorre o próximo ciclo: fusão de carbono e oxigênio. A queima do carbono acontece
por um dos seguintes canais:
12
C +12 C −→24 M g + γ,
(2.24)
−→23 N a + p,
(2.25)
−→20 N e + α,
(2.26)
−→23 M g + n,
(2.27)
−→16 O + 2α.
(2.28)
Já oxigênio é queimado através de:
16
O +16 O −→32 S + γ,
(2.29)
8
−→31 P + p,
(2.30)
−→31 S + n,
(2.31)
−→28 Si + α,
(2.32)
−→24 M g + 2α,
(2.33)
sendo o 28 Si o principal produto sintetizado, que por sua vez, pode participar da seguinte
reação fotonuclear:
γ +28 Si −→24 M g + 2α.
(2.34)
Após a queima do 28 Si, outras reações fotonucleares vão se processar. O resultado final
destas reações será a sı́ntese de núcleos cada vez mais pesados, até serem sintetizados os
elementos quı́micos pertencentes ao chamado grupo do ferro. Uma vez que, o 56 F e é o
elemento quı́mico que possui maior energia de ligação por núcleon da tabela periódica
(sendo, por isso, o elemento mais estável), qualquer processo de fusão que inclua o 56 F e,
só pode consumir energia do meio (reação endotérmica). Deste modo, encerram-se os
ciclos das reações termonucleares no interior da estrela. Durante todo esse perı́odo de
conversão de oxigênio em núcleos próximos ao 56 F e as estrelas se encontram na fase de
gigante vermelha ou supergigante vermelha.
2.2.1
Processo-α
Ao fim do ciclo anterior (queima de oxigênio) a temperatura aumenta, porém não
fornece energia suficiente para as partı́culas romperem a barreira coulombiana do 28 Si, que
é fotodesintegrado em sete partı́culas α. Com o aumento da densidade de partı́culas α no
meio, estas são capturadas em competição com a fotodissociação constituindo a seguinte
cadeia, que pode se estender até o 56 Ni [14]:
28
Si +4 He ←→32 S + γ
(2.35)
S +4 He ←→36 Ar + γ
(2.36)
Ar +4 He ←→40 Ca + γ
(2.37)
32
36
40
Ca +4 He ←→44 Sc + γ
44
Sc +4 He ←→48 T i + γ
(2.39)
T i +4 He ←→52 Ca + γ
(2.40)
Ca +4 He ←→56 N i + γ
(2.41)
48
52
(2.38)
Para este último, a fotoemissão é bastante efetiva, não permitindo o prosseguimento
do processo. A situação de equilı́brio para estas reações não chega a se estabelecer. o
9
decaimento-β e outras reações, que possam ocorrer com os núcleos envolvidos, alteram
significativamente as suas abundâncias.
2.2.2
Processo-e
Quando o meio estelar alcança valores da ordem de 103 -104 K, a excitação térmica
facilita a captura e emissão das partı́culas-α, prótons e nêutrons, mesmo para núcleos
pesados. No entanto, se o meio estelar fornecer tempo suficiente para que as reações
entrem em equilı́brio, os núcleos vão seguindo a curva da densidade nucleônica de energia
de ligação (ver Figura (2.1)) até chegar ao ponto máximo, no 56 Fe. Esse processo é
conhecido como processo-e, a partir disso a fusão nuclear no interior da estrela torna-se
energeticamente inviável e o caroço da estrela morre energeticamente. A figura abaixo
ilustra a energia de ligação.
Figura 2.1: Energia de ligação por núcleo. Extraı́do de [1].
Enquanto isso, nas camadas subsequentes continua o processo-e. Esse processo
só chega ao fim quando o caroço colapsa gravitacionalmente e a estrela explode em uma
supernova.
2.2.3
Fase de pré-supernova
Ao fim do ciclo do hélio, descrito na seção 2.2, as estrelas com massa entre 10 e 25
M encontram-se com a seguinte configuração: núcleo composto de elementos quı́micos
pertencentes à famı́lia do ferro e envolvido por camadas constituı́das por elementos mais
leves que, provavelmente, continuam os processos de fusão termonucleares. A figura (2.2)
ilustra as camadas de elementos de uma estrela nessa fase.
10
Figura 2.2: Estrutura de camadas de uma estrela massiva (M > 8M ). Extraı́do de [1].
Uma vez que, os elementos no caroço da estrela são em sua maioria de ferro e
seus vizinhos, e o processo de fusão nuclear é energeticamente inviável, a fusão nuclear no
caroço da estrela é interrompida. Agora, o caroço da estrela começa a se contrair usando
a energia gravitacional disponı́vel, evoluindo para uma estrutura altamente instável, com
temperatura e densidade da ordem de 109 K e 109 g/cm3 . Nessas condições, o sistema
evoluirá rapidamente para o colapso gravitacional e, consequentemente, para o último
passo da vida da estrela. Essa configuração é denominada de fase de pré-supernova.
Quando a estrela atinge esta fase começam a ocorrer processos fortemente endotérmicos, como a fotodissociação do 56 Fe e a captura de elétrons, levando a uma brusca
queda da pressão e da energia térmica do gás de elétrons. Neste caso, o equilı́brio hidrostático é rompido e o caroço de ferro colapsa gravitacionalmente, ou seja, implode.
Nos instantes finais do colapso, a temperatura e a densidade alcançarão valores da
ordem de 1010 K e 1014 g/cm3 , formando um caroço denso e com abundância de nêutrons,
provocando a contração brusca do caroço e, como consequência, a redução no seu raio.
Essa diminuição no raio do caroço da estrela gera uma região de vácuo entre a superfı́cie
do caroço e as camadas subsequentes, as quais começam a cair em direção ao caroço e
colidem com sua superfı́cie. Essa colisão fornece energia suficiente para que as primeiras
camadas a se chocar recuem rapidamente e colidam com as outras camadas que ainda
estão em queda livre. Tais colisões geram regiões de grande pressão e temperatura que
11
são denominadas ondas de choque.
2.2.4
Mecanismos de implosão
A implosão ocorre se a ordem de grandeza dos tempos da contração gravitacional
for da ordem dos tempos de queda livre, dada por:
tQL ∼
=
r
R3
,
2GM
(2.42)
sendo R e M o raio e a massa do caroço respectivamente, e G a constante gravitacional.
No caso de uma pré-supernova, temos R = 108 cm e M = 2M , tQL ∼
= 10−3 s, o que esta
de acordo com o tempo do colapso que não vai além de uns poucos milissegundos. Os
processos que atuando em tão curto perı́odo de tempo podem causar a implosão, são a
foto dissociação do 56 F e e a captura de elétrons.
A foto dissociação do 56 F e, dada pela seguinte reação:
γ +56 F e −→ 13α + 4n,
(2.43)
foi proposta por Burbidge et al [15]. Trata-se de um processo fortemente endotérmico,
capaz de consumir do sistema aproximadamente 2, 1 × 1018 erg/g.
A captura de elétrons é representada pela seguinte reação:
(Z, A) + e− −→ (Z − 1, A) + νe ,
(2.44)
onde um núcleo com Z prótons e A-Z nêutrons captura um elétron transformando-se num
núcleo com Z-1 prótons e A-Z+1 nêutrons emitindo um neutrino eletrônico. A captura
eletrônica é um processo duplamente endotérmico: por um lado, ela reduz tremendamente
o número de elétrons livres do sistema, diminuindo a pressão do gás, o que descreveremos
melhor nas próximas seções, por outro lado, através do abundante fluxo de neutrinos
emitidos para fora do sistema nos instantes iniciais do colapso [16], utilizando a energia
dos elétrons. Bahcall [17] mostrou que a captura de elétrons é um mecanismo de implosão
muito eficiente.
2.2.5
Processo-s
A interação responsável pela captura de nêutrons pelos núcleos atômicos é a força
forte. O processo-s ocorre em ambientes com baixa densidade de nêutrons e em um longo
intervalo de tempo. O núcleo que captura um nêutron (Z, A) + n −→ (Z, A + 1) + γ dá
origem ao núcleo filho, se ele for estável poderá chegar a (Z, A + 2), caso contrário, ele
deve decair antes de conseguir capturar um outro nêutron, para a forma (Z + 1, A + 1).
O tempo de capturar o nêutron é maior do que o tempo de decaimento do núcleo [1]. Por
12
esta razão, o processo é denominado s (slow ) ou lento.
Figura 2.3: As capturas de nêutrons em ambientes de baixa densidade de nêutrons (linhas horizontais de esquerda para direita) são seguidas de decaimentos (linhas diagonais
ascendentes) e fazem crescer o A em escalas de tempo muito longas (processo-s). As
capturas sucessivas sem decaimentos (já que as primeiras são muito rápidas) produzem
os núcleos do processo-r, os decaimentos desde N >> que aquele do vale de estabilidade
leva alguns núcleos até lugares como os indicados, à direita do equilı́brio. Note-se que
as flechas diagonais à direita indicam os decaimentos, não as capturas sucessivas. As
capturas de prótons levam os núcleos até a parte superior, aumentando o Z, mas devem
vencer barreiras coulombianas crescentes (processo-p. Extraı́do de [1].)
O processo s tem uma trajetória na carta de nuclı́deos, na qual, o núcleon só
decai nos pontos de camada fechada. Por operar num intervalo de tempo muito longo no
interior das estrelas, esse processo é um dos responsáveis por grande parte dos elementos
da tabela periódica e pelo surgimento de elementos que só são produzidos durante esse
processo, tal como 116
50 Sn. Quando o processo-s chega ao fim é um indicativo que a estrela
está próxima do seu fim, daı́ começa um novo ciclo chamado de processo-r no qual há a
continuidade da formação dos elementos da tabela periódica com número de massa acima
de 230.
2.2.6
Processo-r
Um fator preponderante na dinâmica dos processos que envolvem a sintetização
dos elementos nas estrelas é a fase de supernova, nessa fase a grande maioria dos elementos que constituem a tabela periódica já foram sintetizados e um dos últimos processos
sintetizadores é o processo-r. Enquanto O processo-s ocorre nas últimas fases do processo
evolutivo das estrelas, no qual a densidade de nêutrons no sistema é baixa e a sua captura
ocorre lentamente, o processo-r tem como aspecto fundamental a grande densidade de
nêutrons necessários para que ocorra, da ordem de 1026 -1028 nêutrons/cm3 . Devido às
altas taxas de captura de nêutrons os núcleos vão se afastando do vale de estabilidade
13
beta, podendo chegar de 10 a 20 unidades de massa nuclear de distância. Em geral o
afastamento da linha de estabilidade beta diminui a energia de separação dos nêutrons,
dada por:
Sn (Z, A + 1) = B(Z, A + 1) − B(Z, A) = [M (Z, A) − M (Z, A + 1) + mn ]c2 M eV (2.45)
onde B(Z, A) é a energia a ligação do núcleo (Z, A), M (Z, A) a sua massa e c a velocidade
da luz.
O processo-r vem acompanhado da captura e fotoemissão de nêutrons juntamente
com o processo de decaimento beta. Porém, as taxas de fotoemissão e de captura de
nêutrons acontecem em um intervalo de tempo muito pequeno em comparação com as
taxas de decaimento beta [14]. Portanto, quando o processo de decaimento beta começa,
os isótopos já atingiram o equilı́brio no processo de fotoemissão e de captura de nêutrons.
Enquanto o processo-s segue uma sequência com captura de nêutrons e decaimento beta, no qual sempre se mantêm bem próximo a linha de estabilidade beta, no
processo-r isso não acontece, pois os núcleos seguem uma linha horizontal na carta de
nuclı́deos criando isótopos cada vez mais pesados e como consequência mais instáveis.
O processo-r chega ao fim quando as condições de temperatura e de densidade
de nêutrons diminuem e são insuficientes para que o processo continue, e, por sua vez, o
processo que se faz dominante é o decaimento beta que aproxima os núcleos do vale de
estabilidade beta. Neste caso, os isótopos que se aproximam da linha de estabilidade beta
também podem reduzir a sua massa se a energia de excitação desses núcleos for superior
a energia de separação dos nêutrons.
Para os núcleos mais pesados, a situação de congelamento é ainda mais crı́tica.
Processos de fissão induzida por nêutrons, pelo decaimento-β e espontânea, bem como o
decaimento-α, devem ser levados em conta, interferindo na cascata de decaimento-β dos
núcleos mais pesados [14].
Existem alguns núcleos que só são obtidos através do processo-r por exemplo 129 I,
244
Pu, 235 U, 238 U, 232 Th, 187 Re e o 87 Rb, em ordem crescente de meias-vidas.
Conhecendo a quantidade de matéria disponı́vel no sistema em um intervalo de
tempo definido podemos calcular o número de nêutrons necessários para o processo-r
através de
nn (t) = NA fn ρ(t)
(2.46)
Sendo NA o número de Avogadro e fn a fração bariônica dos nêutrons livres e ρ(t) é a
densidade de matéria. Como os processos nucleares envolvidos não alteram a densidade
bariônica do sistema, esta fração é determinada em cada instante através de
fn (t) + fα + fN (t) = 1
(2.47)
14
onde fα , fN são respectivamente as frações bariônicas encerradas pelas partı́culas-α e
núcleos presentes em cada instante.
Capı́tulo 3
FUNDAMENTOS TEÓRICOS
3.1
Taxas de decaimento-β
A taxa de decaimento beta e captura eletrônica por unidade de energia é representada por W . Esta nos dá a probabilidade de ocorrer a transição por unidade de tempo
e energia. A taxa de decaimento-β é tratada com a regra de ouro de Fermi que tem por
base a teoria da perturbação [18]. Sendo assim, W fica dado pela seguinte expressão:
W =
2π
|Uf i |2 ρ(Ef ),
h̄
(3.1)
onde ρ(Ef ) é a densidade de nı́veis de estados finais, ou seja, número de estados finais
por unidade de energia final Ef e Uf i é o elemento de matriz de interação entre os estados
inicial i e final f . Este último é uma grandeza fı́sica fundamental no cálculo da taxa de
transição, sobretudo no uso da Teoria Grossa, por este motivo, vamos conhecer mais a
fundo o que é o elemento de matriz de interação da transição.
Tomaremos como princı́pio o conceito de decaimento-β. Trata-se “de um processo
pelo qual um núcleo instável pode se transformar em outro núcleo, mediante a emissão
de uma partı́cula β” [18]. Portanto estamos tratando de uma transição que envolve invariavelmente os seguintes personagens: dois núcleos (pai e filho) e dois léptons (elétron e
antineutrino ou pósitron e neutrino). A interação responsável por este tipo de transição
é a eletrofraca, que conserva o número leptônico, o número hadrônico, a carga e a massa
nuclear. Na Tabela (3.1) apresentamos um conjunto destas reações com seus respectivos
exemplos.
Diante do exposto, temos agora que representar os estados iniciais e finais da
reação. Esta interação microscópica é representada pelo elemento de matriz de interação
da transição denotado por Uf i . Tomando o exemplo de uma transição β − onde (A, Z) →
15
CAPÍTULO 3. FUNDAMENTOS TEÓRICOS
Nome
(a) Decaimento β −
(b) Decaimento β +
(c) Captura de Elétrons
(d) Captura de Antineutrino
(e) Captura de Neutrino
Reação
(A, Z) → (A, Z + 1) + e− + ν̄e
(A, Z) → (A, Z − 1) + e+ + νe
e− + (A, Z) → (A, Z − 1) + νe
ν̄e + (A, Z) → e+ + (A, Z + 1)
νe + (A, Z) → (A, Z + 1) + e−
16
Exemplo
61
61
−
26 F e35 →27 C34 + e + ν̄e
+
58
58
30 Zn28 →29 Cu29 + e + νe
−
60
60
e +27 Co33 →26 F e34 + νe
ν̄e +74 Be → e+ +73 Li
−
127
νe +127
53 I74 →54 Xe73 + e
Tabela 3.1: Reações nucleares com troca de carga
(A, Z + 1) + e− + ν e , Uf i é dado por:
Z
Uf i =
φ∗e φ∗νe ψf∗ Ωβ Oβ ψi d3~rd3~re d3~rνe ,
(3.2)
onde:
φe = Função de onda do elétron;
φν e = Função de onda do antineutrino eletrônico;
ψi = Função de onda do núcleo pai;
ψf = Função de onda do núcleo filho;
Ωβ = Operador de transição das partı́culas pesadas;
Oβ = Operador de transição das partı́culas leves;
No caso do operador de transição Oβ , que atua sobre as funções de onda do elétron
e do antineutrino eletrônico, segundo Chung [18], usando a aproximação local pode ser
escrito como:
(3.3)
Oβ = gδ(~re − ~r)δ(~rν e − ~r),
sendo g a constante de acoplamento da interação fraca e δ(~r0 − ~r) a função de Dirac.
Tomando as funções de onda do elétron e do antineutrino como ondas planas num volume
V , temos:
1 i~pe~r
φe (~r) = √ e h̄ ,
(3.4)
V
1 i~pν e ~r
φν e (~r) = √ e h̄ ,
V
(3.5)
onde pe e pν e são respectivamente os momentos do elétron e do antineutrino eletrônico, r
é a coordenada radial do respectivo lépton. Assim, o elemento de matriz de interação da
transição fica:
Z
1 −i~pe~r 1 −i~pνe~r
√ e h̄ √ e h̄ ψf∗ (~r)Ωβ ψi (~r)gd3~rδ(~re − ~r)d3~re δ(~rν e − ~r)d3~rν e .
Uf i =
(3.6)
V
V
Pelo fato de o comprimento de onda leptônico ser da ordem de 10−11 cm (maior
em uma ordem de grandeza do tamanho nuclear que é de 10−12 cm), as funções de onda
do elétron e do antineutrino eletrônico apresentam pouca variação no interior do núcleo
e podem ser aproximadas pelo seu valor em ~r = 0, aproximação válida para transições
17
permitidas [12]. Então as funções de onda leptônicas ficam:
1
φν e (0) = φe (0) = √ .
V
(3.7)
Substituindo as duas expressões acima em Uf i , temos:
Z
Uf i =
1 1
g( √ √ )ψf∗ (~r)Ωβ ψi (~r)d3~r,
V V
(3.8)
logo:
2
Z
1
3 ∗
|Uf i | = g
ψf (~r)Ωβ ψi (~r)d ~r ,
V
2
(3.9)
substituindo-a na expressão da taxa de transição que é dada pela equação (3.1), temos:
2π
W =
h̄
2
Z
1
∗
3 g
ψ
(~
r
)Ω
ψ
(~
r
)d
~
r
β
i
f
V
ρ(Ef ),
Z
2
2π 2 1 ∗
3 W =
g 2 ψf (~r)Ωβ ψi (~r)d ~r ρ(Ef ).
h̄ V
(3.10)
(3.11)
Observando a expressão acima, nota-se que o elemento de matriz de interação da
transição ficou dependente só das funções de onda do núcleo pai e núcleo filho, ou seja:
“depende agora unicamente das propriedades do núcleo, razão pela qual é conhecido como
elemento de matriz nuclear ” [18]. A partir de agora iremos representá-lo por |M |2
ou seja: o módulo do quadrado do elemento de matriz nuclear.
Então a taxa de transição fica:
W =
2π 2 1
g
|M |2 ρ(Ef ).
h̄ V 2
(3.12)
Estudaremos agora a densidade de nı́veis de estados finais.
Para calcular a densidade de nı́veis ρ(Ef ), utilizaremos o modelo do gás de Fermi
[18]. Neste modelo o número de ondas planas dos estados finais, para um momento fixo
p, tal que esteja entre p e p + dp num volume V , é dado por:
n(p)dp =
p2 V dp
.
2π 2 h̄3
(3.13)
Por outro lado, usando a conservação da energia temos para o decaimento β −
que:
E(A, Z) = E(A, Z + 1) + Ee + Eν e ,
(3.14)
Eβmax = E(A, Z) − E(A, Z + 1) = Ee + Eν e ,
(3.15)
onde Eβmax é a energia máxima disponı́vel para o decaimento. Como |dEe | = |dEν e |,
podemos escrever a densidade de estados apenas em termos da energia e momento do
18
elétron, logo:
p2 V dpe p2 V dpν 1
dn(Ee )
= e 2 3 . νe 2 3 e .
,
dEe
dEe
2π h̄
2π h̄
(3.16)
V 2 (pν2 e dpν e )p2e dpe
dn(Ee )
=
,
dEe
4π 4 h̄6 dEe
(3.17)
como Eν e = cpν e então:
pν e =
ou ainda:
pν e =
Eν e
,
c
Eβmax − Ee
c
(3.18)
.
(3.19)
Substituindo (3.19) na expressão (3.17) temos:
dn(Ee )
=
dEe
V2
Eβmax −Ee
c
2 E
d cν e p2e dpe
,
(3.20)
dn(Ee )
V 2 (Eβmax − Ee )2 d(Eν e )p2e dpe
=
.
dEe
4π 4 h̄6 c3 dEe
(3.21)
4π 4 h̄6 dEe
Lembrando que |dEe | = |dEν e |, logo a densidade de nı́veis fica:
V 2 (Eβmax − Ee )2 p2e dpe
dn(Ee )
=
,
dEe
4π 4 h̄6 c3
(3.22)
substituindo a equação (3.22) em (3.12) temos:
2
2 2
2π 2 1
2 V (Eβmax − Ee ) pe dpe
g
|M |
.
W =
h̄ V 2
4π 4 h̄6 c3
(3.23)
Para os valores de Q, usaremos a definição proposta por [18] onde a diferença
de energia entre o núcleo pai e núcleo filho é dada pela energia cinética após da reação
nuclear menos a energia antes, o que nos leva como demonstrado abaixo, que o Q pode ser
representado pela massa antes menos a massa depois, logo, para o decaimento β − temos:
Q = TDepois − TAntes ,
(3.24)
onde os T s são as energias cinéticas das partı́culas envolvidas dadas por:
T = E − mc2 .
(3.25)
Tomando a reação do decaimento beta, representada pela reação (a) na Tabela
(3.1), temos os seguintes personagens envolvidos: núcleo pai, núcleo filho, elétron e antineutrino eletrônico. Aqui EP é energia do núcleo pai, EF é a energia do núcleo filho,
Ee é a energia do elétron, Eν e é a energia do antineutrino eletrônico, MP é a massa do
19
núcleo pai, MF é a massa do núcleo filho, me é a massa do elétron, mν e é a massa do
antineutrino e c é velocidade da luz. Logo:
Q = (EF − MF c2 + Ee − me c2 + Eν e − mν e c2 ) − EP − MP c2 ,
(3.26)
Q = (EF + Ee + Eν e ) − EP + MP c2 − MF c2 − me c2 − mν e c2 .
(3.27)
Usando a conservação da energia e tomando a massa do antineutrino como nula, temos:
Q = MP c2 − MF c2 − me c2 .
(3.28)
Para Q trabalharemos com os dados experimentais dos defeitos de massa δ
(δM (Z, A) = M (Z, A) − Au ver [18]) encontrados em [19]. Dessa forma estaremos incluindo os efeitos de camada através dos dados experimentais dos quais construiremos os
valores de Q em MeV.
O valor de Q pode ser relacionado com a energia total máxima do elétron Eβmax ,
definida na equação (3.15), segundo a seguinte equação:
Eβmax = Q + me c2 ,
(3.29)
Então, Eβmax −Ee = Q+me c2 −Ee . Agora devemos escrever o momento pe e sua derivada
dpe
, logo:
dEe
1p 2
pe =
Ee − m2e c4 ,
(3.30)
c
d
dpe
1
1 d 2
2
2 4 1/2
=
( )(Ee − me c )
+
(Ee − m2e c4 )1/2 ,
(3.31)
dEe
dEe c
c dEe
dpe
1
= 0 + (Ee2 − m2e c4 )−1/2 2Ee ,
dEe
2c
(3.32)
dpe
Ee
= p
,
2
dEe
c Ee − m2e c4
(3.33)
Logo p2e dpe fica:
p2e dpe
=
dEe
1p 2
Ee − m2e c4
c
2
Ee
p
,
2
c Ee − m2e c4
1 2
Ee
2 4
p
−
m
c
)
(E
dEe ,
e
e
c2
c Ee2 − m2e c4
p
Ee2 − m2e c4
E
e
p2e dpe =
dEe .
c3
Substituindo (3.36) em (3.23) temos:
p2e dpe =
2π 2 1
V 2 (Q + me c2 − Ee )2 Ee
W =
g 2 |M |2
h̄ V
4π 4 h̄6 c3
p
Ee2 − m2e c4
dEe .
c3
(3.34)
(3.35)
(3.36)
(3.37)
20
Cortando os termos iguais e reagrupando outros, temos:
W =
g 2 |M |2 (Q + me c2 − Ee )2 p 2
Ee Ee − m2e c4 dEe .
2π 3 h̄7 c6
(3.38)
Agora vamos escrever esta expressão com as energias de forma adimensional.
Para isso vamos dividir todos os termos que contenham energia, pela massa de repouso
do elétron me c2 .
g 2 |M |2 (Q + me c2 − Ee )2 Ee
W = 3 7 6
(me c2 )2
me c2
2π h̄ c
p
Ee2 − m2e c4 dEe
(mc c2 )5 .
m e c2
me c2
(3.39)
Aqui vamos realizar um abuso de notação, entende-se daqui por diante que as
energias E, Ee e Q, são expressas em termos de unidade de massa do elétron. Levando em
consideração os efeitos do campo Coulombiano nuclear sobre a função de onda do elétron
na interação com o núcleo filho, introduzimos a função de Fermi na equação acima que é
representada por F (Z, Ee ), logo:
W =
p
g 2 |M |2
2 5
2
(m
c
)
(Q
+
1
−
E
)
E
Ee2 − 1F (Z, Ee )dEe .
e
e
e
2π 3 h̄7 c6
(3.40)
Neste trabalho, usaremos para a função de Fermi [20]:
Ψcou 2
F (Z, Ee ) = |
| = 2(1 + γ)
Ψlivre
2pe R
h̄
−2(1−γ)
e(πν)
|Γ(γ + iν)|2
,
|Γ(2γ + 1)|2
(3.41)
aqui:
ν=
ZαEe
,
cpe
γ = [1 − (Zα)2 ]1/2 ,
(3.42)
(3.43)
1
onde α = 137
é a constante da estrutura fina, Γ é a “função gama ” (para a qual usaremos
o algoritmo descrito em [21]) e R = r0 A1/3 fm é o raio nuclear. Para r0 usaremos a
expressão r0 = 1, 25(1 + 0, 65A−2/3 ) [22]. Assim como foi feito para a expressão da
taxa, vamos adimensionalizar as energias que aparecem na função de Fermi. Para esta
modificação temos que alterar dois termos:
2pe R
h̄
=
2Rme c2 1c
!
p
Ee2 − m2e c4
,
h̄
logo:
2pe R
h̄
=
!
p
(0, 511)2R Ee2 − 1
.
ch̄
(3.44)
21
Levando em consideração o valor de ch̄ = 197 Mev fm. O outro termo a ser alterado fica:
ν=
ZαEe
ZαEe
= 1p
,
cpe
c c Ee2 − m2e c4
que escrita de forma adimensional, fica:
ZαEe
ν=p
.
Ee2 − 1
(3.45)
Agora, a função de Fermi assume a seguinte forma:
F (Z, E) = 2(1 + γ)
!−2(1−γ)
p
(0, 511)2R Ee2 − 1
|Γ(γ + iν)|2
e(πν)
.
ch̄
|Γ(2γ + 1)|2
(3.46)
A energia em função do momento é descrita como:
Ee =
p
c2 p2 + m2e c4 .
(3.47)
Para Ee escrita de forma adimensional, temos:
Ee =
p
c2 p2 + 1.
(3.48)
Para definir os limites de integração, temos que considerar o valor da energia
p
para p = 0 e p = pmax = 1c E02 − m2e c4 , onde E0 é a energia total do elétron. Então
considerando os dois casos na equação acima temos para o limite inferior, que se p = 0,
Ee = 1. Já para o limite superior, quando p = pmax , temos:
s 2
q
1
Ee = c2
E02 − 1 + 1,
c
r
Ee =
c2
1 2
E − 1 + 1,
c2 0
Ee = E0 = Eβmax ,
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Eβmax = Q + me c2 e Q = E. O limite superior de forma adimensional fica:
Ee = E + 1,
(3.52)
aqui E é a energia máxima do decaimento.
Integrando sobre todos o valores possı́veis da energia do elétron, temos a expressão
22
para a taxa λ:
g 2 |M |2
λ = 3 7 6 (me c2 )5
2π h̄ c
Z
Ee max
(E + 1 − Ee )2 Ee
p
(3.53)
Ee min
A partir de agora podemos definir a chamada integral de Fermi como:
E+1
Z
(E + 1 − Ee )2 Ee
f (Z, E) =
p
(3.54)
1
Finalmente chegamos à expressão da taxa de decaimento-β.
λβ − =
m5e c4 g 2 |M |2
f (Z + 1, E),
2π 3 h̄7
(3.55)
onde a temos f (Z+1, E) tendo em vista que para o decaimento−β − o núcleo filho aumenta
sua carga de Z para Z + 1.
3.2
A Teoria Grossa
Um dos grandes problemas da Fı́sica Nuclear está em achar modelos matemáticos
que descrevam o núcleo de forma que possamos extrair destes modelos matemáticos informações úteis a respeito das suas caracterı́sticas. Historicamente, os modelos foram
sendo desenvolvidos conforme as necessidades. Como exemplo clássico deste fato, pode
ser citado o modelo da gota lı́quida. Weiszacker [23] supôs que as propriedades nucleares
associadas ao tamanho, à massa e à energia de ligação de um núcleo eram similares àquelas
encontradas em uma gota lı́quida. Em uma gota de um lı́quido, a densidade da gota é
aproximadamente constante; além disso, suas dimensões são proporcionais ao número de
partı́culas do sistema (na realidade, as moléculas que compõem a gota), e o calor de vaporização (ou energia de ligação) da gota é proporcional à massa ou ao número de partı́culas
que a compõe. O modelo da gota lı́quida levou então à fórmula semi-empı́rica de massa
que expressa a dependência da massa nuclear com o número de massa e o número atômico
(A,Z). Podemos dizer que trata-se de um modelo macroscópico. Porém, para as demais
informações a respeito de um dado núcleo, necessitamos de outros modelos.
O fato é que um único modelo nuclear não determina todas as caracterı́sticas e
informações de que necessitamos do núcleo e suas reações. Para a solução deste problema,
o ideal é a utilização de dois ou mais modelos separadamente ou mesmo associados. Este
último é o caso da Teoria Grossa, o qual será usado neste trabalho.
A Teoria Grossa é um modelo nuclear que foi proposto inicialmente por Takahashi
e Yamada [3] a uns 40 anos. Trata-se essencialmente de um modelo paramétrico para taxas
de desintegração nuclear, que combinou argumentos de partı́cula independente associada
ao modelo do gás de Fermi. Sendo assim, a Teoria Grossa é um modelo microscópico que
23
representa a junção de dois outros modelos associados a argumentos estatı́sticos de um
modo fenomenológico. Segundo Samana et al. [24], esta junção entre os dois principais
modelos nucleares microscópicos ocorre quando a função de amplitude β do modelo da
Partı́cula Independente é convolucionada com a densidade de nı́veis do modelo do gás de
Fermi corrigidas para levar em conta o efeito de emparelhamento e de camadas, daı́ o
nome de Teoria Grossa.
Devido a este formalismo as contribuições na parte final da ressonância (GamowTeller) são incluı́das num modo paramétrico. Uma forma gaussiana ou lorentziana é
assumida para essas ressonâncias com energia, amplitude e largura ajustadas aos dados
experimentais. A Teoria Grossa original [3] tem sido alvo de alterações na busca por
melhorias, e hoje, já temos duas novas versões que é a Teoria Grossa de 2a Geração
(GT2) [22] e a outra é a Teoria Semi-Grossa (BET) [25].
Neste trabalho será feito o uso da Teoria Grossa original para o decaimento beta
(Gross Theory Beta Decay). A escolha por este modelo se deve principalmente ao fato
de ser um modelo que apresenta simplicidade para o trabalho computacional, já que
trabalharemos com muitos núcleos e por possuir a capacidade de reproduzir os dados
experimentais disponı́veis e que possam ser extrapolados para núcleos fora do vale da
estabilidade beta.
3.2.1
Teoria Grossa no decaimento-β - (TGDB)
A TGDB toma como ponto de partida para o cálculo da taxa de desintegração
nuclear do decaimento beta a equação (3.55) já vista na seção (3.1). O diferencial desta
teoria, está no tratamento do elemento de matriz nuclear que é obtido pela regra da soma
[22, 26].
Em princı́pio, o decaimento beta pode ocorrer por meio de cinco transições conhecidas. Então, a taxa do decaimento beta total é composta pela soma das cinco possı́veis
contribuições, ou seja:
(0)
(1)
(2)
λβtotal = λF + λGT + λ1 + λ1 + λ1 .
(3.56)
Onde:
λF = taxa para a transição de Fermi;
λGT = taxa para a transição de Gamow-Teller;
(0)
λ1 = taxa para a transição primeira proibida de classe 0;
(1)
(2)
As transições chamadas de proibidas são na verdade as menos prováveis. Como
mostrado na Figura (3.1) onde temos o elemento de matriz nuclear em função da energia, as ressonâncias de Fermi e Gamow-Teller apresentam seus picos muito maiores que
24
as primeiras proibidas. Então as contribuições das três últimas taxas de transição podem ser desconsideradas pois, representam valores numéricos irrelevantes em relação às
contribuições de Fermi e Gamow-Teller.
Figura 3.1: Gráfico das probabilidades de transição. Fonte: [2].
Logo a expressão para a taxa de decaimento total pode ser aproximada por:
λtotal = λF + λGT .
(3.57)
Vamos escrever o elemento de matriz nuclear da equação (3.55) da seguinte maneira:
|MΩ (E)|2 =
X
| hψl |Ω|ψ0 i |2 f (E).
(3.58)
Assim as taxas para as transições de Fermi e Gamow-Teller ficam respectivamente:
X
m5e c4
λF = 3 7 |gF |2
| hψl |ΩF |ψ0 i |2 f (E0 − El ),
2π h̄
l
λGT =
X
m5e c4
2
|g
|
| hψl |ΩGT |ψ0 i |2 f (E0 − El ),
GT
2π 3 h̄7
l
(3.59)
(3.60)
onde os sub-ı́ndices 0 e l representam o estado inicial, e o estado final respectivamente,
sendo que, a somatória percorre todos os estados finais, ψ0 e ψl são as suas funções de
onda, E0 e El são as energias, gF = 1, 4 × 10−49 erg.cm3 que é a constante de acoplamento
de Fermi e gGT = −1, 2gF a constante de acoplamento de Gamow-Teller. ΩF é o operador
de Fermi, ΩGT é o operador de Gamow-Teller. Para estes dois últimos é importante destacar algumas propriedades. No decaimento beta os elétrons e os antineutrinos possuem
momento angular nulo, mas ambos têm spin 1/2 que podem se acoplar de duas maneiras
25
que definem as transições de Fermi e de Gamow-Teller, como mostrado na Figura (3.2). A
primeira temos o estado singleto onde os spins são antiparalelos com spin total S = 0, isto
significa que o spin nuclear J não é alterado ∆J = 0 e como a paridade é dada por (−1)l
e o momento angular l = 0, concluı́mos que a transição de Fermi conserva a paridade, ou
seja, ∆π = 0. Para o caso da transição de Gamow-Teller a paridade também é conservada
∆π = 0, entretanto, nesta transição temos estados tripletos, spin paralelos cujo spin total
S = 1, de modo que a conservação do momento angular tem que satisfazer a condição
de ∆J = Jf − Ji , ±1, exceto para o caso em que Jf = Ji = 0. Então os operadores das
transições de Fermi e Gamow-Teller podem ser escritos respectivamente como: ΩF ≡ 1, e
ΩGT ≡ ~σ .
Figura 3.2: Esquema ilustrativo dos operadores transição de Fermi e Gamow-Teller.
Usando as equações (3.59, 3.60), as equações para as taxas podem ser reescritas
como:
m5 c4
λF = e3 7 |gF |2
2π h̄
λGT
Z
m5e c4
= 3 7 |gGT |2 3
2π h̄
0
|MF (E)|2 f (−E)dE,
(3.61)
−Q
Z
0
|MGT (E)|2 f (−E)dE,
(3.62)
−Q
sendo E uma variável contı́nua de que substitui (E0 − El ), Q é definido na equação (3.28),
f (−E) é a integral da função de Fermi e o fator 3 em λGT se deve às três projeções do spin
do operador de Gamow-Teller. A literatura traz como proposta chamar de uma constante
5 4
C = mh̄e7c não incluindo o termo 2π1 3 , isso devido ao fato de que para as primeiras transições
beta proibidas, a constante muda para C 0 = ( h̄C )2 , como mostra [27]. No entanto, como
me c
já descrito anteriormente, neste trabalho usaremos a aproximação de considerar apenas as
transições de Fermi e Gamow-Teller, cujas constantes, que chamaremos respectivamente
de GF e GGT são dadas por:
GF =
GGT =
−4
m5e c4
2 ∼ 1, 103 × 10
|g
|
,
=
F
s
2π 3 h̄7
−4
m5e c4
2 ∼ 4, 761 × 10
3|g
|
.
=
GT
s
2π 3 h̄7
(3.63)
(3.64)
26
Reescrevendo as funções para a taxa de transição, temos:
0
Z
λF = GF
|MF (E)|2 f (−E)dE,
(3.65)
|MGT (E)|2 f (−E)dE.
(3.66)
−Q
Z
0
λGT = GGT
−Q
Substituindo as expressões acima na equação para a taxa do decaimento total, temos:
Z
0
λβ =
GF |MF (E)|2 + GGT |MGT (E)|2 f (−E)dE.
(3.67)
−Q
Agora descreveremos o formalismo para encontrar uma expressão quantitativa do
elemento de matriz nuclear. Nesta seção, já foi mencionado que o elemento de matriz
nuclear é obtido a partir da regra da soma. Segundo Takahashi e Yamada [3], nesta
regra, o operador do decaimento-β é uma soma dos operadores da partı́cula independente,
assumindo os núcleons como partı́culas independentes. A diferença de energia E pode ser
considerada como a diferença entre as energias do decaimento do núcleon independente no
núcleo filho e núcleo pai. Aqui, nós assumimos a existência das tais energias do núcleon
independente e chamamos a energia do núcleo pai de .
A interação entre os núcleons causada pelo efeito atrativo e repulsivo do potencial no intuito de equilibrar a energia, promove uma distribuição de energia do núcleon
independente no núcleo pai como algo contido em um “vasilhame”. A parte inferior do
“vasilhame” muda com o tempo constantemente. Isso causa um efeito de regiões irregulares na distribuição da energia, como mostrado na figura 3.3.
Figura 3.3: Ilustração esquemática do estado do núcleon independente em uma superfı́cie
plana aproximada para o decaimento β − . Fonte: [3].
A partir de agora podemos introduzir N1 , que é o número de núcleons com a
probabilidade de decair, ou seja, N1 será o número total de prótons Z do núcleo pai para
o decaimento β + e captura de elétrons ou o número total de nêutrons N do núcleo pai
para o decaimento β − que pode ser escrito como:
Z
1
N1 =
min
dN1
d,
d
(3.68)
onde min é a energia do núcleon independente no fundo do vasilhame, 1 é a energia
27
1
e a densidade de núcleons,
máxima do estado ocupado pelo núcleon independente, e dN
d
por unidade de energia, que tem a possibilidade de decair.
Quando um núcleon com energia transforma-se de nêutron para próton ou
vice-versa, produz como resultado da aplicação do operador decaimento beta e o valor
da energia é alterado. Desconsiderando o princı́pio da exclusão de Pauli, durante esta
transição temos que essa situação pode ser representada trocando (El − E0 ) por PΩ (El −
E0 , ), que é a probabilidade de que um núcleon com energia sofrer a transição. Logo:
X
PΩ (El − E0 , ) = 1.
(3.69)
l
Assim a distribuição da probabilidade da função DΩ (E, ) é aproximada como um produto
entre a energia modificada por PΩ e a densidade de nı́veis final. Reescrevendo a equação
anterior, temos:
Z +∞
X
PΩ (El − E0 , ) = 1.
(3.70)
DΩ (E, )dE =
−∞
l
Agora já podemos escrever a função para o elemento de matriz nuclear, considerando o princı́pio da exclusão Pauli no limite inferior da integração e incluindo o termo
W (E, ) que é a probabilidade de estados finais (grau de vacância) no qual 0 ≤ W (E, ) ≤
1, que associados aos dois elementos anteriores, dá:
2
Z
1
|MΩ (E)| =
DΩ (E, )
0 (E)
dN1
W (E, )d,
d
(3.71)
onde Ω indica a transição de Fermi ou de Gamow-Teller.
A equação (3.71) é válida para o caso especial em que temos uma superfı́cie
do tipo degrau, onde W (E, ) = 1, pois + E > 1 − Q. Nos outros casos o termo
W (E, ) desaparece pois + E ≤ 1 − Q. E a equação toma uma forma alternativa :
R
1
|MΩ |2 = 01(E) DΩ (E, ) dN
d, onde 0 (E) = max(min , 1 − Q − E).
d
Nosso trabalho agora é descrever como quantificar cada elemento da equação
acima, a fim de poder determinar um valor para o elemento de matriz nuclear.
Começando pela distribuição da função da partı́cula única DΩ (E, ), como proposto por [3], por simplicidade negligenciaremos a dependência por , ou seja, presume-se
que todos os nucleons têm a probabilidade de decaimento independente de suas energias.
Logo DΩ (E, ) = DΩ (E). A dependência da paridade do N e Z no núcleo filho é introduzida através dos valores para a diferença de emparelhamento e o espaçamento ∆ dos
nı́veis de partı́culas únicas. Adotamos aqueles de [3]. Melhorias na TGDB tem proposto
o uso de três tipos de funções para DΩ (E), que são do tipo: gaussiana, lorentziana, e
exponencial, detalhadas na Ref. [3]. Para este trabalho, usaremos a tipo gaussiana, visto
28
que esta apresentou melhores resultados [24]. Esta equação pode ser escrita como:
2
−(E−EΩ )
1
2
DΩ (E) = √
e 2σΩ .
2πσΩ
(3.72)
Aqui, EΩ é a energia de ressonância e σΩ é o desvio padrão, que podem ser
atribuı́dos à força Coulombiana. Para a transição de Fermi, temos que:
EΩ = Ec = EF ,
(3.73)
σΩ = σc = σF .
(3.74)
Assumindo o núcleo como uma esfera uniformemente carregada com raio 1, 2 ×
A fm podemos determinar EF = Ec como sendo o deslocamento Coulombiano da partı́cula
independente, como estimado por [3], logo:
1
3
1
EF = Ec = ∓(1, 44Z1 A− 3 − 0, 7825)MeV,
1
σF = σc = 0, 157Z1 A− 3 ,
(3.75)
(3.76)
onde Z1 é o número de prótons para o núcleo filho no decaimento β + e do núcleo pai para
o decaimento β − .
Para a transição de Gamow-Teller, tem sido usada uma aproximação tomada por
[3] onde EGT ≈ EF e que foi comprovada através dos estados isobáricos análogos (IAS),
[28]. Porém, para este trabalho usaremos a estimativa proposta por Nakaiama [29] e
também usado por Samana et al. [24], onde:
EGT = EF + δ,
(3.77)
sendo δ dado por:
18, 5(N − Z)
MeV.
(3.78)
A
Já o desvio padrão recebe um fator de ajuste dado por σN , que é proveniente da
propagação da energia provocada pelas forças dependentes de spin nuclear. Logo:
1
δ = 26A− 3 −
σGT
q
2
= σc2 + σN
.
(3.79)
onde σN é o parâmetro de ajuste utilizado para estimar σGT . Para isso, usaremos os valores apresentados na figura 4.2 calculado com o mesmo método de ajuste da
referência [30] e explicado no capı́tulo 4.
Para finalizar, usaremos o mesmo procedimento proposto pelos autores da TGDB
1
original, que é usar o modelo do gás de Fermi para estimar dN
e 0 (E) da equação 3.71.
d
Neste modelo:
29
1
dN1
2
=
4πV [2Mn∗3 ( − min )] 2 ,
3
d
(2πh̄)
(3.80)
min = 1 − F ,
(3.81)
sendo Mn∗ a massa efetiva do núcleon, V um volume nuclear apropriado e F é a energia
de Fermi dada por:
23
h̄2
2 N1
F =
3π
.
(3.82)
2Mn∗
V
1
O raio nuclear é dado por R = ro A 3 f m, e A é o número de massa. A equação
acima pode ser reescrita como:
76, 52 1
F = M ∗ 2
n
ro
M
N1
A
23
MeV.
(3.83)
n
Onde Mn é a massa do núcleon, para ro usaremos a relação: ro = 1, 25(1 + 0, 65A−2/3 ),
∗
∗
n
n
para M
usaremos: M
= 0, 6 + 0, 4A−1/3 , e o 0 (E) é dado por:
Mn
Mn
0 (E) = 1 − Q − E.
(3.84)
1
Substituindo as últimas equações em (3.80) temos uma nova equação para dN
,
d
dada por:
"
3 #
Q+E 2
dN1
= N1 1 − 1 −
.
(3.85)
d
F
O termo N1 será substituı́do pelo número de nêutrons do núcleo pai N , já que neste caso
estamos trabalhando com a taxa para o decaimento β − , e o termo f (−E) é a integral de
Fermi, é definida pela equação (3.54).
Agora temos todos os termos da equação (3.71) tornando possı́vel mensurar o
elemento de matriz nuclear por meio da Teoria Grossa para o Decaimento Beta, que
substituı́do na expressão para a taxa total, nos dá finalmente a expressão:
Z
0
"
Q+E
λβ − =
[GF DF (E) + GGT DGT (E)] N 1 − 1 −
F
−Q
32 #
f (−E)dE.
(3.86)
A equação (3.86) representa bem a taxa para o decaimento beta. Entretanto os
autores da Teoria Grossa original [3], chamam a atenção para uma tendência de distanciamento dos resultados experimentais no caso da transição de núcleos ı́mpar - ı́mpar para
par - par e vice-versa. No caso da transição de ı́mpar - ı́mpar para par - par, isso se deve
ao fato da densidade de nı́veis ser bem pequena em comparação com os valores de Q, já
na transição de par - par para ı́mpar - ı́mpar a densidade de nı́veis é maior isto significa
que teremos as linhas espectrais mais próximas umas das outras e com isso uma menor
30
energia entre elas dessa forma o valor Q será muito maior do que esse intervalo de energia
entre as linhas espectrais é bastante grande em comparação com os pequenos valores de
Q. Para superar este problema, [3] propõem que o estado do núcleon independente esteja
entre F e F + ∆ e entre F e F − ∆ (2∆ é a lacuna) como mostra a figura (3.4). Para
o ∆ foi usada a seguinte relação:
A < 160 ⇒ ∆ = 0.8
A ≥ 160 ⇒ ∆ = 11, 2A−1/2 Mev,
(3.87)
Figura 3.4: Ilustração esquemática dos diferentes nı́veis de energia no decaimento β − do
nucleon independente. Fonte: [3].
Neste caso, as densidades de nı́veis de cada caso recebem um novo tratamento
originando as seguintes expressões para os quatro casos:
1-Transição entre núcleos par-par para ı́mpar-ı́mpar.
0
Z
λ1β − = N
−Q
3N
2F (N )
(
Q+E+∆
1− 1−
F (N )
3/2 )
G0 D0 (E)f (−E)dE+
1/2 Z E
Q+E+∆
0
0
1−
G0 D0 (E )dE f (−E)dE+
F (N )
−Q
E−∆
(
3/2 )
Z −Q
∆
N 1− 1−
f (Q)
G0 D0 (E)dE
F (N )
−Q−∆
0
Z
(3.88)
Onde G0 D0 (E) = GF DF (E) + GGT DGT (E)
2-Transição entre núcleo de massa ı́mpar com N ı́mpar, ou seja, par-ı́mpar para
ı́mpar-par.
Z
0
λ2β − = N1
−Q
3N1
2F (N1 )
Z
0
−Q
(
Q+E−∆
1− 1−
F (N1 )
Q+E−∆
1−
F (N1 )
1/2 Z
3/2 )
G0 D0 (E)f (−E)dE+
E
0
0
E−∆
(
∆
1− 1−
F (N1 )
N1
Z
31
3/2 )
Z
−Q
G0 D0 (E)dE+
f (Q1 )
−Q−∆
0
Z
−Q
G0 D0 (E)f (−E)dE + f (Q)
G0 D0 (E)dE
−Q
(3.89)
−Q−∆
Onde N 1 = N − 1 que é número de nêutrons do núcleo filho e Q1 = Q − 2∆.
3-Transição entre núcleo de massa par com N par, ou seja, ı́mpar-par para parı́mpar.
Z
0
(
Q+E−∆
1− 1−
F (N )
λ3β − = N
−Q
3/2 )
G0 D0 (E)f (−E)dE+
1/2 Z E
Q+E−∆
0
0
1−
F (N )
−Q
E−∆
(
3/2 )
Z −Q
∆
N 1− 1−
f (Q1 )
G0 D0 (E)dE+
F (N )
−Q−∆






1/2 Z E+∆

 3N Z 0 1
Q+E+∆
0
0
1−
3/2  2 (N )

F (N )
−Q
E
∆


 Z 1 − 1 − (Z)
 F
F
Z
3N
2F (N )
"
0
∆
f (Q)N 1 − 1 −
F (N )


3/2 # 




Z
1


Z 1 − 1 −
∆
F (Z)
3/2 


−Q+∆
G0 D0 (E)dE. (3.90)
−Q
4-Transição entre núcleos ı́mpar-ı́mpar para par-par.
Z
0
(
1− 1−
λ4β − = N1
−Q
Q + E − 3∆
F (N1 )
3/2 )
G0 D0 (E)f (−E)dE+
1/2 Z E
Q + E − 3∆
0
0
1−
F (N1 )
−Q
E−∆
(
3/2 )
Z −Q
∆
N1 1 − 1 −
f (Q2 )
G0 D0 (E)dE+
F (N1 )
−Q−∆
3N1
2F (N1 )
Z
Z
0
0
Z
−Q
G0 D0 (E)f (−E)dE + f (Q1 )
−Q




1
G0 D0 (E)dE+
−Q−∆




3N1
3/2  2 (N )

 F 1
Z 1 − 1 − F∆(Z)
Z
0
−Q
Q+E−∆
1−
F (N1 )
1/2 Z
E+∆
0
0
E
32

(
∆
f (Q1)N 1 1 − 1 −
F (N 1)
3/2 )




1
Z 1− 1−
3.2.2
3/2
Z
−Q+∆
G0 D0 (E)dE+
−Q





∆
F (Z)



1
Z 1− 1−
∆
F (Z)
3/2


 f (Q)
Z
−Q+∆
G0 D0 (E)dE.
(3.91)
−Q
Taxa de captura de neutrinos
Para as taxas de captura de neutrinos utilizamos [31]:
λν ≈ 4.97(
Lν
M eV
)(
51
−1
10 erg.s
hEν i
)(
100km
hσν i
) × ( −41 2 )s−1
R
10 cm
(3.92)
onde Lν é a luminosidade da estrela, R é a distância entre o centro da estrela e
a região onde está acontecendo a captura de neutrinos e o hσν i é o valor médio da seção
de choque da captura de νe é:
Z
∞
hσν i =
Φν (Tν , Eν )σ(Eν )dEν
(3.93)
−Q+me
sendo Φν (Tν , Eν ) o fluxo de neutrinos que é dado por:
Φν (Tν , Eν ) =
Eν2
ℵ
Tν3 eEν /Tν + 1
(3.94)
onde Tν é a temperatura, ℵ é a constante de normalização, e σ(Eν ) é a seção de
choque que segundo a Teoria Grossa é dada por [31]:
1
σν (Eν ) =
πh̄4 c3
Z
Eν −Q
pe Ee [GF DF (E) + GGT DGT (E)]f (−E)dE
(3.95)
0
e a hEν i = 3.15Tν é a energia média dos neutrinos
3.3
Processo-r em equilı́brio das reações durante a
explosão de uma supernova
Durante a explosão de uma supernova, processo explicado na seção 2.5, ocorrem
alguns processos, tais como: captura e fotoemissão de nêutrons, captura de neutrinos e
decaimento-β. Esses processos são determinantes na formação de elementos pesados, as
abundâncias dos núcleos envolvidos têm suas variações no tempo descritas pelas equações
33
de Bateman:
d
n(Z, A) = −λβ (Z, A)n(Z, A)+λnγ (Z, A−1)n(Z, A−1)−[λnγ (Z, A)+λγn (Z, A)]n(Z, A)+
dt
+λβ (Z − 1, A)n(Z − 1, A) + λcν (Z − 1, A)n(Z − 1, A) − λcν (Z, A)n(Z, A)
(3.96)
Esse conjunto de equações acopladas nos dá a abundância de um isótopo de número
atômico Z e número de massa A num dado intervalo de tempo, onde λnγ (Z, A), λγn (Z, A),
λβ (Z, A) e λcν (Z, A) representam as taxas de fotoemissão, de captura de nêutrons, de
decaimento-β e de captura de neutrinos, respectivamente.
No entanto, sabemos que as taxas de fotoemissão e captura de nêutrons, acontecem em um intervalo de tempo muito menor do que a taxa de decaimento-β [14], isto
é, τnγ , τγn , τβ dessa forma, os processos de fotoemissão e captura de nêutrons entram
em equilı́brio antes do decaimento-β começar. Então a equação (3.96) pode ser escrita da
seguinte forma:
d
n(Z, A) = −λβ (Z, A)n(Z, A) + λβ (Z − 1, A)n(Z − 1, A)+
dt
+λcν (Z − 1, A)n(Z − 1, A) − λcν (Z, A)n(Z, A)
(3.97)
Neste trabalho foi considerada uma condição particular onde em t = 0 só existem
núcleos pai, razão pela qual fizemos uso da solução apresentada em [18]:
Nn (t) =
n
X
Ci e−λi t
(3.98)
i=1
onde
Qn−1
λj
N1 0
j6=i (λj − λi )
Ci = Q n
j=i
(3.99)
Vale lembrar que o último termo da somatória em Nn (t) é o primeiro núcleo estável
da cadeia isobárica. Dessa forma, quando a cadeia isobárica possuir mais de um núcleo
estável a somatória começará no núcleo posterior ao núcleo estável e terminará no próximo
núcleo estável.
Capı́tulo 4
RESULTADOS E DISCUSSÕES
Para calcular as taxas de decaimento-β (equações (3.88), (3.89), (3.90) e (3.91)),
considerando as paridades dos núcleos, foi desenvolvida uma subrotina na linguagem de
programação fortran. Para ajustar a largura da ressonância de Gamow-Teller (gráfico 4.1)
utilizamos como parâmetro de ajuste o σN da equação (3.79). Para isso foi realizado um
levantamento da vidas médias de todos os núcleos com A entre 70 e 255, que decaem via
decaimento-β. O levantamento também incluiu núcleos que têm mais de uma forma de
decair (ramificações), nesse caso, foram feitos cálculos para taxa de decaimento-β segundo
as razões e ramificação. Com isso, obteve-se um universo de 674 núcleos.
Figura 4.1: Ressonâncias de Fermi e Gamow-Teller para nı́quel (28,72)
Para calcular o valor Q da taxa de decaimento-β usamos a seguinte relação:
QChung = M (Z, A)antes − M (Z, A)depois − me c2
34
(4.1)
CAPÍTULO 4. RESULTADOS E DISCUSSÕES
35
onde
M (Z, A) = δM (Z, A) + A.u
(4.2)
sendo que δM (Z, A) é o defeito de massa [19] e u é a unidade atômica (u = 931, 494 MeV).
Os núcleos que não apresentam defeito de massa experimental foram descartados do grupo.
Como o modelo aqui abordado só leva em consideração as transições permitidas (Fermi
e Gamow-Teller) foram utilizados alguns filtros para selecionar os núcleos de interesse,
isto é, para eliminar os isótopos que o nosso modelo não consegue descrever. O primeiro
filtro verifica se o valor QChung da reação é maior que zero, caso contrário, a transição
é endoenergética e o isótopo é descartado dos cálculos. Já o segundo filtro é feito a
partir do valor log(f t) [18], onde f é a integral de Fermi (equação 3.54) e t é a meia
vida experimental do isótopo. O seu valor para as transições permitidas deve satisfazer
3 < log(f t) < 6, além disso foi eliminado dos resultados aqui apresentados nas figuras 4.3,
4.4, 4.5, 4.6 e 4.7 os núcleos nos quais o valor de log(T(1/2) teo/T(1/2) exp) é maior do que
2σ (ver equação 4.3) de acordo com a paridade de cada núcleo. A aplicação dos filtros
reduziu o universo de isótopos para 422 núcleos.
Para ajustar σN foi feita a minimização do parâmetro σ definido por:
v

u
τ cal (i,σ ) 2
u
N
u N  log 12 exp

τ 1 (i)
uX 

u
2
σ=u
.

N

t i=1 
(4.3)
é fácil apreciar que σ serve como referência no ajuste de σN , pois quando σ atinge seu
valor mı́nimo isso significa que as taxas teóricas estão no melhor acordo possı́vel com as
taxas experimentais.
Esse cálculo foi feito considerando a paridade dos núcleos, ou seja, um σN para
núcleos par-par, outro para núcleos par-ı́mpar, outro para ı́mpar-par e outro para ı́mparı́mpar. Na figura 4.2 apresentamos as curvas de σ como função de σN para os quatro
casos possı́veis. Em seguida, substituı́mos o valor de σN na subrotina que calcula as taxas
de decaimento-β. Destaca-se que, neste trabalho, a paridade dos núcleos é levada em
consideração no cálculo de σN , mas também está implı́cita no valor Q das reações, já que
o valor Q é obtido a partir de dados experimentais.
36
Figura 4.2: Relação entre σ e σN
Os valores de σN que foram encontrados serão utilizados no código para captura
de neutrinos e estão representados na tabela 4.1, juntamente com os valores encontrados
∗
na literatura, onde σN é o valor encontrado neste trabalho, σN
é o valor encontrado na
∗∗
∗
referência [24] e σN é o valor obtido na referência [3]. Vale salientar que o valor de σN
é
válido para um universo de núcleos distinto do abordado no presente trabalho enquanto
∗∗
é válido para o universo de núcleos aqui estudado.
o valor de σN
Paridade
ı́mpar-ı́mpar
par-par
ı́mpar-par
par-ı́mpar
∗∗
∗
σN
σN
σN
6,64 15,8 5,0
4,77 15,8 4,5
6,02 7,2 5,1
3,64 16,5 5,1
Tabela 4.1: Valor de σN em MeV para distintas paridades
37
Figura 4.3: Logaritmo entre a razão da meia vida teórica e da meia vida experimental em
função do número de massa para núcleos par-par
Na figura 4.3 podemos ver que a grande maioria dos seus pontos estão no intervalo
[-1,1], aproximadamente 62%. Esses resultados também podem ser visualizados na tabela
4.2 e a maioria dos pontos aqui apresentados estão bem próximos do valor experimental.
Dessa forma, pode-se supor que a teoria grossa é um bom modelo a ser usado quando
for necessário trabalhar com um universo muito grande de núcleos, principalmente se os
núcleos em questão forem par-par, visto que, os núcleos par-par são os que tem maior
densidade de nı́veis em relação ao valor Q, como mostrado na figura 3.4.
função do número de massa para núcleos ı́mpar-ı́mpar
Já para figura 4.4, onde todos os núcleos são ı́mpar-ı́mpar, a maioria dos pontos
encontram-se fora do intervalo [-1,1], cerca de 75% dos núcleos. Esse resultado nos leva
38
a pensar que, pelo menos, para núcleos com esta paridade seria conveniente utilizar o
método de ajuste de σN proposto na referência [3]. Por outro lado, na referência [24],
ainda que realizado para outro universo de núcleos, apresenta comportamento similar para
a meia vida do decaimento-β, de modo que, também podemos considerar que os resultados
encontrados estão relacionados a um problema do próprio modelo aqui usado, aspecto que
necessita de aprofundamentos. Destaca-se que os resultados numéricos apresentados na
figura 4.4 encontram-se na tabela 4.5.
função do número de massa para núcleos par-ı́mpar
A figura 4.5 nos leva a pensar que seu comportamento está relacionado com
a densidade de nı́veis ilustrados na figura 3.4, que quanto maior a densidade de nı́veis
mais distantes os resultados calculados ficam dos experimentais. Os valores numéricos
apresentados no gráfico da figura 4.5 são apresentados no final do capı́tulo na tabela 4.3.
O gráfico da figura abaixo (4.6), por sua vez, apresenta melhores resultados do
que os apresentados na figura 4.5, aspecto que pode estar relacionado com a diminuição
da densidade de nı́veis nos levando a pensar que a Teoria Grossa não consegue corrigir
esse fator. Os resultados numéricos representados na figura 4.6 são apresentados na tabela
4.4.
39
função do número de massa para núcleos ı́mpar-par
Os resultados apresentados nos gráficos 4.3, 4.4, 4.5 e 4.6 mostram que para o
intervalo entre 150 ≤ A ≤ 200 a Teoria Grossa nos dá bons resultados, pois quase todos
se encontram no intervalo [-1,1] como ilustrado no gráfico abaixo:
função do número de massa para 150 ≤ A ≤ 200
Para melhor visualização dos resultados aqui apresentados graficou-se a vida
média teórica e a vida média experimental para alguns poucos espécimes nucleares (figura 4.8, 4.9). Percebe-se que apesar dos dados teóricos estarem um pouco afastados dos
experimentais, eles acompanham o sentido de crescimento e decrescimento dos mesmos.
40
Figura 4.8: Vida média teórica e vida média experimental em função do número de massa
Figura 4.9: Vida média teórica e vida média experimental em função do número de massa
As figuras 4.10, 4.11, 4.12 e 4.13 comparam os resultados aqui encontrados com
aqueles apresentados em [4], onde os resultados são divididos pelos valores experimentais.
O modelo aqui adotado não tem solução analı́tica, apenas numérica. Além disso, usamos
apenas um único parâmetro de ajuste σN . Já o modelo adotado pela referência [4] é uma
versão simplificada da Aproximação Tamm-Dancoff (sigla em inglês TDA), a qual leva
em consideração apenas a um nı́vel só e por isso possui resolução analı́tica. Além disso,
a referência [4] utiliza um número de parâmetros de ajuste bem maior, o que facilita a
aproximação dos dados teóricos aos resultados experimentais.
41
Figura 4.10: Comparação entre os resultados encontrados aqui, utilizando o modelo da
Teoria Grossa no Decaimento Beta (TGDB), e na literatura [4], utilizando a Aproximação
Tamm-Dancoff (TDA), em função do número de massa
42
Apesar dos resultados encontrados aqui estarem mais distantes dos experimentais, o modelo aqui usado se mostrou relativamente eficiente para calcular as taxas de
decaimento−β principalmente para os núcleos par-par.
4.1
43
Seção de choque e taxas de captura de neutrinos
As taxas de captura de neutrinos foram calculadas para um universo de núcleos
um pouco maior do que o citado anteriormente para a taxa de decaimento-β, pois, além dos
núcleos que decaem via decaimento-β foram considerados também os elementos estáveis
com Z entre 27 e 99. Dessa forma, a partir do universo de núcleos identificado, composto
por 846 núcleos, foi calculada a taxa de captura de neutrinos para diferentes temperaturas.
Para calcular as taxas de captura foi usado um código na linguagem de programação
Fortran que modela computacionalmente λν (equação 3.92) e hσν i (equação 3.93).
Antes de apresentar os resultados encontrados vamos ilustrar o comportamento
do fluxo de neutrinos nas condições astrofı́sicas estudadas neste trabalho com temperatura
de 2, 3 e 4 MeV.
Figura 4.14: Fluxo de neutrinos em função da energia
No gráfico acima é fácil ver que quanto maior a temperatura mais disperso é o
fluxo. Por outro lado, o fluxo de neutrinos (equação 3.94) sozinho não fornece informações
sobre qual a melhor temperatura para que ocorra a captura de neutrinos, por isso, para
ilustrar como a temperatura influencia no valor médio da seção de choque e, consequentemente, na taxa de captura de neutrinos esboçaremos alguns gráficos do fluxo e da seção
de choque.
44
Figura 4.15: Comparação entre o comportamento do fluxo de neutrinos e da seção de
choque para o núcleo Cu(29,70) para T=2 MeV
choque para o núcleo Cu(29,70)para T=3 MeV
45
choque para o núcleo Cu(29,70) para T=4 MeV
Analisando as figuras 4.15, 4.16 e 4.17 há indı́cios de que a melhor relação entre
o fluxo de neutrinos e a seção de choque encontra-se no gráfico 4.17, aspecto que será
evidenciado nas figuras 4.21, 4.22, 4.23 e 4.24. Isso porque, apesar da intensidade máxima
do fluxo diminuir a medida que a temperatura aumenta o fluxo se mantém alto para um
intervalo de energia maior, além disso, o valor máximo atingido pelas curvas de fluxo e
seção de choque de neutrinos convergem para o mesmo intervalo de energia. Dessa forma,
constata-se que para os intervalos de energia em que a seção de choque atinge seu valor
máximo o fluxo de neutrinos permanece alto se comparado com os gráficos das figuras
4.15 e 4.16, pelo menos para o caso de Cu(29,70). As figuras a seguir indicam que o
comportamento para temperatura igual a 4 MeV permanece similar, com relação à seção
de choque, independente da espécie nuclear envolvida, como podem apreciar no caso de
Br(35,90) (fig. 4.18), In(49,131) (fig. 4.19) e Pb(82,215) (fig. 4.20).
46
choque para o núcleo Br(35,90)
choque para o núcleo In(49,131)
47
choque para o núcleo Pb(82,215)
Nas figuras 4.21, 4.22, 4.23, 4.24, 4.25, 4.26 e 4.27 são representados os valores
médios da seção de choque por unidade de massa para diferentes temperaturas. Através
delas torna-se evidente que o comportamento dos gráficos para diferentes temperaturas é
similar, havendo alterações apenas no valor médio da seção de choque.
Figura 4.21: Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos parpar)
48
Figura 4.22: Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos parı́mpar)
Figura 4.23: Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos ı́mparpar)
49
Figura 4.24: Valor médio da seção de choque para diferentes temperaturas (núcleos ı́mparı́mpar)
Os gráficos 4.21, 4.22, 4.23 e 4.24 apresentam comportamento similar ao apresentado na referência [32]. Além disso, podemos ver que, a medida que a temperatura
aumenta, além de haver um aumento da ordem de grandeza do valor médio da seção de
choque, ocorre uma maior variação no valor médio da seção de choque em relação aos
núcleos de mesma massa, aspecto evidente na maior inclinação dos pontos nos gráficos
com o aumento da temperatura, em especial, nos gráficos que representam as diferentes
temperaturas simultaneamente. Outro aspecto interessante é que o comportamento varia
com a paridade dos núcleos, sendo mais evidente ao compararmos os gráficos 4.21 e 4.24.
Isso mostra que a probabilidade do núcleo capturar um neutrino não depende apenas da
massa do núcleo, mas também de sua paridade.
Figura 4.25: Valor médio da seção de choque com temperatura de 2 MeV
50
Foi ilustrado nas figuras 4.25, 4.26 e 4.27 o valor médio da seção de choque para a
captura de neutrinos em distintas temperaturas. Nesses gráficos torna-se evidente que os
núcleos com paridade par-par tem o valor médio da seção de choque superior aos demais,
além disso, é o que mostra maior diferença do valor médio da seção de choque entre os
seus vizinhos de mesma paridade. Já os núcleos ı́mpar-ı́mpar são aqueles que apresentam
menor valor médio da seção de choque.
Até o momento foram apresentados os resultados relacionados ao fluxo de neutrinos, e seu comportamento em função das diferentes temperaturas, assim como resultados
relacionados à seção de choque e ao valor médio da seção de choque. A seguir são apresentadas as taxas de captura de neutrinos para diferentes temperaturas.
Figura 4.28: Taxa de captura de neutrinos com temperatura de 2 MeV
51
52
Figura 4.31: Taxa de captura de neutrino com temperatura de 2 MeV para a famı́lia
isobárica A=75
53
Figura 4.32: Taxas de captura de neutrinos para diferentes temperaturas
É possı́vel ver nas figuras acima (4.28, 4.29, 4.30 e 4.32) que à medida que os
núcleos vão ganhando massa a taxa de captura de neutrinos vai aumentando. Além
disso, no gráfico 4.31, no qual é ilustrado a taxa de captura de neutrino para uma famı́lia
isobárica com A = 75, podemos apreciar o comportamento interessante: que à medida
que os núcleos da famı́lia isobárica vão se aproximando do vale de estabilidade beta eles
tornam-se mais suscetı́veis a captura de neutrinos afirmando mais uma vez que a captura
de neutrinos não depende apenas da massa do núcleo, mas também da sua distribuição de
carga e sua estabilidade. O comportamento que aparece no final dos gráficos 4.28, 4.29,
4.30 e 4.32 para 210 < A < 256 que é ilustrado na figura 4.32 é justificado pelo recorte
do universo de núcleos estudados nesse trabalho que só engloba os primeiros membros da
cadeia isobárica dessa forma não há dispersão dos resultados.
4.2
Aplicação das equações de Bateman
Esboçaremos aqui uma aplicação das equações de Bateman [18] com o intuito de
ilustrar o comportamento das cadeias isobáricas em função do tempo, em que serão representados apenas o último membro da cadeia isobárica (elemento estável), contribuindo
com a melhor visualização do seu comportamento.
Destaca-se que as taxas de captura de neutrinos usadas nas equações de Bateman
são calculadas com temperaturas de 2M eV , visto que, o modelo aqui adotado para calcular
a seção de choque da captura de neutrinos tem maior confiabilidade para temperaturas
menores.Isto é, ao observar o gráfico da figura 4.15, por exemplo, constata-se que a seção
de choque a partir de uma determinada energia torna-se constante, de modo que, nesse
momento o modelo se torna obsoleto, apresentando um ”limiar”de validade. Por outro
lado, com a temperatura de 2M eV o fluxo de neutrinos tem sua distribuição em um
54
intervalo de energia no qual o modelo para seção de choque é viável, ao contrário do
que acontece com temperaturas mais elevadas (ver gráficos 4.16 e 4.17), dessa forma
os resultados encontrados com essa temperatura tornam-se confiáveis. Salienta-se que
outros trabalhos, tal como o desenvolvido na referência [32], mostram que à medida que
a temperatura aumenta as taxas de captura de neutrinos também aumentam, tendência
observada no presente trabalho.
Os gráficos 4.33, 4.35 e 4.37 representam a abundância do seu respectivo elemento
estável da famı́lia isobárica sem considerar a captura de neutrinos, enquanto os gráficos
4.34, 4.36 e 4.38 representam as abundâncias isotópicas considerando a captura de neutrinos. A opção pelas duas representações está relacionada ao fato de que, ao considerar
a captura de neutrinos o intervalo de tempo necessário para que todos os membros da
famı́lia isobárica encontrem sua estabilidade é bem menor.
Figura 4.33: Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ge (32,70) (último
70
70
70
70
70
27 Co →28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge) obtida com
as taxas aqui calculadas e obtida com as taxas experimentais sem levar em consideração
a captura de neutrinos
55
Figura 4.34: Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ge (32,70) (último
70
70
70
70
70
27 Co →28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge) obtida com
as taxas aqui calculadas e obtida com as taxas experimentais considerando a captura de
neutrinos
Figura 4.35: Comparação entre a abundância isotópica do núcleo As (33,75) (último
75
75
75
75
75
28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge →33 As) obtida com
as taxas aqui calculadas e obtida com as taxas experimentais sem levar em consideração
a captura de neutrinos
56
Figura 4.36: Comparação entre a abundância isotópica do núcleo As (33,75) (último
75
75
75
75
75
28 N i →29 Cu →30 Zn →31 Ga →32 Ge →33 As) obtida com
as taxas aqui calculadas e obtida com as taxas experimentais considerando a captura de
neutrinos
Figura 4.37: Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ru (44,100) (último
100
100
100
100
100
100
37 Rb →38 Sr →39 Y →40 Zr →41 N b →42 M o →43
100
T c →44 Ru) obtida com as taxas aqui calculadas e obtida com as taxas experimentais
sem levar em consideração a captura de neutrinos
57
Figura 4.38: Comparação entre a abundância isotópica do núcleo Ru (44,100)(último
100
100
100
100
100
100
37 Rb →38 Sr →39 Y →40 Zr →41 N b →42 M o →43
T c →100
44 Ru) obtida com as taxas aqui calculadas e obtida com as taxas experimentais
considerando a captura de neutrinos
Quando consideramos as taxas de captura de neutrinos (gráficos 4.34, 4.36 e
4.38) o tempo necessário para que os núcleos da famı́lia isobárica atinjam o vale de estabilidade beta diminui, em comparação com as abundâncias que consideram apenas o
decaimento−β (gráficos 4.33, 4.35 e 4.37). Nesse sentido, verifica-se a importância da
captura de neutrinos para a formação de elementos pesados em ambiente astrofı́sico, visto
que, neste ambiente as taxas de captura de neutrinos são elevadas, em acordo com o
achado na literatura ([32], [33], [26], [34] e [35]).
A seguir, são apresentados os resultados numéricos para a taxa de decaimento-β
e para a taxa de captura de neutrinos, separados por paridade, que foram calculados no
presente trabalho, em que Z é a carga, A é a massa, Q é a energia de reação, τcal é a
meia vida do decaimento-β calculada, τexp é a meia vida do decaimento-β experimental,
< σ > é o valor médio da seção de choque, λcν é a taxa de captura de neutrino e T é a
temperatura.
58
Tabela 4.2: Meia vida do decaimento-β para os núcleos
par-par em s
Z
A
Valor Q
τcal
τexp
log[(τcal )/(τexp )]
28
28
28
30
30
30
30
32
32
32
32
34
36
36
36
38
38
38
38
38
38
40
40
40
40
42
42
42
42
42
44
44
44
44
46
72
74
76
74
76
78
80
78
80
82
84
88
90
92
94
90
94
96
98
100
102
98
100
102
104
102
104
106
108
110
108
110
112
114
114
0,1053E+02
0,1405E+02
0,1703E+02
0,4579E+01
0,8141E+01
0,1260E+02
0,1427E+02
0,1867E+01
0,5225E+01
0,9198E+01
0,1503E+02
0,1341E+02
0,8595E+01
0,1172E+02
0,1450E+02
0,1068E+01
0,6865E+01
0,1054E+02
0,1140E+02
0,1384E+02
0,1724E+02
0,4403E+01
0,6534E+01
0,9022E+01
0,1153E+02
0,1977E+01
0,4227E+01
0,6888E+01
0,9295E+01
0,1155E+02
0,2661E+01
0,5499E+01
0,7182E+01
0,9393E+01
0,2840E+01
0,1179E+00
0,1121E-01
0,1752E-02
0,6340E+02
0,7872E+00
0,2733E-01
0,9319E-02
0,8666E+05
0,2086E+02
0,2836E+00
0,6235E-02
0,1540E-01
0,4761E+00
0,4221E-01
0,7686E-02
0,9820E+09
0,2557E+01
0,9333E-01
0,4696E-01
0,1002E-01
0,1663E-02
0,6971E+02
0,3305E+01
0,2699E+00
0,3924E-01
0,4096E+05
0,8444E+02
0,2024E+01
0,1968E+00
0,3546E-01
0,2957E+04
0,1090E+02
0,1355E+01
0,1668E+00
0,1591E+04
0,2100E+01
0,5500E+00
0,2400E+00
0,9560E+02
0,5700E+01
0,1470E+01
0,5450E+00
0,5280E+04
0,2950E+02
0,4600E+01
0,9470E+00
0,1530E+01
0,3232E+02
0,1840E+01
0,2000E+00
0,9079E+09
0,7530E+02
0,1070E+01
0,6530E+00
0,2020E+00
0,6900E-01
0,3070E+02
0,7100E+01
0,2900E+01
0,1200E+01
0,6780E+03
0,6000E+02
0,8400E+01
0,1090E+01
0,3000E+00
0,2730E+03
0,1460E+02
0,1750E+01
0,5300E+00
0,1452E+03
-0,1251E+01
-0,1691E+01
-0,2137E+01
-0,1784E+00
-0,8598E+00
-0,1731E+01
-0,1767E+01
0,1215E+01
-0,1505E+00
-0,1210E+01
-0,2182E+01
-0,1997E+01
-0,1832E+01
-0,1639E+01
-0,1415E+01
0,3404E-01
-0,1469E+01
-0,1059E+01
-0,1143E+01
-0,1305E+01
-0,1618E+01
0,3561E+00
-0,3321E+00
-0,1031E+01
-0,1485E+01
0,1781E+01
0,1484E+00
-0,6180E+00
-0,7433E+00
-0,9273E+00
0,1035E+01
-0,1270E+00
-0,1112E+00
-0,5020E+00
0,1040E+01
46
46
46
48
48
48
48
48
48
50
50
50
50
52
52
52
54
54
54
56
56
56
56
56
58
58
58
58
60
60
60
62
62
62
64
64
66
68
68
116
118
120
120
122
124
126
128
130
128
130
132
134
134
136
138
140
142
144
142
144
146
148
150
146
148
150
152
152
154
156
156
158
160
162
164
168
172
174
0,5108E+01
0,8023E+01
0,9550E+01
0,3438E+01
0,5890E+01
0,8160E+01
0,1072E+02
0,1384E+02
0,1663E+02
0,2493E+01
0,4204E+01
0,6072E+01
0,1442E+02
0,3031E+01
0,9941E+01
0,1247E+02
0,7937E+01
0,9865E+01
0,1130E+02
0,4327E+01
0,6106E+01
0,8023E+01
0,1000E+02
0,1284E+02
0,2016E+01
0,4031E+01
0,5890E+01
0,8708E+01
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-0,2438E+00
0,2810E+01
0,1277E+01
0,5614E+00
0,5215E-01
-0,9150E+00
0,9452E+00
72
Tabela 4.6: Valor médio da seção de choque para captura
de neutrinos (núcleos par-par)
Z
A
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 2M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 3M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 4M eV )
28
28
28
30
30
30
30
30
32
32
32
32
32
32
32
32
34
34
34
34
34
34
34
36
36
36
36
36
36
36
36
36
38
38
72
74
76
72
74
76
78
80
70
72
74
76
78
80
82
84
74
76
78
80
82
86
88
78
80
82
84
86
88
90
92
94
84
86
0,3942E-02
0,3620E-02
0,3334E-02
0,5047E-02
0,4638E-02
0,4273E-02
0,3945E-02
0,3651E-02
0,1429E+00
0,5760E-01
0,2363E-01
0,1036E-01
0,4985E-02
0,4616E-02
0,4283E-02
0,3982E-02
0,2008E+00
0,7967E-01
0,3959E-01
0,1700E-01
0,5346E-02
0,4634E-02
0,4327E-02
0,2400E+00
0,1173E+00
0,6081E-01
0,2613E-01
0,9143E-02
0,5345E-02
0,5000E-02
0,4686E-02
0,4398E-02
0,1721E+00
0,9356E-01
0,2310E+01
0,2121E+01
0,1953E+01
0,2957E+01
0,2717E+01
0,2503E+01
0,2312E+01
0,2139E+01
0,2729E+02
0,1501E+02
0,8298E+01
0,4781E+01
0,2921E+01
0,2704E+01
0,2509E+01
0,2333E+01
0,3422E+02
0,1876E+02
0,1175E+02
0,6698E+01
0,3132E+01
0,2715E+01
0,2535E+01
0,3878E+02
0,2436E+02
0,1573E+02
0,8999E+01
0,4513E+01
0,3131E+01
0,2930E+01
0,2745E+01
0,2577E+01
0,3145E+02
0,2104E+02
0,4334E+02
0,3980E+02
0,3665E+02
0,5549E+02
0,5099E+02
0,4697E+02
0,4338E+02
0,4014E+02
0,2923E+03
0,1877E+03
0,1205E+03
0,7962E+02
0,5481E+02
0,5075E+02
0,4709E+02
0,4378E+02
0,3462E+03
0,2232E+03
0,1569E+03
0,1031E+03
0,5878E+02
0,5095E+02
0,4757E+02
0,3822E+03
0,2721E+03
0,1961E+03
0,1294E+03
0,7772E+02
0,5876E+02
0,5497E+02
0,5152E+02
0,4835E+02
0,3296E+03
0,2446E+03
38
38
38
38
38
38
38
38
40
40
40
40
40
40
40
40
42
42
42
42
42
42
42
42
44
44
44
44
44
44
44
44
44
44
46
46
46
46
46
88
90
92
94
96
98
100
102
90
92
94
96
98
100
102
104
92
94
96
102
104
106
108
110
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
102
104
106
108
110
0,4251E-01
0,6114E-02
0,5732E-02
0,5382E-02
0,5060E-02
0,4765E-02
0,4493E-02
0,4241E-02
0,1449E+00
0,2178E-01
0,1240E-01
0,6135E-02
0,5779E-02
0,5451E-02
0,5148E-02
0,4868E-02
0,3367E+00
0,6756E-01
0,3579E-01
0,6193E-02
0,5858E-02
0,5548E-02
0,5260E-02
0,4992E-02
0,1962E+00
0,1018E+00
0,5099E-01
0,2676E-01
0,1482E-01
0,6625E-02
0,6283E-02
0,5965E-02
0,5669E-02
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0,1587E+00
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0,3160E+01
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0,1904E+02
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73
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0,6301E+02
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0,6353E+02
0,5993E+02
0,5660E+02
0,5352E+02
0,4563E+03
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0,1648E+03
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0,6099E+02
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46
46
46
46
46
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
52
52
52
52
52
52
52
54
54
112
114
116
118
120
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
122
124
126
132
134
136
138
126
128
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74
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0,7372E+02
0,7061E+02
0,6768E+02
0,6492E+02
0,6231E+02
0,2449E+03
0,1895E+03
0,1482E+03
0,7575E+02
0,7272E+02
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54
54
54
54
54
54
56
56
56
56
56
56
56
56
56
56
56
58
58
58
58
58
58
58
58
58
60
60
60
60
60
60
62
62
62
62
62
62
62
130
132
134
140
142
144
130
132
134
136
138
140
142
144
146
148
150
136
138
140
142
144
146
148
150
152
142
146
148
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154
156
144
150
152
154
156
158
160
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0,8600E+02
0,8301E+02
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64
64
64
64
64
64
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66
66
66
66
66
66
68
68
68
68
68
68
68
70
70
70
70
70
70
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72
72
74
74
74
74
74
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76
154
156
158
160
162
164
156
158
160
162
164
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168
162
164
166
168
170
172
174
168
172
174
176
178
180
176
178
180
182
184
180
182
186
188
190
188
190
192
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76
76
78
78
78
78
78
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80
80
80
80
80
80
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82
82
82
82
84
86
86
86
88
88
88
88
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90
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92
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96
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196
192
194
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202
196
198
200
202
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208
206
208
210
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228
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242
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77
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0,1737E+03
0,1706E+03
78
de neutrinos (núcleos par-ı́mpar)
Z
A
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 2M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 3M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 4M eV )
28
28
28
30
30
30
30
30
30
32
32
32
32
32
32
32
34
34
34
34
34
34
34
34
36
36
36
36
36
36
36
38
38
38
71
73
75
71
73
75
77
79
81
73
75
77
79
81
83
85
77
79
81
83
85
87
89
91
83
85
87
89
91
93
95
87
89
91
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38
38
38
38
38
40
40
40
40
40
40
40
40
42
42
42
42
42
42
42
42
44
44
44
44
44
44
44
44
44
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46
46
46
46
46
46
46
48
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95
97
99
101
91
93
95
97
99
101
103
105
95
97
99
101
103
105
107
109
99
101
103
105
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109
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113
115
105
107
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48
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48
48
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48
48
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50
50
50
50
50
50
50
50
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52
52
52
52
52
52
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54
54
54
54
54
54
54
56
56
56
56
56
113
115
117
119
121
123
125
127
129
115
117
119
121
123
125
127
129
131
133
125
127
129
131
133
135
137
129
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58
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82
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185
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195
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207
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98
231
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237
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0,1774E+03
84
de neutrinos (núcleos ı́mpar-par)
Z
A
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 2M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 3M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 4M eV )
27
29
29
29
29
29
31
31
31
31
31
31
31
33
33
33
33
33
33
33
35
35
35
35
35
35
35
35
37
37
37
37
37
37
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71
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77
79
71
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83
75
77
79
81
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87
79
81
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39
39
39
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41
41
41
41
41
41
41
41
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43
43
43
43
43
43
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45
45
45
45
45
45
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47
47
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99
101
89
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95
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99
101
103
93
95
97
99
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103
105
107
109
99
101
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105
107
109
111
113
103
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113
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90
de neutrinos (núcleos ı́mpar-ı́mpar)
Z
A
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 2M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 3M eV )
< σ > /A.10−40 cm2
(T = 4M eV )
27
27
29
29
29
29
29
31
31
31
31
31
31
31
33
33
33
33
33
33
35
35
35
35
35
35
35
35
37
37
37
37
37
37
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76
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80
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0,6594E+01
0,6413E+01
0,6240E+01
0,6979E+01
0,6794E+01
0,6616E+01
0,6444E+01
0,7184E+01
0,7001E+01
0,6824E+01
0,6654E+01
0,7582E+01
0,7394E+01
0,7213E+01
0,7038E+01
0,6869E+01
0,7609E+01
0,7430E+01
0,7256E+01
0,7088E+01
0,7650E+01
0,7478E+01
0,7311E+01
0,7872E+01
0,7701E+01
0,7535E+01
0,8269E+01
0,8095E+01
0,7925E+01
0,7760E+01
0,7601E+01
0,7445E+01
94
0,1066E+03
0,1201E+03
0,1167E+03
0,1134E+03
0,1102E+03
0,1072E+03
0,1272E+03
0,1237E+03
0,1203E+03
0,1171E+03
0,1310E+03
0,1275E+03
0,1241E+03
0,1209E+03
0,1348E+03
0,1314E+03
0,1281E+03
0,1249E+03
0,1423E+03
0,1388E+03
0,1354E+03
0,1321E+03
0,1289E+03
0,1428E+03
0,1394E+03
0,1362E+03
0,1330E+03
0,1435E+03
0,1403E+03
0,1372E+03
0,1477E+03
0,1445E+03
0,1414E+03
0,1552E+03
0,1519E+03
0,1487E+03
0,1456E+03
0,1426E+03
0,1397E+03
89
89
89
89
89
91
91
91
91
93
93
93
93
93
95
95
95
97
99
99
226
228
230
232
234
232
234
236
238
236
238
240
242
244
242
244
246
250
254
256
0,1480E-01
0,1449E-01
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0,1391E-01
0,1363E-01
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0,1486E-01
0,1457E-01
0,1428E-01
0,1583E-01
0,1553E-01
0,1523E-01
0,1494E-01
0,1466E-01
0,1618E-01
0,1588E-01
0,1558E-01
0,1621E-01
0,1683E-01
0,1653E-01
0,8668E+01
0,8490E+01
0,8317E+01
0,8148E+01
0,7985E+01
0,8885E+01
0,8708E+01
0,8536E+01
0,8369E+01
0,9277E+01
0,9097E+01
0,8922E+01
0,8752E+01
0,8586E+01
0,9480E+01
0,9303E+01
0,9129E+01
0,9499E+01
0,9858E+01
0,9685E+01
95
0,1627E+03
0,1593E+03
0,1561E+03
0,1529E+03
0,1498E+03
0,1667E+03
0,1634E+03
0,1602E+03
0,1570E+03
0,1741E+03
0,1707E+03
0,1674E+03
0,1642E+03
0,1611E+03
0,1779E+03
0,1746E+03
0,1713E+03
0,1783E+03
0,1850E+03
0,1817E+03
96
Tabela 4.10: Taxa de captura de neutrino para os núcleos
par-par em s−1
Z
A
λcν (T = 2M eV )
λcν (T = 3M eV )
λcν (T = 4M eV )
28
28
28
30
30
30
30
30
32
32
32
32
32
32
32
32
34
34
34
34
34
34
34
36
36
36
36
36
36
36
36
36
38
38
38
72
74
76
72
74
76
78
80
70
72
74
76
78
80
82
84
74
76
78
80
82
86
88
78
80
82
84
86
88
90
92
94
84
86
88
0,1144E+01
0,1080E+01
0,1021E+01
0,1465E+01
0,1384E+01
0,1309E+01
0,1241E+01
0,1178E+01
0,4032E+02
0,1672E+02
0,7048E+01
0,3175E+01
0,1568E+01
0,1489E+01
0,1416E+01
0,1348E+01
0,5991E+02
0,2441E+02
0,1245E+02
0,5481E+01
0,1767E+01
0,1607E+01
0,1535E+01
0,7546E+02
0,3784E+02
0,2010E+02
0,8850E+01
0,3170E+01
0,1896E+01
0,1814E+01
0,1738E+01
0,1666E+01
0,5826E+02
0,3244E+02
0,1508E+02
0,4469E+03
0,4218E+03
0,3989E+03
0,5722E+03
0,5404E+03
0,5113E+03
0,4846E+03
0,4599E+03
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0,5814E+03
0,5530E+03
0,5267E+03
0,6805E+04
0,3832E+04
0,2463E+04
0,1440E+04
0,6903E+03
0,6276E+03
0,5995E+03
0,8130E+04
0,5237E+04
0,3466E+04
0,2031E+04
0,1043E+04
0,7405E+03
0,7086E+03
0,6788E+03
0,6509E+03
0,7100E+04
0,4863E+04
0,2960E+04
0,6290E+04
0,5937E+04
0,5614E+04
0,8052E+04
0,7605E+04
0,7196E+04
0,6820E+04
0,6473E+04
0,4125E+05
0,2725E+05
0,1798E+05
0,1220E+05
0,8617E+04
0,8183E+04
0,7783E+04
0,7413E+04
0,5164E+05
0,3419E+05
0,2467E+05
0,1662E+05
0,9715E+04
0,8832E+04
0,8437E+04
0,6008E+05
0,4387E+05
0,3241E+05
0,2192E+05
0,1347E+05
0,1042E+05
0,9973E+04
0,9553E+04
0,9161E+04
0,5581E+05
0,4240E+05
0,2952E+05
38
38
38
38
38
38
38
40
40
40
40
40
40
40
40
42
42
42
42
42
42
42
42
44
44
44
44
44
44
44
44
44
44
46
46
46
46
46
46
90
92
94
96
98
100
102
90
92
94
96
98
100
102
104
92
94
96
102
104
106
108
110
96
98
100
102
104
106
108
110
112
114
102
104
106
108
110
112
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0,2117E+01
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0,2560E+02
0,1385E+02
0,2547E+01
0,2456E+01
0,2371E+01
0,2290E+01
0,2214E+01
0,7592E+02
0,4022E+02
0,2055E+02
0,1100E+02
0,6215E+01
0,2831E+01
0,2735E+01
0,2645E+01
0,2560E+01
0,2478E+01
0,6526E+02
0,3025E+02
0,1623E+02
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0,8303E+03
0,7965E+03
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0,7074E+03
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0,1451E+04
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0,8268E+03
0,7971E+03
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0,9593E+03
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0,8944E+03
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0,1068E+04
0,1033E+04
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46
46
46
46
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
48
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
50
52
52
52
52
52
52
52
54
54
54
114
116
118
120
106
108
110
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
122
124
126
132
134
136
138
126
128
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0,1074E+04
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0,1361E+04
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0,4640E+04
98
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0,1553E+05
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0,9984E+05
0,7937E+05
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0,4894E+05
0,3909E+05
0,3062E+05
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0,1872E+05
0,1822E+05
0,1773E+05
0,1727E+05
0,1683E+05
0,6023E+05
0,4736E+05
0,3764E+05
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0,1964E+05
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54
54
54
54
54
56
56
56
56
56
56
56
56
56
56
56
58
58
58
58
58
58
58
58
58
60
60
60
60
60
60
62
62
62
62
62
62
62
64
132
134
140
142
144
130
132
134
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138
140
142
144
146
148
150
136
138
140
142
144
146
148
150
152
142
146
148
152
154
156
144
150
152
154
156
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0,2166E+02
0,1266E+02
0,4449E+01
0,4345E+01
0,4245E+01
0,4149E+01
0,4057E+01
0,3968E+01
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0,4885E+02
0,2989E+02
0,4995E+01
0,4882E+01
0,4772E+01
0,4667E+01
0,4566E+01
0,4468E+01
0,6441E+02
0,1345E+02
0,8620E+01
0,5118E+01
0,5011E+01
0,4908E+01
0,1327E+03
0,2096E+02
0,1724E+02
0,9991E+01
0,5597E+01
0,5485E+01
0,5376E+01
0,4101E+02
0,3541E+04
0,2674E+04
0,1504E+04
0,1469E+04
0,1435E+04
0,1103E+05
0,8463E+04
0,6259E+04
0,4816E+04
0,3401E+04
0,1738E+04
0,1697E+04
0,1658E+04
0,1621E+04
0,1585E+04
0,1550E+04
0,1035E+05
0,8370E+04
0,6100E+04
0,1951E+04
0,1907E+04
0,1864E+04
0,1823E+04
0,1783E+04
0,1745E+04
0,1027E+05
0,3776E+04
0,2826E+04
0,1999E+04
0,1957E+04
0,1917E+04
0,1664E+05
0,5160E+04
0,4526E+04
0,3181E+04
0,2186E+04
0,2142E+04
0,2100E+04
0,8123E+04
99
0,4003E+05
0,3256E+05
0,2117E+05
0,2067E+05
0,2019E+05
0,9333E+05
0,7711E+05
0,6196E+05
0,5113E+05
0,3969E+05
0,2446E+05
0,2389E+05
0,2334E+05
0,2281E+05
0,2230E+05
0,2181E+05
0,9107E+05
0,7802E+05
0,6205E+05
0,2746E+05
0,2683E+05
0,2623E+05
0,2566E+05
0,2510E+05
0,2456E+05
0,9235E+05
0,4505E+05
0,3644E+05
0,2813E+05
0,2754E+05
0,2698E+05
0,1326E+06
0,5766E+05
0,5222E+05
0,4041E+05
0,3077E+05
0,3015E+05
0,2955E+05
0,8141E+05
64
64
64
64
64
66
66
66
66
66
66
66
68
68
68
68
68
68
68
70
70
70
70
70
70
72
72
72
72
72
74
74
74
74
74
76
76
76
76
156
158
160
162
164
156
158
160
162
164
166
168
162
164
166
168
170
172
174
168
172
174
176
178
180
176
178
180
182
184
180
182
186
188
190
188
190
192
194
0,2429E+02
0,1368E+02
0,8087E+01
0,5990E+01
0,5875E+01
0,8774E+02
0,5968E+02
0,3859E+02
0,2257E+02
0,1314E+02
0,6525E+01
0,6405E+01
0,8437E+02
0,5645E+02
0,3672E+02
0,1953E+02
0,1033E+02
0,6967E+01
0,6845E+01
0,7654E+02
0,3091E+02
0,1812E+02
0,1001E+02
0,7433E+01
0,7309E+01
0,4364E+02
0,2504E+02
0,1523E+02
0,8053E+01
0,7923E+01
0,6396E+02
0,4018E+02
0,1431E+02
0,8569E+01
0,8438E+01
0,4287E+02
0,2931E+02
0,1877E+02
0,9110E+01
0,5799E+04
0,4007E+04
0,2851E+04
0,2340E+04
0,2295E+04
0,1354E+05
0,1059E+05
0,8004E+04
0,5670E+04
0,3999E+04
0,2549E+04
0,2502E+04
0,1353E+05
0,1047E+05
0,7940E+04
0,5297E+04
0,3515E+04
0,2721E+04
0,2674E+04
0,1303E+05
0,7290E+04
0,5170E+04
0,3529E+04
0,2903E+04
0,2855E+04
0,9321E+04
0,6528E+04
0,4739E+04
0,3145E+04
0,3095E+04
0,1218E+05
0,9048E+04
0,4659E+04
0,3347E+04
0,3296E+04
0,9633E+04
0,7539E+04
0,5657E+04
0,3558E+04
100
0,6381E+05
0,4882E+05
0,3811E+05
0,3293E+05
0,3230E+05
0,1198E+06
0,1005E+06
0,8209E+05
0,6399E+05
0,4969E+05
0,3587E+05
0,3521E+05
0,1220E+06
0,1015E+06
0,8314E+05
0,6212E+05
0,4619E+05
0,3830E+05
0,3763E+05
0,1210E+06
0,7972E+05
0,6219E+05
0,4718E+05
0,4086E+05
0,4018E+05
0,9701E+05
0,7507E+05
0,5953E+05
0,4427E+05
0,4355E+05
0,1197E+06
0,9669E+05
0,5987E+05
0,4711E+05
0,4638E+05
0,1028E+06
0,8610E+05
0,6993E+05
0,5008E+05
76
78
78
78
78
78
78
80
80
80
80
80
80
80
82
82
82
82
82
84
86
86
86
88
88
88
88
90
90
92
92
94
96
96
196
192
194
196
198
200
202
196
198
200
202
204
206
208
206
208
210
212
214
218
224
226
228
228
230
232
234
234
236
240
242
246
250
252
0,8977E+01
0,6320E+02
0,3939E+02
0,2489E+02
0,1436E+02
0,9676E+01
0,9540E+01
0,9879E+02
0,6518E+02
0,4104E+02
0,2474E+02
0,1538E+02
0,1026E+02
0,1013E+02
0,7757E+02
0,5179E+02
0,1102E+02
0,1087E+02
0,1073E+02
0,1151E+02
0,1216E+02
0,1201E+02
0,1187E+02
0,1297E+02
0,1282E+02
0,1268E+02
0,1253E+02
0,1366E+02
0,1351E+02
0,1435E+02
0,1420E+02
0,1506E+02
0,1592E+02
0,1577E+02
0,3506E+04
0,1262E+05
0,9331E+04
0,6948E+04
0,4880E+04
0,3779E+04
0,3726E+04
0,1711E+05
0,1314E+05
0,9779E+04
0,7070E+04
0,5206E+04
0,4009E+04
0,3955E+04
0,1488E+05
0,1150E+05
0,4303E+04
0,4247E+04
0,4192E+04
0,4494E+04
0,4748E+04
0,4692E+04
0,4636E+04
0,5067E+04
0,5009E+04
0,4952E+04
0,4895E+04
0,5335E+04
0,5276E+04
0,5607E+04
0,5547E+04
0,5882E+04
0,6220E+04
0,6158E+04
101
0,4935E+05
0,1270E+06
0,1023E+06
0,8266E+05
0,6406E+05
0,5319E+05
0,5244E+05
0,1603E+06
0,1329E+06
0,1075E+06
0,8511E+05
0,6822E+05
0,5642E+05
0,5566E+05
0,1468E+06
0,1220E+06
0,6056E+05
0,5978E+05
0,5900E+05
0,6324E+05
0,6682E+05
0,6603E+05
0,6525E+05
0,7132E+05
0,7050E+05
0,6969E+05
0,6890E+05
0,7508E+05
0,7425E+05
0,7891E+05
0,7807E+05
0,8278E+05
0,8754E+05
0,8667E+05
102
Tabela 4.11: Taxa de captura de neutrinos para os
núcleos par-ı́mpar em s−1
Z
A
λcν (T = 2M eV )
λcν (T = 3M eV )
λcν (T = 4M eV )
28
28
28
30
30
30
30
30
30
32
32
32
32
32
32
32
34
34
34
34
34
34
34
34
36
36
36
36
36
36
36
38
38
38
38
71
73
75
71
73
75
77
79
81
73
75
77
79
81
83
85
77
79
81
83
85
87
89
91
83
85
87
89
91
93
95
87
89
91
93
0,1081E+01
0,1015E+01
0,9540E+00
0,1407E+01
0,1322E+01
0,1244E+01
0,1173E+01
0,1108E+01
0,1048E+01
0,2490E+01
0,1593E+01
0,1504E+01
0,1421E+01
0,1346E+01
0,1276E+01
0,1211E+01
0,4449E+01
0,1795E+01
0,1701E+01
0,1615E+01
0,1534E+01
0,1460E+01
0,1391E+01
0,1327E+01
0,3842E+01
0,1916E+01
0,1825E+01
0,1740E+01
0,1661E+01
0,1587E+01
0,1518E+01
0,6616E+01
0,2148E+01
0,2052E+01
0,1963E+01
0,4224E+03
0,3964E+03
0,3726E+03
0,5494E+03
0,5163E+03
0,4859E+03
0,4582E+03
0,4326E+03
0,4092E+03
0,8440E+03
0,6221E+03
0,5873E+03
0,5552E+03
0,5257E+03
0,4984E+03
0,4732E+03
0,1272E+04
0,7009E+03
0,6644E+03
0,6307E+03
0,5994E+03
0,5703E+03
0,5433E+03
0,5182E+03
0,1185E+04
0,7482E+03
0,7126E+03
0,6796E+03
0,6487E+03
0,6199E+03
0,5930E+03
0,1741E+04
0,8389E+03
0,8016E+03
0,7667E+03
0,5945E+04
0,5578E+04
0,5244E+04
0,7732E+04
0,7266E+04
0,6839E+04
0,6448E+04
0,6088E+04
0,5758E+04
0,1107E+05
0,8755E+04
0,8265E+04
0,7814E+04
0,7398E+04
0,7015E+04
0,6659E+04
0,1531E+05
0,9865E+04
0,9351E+04
0,8876E+04
0,8435E+04
0,8026E+04
0,7647E+04
0,7293E+04
0,1481E+05
0,1053E+05
0,1003E+05
0,9564E+04
0,9130E+04
0,8724E+04
0,8346E+04
0,2011E+05
0,1181E+05
0,1128E+05
0,1079E+05
38
38
38
38
40
40
40
40
40
40
40
40
42
42
42
42
42
42
42
42
44
44
44
44
44
44
44
44
44
46
46
46
46
46
46
46
46
48
48
95
97
99
101
91
93
95
97
99
101
103
105
95
97
99
101
103
105
107
109
99
101
103
105
107
109
111
113
115
105
107
109
111
113
115
117
119
111
113
0,1879E+01
0,1801E+01
0,1727E+01
0,1658E+01
0,5591E+01
0,2399E+01
0,2299E+01
0,2205E+01
0,2116E+01
0,2033E+01
0,1955E+01
0,1881E+01
0,7571E+01
0,3898E+01
0,2565E+01
0,2466E+01
0,2373E+01
0,2285E+01
0,2202E+01
0,2123E+01
0,9830E+01
0,4784E+01
0,2853E+01
0,2749E+01
0,2650E+01
0,2557E+01
0,2469E+01
0,2386E+01
0,2307E+01
0,7627E+01
0,3163E+01
0,3053E+01
0,2950E+01
0,2852E+01
0,2759E+01
0,2670E+01
0,2586E+01
0,6538E+01
0,3381E+01
0,7340E+03
0,7033E+03
0,6746E+03
0,6476E+03
0,1628E+04
0,9371E+03
0,8979E+03
0,8611E+03
0,8265E+03
0,7940E+03
0,7635E+03
0,7347E+03
0,2050E+04
0,1326E+04
0,1002E+04
0,9633E+03
0,9268E+03
0,8924E+03
0,8599E+03
0,8292E+03
0,2509E+04
0,1568E+04
0,1114E+04
0,1074E+04
0,1035E+04
0,9989E+03
0,9645E+03
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56
56
58
58
58
58
58
58
60
60
60
60
60
60
60
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62
62
62
62
64
64
64
64
64
66
66
66
66
68
68
68
68
68
70
70
70
70
70
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149
141
143
145
147
149
151
143
145
147
149
151
153
155
151
153
155
157
159
155
157
159
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163
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72
72
72
72
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74
74
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76
76
76
76
78
78
78
78
80
80
80
80
80
82
82
82
82
82
84
84
86
86
86
86
88
88
88
88
88
90
177
179
181
183
185
185
187
189
187
189
191
193
195
195
197
199
201
199
201
203
205
207
207
209
211
213
215
215
217
221
223
225
227
225
227
229
231
233
231
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0,1092E+02
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0,1063E+02
0,1049E+02
0,1156E+02
0,1141E+02
0,1221E+02
0,1206E+02
0,1191E+02
0,1177E+02
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0,5366E+04
106
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0,4576E+05
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90
90
90
92
92
94
94
94
94
96
96
98
98
233
235
237
237
239
241
243
245
247
249
251
253
255
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0,5984E+04
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107
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0,7851E+05
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0,8726E+05
0,8637E+05
0,9211E+05
0,9120E+05
108
Tabela 4.12: Taxas de captura de neutrinos para os
núcleos ı́mpar-par em s−1
Z
A
λcν (T = 2M eV )
λcν (T = 3M eV )
λcν (T = 4M eV )
27
29
29
29
29
29
31
31
31
31
31
31
31
33
33
33
33
33
33
33
35
35
35
35
35
35
35
35
37
37
37
37
37
37
37
71
71
73
75
77
79
71
73
75
77
79
81
83
75
77
79
81
83
85
87
79
81
83
85
87
89
91
93
85
87
89
91
93
95
97
0,1001E+01
0,1300E+01
0,1224E+01
0,1155E+01
0,1092E+01
0,1034E+01
0,2326E+01
0,1563E+01
0,1476E+01
0,1397E+01
0,1323E+01
0,1255E+01
0,1193E+01
0,3475E+01
0,1760E+01
0,1669E+01
0,1584E+01
0,1507E+01
0,1434E+01
0,1368E+01
0,5485E+01
0,2829E+01
0,1877E+01
0,1789E+01
0,1706E+01
0,1629E+01
0,1558E+01
0,1491E+01
0,4512E+01
0,2103E+01
0,2010E+01
0,1923E+01
0,1842E+01
0,1766E+01
0,1694E+01
0,3910E+03
0,5076E+03
0,4781E+03
0,4511E+03
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0,4327E+05
0,4254E+05
0,4183E+05
0,4114E+05
0,5405E+05
0,4605E+05
0,4531E+05
0,6907E+05
0,4974E+05
0,4897E+05
0,4822E+05
0,7335E+05
0,5934E+05
0,5202E+05
0,5126E+05
0,7137E+05
0,5600E+05
0,5521E+05
0,5443E+05
0,5367E+05
0,8156E+05
0,6659E+05
0,5852E+05
0,5773E+05
0,1039E+06
0,6277E+05
0,6195E+05
0,6115E+05
0,6028E+05
0,6632E+05
0,6549E+05
0,6468E+05
0,6388E+05
0,6998E+05
0,6914E+05
0,6832E+05
0,6751E+05
87
89
89
89
89
91
91
91
93
93
93
95
95
97
97
99
231
227
229
231
233
233
235
237
239
241
243
245
247
249
251
255
0,1214E+02
0,1357E+02
0,1341E+02
0,1326E+02
0,1311E+02
0,1427E+02
0,1411E+02
0,1395E+02
0,1497E+02
0,1481E+02
0,1465E+02
0,1569E+02
0,1552E+02
0,1656E+02
0,1640E+02
0,1727E+02
0,4741E+04
0,5300E+04
0,5239E+04
0,5178E+04
0,5119E+04
0,5572E+04
0,5510E+04
0,5449E+04
0,5848E+04
0,5785E+04
0,5724E+04
0,6126E+04
0,6063E+04
0,6470E+04
0,6405E+04
0,6747E+04
113
0,6672E+05
0,7459E+05
0,7373E+05
0,7288E+05
0,7204E+05
0,7842E+05
0,7755E+05
0,7669E+05
0,8231E+05
0,8142E+05
0,8055E+05
0,8622E+05
0,8533E+05
0,9105E+05
0,9014E+05
0,9495E+05
114
Tabela 4.13: Taxas de captura de neutrinos para os
núcleos ı́mpar-ı́mpar em s−1
Z
A
λcν (T = 2M eV )
λcν (T = 3M eV )
λcν (T = 4M eV )
27
27
29
29
29
29
29
31
31
31
31
31
31
31
33
33
33
33
33
33
35
35
35
35
35
35
35
35
37
37
37
37
37
37
37
70
72
70
72
74
76
78
70
72
74
76
78
80
82
76
78
80
82
84
86
80
82
84
86
88
90
92
94
84
86
88
90
92
94
96
0,9295E+00
0,8678E+00
0,1232E+01
0,1153E+01
0,1081E+01
0,1015E+01
0,9548E+00
0,1597E+01
0,1498E+01
0,1407E+01
0,1323E+01
0,1247E+01
0,1176E+01
0,1111E+01
0,1692E+01
0,1597E+01
0,1509E+01
0,1428E+01
0,1353E+01
0,1284E+01
0,1903E+01
0,1803E+01
0,1711E+01
0,1625E+01
0,1546E+01
0,1472E+01
0,1403E+01
0,1338E+01
0,2131E+01
0,2027E+01
0,1930E+01
0,1840E+01
0,1756E+01
0,1677E+01
0,1603E+01
0,3631E+03
0,3390E+03
0,4813E+03
0,4504E+03
0,4222E+03
0,3965E+03
0,3729E+03
0,6238E+03
0,5850E+03
0,5495E+03
0,5169E+03
0,4870E+03
0,4595E+03
0,4341E+03
0,6608E+03
0,6237E+03
0,5894E+03
0,5577E+03
0,5285E+03
0,5013E+03
0,7431E+03
0,7043E+03
0,6682E+03
0,6348E+03
0,6037E+03
0,5748E+03
0,5479E+03
0,5227E+03
0,8322E+03
0,7916E+03
0,7538E+03
0,7186E+03
0,6857E+03
0,6549E+03
0,6262E+03
0,5110E+04
0,4770E+04
0,6774E+04
0,6339E+04
0,5942E+04
0,5580E+04
0,5249E+04
0,8779E+04
0,8233E+04
0,7733E+04
0,7275E+04
0,6854E+04
0,6467E+04
0,6110E+04
0,9301E+04
0,8778E+04
0,8295E+04
0,7849E+04
0,7438E+04
0,7056E+04
0,1046E+05
0,9912E+04
0,9405E+04
0,8934E+04
0,8497E+04
0,8090E+04
0,7710E+04
0,7356E+04
0,1171E+05
0,1114E+05
0,1061E+05
0,1011E+05
0,9650E+04
0,9217E+04
0,8812E+04
37
37
37
39
39
39
39
39
39
39
41
41
41
41
41
41
41
41
43
43
43
43
43
43
43
43
45
45
45
45
45
45
45
47
47
47
47
47
47
98
100
102
90
92
94
96
98
100
102
94
96
98
100
102
104
106
108
98
100
102
104
106
108
110
112
102
106
108
110
112
114
116
108
110
112
114
116
118
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0,2167E+01
0,2073E+01
0,1984E+01
0,1900E+01
0,1822E+01
0,1748E+01
0,2531E+01
0,2424E+01
0,2325E+01
0,2231E+01
0,2143E+01
0,2059E+01
0,1981E+01
0,1907E+01
0,2813E+01
0,2702E+01
0,2597E+01
0,2498E+01
0,2405E+01
0,2317E+01
0,2234E+01
0,2155E+01
0,3117E+01
0,2891E+01
0,2788E+01
0,2689E+01
0,2596E+01
0,2508E+01
0,2424E+01
0,3323E+01
0,3208E+01
0,3099E+01
0,2996E+01
0,2898E+01
0,2804E+01
0,5992E+03
0,5740E+03
0,5502E+03
0,8862E+03
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0,8095E+03
0,7748E+03
0,7422E+03
0,7115E+03
0,6827E+03
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0,9470E+03
0,9080E+03
0,8713E+03
0,8368E+03
0,8043E+03
0,7737E+03
0,7447E+03
0,1099E+04
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0,8724E+03
0,8416E+03
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0,1129E+04
0,1089E+04
0,1050E+04
0,1014E+04
0,9795E+03
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0,1253E+04
0,1211E+04
0,1170E+04
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115
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0,1373E+05
0,1322E+05
0,1274E+05
0,1228E+05
0,1184E+05
0,1714E+05
0,1589E+05
0,1532E+05
0,1478E+05
0,1427E+05
0,1378E+05
0,1332E+05
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0,1593E+05
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47
47
47
47
47
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
49
51
51
51
51
51
51
51
53
53
53
53
53
53
55
55
55
55
55
55
55
55
55
120
122
124
126
128
112
114
116
118
120
122
124
126
128
130
132
134
122
124
126
128
130
134
136
128
132
134
136
138
140
130
132
134
136
138
140
142
144
146
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0,3356E+01
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0,3635E+01
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0,9658E+03
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0,1259E+04
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0,1183E+04
0,1148E+04
0,1115E+04
0,1083E+04
0,1052E+04
0,1023E+04
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0,1455E+04
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116
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0,1446E+05
0,1402E+05
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0,1481E+05
0,1439E+05
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0,1852E+05
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0,1656E+05
0,2170E+05
0,2052E+05
0,1997E+05
0,1944E+05
0,1893E+05
0,1845E+05
0,2457E+05
0,2391E+05
0,2328E+05
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55
57
57
57
57
57
57
59
59
59
59
59
59
59
61
61
61
61
61
61
61
63
63
63
63
63
63
65
65
65
65
67
67
67
67
69
69
69
69
148
140
142
144
146
148
150
142
144
146
148
150
152
154
146
148
150
152
154
156
158
152
154
156
158
160
162
158
160
162
164
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168
170
172
170
172
174
176
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0,4123E+01
0,4027E+01
0,5114E+01
0,4992E+01
0,4875E+01
0,4762E+01
0,4653E+01
0,4549E+01
0,4448E+01
0,5597E+01
0,5470E+01
0,5347E+01
0,5229E+01
0,5114E+01
0,5004E+01
0,4897E+01
0,5979E+01
0,5850E+01
0,5726E+01
0,5606E+01
0,5489E+01
0,5377E+01
0,6384E+01
0,6254E+01
0,6128E+01
0,6006E+01
0,6683E+01
0,6555E+01
0,6431E+01
0,6311E+01
0,7270E+01
0,7136E+01
0,7007E+01
0,6881E+01
0,1386E+04
0,1775E+04
0,1731E+04
0,1689E+04
0,1649E+04
0,1610E+04
0,1573E+04
0,1997E+04
0,1950E+04
0,1904E+04
0,1860E+04
0,1818E+04
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0,1737E+04
0,2186E+04
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0,2089E+04
0,2042E+04
0,1998E+04
0,1954E+04
0,1913E+04
0,2335E+04
0,2285E+04
0,2236E+04
0,2189E+04
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0,2100E+04
0,2494E+04
0,2443E+04
0,2394E+04
0,2346E+04
0,2610E+04
0,2560E+04
0,2512E+04
0,2465E+04
0,2840E+04
0,2787E+04
0,2737E+04
0,2688E+04
117
0,1951E+05
0,2498E+05
0,2437E+05
0,2378E+05
0,2321E+05
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0,2811E+05
0,2744E+05
0,2680E+05
0,2618E+05
0,2558E+05
0,2500E+05
0,2445E+05
0,3077E+05
0,3007E+05
0,2939E+05
0,2874E+05
0,2811E+05
0,2751E+05
0,2692E+05
0,3286E+05
0,3216E+05
0,3147E+05
0,3081E+05
0,3018E+05
0,2956E+05
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0,3302E+05
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0,3469E+05
0,3996E+05
0,3923E+05
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0,7751E+01
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0,7231E+01
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0,1101E+02
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0,3433E+04
0,3378E+04
0,3325E+04
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0,3650E+04
0,3595E+04
0,3541E+04
0,3994E+04
0,3935E+04
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0,3821E+04
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0,4113E+04
0,4056E+04
0,4000E+04
0,4358E+04
0,4301E+04
0,4244E+04
0,4612E+04
0,4553E+04
0,4496E+04
0,4934E+04
0,4873E+04
0,4813E+04
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118
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0,4114E+05
0,4043E+05
0,3975E+05
0,4617E+05
0,4539E+05
0,4463E+05
0,4390E+05
0,4910E+05
0,4831E+05
0,4754E+05
0,4680E+05
0,5217E+05
0,5137E+05
0,5059E+05
0,4983E+05
0,5621E+05
0,5538E+05
0,5456E+05
0,5377E+05
0,5300E+05
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0,1441E+02
0,1579E+02
0,1562E+02
0,1545E+02
0,1634E+02
0,1723E+02
0,1706E+02
0,5202E+04
0,5141E+04
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0,5021E+04
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0,5414E+04
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0,5755E+04
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0,5630E+04
0,6166E+04
0,6100E+04
0,6036E+04
0,6382E+04
0,6729E+04
0,6663E+04
119
0,7321E+05
0,7235E+05
0,7150E+05
0,7067E+05
0,7796E+05
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0,7620E+05
0,7534E+05
0,8281E+05
0,8189E+05
0,8099E+05
0,8011E+05
0,7924E+05
0,8677E+05
0,8585E+05
0,8494E+05
0,8982E+05
0,9471E+05
0,9378E+05
Capı́tulo 5
CONCLUSÕES
A formação de elementos em ambiente astrofı́sico depende de vários fatores, tais
como a massa inicial e a fase do processo evolutivo da estrela. Na fase de supernova,
por exemplo, ocorre o processo de captura rápida de nêutrons, denominado processor, que provoca o afastamento dos núcleos do vale de estabilidade beta, deixando-os
instáveis. Como mecanismo para retornar ao vale de estabilidade beta os núcleos utilizam o decaimento-β, de modo que, à medida que o decaimento-β vai acontecendo novos
elementos vão sendo sintetizados. Assim, calcular as taxas de decaimento-β envolvidas
nesse processo podem contribuir para melhor compreensão da formação de elementos pesados. Por outro lado, também durante a fase de supernova de uma estrela, a densidade de
neutrinos emitidos por ela aumenta significativamente propiciando a captura de neutrinos
que, por sua vez, também poderá influenciar a formação de elementos pesados.
Nesse contexto, no presente trabalho foi realizado um breve estudo sobre formação
e evolução estelar com o intuito de compreender melhor os mecanismos de nucleosı́ntese
responsáveis pela formação de quase todos os elementos da tabela periódica, especificamente, os processos de decaimento-β e de captura de neutrinos durante a explosão de
uma supernova. Com o interesse de estudar um grande universo de núcleos, optou-se pelo
modelo proposto por Takahashi e Yamada [3], por ser um modelo que permite trabalhar
com um universo grande de núcleos facilitando a sistematização computacional.
Assim, dentre os resultados encontrados, constatou-se que a Teoria Grossa [3] se
mostrou eficiente para calcular as taxas de decaimento-β para núcleos par-par, aspecto
que pode estar relacionado com a relação entre o valor Q e a separação de nı́veis de energia,
como foi dito no capı́tulo 3. Além disso, também se mostrou eficiente no cálculo das taxas
de decaimento-β para núcleos com massa entre 150 e 200, independente da sua paridade.
Tais resultados estão de acordo com a literatura [24], sinalizando a viabilidade de utilizar
a Teoria Grossa ao se trabalhar com um universo grande de núcleos. No presente trabalho
foi possı́vel calcular as taxas de decaimento-β para um universo de 422 núcleos, estando
mais de 80% desses núcleos dentro do intervalo [1, −1], isto é, com diferença de no máximo
uma ordem de grandeza, para mais ou para menos, em relação aos dados experimentais.
120
CAPÍTULO 5. CONCLUSÕES
121
O cálculo das taxas de decaimento-β permitiu o ajuste do σN da ressonância
de Gamow-Teller, que foi utilizado para calcular o valor médio da seção de choque de
neutrinos, em que foram consideradas diferentes temperaturas em um universo de 826
núcleos. Com isso, constatou-se que a temperatura mais propı́cia para que a captura de
neutrinos ocorra é de 4 MeV (entre as temperaturas testadas).
Com o intuito de analisar a influência da captura de neutrinos na formação de
elementos pesados também foram resolvidas as equações de Bateman [18] utilizando os
dados obtidos na presente pesquisa para as abundâncias isotópicas ao considerar a captura
de neutrinos e ao desconsiderá-la no processo. Assim, foi identificado que o tempo gasto
para que todos os núcleos da famı́lia isobárica atinjam sua estabilidade é bem menor se
comparado com o tempo gasto só considerando as taxas de decaimento-β, indicando a
influência da captura de neutrinos na formação de elementos pesados, en acordo com a
literatura [32]
Quanto às possibilidades de trabalhos futuros, considera-se relevante ajustar o σN
da ressonância de Gamow-Teller usando o ajuste descrito na referência [3], assim como
melhorar os resultados encontrados no caso dos núcleos ı́mpar-ı́mpar. Além disso, estudar
a influência da temperatura no decaimento-β (que aqui foi tratado a temperatura zero) e
considerar diferentes condições iniciais para as equações de Bateman.
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DECAIMENTO-β E CAPTURA DE NEUTRINOS EM AMBIENTE DE

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